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Caro Professor,

Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da
rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de
todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir
de 2010.

As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por
leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que
postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note
também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações
mais recentes.

Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise
as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.

Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostas
no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010,
utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.

Bom trabalho!

Equipe São Paulo faz escola.




                                                                                     1
GABARITO

                     Caderno do Aluno de Matemática – 2ª série – Volume 1




  SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

  O RECONHECIMENTO DA PERIODICIDADE




Páginas 4 - 10



    1. Uma possível resposta:




                 1  0,1 0,9
2. Amplitude:                0,45 m .
                    2     2
   Período: 1 ano.


3. Imagem: {y  R / 0,1 ≤ y ≤ 1,0}.


                                                                            2
As sombras longas

4.
     a) Não, pois ao nascer e ao pôr do sol, os raios solares que tocam o topo da estaca e
     produzem a sombra são paralelos ao solo onde está a estaca, tornando o comprimento
     da sombra muito grande, não podendo mais ser medido.


     b) Uma possível resposta:




     c) Período: 24 horas


5.
     a)   Período: 2, imagem: [–1; +1], amplitude: 1
     b) Período: 4, imagem: [–4; +4], amplitude: 4
     c) Período: 2, imagem: [–3; +3], amplitude: 3




                                                                                        3
Páginas 10 - 11
1.
     a) Uma possível resposta:
          
             Comprimento da Mola


             60


             40


             20

                                                                                   tempo
             0
                  0,0 s   0,5 s    1,0 s   1,5 s   2,0 s   2,5 s   3,0 s   3,5 s   4,0 s




     b) Período: 2 / Amplitude: 20


2.
     a) Função 1 (período 8)
     b) Função 2 (amplitude 2)




                                                                                           4
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

     A PERIODICIDADE E O MODELO DA CIRCUNFERÊNCIA
     TRIGONOMÉTRICA




Páginas 17 - 19
1.




2.  = 135º e  = 150º


3.  = 300º e  = 330º


4.




                                                    5
Páginas 20 - 21
1.




2. 210º e 240º


3. 45º e 225º




Páginas 21 - 26
1.
                                  2                 2
     a) x = m 2     sen 45 o         cos 45 o 
                                 2                 2


              m 3                 3                1
     b) x =         sen 60 o         cos 60 o 
               2                 2                 2

                                                        6
m 3                 1                         3
     c) x =            sen 30 o                cos 30 o 
                 2                  2                        2


2.
     a) e b)




     c)

          Ângulo (º)   0   30º      45º   60º    90º    120º      135º   150º   180º

               Seno    0   0,5      0,7   0,9      1     0,9      0,7    0,5     0

          Cosseno      1   0,9      0,7   0,5      0    –0,5      –0,7   –0,9   –1




                                                                                       7
Ângulo (º)   210º   225º   240º     270º   300º   315º   330º     360º

             Seno      –0,5   –0,7   –0,9      –1    –0,9   –0,7   –0,5      0

          Cosseno      –0,9   –0,7   –0,5      0      0,5    0,7    0,9      1



3.




Página 27
1.
             2
     a)                       b)     0                      c)     0
            2
             3                            3                             3
     d)                       e)                           f)     
            2                            2                             2


2.
     a) Não.
     b) Sim.
     c) Sim.

                                                                                   8
d) Não.




Páginas 27 - 31
1.
                 comprimento
     a)                     3,14159
                   diâmetro
                 comprimento comprimento          comprimento
     b)                                                    2  6,28318
                   diâmetro      2r                    r


2.
     a) Observando o desenho, meia circunferência equivale a, aproximadamente, 3,14
     rad.
     b) Uma semicircunferência é equivalente a meia circunferência, como verificamos
     no item (a); a medida de meia circunferência equivale a, aproximadamente, 3,14 rad.


