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Caro Professor,

Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da
rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de
todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir
de 2010.

As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por
leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que
postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note
também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações
mais recentes.

Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise
as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.

Na primeira parte deste documento, você encontra as orientações das atividades
propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em
2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.

Bom trabalho!

Equipe São Paulo faz escola.




                                                                                     1
Caderno do Aluno de Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 2




     SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

     ALGUNS MÉTODOS PARA RESOLVER EQUAÇÕES DE 2o GRAU




Páginas 3 - 5
1. Sendo cinco o número de participantes, cada um dará quatro flores (menos para si
     mesmo), o que significa um total de 5 . 4 = 20 flores. Com o mesmo raciocínio,
     temos que, com seis participantes o total de flores será 6 . 5 = 30 flores, e com sete,
     7. 6 = 42 flores.


2.

             Número de              Número de flores que cada um vai              Total de
            participantes                       receber                            flores
                  3                                   2                            3.2=6
                  4                                   3                         4 . 3 = 12
                  5                                   4                         5 . 4 = 20
                  6                                   5                         6 . 5 = 30
                  11                                  10                        11 . 10 = 110
                  x                                  x –1                       x(x – 1)
                y+1                                   y                         (y + 1)y




3. Alternativa c. Tendo compreendido o item anterior, o aluno pode experimentar os
     valores apresentados nas alternativas, calculando: 29 . 28 = 812; 30 . 29 = 870;
     31 . 30 = 930.




                                                                                                2
4. Substituindo os valores das alternativas na última forma da equação:


      x = 29 não é solução, pois x = 30 não é solução, pois x = 31 é solução, pois
         292 – 29 – 930 ≠ 0              302 – 30 – 930 ≠ 0               312 – 31 – 930 = 0

      841 – 29 – 930 = – 118 ≠ 0     900 –30 –930 = – 60 ≠ 0           961 – 31 – 930 = 0



5.
     a) Indicando a medida do lado do quadrado por x, teremos:


             Representação geométrica                          Expressão algébrica




                                                                     x2 = 49




     A solução dessa equação é simples, basta pensar qual número elevado ao quadrado
     resulta 49, isto é, 7. Você, professor, pode também trazer para a discussão que, assim
     como 72 = 49, temos que (–7)2 = 49, comentando que, embora ele satisfaça a
     equação, tratando-se da medida do lado de um quadrado, esse valor negativo não
     deve constar no conjunto solução. Portanto, a solução será 7 cm.



     b) Indicando a medida do lado do retângulo por y, teremos:

              Representação geométrica                        Expressão algébrica




                                                                  2y . y = 242

                                                                   2y2 = 242




                                                                                            3
Se 2y2 = 242, então y2 = 121. Da mesma forma que no exercício anterior, podemos
admitir y = 11 ou y = –11, uma vez que (11)2 = 121 e (–11)2 = 121. Como se trata da
medida do lado de um retângulo, a equação só permite como solução o valor de
y = 11. Portanto, o maior lado mede 2 . 11 = 22 cm.


c)     Indicando a medida do cateto por a, teremos:

     Representação geométrica                 Expressão algébrica




                                                          1
                                                       A  . base . altura
                                                          2
                                                          1
                                                       A  . cateto . cateto
                                                          2
                                                          a.a a 2
                                                       A             18
                                                           2     2




            a2
Como            18 , podemos concluir que a2 = 36. Desse modo, os valores 6 e –6
            2
satisfazem a equação, mas somente o 6 é solução da equação, pois a medida do lado
de um triângulo deve ser positiva. Para encontrarmos a medida da hipotenusa,
podemos aplicar o Teorema de Pitágoras: h 2  6 2  6 2  h  6 2 .
Portanto, a resposta para esse exercício será: catetos de medida 6 cm e hipotenusa de
medida h  6 2 cm. Mais uma vez, desprezamos a solução negativa.


d) A área do retângulo será dada pela equação: x(x + 8) = 65, que pode ser
resolvida por meio de tentativas. Basta descobrir dois números cuja diferença seja 8 e
o produto 65.

        x             1            2            3            4             5

      x+8             9           10            11           12            13



                                                                                    4
x(x + 8)          9             20        33              48            65



     Assim, verifica-se que os lados do retângulo medem 5 cm e 13 cm. O perímetro do
     retângulo será igual a 5 cm + 5cm + 13 cm + 13 cm = 36 cm.


     e) Se x for considerada a medida do lado do quadrado original, com a redução de
     2 metros o lado do quadrado interno medirá x – 4 metros:




     Portanto, é possível escrever a seguinte equação: (x – 4)2 = 144. A solução dessa
     equação pode ser feita com cálculo mental. Para isso, deve-se notar que 144 é o
     quadrado do número 12 e que, portanto, x – 4 = 12, isto é, x = 16. Logo, a área
     original desse quarteirão era de 256 m2.




Página 6
6.

     It em              Equação utilizada               Equação transformada

       a)                     x2 = 49                             x2 – 49 = 0

       b)     2y2 = 242                           2y2 – 242 = 0

       c)     a2 = 36                             a2 – 36 = 0

       d)     x(x + 8) = 65                       x2 + 8x – 65 = 0


                                                                                     5
e)        (x – 4)2 = 144               x2 – 8x – 128 = 0



     Todas as equações possuem um termo no qual a incógnita está elevada à segunda
     potência.
     Além disso, apenas os problemas (d) e (e) apresentam equações de 2o grau com três
     termos.




Páginas 6 - 9
7.




8.

     a) – 3 ou 3.
     b) – 3 ou 3.
     c) – 3 ou 3.
     d) – 4 ou 4.
                   5   5
     e)             ou .
                   2   2
                   2   2
     f)             ou .
                   5   5


                                                                                    6
g) Não há solução real, pois não há número real que elevado ao quadrado seja
          igual a –1.
     h) – 2 ou 2.

               7    7
     i)         ou   .
               2    2
     j)   0.
     k) 0.
     l)   0.



9.

     a) S = {–2, 6}.


             2 1
     b) S =  ,   .
             3 2

     c) S = {0, 4}.

     d) S = {–1, 0}.

     e) S = {3, 5}.




Página 10
10.
     a) – 6 ou 6.
     b) – 7 ou 11.
     c) Não há solução real.
     d) 0 ou 4.
     e) – 5 ou 5.




                                                                               7
Páginas 12
11.




                           x 2  12 x  13




                            x 2  2.6 x  13




                x 2  2.6 x  36  13  36 ou   ( x  6) 2  49


Sendo a nova área 49, a medida do lado do novo quadrado será      49 = 7. Assim, o

                                                                                     8
lado do quadrado x + 6 = 7; portanto, x = 1 é a solução.




Páginas 14 - 15
12.
   a)




                                                      x 2  20 x  100  300  100
                                                      ( x  10) 2  400
                                                      x  10   400
                                                      x   20  10
                                                      x  30 ou x  10




   b)



                                                                           25      25
                                                              x 2  5x        6
                                                                           4       4
                                                                      2
                                                                5   49
                                                              x  
                                                                2    4
                                                                  5      49
                                                              x    
                                                                  2       4
                                                                     7 5
                                                              x 
                                                                     2 2
                                                              x  1 ou x  6




                                                                                        9
c)




                                                         x 2  2 x  1




        Não há solução, pois a área não pode ser negativa. Contudo, é possível
        extrapolar o limite dado pelo método e interpretar a equação da seguinte forma:

           x 2  2 x  1  1  1     ( x  1) 2  0       x  1  0,  x  1




Páginas 15 - 18


13.
   a) Sim; (x + 2)2.
   b) Sim; (x – 3)2.
   c) Sim; (2x + 3)2.
   d) Sim; (5x + 10)2.
   e) Não é, pois o termo central não corresponde ao dobro do produto do primeiro
   termo, x, pelo segundo, 1.


14.
   a) 81.
   b) 12.
   c) 100.
   d) 28.
   e) 9.


                                                                                      10
15.
  a) (x – 3)2 = 0, logo x = 3.
  b) (x + 6)2 = 0, logo x = –6.
  c) (x – 2)2 = 0, logo x = 2.
            1 2                1
  d) (x +     ) = 0, logo x =  .
            2                  2


16.
  a) 3 e 4, pois 3+4 = 7 e 3 . 4 = 12
  b) 3 e 8, pois 3+8 = 11 e 3 . 8 = 24
  c) –1 e 12, pois 12 + (–1) = 11 e 12 . (–1) = –12
  d) –2 e 12, pois 12 + (–2) = 10 e 12 . (–2) = –24
  e) – 5 e –8, pois (–5) + (–8) = –13 e (–5) . (–8) = 40
  f) 4 e –10, pois 4 + (–10) = –6 e 4 . (–10) = –40


17.
  a) (x + 2).(x + 15)
  b) (x – 4).(x – 8)
  c) (x + 5).(x – 12)
  d) (x – 10).(x + 6)


18.
  a) (x – 5).(x + 3) = 0, logo, x = 5 ou x = –3.


  b) (x + 3).(x + 4) = 0, logo, x = –3 ou x = –4.


  c) (x – 6).(x – 6) = 0, logo, x = 6.


  d) (x + 9).(x – 4) = 0, logo, x = –9 ou x = 4.


  e) (x – 4).(x – 9) = 0, logo, x = 4 ou x = 9.




