Lista 02 - 2ª fase - 2008/2009

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Lista 02 - 2ª fase - 2008/2009

  1. 1. MACVEST MATEMÁTICA E Lista FUVEST 2ª fase - Parte I – Provas de 2008/2009 Lista de exercícios II – FUVEST 1ª fase – Prova de 2009 Provas Fuvest 2008/2009 – 2ª Fase01 (2008) Na figura ao lado, a reta r tem equação y=2 √ 2 x +1 noplano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B0, B1, B2, B3 estão na reta r,sendo B0(0,1) . Os pontos A0, A1, A2, A3 estão no eixo Ox, comA0 =O(0,0). O ponto Di pertence ao segmento AiBi , para 1≤i≤3. Ossegmentos A1B1 , A2B2 , A3B3 são paralelos ao eixo Oy, os segmentosB0D1 , B1D2 , B2D3 são paralelos ao eixo Ox, e a distância entre Bi e Bi+1é igual a 9, para 0≤i≤2 .Nessas condições:a) Determine as abscissas de A1, A2, A3 .b) Sendo Ri o retângulo de base Ai Ai+1 e altura Ai+1 Di+1, para 0≤i≤2 ,calcule a soma das áreas dos retângulos R0 , R1 e R2 .02 (2008) Na figura, estão representadas a circunferência C, de centro O e raio 2,e os pontos A, B, P e Q, de tal modo que:1. O ponto O pertence ao segmento PQ .2. OP=1, OQ=√2.3. A e B são pontos da circunferência, AP é perpendicular a PQ e BQ éperpendicular a PQ.Assim sendo, determine:a) A área do triângulo APO .b) Os comprimentos dos arcos determinados por A e B em C.c) A área da região hachurada.03 (2008) Considere o sistema de equações nas variáveis x e y dado por: {2mx4x +2m²y=0 +(2m−1) y=0Desse modo:a) Resolva o sistema para m=1.b) Determine todos os valores de m para os quais o sistema possui infinitas soluções.c) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite uma solução da forma(x,y)=(α,1), sendo α um número irracional.‫ﺨ‬ĜĜĜ04 (2008) O triângulo ABC da figura ao lado é eqüilátero de lado 1. Os pontos E, F e Gpertencem, respectivamente, aos lados AB , AC e BC do triângulo. Além disso, os ângulosAFE e CĜF são retos e a medida do segmento AF é x. Assim, determine:a) A área do triângulo AFE em função de x .b) O valor de x para o qual o ângulo FÊG também é reto05 (2008) A soma dos cinco primeiros termos de uma PG , de razão negativa, é 1/2 . Alémdisso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3. Nessascondições, determine:a) A razão da PG.b) A soma dos três primeiros termos da PG.06 (2008) Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, 10 garrafas de vinho de um lote constituído por 4 garrafasda Espanha, 5 garrafas da Itália e 6 garrafas da França, todas de diferentes marcas.a) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas desse lote?b) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas do lote, sendo 2 garrafas da Espanha, 4 da Itália e 4 daFrança?c) Qual é a probabilidade de que, escolhidas ao acaso, 10 garrafas do lote, haja exatamente 4 garrafas da Itália e,pelo menos, uma garrafa de cada um dos outros dois países? 1
  2. 2. 07 (2008) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto A(-5,1) e é tangente à reta t de equação4x-3y-2=0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox.Assim:a) Determine as coordenadas do ponto P.b) Escreva uma equação para a circunferência C .c) Calcule a área do triângulo APQ.08 (2008) Para cada número real m, considere a função quadrática f(x)=x²+mx+2.Nessas condições:a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y=f (x) .b) Determine os valores de m ϵ IR para os quais a imagem de f contém o conjunto {y ϵ IR : y ≥1} .c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto {y ϵ IR : y ≥1} e, além disso, f écrescente no conjunto {x ϵ IR : x ≥ 0} .d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c) e para cada y≥2 , o único valor