3.
     a) 1,5 rad
     b) 1,5 rad


4.
     a)      rad
            
     b)         rad
            3
            2
     c)        rad
             3


5.
                 2 
     a)            rad, isto é, 45º
                  8  4
                                    2                          3
     b) AB =              rad   AC =        rad           AD =      rad
                 4                    4    2                       4
     AF      = 5 rad              AH 7 = rad
                4                       4
                                                                                       9
6.
     a) A medida do arco AC é cerca de 3,14 vezes maior do que a medida do arco AB.
                                      3
     b) O arco AD mede                   radianos, medida essa que é, aproximadamente, 4,7
                                       2
     radianos. Portanto, o arco AD é cerca de 4,7 vezes maior do que o arco AB.
     c) Um arco de comprimento igual à circunferência mede 2 radianos, ou,
     aproximadamente, 6,28 radianos. Assim, são necessários cerca de 6,28 arcos de
     medida igual à do arco AB para completar uma volta da circunferência.


7.
                                   5                      7                    11
     A:             B:                    C:                 D: 2        
          6                  6        6               6        6             6        6
                                   3                      5                    7
     E:             F:                    G:                 H: 2        
          4                  4        4               4        4             4        4
                                   2                      4                    5
     I:             J:                    L:                 M: 2        
          3                  3        3               3        3             3        3
                                   4                      6                    9
     N:             P:                    Q:                 R: 2        
          5                  5        5               5        5             5        5




Páginas 31 - 32
1.
              19        31
                   2 
               6          6
     a)
              23        35
                   2 
               6          6


              31        43
                   2 
               6          6
     b)
              35        47
                   2 
               6          6




                                                                                           10
2.
                     5                             5 13        17
     a)           e                      b)       ,      ,     e
          2            2                      6        6   6         6
                 2       7       8
     c)       ,      ,          e        d)   0,  , 2 , 3       e 4
          3        3        3        3




                                                                          11
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

     GRÁFICOS DE FUNÇÕES PERIÓDICAS ENVOLVENDO SENOS E
     COSSENOS




Páginas 35 - 41
1.




Tabela 1




                                                     12
Tabela 2




2 e 3. A constante A está relacionada à amplitude da onda, isto é, à distância entre o
     eixo horizontal e o valor máximo ou mínimo da função. A imagem da função, nesse
     caso, será o intervalo
     [–A, +A], se A > 0.


4.




                                                                                   13
 x
5. O período da função y = cosx é 2, enquanto o período da função y = cos   é 4.
                                                                           2
6.
     a)




                                                                                   14
b)




7.
     a)




          15
b)

                  Comparação entre os dois gráficos
                                                          x
            Função          y = senx       y = –1 + 2sen  
                                                         2
                                                2
            Período           2                1  = 4
                                                
                                               2

           Imagem           [–1; +1]            [–3; +1]

          Amplitude            1                   2




Páginas 41 - 42
1.

                                                               x
           Função           y = 2 + senx         y = 1 + 2cos  
                                                              4

           Período                 2                      8

           Imagem             [+1; +3]                 [–1; +3]

          Amplitude                1                       2



                                                                     16
2. A = 5
     2                   1
         24      B
      B                  12
               x
     y  5 sen 
               12 




Páginas 43 - 47


1 e 2.
 




                                                             y = 5senx

                                                   y = senx




                                               y = ‐ 3senx




3. Varia a amplitude do gráfico e, portanto, também a imagem da função.


4.
     a)   R
     b) [–A; +A]
     c) 2




                                                                          17
5.




                                           y = senx       y = sen4x




                                              y = sen2x




6. A diferença está no período das funções.


7.




