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NOTAS DE AULA – ANÁLISE MATEMÁTICA II
ÍNDICE
1. Funções Vetoriais
1.1 - Cálculo Vetorial: funções a valores vetoriais
1.2 - Equações paramétricas, derivadas e integrais de funções vetoriais
1.3 - Coordenadas polares
1.3.1. Definição
1.3.2. Equação polar de uma reta
1.4 - Curvas no espaço: vetor tangente, vetor normal, velocidade, aceleração e curvatura
1.5 - Exercícios
2. Funções de várias variáveis e suas derivadas
2.1 - Diferenciação parcial
2.1.1 – Considerações Importantes
2.1.2 – Significado geométrico da derivada parcial
2.2 - Diferenciação total ou exata
2.3 - Diferenciação da função composta (Regra da cadeia)
2.4 - Derivadas de ordem superior
2.5 - Exercícios
ÍNDICE
3. Integrais Múltiplas
3.1 - Integrais duplas
3.2 - Integrais duplas na forma polar
3.3 - Integrais triplas
3.4 - Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas
3.5 - Integrais de Linha de campos escalares.
3.6 - Exercícios
4. Campos Vetoriais
4.1 - Integrais de linha para campos vetoriais
4.2 - Operadores Diferenciais
4.2.1 - Derivada Direcional
4.3 - Teorema de Green
4.4 - Exercícios
Atualizado em 10.11.2020
2
1. Funções Vetoriais
1.1 - Funções Vetoriais e Curvas no Espaço
Em geral uma função é uma regra que associa a cada elemento de seu domínio um único
elemento de sua imagem.
Estabelecendo que, para cada valor do parâmetro t, exista um único vetor posição r(t) que
determina a posição da partícula em cada instante, podemos entender essa correspondência como uma
função cujo domínio é um conjunto de números reais (os valores permitidos para t) e cuja imagem é
um conjunto de vetores. Uma função deste tipo é dita uma função vetorial ou uma função de valor
vetorial.
O conceito de função vetorial pode ser empregado para estudar movimentos de partículas
no espaço. Como sabemos, para determinar a posição de um ponto no espaço, precisamos de um terno
ordenado de números reais (x, y, z) que são as suas coordenadas. Da mesma forma, a posição de uma
partícula que se desloca no espaço será determinada por três funções coordenadas x = f(t) , y = g(t) e z
= h(t) que definem a posição da partícula em cada instante de tempo t. Chamando de i , j , k os vetores
unitários nas direções dos respectivos eixos coordenados x , y e z , i.e., i = < 1, 0, 0 >, j = < 0, 1, 0 > e k
= < 0, 0, 1 >, o vetor posição é determinado pela equação vetorial (t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k.
Atualizado em 10.11.2020
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1. Funções Vetoriais
Se uma partícula se desloca no espaço com trajetória descrita por este vetor, então o
caminho percorrido por ela durante o seu movimento define uma curva no espaço ou uma curva
espacial cuja parametrização é dada pela equação anterior. Se considerarmos a função vetorial r(t) 
f(t), g(t), h(t)  , então r(t) é um vetor de posição do ponto P = (f(t), g(t), h(t)) sobre uma curva C.
Assim, qualquer função vetorial define uma curva espacial C que é traçada pela ponta do vetor r(t) em
movimento, como é ilustrado na figura no próximo slide.
Atualizado em 10.11.2020
4
1.2 - Equações paramétricas, derivadas e integrais de funções vetoriais q
ação Vetorial e Equações Paramétricas da Reta
No plano, uma reta pode ser determinada sendo conhecidos um de seus pontos e a sua
inclinação (direção). A equação da reta pode então ser escrita utilizando-se a forma ponto-inclinação.
Da mesma maneira, uma reta no espaço fica determinada quando conhecemos um de seus
pontos e a sua direção. O problema nesse caso é como determinar a direção da reta. Esse problema é
facilmente resolvido usando-se o que aprendemos sobre vetores: a direção de uma reta, em duas ou três
dimensões, pode ser descrita de uma forma muito conveniente por um vetor, como faremos a seguir.
Considere uma reta L, um ponto Po = (xo, yo, zo) pertencente a L e um vetor v , paralelo a L.
Determinar a equação da reta L é equivalente a determinar as coordenadas de um ponto arbitrário P de
coordenadas ( x , y , z ) em L. Para isso, vamos considerar os vetores ro e r , como os vetores posição
de Po e de P, respectivamente. Isto é, se O é a origem do sistema de coordenadas tridimensionais
considerado, ro = OPo e r = OP.