de x≥0 talque f(x)=y. 2 309 (2008) Seja x no intervalo ]0,π/2[ satisfazendo a equação tg x+ sec x= . √5 2Assim, calcule o valor de:a) sec x.b) sen(x + π/4).10 (2008) A figura representa uma pirâmide ABCDE, cuja base é oretângulo ABCD. Sabe-se que AB=CD= √ 3 2 AD =BC =AE=BE=CE= DE=1 1 AP=DQ = 2Nessas condições, determine:a) A medida de BP .b) A área do trapézio BCQP .c) O volume da pirâmide BPQCE .11 (2009) João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastandoR$21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastandoR$ 57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totalizaR$ 10,00, calcule o preço de cada um desses itens.12 (2009) No triângulo ABC , tem-se que AB > AC, AC = 4 e cosĈ = 3/8. Sabendo-se que o ponto R pertence aosegmento BC e é tal que AR=AC e BR/BC = 4/7, calcule:a) a altura do triângulo ABC relativa ao lado BC .b) a área do triângulo ABR .13 (2009) Um polinômio de grau 3 possui três raízes reais que, colocadas em ordem crescente, formam umaprogressão aritmética em que a soma dos termos é igual a 9/5. A diferença entre o quadrado da maior raiz e oquadrado da menor raiz é 24/5. Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinômio é 5, determine:a) a progressão aritmética.b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio.14 (2009) O círculo C , de raio R , está inscrito no triângulo eqüiláteroDEF . Um círculo de raio r está no interior dotriângulo DEF e é tangente externamente a C e a dois lados dotriângulo, conforme a figura.Assim, determinea) a razão entre R e r .b) a área do triângulo DEF em função de r . 2
  3. 3. 15 (2009) A medida x, em radianos, de um ângulo satisfaz π/2 < x < π e verifica a equação: sen(x)+sen(2x)+sen(3x)=0.Assim,a) determine x.b) calcule cos(x)+cos(2x)+cos(3x).16 (2009) São dados, no plano cartesiano de origem O, a circunferência de equação x²+y²=5, o ponto P (1, √ 3 ) ea reta s que passa por P e é paralela ao eixo y. Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta s intercepta acircunferência. Assim sendo, determine:a) a reta tangente à circunferência no ponto E.b) o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE.17 (2009) Em um jogo entre Pedro e José, cada um deles lança, em cada rodada, um mesmo dado honesto umaúnica vez. O dado é cúbico, e cada uma de suas 6 faces estampa um único algarismo de maneira que todos osalgarismos de 1 a 6 estejam representados nas faces do dado. Um participante vence, em uma certa rodada, se adiferença entre seus pontos e os pontos de seu adversário for, no mínimo, de duas unidades. Se nenhum dosparticipantes vencer, passa-se a uma nova rodada. Dessa forma, determine aprobabilidade dea) Pedro vencer na primeira rodada.b) nenhum dos dois participantes vencer na primeira rodada.c) um dos participantes vencer até a quarta rodada.18 (2009) Um poste vertical tem base quadrada de lado 2. Uma corda decomprimento 5 está esticada e presa a um ponto P do poste, situado à altura 3 dosolo e distando 1 da aresta lateral. A extremidade livre A da corda está no solo,conforme indicado na figura. A corda é então enrolada ao longo das faces (1) e(2), mantendo-se esticada e com a extremidade A no solo, até que a corda toqueduas arestas da face (1) em pontos R e B, conforme a figura.Nessas condições,a) calcule PR.b) calcule AB. −1+i √ 319 (2009) A figura representa o número ω= no plano complexo, sendo i= √−1 unidade 2imaginária. Nessas condições:a) determine as partes real e imaginária de 1 e de ω3 . ωb) represente a resposta da alternativa a na figura.c) determine as raízes complexas da equação z³–1=0. 3