                                                           11
Página 18
19.

                  Equação               Forma fatorada                Solução
      a) x2 – 2x – 8 = 0                (x – 4).(x + 2) = 0   x = 4 ou x –2
                                        (x – 4).(x – 4) = 0
      b) x2 – 8x + 16 = 0                                     x=4
                                          ou (x – 4)2 = 0
      c) x2 – 10x + 24 = 0         (x – 4).(x – 6) = 0        x = 4 ou x = 6

      d) x2 + 2x = 0               x(x + 2) = 0               x = 0 ou x = –2
      e) 6x2 – 18x +12 = 0         6(x – 1).(x – 2)           x = 1 ou x = 2
      f) 2x2 – 18x + 36 = 0        2(x – 3).(x – 6)           x = 3 ou x = 6




Páginas 19 - 21
20. Algumas respostas possíveis:


   a) (x + 5).(x – 3) = 0
         x2 + 2x – 15 = 0


   b) (x – 4).(x – 12) = 0
         x2 – 16x + 48 = 0


   c) (x + 2).(x + 2,5) = 0
         x2 + 4,5x + 5 = 0


              1       2
   d) (x +      ).(x – ) = 0
              2       3
             1   1
         x2 – x – = 0
             6   3
   e) (x).(x – 12) = 0
                                                                                12
x2 – 12x = 0


  f)      (x + 5).(x –5) = 0
          x2 – 25 = 0


21.
  a) x = 1 ou x = –3
                              2
  b) x = –1 ou x = 
                              3
  c) x = 1 ou x = 6
                          1
  d) x = –1 ou x =
                          2
  e) Não tem solução real.
               3
  f) x = 
               2


22. O valor da expressão b² – 4ac é tão importante que foi denominado discriminante.
  De fato, seu valor vai determinar se uma equação de 2o grau pode admitir duas raízes
  reais distintas ou duas raízes reais idênticas (uma raiz dupla), ou, então, não admitir
  raízes reais. Ele foi representado por uma letra grega Δ (delta). Assim, Δ = b2 – 4ac.
  Como ele é o radicando de uma raiz quadrada, podemos estabelecer as seguintes
  relações:

                   Δ=0                        Δ>0                           Δ<0



      Duas raízes reais idênticas   Duas raízes reais distintas   Não admite raízes reais
      (uma raiz dupla)




                                                                                            13
Páginas 21 - 22
23.
   a) 2.
   b) Não existem raízes reais.
   c) 3 ou 5.
         1  33     1  33
   d)            ou          .
             4           4
   e) –1 ou 3.
   f) –1 ou 3.
   g) –1 ou 3.


24. Qualquer uma dessas equações é resultado da multiplicação dos dois membros, em
   relação a uma delas, por um mesmo número real diferente de 0. Assim, pelo
   princípio multiplicativo da igualdade, todas são equações equivalentes e, por isso,
   têm as mesmas raízes.




Página 23
25.
   a) x(x + 5) = 3 . 2                    para x ≠ 0
        x2 + 5x – 6 = 0
        x = 1 ou x = –6


          10  2   9
   b)                            para x ≠ 0, –1 e –2
         x 1 x x  2
        10x(x + 2) = 2(x + 1).(x + 2) + 9x(x + 1)
        10x2 + 20x = 2x2 + 6x + 4 + 9x2 + 9x
        –x2 + 5x – 4 = 0
                  x = 1 ou x = 4


                                                                                   14
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

     EQUAÇÕES DE 2o GRAU NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS




Páginas 25 - 30
1.
                                                                2
                                                        x
     a) Se considerarmos x o total do bando, temos que    12  x . Resolvendo a
                                                       8
     equação, encontramos duas possibilidades: 16 e 48.
     b) Consideremos inicialmente x a distância do tronco da palmeira maior ao peixe.
     Como os pássaros chegam ao mesmo tempo, supomos que voem à mesma
     velocidade, considerando que a distância por eles percorrida é a mesma. Portanto, os
     2 triângulos retângulos possuem a mesma medida de hipotenusa. Dessa forma,
     aplicando-se o Teorema de Pitágoras, podemos escrever 302 + x2 = 202 + (50 – x)2.
     Embora pareça uma equação de 2o grau, os termos em x2 se cancelarão, resultando
     em uma equação de 1o grau de raiz 20. Portanto, o peixe apareceu a 20 côvados da
     palmeira maior.
                                                                             1     25
     c) A equação será 11x2 + 7x = 6,25. As raízes da equação serão            e     .
                                                                             2     22
     Contudo, somente a solução positiva tem significado nessa situação: a medida do
                                         1
     lado do quadrado deve ser igual a     ou 0,5.
                                         2


2. Geralmente, no início do problema devemos decidir se o professor será ou não
     considerado no total de pessoas. No caso, podemos supor que ele observou os
     cumprimentos entre as pessoas, desconsiderando, portanto, os referentes a ele. Para
     resolver esse problema, o aluno deve considerar inicialmente que o número de
     cumprimentos que cada pessoa dá é 1 unidade a menos que o número total de
     pessoas; afinal, uma pessoa não cumprimenta a si mesma. Indicando por x o número
     de pessoas, o número total de cumprimentos será x(x – 1). Depois, como o
     cumprimento do aluno A com o aluno B é o mesmo cumprimento de B com A esse
                                                                                      15
x( x  1)
     total de cumprimentos poderá ser expresso pela equação                  66 , isto é,
                                                                      2
     x2 – x – 132 = 0, que terá como raízes os números 12 e –11. Como a raiz negativa
     não tem significado, podemos concluir que 12 pessoas o acompanharam.


3. Na resolução desta questão, o aluno obterá a equação x² – 5x + 10 = 0, cujo
     discriminante é negativo, indicando, assim, que não existem dois números reais que
     satisfazem às condições do problema.


4.
     a) – 9 ou –1.
     b) – 6 ou 6.
     c) Uma possível resposta: b = 5, uma vez que esta questão não tem uma única
     resposta. Sua discussão permite antecipar a compreensão de noções importantes
     relacionadas à função modular, que poderão ser desenvolvidas mais adiante, durante
     o Ensino Médio.


5.
     a) Retângulo: duas diagonais; pentágono: cinco diagonais.
     b)

          Número de lados de um polígono        Número de diagonais de um polígono
                          3                                       0

                          4                                       2

                          5                                       5

                          6                    9

                          7                    14

                          ...                  ...

                          n                     n(n  3)
                                                   2




                                                                                       16
c) 90.
     d) 11 lados.
     e) Basta mostrar que a equação n2 – 3n – 84 = 0 não possui raízes inteiras positivas.




Páginas 30 - 31
6. A área ocupada pelas pedras pode ser decomposta em dois retângulos de área igual a
     6x e 15x e um quadrado de área x2. Assim, podemos escrever a equação
     x2+15x+6x = 46, cuja solução positiva é 2. Portanto, a medida do lado x é igual a 2.


7. Sendo x o número de fios de linha azul, podemos escrever a equação
     x(x+5) = 6 800, cuja solução positiva é 80. Portanto, são 80 fios azuis e 85 fios
     vermelhos.


8. A área da moldura pode ser decomposta em quatro quadrados de área x2, dois
     retângulos de área 2x e 2 retângulos de área 4x. Resolvendo a equação
     4x2 + 2 . 2x + 2 . 4x = 7, obtemos as raízes – 3,5 e 0,5. Portanto, o valor de x será
     0,5 m.


Desafio!

Página 32
9.

     a) x3 – 6x = 0; logo, x(x2 – 6) = 0.
     Portanto, ou x = 0 ou x2 – 6 = 0  x =  6 . A equação tem, portanto, como

     soluções:
         
     S = 0, 6,  6 . 
     b) x(x2 – 6x) = 0.
         x = 0 é uma das soluções.
         x2 – 6x = 0  x = 0 ou x = 6.
     A solução da equação é S = {0, 6}.
                                                                                        17
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

     GRANDEZAS PROPORCIONAIS: ESTUDO
     FUNCIONAL, SIGNIFICADOS E CONTEXTOS




Páginas 34 - 35
1. Podemos dizer que o preço de dez maçãs está relativamente barato em comparação
     com o preço de cinco maçãs. Se o preço fosse diretamente proporcional ao número
     de maçãs, dez delas custariam 2 reais, e não R$ 1,80. Por isso, a oferta do feirante era
     realmente boa para a compra de dez maçãs.


