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                                         Joelson Lima


        Verificação parcial da 2ª etapa pedagógica

Observação: é obrigatório apresentar todos os cálculos de maneira organizada usando lápis (grafite).

   1. Verifique se a afirmação é verdadeira: “Uma das soluções (raízes) da equação
      2 x ² − 4 x − 6 = 0 é x = 3 .”

        Resposta:

        2 * 3² − 4 * 3 − 6 = 0
        2 * 9 − 12 − 6 = 0
        18 − 12 − 6 = 0
        6−6 = 0
        0=0

        A afirmação é verdadeira!

   2. Determine o valor de x , sabendo que a área do quadrado é igual a 121cm² .

                  3x             5


   3x




   5

        (3x + 5)2 = 121
          (3 x + 5)² = ± 121
        3 x + 5 = ±11
        3 x + 5 = 11 → 3 x = 11 − 5 → 3 x = 6 → x1 = 2
                                                    16
        3 x + 5 = −11 → 3 x = −11 − 5 → 3x = −16 → x2 = −
                                                     3
        Como se trata de cálculo de área, então o valor de x é 2.
3. Resolva a equação do 2º grau x ² − 14 x + 49 = 0 usando o método direto.

   Resposta:

   x ² − 14 x + 49 = 0
   x ² − 14 x = −49
   x ² − 14 x + 7² = −49 + 7²
   ( x − 7)² = −49 + 49
   ( x − 7)² = 0
     ( x − 7)² = ± 0
   x−7 = 0
   x=7
   S = {7}

4. A figura representa um “cubo”, no qual AE é a diagonal da base, BC é a altura do cubo e
   AH é a diagonal do cubo. Qual é a medida de AH ? Dica: use o teorema de Pitágoras
   a ² = b² + c²




   Resposta:

             ( )
   d ² = 5² + 5 2 ²
   d ² = 25 + 25 * 2 = 25 + 50
   d ² = 25 * 3 = 75
     d ² = 25 * 3 = 75
   d =5 3
5. Resolva a equação do 2º grau 2 x ² − 6 x − 56 = 0 usando a fórmula de Bhaskara
        − b + b² − 4 * a * c        − b − b² − 4 * a * c
   x1 =                      e x2 =
              2*a                         2*a

   Resposta:

                   ∆ = (− 6 )² − 4 * 2 * (−56) = 36 + 448 = 484

   a=2                   − (−6) + 484 6 + 22 28
                    x1 =             =      =    =7
   b = −6                     2*2        4    4
                         − (−6) − 484 6 − 22 − 16
   c = −56          x2 =             =      =     = −4
                              2*2        4     4
                    S = {− 4,7}


6. Em um triângulo ABC, a medida da altura é 5 cm maior que a medida da base. Sabendo
   que a área do triângulo é igual a 25 cm², calcule as medidas da base e da altura desse
   triângulo.




   Resposta:

                                                                                     b*h
   Sabemos que a área da base de um triângulo é calculada pela fórmula A =               , que o
                                                                                      2
   valor da área do triângulo é A = 25cm² e que b = x e h = x + 5 .

   x * ( x + 5)
                = 25 → x * ( x + 5) = 2 * 25 → x ² + 5 x = 50 → x ² + 5 x − 50 = 0
         2
   Usando a fórmula de Bhaskara:

                   ∆ = 5² − 4 *1 * (−50) = 25 + 200 = 225
   a =1
                         − 5 + 225 − 5 + 15 10
   b=5              x1 =          =        =     =5
                             2 *1     2      2
   c = −50
                         − 5 − 225 − 5 − 15 − 20
                    x2 =          =        =      = −10
                             2 *1      2       2
Usando o método direto:

   x ² + 5 x = 50
                    2               2
               5        5
   x ² + 5 x +   = 50 +  
               2        2
            2
       5        25
    x +  = 50 +
       2        4
            2
     5   4 * 50 + 25 225
   x+  =            =
     2        4       4
                2
         5     225
     x+  = ±
         2      4
       5     15
   x+ =±
       2      2
        5 15        15 5   10
   x1 + = → x1 = − → x1 =     =5
        2 2          2 2    2
        5     15      15 5      20
   x1 + = − → x1 = − − → x1 = −    = −10
        2      2       2 2       2

   Portanto o valor da base é 5 cm e da altura é 10 cm.

