Questões de matemática selecionadas dos principais vestibulares de São Paulo.

1. LISTAS DE EXERCÍCIOS
POLINÔMIOS

2. POLINÔMIOS
1
01. (Unicamp 2016) Considere o polinômio cúbico 3 2
p(x) x x ax 3,
= + − − onde a é um número real. Sabendo que r
e r
− são raízes reais de p(x), podemos afirmar que p(1) é igual a
a) 3.
b) 1.
c) 2.
−
d) 4.
−
02. (Insper 2016) Considere um polinômio P(x) do 4º grau, de coeficientes reais, tal que:
- P( 3) P(1) P(5) 0;
− = = =
- P(0) e P(2) são, ambos, números positivos.
Nessas condições, os sinais dos números P( 5),
− P(4) e P(6) são, respectivamente,
a) positivo, negativo e negativo.
b) positivo, negativo e positivo.
c) negativo, negativo e negativo.
d) negativo, positivo e negativo.
e) negativo, positivo e positivo.
03. (Insper 2016) Se as raízes da equação 3 2
x 4x 7x 10 0
+ − − =são 5,
− 1
− e 2, então a soma dos quadrados das
raízes da equação 3 2
(x 3) 4(x 3) 7(x 3) 10 0
− + − − − − =
é igual a
a) 16.
b) 25.
c) 29.
d) 33.
e) 41.
04. (Mackenzie 2016) Na equação 3 2 20
(x x x 1) 0,
− + − = a multiplicidade da raiz x 1
= é
a) 1
b) 18
c) 9
d) 20
e) 40
05. (Mackenzie 2016) A equação 3 2
2x 3x 3x 2 0
+ − − = tem como raízes
1
,
2
− m e n. Então, n
m é igual a
a) 1
− ou 0
b)
1
2
− ou 2
c) 2
− ou 1
−
d)
1
2
ou
1
2
−
e) 2
− ou 1

3. POLINÔMIOS
2
06. (Fgv 2015) Se 2
x x 1
− − é um dos fatores da fatoração de 3 2
mx nx 1,
+ + com m e n inteiros, então, n m
+ é igual
a
a) 2.
−
b) 1.
−
c) 0.
d) 1.
e) 2.
07. (Unicamp 2015) Considere o polinômio 3 2
p(x) x x ax a,
= − + − onde a é um número real. Se x 1
= é a única raiz
real de p(x), então podemos afirmar que
a) a 0.
<
b) a 1.
<
c) a 0.
>
d) a 1.
>
08. (Fgv 2015) Considere o polinômio P(X) tal que 2
x
P x x 1.
3
 
= + +
 
 
A soma de todas as raízes da equação P(3x) 7
=
é igual a
a)
1
9
−
b)
1
3
−
c) 0
d)
5
9
e)
5
3
09. (Unesp 2015) Sabe-se que 1 é uma raiz de multiplicidade 3 da equação 5 4 3 2
x 3 x 4 x 4 x 3 x 1 0.
− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − =As
outras raízes dessa equação, no Conjunto Numérico dos Complexos, são
a) ( )
1 i
− − e ( )
1 i .
+
b) ( )2
1 i .
−
c) ( )
i
− e ( )
i .
+
d) ( )
1
− e ( )
1 .
+
e) ( )
1 i
− e ( )
1 i .
+

4. POLINÔMIOS
3
10. (Mackenzie 2015) Seja 3 2
P(x) 2x 11x 17x 6
= − + − um polinômio do 3º grau e 2x 1
− um de seus fatores. A média
aritmética das raízes de P(x) é
a)
7
2
b)
8
2
c)
9
2
d)
10
2
e)
11
6
11. (Insper 2014) A equação 3 2
x 3x 7x 5 0
− + − = possui uma raiz real r e duas raízes complexas e não reais 1
z e 2
z .
O módulo do número complexo 1
z é igual a
a) 2.
b) 5.
c) 2 2.
d) 10.
e) 13.
12. (Unesp 2014) O polinômio 3
P(x) a x 2 x b
= ⋅ + ⋅ + é divisível por x – 2 e, quando divisível por x + 3, deixa resto –45.
Nessas condições, os valores de a e b, respectivamente, são
a) 1 e 4
b) 1 e 12
c) –1 e 12
d) 2 e 16
e) 1 e –12
13. (Unesp 2014) Sabe-se que, na equação 3 2
x 4x x 6 0,
+ + − = uma das raízes é igual à soma das outras duas. O
conjunto solução (S) desta equação é
a) S = {– 3, – 2, – 1}
b) S = {– 3, – 2, + 1}
c) S = {+ 1, + 2, + 3}
d) S = {– 1, + 2, + 3}
e) S = {– 2, + 1, + 3}
14. (Espm 2014) O trinômio 2
x ax b
+ + é divisível por x 2
+ e por x 1.
− O valor de a b
− é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

5. POLINÔMIOS
4
15. (Mackenzie 2014) Se são as raízes da equação onde p e q são coeficientes reais e
é uma das raízes dessa equação, então é igual a
a) 15
b) 9
c) – 15
d) – 12
e) – 9
16. (Fgv 2014) O número 1 é raiz de multiplicidade 2 da equação polinomial 4 3 2
x 2x 3x ax b 0.
− − + + =
O produto
a b
⋅ é igual a
a) -8
b) -4
c) -32
d) 16
e) -64
17. (Espm 2013) O resto da divisão do polinômio 5 2
x 3x 1
− + pelo polinômio 2
x 1
− é
a) x – 1
b) x + 2
c) 2x – 1
d) x + 1
e) x – 2
18. (Insper 2013) A figura, feita fora de escala, representa a planta de uma sala de aula, que conta com uma área para
armários dos alunos (parte hachurada).
A sala está sendo projetada de modo que o teto fique a uma distância de x metros do chão e, para que haja uma
ventilação adequada, o volume total da sala mais o hall de entrada, descontando-se o espaço dos armários (que vão
até o teto), deve ser de 280 m3
. O menor valor de x que atende a todas essas condições é
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
, e
α β γ 3 2
x x px q 0,
+ + + =
1 2i
α= − α β γ
⋅ ⋅

6. POLINÔMIOS
5
19. (Fgv 2013) A equação 4
x 16
−
= tem
a) duas raízes reais e duas raízes imaginárias conjugadas.
b) pelo menos duas raízes iguais.
c) uma única raiz imaginária.
d) quatro raízes reais.
e) quatro raízes cujo produto é
1
.
4
−
20. (Unesp 2013) A equação polinomial x3
– 3x2
+ 4x – 2 = 0 admite 1 como raiz. Suas duas outras raízes são
a) ( ) ( )
1 3 i e 1 3 i .
+ ⋅ − ⋅
b) ( ) ( )
1 i e 1 i .
+ −
c) ( ) ( )
2 i e 2 i .
+ −
d) ( ) ( )
1 i e 1 i .
− + − −
e) ( ) ( )
1 3 i e 1 3 i .
− + ⋅ − − ⋅
GABARITO
1 - D 2 - D 3 - D 4 - D 5 - E
6 - B 7 - C 8 - A 9 - C 10 - E
11 - B 12 - E 13 - B 14 - D 15 - C
16 - C 17 - E 18 - A 19 - A 20 - B