Geometria plana semelhanca_triang_lista01

Mtmaticad
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Geometria
Geometria Plana – Semelhança de Triângulos – Lista 01
01. (INSPER/12) Duas cidades X e Y são interligadas
pela rodovia R101, que é retilínea e apresenta 300 km de
extensão. A 160 km de X, à beira da R101, fica a cidade
Z, por onde passa a rodovia R102, também retilínea e
perpendicular à R101. Está sendo construída uma nova
rodovia retilínea, a R103, que ligará X à capital do estado.
A nova rodovia interceptará a R102 no ponto P, distante
120 km da cidade Z.
O governo está planejando, após a conclusão da obra,
construir uma estrada ligando a cidade Y até a R103. A
menor extensão, em quilômetros, que esta ligação
poderá ter é
(A) 250.
(B) 240.
(C) 225.
(D) 200.
(E) 180.
02. (UFPE/11) Na figura abaixo AB AD 25, 
BC 15 e DE 7. Os ângulos ˆˆDEA, BCA e ˆBFA
são retos. Determine AF.
03. (UNESP/11) Para que alguém, com o olho normal,
possa distinguir um ponto separado de outro, é
necessário que as imagens desses pontos, que são
projetadas em sua retina, estejam separadas uma da
outra a uma distância de 0,005 mm.
Adotando-se um modelo muito simplificado do olho
humano no qual ele possa ser considerado uma esfera
cujo diâmetro médio é igual a 15 mm, a maior distância x,
em metros, que dois pontos luminosos, distantes 1 mm
um do outro, podem estar do observador, para que este
os perceba separados, é
04. (UNESP/11) Uma bola de tênis é sacada de uma
altura de 21 dm, com alta velocidade inicial e passa rente
à rede, a uma altura de 9 dm.
Desprezando-se os efeitos do atrito da bola com o ar e do
seu movimento parabólico, considere a trajetória descrita
pela bola como sendo retilínea e contida num plano
ortogonal à rede. Se a bola foi sacada a uma distância de
120 dm da rede, a que distância da mesma, em metros,
ela atingirá o outro lado da quadra?
05. (UFPR/11) Um telhado inclinado reto foi construído
sobre três suportes verticais de aço, colocados nos
pontos A, B e C, como mostra a figura ao lado. Os
suportes nas extremidades A e C medem,
respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura.
A altura do suporte em B é, então, de:
(A) 4,2 metros.
(B) 4,5 metros.
(C) 5 metros.
(D) 5,2 metros.
(E) 5,5 metros.

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06. (EEWB/11) Na figura, ANM é um triângulo e ABCD é
um quadrado. Calcule a área do quadrado:
AM = 4 cm
NA = 6 cm
(A) 2,4 cm
(B) 2,0 cm
(C) 1,6 cm
(D) 1,4 cm
07. (MACK/11) A área do quadrado assinalado na figura
é igual a
(A) 15
(B) 20
(C) 12
(D) 18
(E) 16
08. (G1 - EPCAR (CPCAR)/11) A figura abaixo
representa o logotipo que será estampado em 450
camisetas de uma Olimpíada de Matemática realizada
entre os alunos do “Colégio Alfa”. Essa figura é formada
por um círculo de centro O inscrito num triângulo
isósceles cuja base BCmede 24 cm e altura relativa a
esse lado mede 16 cm
O círculo será pintado com tinta cinza e sabe-se que é
necessário, exatamente, 1 pote de tinta cinza para pintar
2
5400 cm .
Adote 3π 
Com base nesses dados, é correto afirmar que o número
de potes necessários para pintar o círculo em todas as
camisetas é igual a
(A) 9
(B) 10
(C) 11
(D) 12
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:
Os dois triângulos da figura são congruentes, ambos
isósceles com base e altura medindo 1.
O triângulo da esquerda foi dividido em três partes de
áreas iguais por duas retas paralelas à sua base e o da
direita foi dividido em três partes de áreas iguais por duas
retas perpendiculares à sua base.
09. (INSPER/11) A distância entre as duas retas
paralelas tracejadas no triângulo da esquerda é igual a
(A)
3 1
.
3