2.
     a) São grandezas diretamente proporcionais, pois quando o valor de uma grandeza
     dobra o valor correspondente da outra também dobra; quando este triplica, o outro
                                              x
     também triplica, etc. Isto é, a razão      é constante e a sentença que expressa a
                                              y
     relação entre x e y é y = 10x.
     b) São grandezas inversamente proporcionais, pois quando o valor de uma
     grandeza dobra o valor correspondente da outra se reduz à metade; quando este
     triplica, o outro reduz a um terço, etc. O produto de x . y é constante e a sentença que
                                                          48
     expressa a relação entre x e y é x . y = 48 ou y       .
                                                           x
     c) Não são grandezas nem direta nem inversamente proporcionais, pois não se
                                        x
     observa uma constante nem para       nem para x . y. A sentença que relaciona x e y
                                        y
     pode ser y = 2x + 1 (analisando a tabela, pode-se perceber que os valores de y são
     iguais ao dobro dos correspondentes valores de x acrescidos de 1 unidade).

     d) Também não são grandezas nem direta nem inversamente proporcionais, pois
                                               x
     não se observa uma constante nem para       nem para x . y. A sentença que relaciona
                                               y


                                                                                          18
x e y é y = 2x2 (analisando a tabela, pode-se perceber que os valores de y são iguais
     ao dobro do quadrado dos correspondentes valores de x).




Páginas 35 - 37
3.

          x                   1         2         3             4         5          6         7

          y                   3         5         7             9         11         13        15

         y–1          2             4        6            8          10         12        14



                                                                                           y 1
     Sim, há proporcionalidade direta entre x e y – 1. Percebemos que a razão                   é
                                                                                             x
                              y 1
     constante. Como                2 , o valor 2 representa a constante de proporcionalidade.
                                x

4.

          x               1             2         3             4         5          6         7

          x2      1                4          9            16        25        36         49

          y               2             8         18            32        50        72         98



     Construindo uma nova tabela, observamos que os valores de y são diretamente
                                                        y                       y
     proporcionais ao quadrado de x, isto é,             2
                                                           é constante e, como 2  2 , a constante
                                                       x                       x
     de proporcionalidade é 2.
5.
     a) Não. Quando a idade de uma pessoa dobra (digamos, passa de 2 a 4 anos), não é
     verdade que sua massa também dobra. Se houvesse proporcionalidade direta,
     imagine a massa de uma pessoa aos 40 anos...



                                                                                                    19
b) Sim. O preço a pagar p é o produto do preço de 1 metro do fio pela quantidade x
     de metros: p = kx, onde k é o preço de 1 metro de fio. Mas, às vezes, o vendedor
     pode fazer algum desconto se a pessoa comprar muito e, nesse caso, a
     proporcionalidade deixa de existir.
     c) Sim. De fato, quando o número de cópias dobra (digamos, passa de cinco para
     dez), é verdade que o preço a ser pago também dobra.
     d) O perímetro p é igual à soma das medidas dos três lados, ou seja, p é o produto
     da medida a do lado por 3, ou seja p = 3a. Portanto, o perímetro é proporcional à
     medida do lado do triângulo equilátero.
     e) Sim, pois a diagonal d é igual ao produto de a por     2 , ou seja, d  2 .a . Isso é
     possível de perceber aplicando-se o Teorema de Pitágoras.
     f)   Sim, pois o quociente entre C e r é igual a uma constante: 2π. Ou seja,
          C
             2 e C  2 . r
          r
     g) Não, a área do círculo não é proporcional ao seu raio. No entanto, como a área
     de um círculo é dada pela expressão A = πr2, observamos a seguinte
                          A
     proporcionalidade:        . Portanto, a área de um círculo é proporcional ao
                          r2
     quadrado do seu raio.




Páginas 37 - 41
6.
               d     1   4    1
     a)   k     2
                    2  2      .
               v    10  20   100
                                 1 2
     b) Para d = 83, temos          .v  83 , cuja solução é 91,1. Portanto, a velocidade
                                100
     deve ser de aproximadamente 90 km/h.
                                  1
     c) Para v = 80, temos d        .80 2 , cuja solução é 64 metros.
                                 100




                                                                                          20
7.
     a) x = 100 e C = 1 500. Substituindo esses valores na expressão, chegamos ao valor
     de k = 5. Isso significa que, a cada quantidade produzida, o custo total aumenta em
     5 reais.
     b) Aumentará, em ambos os casos, em 5 reais, pois a variação foi de 1 unidade
     produzida.
     c) x = 200, pois 5 . 200 = 1 000.
                                                                                   C
     d) Não. O custo total C não é diretamente proporcional a x, pois a razão        não é
                                                                                   x
     constante. Veja: para x = 1, temos C = 1 005 e, para x = 2, temos C = 1 010;
     1 010 1 005            C
                , ou seja,   não é constante.
       2     1              x
     e) Sim, a diferença entre o custo total e o custo fixo é diretamente proporcional a x,
     ou seja, o custo variável é diretamente proporcional a x e a constante de
     proporcionalidade é igual a 5.
     f)


                                                     Diferença entre o     Razão entre a
             No de                                                         diferença e x
                               Custo total         custo total e o custo
          produtos (x)
                                                   fixo (custo variável)
                                                                                5
                1          1 000 + 5 . 1 = 1 005     1 005 – 1 000 = 5            5
                                                                                1

                2                                                          10
                         1 000 + 5 . 2 = 1 010     1 010 – 1 000 = 10         5
                                                                            2
                3                                                          15
                         1 000 + 5 . 3 = 1 015     1 015 – 1 000 = 15         5
                                                                            3
                4                                                          20
                         1 000 + 5 . 4 = 1 020     1 020 – 1 000 = 20         5
                                                                           4
                10                                                         50
                         1 000 + 5 . 10 = 1 050    1 050 – 1 000 = 50         5
                                                                           10



8.
     a) Mulher: n = 3 . 13 – 22 = 17 / Homem: n = 3 . 16 – 25 = 23.
     b) A mulher, pois a parcela subtraída na fórmula é menor do que a do homem.

                                                                                        21
c) A resposta é não. Construindo uma tabela, como a apresentada a seguir,
     observamos que a diferença entre os números dos homens e os das mulheres
     permanece em 3 unidades e que cada uma delas cresce com a mesma variação: 3 por
     polegada.

           C         9     10     11     12     13       14    15      16     17

       No homem      2     5      8      11     13       15    17      20     23

       No mulher     5     8      11     13     15       17    20      23     26




Páginas 41 - 42
9.
     a) Quando se passa da superfície (x = 0) para uma profundidade de 10 m (x = 10), a
     pressão aumenta em 1 atmosfera. Assim, a 10 m de profundidade a pressão será 1 +
     1 = 2 atmosferas. Logo, 2 = 1 + k . 10. Calculando k, obtém-se k = 0,1. Esse valor
     poderia ser mais rapidamente calculado, bastando dividir o acréscimo de 1 atmosfera
     de pressão por 10.
     b) A cada metro que descemos, a pressão aumenta de 0,1 atm.
     c) x = 20 m.
     d) Não, pois a razão entre p e h não é constante.
     e) Sim, pois a razão entre a diferença entre as pressões (acréscimo de pressão) e a
     profundidade é constante.




                                                                                     22
Páginas 42 - 43
10.
   a)

                        1       2        3          4         5         6          7
        Distância (d)
                        1   4        9         16        25        36         49
          Área (A)



   b) A = d2.
   c) A não é diretamente proporcional a d.
   d) A é diretamente proporcional a d2 e a razão de proporcionalidade é 1.




                                                                                       23
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

     REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE GRANDEZAS
     PROPORCIONAIS E DE ALGUMAS NÃO PROPORCIONAIS




Páginas 44 - 47
1.
     I – c.
     II – d.
     III – b.


2.
     a) 30 gramas.
     b) 2 cm3.
     c) Por meio da leitura do gráfico podemos verificar que a amostra de 1 cm3 de ferro
     tem massa de 7,5 gramas. A massa de 2 cm3 é 15 gramas, enquanto a de 4 cm3 é
     30 g. Por outro lado, podemos ler o gráfico com base no eixo vertical: o volume de
     uma amostra de ferro de massa 22,5 gramas é de 3 cm3. Esse gráfico indica como
     varia a massa m (em gramas) de amostras de ferro de acordo com a variação do
     volume V dessas amostras. Observe, então, que ao duplicar o volume (de 1 cm3 para
     2 cm3) a massa também duplicou (de 7,5 gramas para 15 gramas); ao triplicar o
     volume (de 1 cm3 para 3 cm3) a massa também triplicou (de 7,5 gramas para
     22,5 gramas). Assim, concluímos que a massa (ferro) é diretamente proporcional ao
     volume.
     d) Observando os valores das massas e dos volumes apresentados, verificamos
              7,5 gramas              15 gramas              22,5 gramas
     que:            3   = 7,5 g/cm3;        3  = 7,5 g/cm3;         3
                                                                          7,5 g / cm 3 .
                 1cm                    2 cm                    3 cm
     Portanto, ao variar o volume V do bloco, sua massa também varia, mas o quociente
     entre a massa m e o volume V permanece constante (igual a 7,5 g/cm3).



