Ângulos e suas propriedades

Matemática e suas Tecnologias
Geometria Plana
Ensino Médio, 1º Série
Ângulos

Você sabia que...
...a reta é um conjunto infinito de pontos?
...é usual representar os pontos por letras maiúsculas (A,B,C,...,M,N,...)
E as retas por letras minúsculas (r,s,t,...)?
Obs: Nos conjuntos numéricos, a convenção é inversa: as letras
Maiúsculas designam conjuntos e as letras minúsculas os seus
elementos.
...Por dois pontos distintos A e B, passa uma única reta r ou AB?
Reta: r ou AB
Semi-retas: ou CA e ou CB
A E e
P Ɇ r
A C B
•P
r
| | |

C D m(PQ) = 3
(lê-se: a medida de PQ é igual a 3)
A P u u u Q B
r
| | | | | |
u
1cm
...Na figura estão definidas as semi-retas CA e, CB cuja origem comum é o ponto C?
... A reta ou AB é o suporte das semi-teras CA ou CB?
... A poção de uma reta r, definidas por dois de seus pontos P e Q, é chamada
segmento, e é representada por ou PQ?
... Medir um segmento é compará-lo com outro tomado como unidade?
... O número, resultante da medida de um segmento, é também chamado de distância
entre os dois pontos? T
... É comum dizer-se que o segmento PQ mede 3cm?
...isto significa que o resultado da medida é 3, adotando-se o centímetro como
unidade?

... neste caso, usando a notação (representação) simplificada, podemos
escrever - MN ≡ RS
... os segmentos definidos na mesma reta (isto é, que têm na mesma reta
suporte) são denominados colineares?
(adotando-se a mesma unidade)?
MN ≡ RS (lê-se: MN é congruente a RS)
M N R S
r
| | | | | |
... É usual representar-se a medida do segmento de extremos P e Q.
Simplesmente por PQ ao invés de m (PQ)?
... Os segmentos da figura seguinte são chamados congruentes, porque apresentam a
mesma medida (adotando-se a mesma unidade)?
Segmentos colineares: AB, CD e EF
A B C D E F
r
| | | | | |

... os segmentos da figura a seguir são consecutivos, porque, considerados dois a dois,
só possuem um extremo em comum?
M
N
P
Q
Segmentos consecutivos:
MN ᵔ NP = (N)
NP ᵔ PQ = (P)
... O plano é, também, um conjunto infinito de pontos?
... Na sua representação são usadas letras do alfabeto grego (α – alfa, β – beta,
γ – gama, ...)?
... um plano contém uma infinidade de retas?
... as retas que estão no mesmo plano são chamadas coplanares?
Plano (α)
(α)
r ⊂ α
s ⊂ α
t ⊂ α
r, s e t São coplanares
r s t

... as retas coplanares que não tem ponto em comum são denominadas paralelas?
...as retas concorrentes ou incidentes são coplanares e apresentam somente um ponto
em comum?
... duas retas representadas pelo mesmo conjunto de pontos são chamadas
coincidentes (ou não-distintas)?
... traçando uma reta, no chão de sua casa, e outra no teto, elas não se
encontram, e, entretanto, pode não ser paralelas? Examine a figura seguinte
r ⊂ α
s ⊂ α
r ᵔ s = ø
Retas paralelas: r e s r // s
Retas concorrentes: p e q { p ᵔ q = {A}
Retas coincidentes: u e t { u ᵔ t = u ᵕ t
(α)
r s
U
t
p
q
A

... qualquer reta de um plano divide esse plano em regiões, denominadas
semiplanos?
... ponto, reta e plano são conceitos primitivos, isto é, não são definidos?
(α)
(β)
r
s
(α1) (α2)
r
r é a origem comum dos semiplanos
(α1) e (α2)

... ponto, reta e plano são conceitos primitivos, isto é, não são definidos?
M
N
P
Q
Segmentos consecutivos:
MN ᵔ NP = (N)
NP ᵔ PQ = (P)
... O plano é, também, um conjunto infinito de pontos?
... Na sua representação são usadas letras do alfabeto grego (α – alfa, β – beta,
γ – gama, ...)?
... um plano contém uma infinidade de retas?
... as retas que estão no mesmo plano são chamadas coplanares?
Plano (α)
(α)
r ⊂ α
s ⊂ α
t ⊂ α
r, s e t São coplanares
r s t

POSTULADO – TEOREMA
As sentenças (matemáticas ou não) podem ser classificadas em dois grupos:
Postulados (ou Axiomas) - sentenças que são aceitas como verdadeiras sem prova.
São evidentes por si mesmas.
M
•
•
•
P
r
B
A
s

Exemplos:
1 - "A reta é ilimitada nos dois sentidos."
2 - "Por um ponto passa uma infinidade de retas."
3 - "Por dois pontos distintos passa uma e somente uma reta."
(α)
•
•
B
A
r
(α)

2.1 – DEFINIÇÃO
Ângulo é a figura formada por duas semi-retas de mesma origem
(α)
O
A
B
E
I
Ângulo AOB = OA ᵕ OB
I Região interna
E Região externa

2.2 – ÂNGULOS CONGRUENTES
São aqueles que podem coincidir por superposição
B
A
C
E
F D
ABC ≡ DEF
(lê-se: o ângulo ABC é congruente
ao ângulo DEF)

