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Matemática e suas Tecnologias
Geometria Plana
Ensino Médio, 1º Série
Ângulos
Você sabia que...
...a reta é um conjunto infinito de pontos?
...é usual representar os pontos por letras maiúsculas (A,B,C,...,M,N,...)
E as retas por letras minúsculas (r,s,t,...)?
Obs: Nos conjuntos numéricos, a convenção é inversa: as letras
Maiúsculas designam conjuntos e as letras minúsculas os seus
elementos.
...Por dois pontos distintos A e B, passa uma única reta r ou AB?
Reta: r ou AB
Semi-retas: ou CA e ou CB
A E e
P Ɇ r
A C B
•P
r
| | |
C D m(PQ) = 3
(lê-se: a medida de PQ é igual a 3)
A P u u u Q B
r
| | | | | |
u
1cm
...Na figura estão definidas as semi-retas CA e, CB cuja origem comum é o ponto C?
... A reta ou AB é o suporte das semi-teras CA ou CB?
... A poção de uma reta r, definidas por dois de seus pontos P e Q, é chamada
segmento, e é representada por ou PQ?
... Medir um segmento é compará-lo com outro tomado como unidade?
... O número, resultante da medida de um segmento, é também chamado de distância
entre os dois pontos? T
... É comum dizer-se que o segmento PQ mede 3cm?
...isto significa que o resultado da medida é 3, adotando-se o centímetro como
unidade?
... neste caso, usando a notação (representação) simplificada, podemos
escrever - MN ≡ RS
... os segmentos definidos na mesma reta (isto é, que têm na mesma reta
suporte) são denominados colineares?
(adotando-se a mesma unidade)?
MN ≡ RS (lê-se: MN é congruente a RS)
M N R S
r
| | | | | |
... É usual representar-se a medida do segmento de extremos P e Q.
Simplesmente por PQ ao invés de m (PQ)?
... Os segmentos da figura seguinte são chamados congruentes, porque apresentam a
mesma medida (adotando-se a mesma unidade)?
Segmentos colineares: AB, CD e EF
A B C D E F
r
| | | | | |
... os segmentos da figura a seguir são consecutivos, porque, considerados dois a dois,
só possuem um extremo em comum?
M
N
P
Q
Segmentos consecutivos:
MN ᵔ NP = (N)
NP ᵔ PQ = (P)
... O plano é, também, um conjunto infinito de pontos?
... Na sua representação são usadas letras do alfabeto grego (α – alfa, β – beta,
γ – gama, ...)?
... um plano contém uma infinidade de retas?
... as retas que estão no mesmo plano são chamadas coplanares?
Plano (α)
(α)
r ⊂ α
s ⊂ α
t ⊂ α
r, s e t São coplanares
r s t
... as retas coplanares que não tem ponto em comum são denominadas paralelas?
...as retas concorrentes ou incidentes são coplanares e apresentam somente um ponto
em comum?
... duas retas representadas pelo mesmo conjunto de pontos são chamadas
coincidentes (ou não-distintas)?
... traçando uma reta, no chão de sua casa, e outra no teto, elas não se
encontram, e, entretanto, pode não ser paralelas? Examine a figura seguinte
r ⊂ α
s ⊂ α
r ᵔ s = ø
Retas paralelas: r e s r // s
Retas concorrentes: p e q { p ᵔ q = {A}
Retas coincidentes: u e t { u ᵔ t = u ᵕ t
(α)
r s
U
t
p
q
A
... qualquer reta de um plano divide esse plano em regiões, denominadas
semiplanos?
... ponto, reta e plano são conceitos primitivos, isto é, não são definidos?
(α)
(β)
r
s
(α1) (α2)
r
r é a origem comum dos semiplanos
(α1) e (α2)
... ponto, reta e plano são conceitos primitivos, isto é, não são definidos?
M
N
P
Q
Segmentos consecutivos:
MN ᵔ NP = (N)
NP ᵔ PQ = (P)
... O plano é, também, um conjunto infinito de pontos?
... Na sua representação são usadas letras do alfabeto grego (α – alfa, β – beta,
γ – gama, ...)?