                                y = senx                  y = sen(x/2)   y = sen(x/4)




                                                                                        18
8.




                       y = cos(x/2)    y = cos(2x)




                                      y = cosx




9.
     a) R
     b) [–A; +A]
          2
     c)
           B


10.
     a) R
     b) [–5; +5]
          
     c)        e 10
          2




                                                 19
Página 48
1. A amplitude da projeção vertical é igual a 4 cm, correspondente à medida do raio da
   circunferência. O período, isto é, o tempo para o corpo completar uma volta na
   circunferência, é igual a 2 segundos, o que permite concluir que o valor da constante
   B é, nesse caso, igual a . Associando a medida da projeção (P) sobre o eixo vertical
   ao valor do seno do arco, podemos escrever a seguinte equação: P = 4sen(t), na
   qual t é dado em segundos e P em centímetros.
   O gráfico da situação, para três períodos do movimento, é este:




                                                                                     20
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

     EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRIAS




Páginas 50 - 51
1.
     a) Adotando x = 90, para facilitar os cálculos correspondentes ao número de dias
                                35 7      2 .90 
     do período, tem-se: N        . sen         . Aproximando 365  360, temos:
                                 3 3      365 
          35 7      
     N        sen . Portanto, N  14 horas.
           3  3     2


     b) Adotando x = –90, visto que junho antecede setembro em três meses, e adotando
     a simplificação realizada no item anterior, temos:
          35 7            35 7          28
     N        sen( )       (1)      9,3 horas
           3  3       2     3  3         3


                 35 7     2x        2 . x  4
     c)   13       .sen       sen           0,6 . Precisamos responder: qual é
                  3 3     365        365  7
     o arco, em radianos, cujo seno é igual a 0,6? A resposta, de acordo com a calculadora
                                  2 . x
     científica, é 0,64. Assim,           0,64  x  37,2 Para encontrar o dia desejado,
                                   365
     precisamos contar 37 dias a partir de 23 de setembro. Feito isso, obteremos 30 de
     outubro.




                                                                                       21
A periodicidade da pressão sanguínea

Página 51
2. Professor, solicite aos alunos que analisem o gráfico e indiquem a imagem,a
                                                                     120 80
     amplitude e o período da função. Imagem 80,120 ; amplitude             20 ; período
                                                                        2
              3
     0,75 =
              4
3.
     a)
                            8 . t                          8 .2 
     P (t )  100  20. cos          P (2)  100  20. cos           P (2)  100  20. ( 0,5) 
                            3                               3 
     P (2)  100  10  P (2)  110 mmHg


     b)


                                  8 . t        8 . t            8 . t            
     P(t )  100  100  20 . cos          cos          0  cos          cos  k  
                                  3             3                 3            2     
     8 . t                    3  6k
             k  t                   , k Z
      3       2                   16

     Os possíveis valores de k, neste caso, são 0, 1 e 2, de modo que os valores de t serão:
      3 9   15
       ,  e    segundos.
     16 16 16




Páginas 52 - 53


1.
                       2 (146  101)                       
     a)   T  50. sen                 7       T  50. sen   7  T  42       ºF   ou
                            360                            4
          10
     T        5,5 º C .
          1,8



                                                                                         22
b) A temperatura máxima ocorrerá quando o valor do seno for máximo, isto é, for
                                                                  25
   igual a 1. Portanto, a temperatura máxima será 57 ºF, ou            14 º C . Para que o
                                                                  1,8
                                                                                   
   valor do seno seja igual a 1 é preciso que o arco seja igual a                      rad.
                                                                                   2
            2 . t  101 
   Assim,                   t  191 . Assim, a temperatura máxima da cidade será de
                 360       2
   14º C, 191 dias após 1º de janeiro, isto é, por volta de 10 de julho.
   c)     Não, pois a temperatura máxima da cidade é 14 ºC, no mês de julho. Portanto a
   cidade está localizada em um país do Hemisfério Norte, em latitude alta, como, por
   exemplo, Finlândia ou Noruega.


Desafio !