7. A soma das raízes da equação kx ² + 3 x − 4 = 0 é 10. Qual é o valor de k e do produto das
                                    b         c
   raízes dessa equação? Use: S = − e P =
                                    a         a

   Resposta:

                  3                            3
   a=k                  −
                     = 10 → 10k = −3 → k = −
                  k                           10
   b=3                −4       10 40
                 P=       = 4* =
   c = −4               3       3     3
                     −
                       10
                              3                          40
   Portanto o valor de k é −      e o valor do produto é    .
                             10                           3

                                                             x ² − Sx + P = 0
8. Escreva a equação do 2° grau cujas raízes são 7 e 8. Use: S = x'+ x"
                                                             P = x'*x"

   Resposta:

                        S = 7 + 8 = 15
   x' = 7
                        P = 7 * 8 = 56
   x" = 8
                        x ² − 15 x + 56 = 0
 x + y = 15
9. Resolva o sistema             considerando x e y números reais.
                      x * y = 36

   Resposta:

    x + y = 15 (i)
   
    x * y = 36 (ii)
   (i) : x + y = 15 → y = 15 − x
   (ii) : x * y = 36 → x * (15 − x) = 36
   15 x − x ² = 36
   0 = x ² − 15 x + 36

   Usando a fórmula de Bhaskara:

   x ² − 15 x + 36 = 0
   a =1
   b = −15
   c = 36
   ∆ = (−15)² − 4 *1 * 36 = 225 − 144 = 81
        − (−15) + 81 15 + 9 24
   x1 =             =      =   = 12
             2 *1      2     2
        − (−15) − 81 15 − 9 6
   x2 =             =      = =3
             2 *1      2     2

   Usando o método direto:

   x ² − 15 x + 36 = 0
   x ² − 15 x = −36
                       2             2
                 15        15 
   x ² − 15 x +   = −36 +  
                2         2
             2
       15        225 − 4 * 36 + 225 − 144 + 225
    x −  = −36 +    =              =
        2         4         4            4
             2
     15  81
   x−  =
      2  4
                 2
         15     81
     x−  = ±
          2     4
       15      9
   x− =±
        2      2
        15 9        9 15   24
   x1 − = → x1 = + → x1 =     → x1 = 12
         2 2        2 2     2
        15      9     9 15    6
   x2 − = − → x2 = − + → x2 = → x2 = 3
         2      2     2 2     2
Para x1 = 12 :

   y1 = 15 − 12 = 3
   (12,3)

   Para x2 = 3

   y2 = 15 − 3 = 12
   (3,12)
   S = {(12,3); (3,12)}

10. A soma de dois números naturais primos é igual a 5 e o produto entre eles é igual a 6.
    Escreva o sistema de equações e resolva pelo método que achar mais fácil. Quais são
    esses números?

   Resposta:

   x + y = 5
   
   x * y = 6
   y =5− x
   x * (5 − x) = 6
   5x − x² = 6
   x² − 5x + 6 = 0
   x1 = 2 ⇒ y1 = 3
   x2 = 3 ⇒ y 2 = 2

   Portanto os números naturais primos são 2 e 3.




                                                                                Boa prova!!!

