Apostila matematica financeira

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Apostila matematica financeira

  1. 1. SUMÁRIO1.RAZOES E PROPORÇÕES .......................................................................................... 032.GRANDEZAS PROPORCIONAIS ............................................................................... 052.1.diretamente proporcionais ........................................................................................... 052.2.inversamente proporcionais......................................................................................... 063.DIVISÃO PROPORCIONAL ........................................................................................ 073.1.Divisão em partes diretamente proporcionais ............................................................. 073.2.Divisão em partes inversamente proporcionais ........................................................... 083.3.Divisão proporcional composta ................................................................................... 094.REGRA DE SOCIEDADE ............................................................................................ 104.1.Regra de sociedade simples......................................................................................... 104.2.Regra de sociedade composta ..................................................................................... 115.REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA ............................................................. 126.PORCENTAGEM .......................................................................................................... 157.OPERAÇÕES COMERCIAIS QUE UTILIZAM PORCENTAGENS ......................... 177.1.Vendas com lucro sobre o preço de custo e sobre o preço de venda .......................... 177.2.Vendas com prejuízo sobre o preço de custo e sobre o preço de venda ..................... 188.DESCONTOS E AUMENTOS SUCESSIVOS E SIMULTÂNEOS ............................ 209.CÂMBIO: OPERAÇÃO CAMBIAL, ÁGIO E DESÁGIO ........................................... 2310.Sistemas de capitalização ............................................................................................. 2410.1.Sistema de capitalização simples .............................................................................. 2511.TABELA: CONTAGEM DOS DIAS .......................................................................... 29
  2. 2. 21.RAZÕES E PROPORÇÕES: Revisar o estudo de proporções é neste momento muito importante, já que todos os temas a seremtrabalhados neste semestre se baseiam nas grandezas proporcionais. Mas para compreendermos o que éuma proporção, necessitamos, primeiramente, recordar o conceito de razão em Matemática.1.1.Razão: Você já deve ter ouvido expressões como: “De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos”, “De cada 10alunos, 2 gostam de Matemática”, “Um dia de sol para cada dois dias de chuva”. Em cada uma dessas frases está sempre clara a comparação entre dois números. No primeiro caso,destacamos 5 entre 20, no segundo, 2 entre 10, e no terceiro, 1 para cada 2. Todas as comparações são matematicamente expressas por um quociente chamado razão.Temos,então: 5 1 1) De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos. Razão = = 20 4 2 1 2) De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática. Razão = = 10 5 3) Um dia de sol, para cada dois de chuva. Razão = ½ Portanto, razão entre dois números a e b (com b ≠0) é o quociente entre a e b. a Indica-se: ou a : b e lê-se a para b. b O número a é chamado antecedente e o número b, consequente.Exemplos: 3 1. A razão de 3 para 12 é: =¼ 12 20 2. A razão de 20 para 5 é: =4 5 2 3. A razão de 5 e ½ é = 5 . = 10 11.2.Razão de duas grandezas: Considerando grandeza como tudo o que pode ser medido, podemos dizer que a razão entre duasgrandezas, dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida dasegunda grandeza.- Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade.Neste caso, a razão é um número puro.Exemplos: 2m 2 1.A razão de 2 m para 3 m é:  3m 3 30dm 3m 2.A razão de 30 dm para 6 m = = = ½ 6m 6m- Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende dasunidades das grandezas a partir das quais se determina a razão.Exemplo: Um automóvel percorre 160 Km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gastoem percorrê-la é: 160km = 80 Km/h 2h
  3. 3. 3ATIVIDADES:1.Calcule a razão entre as grandezas:a) 256 e 960 b) 1,25 e 3,75 c) 5 e 1/3 d) 1/2 e 0,2 e) 27 m³ e 3 l de álcoolf) 24 Kg e 80 000 g g) 40 g e 5 cm³ h) 20 cm e 4 dm i) 20 d e 2 me 15 d2.No vestibular de 2005 da FEMA concorreram, para 50 vagas da opção Administração,150 candidatos.Qual a relação candidato vaga para essa opção?3.Tenho duas soluções de água e álcool. A primeira contém 279 litros de álcool e 1 116 litros de água. Asegunda contém 1 155 litros de álcool e 5 775 litros de água. Qual das duas soluções tem maior teoralcoólico?4.Numa prova de matemática, um aluno acertou 20 questões e errou 5. Escreva a razão entre: a) o número de acertos e o número de questões b) o número de acertos e o número de erros1.3.Proporção: Existem situações em que as grandezas que estão sendo comparadas podem ser expressas porrazões com antecedentes e consequentes diferentes, porém com o mesmo quociente. Assim, ao dizer quede 40 alunos entrevistados, 10 gostam de Matemática, poderemos supor que, se forem entrevistados 80alunos da mesma escola, 20 deverão gostar de Matemática. Na verdade, estamos afirmando que 10 estãorepresentando em 40 o mesmo que 20 em 80. 10 20 Escrevemos: = 40 80 A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o nome de proporção. Portanto: Dadas duas razões a/b e c/d com b e d ≠ 0, teremos uma proporção se a/b = c/d A proporção também pode ser representada como a : b : : c : d * Lê-se: a está para b assim como c está para d * a e d são chamados extremos e b e c são chamados meios.Propriedade fundamental das proporções: Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, e vice-versa.Exemplo: 2 9 = 2 : 4 : : 9 : 18 2. 18 = 4. 9 36 = 36 4 18Transformações de uma proporção: Transformar uma proporção é escrever seus termos em uma ordem diferente de modo que aigualdade dos produtos dos meios e extremos não sofra alteração.Exemplo:
  4. 4. 4 Dada a proporção 5/8 = 20/32, podemos transformá-la :  alternando os extremos: 32/8 = 20/5 32 . 5 = 8 . 20 160 = 160  alternando os meios: 5/20 = 8/32 5 . 32 = 20 . 8 160 = 160  invertendo os termos; 8/5 = 32/20 8 . 20 = 5 . 32 160 = 160  transpondo as razões: 20/32 = 5/ 8 20 . 8 = 32 . 5 160 = 160Propriedade fundamental para série de razões iguais ( ou proporção múltipla): Em uma série de razões iguais , a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo consequente.Exemplo: 6 10 12 8 6  10  12  8 6 10 12 8 = ou ou ou 3 5 6 4 35 6 4 3 5 6 4ATIVIDADES:1.Verificar se são ou não proporções as seguintes igualdades: 9,5  4,82 14,1 5/9 2/3a) 4/15 = 72/270 b) 0,75/ 0,25 = 3 c) = d) = 2 60 2/3 0,82.Encontrar o valor de x nas proporções: x2 2a) x/20 = 4/10 b 12/121 = 6/x c) = x x33.Escreva quatro proporções utilizando os números 3,4, 6 e 8.4.Calcular x e y na proporção x/7 = y/12, sabendo que x + y = 76.5.Na série de razões x/10 = y/120 = z/14, calcular x, y e z, sabendo que x + y + z = 88.2.GRANDEZAS PROPORCIONAIS: A maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia-a-dia liga duas grandezas de tal formaque, quando uma delas varia, como conseqüência varia também a outra. Assim, a quantidade de combustível gasto por um automóvel depende do número de quilômetrospercorridos. O tempo numa construção depende do número de operários empregados. O salário estárelacionado aos dias de trabalho. A relação entre duas grandezas estabelece a lei de variação dos valores de uma em relação à outra.Existem dois tipos básicos de dependência entre grandezas proporcionais: a proporção direta e aproporção inversa.2.1.PROPORÇÃO DIRETA OU GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS: Se analisarmos duas grandezas como trabalho e remuneração, velocidade média e distânciapercorrida, área e preço de um terreno, altura de um objeto e comprimento da sombra projetada ...,veremos que aumentando ou diminuindo uma delas a outra também aumenta ou diminui. Então:
  5. 5. 5 Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas numa determinada razão, a outra aumenta ou diminui nessa mesma razão. As razões de cada elemento da primeira por cada elemento correspondente da segunda são iguais, ou seja, possuem o mesmo coeficiente de proporcionalidade.Exemplo 1: Um grupo de pessoas se instalou num acampamento que cobra R$ 10,00, a diária individual. Vejana tabela a relação entre o número de pessoas e a despesa diária. Número de pessoas 1 2 4 5 10 Despesa diária 10,00 20,00 40,00 50,00 100,00 Percebemos que a razão de aumento do número de pessoas é a mesma para o aumento da despesa.É, portanto, uma proporção direta. As grandezas número de pessoas e despesa diária são diretamenteproporcionais, ou seja, a razão entre o número de pessoas e despesa diária são iguais: 1/10 = 2/20 = 4/40 = 5/50 = 10/100      1/10 1/10 1/10 1/10 1/10Exemplo 2: Os números 3, 10 e 8 são diretamente proporcionais aos números 6, 20 e 16, nessa ordem, porquepossuem a mesma razão ou o mesmo coeficiente de proporcionalidade: 3/ 6 = 10/20 = 8/16    ½ = ½ = ½2.2. PROPORÇÃO INVERSA OU GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS: Se analisarmos duas grandezas como tempo de trabalho e número de operários para a mesmatarefa, velocidade média e tempo de viagem, número de torneiras e tempo para encher um tanque...,veremos que aumentando uma grandeza , a outra diminuirá. Então: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo ) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na mesma razão. As razões de cada elemento da primeira pelo inverso de cada elemento correspondente da segunda são iguais. Em outras palavras, duas grandezas são inversamente proporcionais quando os elementos da primeira grandeza forem diretamente proporcionais ao inverso dos elementos da segunda grandeza.
