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OIM 2011 - Olimpíada Interestadual de Matemática de 2011



           1ª Fase - Nível 3 (destinado aos 1os, 2os e 3os anos do Ensino Médio)

Nome completo: ________________________________________________________ Ano: ________

Atenção: caso seja necessário, considere            .

1) Considere os números abaixo:


I.


II.


III.


IV.


V.

Podemos afirmar que:

(a) O menor dos números é IV.

(b) Apenas I, II e III são divisíveis por 3.

(c) Todos eles são ímpares.

(d) O algarismo das unidades de I, II, e III e IV é 1.

(e) Somente o algarismo das unidades de II é par.



2) Considere a taça de forma esférica mostrada abaixo.




Sabe-se que o raio dessa taça é de 8 cm e sua altura é de 6 cm. O volume dessa taça é, em mL,
aproximadamente igual a:

(a) 67,8             (b) 6790                  (c) 6780     (d) 678              (e) 679
3) Considere x e y dois números naturais de modo que sua soma seja o menor número com 6
divisores. Qual é o maior valor possível para   ?

(a) 27            (b) 35                    (c) 36                 (d) 21              (e) 12



4) Se        , o valor de        é:

(a) 64                 (b) 512              (c) 729              (d) 784            (e) 1024



5) Considere a equação                                 . Podemos afirmar que

(a)                    (b)                  (c)                  (d)                 (e)



6) Qual será o último ano bissexto do Século XXI?

(a)                    (b)               (c) 2094                (d)                (e)



7) A área de um pentágono é da área de um quadrilátero que é da área de um triângulo
equilátero. Sabendo que a medida do lado do triângulo é 8 cm, podemos afirmar que a área do
pentágono é:

(a)              (b)                  (c)                  (d)                       (e)



8) Um torneio de futebol foi disputado por 2011 competidores. Na 1ª fase, todas as equipes, com
exceção do atual campeão (que já estava diretamente classificado para a 2ª fase) foram
divididas em grupos com 6 integrantes. Em cada um desses grupos,cada equipe enfrentava as
outras em turno único, classificando-se para a 2ª fase os 4 melhores de cada grupo. A partir da
2ª fase, cada equipe passa para a rodada seguinte somente em caso de vitória. Se não for
possível que sempre passe para a rodada seguinte um número par de jogadores, a organização
do torneio decide quais rodadas determinadas equipes devem jogar. Quantos jogos foram
realizados nesse torneio?

(a) 6320         (b) 6365             (c) 6450              (d) 6500                (e) 6650



9) A figura abaixo é formada pela junção de um triângulo equilátero e um quadrado. Sua área é
           e o lado do quadrado mede 3 cm a mais que o lado do triângulo. O perímetro da figura
é, em cm




(a) 28          (b) 32                (c) 36                (d) 40                   (e) 42
10) Se                       , então             é:

(a) 6            (b) 4             (c) 2              (d) 0              (e) Não é possível definir.



11) Os habitantes do planeta OIM têm um curioso sistema de símbolos para se comunicarem.
Eles usam duas vogais (A e U), duas consoantes (G e D) e três números (5, 7 e 8). Suas
palavras são formadas de acordo com as seguintes regras:

1) todas as palavras começam com uma consoante e terminam com um número;

2) o 8 nunca aparece depois de vogal;

3) o 7 não se repete em uma palavra;

4) vogais, consoantes e números podem se repetir numa palavra, exceto no caso da 3) regra.

Quantas palavras com 3 símbolos e começadas com G existem para os habitantes do planeta
OIM?

(a) 6               (b) 10                  (c) 12             (d) 15                  (e) 18



12) Na figura abaixo, que fração indica a parte pintada de preto?




(a)                 (b)                      (c)                (d)                       (e)



                                                                                         2
13) No dia de seu aniversário em 2011, a avó de Joana disse a ela: “Eu nasci no ano x e
completei x anos em 1980. Quantos anos eu completo hoje?”. A resposta certa é:


(a) 64             (b) 67                    (c) 70                 (d) 72                   (e) 75



14) A equação                  :

(a) Tem 5 raízes reais, que são inteiras.
(b) Tem 3 raízes reais irracionais.
(c) Tem exatamente 2 raízes, que são complexas.
(d) Tem apenas 1 raiz real, que é irracional .
(e) Não tem raízes reais.

15) Num triângulo ABC, BD e CE são alturas, BD = CE e o ângulo A = 40°. O ângulo C D vale:

(a)               (b)                      (c)                (d)                       (e)
16) Das flores no jardim de uma casa, são tulipas, são papoulas,      são girassóis e 120 são
rosas. O número de papoulas desse jardim é:

(a) 72              (b) 144               (c) 200               (d) 240                   (e) 288




17) Dados os conjuntos A, B e C não vazios, com A   BeA        C, então é sempre verdadeiro
que:

(a) B = C
(b) B C
(c) A (B      C)
(d) B C
(e) A (B      C)




18) Qual é o algarismo das unidades de        ?