Se a é o vetor com representante PoP, como mostra a figura do próximo slide, pela regra do
trapézio para subtração de vetores temos a = r - ro , isto é, r = ro + a . Mas, como a e v são vetores
paralelos, então a é um múltiplo escalar de v , isto é, a = tv onde t é um número real. Assim, r = ro + tv
, que é a equação vetorial da reta L. Repare que dessa maneira, obtemos as coordenadas do vetor r e,
conseqüentemente, as coordenadas do ponto P sobre a reta, em função das coordenadas do ponto Po,
cujo vetor posição é ro , e do vetor v , que determina a direção da reta L. Cada valor do parâmetro t
fornece um vetor posição r de um ponto de L.
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1.2 - Equações paramétricas, derivadas e integrais de funções vetoriais q
ação Vetorial e Equações Paramétricas da Reta
Atualizado em 10.11.2020
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1.2.1. Equações paramétricas
Podemos escrever a equação vetorial r = ro + t v em termos das coordenadas dos vetores r ,
ro e v . Assim, como r = < x , y , z >, ro = < xo , yo , zo >, se v = < a , b , c >, a equação vetorial se torna:
< x, y , z > = < xo + ta , yo + tb , zo + tc >
Como a igualdade de vetores implica na igualdade de seus correspondentes componentes,
da equação vetorial acima resulta três equações escalares:
x = xo + at ; y = yo + bt ; z = zo + tc , onde t é um número real.
As equações escalares acima são chamadas equações paramétricas da reta L que passa pelo
ponto Po = (xo , yo , zo) e é paralela ao vetor v = < a , b , c > . Cada valor do parâmetro t fornece um
ponto P ( x , y , z ) da reta L.
EXERCÍCIOS 1 a 3
Atualizado em 10.11.2020
7
1.2.2 - Derivadas de funções vetoriais
Definição: Seja uma função vetorial, ela é derivável ou tem derivada, se as derivadas
das componentes x(t),y(t),z(t) estão bem definidas para todo t do domínio de r(t)
1.2.2.1. Interpretação geométrica da derivada de uma função vetorial.
1.2.2.1.1. Vetor tangente à trajetória e velocidade
Seja r(t) o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço R3 . A
função r’(t) é a velocidade da partícula e é um vetor tangente à trajetória
espacial descrita pela partícula (para cada instante do tempo t).
Em outras palavras, dada uma equação y = f(x), a reta tangente à f(x) no
ponto x = x0, será dada por:
y – f(x0) = (x – x0)f’(x0) ou y = ax + b, onde a = f’(x0) e b = f(x0) -
x0f’(x0)
Sendo a curva descrita da forma r(t) = (x(t), y(t)) sua reta tangente em t =
t0 é dada da forma
y – y(t0) = (x – x(t0))y’(t0) ou y = ax + b, onde a = y’(t0) e b = y(t0) –
x(t0)y’(t0)
Atualizado em 10.11.2020
8
Se a equação da reta estiver da forma paramétrica, a equação da reta
tangente será:
x(t) = x(t0) + tdx(t0) y(t) = y(t0) + tdy(t0)
dt dt
1.2.2.1.2. Vetor normal à trajetória
Seja f(t) o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço R3,
logo T(t) = f’(t) / |f’(t)| é vetor unitário tangente à f(t) . A função N(t) = T’(t) / |T’(t)|
representa um vetor normal à trajetória espacial descrita pela partícula (para
cada instante do tempo t).
1.2.2.1.3. Vetor tangente e normal à curva
Concluindo, dada uma curva parametrizada r(t), temos:
- T(to) = r’(to) / |r’(to)|, tangente a r(t) em t = to;
- N(to) = T’(to) / |T’(to)|, normal a r(t) em t = to;
EM OUTRAS PALAVRAS, O VETOR NORMAL A
UMA CURVA É O VERSOR DA DERIVADA DO VERSOR DO
VETOR TANGENTE A ESSA CURVA (resolver exercício 1.6)
Atualizado em 10.11.2020
9
1.2.2.2 – Regras de derivação de funções vetoriais
Seja u,v funções vetoriais de variável real t; a e b são números reais, e f(t),g(t) são
funções reais de variável real t.
Atualizado em 10.11.2020
10
1.2.3 - Integral de uma função vetorial
Seja f(t) =(x(t),y(t),z(t)) uma função vetorial, se as componentes de f são integráveis
sobre I=[a,b], então:
Exemplo: Calcular a integral da função f(t)= (cos 2(wt), t3+2t+1),
LEMBRAR:
Atualizado em 10.11.2020
11
1.2.3.1 - Comprimento de arco para curvas lisas
Quando uma partícula percorre uma determinada trajetória no espaço, ela
descreve uma curva, o comprimento desta curva entre dois instantes dado t0 e t1 se
denomina comprimento de arco, esse comprimento “L” será determinado através da
seguinte fórmula:
O comprimento “L” de uma curva r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, tal que t
[a,b] é
EXERCÍCIOS 7 e 8

Atualizado em 10.11.2020
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1.3 - Coordenadas polares
1.3.1. Definição: Um sistema de coordenadas polares Oρθ no plano consiste de um ponto O,
denominado pólo ou origem, de uma semi-reta OA, com origem em O, denominada eixo-
polar, e de uma unidade de comprimento utilizada para medir a distância de O a um ponto
qualquer do plano.
