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OIM 2011 - Olimpíada Interestadual de Matemática de 2011
                                                                     201



             1ª Fase - ível 3 (destinado aos 1os, 2os e 3os anos do Ensino Médio)

     ome completo: ________________________________________________________ Ano: ________
                              _____________________________________________

Atenção: caso seja necessário, considere ߨ ൌ 3,14.

1) Considere os números abaixo:


I.


II.


III.


IV.


V.

Podemos afirmar que:

(a) O menor dos números é IV.

(b) Apenas I, II e III são divisíveis por 3.

(c) Todos eles são ímpares.

(d) O algarismo das unidades de I, II, e III e IV é 1.

(e) Somente o algarismo das unidades de II é par.



2) Considere a taça de forma esférica mostrada abaixo.




Sabe-se que o raio dessa taça é de 8 cm e sua altura é de 6 cm. O volume dessa taça é, em mL,
      se
aproximadamente igual a:

(a) 67,8             (b) 6790                  (c) 6780     (d) 678              (e) 679
3) Considere x e y dois números naturais de modo que sua soma seja o menor número com 6
divisores. Qual é o maior valor possível para ‫?ݕ ∙ ݔ‬

(a) 27            (b) 35                 (c) 36                     (d) 21             (e) 12



4) Se 4௫ ൌ 3, o valor de 64ଶ௫ é:

(a) 64               (b) 512             (c) 729              (d) 784               (e) 1024



5) Considere a equação ‫ ݔ6 + ଺ ݔ4 + ଼ ݔ‬ସ + 4‫ ݔ‬ଶ + 1 ൌ 0. Podemos afirmar que

(a) ࢞ ∉ ℂ            (b) ‫ ∈ ݔ‬ℝ           (c) ‫ ∈ ݔ‬ℂ             (d) ‫ ∈ ݔ‬ℕ             (e) ‫ ∄ ݔ‬ℂ



6) Qual será o último ano bissexto do Século XXI?

(a) 2100            (b) 2092            (c) 2094              (d) 2098              (e) 2096



                               ଷ                                ଷ
7) A área de um pentágono é da área de um quadrilátero que é da área de um triângulo
                               ହ                                ହ
equilátero. Sabendo que a medida do lado do triângulo é 8 cm, podemos afirmar que a área do
pentágono é:

(a) 25√3         (b) 15√3            (c) 9√3               (d) 18√3                  (e) 5,4√3



8) Um torneio de futebol foi disputado por 2011 competidores. Na 1ª fase, todas as equipes, com
exceção do atual campeão (que já estava diretamente classificado para a 2ª fase) foram
divididas em grupos com 6 integrantes. Em cada um desses grupos,cada equipe enfrentava as
outras em turno único, classificando-se para a 2ª fase os 4 melhores de cada grupo. A partir da
2ª fase, cada equipe passa para a rodada seguinte somente em caso de vitória. Se não for
possível que sempre passe para a rodada seguinte um número par de jogadores, a organização
do torneio decide quais rodadas determinadas equipes devem jogar. Quantos jogos foram
realizados nesse torneio?

(a) 6320         (b) 6365             (c) 6450             (d) 6500                 (e) 6650



9) A figura abaixo é formada pela junção de um triângulo equilátero e um quadrado. Sua área é
49 + 8 √3 e o lado do quadrado mede 3 cm a mais que o lado do triângulo. O perímetro da figura
é, em cm




(a) 28          (b) 32               (c) 36                 (d) 40                   (e) 42
10) Se ܽଷ + ܾ ଷ + ܿ ଷ ൌ 3ܾܽܿ, então ܽ + ܾ + ܿ é:

(a) 6            (b) 4            (c) 2               (d) 0                (e) Não é possível definir.



11) Os habitantes do planeta OIM têm um curioso sistema de símbolos para se comunicarem.
Eles usam duas vogais (A e U), duas consoantes (G e D) e três números (5, 7 e 8). Suas
palavras são formadas de acordo com as seguintes regras:

1) todas as palavras começam com uma consoante e terminam com um número;

2) o 8 nunca aparece depois de vogal;

3) o 7 não se repete em uma palavra;

4) vogais, consoantes e números podem se repetir numa palavra, exceto no caso da 3) regra.

Quantas palavras com 3 símbolos e começadas com G existem para os habitantes do planeta
OIM?

(a) 6                (b) 10                (c) 12              (d) 15                    (e) 18



12) Na figura abaixo, que fração indica a parte pintada de preto?