Página 56

                    2 t 
1. y  1,8  0,5sen       , com t em dias e y em metros.
                    13 


                    2 .39 
2. y  1,8  0,5sen          1,8  0,5sen(6 )  1,8 m
                    13 
                       2 .t           2 .t               2 .t 
3. 2,05 = 1,8 + 0,5sen         0,5sen        = 0,25  sen        = 0,5 
                       13              13                  13 
   2              2    5                                13
      t    2k ou    t     2k , isolando t, temos: t =     13k , ou t =
   13    6          13     6                                12
   65
       13k Atribuindo valores naturais para k, obtém-se os valores de t no intervalo
   12
   que se desejar.




                                       AJUSTES

                  Caderno do Professor de Matemática – 2ª série – Volume 1

   Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada
página.
                                                                                        23
desenhar um gráfico que reflita a periodici-                           Como, em média, são duas obser-
     dade e que possa ser modelado por uma fun-                             vações por dia, o período do grá-
     ção trigonométrica. Observe, por exemplo, o                            fico, em dias, é aproximadamente
     gráfico do porto do Recife durante um perío-                           igual a 13 dias. Assim, a constante
     do de dois meses. No eixo horizontal estão                                  2π
                                                                            B=      .
     assinalados os números de observações, cujo                                 13
     valor máximo chega próximo de 120, o que é                                     Tábua de marés - Recife
     razoável visto que ocorrem, em média, duas                                      agosto/setembro 2004
                                                                 altura (m)
     marés altas por dia, e o período do gráfico                 2,5
     compreende 2 meses.
                                                                  2
                                                                 1,5
                       Tábua de marés - Recife
                                                                  1
                        agosto/setembro 2004                                                              51 – 25
     altura (m)                                                  0,5
     2,5
                                                                  0
      2                                                                1 11    21    31   41   51    61   71 81     91 101 111

     1,5
      1                                                                a)	 De acordo com as simplificações rea-
                                                                           lizadas, qual é a equação da função
     0,5                                                                   que pode ser representada por esse
      0                                                                    gráfico?
           1 11   21    31   41   51   61   71 81   91 101 111
                                                                                         2π
                                                                       y = 1,8 + 0,5sen      t, com t em dias e y em
                                                                                         13
        Podemos obter a equação desse gráfico,                         metros.
     do tipo y = C + AsenBx, se fizermos algumas
                                                                       b)	 Qual será a altura da maré no 39º dia
                                                                                                           -
     simplificações:                                                       de observação?
           ff adotar que o gráfico é uma senoide.                      1,8 m.

           ff traçar uma linha horizontal para iden-
                                                                       c)	 Quais serão os dias em que a maré alta
              tificar a constante C da equação. No                         atingirá 2,05 m de altura?
              caso, C ≅ 1,8.
                                                                                                    2π         2π
           ff identificar o valor da amplitude A ≅ 0,5.                2,05 = 1,8 + 0,5sen             t ⇒ sen    t = 0,5
                                                                                                    13         13
           ff deslocar a origem do sistema para o                           2π    π
                                                                       ⇒       t=   + 2kπ
              ponto de observação nº 25, de maneira
                                     -                                      13    6
              que todos os demais valores de observa-                         2π    5π
              ção passem a ser subtraídos de 25.                       ou        t=    + 2kπ . (Isolando t, tem-se:
                                                                              13     6
           ff identificar o período do gráfico, corres-                       13               65
              pondente, nesse caso, a 26 observações.                  t=        + 13k, ou t =    + 13k. Atribuindo
                                                                              12               12