(B)
3 2
.
3

(C)
6 1
.
3

(D)
6 3
.
3

(E)
6 3
.
3

10. (INSPER/11) A distância entre as duas retas
perpendiculares à base no triângulo da direita é igual a
(A)
3 2
.
6

(B)
3 2
.
6

(C)
3 3
.
3

(D)
6 6
.
6

(E)
3 6
.
3


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11. (ENEM/10) Em canteiros de obras de construção civil
é comum perceber trabalhadores realizando medidas de
comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por
onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses
canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi
possível perceber que, das seis estacas colocadas, três
eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três
eram os pontos médios dos lados desse triângulo,
conforme pode ser visto na figura, em que as estacas
foram indicadas por letras.
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria
ser calçada com concreto.
Nessas condições, a área a ser calcada corresponde
(A) a mesma área do triângulo AMC.
(B) a mesma área do triângulo BNC.
(C) a metade da área formada pelo triângulo ABC.
(D) ao dobro da área do triângulo MNC.
(E) ao triplo da área do triângulo MNC.
12. (FGV/10) Bem no topo de uma arvore de 10,2 metros
de altura, um gavião casaca-de-couro, no ponto A da
figura, observa atentamente um pequeno roedor que
subiu na mesma árvore e parou preocupado no ponto B,
bem abaixo do gavião, na mesma reta vertical em relação
ao chão. Junto à árvore, um garoto fixa verticalmente no
chão uma vareta de 14,4 centímetros de comprimento e,
usando uma régua, descobre que a sombra da vareta
mede 36 centímetros de comprimento.
Exatamente nesse instante ele vê, no chão, a sombra do
gavião percorrer 16 metros em linha reta e ficar sobre a
sombra do roedor, que não se havia movido de susto.
Calcule e responda: Quantos metros o gavião teve de
voar para capturar o roedor, se ele voa verticalmente de
A para B?
13. (FUVEST/10) Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma
bola branca na posição B e uma bola vermelha na
posição V, conforme o esquema a seguir.
Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a
trajetória indicada na figura e atinja a bola vermelha.
Assumindo que, em cada colisão da bola branca com
uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e de
reflexão são iguais, a que distância x do vértice Q deve-
se jogar a bola branca?
14. (G1 - CPS/10) A figura representa os triângulos
retângulos PQR e STR, sendo
RS 5 cm, ST 3 cm e QT 6 cm   . A medida do
cateto PQ, em centímetros, é
(A) 7,5.
(B) 8,2.
(C) 8,6.
(D) 9,0.
(E) 9,2.

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15. (G1 - CPS/10) Marcelo mora em um edifício que tem
a forma de um bloco retangular e, no topo desse edifício,
está instalada uma antena de 20 metros.
Após uma aula de Matemática, cujo tema era
Semelhança de Triângulos, Marcelo resolveu aplicar o
que aprendeu para calcular a altura do prédio onde mora.
Para isso, tomou algumas medidas e construiu o seguinte
esquema:
• O segmento AC é perpendicular aos segmentos BF e
CE;
• o segmento AB representa a antena;
• o segmento BC representa a altura do prédio;
• ponto D pertence ao segmento CE;
• o ponto F pertence ao segmento AE ;
• o ponto B pertence ao segmento AC ;
• os segmentos BC e FD são congruentes;
• a medida do segmento BF é 12 m;
• a medida do segmento DE é 36 m.
Assim, Marcelo determinou que a altura do prédio é, em
metros,
(A) 45.
(B) 50.
(C) 60.
(D) 65.
(E) 70.
16. (FUVEST/10) Na figura, o triângulo ABC é retângulo
com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D
pertence ao cateto AB , o ponto E pertence ao cateto
BCe o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal forma
que DECF seja um paralelogramo. Se DE =
3
2
, então a
área do paralelogramo DECF vale
(A)
63
25
(B)
12
5
(C)
58
25
(D)
56
25
(E)
11
5
17. (UNEMAT/10) No triângulo equilátero ABC, os
pontos M e N são respectivamente pontos médios dos
lados AB e AC .
O segmento MN mede 6 cm.
A área do triângulo ABC mede:
(A) 2
18 3 cm
(B) 2
24 2 cm
(C) 2
30 2 cm
(D) 2
30 3 cm
(E) 2
36 3 cm
18. (ENEM/09) A rampa de um hospital tem na sua parte
mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao
caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou
3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro.
A distância em metros que o paciente ainda deve
caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é
(A) 1,16 metros.
(B) 3,0 metros.
(C) 5,4 metros.
(D) 5,6 metros.
(E) 7,04 metros.