(a)                 (b)             (c)                  (d)                        (e)




19) Seja um número natural    tal que               . O valor aproximado de
         é:

(a)                (b)             (c)                  (d)                         (e)




20) O valor de




é igual a:

(a)                (b)              (c)                (d)                    (e)

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1ª fase - nível 3

  • 1. OIM 2011 - Olimpíada Interestadual de Matemática de 2011 1ª Fase - Nível 3 (destinado aos 1os, 2os e 3os anos do Ensino Médio) Nome completo: ________________________________________________________ Ano: ________ Atenção: caso seja necessário, considere . 1) Considere os números abaixo: I. II. III. IV. V. Podemos afirmar que: (a) O menor dos números é IV. (b) Apenas I, II e III são divisíveis por 3. (c) Todos eles são ímpares. (d) O algarismo das unidades de I, II, e III e IV é 1. (e) Somente o algarismo das unidades de II é par. 2) Considere a taça de forma esférica mostrada abaixo. Sabe-se que o raio dessa taça é de 8 cm e sua altura é de 6 cm. O volume dessa taça é, em mL, aproximadamente igual a: (a) 67,8 (b) 6790 (c) 6780 (d) 678 (e) 679
  • 2. 3) Considere x e y dois números naturais de modo que sua soma seja o menor número com 6 divisores. Qual é o maior valor possível para ? (a) 27 (b) 35 (c) 36 (d) 21 (e) 12 4) Se , o valor de é: (a) 64 (b) 512 (c) 729 (d) 784 (e) 1024 5) Considere a equação . Podemos afirmar que (a) (b) (c) (d) (e) 6) Qual será o último ano bissexto do Século XXI? (a) (b) (c) 2094 (d) (e) 7) A área de um pentágono é da área de um quadrilátero que é da área de um triângulo equilátero. Sabendo que a medida do lado do triângulo é 8 cm, podemos afirmar que a área do pentágono é: (a) (b) (c) (d) (e) 8) Um torneio de futebol foi disputado por 2011 competidores. Na 1ª fase, todas as equipes, com exceção do atual campeão (que já estava diretamente classificado para a 2ª fase) foram divididas em grupos com 6 integrantes. Em cada um desses grupos,cada equipe enfrentava as outras em turno único, classificando-se para a 2ª fase os 4 melhores de cada grupo. A partir da 2ª fase, cada equipe passa para a rodada seguinte somente em caso de vitória. Se não for possível que sempre passe para a rodada seguinte um número par de jogadores, a organização do torneio decide quais rodadas determinadas equipes devem jogar. Quantos jogos foram realizados nesse torneio? (a) 6320 (b) 6365 (c) 6450 (d) 6500 (e) 6650 9) A figura abaixo é formada pela junção de um triângulo equilátero e um quadrado. Sua área é e o lado do quadrado mede 3 cm a mais que o lado do triângulo. O perímetro da figura é, em cm (a) 28 (b) 32 (c) 36 (d) 40 (e) 42
  • 3. 10) Se , então é: (a) 6 (b) 4 (c) 2 (d) 0 (e) Não é possível definir. 11) Os habitantes do planeta OIM têm um curioso sistema de símbolos para se comunicarem. Eles usam duas vogais (A e U), duas consoantes (G e D) e três números (5, 7 e 8). Suas palavras são formadas de acordo com as seguintes regras: 1) todas as palavras começam com uma consoante e terminam com um número; 2) o 8 nunca aparece depois de vogal; 3) o 7 não se repete em uma palavra; 4) vogais, consoantes e números podem se repetir numa palavra, exceto no caso da 3) regra. Quantas palavras com 3 símbolos e começadas com G existem para os habitantes do planeta OIM? (a) 6 (b) 10 (c) 12 (d) 15 (e) 18 12) Na figura abaixo, que fração indica a parte pintada de preto? (a) (b) (c) (d) (e) 2 13) No dia de seu aniversário em 2011, a avó de Joana disse a ela: “Eu nasci no ano x e completei x anos em 1980. Quantos anos eu completo hoje?”. A resposta certa é: (a) 64 (b) 67 (c) 70 (d) 72 (e) 75 14) A equação : (a) Tem 5 raízes reais, que são inteiras. (b) Tem 3 raízes reais irracionais. (c) Tem exatamente 2 raízes, que são complexas. (d) Tem apenas 1 raiz real, que é irracional . (e) Não tem raízes reais. 15) Num triângulo ABC, BD e CE são alturas, BD = CE e o ângulo A = 40°. O ângulo C D vale: (a) (b) (c) (d) (e)
  • 4. 16) Das flores no jardim de uma casa, são tulipas, são papoulas, são girassóis e 120 são rosas. O número de papoulas desse jardim é: (a) 72 (b) 144 (c) 200 (d) 240 (e) 288 17) Dados os conjuntos A, B e C não vazios, com A BeA C, então é sempre verdadeiro que: (a) B = C (b) B C (c) A (B C) (d) B C (e) A (B C) 18) Qual é o algarismo das unidades de ? (a) (b) (c) (d) (e) 19) Seja um número natural tal que . O valor aproximado de é: (a) (b) (c) (d) (e) 20) O valor de é igual a: (a) (b) (c) (d) (e)