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  • 1. Caro Professor, Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 2010. As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes. Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas. Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento. Bom trabalho! Equipe São Paulo faz escola. 1
  • 2. GABARITO Caderno do Aluno de Matemática – 2ª série – Volume 1 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 O RECONHECIMENTO DA PERIODICIDADE Páginas 4 - 10 1. Uma possível resposta: 1  0,1 0,9 2. Amplitude:   0,45 m . 2 2 Período: 1 ano. 3. Imagem: {y  R / 0,1 ≤ y ≤ 1,0}. 2
  • 3. As sombras longas 4. a) Não, pois ao nascer e ao pôr do sol, os raios solares que tocam o topo da estaca e produzem a sombra são paralelos ao solo onde está a estaca, tornando o comprimento da sombra muito grande, não podendo mais ser medido. b) Uma possível resposta: c) Período: 24 horas 5. a) Período: 2, imagem: [–1; +1], amplitude: 1 b) Período: 4, imagem: [–4; +4], amplitude: 4 c) Período: 2, imagem: [–3; +3], amplitude: 3 3
  • 4. Páginas 10 - 11 1. a) Uma possível resposta:   Comprimento da Mola 60 40 20 tempo 0 0,0 s 0,5 s 1,0 s 1,5 s 2,0 s 2,5 s 3,0 s 3,5 s 4,0 s b) Período: 2 / Amplitude: 20 2. a) Função 1 (período 8) b) Função 2 (amplitude 2) 4
  • 5. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 A PERIODICIDADE E O MODELO DA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA Páginas 17 - 19 1. 2.  = 135º e  = 150º 3.  = 300º e  = 330º 4. 5
  • 6. Páginas 20 - 21 1. 2. 210º e 240º 3. 45º e 225º Páginas 21 - 26 1. 2 2 a) x = m 2 sen 45 o  cos 45 o  2 2 m 3 3 1 b) x = sen 60 o  cos 60 o  2 2 2 6
  • 7. m 3 1 3 c) x = sen 30 o  cos 30 o  2 2 2 2. a) e b) c) Ângulo (º) 0 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º Seno 0 0,5 0,7 0,9 1 0,9 0,7 0,5 0 Cosseno 1 0,9 0,7 0,5 0 –0,5 –0,7 –0,9 –1 7
  • 8. Ângulo (º) 210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º Seno –0,5 –0,7 –0,9 –1 –0,9 –0,7 –0,5 0 Cosseno –0,9 –0,7 –0,5 0 0,5 0,7 0,9 1 3. Página 27 1. 2 a) b) 0 c) 0 2 3 3 3 d) e)  f)  2 2 2 2. a) Não. b) Sim. c) Sim. 8
  • 9. d) Não. Páginas 27 - 31 1. comprimento a)   3,14159 diâmetro comprimento comprimento comprimento b)     2  6,28318 diâmetro 2r r 2. a) Observando o desenho, meia circunferência equivale a, aproximadamente, 3,14 rad. b) Uma semicircunferência é equivalente a meia circunferência, como verificamos no item (a); a medida de meia circunferência equivale a, aproximadamente, 3,14 rad. 3. a) 1,5 rad b) 1,5 rad 4. a)  rad  b) rad 3 2 c) rad 3 5. 2  a)   rad, isto é, 45º 8 4  2  3 b) AB = rad AC =  rad AD = rad 4 4 2 4 AF = 5 rad AH 7 = rad 4 4 9
  • 10. 6. a) A medida do arco AC é cerca de 3,14 vezes maior do que a medida do arco AB. 3 b) O arco AD mede radianos, medida essa que é, aproximadamente, 4,7 2 radianos. Portanto, o arco AD é cerca de 4,7 vezes maior do que o arco AB. c) Um arco de comprimento igual à circunferência mede 2 radianos, ou, aproximadamente, 6,28 radianos. Assim, são necessários cerca de 6,28 arcos de medida igual à do arco AB para completar uma volta da circunferência. 7.   5  7  11 A: B:    C:    D: 2   6 6 6 6 6 6 6   3  5  7 E: F:    G:    H: 2   4 4 4 4 4 4 4   2  4  5 I: J:    L:    M: 2   3 3 3 3 3 3 3   4  6  9 N: P:    Q:    R: 2   5 5 5 5 5 5 5 Páginas 31 - 32 1. 19 31  2  6 6 a) 23 35  2  6 6 31 43  2  6 6 b) 35 47  2  6 6 10