  6. 6. 6Exemplo 1: Suponhamos que no exemplo analisado na folha anterior (razão direta), a quantia gasta pelogrupo de pessoas seja sempre R$ 200,00. Então, o tempo de permanência do grupo dependerá do númerode pessoas. Analise a tabela: Número de pessoas 1 2 4 5 10 Tempo de permanência (dias) 20 10 5 4 2 Percebemos que, se dobrarmos o número de pessoas, o tempo de permanência se reduzirá àmetade. É, portanto, uma proporção inversa. As grandezas número de pessoas e número de dias sãoinversamente proporcionais. A razão entre o número de pessoas é igual ao inverso da razão do tempo depermanência: 1 2 4 5 10 = 201 / 20 1 / 10 1/ 5 1/ 4 1/ 2Exemplo 2: Os números 9, 6 e 2 são inversamente proporcionais aos números 4, 6 e 18, nessa ordem, porquea razão entre cada elemento da primeira sucessão e o inverso do elemento correspondentes na segundasucessão são iguais. 9 6 2 = 161 / 4 1 / 6 1 / 18ATIVIDADES:1.Verificar se os números 18, 6 e 3 são ou não diretamente proporcionais aos números 6, 2 e 1.2.Verificar se os números da sucessão (30,24,20) são ou não inversamente proporcionais aos números dasucessão (4,5,6)3.Encontrar x e y, sabendo que os números 20, x, y são diretamente proporcionais aos números 4, 2 e 1.4.Encontrar x, y e z sabendo que as sucessões (x, 3, z) e (9, y, 36) são inversamente proporcionais comcoeficiente de proporcionalidade igual a 36.5.O número de dias gastos na execução de uma obra é direta ou inversamente proporcional ao númerode máquinas empregadas na obra? Por que?3.DIVISÃO PROPORCIONAl:3.1.Divisão em partes diretamente proporcionais: Duas pessoas, A e B, trabalharam numa determinada tarefa, sendo que A trabalhou durante 6horas e B durante 5 horas. Como elas irão dividir com justiça R$ 660,00 que serão pagos por essatarefa? Na verdade, o que cada uma tem a receber deve ser diretamente proporcional ao tempo gastodurante a realização da tarefa. Portanto: Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números dados significa encontrar parcelas desse número que são diretamente proporcionais aos números dados e que, somadas, reproduzam esse número.
  7. 7. 7 No problema acima, devemos dividir 660 em partes diretamente proporcionais a 6 e 5, que são ashoras que as pessoas A e B trabalharam. Chamamos de x o que A tem a receber e de y o que B tem a receber. Então: x + y = 660 e x/6 = y/5 Aplicando as propriedades de proporção que vimos em aulas anteriores, podemos resolver : x y x y 660 x y  = = = 65 6 5 11 6 5 Onde: 660 x 660 y = = 11 6 11 5 x = 360 y = 300Concluindo, A deve receber R$ 360,00, enquanto B receberá R$ 300,00.3.2.Divisão em partes inversamente proporcionais: E se tivéssemos que efetuar uma divisão em partes inversamente proporcionais? Por exemplo: Duas pessoas A e B trabalharam durante um mesmo período para fabricar e venderpor R$ 160,00 um certo artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho 3 dias e B, 5 dias, como efetuar essadivisão com justiça? O problema agora é dividir R$ 160,00 em partes inversamente proporcionais a 3 e 5, pois deve serlevado em consideração que aquele que se atrasa mais deve receber menos. Dividir um número em partes inversamente proporcionais a outros números dados é encontrar parcelas desse número que sejam diretamente proporcionais aos inversos desses números dados. Nesse problema, temos que dividir 160 em partes inversamente proporcionais a 3 e 5, que são osnúmeros de atraso de A e B. Para realizar essa divisão, chamaremos de x o que A tem a receber e de y oque B tem a receber. x + y = 160 x y x y 160 160 x 160 y = = x = 100 = y = 60 1/ 3 1/ 5 1/ 3  1/ 5 8 / 15 8 / 15 1 / 3 8 / 15 1 / 5 Concluindo, A deve receber R$ 100,00 e B receberá R$ 60,00.ATIVIDADES:1.Dividir 720 em partes diretamente proporcionais a 4, 6 e 8. (160,240,320)2.Dividir o número 260 em parte inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. (120, 80 e 60)3.Dois operários contratam um serviço por R$ 180,00. Como devem repartir essa quantia, se umtrabalhou 7 horas e o outro 8 horas, sendo a divisão diretamente proporcional ao tempo de trabalho? (84e 96)
  8. 8. 84.A Federação Brasileira de futebol resolveu distribui prêmios num total de 320.000,00 para os quatrojogadores brasileiros que tiveram o melhor ataque durante a Copa do Mundo, ou seja, para aqueles quefizeram o maior número de gols na razão direta desses gols. Os jogadores premiados fizeram 9, 6, 3 e 2gols. Quanto recebeu cada jogador? (144 000, 96 000, 48 000 e 32 000)5.Um pai deixou R$ 2 870 00 para serem divididos entre seus três filhos na razão inversa de suas idades:8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu cada um? ( 1 470, 980, 420)6.Um número foi dividido em partes diretamente proporcionais a 4 e 3. Sabendo que a partecorrespondente a 4 era 2 000, encontre esse número. (3 500)3.3.Divisão proporcional composta: Vamos analisar a seguinte situação: Uma empreiteira foi contratada para pavimentar uma rua. Ela dividiu o trabalho em duas turmas,prometendo pagá-las proporcionalmente. A tarefa foi realizada da seguinte maneira: na primeira turma,10 homens trabalharam durante 5 dias; na segunda turma, 12 homens trabalharam durante 4 dias.Sabendo que a empreiteira tinha R$ 29 400,00 disponíveis, como dividir com justiça essa quantia entre asduas turmas de trabalho? Essa divisão não é da mesma natureza das anteriores. Trata-se de uma divisão composta em partesproporcionais, pois os números obtidos deverão ser proporcionais a dois números de homens e também adois números de dias trabalhados. Analisando veremos que:- Na primeira turma: 10 homens em 5 dias produzem o mesmo que 50 homens em um dia (10 . 5).- Na segunda turma:12homens trabalhando 4 dias equivale a 48 homens num único dia (12 . 4 ).Portanto: Para dividir um número em partes, de tal forma que uma delas seja proporcional a m e n e a outra a p e q, basta dividir esse número em partes proporcionais a m . n e p . q.Resolvendo o problemas, temos: x y x y x y x 29400 x = ou = = = x = 15 000 10.5 12.4 50 48 50  48 50 98 50 Como x + y = 29 400 y = 19 400 – 15 000 = 14 400 Assim, a primeira turma deverá receber R$ 15 000,00 da empreiteira e a segunda R$ 14 400,00ATIVIDADES:1.Dividir o número 4 680 em partes diretamente proporcionais a 3 e 6 e, em seguida, diretamenteproporcionais a 5 e 4. ( 1 800 e 2 880)2.Dividir o número 2 640 em partes diretamente proporcionais a ¾ e ½ e inversamente proporcionais a5/6 e 2/3. ( 1 440 e 1 200)3.Um milionário resolveu dividir parte de sua fortuna entre três sobrinhas, de modo que a divisão fossediretamente proporcionais às suas idades e inversamente proporcionais a seus pesos. As moças tinha 16,18 e 21 anos e pesavam, respectivamente, 52, 48 e 50 quilos. A quantia a ser dividida entre elas era de R$5 734 000, 00. Quanto cada uma recebeu? ( 1 600 000, 1 950 000, 2 184 000)