... um plano contém uma infinidade de retas?
... as retas que estão no mesmo plano são chamadas coplanares?
Plano (α)
(α)
r ⊂ α
s ⊂ α
t ⊂ α
r, s e t São coplanares
r s t
POSTULADO – TEOREMA
As sentenças (matemáticas ou não) podem ser classificadas em dois grupos:
Postulados (ou Axiomas) - sentenças que são aceitas como verdadeiras sem prova.
São evidentes por si mesmas.
M
•
•
•
P
r
B
A
s
Exemplos:
1 - "A reta é ilimitada nos dois sentidos."
2 - "Por um ponto passa uma infinidade de retas."
3 - "Por dois pontos distintos passa uma e somente uma reta."
(α)
•
•
B
A
r
(α)
2.1 – DEFINIÇÃO
Ângulo é a figura formada por duas semi-retas de mesma origem
(α)
O
A
B
E
I
Ângulo AOB = OA ᵕ OB
I Região interna
E Região externa
2.2 – ÂNGULOS CONGRUENTES
São aqueles que podem coincidir por superposição
B
A
C
E
F D
ABC ≡ DEF
(lê-se: o ângulo ABC é congruente
ao ângulo DEF)
2. 3 – BISSETRIZ DE UM ÂNGULO
É a semi-reta que divide o ângulo em dois outros congruentes
Obs.: É comum assinalar os ângulos congruentes com igual número de traços
B
A
C
O
OC (bissetriz) AOC ≡ COB
2. 4 – RETAS PERPENDICULARES: ÂNGULO RETO
Duas retas são perpendiculares quando são concorrentes e formam quatro ângulos
congruentes.
Denomina-se ângulo reto a qualquer um desses ângulos. Representa-se por r ou ( )
Obs.: Se os ângulos não forem congruentes (DEB e DEO), as retas são oblíquas.
D
E B
C
O
A
BOD ≡ DOA ≡ AOC ≡ COB ≡ 1r
CD AB (lê-se: CD é perpendicular a AB)
DE AB (lê-se: DE é oblíqua a AB)
2.5 – MEDIDA DE ÂNGULOS (Sistema
sexagésima)
Grau 0 1° = 1r/90
Minuto ‘ 1’ = 1°/60
Segundo “ 1” = 1’/60
2.6 – ÂNGULOS COVEXOS
São aqueles cuja medida está compreendida entre 0° e 180°.
Entre os ângulos convexos, distinguimos:
2. 7 – ÂNGULOS CÔNCAVOS (ou NÃO-CONVEXOS)
São aqueles cuja medida está compreendida entre 180° e 360°
C
B
A
E
F
D H G
I
Reto Agudo Obtuso
ABC = 90° 0° < DEF < 90° 90° < GHI < 180°
AOB > 180°
A
B
O
2.8 – ÂNGULOS COMPLEMENTARES, SUPLEMENTARES REPLEMENTARES
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°
(1 reto).
Neste caso, cada um deles diz-se complemento do outro.
Exemplo: O complemento de 28° é 62°, porque 28° + 62° = 90°.
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°
(2 retos).
Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°
(4 retos).
Daí, representando a medida de um ângulo por x, teremos:
Complemento 90° - x
Suplemento 180° - x
Replemento 360° - x
2.9 – ÂNGULOS ADJACENTES
dois ângulos são adjacentes quando têm o mesmo vértice e um lado comum,
compreendido entre os não-comuns
115°
35°
30°
C
B
A
O
D
AOB e BOC ; lado comum: OB
AOC e BOD ; lado comum: OB
AOC e COD ; lado comum: OC
Da figura acima você conclui que:
AOC + COD = 180°
De um modo geral, podemos dizer:
Teorema: “Dois ângulos adjacentes, que têm os lados não comuns em
linha reta, são suplementares.”
2.10 - ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE (O.P. V.)
Dois ângulos são opostos pelo vértice, quando o lado de um deles são as semi-retas
opostas dos lados do outro
2.11 – TEOREMA
"Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes."
Na figura acima temos: a = b ; c = d
C B
D
A
O
d
b
c
a
AOC e BOD
AOD e BOC
2. 12 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 – reduza à fração de grau: a) 20° 36
b) 45° 12'
2 – Reduza à 4'48" a segundos.