      ଶ                    ସ                      ଷ                    ଼                          ସ
(a)                  (b)                    (c)                 (d)                         (e)
      ଷ                    ଷ                      ସ                    ସ                          ଼




                                                                                           2
13) No dia de seu aniversário em 2011, a avó de Joana disse a ela: “Eu nasci no ano x e
completei x anos em 1980. Quantos anos eu completo hoje?”. A resposta certa é:


(a) 64              (b) 67                  (c) 70                  (d) 72                     (e) 75



14) A equação ‫ ݔ‬ହ + ‫ 1 + ݔ‬ൌ 0:

(a) Tem 5 raízes reais, que são inteiras.
(b) Tem 3 raízes reais irracionais.
(c) Tem exatamente 2 raízes, que são complexas.
(d) Tem apenas 1 raiz real, que é irracional .
(e) Não tem raízes reais.

                                                                                  ෡
15) Num triângulo ABC, BD e CE são alturas, BD = CE e o ângulo A = 40°. O ângulo CBD vale:

(a) 10°           (b) 15°                 (c) 20°             (d) 25°                     (e) 30°
ଶ             ଵ                 ଵ
16) Das flores no jardim de uma casa, são tulipas, são papoulas, são girassóis e 120 são
                                     ହ            ଷ             ଵ଴
rosas. O número de papoulas desse jardim é:

(a) 72               (b) 144              (c) 200                 (d) 240                  (e) 288




17) Dados os conjuntos A, B e C não vazios, com A ⊂ B e A ⊂ C, então é sempre verdadeiro
que:

(a) B = C
(b) B ⊂ C
(c) A ⊂ (B ∪ C)
(d) B ⊃ C
(e) A ⊃ (B ∪ C)




18) Qual é o algarismo das unidades de 2ଶ଴ଵଵ ?

(a) 5                (b) 6          (c) 7                (d) 8                    (e) 2



                                                                                      ଵ    ଵ   ଵ
19) Seja um número natural ݊ tal que ݊ ≥ 848 ∀ ݊ ∈ ℕ. O valor aproximado de 1 +           + + +
                                                                                      ଶ    ସ   ଼
          ଵ
⋯+             é:
          ଶ೙


(a) 1               (b) 2          (c) 3                (d) 8                     (e) 10




20) O valor de




é igual a:

      ૜                   ૝               ૞                   ૟                   ૠ
(a)                 (b)             (c)                 (d)                 (e)
      ૝                   ૞               ૟                   ૠ                   ૡ