  9. 9. 94.(BB)A importância de R$ 20 650,00 foi dividida entre duas pessoas. A primeira recebeu na razãodireta de 8 e na razão inversa de 3; a segunda recebeu na razão direta de 9 e na razão inversa de 4.Quanto recebeu cada pessoa? ( 11 200 e 9 450)5.(TTN) Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os três primeiros freguesesque chegarem ao seu estabelecimento. Para tanto, dividiu R$ 507,00 em partes inversamente 5proporcionais a 2 ¼ , e 1,2. Nessas condições, qual o prêmio de menor valor a ser pago? 3(120)6.(TTN) Dividindo o número 570 em três partes, de tal forma que a primeira esteja para a segunda como4 está para 5 e a segunda esteja para a terceira como 6 está para 12. Qual o valor da 3ª parte? (300)4.REGRA DE SOCIEDADE: Quando duas ou mais pessoas se juntam, formando uma sociedade numa atividade com fins lucrativos,é justo que os lucros ou prejuízos, sejam divididos entre elas, proporcionalmente ao capital que cada umaempregou e ao tempo que o capital esteve empregado. Na resolução de situações-problema dessa natureza, usa-se a chamada regra de sociedade, queconsiste em dividir a quantia considerada em partes diretamente proporcionais ao capitalempregado, ao tempo de aplicação ou a outras grandezas. É, portanto, uma das aplicações da divisãoproporcional, que tem como objeto a divisão dos lucros ou dos prejuízos entre sócios que formam umasociedade. Uma sociedade pode ser classificada em simples ou composta, dependendo dos capitaisaplicados e dos períodos de tempo de aplicação que podem ser iguais ou diferentes para cada sócio.4.1.REGRA DE SOCIEDADE SIMPLES1º caso: Os capitais são iguais e aplicados durante o mesmo tempo: O lucro ou o prejuízo é dividido pelo número de sócios.Exemplo: Três sócios obtiveram um lucro de R$ 222.600,00. Sabendo que seus capitais eram iguais qual a parte de cada um dos sócios? Neste caso, basta dividir o lucro pelo número de sócios. 222600 = 74 200 Logo, a parte de cada sócio é de R$ 74 200,00 32º caso: Os capitais são diferentes e empregados durante o mesmo tempo: Neste caso, dividimos o lucro ou o prejuízo em parte diretamente proporcionais aos capitais dossócios.Exemplo: Por ocasião do balanço anual de uma firma comercial formada por três sócios, verificou-se umprejuízo de R$ 27 000. Qual a parte correspondente a cada sócio se os seus capitais são de R$ 54 000, R$45 000 e R$ 36 000.
  10. 10. 10 x y z 27000 x y z = = = = = 54000 45000 36000 135000 54000 45000 36000 x = 10 800 y = 9 000 z = 7 200 Logo, o prejuízo correspondente a cada sócio é, respectivamente, de : R$ 10 800 , R$ 9 000 e R$7 2000.3º caso: Os capitais são iguais e empregados durante tempos diferentes: Os lucros e os prejuízos são divididos em partes diretamente proporcionais aos períodos de tempo emque os capitais ficaram investidos.Exemplo: Três amigos A, B e C, juntaram-se numa sociedade com idêntica participação no capital inicial. Adeixou seu capital durante 4 meses, B por 6 meses e C por 3 meses e meio. Sabendo que, ao final de umano, houve um lucro de R$ 162 000, 00, como dividir essa quantia entre os três? A B C 162000 A B C = = = = = A = 48 00 B = 72 000 C = 42 000120 180 105 405 120 180 105 Na prática este caso não ocorre, porque , em uma sociedade, os sócios não podem permanecer portempo desiguais. No momento em que um antigo sócio se retira ou um novo sócio é admitido, procede-sea uma reforma do contrato social, após o balanço.4.2.REGRA DE SOCIEDADE COMPOSTA Na sociedade composta, tanto os capitais quanto os períodos de investimento são diferentes paracada sócio. Trata-se, portanto, de dividir os lucros ou os prejuízos em partes diretamente proporcionais,tanto ao capital quanto ao período de investimento.Então: Quando os capitais e os períodos de tempo forem diferentes, os lucros ou os prejuízos serãodivididos em parte diretamente proporcionais ao produto dos capitais pelos períodos de tempo respectivos.É uma divisão proporcional composta estudada no capítulo anterior.Exemplo: Uma sociedade teve um lucro de R$ 11 700,00. O primeiro sócio entrou com R$ 1 500,00durante 5 meses, e o outro, com R$ 2 000,00 durante 6 meses. Qual foi o lucro de cada um? x y = e x + y = 11 700 1500.5 2000.6 x = 4 500 e y = 7 200 7500
  11. 11. 11ATIVIDADES:1.Três sócios sofreram um prejuízo de R$ 14 400,00. Os três entraram para a sociedade com o mesmocapital, ficando o primeiro durante 11 meses, o segundo12 e o terceiro 13 meses. Qual foi o prejuízo decada um? ( 4 400,00; 4 800,00; 5 200,00)2.Um investimento total de R$ 60 000,00 foi feito por três amigos. Sabendo que o tempo foi o mesmo eque o segundo sócio ganhou o dobro do primeiro, e o terceiro o triplo, quanto investiu cada um?3.Jonas e Paulo se associaram para jogar na loteria. Jonas deu R$ 1,80 e Paulo R$ 1,20. Tendo acertadoum terno, eles ganharam R$ 1 600,00. Quanto receberá cada um? (960,00 e 640,00)4.Três pedreiros, ganhando o mesmo salário-hora, trabalharam , respectivamente, 24, 18 e 20 horas. Nahora do pagamento, o dono da obra tinha em mãos um envelope com R$ 3 100,00. Como foi feita adivisão do dinheiro?( 1 200, 900 e 1 000)5.Uma sociedade entre dois amigos, A e B, foi estabelecida com as seguintes características: CAPITAL TEMPO DE APLICAÇÃO SÓCIO A 2 500,00 1 ano e 6 meses SÓCIO B 3 000,00 1 ano e 9 mesesDivida o lucro de R$ 18 000,00 entre os sócios. ( 7 500 e 10 500)6.Marcos e Antonio montaram uma locadora de vídeo empregando respectivamente, capitais de R$ 50000,00 e R$ 30 000,00. Em um determinado mês, a loja obteve um lucro de R$ 3 200,00. Quanto coube acada um? (2 000,00 e 1 200,00)7.Dois sócios lucraram, em um determinado período, R$ 28 200,00. O primeiro aplicou R$ 80 000,00,durante 9 meses, e o segundo RS 20 000,00, durante 11 meses. Qual foi o lucro de cada um? (21 600 e 6600)REVISANDO:8.Três amigos, A, B e C, saíram para comer um pizza. No final, perceberam que A comeu ¼ da pizza, Bcomeu 1/3 e C comeu 1/5. O preço da pizza era R$ 14, 10. Calcule a parte da despesa de cada um ,sabendo que desejavam dividi-la em partes proporcionais ao consumo de cada um.(4,50;6,00 e 3,60)9.Encontre os valores desconhecidos, sabendo que: a) os números das sucessões (x, 5, 2) e (3, y, 6) são diretamente proporcionais. b) os números das sucessões (x, 1, 30) e (3, 15, y) são inversamente proporcionais. c) os números da sucessão (x, y, 20) são de proporcionalidade composta, direta a (4,3,1) e também direta a (5, 8, 4).10.Encontre a, b e c, sabendo que os números (a, b, c) e (18, 12, 4) são inversamente proporcionais e quea + b = 5. (2, 3 e 9)11.Num colégio há 210 alunos. A metade do número de meninas é igual a 1/5 do número de meninos.Qual é o número de meninos e meninas? (60 e 150)