60’ → 1°
Solução: a) → x = 36/60 = Logo: 20° 36' = 20° + 0,6° = 20,6°
36’ → x
Observação:
1° → 60’
Da proporcionalidade , concluímos que 0,1° = 6’
0,1° → x
b) pela observação, resulta: 12’ = 0,2°
assim: 45° 12’ = 45° + 0,2° = 45,2°
1’ → 60”
Solução: → x = 240” Logo: 4'48" = 240" + 48" = 248"
4’ → x
3.1 ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS
Dois ângulos de lados paralelos são:
Congruentes - se ambos forem agudos, retos ou obtusos
Suplementares - se ambos retos ou se um deles for agudo e o outro obtuso
a ≡ b c ≡ d
e
b
c
d
f
e + f 180°
a
3.2- ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
Dois ângulos de lados perpendiculares são:
Congruentes - se ambos agudos, retos ou obtusos
Suplementares - se ambos forem retos ou se um deles for agudo e o outro obtuso
n
m
p
q
m = n p + q = 180°
3 - DUAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL
Região externa
Região externa
Região interna
b t
a
r
A
c
e
s
h
B
f
g
Paralelas: r e s
Transversais: t
Os pares de ângulos (um com vértice em A e outro em B) são definidos da seguinte
forma:
Do mesmo lado da transversal
Ambos na região interna: Colaterais Internos
(d;e) (c;f)
Ambos na região externa: Colaterais Externos
(a;h) (b;g)
Uma na região interna e outro na externa: Correspondentes
(a;e) (b;f) (d;h) (c;g)
Em lados opostos da transversal
Ambos na região interna: Alternos Internos
(c;e) (d;f)
Ambos na região externa: Alternos Externos
(a;g) (b;h)
Conclusões:
Do conhecimento dos ângulos opostos pelo vértice (2.10 e 2.11) e dos de lados
paralelos (3.1), resulta que, na fig. 22:
a=c=e=g b = d =f = h
Correspondentes
Alternos internos
Alternos externos
Congruentes
Colaterais interno
Colaterais externos
Suplementares

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Ângulos e suas propriedades

  • 1. Matemática e suas Tecnologias Geometria Plana Ensino Médio, 1º Série Ângulos
  • 2. Você sabia que... ...a reta é um conjunto infinito de pontos? ...é usual representar os pontos por letras maiúsculas (A,B,C,...,M,N,...) E as retas por letras minúsculas (r,s,t,...)? Obs: Nos conjuntos numéricos, a convenção é inversa: as letras Maiúsculas designam conjuntos e as letras minúsculas os seus elementos. ...Por dois pontos distintos A e B, passa uma única reta r ou AB? Reta: r ou AB Semi-retas: ou CA e ou CB A E e P Ɇ r A C B •P r | | |
  • 3. C D m(PQ) = 3 (lê-se: a medida de PQ é igual a 3) A P u u u Q B r | | | | | | u 1cm ...Na figura estão definidas as semi-retas CA e, CB cuja origem comum é o ponto C? ... A reta ou AB é o suporte das semi-teras CA ou CB? ... A poção de uma reta r, definidas por dois de seus pontos P e Q, é chamada segmento, e é representada por ou PQ? ... Medir um segmento é compará-lo com outro tomado como unidade? ... O número, resultante da medida de um segmento, é também chamado de distância entre os dois pontos? T ... É comum dizer-se que o segmento PQ mede 3cm? ...isto significa que o resultado da medida é 3, adotando-se o centímetro como unidade?