  • 11. 2.  5  5 13 17 a) e b) , , e 2 2 6 6 6 6  2 7 8 c) , , e d) 0,  , 2 , 3 e 4 3 3 3 3 11
  • 12. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 GRÁFICOS DE FUNÇÕES PERIÓDICAS ENVOLVENDO SENOS E COSSENOS Páginas 35 - 41 1. Tabela 1 12
  • 13. Tabela 2 2 e 3. A constante A está relacionada à amplitude da onda, isto é, à distância entre o eixo horizontal e o valor máximo ou mínimo da função. A imagem da função, nesse caso, será o intervalo [–A, +A], se A > 0. 4. 13
  • 14.  x 5. O período da função y = cosx é 2, enquanto o período da função y = cos   é 4. 2 6. a) 14
  • 15. b) 7. a) 15
  • 16. b) Comparação entre os dois gráficos  x Função y = senx y = –1 + 2sen   2 2 Período 2  1  = 4   2 Imagem [–1; +1] [–3; +1] Amplitude 1 2 Páginas 41 - 42 1.  x Função y = 2 + senx y = 1 + 2cos   4 Período 2 8 Imagem [+1; +3] [–1; +3] Amplitude 1 2 16
  • 17. 2. A = 5 2 1  24  B B 12  x y  5 sen   12  Páginas 43 - 47 1 e 2.   y = 5senx y = senx y = ‐ 3senx 3. Varia a amplitude do gráfico e, portanto, também a imagem da função. 4. a) R b) [–A; +A] c) 2 17
  • 18. 5. y = senx y = sen4x y = sen2x 6. A diferença está no período das funções. 7. y = senx y = sen(x/2) y = sen(x/4) 18
  • 19. 8. y = cos(x/2) y = cos(2x) y = cosx 9. a) R b) [–A; +A] 2 c) B 10. a) R b) [–5; +5]  c) e 10 2 19
  • 20. Página 48 1. A amplitude da projeção vertical é igual a 4 cm, correspondente à medida do raio da circunferência. O período, isto é, o tempo para o corpo completar uma volta na circunferência, é igual a 2 segundos, o que permite concluir que o valor da constante B é, nesse caso, igual a . Associando a medida da projeção (P) sobre o eixo vertical ao valor do seno do arco, podemos escrever a seguinte equação: P = 4sen(t), na qual t é dado em segundos e P em centímetros. O gráfico da situação, para três períodos do movimento, é este: 20
  • 21. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRIAS Páginas 50 - 51 1. a) Adotando x = 90, para facilitar os cálculos correspondentes ao número de dias 35 7  2 .90  do período, tem-se: N   . sen  . Aproximando 365  360, temos: 3 3  365  35 7  N   sen . Portanto, N  14 horas. 3 3 2 b) Adotando x = –90, visto que junho antecede setembro em três meses, e adotando a simplificação realizada no item anterior, temos: 35 7  35 7 28 N   sen( )    (1)   9,3 horas 3 3 2 3 3 3 35 7  2x   2 . x  4 c) 13   .sen   sen    0,6 . Precisamos responder: qual é 3 3  365   365  7 o arco, em radianos, cujo seno é igual a 0,6? A resposta, de acordo com a calculadora 2 . x científica, é 0,64. Assim,  0,64  x  37,2 Para encontrar o dia desejado, 365 precisamos contar 37 dias a partir de 23 de setembro. Feito isso, obteremos 30 de outubro. 21
  • 22. A periodicidade da pressão sanguínea Página 51 2. Professor, solicite aos alunos que analisem o gráfico e indiquem a imagem,a 120 80 amplitude e o período da função. Imagem 80,120 ; amplitude  20 ; período 2 3 0,75 = 4 3. a)  8 . t   8 .2  P (t )  100  20. cos   P (2)  100  20. cos   P (2)  100  20. ( 0,5)   3   3  P (2)  100  10  P (2)  110 mmHg b)  8 . t   8 . t   8 . t    P(t )  100  100  20 . cos   cos   0  cos   cos  k    3   3   3  2  8 . t  3  6k   k  t  , k Z 3 2 16 Os possíveis valores de k, neste caso, são 0, 1 e 2, de modo que os valores de t serão: 3 9 15 , e segundos. 16 16 16 Páginas 52 - 53 1.  2 (146  101)    a) T  50. sen  7  T  50. sen   7  T  42 ºF ou  360  4 10 T  5,5 º C . 1,8 22