  12. 12. 1212.Um supermercado fazia a seguinte promoção: “Pague 3 sabonetes e leve 5”. Aproveitando apromoção, levei 30 sabonetes. Quantos sabonetes paguei? (18)5.REGRA DE TRÊS: Chamamos de regra de três uma regra prática que permite, através da comparação de grandezasproporcionais, a resolução de diferentes situações-problema do dia-a-dia. Essas grandezas formam umaproporção em que, conforme o nome já diz, três termos são conhecidos e busca-se encontrar o quartotermo. Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e acomposta, que envolve mais de duas grandezas.5.1.REGRA DE TRÊS SIMPLES: A regra de três simples, como vimos anteriormente, envolve apenas duas grandezas diretamente ouinversamente proporcionais. O processo consiste em montarmos uma tabela colocando em cada coluna,ordenadamente, os valores da mesma grandeza e, daí, obtermos uma equação através da aplicação dapropriedade fundamental das proporções. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais, essaequação terá a mesma forma da tabela. No caso de grandezas inversamente proporcionais, a montagem da equação será feita invertendo-se a razão de uma das grandezas. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais dizemos que aregra de três é direta. Quando forem inversamente proporcionais, dizemos que a regra de três éinversa.Procedimentos para resolver problemas por regra de três simples:1º) Montar a tabela: As quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem ser expressassempre na mesma unidade de medida Comprimento(m) Preço(R$) 5 80,00 9 x2º) Verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais: - Se as grandezas forem diretamente proporcionais, coloca-se uma seta vertical na coluna onde se encontra o x, na direção dele, e uma seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. - Se as grandezas forem inversamente proporcionais, procede-se da mesma forma na coluna do x, invertendo o sentido da seta na outra coluna.3º) Determinar o valor de x, que é o termo procurado, através da propriedade fundamental dasproporções. Exemplo: Cinco metros de um tecido custam R$ 80,00. Quanto pagarei por 9 metros do mesmo tecido? Nesse exemplo temos uma regra de três simples e direta. Observe os procedimentos acima: Comprimento(m) Preço(R$) 5 80,00 9 x 5 80 80.9 = x = x = 144,00 9 x 5
  13. 13. 13ATIVIDADES:1.Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra?2.Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 Km por dia. Quantos dias seriam necessáriospara fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200 Km por dia?3.Três torneiras completamente abertas enchem um tanque em 1h30min. Quantas torneiras de mesmavazão seriam necessárias para encher o mesmo tanque em 54min?4.Um corte de tecido de 2m x 2,5m custa R$ 100,00. Quanto deverá ser pago por um corte do mesmotecido de 3m x 5 m?5.Se 4/9 de uma obra foram feitos em 28 dias, em quantos dias a obra será concluída?5.2.REGRA DE TRÊS COMPOSTA: A regra de três composta envolve três ou mais grandezas relacionadas entre si. Os procedimentosde resolução serão os mesmos da regra de três simples. Quando há dependência inversa entre a grandezaque contém a variável com as demais grandezas, invertemos os elementos da respectiva coluna. Aequação será montada, relacionando a grandeza que contém a variável com as demais grandezas.Exemplo: Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipoproduzirão sete operários, trabalhando 9 dias? Nº de operários Nº de dias Nº de peças 3 6 400 7 9 x Comparando a grandeza que contém o x com as outras duas grandezas, verificamos que sãodiretamente proporcionais. Então: 400 3 .6 400 18 400 2 = = = 2x = 2 800 x = 1 400 peças x 7 .9 x 63 x 7ATIVIDADES:1.Um ciclista percorre 120 Km em 2 dias, dirigindo 3 horas por dia. Em quantos dias percorrerá 500 Km,viajando 5 horas por dia?2.Numa fazenda, 3 cavalos consomem 210 Kg de alfafa durante 7 diais. Para alimentar 8 cavalos,durante 10 diais, quantos quilos de alfafa serão necessários?3.Seis digitadores preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 digitadores, de mesmacapacidade, prepararão 800 páginas?
  14. 14. 144.Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 horas por dia e leva 6 dias para fazer certopercurso. Se a velocidade fosse 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmopercurso?5.Uma torneira enche um tanque em 20 horas, com uma vazão de 1 litro por minuto. Quanto tempo seránecessário para que duas torneiras, com vazão de 2 litros por minuto, encham o mesmo tanque?6.Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros executam projetos de 5 pontes. Quantosengenheiros seriam necessários para projetar 8 pontes, trabalhando 8 horas por dia, durante 15 dias?7.Um livro de 120 páginas, com 25 linhas, é impresso em 4 horas. Quantas horas seriam necessáriaspara imprimir um livro de 100 páginas com 30 linhas por página?8.Uma pessoa que viajará para os Estados Unidos dispõe de R$ 2 500,00 para a viagem.Quantos dólaresconseguirá comprar?6.PORCENTAGEM: Em nosso dia-a-dia estamos constantemente convivendo com expressões do tipo“ O índice dereajuste salarial de maio é de 9,8%.” “ O rendimento da poupança foi de 1,58%.” “ Liquidação deinverno com 30% de desconto”... Essas expressões envolvem uma razão especial chamada porcentagem. Porcentagem, portanto,pode se definida como uma razão cujo conseqüente é 100 ou ainda como uma razão centesimal,onde o conseqüente é substituído pelo símbolo %, chamado “ por cento “. 80 = 0,80 = 80% 1006.1.CÁLCULOS DE PORCENTAGEM: Existem vários recursos para resolver cálculos que envolvem porcentagens:1º) POR UMA FORMA DIRETA ENVOLVENDO O ENTENDIMENTO DE FRAÇÕES:Exemplo: Quanto é 20% de 800? 20% de 800, é o mesmo que dividir 800 em 100 partes iguais e tomar 20 delas. 20 % de 800 = 20/100 de 800 800 : 100 . 20 = 160 ou usando taxa unitária: 20% de 800 = 2 0/100 = 0,20 800 . 0,20 = 1602º) POR UMA REGRA DE TRÊS SIMPLES E DIRETA:Exemplo 1: Um trabalhador cujo salário era de R$ 2 000,00, recebeu um aumento de 5%. Quantopassou a ser o seu novo salário? Este problema pode ser resolvido por regra de três de dois modos:
  15. 15. 151ª). 2000 100% 2000.5 x 5% x= x = 100,00 100 Salário= 2 000,00 + 100,00 = 2 100,002ª) 2 000 100% 2000.105 x 105% x= 100 x = 2 100,00 Salário: 2 100,00Exemplo 2: Ao comprar um automóvel por R$ 15 000,00, obtive um desconto de R$ 1 800,00. Qual foi ataxa de desconto? 15 000 100% 100.1800 1800 x x = x = 12% 100 Taxa de desconto: 12%Exemplo 3: Uma taxa de 13% é aplicado num determinado capital, produzindo um valor porcentual de5 200,00. De quanto era o capital? 13% 5 200 100.5200 100% x x= x = 40.000 100 Capital: R$ 40 000,006.2.ELEMENTOS DO CÁLCULO PORCENTUAL: Pelos exemplos anteriores observamos que são três os elementos envolvidos no cálculo deporcentagem: Principal: valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem (P) Taxa porcentual: valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100 (i). Porcentagem: resultado que se obtém quando se aplica a taxa de porcentagem ou taxa porcentual (p) Concluímos também que a resolução por regra de três permite chegarmos ao seguinte raciocínio: Pr incipal .taxa P.i 100. p 100. p Porcentagem = p= , onde P= e i= 100 100 i PÉ mais prático usarmos a taxa unitária: 25% = 25/100 = 0,25ATIVIDADES:1.Calcular:a) 20 % de 32 b) 3,5% de R$ 4 500 c) 4% de 5502.Qual a taxa unitária de 20%?3.Qual a taxa porcentual correspondente a 0,05?4.Qual é o número principal em que 20 representa 3%?