                                                                                            24
m
     e)      7,5      ou    m  7,5 V .
          V


3.
     a)

          t (h)     1        1,5        2          3        4        5    6        8       12

      v (km/        120     80          60    40       30       24       20   15          10
         h)


     b) Podemos dizer que as grandezas envolvidas nesse problema – a velocidade
     média e o tempo gasto para percorrer a distância dada – não são diretamente
     proporcionais, e sim inversamente proporcionais, porque quando o valor de uma
     delas é multiplicado por 2, o valor correspondente da outra é dividido por 2. Quando
     um deles é dividido por 6, o correspondente da outra é multiplicado por 6 e assim por
     diante. Ou seja, duas grandezas x e y são inversamente proporcionais quando os
     produtos dos valores de uma pelos correspondentes valores da outra forem
     constantes. Gráficos de grandezas inversamente proporcionais são denominados
     hipérboles.
     c) v . t = 120.




Páginas 47 - 49
4.
                                                                                       p
     a) As grandezas não são diretamente proporcionais porque a razão                    não é
                                                                                       q
                                   10                          8
     constante. Por exemplo:           = 0,025 é diferente de     = 0,016. Da mesma forma,
                                   400                        500
     as grandezas também não são inversamente proporcionais, pois o produto de p e q
     também não é constante. Analisando a relação existente entre as grandezas
     envolvidas percebemos que quando há aumento de uma ocorre diminuição da outra.
     Por isso, essa relação pode ser chamada de decrescente. No entanto, as grandezas em

                                                                                               25
questão não são inversamente proporcionais, pois, quando se compra uma quantidade
     de camisetas duas vezes maior, o valor da cada camiseta diminui, mas não é a
     metade; quando a quantidade de itens vendidos é triplicada, o preço por unidade
     diminui, mas não se reduz a um terço, etc. Portanto, essas grandezas não são direta
     nem inversamente proporcionais.
     b) O preço varia em 2 reais.
     c) O preço diminui 2 reais para cada aumento de 100 unidades vendidas.
     d) Considerando que, para cada diminuição de 100 unidades o preço aumenta 2
     reais, então, o preço inicial das camisetas seria 18 reais. Como a cada unidade
     vendida o preço diminui 0,02 reais, então, podemos escrever que p = 18 – 0,02q.


5.
     a) Sim, porque o produto das grandezas envolvidas é constante (36).
     b)


                  No de bombons                               No de caixas

                         2                                         18

                         3                                         12

                         4                                         9

                         6                                         6

                         9                                         4

                        12                                         3




                                                                                       26
c)




Páginas 50 - 53
6.
     a)

                   Retângulos           Perímetro (cm)            Área (cm2)
                          I            22                    24

                         II            22                    10

                         III           22                    30



     b) 2x + 2y = 22, logo y = –x + 11.


     c) Nesta tabela, consideramos apenas os valores inteiros de x.


          x   0     1          2   3        4   5        6        7    8       9   10   11

          y   11    10         9   8        7   6        5        4    3       2   1    0




                                                                                        27
d) À medida que o valor de x aumenta, é possível observar também que o valor de
     y diminui. Trata-se de uma função decrescente. As variáveis y e x não são
     proporcionais entre si.


     e) A = x . y = x(– x + 11) = – x2 + 11x.


     f)   Considerando-se apenas os valores inteiros de x, obtêm-se:


 x        0     1      2       3    4      5      6      7      8      9    10   11

 A        0     10     18      24   28     30     30     28     24     18   10   0




     g) A partir da tabela, pode-se observar que os valores de A e x não são nem direta
nem inversamente proporcionais.



                                                                                      28
h)




     Observando o gráfico construído, pode-se concluir que a maior área será obtida para
     x entre 5 e 6, isto é, 5,5. Para essa medida, os lados do retângulo devem ser iguais, ou
     seja, a área máxima será a de um quadrado.


7.
     a) p = 4x
     b) A = x²
     c) x² = 4x; logo, x = 4




Páginas 54 - 55
8.
     a) Se o ingresso custar 4 reais, o lucro será de 12 reais, como mostra o gráfico.



                                                                                          29
b) Não, para valores maiores que 6 reais e menores que 10 reais haverá lucro. A
  partir daí, haverá prejuízo.
  c) O lucro cresce até 6 reais. A partir daí, ele decresce.
  d) O lucro máximo de 16 reais é obtido com o ingresso custando 6 reais.
  e) Nesses intervalos o projeto tem prejuízo.
  f)      Para esses valores, o lucro é o mesmo, isto é, 7 reais. Observa-se que os valores
  encontram um eixo de simetria, paralelo ao eixo y, que passa pelo ponto de mínimo
  da função x = 6.




   


                                        AJUSTES

                 Caderno do Professor de Química – 8ª série/9º ano – Volume 2



  Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada
página.




                                                                                        30
e)  m quarteirão na forma de um quadrado
        U                                                    A partir de situações como essas, que podem
        foi contornado por uma calçada com 2 me-         complementar outras atividades que o professor
        tros de largura, o que reduziu a área reser-     já tenha selecionado para o tratamento desse as-
        vada à construção de imóveis, conforme a         sunto, pode-se iniciar um enfoque mais formal
        figura a seguir. Com isso a área para cons-      das equações de 2º grau. Para isso, sugerimos
                                                                             -
        trução passou a ser de 144 m2. Qual era a        que os alunos comparem as equações construí-
        medida da área original do quarteirão?           das e apontem as semelhanças e diferenças entre
                               2m
                                                         elas. Para essa comparação será conveniente que
                                                         todas estejam na mesma forma. Isso é pos­ ível
                                                                                                     s
                                                         operando algebricamente para obter que o se-
                        144 m2                           gundo membro da equação fique igual a zero:

                                                           a)   x2 = 49             x2 – 49 = 0
                                                           b)   2y2 = 242           2y2 – 242 = 0
     Se x for considerada a medida do lado do qua-         c)   a2 = 36             a2 – 36 = 0
     drado original, com a redução de 2 metros o
                                                           d)   x(x+8) = 65         x2 + 8x – 65 = 0
     lado do quadrado interno medirá x – 4 metros:
                           x
                                                           e)   (x – 4)2 = 144      x2 – 8x – 128 = 0
                         x–4
                                                            Quanto às semelhanças, pode-se registrar que:
                                                            ff diferentemente das equações de 1º grau,
                                                                                                -
                2                    2
                         144 m   2
                                                               essas equações possuem um termo cuja
                                                               incógnita está elevada ao expoente 2.

                                                           É possível que algumas das diferenças
                                                         apontadas sejam:
     Portanto, é possível escrever a seguinte equação:
     (x – 4)2 = 144. A solução desta equação pode           ff 	 lgumas equações não têm o termo de
                                                               a
     ser encontrada por meio de cálculo mental.                grau 1 (x, y, a...) e outras têm;
     Para isso, devemos notar que 144 é o quadrado
                                                            ff 	 penas os problemas d e e apresentam
                                                               a
     do número 12, assim, x – 4 = 12, isto é, x = 16.
                                                               uma equação de 2º grau com três termos
                                                                                -
     Logo, a medida da área original do quarteirão
                                                               no primeiro membro.
     era 256 m2.
     Nesse momento, o professor pode discutir               Explore essas observações para introduzir
     que (–12)2 é igual a 144 e que x – 4 = –12,         os termos: equação de 2º grau completa; equa-
                                                                                  -
     isto é, x = –8 também satisfaz a equação.           ção de 2º grau incompleta; coeficientes e raízes
                                                                 -
     Contudo, como –8 não pode ser a medida de           da equação. Enfim, o momento é oportuno
     um lado do quadrado, a resposta a esse pro-         para apresentar a ideia de equação de 2º grau de
                                                                                                -
     blema será 16 centímetros.                          maneira mais formal, ou seja: chama-se equa-