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19. (ENEM CANCELADO/09) A fotografia mostra uma
turista aparentemente beijando a esfinge de Gizé, no
Egito. A figura a seguir mostra como, na verdade, foram
posicionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge.
Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia,
verifica-se que a medida do queixo até o alto da cabeça
da turista é igual a
2
3
da medida do queixo da esfinge até
o alto da sua cabeça. Considere que essas medidas na
realidade são representadas por d e d’, respectivamente,
que a distância da esfinge à lente da câmera fotográfica,
localizada no plano horizontal do queixo da turista e da
esfinge, é representada por b, e que a distância da turista
à mesma lente, por a.
A razão entre b e a será dada por
(A)
b d'
a c

(B)
b 2d
a 3c

(C)
b 3d'
a 2c

(D)
b 2d'
a 3c

(E)
b 2d'
a c

20. (G1 - CFTMG/08) O triângulo ABC da figura foi
construído sobre uma folha de papel quadriculado.
Se MN é paralelo a BC, pode-se afirmar que
AC
AN
é igual
a:
(A)
4
7
(B)
7
4
(C)
8
3
(D) 11
21. (G1 - CPS/08) Leia o texto a seguir.
Tales, o grande matemático do século VI a.C., foi
também um próspero comerciante. Certa vez, visitou o
Egito em viagem de negócios. Nessa ocasião, ele
assombrou o faraó e toda a corte egípcia, medindo a
sombra da pirâmide de Quéops, cuja base é um
quadrado de
230 metros de lado.
Para calcular a altura da pirâmide, Tales fincou
verticalmente no solo uma estaca que ficou com altura de
1 metro acima do solo.
As medidas dos comprimentos da sombra da pirâmide e
da sombra da estaca são, respectivamente, 255 metros e
2,5 metros.
(Adaptado de: JAKUBOVIC, J., CENTURION, M. e LELLIS, M.C.
"Matemática na Medida Certa".Volume. São Paulo: Scipione)

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Com base nas informações do texto e das figuras, é
válido afirmar que a altura da pirâmide, em metros, é
(A) 14,80.
(B) 92,50.
(C) 148.
(D) 925.
(E) 1.480.
22. (FUVEST/05) Na figura, ABC e CDE são triângulos
retângulos, AB = 1, BC = 3 e BE = 2DE. Logo, a medida
de AE é
(A)
( 3)
2
(B)
( 5)
2
(C)
( 7)
2
(D)
( 11)
2
(E)
( 13)
2
23. (FUVEST/05) Na figura a seguir A, B e D são
colineares e o valor da abscissa m do ponto C é positivo.
Sabendo-se que a área do triângulo retângulo ABC é
5
2
,
determine o valor de m.
24. (FUVEST/04) Um lateral L faz um lançamento para
um atacante A, situado 32 m à sua frente em uma linha
paralela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto,
segue uma trajetória retilínea, mas não paralela à lateral
e quando passa pela linha de meio do campo está a uma
distância de 12 m da linha que une o lateral ao atacante.
Sabendo-se que a linha de meio do campo está à mesma
distância dos dois jogadores, a distância mínima que o
atacante terá que percorrer para encontrar a trajetória da
bola será de:
(A) 18,8 m
(B) 19,2 m
(C) 19,6 m
(D) 20 m
(E) 20,4 m