  16. 16. 165.Qual o número principal em que 800 representa 3/5%?6. Qual a porcentagem em que 2 representa em 40?7.Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540,00 com um lucro de 15% . Quanto ganhou?8.Em um escola, as 1120 alunas representam 56% do total de alunos. Qual é esse total?9. A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantos serão aprovados num concursopúblico com 6 500 inscritos?10.Walter pediu aumento salarial na empresa em que trabalha, alegando que um simples reajuste (quenaquele dissídio seria 7,5% ) não cobriria suas reais necessidades. Na ocasião, seu salário era deR$ 2 850,00 e sua proposta foi uma correção de 9 %. No final do mês, ele recebeu R$ 3 092, 25.Calculando qual o índice de correção aplicado pela empresa, responda se o pedido foi atendido.11.Um comerciante comprou um automóvel de R$ 84 000,00 com desconto de 2%. Em seguida, vendeu oautomóvel por um valor 3% acima desse preço(valor inicial do automóvel). Qual foi a taxa de lucro total,desde a venda até a compra, usada pelo comerciante?12.Dois postos de abastecimento misturam água ao álcool que vendem. No primeiro deles foramencontrados 7,5 l de água em 300 l de álcool e, no segundo, 13,5 l de água em 500 l de álcool. Quantopor cento o álcool de um posto é mas aguado que o do outro/13.Do que eu recebo, 30% vão para a poupança, 20% para o aluguel e 35% para a alimentação,restando-me apenas R$ 450,00. Qual é o meu salário?14.Numa cidade, 45% da população é composta por homens. Qual a população total dessa cidade se nelaresidem 60 500 mulheres?15.Uma certa quantia y tornou-se 2y após 1 ano e 3y após 2 anos. Com relação a quantia inicial, calculea taxa aplicada no primeiro e no segundo ano.16.Que taxa devemos utilizar para transformar uma quantia x em 3x?17.Um vendedor ganha 3% de comissão sobre as vendas que realiza. Tendo recebido R$ 300,00 decomissões, qual o total vendido por ele?18.Comprei uma casa cujo preço era R$ 200 000,00. Tendo gasto 5% desse valor em impostos e 3% decomissão para o corretor, quanto efetivamente tive que desembolsar?19.Uma turma tem 40 alunos. Destes, 60% são moças e 40% são rapazes. Em um determinado dia,compareceram às aulas 75% das moças e 50% dos rapazes. Quantos alunos foram às aulas nesse dia?Qual a porcentagem (taxa) que compareceu às aulas nesse dia?20.Ao comprar uma automóvel por R$ 15 000,00 obtive um desconto de R$ 1 800,00. Qual foi a taxa dedesconto?
  17. 17. 177.OPERAÇÕES COMERCIAIS QUE UTILIZAM PORCENTAGENS: Chamamos de operações comerciais as operações de compra, venda, permuta, etc. de mercadorias,feitas com o objetivo de obter lucro, sendo o lucro a diferença entre o preço de venda e o preço decusto. Em situações diversas, envolvendo operações comerciais, é comum ouvirmos: “Vendi umamercadoria com 20% de lucro”. “Vendi uma mercadoria com 30% de prejuízo.” Frases como estas, muitasvezes, são motivo de dúvidas: 30% de prejuízo sobre o que? A venda de mercadorias pode oferecer lucro ou prejuízo e estes podem ser “sobre o preço decusto” ou “sobre o preço de venda”.7.1.VENDAS COM LUCRO:- Sobre o preço de custo (ou sobre a compra): Exemplo: Por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 4 000,00, a fim de obter umlucro de 20% sobre a compra . Podemos considerar o preço de venda como 120% Resolvendo por regra de três temos: 4 000 100% x 120% x = 4 000 . 120 : 100 ou 1, 20 . 4 000 = 4 800Então: Preço de venda = ( 1 + taxa unitária do lucro sobre a compra) . preço de compraOu V = (1 + i)C onde, V = preço de venda i = taxa unitária do lucro C = preço de compra- Sobre o preço de venda: Exemplo: Calcular por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 4 000,00 para ganhar20% sobre o preço de venda. Devemos considerar o preço de venda que é desconhecido como 100% e, conseqüentemente, opreço de compra como 80%, já que o lucro será de 20% Por regra de três temos; 4 000 80% x 100% x = 4 000 . 100 : 80 = 5 000 ou 4 000 : 0,80 = 5 000 Então:
  18. 18. 18 Preço de custo Preço de venda = 1 – taxa unitária do lucro sobre a vendaOu C V= 1 -i onde, V = preço de venda C = preço de custo i = taxa unitária do lucro7.2.VENDAS COM PREJUÍZO:- Sobre o preço de custo (ou sobre a compra): Exemplo: Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo queesse objeto custou R$ 300,00, qual foi o preço de venda? Como preço de venda = preço de custo – prejuízo, consideramos o preço de venda como 60% e opreço de custo 100%. Por regra de três temos: 300 100% x 60% x = 300 . 60 : 100 ou 0,60 . 300 = 180,00Então: Preço de venda = ( 1 – taxa de prejuízo sobre a compra) . preço de compraOu V = ( 1 – i) C Onde, V = preço de venda i = taxa unitária de prejuízo C = preço de compra- Sobre o preço de venda: Exemplo: Calcular o preço de venda de uma casa que comprei por 30 000,00, tendo perdido25% do preço de venda. Como o preço de custo = preço de venda + prejuízo, o preço de custo será de 125%, já que oprejuízo foi de 25%. A quantia desconhecida será 100%. Por regra de três temos: 125% 30 000 100% x x = 30 000. 100 : 125 ou 30 000 : 1,25 = 24 000
  19. 19. 19Então: Preço de custo Preço de venda = 1 + taxa unitária sobre a vendaOu C V= 1+iATIVIDADES:1.Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o preço de custo. Determine o preçode venda, sabendo que essas mercadorias custaram R$ 500,00.2.Por quanto devo vender um carro que comprei por R$ 40 000,00 se desejo lucrar 5% sobre a compra?3.Um comerciante comprou um objeto por R$ 480,00. Desejando ganhar 20% sobre o preço de venda,qual deve ser este último?4.Uma mercadoria custou R$ 160,00. Pretendo vendê-la com 20% de lucro sobre o preço de venda. A quepreço devo vendê-la?5.Calcular o prejuízo e o preço de venda de uma mercadoria que comprei por R$ 6 000,00, tendo umaperda de 30% sobre o preço de compra.6.Calcular o prejuízo e o preço de venda de uma mercadoria que comprei por R$ 800,00, tendo perdido25% do preço de venda.7.Uma casa que custa R$ 96 000,00 foi vendida com um prejuízo de 20 % sobre o preço de venda.Calcule o preço de venda.8. Um terreno foi vendido por R$ 50.600, dando um prejuízo de 8% sobre o preço de venda. Quanto haviacustado?8.DESCONTOS E AUMENTOS: Operações envolvendo descontos (abatimentos) e aumentos (acréscimos) sobre preços demercadorias, salários, etc. são comuns em nosso dia a dia. Podem ser classificados em sucessivos esimultâneos.8.1.DESCONTOS E AUMENTOS SUCESSIVOS: Considera-se uma operação de desconto ou de aumento sucessivo quando cada novo desconto ounovo aumento incide sobre o valor já descontado ou aumentado anteriormente.