  4. 4. 20 (2009) Pedrinho, brincando com seu cubo mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira que: – apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, conforme ilustra a foto; – os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um triângulo eqüilátero.Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunferência de raio 2 √ 3 cm, determine o volume da parte do cubo queficou no interior do copo.Lista de exercícios II – Fuvest 1ª fase – Prova de 200901 (2009) Há um ano, Bruno comprou uma casa por R$ 03 (2009) O polinômio p(x)=x³+ax²+bx, em que a e b são50.000,00. Para isso, tomou emprestados R$ 10.000,00 números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x–2de Edson e R$ 10.000,00 de Carlos, prometendo e x–1 respectivamente. Assim, o valor de a é:devolver-lhes o dinheiro, após um ano, acrescido de 5% (a )−6 (b)−7 (c)−8 (d )−9 ( e)−10e 4% de juros, respectivamente. A casa valorizou 3%durante este período de um ano. Sabendo-se que Bruno 04 (2009) Os comprimentos dos lados de um triângulovendeu a casa hoje e pagou o combinado a Edson e ABC formam uma PA . Sabendo-se também que oCarlos, o seu lucro foi de: perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo  mede 120º, (a ) R $ 400,00 então o produto dos comprimentos dos lados é igual a: (b) R$ 500,00 (a )25 ( b)45 (c) 75 ( d )105 (e)125 (c )R $ 600,00 (d ) R$ 700,00 05 (2009) O número real a é o menor dentre os valores de x que satisfazem a equação: (e )R $ 800,00 2 log 2( 1+ √ 2 x)−log 2 ( √ 2 x)=3 .02 (2009) Na figura, B, C e D são pontos distintos da 2a + 4circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a ela. Então , log 2 ( 3 ) é igual a:Além disso: 1 1 3(1) A, B,C e A,O, D são colineares; (a ) (b) ( c)1 (d ) (e )2(2) AB=OB ; 4 2 2(3) CÔD mede α radianos.Nessas condições, a medida de ABO , em radianos, é 06 (2009) A figuraigual a: representa sete hexágonos regulares (a ) π−α de lado 1 e um 4 α hexágono maior, cujos (b)π− vértices coincidem 2 com os centros de α seis dos hexágonos (c )π−2 3 menores. Então, a (d )π−3 α área do pentágono 4 hachurado é igual a: (e )π−3 α 3 √3 ( d ) √ 3 (e) √ 2 3 (a )3 √ 3 (b)2 √ 3 ( c) 2 2 4
  5. 5. 08 (2009) Um fabricante de cristais produz três tipos de07 (2009) Considere, no plano cartesiano Oxy, a taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo nocircunferência C de equação (x+2)²+(y+2)²=4 e sejam P formato de uma semi-esfera de raio r ; a outra, noe Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, formato de um cone reto de base circular de raio 2r erespectivamente. Seja PQR o triângulo isósceles inscrito altura h; e a última, no formato de um cilindro reto deem C, de base PQ , e com o maior perímetro possível. base circular de raio x e altura h. Sabendo-se que asEntão, a área de PQR é igual a: taças dos três tipos, quando completamente cheias, comportam a mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão x/h é igual a: (a ) √ (b) √ (c) √ ( d ) √ 3 (e) √ 3 3 2 3 4 3 6 3 3 3 09 (2009) O ângulo θ formado por dois planos α e β é tal que tg θ tg θ= √5 . O ponto P pertence a β e a 5 distância de P a β vale 1. Então, a distância de P à reta intersecção de α e β é igual a: (a ) √ 3 (b) √5 ( c) √ 6 (d ) √ 7 (e) √8 (a ) 2 √ 2−2 10 (2009) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces (b)2 √ 2−1 numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A (c )2 √ 2 probabilidade de que sejam sorteados dois números (d )2 √ 2+2 consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de: 2 1 4 5 2 (e )2 √ 2+ 4 (a ) (b) (c ) ( d ) (e ) 9 3 9 9 3 5

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