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25. (FUVEST/03) O triângulo ABC tem altura h e base b
(ver figura). Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuja
base é o dobro da altura. Nessas condições, a altura do
retângulo, em função de h e b, é dada pela fórmula:
(A)
 
 
bh
h b
(B)  
 
2bh
h b
(C)  
 
bh
h 2b
(D)  
 
bh
2h b
(E)  
 
bh
2 h b  
26. (FUVEST/02) Na figura a seguir, os triângulos ABC e
DCE são equiláteros de lado ℓ, com B, C e E colineares.
Seja F a intersecção de BD com AC . Então, a área do
triângulo BCF é:
(A)
2
( 3)
8
(B)
2
( 3)
6
(C)
2
( 3)
3
(D)
2
(5 3)
6
(E)
2
(2 3)
3
27. (FUVEST/99) Na figura adiante, as distâncias dos
pontos A e B à reta r valem 2 a 4. As projeções
ortogonais de A e B sobre essa reta são os pontos C e D.
Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá
estar o ponto E, do segmento CD , para que CÊA=DÊB?
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
28. (FUVEST/98) No triângulo acutângulo ABC a base
AB mede 4 cm e a altura relativa a essa base também
mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N
pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao
lado AC. O perímetro desse retângulo, em cm, é
(A) 4
(B) 8
(C) 12
(D) 14
(E) 16

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29. (UNESP/97) Na figura, B é um ponto do segmento de
reta AC e os ângulos DAB, DBE e BCE são retos.
Se o segmento AD = 6 dm, o segmento AC = 11 dm e o
segmento EC = 3 dm, as medidas possíveis de AB, em
dm, são:
(A) 4,5 e 6,5.
(B) 7,5 e 3,5.
(C) 8 e 3.
(D) 7 e 4.
(E) 9 e 2.
30. (UNESP/95) Um obelisco de 12 m de altura projeta,
num certo momento, uma sombra de 4,8 m de extensão.
Calcule a distância máxima que uma pessoa de 1,80 m
de altura poderá se afastar do centro da base do
obelisco, ao longo da sombra, para, em pé, continuar
totalmente na sombra.

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GABARITO:
01. (E)
Determinando o valor de k no triângulo XZP:
K
2
= 120
2
+ 160
2
K = 200 km.
XZP XDYΔ Δ
200 120
2d 360 d 180km
300 d
    
02. Considere a figura.
Como   AB 25 5 5 e   BC 15 5 3, segue que o
triângulo ABC é semelhante ao triângulo retângulo de
lados 5, 3 e 4. Logo,   AC 5 4 20.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ADE,
vem
    
 
 
2 2 2 2 2 2
AD DE AE AE 25 7
AE 576
AE 24.
Como os triângulos ADE e BGC são semelhantes por
AA, temos que

   
GC BC 15 7 35
GC .
24 8DE AE
Logo,     
35 125
AG AD GC 20 .
8 8
Por outro lado, os triângulos ADE e AGF também são
semelhantes por AA. Desse modo,

   
125
24
AF AG 8AF 15.
25AE AD
03. (C)
1 x 15
x x 3000mm 3m
0,005 15 0,005
     
04. Considere a figura abaixo.
Os triângulos retângulos ABC e DEC são semelhantes
por AA.
Portanto, sabendo que AB 21dm,DE 9dm  e
BE 120dm, vem
AB BC 21 120 EC
9DE EC EC
7 EC 360 3 EC
EC 90dm 9 m.