16
Observe, professor, que nos itens dessa ativi-     b) x2 – 6x + 9
     dade, embora as soluções negativas não tenham
                                                            (x – 3)2
     sentido geométrico, satisfazem as equações al-
     gébricas. Mais uma vez pode-se aproveitar a            c) 4x2 + 12x + 9
     oportunidade para discutir com os alunos que,          (2x + 3)2
     enquanto o método geométrico permite a escrita
     da equação na forma fatorada conhecida, o mé-          d) 25x2 + 100x + 100
     todo algébrico permite a determinação de todas         (5x + 10)2
     as soluções reais da equação, quando existirem.
                                                          Atividade 9
        As discussões feitas até aqui convergem para
                                                            Encontre o termo que falta para que o tri-
     a ideia de que as equações de 2º grau quando
                                       -
                                                          nômio seja um quadrado perfeito:
     fatoradas podem ser resolvidas com fatos já
     apreendidos. Com essa abordagem entendemos             a) x2 + 18x +
     que, o desenvolvimento do quadrado da soma
                                                            92 = 81
     e do quadrado da diferença de dois números e
     seus respectivos processos de fatoração ganham         b) 9x2 +         x+4
     nova importância. Assim, observando o desen-           2 . 3 . 2 = 12
     volvimento de:
                                                            c) x2 – 20x +
        (x + a) = x + 2 . ax + a
               2       2              2

                                                            102 = 100
        (x – a)2 = x2 – 2 . ax + a2
                                                            d) 4x2 –         x + 49
        podemos concluir que: um trinômio é qua-
                                                            2 . 2 . 7 = 28
     drado perfeito quando o termo que não tem x,
     termo independente de x, é igual à metade do             Retomando as situações que envolvem a
     coeficiente de x elevado ao quadrado.                resolução de equações de 2º grau, observamos
                                                                                     -
                                                          que, algumas vezes, a equação já apresenta um
        Como sugestão para abordar esse processo,
                                                          trinômio quadrado perfeito como a equação:
     propomos, a seguir, duas atividades cujo obje-
                                                          x2 + 10x + 25 = 0.
     tivo é aprimorar o olhar sobre trinômios qua-
     drados para identificar quais são perfeitos.            Basta observar que o termo independente
                                                          é igual à metade do coeficiente de x elevado
     Atividade 8
                                                          ao quadrado. Portanto, ele já representa um
        Quais dos seguintes trinômios da lista a          quadrado perfeito de lado (x + 5). Então:
     seguir referem-se a quadrados perfeitos:
                                                            x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 = 0
        a) x2 + 4x + 4
                                                            Logo: x = –5 é a resposta.
        (x + 2) .  2