  • 4. ... neste caso, usando a notação (representação) simplificada, podemos escrever - MN ≡ RS ... os segmentos definidos na mesma reta (isto é, que têm na mesma reta suporte) são denominados colineares? (adotando-se a mesma unidade)? MN ≡ RS (lê-se: MN é congruente a RS) M N R S r | | | | | | ... É usual representar-se a medida do segmento de extremos P e Q. Simplesmente por PQ ao invés de m (PQ)? ... Os segmentos da figura seguinte são chamados congruentes, porque apresentam a mesma medida (adotando-se a mesma unidade)? Segmentos colineares: AB, CD e EF A B C D E F r | | | | | |
  • 5. ... os segmentos da figura a seguir são consecutivos, porque, considerados dois a dois, só possuem um extremo em comum? M N P Q Segmentos consecutivos: MN ᵔ NP = (N) NP ᵔ PQ = (P) ... O plano é, também, um conjunto infinito de pontos? ... Na sua representação são usadas letras do alfabeto grego (α – alfa, β – beta, γ – gama, ...)? ... um plano contém uma infinidade de retas? ... as retas que estão no mesmo plano são chamadas coplanares? Plano (α) (α) r ⊂ α s ⊂ α t ⊂ α r, s e t São coplanares r s t
  • 6. ... as retas coplanares que não tem ponto em comum são denominadas paralelas? ...as retas concorrentes ou incidentes são coplanares e apresentam somente um ponto em comum? ... duas retas representadas pelo mesmo conjunto de pontos são chamadas coincidentes (ou não-distintas)? ... traçando uma reta, no chão de sua casa, e outra no teto, elas não se encontram, e, entretanto, pode não ser paralelas? Examine a figura seguinte r ⊂ α s ⊂ α r ᵔ s = ø Retas paralelas: r e s r // s Retas concorrentes: p e q { p ᵔ q = {A} Retas coincidentes: u e t { u ᵔ t = u ᵕ t (α) r s U t p q A
  • 7. ... qualquer reta de um plano divide esse plano em regiões, denominadas semiplanos? ... ponto, reta e plano são conceitos primitivos, isto é, não são definidos? (α) (β) r s (α1) (α2) r r é a origem comum dos semiplanos (α1) e (α2)
  • 8. ... ponto, reta e plano são conceitos primitivos, isto é, não são definidos? M N P Q Segmentos consecutivos: MN ᵔ NP = (N) NP ᵔ PQ = (P) ... O plano é, também, um conjunto infinito de pontos? ... Na sua representação são usadas letras do alfabeto grego (α – alfa, β – beta, γ – gama, ...)? ... um plano contém uma infinidade de retas? ... as retas que estão no mesmo plano são chamadas coplanares? Plano (α) (α) r ⊂ α s ⊂ α t ⊂ α r, s e t São coplanares r s t
  • 9. POSTULADO – TEOREMA As sentenças (matemáticas ou não) podem ser classificadas em dois grupos: Postulados (ou Axiomas) - sentenças que são aceitas como verdadeiras sem prova. São evidentes por si mesmas. M • • • P r B A s
  • 10. Exemplos: 1 - "A reta é ilimitada nos dois sentidos." 2 - "Por um ponto passa uma infinidade de retas." 3 - "Por dois pontos distintos passa uma e somente uma reta." (α) • • B A r (α)
  • 11. 2.1 – DEFINIÇÃO Ângulo é a figura formada por duas semi-retas de mesma origem (α) O A B E I Ângulo AOB = OA ᵕ OB I Região interna E Região externa
  • 12. 2.2 – ÂNGULOS CONGRUENTES São aqueles que podem coincidir por superposição B A C E F D ABC ≡ DEF (lê-se: o ângulo ABC é congruente ao ângulo DEF)
  • 13. 2. 3 – BISSETRIZ DE UM ÂNGULO É a semi-reta que divide o ângulo em dois outros congruentes Obs.: É comum assinalar os ângulos congruentes com igual número de traços B A C O OC (bissetriz) AOC ≡ COB
  • 14. 2. 4 – RETAS PERPENDICULARES: ÂNGULO RETO Duas retas são perpendiculares quando são concorrentes e formam quatro ângulos congruentes. Denomina-se ângulo reto a qualquer um desses ângulos. Representa-se por r ou ( ) Obs.: Se os ângulos não forem congruentes (DEB e DEO), as retas são oblíquas. D E B C O A BOD ≡ DOA ≡ AOC ≡ COB ≡ 1r CD AB (lê-se: CD é perpendicular a AB) DE AB (lê-se: DE é oblíqua a AB)