  20. 20. 20- DESCONTOS SUCESSIVOS:Exemplo: Sobre uma fatura de R$ 100 000,00 são feitos descontos sucessivos de 10%, 6 % e mais 3%.Qual o valor líquido da fatura? Para resolver problemas como este devemos calcular os descontos sobre as quantias líquidas, jádescontadas as taxas anteriores. Assim:10% de 100 000 = 10 000 A fatura se torna 100 000 – 10 000 = 90 000 ( ou 0,90 . 100.000 =90 000)6% de 90 000 = 5 400 A fatura se torna 90 000 – 5 400 = 84 600 ( ou 0.94 . 90 000 = 84 600)3% de 84 600 = 2 538 A fatura final se torna 84 600 – 2 538 = 82 062 ( ou 0,97 . 84 600 = 82 062) Examinando a solução desse problema, vemos que o valor final (valor líquido) é o resultado dadiferença entre o valor inicial (valor bruto) e os descontos. Poderíamos, então, obter o mesmo resultadoda seguinte forma: Valor final = 100 000. (1 – 0.10 ) . (1 – 0,06) . (1 – 0,03), onde cada parêntese refere-se a umdesconto. Então: Valor final = 100 000 . 0,90 . 0,94. 0,97 = 100 000 . 0,820620 = 82 062 Portanto, um valor inicial submetido a descontos sucessivos de várias taxas pode ser calculadopor: Valor final = Valor inicial . (1 – 1ª taxa) . (1 – 2ª taxa) . ( 1 – 3ª taxa) . ... . ( 1 – enésimataxa) Ou Vf = Vi (1 – i ) (1 – i ) ( 1 – i ) ... ( 1 – i ) Onde: Vf = valor final ou valor descontado (valor bruto) Vi = valor inicial (valor líquido) i , i , i ,… i = taxas de desconto Para calcular o valor inicial ou a taxa total de descontos, tem –se: Vf Vi = i = 1 – (1 – i ) (1 – i )...(1 – i ) (1 – i ) (1 – i )...(1 – i )- AUMENTOS SUCESSIVOS:Observando a resolução do problema anterior, concluímos que para aumentos sucessivos teremos: Vf = Vi ( 1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) … ( 1 + i ) Vf Vi = ( 1 + i ) (1 + i ) ... ( 1 + i ) i=(1+i )(1+i )…1+i )-1
  21. 21. 218.2.DESCONTOS E AUMENTOS SIMULTÂNEOS: Considera-se uma operação de desconto ou aumento simultâneo quando os descontos ou aumentosincidem sempre sobre o valor inicial.Exemplo: Um funcionário recebe um salário-base de R$ 1 200,00, Tem um adicional de 20% deacréscimo para responder pela chefia da seção e outro adicional de tempo de serviço correspondente a5%. Quanto recebe ao todo? Qual a taxa total de acréscimos que tem sobre o salário-base? Como os aumentos incidem sempre sobre o valor inicial, o valor final será: 1 200 . 0,20 = 240 1 200 . 0,05 = 60 Vf = 1 200 + 240 + 60 = 1 500 ou 1 200 ( 1 + 0,25) = 1 500 A taxa total de aumentos será 0,20 + 0,05 = 0,25 Assim, um valor inicial submetido a vários aumentos simultâneos pode ser calculado por: Vf Vf = Vi ( 1 + i + i + … + i ) Vi = 1 + i + i + ... + i E se fossem descontos simultâneos: Vf = Vi ( 1 – i - i - .... – i ) Vf Vi = 1 – i - i - ... – iATIVIDADES:1.Uma fatura de R$ 10 000,00 sofrerá descontos sucessivos de 5 % e 8 %. Por quanto esta fatura seráliquidada?(R$ 8 740,00)2.Uma fatura de R$ 10 000,00, por motivo de atraso em seu pagamento sofre aumentos sucessivos de10% e 15%. Qual o valor final dessa fatura? ( R$ 12 650,00)3.Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 10%, 4% e5%. Sabendo que o valor da fatura é de R$ 48 000,00, qual o valor líquido da mesma? (R$ 39 398,40)4.Sobre um artigo de R$ 2 500,00 incide um imposto federal de 10% e um estadual de 4%. Qual o preçofinal desse artigo? (R$ 2 850,00)5.Uma indústria resolve diminuir sua produção mensal, de 50 000 unidade, em 5 %. Um mês depois,resolve diminuir novamente sua produção em mais 7%. Qual a produção atual dessa indústria?(44 175)6.O preço de uma mercadoria foi remarcada três vezes neste mês, passando a custar R$ 27 716,00.Quanto custava no mês passado se a primeira remarcação correspondeu a um acréscimo de 2,5% e asduas seguintes de 4% cada uma?( R$ 25 000,00)
  22. 22. 227.Um funcionário público do estado tem um salário-base de R$ 800,00 com descontos de 11% para o IPEe 2,5% de Fundo Aposentadoria, ambos calculados sobre o salário-base. Qual o valor de cada um dosdescontos? Qual o líquido a receber?( 88,00+20,00 = 108,00 , 692,00)8.Uma fábrica que têm preços tabelados para as suas mercadorias remarcou, com 30% de abatimento,as unidades que apresentavam defeitos de fabricação. Os revendedores que comprassem dez ou maisunidades teriam, ainda, 20% de abatimento sobre o preço remarcado. Um revendedor comprou dozeunidades com defeito. Qual a taxa total de desconto que lhe foi feito? Quanto pagou se o total devido erade R$ 1 852,00 e se fossem considerados os preços tabelados?( 44% - R$ 1 037,12)9.Uma pessoa empregou seu capital, sucessivamente,,em 4 empresas. Na primeira, ganhou 80% e, emcada uma das outras,perdeu 10%. Que taxa ganhou sobre o capital empregado? ( 31,22%)REVISANDO:1.Numa turma de alunos, a razão do número de moças para o número de rapazes é 3/4. Se nessa turmaexistem 24 rapazes, qual é o número de moças?2.Numa cidade, o número de funcionários públicos para o número de habitantes é, aproximadamente, de2/45. Se a população é de 30 000 habitantes, quantos são os funcionários públicos?3.Uma pesquisa entre indivíduos que pertencem aos dois grupos de maior risco de serem portadores dovírus da AIDS revelou que, de 80 homossexuais masculinos testados, 16 eram portadores do vírus e que,64 viciados em drogas injetáveis, 12 eram portadores. Com base nesses dados, qual dos dois grupos é omais propenso a transmitir a doença?4.Durante os jogos da Copa do Mundo, os brasileiros assistiram os jogos pela televisão na razão de 5/8.Considerando que a população atual brasileira é aproximadamente 176 milhões, qual o númeroaproximado de brasileiros que assistiram os jogos pela televisão?5.Três pessoas A,B e C, compraram juntas um bilhete de rifa que dá um prêmio de R$ 10 000,00. Apessoa A colaborou com R$ 10,00, a pessoa B com R$ 15,00 e a pessoa C com R$ 25,00. Caso o bilheteseja premiado, quanto receberá cada pessoa se o combinado foi que cada uma receberia uma quantiaproporcional ao dinheiro gasto?6.Numa sociedade comercial o sócio A entrou com 2/5 do capital durante ¾ do tempo e o sócio B com orestante do capital durante 2/3 do tempo. Sabendo que houve um prejuízo de 49 210,00, calcule a partedo prejuízo que toca a cada sócio.7.Dividindo o número 380 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 4, qual é a maior parte?8.Distribua o lucro de R$ 28 200,00 entre dois sócios de uma empresa, sabendo que o primeiro aplicouR$ 80 000,00 na sociedade durante 9 meses e que o segundo aplicou R$ 20 000,00 durante 11 meses.9.Para transportar um certo volume de areia para uma construção foram utilizados 30 caminhões,carregados com 4 m³ de areia cada um. Adquirindo–se caminhões com capacidade para 12 m³ de areia,quantos caminhões seriam necessários para fazer tal serviço?10.Qual é o principal que à taxa de 20% resulta numa porcentagem de 36?