  
    
  
05. (D)
Traçando DF AC, temos que os triângulos DHE e
DGF são semelhantes por AAA.
Se HE x, vem:
x 12
x 1,2 m.
2 20
  
Assim, a altura do suporte em B é:
4 x 4 1,2 5,2 m.   
06. (A)

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MBC MAN
4 x x 12
4x 24 6x 10x 24 x
4 6 5


       
Δ Δ
Portanto, x = 2,4.
07. (A)
2
1 2
3 x
~ x 15
x 5
   Δ Δ
Logo, a área do Quadrado é 15 unid
2
08. (A)
2 2 2
AC 16 12 AC 20   
R 16 R
AOD ~ ACM R 6
12 20
Δ Δ

   
Área que será pintada.
A = 2 2 2
A 450. .R 450.3.6 48600cmπ  
Número de potes = 48600
9
5400

09. (D)
Considere a figura.
Como os triângulos MNS e MPQ são semelhantes,
temos que
(MNS) A 1
.
(MPQ) 3A 3
 
Assim, como a razão entre as áreas é o quadrado da
razão de semelhança, vem
1
1
h 1 3
h .
1 3 3
  
Além disso, os triângulos MNS e MOR também são
semelhantes. Então,
(MNS) A 1
.
(MOR) 2A 2
 
Daí,
1
2
2 2
h 1 3 3 1 6
h .
h 2 h 2 3
    
Portanto, a distância pedida é igual a
2 1
6 3 6 3
h h .
3 3 3

   
10. (E)
Considere a figura.
Como os triângulos NOP e MOQ são semelhantes,
temos

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(NOP) A 2
.
(MOQ) 3A 2 3
 
Sabendo que a razão entre as áreas é igual ao quadrado
da razão de semelhança, vem
1
1
b 2 1 2 6
b .
1 2 3 2 63
    
Portanto, a distância pedida é dada por
1 6 3 6
2 PQ 2 .
2 6 3
  
     
 
11. (E)
2
MNC
ABC
S 1
S 2
 
  
 
SABC = 4.SMNC
SABMN= SABC – SMNC =
SABMN = 4.SMNC - SMNC
SABMN = 3. SCMN (TRIPLO)
12. Cálculo da medida da sombra da árvore.
mx
x
5,25
36
4,142,10

Aplicando teorema de Tales, temos:
md
d
4,6
255
16
2,10

13.
yy
xx




8,0
4,0
9,0
2,1
~~ 321
Aplicando a propriedade da proporção
Nas duas últimas razões:
yy
xx




8,0
4,0
9,0
2,1
8,0
4,0
9,0
2,1 

 xx
Resolvendo temos: x = 6/17
Resposta x = 6/17 m
14. (A)
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo RST,
temos:
2 2 2
z 3 5 z 4.   
RST ~ RPQΔ Δ , logo:
3 4
4x 30 x 7,5
x 6 4
    

Portanto, PQ = 7,5 cm.
15. (C)
Considerando x a altura do prédio, temos:
ABF ~ ACE
20 12
20 x 12 36
20 1
20 x 4
x 60 m
Δ Δ

 



16. (A)

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(AC)
2
= 4
2
+ 3
2
 AC = 5
∆DBE ~ ∆ABC 
5
2
3
34

yx
 x = 1,2 e y = 0,9
A base do paralelogramo será 3 – 0,9 = 2,1 e sua altura
será x = 1,2
Logo sua área será A = 2,1. 1,2 =
25
63
100
252
10
12
10
21

17. (E)
 AMN ~  ABC
logo, BC = 2.6 = 12
Área do  ABC =
4
312 2
= 336 cm
2
18. (D)
mxx
x
6,52,3.2,2)2,3(8,0
2,2
8,0
2,3
2,3


19. (D)
Na figura o ∆BC ~ ∆ADE logo
c
d
a
b
 como d =
3
2
.d
‘
Temos
2c
2d
a
b '

20. (B)
21. (C)
.m148x
5,2
370
1
x
:DCE~VAC

ΔΔ
22. (C)
23. m = 2 + (5 2)
2
 
 
  
24. (B)
25. (D)
26. (A)
27. (A)
28. (B)
29. (E)
30. 4,08 m

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