  • 23. b) A temperatura máxima ocorrerá quando o valor do seno for máximo, isto é, for 25 igual a 1. Portanto, a temperatura máxima será 57 ºF, ou  14 º C . Para que o 1,8  valor do seno seja igual a 1 é preciso que o arco seja igual a rad. 2 2 . t  101  Assim,   t  191 . Assim, a temperatura máxima da cidade será de 360 2 14º C, 191 dias após 1º de janeiro, isto é, por volta de 10 de julho. c) Não, pois a temperatura máxima da cidade é 14 ºC, no mês de julho. Portanto a cidade está localizada em um país do Hemisfério Norte, em latitude alta, como, por exemplo, Finlândia ou Noruega. Desafio ! Página 56  2 t  1. y  1,8  0,5sen  , com t em dias e y em metros.  13   2 .39  2. y  1,8  0,5sen   1,8  0,5sen(6 )  1,8 m  13   2 .t   2 .t   2 .t  3. 2,05 = 1,8 + 0,5sen   0,5sen  = 0,25  sen  = 0,5   13   13   13  2  2 5 13 t  2k ou t  2k , isolando t, temos: t =  13k , ou t = 13 6 13 6 12 65  13k Atribuindo valores naturais para k, obtém-se os valores de t no intervalo 12 que se desejar. AJUSTES Caderno do Professor de Matemática – 2ª série – Volume 1 Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada página. 23
  • 24. desenhar um gráfico que reflita a periodici- Como, em média, são duas obser- dade e que possa ser modelado por uma fun- vações por dia, o período do grá- ção trigonométrica. Observe, por exemplo, o fico, em dias, é aproximadamente gráfico do porto do Recife durante um perío- igual a 13 dias. Assim, a constante do de dois meses. No eixo horizontal estão 2π B= . assinalados os números de observações, cujo 13 valor máximo chega próximo de 120, o que é Tábua de marés - Recife razoável visto que ocorrem, em média, duas agosto/setembro 2004 altura (m) marés altas por dia, e o período do gráfico 2,5 compreende 2 meses. 2 1,5 Tábua de marés - Recife 1 agosto/setembro 2004 51 – 25 altura (m) 0,5 2,5 0 2 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 1,5 1 a) De acordo com as simplificações rea- lizadas, qual é a equação da função 0,5 que pode ser representada por esse 0 gráfico? 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 2π y = 1,8 + 0,5sen t, com t em dias e y em 13 Podemos obter a equação desse gráfico, metros. do tipo y = C + AsenBx, se fizermos algumas b) Qual será a altura da maré no 39º dia - simplificações: de observação? ff adotar que o gráfico é uma senoide. 1,8 m. ff traçar uma linha horizontal para iden- c) Quais serão os dias em que a maré alta tificar a constante C da equação. No atingirá 2,05 m de altura? caso, C ≅ 1,8. 2π 2π ff identificar o valor da amplitude A ≅ 0,5. 2,05 = 1,8 + 0,5sen t ⇒ sen t = 0,5 13 13 ff deslocar a origem do sistema para o 2π π ⇒ t= + 2kπ ponto de observação nº 25, de maneira - 13 6 que todos os demais valores de observa- 2π 5π ção passem a ser subtraídos de 25. ou t= + 2kπ . (Isolando t, tem-se: 13 6 ff identificar o período do gráfico, corres- 13 65 pondente, nesse caso, a 26 observações. t= + 13k, ou t = + 13k. Atribuindo 12 12 54