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  • 1. ALUNO(A) Nº Gabarito SÉRIE ENSINO TURNO NOTA 9º ano Fundamental II Manhã PROFESSOR(A) DATA Joelson Lima Verificação parcial da 2ª etapa pedagógica Observação: é obrigatório apresentar todos os cálculos de maneira organizada usando lápis (grafite). 1. Verifique se a afirmação é verdadeira: “Uma das soluções (raízes) da equação 2 x ² − 4 x − 6 = 0 é x = 3 .” Resposta: 2 * 3² − 4 * 3 − 6 = 0 2 * 9 − 12 − 6 = 0 18 − 12 − 6 = 0 6−6 = 0 0=0 A afirmação é verdadeira! 2. Determine o valor de x , sabendo que a área do quadrado é igual a 121cm² . 3x 5 3x 5 (3x + 5)2 = 121 (3 x + 5)² = ± 121 3 x + 5 = ±11 3 x + 5 = 11 → 3 x = 11 − 5 → 3 x = 6 → x1 = 2 16 3 x + 5 = −11 → 3 x = −11 − 5 → 3x = −16 → x2 = − 3 Como se trata de cálculo de área, então o valor de x é 2.
  • 2. 3. Resolva a equação do 2º grau x ² − 14 x + 49 = 0 usando o método direto. Resposta: x ² − 14 x + 49 = 0 x ² − 14 x = −49 x ² − 14 x + 7² = −49 + 7² ( x − 7)² = −49 + 49 ( x − 7)² = 0 ( x − 7)² = ± 0 x−7 = 0 x=7 S = {7} 4. A figura representa um “cubo”, no qual AE é a diagonal da base, BC é a altura do cubo e AH é a diagonal do cubo. Qual é a medida de AH ? Dica: use o teorema de Pitágoras a ² = b² + c² Resposta: ( ) d ² = 5² + 5 2 ² d ² = 25 + 25 * 2 = 25 + 50 d ² = 25 * 3 = 75 d ² = 25 * 3 = 75 d =5 3
  • 3. 5. Resolva a equação do 2º grau 2 x ² − 6 x − 56 = 0 usando a fórmula de Bhaskara − b + b² − 4 * a * c − b − b² − 4 * a * c x1 = e x2 = 2*a 2*a Resposta: ∆ = (− 6 )² − 4 * 2 * (−56) = 36 + 448 = 484 a=2 − (−6) + 484 6 + 22 28 x1 = = = =7 b = −6 2*2 4 4 − (−6) − 484 6 − 22 − 16 c = −56 x2 = = = = −4 2*2 4 4 S = {− 4,7} 6. Em um triângulo ABC, a medida da altura é 5 cm maior que a medida da base. Sabendo que a área do triângulo é igual a 25 cm², calcule as medidas da base e da altura desse triângulo. Resposta: b*h Sabemos que a área da base de um triângulo é calculada pela fórmula A = , que o 2 valor da área do triângulo é A = 25cm² e que b = x e h = x + 5 . x * ( x + 5) = 25 → x * ( x + 5) = 2 * 25 → x ² + 5 x = 50 → x ² + 5 x − 50 = 0 2 Usando a fórmula de Bhaskara: ∆ = 5² − 4 *1 * (−50) = 25 + 200 = 225 a =1 − 5 + 225 − 5 + 15 10 b=5 x1 = = = =5 2 *1 2 2 c = −50 − 5 − 225 − 5 − 15 − 20 x2 = = = = −10 2 *1 2 2
  • 4. Usando o método direto: x ² + 5 x = 50 2 2 5 5 x ² + 5 x +   = 50 +   2 2 2  5 25  x +  = 50 +  2 4 2  5 4 * 50 + 25 225 x+  = =  2 4 4 2  5 225 x+  = ±  2 4 5 15 x+ =± 2 2 5 15 15 5 10 x1 + = → x1 = − → x1 = =5 2 2 2 2 2 5 15 15 5 20 x1 + = − → x1 = − − → x1 = − = −10 2 2 2 2 2 Portanto o valor da base é 5 cm e da altura é 10 cm. 7. A soma das raízes da equação kx ² + 3 x − 4 = 0 é 10. Qual é o valor de k e do produto das b c raízes dessa equação? Use: S = − e P = a a Resposta: 3 3 a=k − = 10 → 10k = −3 → k = − k 10 b=3 −4 10 40 P= = 4* = c = −4 3 3 3 − 10 3 40 Portanto o valor de k é − e o valor do produto é . 10 3 x ² − Sx + P = 0 8. Escreva a equação do 2° grau cujas raízes são 7 e 8. Use: S = x'+ x" P = x'*x" Resposta: S = 7 + 8 = 15 x' = 7 P = 7 * 8 = 56 x" = 8 x ² − 15 x + 56 = 0
  • 5.  x + y = 15 9. Resolva o sistema  considerando x e y números reais.  x * y = 36 Resposta:  x + y = 15 (i)   x * y = 36 (ii) (i) : x + y = 15 → y = 15 − x (ii) : x * y = 36 → x * (15 − x) = 36 15 x − x ² = 36 0 = x ² − 15 x + 36 Usando a fórmula de Bhaskara: x ² − 15 x + 36 = 0 a =1 b = −15 c = 36 ∆ = (−15)² − 4 *1 * 36 = 225 − 144 = 81 − (−15) + 81 15 + 9 24 x1 = = = = 12 2 *1 2 2 − (−15) − 81 15 − 9 6 x2 = = = =3 2 *1 2 2 Usando o método direto: x ² − 15 x + 36 = 0 x ² − 15 x = −36 2 2  15   15  x ² − 15 x +   = −36 +   2 2 2  15  225 − 4 * 36 + 225 − 144 + 225  x −  = −36 + = =  2 4 4 4 2  15  81 x−  =  2 4 2  15  81 x−  = ±  2 4 15 9 x− =± 2 2 15 9 9 15 24 x1 − = → x1 = + → x1 = → x1 = 12 2 2 2 2 2 15 9 9 15 6 x2 − = − → x2 = − + → x2 = → x2 = 3 2 2 2 2 2
  • 6. Para x1 = 12 : y1 = 15 − 12 = 3 (12,3) Para x2 = 3 y2 = 15 − 3 = 12 (3,12) S = {(12,3); (3,12)} 10. A soma de dois números naturais primos é igual a 5 e o produto entre eles é igual a 6. Escreva o sistema de equações e resolva pelo método que achar mais fácil. Quais são esses números? Resposta: x + y = 5  x * y = 6 y =5− x x * (5 − x) = 6 5x − x² = 6 x² − 5x + 6 = 0 x1 = 2 ⇒ y1 = 3 x2 = 3 ⇒ y 2 = 2 Portanto os números naturais primos são 2 e 3. Boa prova!!!