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  • 1. Caro Professor, Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 2010. As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes. Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas. Na primeira parte deste documento, você encontra as orientações das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento. Bom trabalho! Equipe São Paulo faz escola. 1
  • 2. Caderno do Aluno de Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 2 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 ALGUNS MÉTODOS PARA RESOLVER EQUAÇÕES DE 2o GRAU Páginas 3 - 5 1. Sendo cinco o número de participantes, cada um dará quatro flores (menos para si mesmo), o que significa um total de 5 . 4 = 20 flores. Com o mesmo raciocínio, temos que, com seis participantes o total de flores será 6 . 5 = 30 flores, e com sete, 7. 6 = 42 flores. 2. Número de Número de flores que cada um vai Total de participantes receber flores 3 2 3.2=6 4 3 4 . 3 = 12 5 4 5 . 4 = 20 6 5 6 . 5 = 30 11 10 11 . 10 = 110 x x –1 x(x – 1) y+1 y (y + 1)y 3. Alternativa c. Tendo compreendido o item anterior, o aluno pode experimentar os valores apresentados nas alternativas, calculando: 29 . 28 = 812; 30 . 29 = 870; 31 . 30 = 930. 2
  • 3. 4. Substituindo os valores das alternativas na última forma da equação: x = 29 não é solução, pois x = 30 não é solução, pois x = 31 é solução, pois 292 – 29 – 930 ≠ 0 302 – 30 – 930 ≠ 0 312 – 31 – 930 = 0 841 – 29 – 930 = – 118 ≠ 0 900 –30 –930 = – 60 ≠ 0 961 – 31 – 930 = 0 5. a) Indicando a medida do lado do quadrado por x, teremos: Representação geométrica Expressão algébrica x2 = 49 A solução dessa equação é simples, basta pensar qual número elevado ao quadrado resulta 49, isto é, 7. Você, professor, pode também trazer para a discussão que, assim como 72 = 49, temos que (–7)2 = 49, comentando que, embora ele satisfaça a equação, tratando-se da medida do lado de um quadrado, esse valor negativo não deve constar no conjunto solução. Portanto, a solução será 7 cm. b) Indicando a medida do lado do retângulo por y, teremos: Representação geométrica Expressão algébrica 2y . y = 242 2y2 = 242 3
  • 4. Se 2y2 = 242, então y2 = 121. Da mesma forma que no exercício anterior, podemos admitir y = 11 ou y = –11, uma vez que (11)2 = 121 e (–11)2 = 121. Como se trata da medida do lado de um retângulo, a equação só permite como solução o valor de y = 11. Portanto, o maior lado mede 2 . 11 = 22 cm. c) Indicando a medida do cateto por a, teremos: Representação geométrica Expressão algébrica 1 A  . base . altura 2 1 A  . cateto . cateto 2 a.a a 2 A   18 2 2 a2 Como  18 , podemos concluir que a2 = 36. Desse modo, os valores 6 e –6 2 satisfazem a equação, mas somente o 6 é solução da equação, pois a medida do lado de um triângulo deve ser positiva. Para encontrarmos a medida da hipotenusa, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras: h 2  6 2  6 2  h  6 2 . Portanto, a resposta para esse exercício será: catetos de medida 6 cm e hipotenusa de medida h  6 2 cm. Mais uma vez, desprezamos a solução negativa. d) A área do retângulo será dada pela equação: x(x + 8) = 65, que pode ser resolvida por meio de tentativas. Basta descobrir dois números cuja diferença seja 8 e o produto 65. x 1 2 3 4 5 x+8 9 10 11 12 13 4
  • 5. x(x + 8) 9 20 33 48 65 Assim, verifica-se que os lados do retângulo medem 5 cm e 13 cm. O perímetro do retângulo será igual a 5 cm + 5cm + 13 cm + 13 cm = 36 cm. e) Se x for considerada a medida do lado do quadrado original, com a redução de 2 metros o lado do quadrado interno medirá x – 4 metros: Portanto, é possível escrever a seguinte equação: (x – 4)2 = 144. A solução dessa equação pode ser feita com cálculo mental. Para isso, deve-se notar que 144 é o quadrado do número 12 e que, portanto, x – 4 = 12, isto é, x = 16. Logo, a área original desse quarteirão era de 256 m2. Página 6 6. It em Equação utilizada Equação transformada a) x2 = 49 x2 – 49 = 0 b) 2y2 = 242 2y2 – 242 = 0 c) a2 = 36 a2 – 36 = 0 d) x(x + 8) = 65 x2 + 8x – 65 = 0 5
  • 6. e) (x – 4)2 = 144 x2 – 8x – 128 = 0 Todas as equações possuem um termo no qual a incógnita está elevada à segunda potência. Além disso, apenas os problemas (d) e (e) apresentam equações de 2o grau com três termos. Páginas 6 - 9 7. 8. a) – 3 ou 3. b) – 3 ou 3. c) – 3 ou 3. d) – 4 ou 4. 5 5 e)  ou . 2 2 2 2 f)  ou . 5 5 6
  • 7. g) Não há solução real, pois não há número real que elevado ao quadrado seja igual a –1. h) – 2 ou 2. 7 7 i)  ou . 2 2 j) 0. k) 0. l) 0. 9. a) S = {–2, 6}.  2 1 b) S =  ,   .  3 2 c) S = {0, 4}. d) S = {–1, 0}. e) S = {3, 5}. Página 10 10. a) – 6 ou 6. b) – 7 ou 11. c) Não há solução real. d) 0 ou 4. e) – 5 ou 5. 7
  • 8. Páginas 12 11. x 2  12 x  13 x 2  2.6 x  13 x 2  2.6 x  36  13  36 ou ( x  6) 2  49 Sendo a nova área 49, a medida do lado do novo quadrado será 49 = 7. Assim, o 8
  • 9. lado do quadrado x + 6 = 7; portanto, x = 1 é a solução. Páginas 14 - 15 12. a) x 2  20 x  100  300  100 ( x  10) 2  400 x  10   400 x   20  10 x  30 ou x  10 b) 25 25 x 2  5x   6 4 4 2  5 49 x    2 4 5 49 x  2 4 7 5 x  2 2 x  1 ou x  6 9
  • 10. c) x 2  2 x  1 Não há solução, pois a área não pode ser negativa. Contudo, é possível extrapolar o limite dado pelo método e interpretar a equação da seguinte forma: x 2  2 x  1  1  1 ( x  1) 2  0 x  1  0,  x  1 Páginas 15 - 18 13. a) Sim; (x + 2)2. b) Sim; (x – 3)2. c) Sim; (2x + 3)2. d) Sim; (5x + 10)2. e) Não é, pois o termo central não corresponde ao dobro do produto do primeiro termo, x, pelo segundo, 1. 14. a) 81. b) 12. c) 100. d) 28. e) 9. 10
  • 11. 15. a) (x – 3)2 = 0, logo x = 3. b) (x + 6)2 = 0, logo x = –6. c) (x – 2)2 = 0, logo x = 2. 1 2 1 d) (x + ) = 0, logo x =  . 2 2 16. a) 3 e 4, pois 3+4 = 7 e 3 . 4 = 12 b) 3 e 8, pois 3+8 = 11 e 3 . 8 = 24 c) –1 e 12, pois 12 + (–1) = 11 e 12 . (–1) = –12 d) –2 e 12, pois 12 + (–2) = 10 e 12 . (–2) = –24 e) – 5 e –8, pois (–5) + (–8) = –13 e (–5) . (–8) = 40 f) 4 e –10, pois 4 + (–10) = –6 e 4 . (–10) = –40 17. a) (x + 2).(x + 15) b) (x – 4).(x – 8) c) (x + 5).(x – 12) d) (x – 10).(x + 6) 18. a) (x – 5).(x + 3) = 0, logo, x = 5 ou x = –3. b) (x + 3).(x + 4) = 0, logo, x = –3 ou x = –4. c) (x – 6).(x – 6) = 0, logo, x = 6. d) (x + 9).(x – 4) = 0, logo, x = –9 ou x = 4. e) (x – 4).(x – 9) = 0, logo, x = 4 ou x = 9. 11
  • 12. Página 18 19. Equação Forma fatorada Solução a) x2 – 2x – 8 = 0 (x – 4).(x + 2) = 0 x = 4 ou x –2 (x – 4).(x – 4) = 0 b) x2 – 8x + 16 = 0 x=4 ou (x – 4)2 = 0 c) x2 – 10x + 24 = 0 (x – 4).(x – 6) = 0 x = 4 ou x = 6 d) x2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 x = 0 ou x = –2 e) 6x2 – 18x +12 = 0 6(x – 1).(x – 2) x = 1 ou x = 2 f) 2x2 – 18x + 36 = 0 2(x – 3).(x – 6) x = 3 ou x = 6 Páginas 19 - 21 20. Algumas respostas possíveis: a) (x + 5).(x – 3) = 0 x2 + 2x – 15 = 0 b) (x – 4).(x – 12) = 0 x2 – 16x + 48 = 0 c) (x + 2).(x + 2,5) = 0 x2 + 4,5x + 5 = 0 1 2 d) (x + ).(x – ) = 0 2 3 1 1 x2 – x – = 0 6 3 e) (x).(x – 12) = 0 12
  • 13. x2 – 12x = 0 f) (x + 5).(x –5) = 0 x2 – 25 = 0 21. a) x = 1 ou x = –3 2 b) x = –1 ou x =  3 c) x = 1 ou x = 6 1 d) x = –1 ou x = 2 e) Não tem solução real. 3 f) x =  2 22. O valor da expressão b² – 4ac é tão importante que foi denominado discriminante. De fato, seu valor vai determinar se uma equação de 2o grau pode admitir duas raízes reais distintas ou duas raízes reais idênticas (uma raiz dupla), ou, então, não admitir raízes reais. Ele foi representado por uma letra grega Δ (delta). Assim, Δ = b2 – 4ac. Como ele é o radicando de uma raiz quadrada, podemos estabelecer as seguintes relações: Δ=0 Δ>0 Δ<0 Duas raízes reais idênticas Duas raízes reais distintas Não admite raízes reais (uma raiz dupla) 13
  • 14. Páginas 21 - 22 23. a) 2. b) Não existem raízes reais. c) 3 ou 5.  1  33  1  33 d) ou . 4 4 e) –1 ou 3. f) –1 ou 3. g) –1 ou 3. 24. Qualquer uma dessas equações é resultado da multiplicação dos dois membros, em relação a uma delas, por um mesmo número real diferente de 0. Assim, pelo princípio multiplicativo da igualdade, todas são equações equivalentes e, por isso, têm as mesmas raízes. Página 23 25. a) x(x + 5) = 3 . 2 para x ≠ 0 x2 + 5x – 6 = 0 x = 1 ou x = –6 10 2 9 b)   para x ≠ 0, –1 e –2 x 1 x x  2 10x(x + 2) = 2(x + 1).(x + 2) + 9x(x + 1) 10x2 + 20x = 2x2 + 6x + 4 + 9x2 + 9x –x2 + 5x – 4 = 0 x = 1 ou x = 4 14