Dado um ponto P do plano, suas coordenadas nesse sistema são dois valores ρ e θ, sendo
ρ a distância de P a O e θ a medida do ângulo do eixo-polar (OA) para a semi-reta OP.
Escrevemos então (Figura 1):
P = (ρ; θ)
Atualizado em 10.11.2020
13
Comentários
I. A primeira coordenada polar ρ, de um ponto distinto do pólo, é sempre maior que zero,
pois representa a distância do ponto ao pólo. Mas podemos tomar também valores negativos
para ρ, convencionando-se, neste caso, marcar a distância |ρ| na semireta oposta, ou seja, o
ponto P = (ρ, θ), com ρ < 0, corresponde ao ponto P = (-ρ, θ + π).
II. Se a primeira coordenada polar de um ponto é zero então esse ponto é o pólo. O ângulo
do pólo não está definido.
III. Podemos também usar a medida radianos para os ângulos.
IV. O par (ρ, θ) determina, de maneira única, um ponto do plano. No entanto, um ponto no
plano pode ser determinado por meio de várias coordenadas polares distintas, pois, de
acordo com a construção acima, as medidas θ e θ + 2kπ, onde k é inteiro, estão associadas ao
mesmo ângulo e, portanto, (ρ, θ) e (ρ, θ + 2kπ) representam o mesmo ponto do plano.
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1.3.2. Equação polar de uma reta
Seja Oρθ um sistema de coordenadas polares no plano. Sejam r uma reta que não passa
pelo pólo O, λ a distância de r ao pólo e α o ângulo que o eixo-polar forma com a semi-reta
de origem no pólo que é perpendicular a r. Então um ponto P de coordenadas polares (ρ; θ)
pertence a r se, e somente se:
1.4 - Curvas no espaço: vetor tangente, velocidade e aceleração,
curvatura e vetor normal
1.4.1. Vetor tangente, velocidade e aceleração (ver 1.2.2.1. Interpretação geométrica da derivada de uma função vetorial)
Seja r(t) o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço R3 . A função r’(t) é a
velocidade da partícula e é um vetor tangente à trajetória espacial descrita pela partícula
(para cada instante do tempo t). E a função r’’(t) é a aceleração da partícula (para cada
instante do tempo t)
1.4.2. Vetor normal à curva
Dada uma curva plana parametrizada da forma r(t) = (x(t); y(t)), sua tangente unitária será
dada por T(t) = r’(t) / |r’(t)|. O vetor unitário normal a r(t) será dado por n(t) = T’(t) / |T’(t)|
Atualizado em 10.11.2020
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1.4.3. Curvatura
Dada uma curva plana parametrizada por (x(t); y(t)), o seu vetor velocidade v = x’i + y’j
forma um certo ângulo θ(t) com a horizontal (eixo Ox). Definimos a curvatura desta curva
plana num determinado ponto como a taxa de variação deste ângulo por unidade de
comprimento medida na curva, isto é,
Exercício 9 e 10
Atualizado em 10.11.2020
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1.5. Exercícios
1. Determine a equação vetorial e paramétrica de uma reta que passa pelo ponto (2,
3, 1) e é paralela ao vetor v = 1, 3, 2 .
2. Determine outros dois pontos pertencentes à reta acima.
3. Determine se as retas L1 e L2 dadas são paralelas, reversas ou concorrentes. Se
forem concorrentes, determine o ponto de interseção das mesmas.
4. Determine a derivada de cada função vetorial
a) f(t) = (t2, cos(t),4 t)
b) f(t) = (2t-3sin(2t), 3-3cos(2t))
5. Determine a velocidade v(t) e a aceleração a(t) de uma partícula que descreva a
seguinte curva (trajetória)
r(t)=(2t, 8-3t2,3t+4)m.
Atualizado em 10.11.2020
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1.5. Exercícios
6. Seja uma partícula pontual que segue uma trajetória dada pela curva, definida
assim:
α:t -> α(t) (Rt -Rsin(t), R-Rcos(t)),
a) Determine a posição, velocidade e aceleração no instante t=0s, e t=3π/2.
b) Determine a equação da reta tangente a curva α no instante t=3π/2.
c) Determine o vetor normal a essa curva em t = 3π/2.