  • 15. 2.5 – MEDIDA DE ÂNGULOS (Sistema sexagésima) Grau 0 1° = 1r/90 Minuto ‘ 1’ = 1°/60 Segundo “ 1” = 1’/60
  • 16. 2.6 – ÂNGULOS COVEXOS São aqueles cuja medida está compreendida entre 0° e 180°. Entre os ângulos convexos, distinguimos: 2. 7 – ÂNGULOS CÔNCAVOS (ou NÃO-CONVEXOS) São aqueles cuja medida está compreendida entre 180° e 360° C B A E F D H G I Reto Agudo Obtuso ABC = 90° 0° < DEF < 90° 90° < GHI < 180° AOB > 180° A B O
  • 17. 2.8 – ÂNGULOS COMPLEMENTARES, SUPLEMENTARES REPLEMENTARES Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90° (1 reto). Neste caso, cada um deles diz-se complemento do outro. Exemplo: O complemento de 28° é 62°, porque 28° + 62° = 90°. Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180° (2 retos). Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360° (4 retos). Daí, representando a medida de um ângulo por x, teremos: Complemento 90° - x Suplemento 180° - x Replemento 360° - x
  • 18. 2.9 – ÂNGULOS ADJACENTES dois ângulos são adjacentes quando têm o mesmo vértice e um lado comum, compreendido entre os não-comuns 115° 35° 30° C B A O D AOB e BOC ; lado comum: OB AOC e BOD ; lado comum: OB AOC e COD ; lado comum: OC Da figura acima você conclui que: AOC + COD = 180° De um modo geral, podemos dizer: Teorema: “Dois ângulos adjacentes, que têm os lados não comuns em linha reta, são suplementares.”
  • 19. 2.10 - ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE (O.P. V.) Dois ângulos são opostos pelo vértice, quando o lado de um deles são as semi-retas opostas dos lados do outro 2.11 – TEOREMA "Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes." Na figura acima temos: a = b ; c = d C B D A O d b c a AOC e BOD AOD e BOC
  • 20. 2. 12 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 – reduza à fração de grau: a) 20° 36 b) 45° 12' 2 – Reduza à 4'48" a segundos. 60’ → 1° Solução: a) → x = 36/60 = Logo: 20° 36' = 20° + 0,6° = 20,6° 36’ → x Observação: 1° → 60’ Da proporcionalidade , concluímos que 0,1° = 6’ 0,1° → x b) pela observação, resulta: 12’ = 0,2° assim: 45° 12’ = 45° + 0,2° = 45,2° 1’ → 60” Solução: → x = 240” Logo: 4'48" = 240" + 48" = 248" 4’ → x
  • 21. 3.1 ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS Dois ângulos de lados paralelos são: Congruentes - se ambos forem agudos, retos ou obtusos Suplementares - se ambos retos ou se um deles for agudo e o outro obtuso a ≡ b c ≡ d e b c d f e + f 180° a
  • 22. 3.2- ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES Dois ângulos de lados perpendiculares são: Congruentes - se ambos agudos, retos ou obtusos Suplementares - se ambos forem retos ou se um deles for agudo e o outro obtuso n m p q m = n p + q = 180°
  • 23. 3 - DUAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL Região externa Região externa Região interna b t a r A c e s h B f g Paralelas: r e s Transversais: t
  • 24. Os pares de ângulos (um com vértice em A e outro em B) são definidos da seguinte forma: Do mesmo lado da transversal Ambos na região interna: Colaterais Internos (d;e) (c;f) Ambos na região externa: Colaterais Externos (a;h) (b;g) Uma na região interna e outro na externa: Correspondentes (a;e) (b;f) (d;h) (c;g) Em lados opostos da transversal Ambos na região interna: Alternos Internos (c;e) (d;f) Ambos na região externa: Alternos Externos (a;g) (b;h)
  • 25. Conclusões: Do conhecimento dos ângulos opostos pelo vértice (2.10 e 2.11) e dos de lados paralelos (3.1), resulta que, na fig. 22: a=c=e=g b = d =f = h Correspondentes Alternos internos Alternos externos Congruentes Colaterais interno Colaterais externos Suplementares