  • 15. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 EQUAÇÕES DE 2o GRAU NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Páginas 25 - 30 1. 2  x a) Se considerarmos x o total do bando, temos que    12  x . Resolvendo a 8 equação, encontramos duas possibilidades: 16 e 48. b) Consideremos inicialmente x a distância do tronco da palmeira maior ao peixe. Como os pássaros chegam ao mesmo tempo, supomos que voem à mesma velocidade, considerando que a distância por eles percorrida é a mesma. Portanto, os 2 triângulos retângulos possuem a mesma medida de hipotenusa. Dessa forma, aplicando-se o Teorema de Pitágoras, podemos escrever 302 + x2 = 202 + (50 – x)2. Embora pareça uma equação de 2o grau, os termos em x2 se cancelarão, resultando em uma equação de 1o grau de raiz 20. Portanto, o peixe apareceu a 20 côvados da palmeira maior. 1 25 c) A equação será 11x2 + 7x = 6,25. As raízes da equação serão e  . 2 22 Contudo, somente a solução positiva tem significado nessa situação: a medida do 1 lado do quadrado deve ser igual a ou 0,5. 2 2. Geralmente, no início do problema devemos decidir se o professor será ou não considerado no total de pessoas. No caso, podemos supor que ele observou os cumprimentos entre as pessoas, desconsiderando, portanto, os referentes a ele. Para resolver esse problema, o aluno deve considerar inicialmente que o número de cumprimentos que cada pessoa dá é 1 unidade a menos que o número total de pessoas; afinal, uma pessoa não cumprimenta a si mesma. Indicando por x o número de pessoas, o número total de cumprimentos será x(x – 1). Depois, como o cumprimento do aluno A com o aluno B é o mesmo cumprimento de B com A esse 15
  • 16. x( x  1) total de cumprimentos poderá ser expresso pela equação  66 , isto é, 2 x2 – x – 132 = 0, que terá como raízes os números 12 e –11. Como a raiz negativa não tem significado, podemos concluir que 12 pessoas o acompanharam. 3. Na resolução desta questão, o aluno obterá a equação x² – 5x + 10 = 0, cujo discriminante é negativo, indicando, assim, que não existem dois números reais que satisfazem às condições do problema. 4. a) – 9 ou –1. b) – 6 ou 6. c) Uma possível resposta: b = 5, uma vez que esta questão não tem uma única resposta. Sua discussão permite antecipar a compreensão de noções importantes relacionadas à função modular, que poderão ser desenvolvidas mais adiante, durante o Ensino Médio. 5. a) Retângulo: duas diagonais; pentágono: cinco diagonais. b) Número de lados de um polígono Número de diagonais de um polígono 3 0 4 2 5 5 6 9 7 14 ... ... n n(n  3) 2 16
  • 17. c) 90. d) 11 lados. e) Basta mostrar que a equação n2 – 3n – 84 = 0 não possui raízes inteiras positivas. Páginas 30 - 31 6. A área ocupada pelas pedras pode ser decomposta em dois retângulos de área igual a 6x e 15x e um quadrado de área x2. Assim, podemos escrever a equação x2+15x+6x = 46, cuja solução positiva é 2. Portanto, a medida do lado x é igual a 2. 7. Sendo x o número de fios de linha azul, podemos escrever a equação x(x+5) = 6 800, cuja solução positiva é 80. Portanto, são 80 fios azuis e 85 fios vermelhos. 8. A área da moldura pode ser decomposta em quatro quadrados de área x2, dois retângulos de área 2x e 2 retângulos de área 4x. Resolvendo a equação 4x2 + 2 . 2x + 2 . 4x = 7, obtemos as raízes – 3,5 e 0,5. Portanto, o valor de x será 0,5 m. Desafio! Página 32 9. a) x3 – 6x = 0; logo, x(x2 – 6) = 0. Portanto, ou x = 0 ou x2 – 6 = 0  x =  6 . A equação tem, portanto, como soluções:  S = 0, 6,  6 .  b) x(x2 – 6x) = 0. x = 0 é uma das soluções. x2 – 6x = 0  x = 0 ou x = 6. A solução da equação é S = {0, 6}. 17
  • 18. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 GRANDEZAS PROPORCIONAIS: ESTUDO FUNCIONAL, SIGNIFICADOS E CONTEXTOS Páginas 34 - 35 1. Podemos dizer que o preço de dez maçãs está relativamente barato em comparação com o preço de cinco maçãs. Se o preço fosse diretamente proporcional ao número de maçãs, dez delas custariam 2 reais, e não R$ 1,80. Por isso, a oferta do feirante era realmente boa para a compra de dez maçãs. 2. a) São grandezas diretamente proporcionais, pois quando o valor de uma grandeza dobra o valor correspondente da outra também dobra; quando este triplica, o outro x também triplica, etc. Isto é, a razão é constante e a sentença que expressa a y relação entre x e y é y = 10x. b) São grandezas inversamente proporcionais, pois quando o valor de uma grandeza dobra o valor correspondente da outra se reduz à metade; quando este triplica, o outro reduz a um terço, etc. O produto de x . y é constante e a sentença que 48 expressa a relação entre x e y é x . y = 48 ou y  . x c) Não são grandezas nem direta nem inversamente proporcionais, pois não se x observa uma constante nem para nem para x . y. A sentença que relaciona x e y y pode ser y = 2x + 1 (analisando a tabela, pode-se perceber que os valores de y são iguais ao dobro dos correspondentes valores de x acrescidos de 1 unidade). d) Também não são grandezas nem direta nem inversamente proporcionais, pois x não se observa uma constante nem para nem para x . y. A sentença que relaciona y 18
  • 19. x e y é y = 2x2 (analisando a tabela, pode-se perceber que os valores de y são iguais ao dobro do quadrado dos correspondentes valores de x). Páginas 35 - 37 3. x 1 2 3 4 5 6 7 y 3 5 7 9 11 13 15 y–1 2 4 6 8 10 12 14 y 1 Sim, há proporcionalidade direta entre x e y – 1. Percebemos que a razão é x y 1 constante. Como  2 , o valor 2 representa a constante de proporcionalidade. x 4. x 1 2 3 4 5 6 7 x2 1 4 9 16 25 36 49 y 2 8 18 32 50 72 98 Construindo uma nova tabela, observamos que os valores de y são diretamente y y proporcionais ao quadrado de x, isto é, 2 é constante e, como 2  2 , a constante x x de proporcionalidade é 2. 5. a) Não. Quando a idade de uma pessoa dobra (digamos, passa de 2 a 4 anos), não é verdade que sua massa também dobra. Se houvesse proporcionalidade direta, imagine a massa de uma pessoa aos 40 anos... 19
  • 20. b) Sim. O preço a pagar p é o produto do preço de 1 metro do fio pela quantidade x de metros: p = kx, onde k é o preço de 1 metro de fio. Mas, às vezes, o vendedor pode fazer algum desconto se a pessoa comprar muito e, nesse caso, a proporcionalidade deixa de existir. c) Sim. De fato, quando o número de cópias dobra (digamos, passa de cinco para dez), é verdade que o preço a ser pago também dobra. d) O perímetro p é igual à soma das medidas dos três lados, ou seja, p é o produto da medida a do lado por 3, ou seja p = 3a. Portanto, o perímetro é proporcional à medida do lado do triângulo equilátero. e) Sim, pois a diagonal d é igual ao produto de a por 2 , ou seja, d  2 .a . Isso é possível de perceber aplicando-se o Teorema de Pitágoras. f) Sim, pois o quociente entre C e r é igual a uma constante: 2π. Ou seja, C  2 e C  2 . r r g) Não, a área do círculo não é proporcional ao seu raio. No entanto, como a área de um círculo é dada pela expressão A = πr2, observamos a seguinte A proporcionalidade:   . Portanto, a área de um círculo é proporcional ao r2 quadrado do seu raio. Páginas 37 - 41 6. d 1 4 1 a) k 2  2  2  . v 10 20 100 1 2 b) Para d = 83, temos .v  83 , cuja solução é 91,1. Portanto, a velocidade 100 deve ser de aproximadamente 90 km/h. 1 c) Para v = 80, temos d  .80 2 , cuja solução é 64 metros. 100 20
  • 21. 7. a) x = 100 e C = 1 500. Substituindo esses valores na expressão, chegamos ao valor de k = 5. Isso significa que, a cada quantidade produzida, o custo total aumenta em 5 reais. b) Aumentará, em ambos os casos, em 5 reais, pois a variação foi de 1 unidade produzida. c) x = 200, pois 5 . 200 = 1 000. C d) Não. O custo total C não é diretamente proporcional a x, pois a razão não é x constante. Veja: para x = 1, temos C = 1 005 e, para x = 2, temos C = 1 010; 1 010 1 005 C  , ou seja, não é constante. 2 1 x e) Sim, a diferença entre o custo total e o custo fixo é diretamente proporcional a x, ou seja, o custo variável é diretamente proporcional a x e a constante de proporcionalidade é igual a 5. f) Diferença entre o Razão entre a No de diferença e x Custo total custo total e o custo produtos (x) fixo (custo variável) 5 1 1 000 + 5 . 1 = 1 005 1 005 – 1 000 = 5 5 1 2 10 1 000 + 5 . 2 = 1 010 1 010 – 1 000 = 10 5 2 3 15 1 000 + 5 . 3 = 1 015 1 015 – 1 000 = 15 5 3 4 20 1 000 + 5 . 4 = 1 020 1 020 – 1 000 = 20 5 4 10 50 1 000 + 5 . 10 = 1 050 1 050 – 1 000 = 50 5 10 8. a) Mulher: n = 3 . 13 – 22 = 17 / Homem: n = 3 . 16 – 25 = 23. b) A mulher, pois a parcela subtraída na fórmula é menor do que a do homem. 21
  • 22. c) A resposta é não. Construindo uma tabela, como a apresentada a seguir, observamos que a diferença entre os números dos homens e os das mulheres permanece em 3 unidades e que cada uma delas cresce com a mesma variação: 3 por polegada. C 9 10 11 12 13 14 15 16 17 No homem 2 5 8 11 13 15 17 20 23 No mulher 5 8 11 13 15 17 20 23 26 Páginas 41 - 42 9. a) Quando se passa da superfície (x = 0) para uma profundidade de 10 m (x = 10), a pressão aumenta em 1 atmosfera. Assim, a 10 m de profundidade a pressão será 1 + 1 = 2 atmosferas. Logo, 2 = 1 + k . 10. Calculando k, obtém-se k = 0,1. Esse valor poderia ser mais rapidamente calculado, bastando dividir o acréscimo de 1 atmosfera de pressão por 10. b) A cada metro que descemos, a pressão aumenta de 0,1 atm. c) x = 20 m. d) Não, pois a razão entre p e h não é constante. e) Sim, pois a razão entre a diferença entre as pressões (acréscimo de pressão) e a profundidade é constante. 22
  • 23. Páginas 42 - 43 10. a) 1 2 3 4 5 6 7 Distância (d) 1 4 9 16 25 36 49 Área (A) b) A = d2. c) A não é diretamente proporcional a d. d) A é diretamente proporcional a d2 e a razão de proporcionalidade é 1. 23