2. 3 – BISSETRIZ DE UM ÂNGULO
É a semi-reta que divide o ângulo em dois outros congruentes
Obs.: É comum assinalar os ângulos congruentes com igual número de traços
B
A
C
O
OC (bissetriz) AOC ≡ COB

2. 4 – RETAS PERPENDICULARES: ÂNGULO RETO
Duas retas são perpendiculares quando são concorrentes e formam quatro ângulos
congruentes.
Denomina-se ângulo reto a qualquer um desses ângulos. Representa-se por r ou ( )
Obs.: Se os ângulos não forem congruentes (DEB e DEO), as retas são oblíquas.
D
E B
C
O
A
BOD ≡ DOA ≡ AOC ≡ COB ≡ 1r
CD AB (lê-se: CD é perpendicular a AB)
DE AB (lê-se: DE é oblíqua a AB)

2.5 – MEDIDA DE ÂNGULOS (Sistema
sexagésima)
Grau 0 1° = 1r/90
Minuto ‘ 1’ = 1°/60
Segundo “ 1” = 1’/60

2.6 – ÂNGULOS COVEXOS
São aqueles cuja medida está compreendida entre 0° e 180°.
Entre os ângulos convexos, distinguimos:
2. 7 – ÂNGULOS CÔNCAVOS (ou NÃO-CONVEXOS)
São aqueles cuja medida está compreendida entre 180° e 360°
C
B
A
E
F
D H G
I
Reto Agudo Obtuso
ABC = 90° 0° < DEF < 90° 90° < GHI < 180°
AOB > 180°
A
B
O

2.8 – ÂNGULOS COMPLEMENTARES, SUPLEMENTARES REPLEMENTARES
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°
(1 reto).
Neste caso, cada um deles diz-se complemento do outro.
Exemplo: O complemento de 28° é 62°, porque 28° + 62° = 90°.
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°
(2 retos).
Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°
(4 retos).
Daí, representando a medida de um ângulo por x, teremos:
Complemento 90° - x
Suplemento 180° - x
Replemento 360° - x

2.9 – ÂNGULOS ADJACENTES
dois ângulos são adjacentes quando têm o mesmo vértice e um lado comum,
compreendido entre os não-comuns
115°
35°
30°
C
B
A
O
D
AOB e BOC ; lado comum: OB
AOC e BOD ; lado comum: OB
AOC e COD ; lado comum: OC
Da figura acima você conclui que:
AOC + COD = 180°
De um modo geral, podemos dizer:
Teorema: “Dois ângulos adjacentes, que têm os lados não comuns em
linha reta, são suplementares.”

2.10 - ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE (O.P. V.)
Dois ângulos são opostos pelo vértice, quando o lado de um deles são as semi-retas
opostas dos lados do outro
2.11 – TEOREMA
"Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes."
Na figura acima temos: a = b ; c = d
C B
D
A
O
d
b
c
a
AOC e BOD
AOD e BOC

2. 12 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 – reduza à fração de grau: a) 20° 36
b) 45° 12'
2 – Reduza à 4'48" a segundos.
60’ → 1°
Solução: a) → x = 36/60 = Logo: 20° 36' = 20° + 0,6° = 20,6°
36’ → x
Observação:
1° → 60’
Da proporcionalidade , concluímos que 0,1° = 6’
0,1° → x
b) pela observação, resulta: 12’ = 0,2°
assim: 45° 12’ = 45° + 0,2° = 45,2°
1’ → 60”
Solução: → x = 240” Logo: 4'48" = 240" + 48" = 248"
4’ → x

3.1 ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS
Dois ângulos de lados paralelos são:
Congruentes - se ambos forem agudos, retos ou obtusos
Suplementares - se ambos retos ou se um deles for agudo e o outro obtuso
a ≡ b c ≡ d
e
b
c
d
f
e + f 180°
a

3.2- ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
Dois ângulos de lados perpendiculares são:
Congruentes - se ambos agudos, retos ou obtusos
Suplementares - se ambos forem retos ou se um deles for agudo e o outro obtuso
n
m
p
q
m = n p + q = 180°

3 - DUAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL
Região externa
Região externa
Região interna
b t
a
r
A
c
e
s
h
B
f
g
Paralelas: r e s
Transversais: t

Os pares de ângulos (um com vértice em A e outro em B) são definidos da seguinte
forma:
Do mesmo lado da transversal
Ambos na região interna: Colaterais Internos
(d;e) (c;f)
Ambos na região externa: Colaterais Externos
(a;h) (b;g)
Uma na região interna e outro na externa: Correspondentes
(a;e) (b;f) (d;h) (c;g)
Em lados opostos da transversal
Ambos na região interna: Alternos Internos
(c;e) (d;f)
Ambos na região externa: Alternos Externos
(a;g) (b;h)

Conclusões:
Do conhecimento dos ângulos opostos pelo vértice (2.10 e 2.11) e dos de lados
paralelos (3.1), resulta que, na fig. 22:
a=c=e=g b = d =f = h
Correspondentes
Alternos internos
Alternos externos
Congruentes
Colaterais interno
Colaterais externos
Suplementares

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