  23. 23. 239.CÂMBIO: Quando importamos algo dos Estados Unidos, da Alemanha ou da Inglaterra, efetuamos opagamento em dólares, marcos ou libras, respectivamente. Esse procedimento dá origem ao câmbio, que éa operação de troca de moedas entre dois países. É evidente que, para ser possível a realização dessa troca, é necessário estabelecermos uma relaçãode equivalência entre várias moedas. Essa relação de equivalência, que é o preço da moeda estrangeiraem termos de moeda nacional, é o que denominamos taxa de câmbio. Assim, se um dólar custasse R$ 3,50, a taxa de câmbio do dólar seria de R$ 3,50 ( US$ 1,00 =3,50), ou seja, na compra de um dólar gastaremos R$ 3,50, na compra de 2 dólares, R$ 7,00 e assim pordiante. As taxas de câmbio são agrupadas em tabelas de cotações, que contém dois valores para a moedaestrangeira: um de compra (preço que o agente cambial pagará na compra da moeda) e outro de venda (preço que o agente cambial cobrará na venda da moeda). A diferença é o lucro do agente cambial. Uma vez fixada a taxa de câmbio, o problema de conversão de moedas se reduz a um problema deregra de três simples e direta. Exemplo: Uma pessoa que viajará para os Estados dispõe de R$ 2 800,00 para a viagem. Quantos dólaresconseguirá comprar? 1 dólar R$ 3,50 x R$ 2 800.00 x = 2 800,00 : 3,50 x = US$ 8009.1.OPERAÇÃO CAMBIAL: Operação cambial é a transferência de somas de dinheiro sem a necessidade de efetivamentetransportarmos moedas. Essas transferências se fazem por intermédio de bancos do mesmo país ou de países distintos.Quando o câmbio se faz entre bancos do mesmo país, é chamado interior; quando se realiza ente bancosde países diferentes, exterior. No câmbio exterior, podemos ter câmbio direto ou indireto. Assim, supondo que um importador brasileiro deva pagar uma dívida a um exportador francês, elepode proceder de duas maneiras:  fazendo uma remessa de francos para um banco francês por um intermédio de um banco brasileiro, no valor da dívida  fazendo, previamente, uma remessa no valor da dívida a um banco italiano, quando então fará uma letra de câmbio em liras para que, por sua vez, o banco italiano remeta à França a soma em francos. O procedimento empregado para determinar qual é o câmbio mais conveniente é chamado arbitragem.9.2.ÁGIO e DESÁGIO: Chamamos de ágio a taxa porcentual de aumento de uma moeda, numa determinada época(valorização da moeda). Em contrapartida, a desvalorização da moeda é chamada de deságio.Exemplo:Qual o ágio do dólar americano que passou de um dia para o outro de RS 3,98 para RS 3,59?
  24. 24. 24 Aplicando o conhecimento de porcentagem temos: 3,98 100% 0,39 x x = 39 : 3,98 = 0, 0 98 i = 0,098ATIVIDADES:1.Tenho 250 dólares. Quantos reais irei apurar, recorrendo ao câmbio oficial?2.Quantos dólares poderei adquirir com R$ 50 000 ,00?3.Com 200 dólares um turista conseguiu comprar R$ 716 reais. Qual foi a taxa de câmbio?4.A moeda de um determinado país vale hoje no Brasil R$ 1,20 e, ontem, valia R$ 1,50. Houve ágio oudeságio? De quanto por cento?5.O dólar que em certo dia estava cotado em R$ 3,30, sofreu um ágio de 0,03%.. A quanto estaria odólar no dia seguinte?10.SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO (JUROS): Nos dias de hoje as pessoas que têm algum dinheiro disponível, procura alguma maneira deemprega-lo de forma a obter mais dinheiro, seja na aquisição de bens, seja no mercado financeiro, ou,simplesmente, emprestando a terceiros. Para que essas operações financeiras sejam executadassão necessários cálculos adequados a cada situação. Iniciaremos fixando ou relembrando alguns conceitosbásicos iniciais: CAPITAL: qualquer quantidade de dinheiro, que esteja disponível em certa data, para ser aplicadonuma operação financeira. Também recebe o nome de valor atual ou valor presente. Indicaremos ocapital inicial por PV ( Valor presente ) JUROS: remuneração paga ao dono do capital como compensação pelo uso do dinheiro., ou seja,o custo do capital durante determinado período de tempo. Indicaremos os juros por j. TAXA DE JUROS: unidade de medida de juros que corresponde à remuneração paga pelo uso docapital empregado num determinado período financeiro: ao dia, ao mês, ao bimestre, ao semestre, ao ano,etc. Pode apresentar-se na forma porcentual (3% ao m ) ou na forma unitária (0,03 ao m). Indicaremos ataxa por i. PRAZO: tempo que decorre desde o início até o final de uma operação financeira. O prazo écontado em períodos de tempo, sendo o menor deles o dia (dia, mês, bimestre, trimestre, ano...)Indicaremos o prazo por n MONTANTE: soma do valor presente (capital) aplicado e os juros que este rendeu num certotempo a uma determinada taxa. Indicaremos o montante por FV (valor futuro). ( FV = PV + j ) REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO: é a operação de adição dos juros ao capital Existem dois regimes de capitalização: o regime de capitalização simples e o regime decapitalização composta.
  25. 25. 25 O regime de capitalização simples ou juros simples consiste em somar os juros ao capital umaúnica vez, no final do período contratado. O cálculo é feito sempre sobre o capital inicial e o montanteserá a soma do capital inicial com os juros, o que equivale a uma única capitalização. O saldo cresce emprogressão aritmética. No regime de capitalização composta ou juros compostos os juros são capitalizados no final decada período e o montante assim constituído passará a render juros durante o período seguinte. O saldocresce em progressão geométrica.10.1.REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES: Os problemas envolvendo juros simples pode ser resolvidos por uma regra de três composta.Exemplo: Calcular o juro produzido por R$ 8 000,00, à taxa de 5% ao ano, durante 2 anos. Os 5% ao ano significam que em cada 100,00 ganhamos R$ 5,00 em 1 ano. Montando a regra de três composta temos: Capital Juro Tempo 100 5 1 8 000 x 2 5 100 1 5 100 = . = x 8000 2 x 16000 100x = 80 000 x = 800,00 O juro produzido é de R$ 800,00Substituindo, temos: 100 i 1 PV j n i 100 1 i 100 PV .i.n = . = j= j PV n j PV .n 100Usando taxa unitária temos: J = PV . i . nDaí, podemos deduzir: j j j PV = i = n= I.n PV . n PV . iIMPORTANTE: i e n devem ter as mesmas unidades. Por exemplo: se temos uma taxa diária, n deveser calculado em dias; se a taxa for mensal, n deve ser calculado em meses, etc.