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  • 1. OIM 2011 - Olimpíada Interestadual de Matemática de 2011 201 1ª Fase - ível 3 (destinado aos 1os, 2os e 3os anos do Ensino Médio) ome completo: ________________________________________________________ Ano: ________ _____________________________________________ Atenção: caso seja necessário, considere ߨ ൌ 3,14. 1) Considere os números abaixo: I. II. III. IV. V. Podemos afirmar que: (a) O menor dos números é IV. (b) Apenas I, II e III são divisíveis por 3. (c) Todos eles são ímpares. (d) O algarismo das unidades de I, II, e III e IV é 1. (e) Somente o algarismo das unidades de II é par. 2) Considere a taça de forma esférica mostrada abaixo. Sabe-se que o raio dessa taça é de 8 cm e sua altura é de 6 cm. O volume dessa taça é, em mL, se aproximadamente igual a: (a) 67,8 (b) 6790 (c) 6780 (d) 678 (e) 679
  • 2. 3) Considere x e y dois números naturais de modo que sua soma seja o menor número com 6 divisores. Qual é o maior valor possível para ‫?ݕ ∙ ݔ‬ (a) 27 (b) 35 (c) 36 (d) 21 (e) 12 4) Se 4௫ ൌ 3, o valor de 64ଶ௫ é: (a) 64 (b) 512 (c) 729 (d) 784 (e) 1024 5) Considere a equação ‫ ݔ6 + ଺ ݔ4 + ଼ ݔ‬ସ + 4‫ ݔ‬ଶ + 1 ൌ 0. Podemos afirmar que (a) ࢞ ∉ ℂ (b) ‫ ∈ ݔ‬ℝ (c) ‫ ∈ ݔ‬ℂ (d) ‫ ∈ ݔ‬ℕ (e) ‫ ∄ ݔ‬ℂ 6) Qual será o último ano bissexto do Século XXI? (a) 2100 (b) 2092 (c) 2094 (d) 2098 (e) 2096 ଷ ଷ 7) A área de um pentágono é da área de um quadrilátero que é da área de um triângulo ହ ହ equilátero. Sabendo que a medida do lado do triângulo é 8 cm, podemos afirmar que a área do pentágono é: (a) 25√3 (b) 15√3 (c) 9√3 (d) 18√3 (e) 5,4√3 8) Um torneio de futebol foi disputado por 2011 competidores. Na 1ª fase, todas as equipes, com exceção do atual campeão (que já estava diretamente classificado para a 2ª fase) foram divididas em grupos com 6 integrantes. Em cada um desses grupos,cada equipe enfrentava as outras em turno único, classificando-se para a 2ª fase os 4 melhores de cada grupo. A partir da 2ª fase, cada equipe passa para a rodada seguinte somente em caso de vitória. Se não for possível que sempre passe para a rodada seguinte um número par de jogadores, a organização do torneio decide quais rodadas determinadas equipes devem jogar. Quantos jogos foram realizados nesse torneio? (a) 6320 (b) 6365 (c) 6450 (d) 6500 (e) 6650 9) A figura abaixo é formada pela junção de um triângulo equilátero e um quadrado. Sua área é 49 + 8 √3 e o lado do quadrado mede 3 cm a mais que o lado do triângulo. O perímetro da figura é, em cm (a) 28 (b) 32 (c) 36 (d) 40 (e) 42
  • 3. 10) Se ܽଷ + ܾ ଷ + ܿ ଷ ൌ 3ܾܽܿ, então ܽ + ܾ + ܿ é: (a) 6 (b) 4 (c) 2 (d) 0 (e) Não é possível definir. 11) Os habitantes do planeta OIM têm um curioso sistema de símbolos para se comunicarem. Eles usam duas vogais (A e U), duas consoantes (G e D) e três números (5, 7 e 8). Suas palavras são formadas de acordo com as seguintes regras: 1) todas as palavras começam com uma consoante e terminam com um número; 2) o 8 nunca aparece depois de vogal; 3) o 7 não se repete em uma palavra; 4) vogais, consoantes e números podem se repetir numa palavra, exceto no caso da 3) regra. Quantas palavras com 3 símbolos e começadas com G existem para os habitantes do planeta OIM? (a) 6 (b) 10 (c) 12 (d) 15 (e) 18 12) Na figura abaixo, que fração indica a parte pintada de preto? ଶ ସ ଷ ଼ ସ (a) (b) (c) (d) (e) ଷ ଷ ସ ସ ଼ 2 13) No dia de seu aniversário em 2011, a avó de Joana disse a ela: “Eu nasci no ano x e completei x anos em 1980. Quantos anos eu completo hoje?”. A resposta certa é: (a) 64 (b) 67 (c) 70 (d) 72 (e) 75 14) A equação ‫ ݔ‬ହ + ‫ 1 + ݔ‬ൌ 0: (a) Tem 5 raízes reais, que são inteiras. (b) Tem 3 raízes reais irracionais. (c) Tem exatamente 2 raízes, que são complexas. (d) Tem apenas 1 raiz real, que é irracional . (e) Não tem raízes reais. ෡ 15) Num triângulo ABC, BD e CE são alturas, BD = CE e o ângulo A = 40°. O ângulo CBD vale: (a) 10° (b) 15° (c) 20° (d) 25° (e) 30°
  • 4. ଵ ଵ 16) Das flores no jardim de uma casa, são tulipas, são papoulas, são girassóis e 120 são ହ ଷ ଵ଴ rosas. O número de papoulas desse jardim é: (a) 72 (b) 144 (c) 200 (d) 240 (e) 288 17) Dados os conjuntos A, B e C não vazios, com A ⊂ B e A ⊂ C, então é sempre verdadeiro que: (a) B = C (b) B ⊂ C (c) A ⊂ (B ∪ C) (d) B ⊃ C (e) A ⊃ (B ∪ C) 18) Qual é o algarismo das unidades de 2ଶ଴ଵଵ ? (a) 5 (b) 6 (c) 7 (d) 8 (e) 2 ଵ ଵ ଵ 19) Seja um número natural ݊ tal que ݊ ≥ 848 ∀ ݊ ∈ ℕ. O valor aproximado de 1 + + + + ଶ ସ ଼ ଵ ⋯+ é: ଶ೙ (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 8 (e) 10 20) O valor de é igual a: ૜ ૝ ૞ ૟ ૠ (a) (b) (c) (d) (e) ૝ ૞ ૟ ૠ ૡ