  • 24. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE GRANDEZAS PROPORCIONAIS E DE ALGUMAS NÃO PROPORCIONAIS Páginas 44 - 47 1. I – c. II – d. III – b. 2. a) 30 gramas. b) 2 cm3. c) Por meio da leitura do gráfico podemos verificar que a amostra de 1 cm3 de ferro tem massa de 7,5 gramas. A massa de 2 cm3 é 15 gramas, enquanto a de 4 cm3 é 30 g. Por outro lado, podemos ler o gráfico com base no eixo vertical: o volume de uma amostra de ferro de massa 22,5 gramas é de 3 cm3. Esse gráfico indica como varia a massa m (em gramas) de amostras de ferro de acordo com a variação do volume V dessas amostras. Observe, então, que ao duplicar o volume (de 1 cm3 para 2 cm3) a massa também duplicou (de 7,5 gramas para 15 gramas); ao triplicar o volume (de 1 cm3 para 3 cm3) a massa também triplicou (de 7,5 gramas para 22,5 gramas). Assim, concluímos que a massa (ferro) é diretamente proporcional ao volume. d) Observando os valores das massas e dos volumes apresentados, verificamos 7,5 gramas 15 gramas 22,5 gramas que: 3 = 7,5 g/cm3; 3 = 7,5 g/cm3; 3  7,5 g / cm 3 . 1cm 2 cm 3 cm Portanto, ao variar o volume V do bloco, sua massa também varia, mas o quociente entre a massa m e o volume V permanece constante (igual a 7,5 g/cm3). 24
  • 25. m e)  7,5 ou m  7,5 V . V 3. a) t (h) 1 1,5 2 3 4 5 6 8 12 v (km/ 120 80 60 40 30 24 20 15 10 h) b) Podemos dizer que as grandezas envolvidas nesse problema – a velocidade média e o tempo gasto para percorrer a distância dada – não são diretamente proporcionais, e sim inversamente proporcionais, porque quando o valor de uma delas é multiplicado por 2, o valor correspondente da outra é dividido por 2. Quando um deles é dividido por 6, o correspondente da outra é multiplicado por 6 e assim por diante. Ou seja, duas grandezas x e y são inversamente proporcionais quando os produtos dos valores de uma pelos correspondentes valores da outra forem constantes. Gráficos de grandezas inversamente proporcionais são denominados hipérboles. c) v . t = 120. Páginas 47 - 49 4. p a) As grandezas não são diretamente proporcionais porque a razão não é q 10 8 constante. Por exemplo: = 0,025 é diferente de = 0,016. Da mesma forma, 400 500 as grandezas também não são inversamente proporcionais, pois o produto de p e q também não é constante. Analisando a relação existente entre as grandezas envolvidas percebemos que quando há aumento de uma ocorre diminuição da outra. Por isso, essa relação pode ser chamada de decrescente. No entanto, as grandezas em 25
  • 26. questão não são inversamente proporcionais, pois, quando se compra uma quantidade de camisetas duas vezes maior, o valor da cada camiseta diminui, mas não é a metade; quando a quantidade de itens vendidos é triplicada, o preço por unidade diminui, mas não se reduz a um terço, etc. Portanto, essas grandezas não são direta nem inversamente proporcionais. b) O preço varia em 2 reais. c) O preço diminui 2 reais para cada aumento de 100 unidades vendidas. d) Considerando que, para cada diminuição de 100 unidades o preço aumenta 2 reais, então, o preço inicial das camisetas seria 18 reais. Como a cada unidade vendida o preço diminui 0,02 reais, então, podemos escrever que p = 18 – 0,02q. 5. a) Sim, porque o produto das grandezas envolvidas é constante (36). b) No de bombons No de caixas 2 18 3 12 4 9 6 6 9 4 12 3 26
  • 27. c) Páginas 50 - 53 6. a) Retângulos Perímetro (cm) Área (cm2) I 22 24 II 22 10 III 22 30 b) 2x + 2y = 22, logo y = –x + 11. c) Nesta tabela, consideramos apenas os valores inteiros de x. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 27
  • 28. d) À medida que o valor de x aumenta, é possível observar também que o valor de y diminui. Trata-se de uma função decrescente. As variáveis y e x não são proporcionais entre si. e) A = x . y = x(– x + 11) = – x2 + 11x. f) Considerando-se apenas os valores inteiros de x, obtêm-se: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 0 10 18 24 28 30 30 28 24 18 10 0 g) A partir da tabela, pode-se observar que os valores de A e x não são nem direta nem inversamente proporcionais. 28
  • 29. h) Observando o gráfico construído, pode-se concluir que a maior área será obtida para x entre 5 e 6, isto é, 5,5. Para essa medida, os lados do retângulo devem ser iguais, ou seja, a área máxima será a de um quadrado. 7. a) p = 4x b) A = x² c) x² = 4x; logo, x = 4 Páginas 54 - 55 8. a) Se o ingresso custar 4 reais, o lucro será de 12 reais, como mostra o gráfico. 29
  • 30. b) Não, para valores maiores que 6 reais e menores que 10 reais haverá lucro. A partir daí, haverá prejuízo. c) O lucro cresce até 6 reais. A partir daí, ele decresce. d) O lucro máximo de 16 reais é obtido com o ingresso custando 6 reais. e) Nesses intervalos o projeto tem prejuízo. f) Para esses valores, o lucro é o mesmo, isto é, 7 reais. Observa-se que os valores encontram um eixo de simetria, paralelo ao eixo y, que passa pelo ponto de mínimo da função x = 6.   AJUSTES Caderno do Professor de Química – 8ª série/9º ano – Volume 2 Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada página. 30
  • 31. e) m quarteirão na forma de um quadrado U A partir de situações como essas, que podem foi contornado por uma calçada com 2 me- complementar outras atividades que o professor tros de largura, o que reduziu a área reser- já tenha selecionado para o tratamento desse as- vada à construção de imóveis, conforme a sunto, pode-se iniciar um enfoque mais formal figura a seguir. Com isso a área para cons- das equações de 2º grau. Para isso, sugerimos - trução passou a ser de 144 m2. Qual era a que os alunos comparem as equações construí- medida da área original do quarteirão? das e apontem as semelhanças e diferenças entre 2m elas. Para essa comparação será conveniente que todas estejam na mesma forma. Isso é pos­ ível s operando algebricamente para obter que o se- 144 m2 gundo membro da equação fique igual a zero: a) x2 = 49 x2 – 49 = 0 b) 2y2 = 242 2y2 – 242 = 0 Se x for considerada a medida do lado do qua- c) a2 = 36 a2 – 36 = 0 drado original, com a redução de 2 metros o d) x(x+8) = 65 x2 + 8x – 65 = 0 lado do quadrado interno medirá x – 4 metros: x e) (x – 4)2 = 144 x2 – 8x – 128 = 0 x–4 Quanto às semelhanças, pode-se registrar que: ff diferentemente das equações de 1º grau, - 2 2 144 m 2 essas equações possuem um termo cuja incógnita está elevada ao expoente 2. É possível que algumas das diferenças apontadas sejam: Portanto, é possível escrever a seguinte equação: (x – 4)2 = 144. A solução desta equação pode ff lgumas equações não têm o termo de a ser encontrada por meio de cálculo mental. grau 1 (x, y, a...) e outras têm; Para isso, devemos notar que 144 é o quadrado ff penas os problemas d e e apresentam a do número 12, assim, x – 4 = 12, isto é, x = 16. uma equação de 2º grau com três termos - Logo, a medida da área original do quarteirão no primeiro membro. era 256 m2. Nesse momento, o professor pode discutir Explore essas observações para introduzir que (–12)2 é igual a 144 e que x – 4 = –12, os termos: equação de 2º grau completa; equa- - isto é, x = –8 também satisfaz a equação. ção de 2º grau incompleta; coeficientes e raízes - Contudo, como –8 não pode ser a medida de da equação. Enfim, o momento é oportuno um lado do quadrado, a resposta a esse pro- para apresentar a ideia de equação de 2º grau de - blema será 16 centímetros. maneira mais formal, ou seja: chama-se equa- 16
  • 32. Observe, professor, que nos itens dessa ativi- b) x2 – 6x + 9 dade, embora as soluções negativas não tenham (x – 3)2 sentido geométrico, satisfazem as equações al- gébricas. Mais uma vez pode-se aproveitar a c) 4x2 + 12x + 9 oportunidade para discutir com os alunos que, (2x + 3)2 enquanto o método geométrico permite a escrita da equação na forma fatorada conhecida, o mé- d) 25x2 + 100x + 100 todo algébrico permite a determinação de todas (5x + 10)2 as soluções reais da equação, quando existirem. Atividade 9 As discussões feitas até aqui convergem para Encontre o termo que falta para que o tri- a ideia de que as equações de 2º grau quando - nômio seja um quadrado perfeito: fatoradas podem ser resolvidas com fatos já apreendidos. Com essa abordagem entendemos a) x2 + 18x + que, o desenvolvimento do quadrado da soma 92 = 81 e do quadrado da diferença de dois números e seus respectivos processos de fatoração ganham b) 9x2 + x+4 nova importância. Assim, observando o desen- 2 . 3 . 2 = 12 volvimento de: c) x2 – 20x + (x + a) = x + 2 . ax + a 2 2 2 102 = 100 (x – a)2 = x2 – 2 . ax + a2 d) 4x2 – x + 49 podemos concluir que: um trinômio é qua- 2 . 2 . 7 = 28 drado perfeito quando o termo que não tem x, termo independente de x, é igual à metade do Retomando as situações que envolvem a coeficiente de x elevado ao quadrado. resolução de equações de 2º grau, observamos - que, algumas vezes, a equação já apresenta um Como sugestão para abordar esse processo, trinômio quadrado perfeito como a equação: propomos, a seguir, duas atividades cujo obje- x2 + 10x + 25 = 0. tivo é aprimorar o olhar sobre trinômios qua- drados para identificar quais são perfeitos. Basta observar que o termo independente é igual à metade do coeficiente de x elevado Atividade 8 ao quadrado. Portanto, ele já representa um Quais dos seguintes trinômios da lista a quadrado perfeito de lado (x + 5). Então: seguir referem-se a quadrados perfeitos: x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 = 0 a) x2 + 4x + 4 Logo: x = –5 é a resposta. (x + 2) . 2 24