  26. 26. 26Montante: Há problemas em que é necessário trabalhar com a soma do capital mais os juros. O resultadodessa soma , como já vimos, recebe o nome de montante, ou seja: FV= PV+ j Como j = PV . i . n , podemos reescrever a expressão acima da seguinte maneira; FV = PV + PV . i . n Colocando C em evidência, temos: FV = PV ( 1 + i . n) FV PV = 1+i.nATIVIDADES:1.Qual é o juro simples que um capital de R$ 30 000,00 produz, quando aplicado durante 5 meses, a umataxa de 3,5% ao mês? (R$ 5 250,00)2.Qual é o juro simples que um capital de R$ 2 500,00 rende quando aplicado durante um ano , à taxamensal de 2%? (R$ 600,00)3.Um capital de R$ 10 000,00,investido a juros de 13% ao ano, foi sacado após três meses e dez dias, acontar da data inicial do investimento, Qual foi o juro? (R$ 361,11)4.Qual a taxa mensal de juros simples que deverá incidir sobre um capital de R$ 5 000,00 para que este,em quatro meses e meio, renda R$ 720,00? ( 3,2% ao mês)5.Que capital inicial rende R$ 2 000,00 em 50 dias, a uma taxa de 0,2% ao dia? (R$ 20 000,00)6.Calcular os juros simples que um capital de R$ 2 500,00 rende à taxa de 2,7 % ao m, quando aplicadode 1º de fevereiro até 14 de maio. (R$ 229,50)7.Um banco anuncia que um investimento de R$ 9 523,80 rende em seis meses a quantia se R$ 1047,62.De quanto será a taxa anual, calculada com base no ano comercial? ( R$ 22%)8.Calcular em quanto tempo um capital de R$ 1 200,00 renderá R$ 144,00 de juros quando aplicado auma taxa de 3% ao m. (4 meses)9.Calcular os juros de R$ 1 200,00, aplicados a uma taxa de 15% ao ano, durante três meses e dez dias.(R$ 50,00)10.Qual será o montante resultante de uma aplicação de R$ 29 800,00, à taxa de 1,2% ao m., durante 6meses? (R$ 31 945, 60)11.Coloquei uma certa quantia em um banco a 12% ao ano e retirei depois de 4 anos, R5 928,00.Quanto recebi de juros, sabendo que a aplicação foi feita à base de juros simples? ( C = R$ 627,03 e
  27. 27. 27j =R$ 300,97)12.Emprestei uma certa quantia a 12% ao ano e recebi R$ 3 230,00 depois de 2 anos e 4 meses. Quantoemprestei?(R$ 2 523,40)13.A que taxa anual um certo capital deve ser aplicado para que, num prazo de 2 anos, triplique devalor? (100%)14.Calcular o montante de uma aplicação a juros simples de um capital de R$ 250 000,00, à taxa mensalde 11 %, feita em 14 de março e resgatada em 3 de abril do mesmo ano. (R$ 268 325,00)ATIVIDADES DE REVISÃO: 1.Duas pessoas ganharam comissões sobre vendas, sendo que uma delas recebeu R$ 45,00 a mais que aoutra. Qual a comissão de cada uma, sabendo que há entre elas uma razão de 4/9. (36,00 e 81,00)2. Os salários de João e José estão entre si assim como 7 está para 8. Calcule esses salários, sabendo queo triplo do salário de João menos o dobro do de José é R$ 5 000,00 (7 000,00 e 8 000,00)3.O lucro de uma determinada empresa foi dividido entre seus três sócios, na proporção de 3, 5 e 9.Sabendo que o segundo sócio recebeu R$ 40 000,00 a mais que o primeiro, qual foi o lucro total e quantocoube a cada sócio? (60 000, 100 000 e 180 000)4.Três trabalhadores receberam ao todo R$ 3 600,00. O primeiro trabalhou 10 dias à razão de 8 horaspor dia; o segundo, 20 dias à razão de 6 horas por dia; e o terceiro, 25 dias à razão de 4 horas por dia.Quanto recebeu cada um?5.Três sócios sofreram um prejuízo de R$ 14 400.00. Os três entraram para a sociedade com o mesmocapital, ficando o primeiro durante 8 meses, o segundo 10 e o terceiro 12 meses. Qual foi o prejuízo decada um?6.Uma empresa com dois sócios lucrou R$ 6 400,00. O primeiro sócio empregou R$ 1000,00 durante 1ano e 4 meses: e o segundo, R$ 2 000,00 durante 8 meses. Quanto recebeu cada sócio? ( 3 200,00)7.Seis digitadores preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 digitadores, de mesmacapacidade, prepararão 800 páginas?8.Trabalhando 8 horas por dia, os 2 500 operários de uma indústria automobilística produzem 500veículos em 30 dias. Quantos dias serão necessários para que 1 200 operários produzam 450 veículostrabalhando 10 horas por dia? ( 45 dias)9.Uma prova de Matemática,com índice de dificuldade avaliado pelo professor em 20, teve a média de 8em uma classe. Qual seria a média da mesma classe se o índice de dificuldade fosse elevado para 25?10 Em três dias foram construídos 3/10 do comprimento de um muro. Supondo que o trabalho continue aser feito no mesmo ritmo, quantos dias terão sido utilizados na construção total do muro?11.Qual é o principal que à taxa de 20% resulta numa porcentagem de 36?
  28. 28. 2812.Qual é a taxa que, aplicada num capital de R$ 720 000,00, resulta numa porcentagem de R$ 21600,00?13.Uma mercadoria que custava R$ 2 500,00 teve um aumento, passando a custar R$ 2 700,00. Qual foi ataxa de aumento sobre o custo? Qual foi taxa de aumento sobre a venda?14.Uma fatura sofreu abatimento de 13%, resultando num valor líquido de R$ 4 350,00. Qual era o valorinicial da fatura?15.Sobre uma fatura de R$ 100 000,00 são feitos descontos sucessivos de 10%, mais 6% e mais 3%. Qualé o valor líquido da fatura?16.Calcule o prejuízo de um comerciante que vendeu suas mercadorias por R$ 36 394,40, perdendo nessatransação a quantia equivalente a 3% sobre o preço de custo?17.Calcule o juro produzido por R$ 500, 00, à taxa de 64,8% ao ano, durante 45 dias?18.Depositei certa quantia num banco e recebi o montante de R$ 6 400,00 ao fim de 40 dias. Se aaplicação foi feita à taxa de 6% ao ano, quanto recebi de juros?19.Determine a que taxa mensal esteve aplicado um capital de R$ 48 000,00 que, em 3 meses e 20 dias,rendeu R$ 440,00 de juros20.Calcule o montante do capital de R$ 75 000,00, colocado a juros simples, à taxa de 2 ¾ % ao mês, nofim de 6 meses.21.Um empréstimo foi feito em 3 de março, com prazo de pagamento para 30 dias. Tendo em vista ocritério do prazo exato, qual é a data de vencimento dessa operação? E se fosse prazo comercial?22.Que quantia devo colocar a 3% ao ano para no mesmo prazo ter os mesmos juros que R$ 15 000,00 a4% ao ano?(R$ 20 000,00)23.A que taxa simples deve ser aplicado um capital para que no final de 10 meses produza um rendimentoigual a 3/5 de si próprio? (6% ao m)24. A pessoa A comprou um apartamento por R$ 50 000,00 e alugou-o a R$ 700,00 mensais. A pessoa Bcomprou um apartamento por R$ 85 000,00 e alugou-o a R$ 1 105,00 mensais. Qual das duas pessoasestá fazendo o melhor negócio? (A pessoa A)25.O capital de R$ 50 000,00 ficou aplicado durante seis meses e rendeu R$ 3 000,00 de juros. A que taxaesteve empregado? (6% ao semestre)26.Um investimento de R$ 8 000,00 foi aplicado a uma taxa mensal de 3,2% durante 3 meses. Qual omontante a) se for juros simples? b) se for juros compostos?

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