7. Determine o comprimento de arco da ciclóide r(t)=(2t-2 sin(t), 2-2 cos(t)) entre t=0
e t= 2pi
8. Determine o comprimento de arco da função f(t)=(2t3,3t2,3t+4) em um instante de
tempo qualquer
9. Sendo uma possível parametrização de um círculo de raio R, dada por x(t)=Rcoswt;
y(t)=Rsinwt, calcule sua curvatura
10. Determine o comprimento de arco da espiral logarítmica φ: [0; + [ > R2 definida
φ(t) = (etcos(t); etsen(t)) a partir do ponto (1;0)
- Calcule a curvatura do citado arco no ponto (1;0)
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2. Funções de várias variáveis e suas derivadas
2.1 - Diferenciação parcial
Seja y=f(x) uma função de uma variável real. Sua derivada primeira é:
e pode ser interpretada como a taxa instantânea de variação de y em relação à x. Para uma
função z=f(x,y) de duas variáveis, necessita-se de uma interpretação análoga da taxa à qual z
varia quando x e y variam (isolada ou simultaneamente). Vejamos:
Começa-se mantendo y fixo e fazendo x variar. A taxa de variação de z em relação à x
é então denotada por e tem o valor
O valor desse limite, se existir, é chamado DERIVADA PARCIAL DE f EM
RELAÇÃO À x. Da mesma forma pode-se manter x fixo e fazer y variar. A taxa de variação
de z em relação a y é então a DERIVADA PARCIAL DE f EM RELAÇÃO À y, definida
como:
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2.1.1 – Considerações Importantes
- Notações usadas para derivadas parciais:
Deve-se observar que se pode calcular fx(x,y) como uma derivada simples em relação
à x, simplesmente considerando-se y como uma constante durante o processo de
diferenciação. Analogamente, pode-se calcular fy(x,y)como uma derivada simples,
encarando-se y como a única variável e x como uma constante durante o cálculo.
Atualizado em 10.11.2020
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2.1.2. Significado geométrico da derivada parcial
- Significado Geométrico de fx(x,y)
O valor fx (a,b) é o coeficiente angular da reta tangente, em P(a,b,c) à seção paralela ao
eixo x (ou seja, y = constante) no ponto P da superfície z=f(x,y)
- Significado Geométrico de fy(x,y)
O valor fy (a,b) é o coeficiente angular da reta tangente, em P(a,b,c) à seção paralela ao
eixo y (ou seja, x = constante) no ponto P na superfície z=f(x,y)
2.1.2.1. Plano tangente a curva no R3.
Dada a curva z = f(x,y), a equação do plano tangente a curva em (x0, y0, f(x0, y0)) será
dada por:
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21
2.2. Diferenciação total ou exata
A diferencial total de uma função f(x,y) é dada por:
Atualizado em 10.11.2020
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2.3 - Diferenciação da função composta (Regra da cadeia)
Seja uma função x = g(t) definida no espaço T ⊂ Rk, g: T → Rn, denotamos por X =
g(t) a imagem do conjunto T sobre transformação g (X ⊂ Rn).
Seja a função y = f(x), f: Rn → R definida no conjunto X. Se a função g(t) é
diferenciável no ponto t0 ∈ T e a função f(x) é diferenciável no ponto x0 = g(t0) , então a
função composta w = h(t) = f(g(t)) é função diferenciável no ponto t0, sendo calculada das
seguintes formas:
- Possibilidade 1: Suponha uma função y = f(x) de uma variável real, diferenciável de x.
Suponha x = g(t) uma função de variável real t, diferenciável de t. Então y é diferenciável de
t e:
- Possibilidade 2: Suponha uma função z = f(x,y) de duas variáveis reais, diferenciável de x
e de y, onde x = g(t) e y = h(t) são funções diferenciáveis de t. Então z é diferenciável de t e:
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- Possibilidade 3: Suponha uma função z = f(x,y) de duas variáveis reais,
diferenciável de x e de y, onde x = g(s,t) e y = h(s,t) são funções diferenciáveis de
s e de t. Então z é diferenciável de t e:
- Possibilidade 4: Suponha que u seja uma função diferenciável de n variáveis x1,
x2, x3, ..., xn, onde cada xj é uma função diferenciável de m variáveis t1, t2, ..., tn e:
Atualizado em 10.11.2020
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2.4 - Derivadas de ordem superior
Uma derivada é dito de ordem superior quando o resultado de uma diferenciação
relativamente a uma variável é novamente diferenciada em relação a mesma ou outra
variável.
Se a função inicial for diferenciada relativamente a diferentes variáveis, ela é dita
DERIVADA MISTA
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2.5. Exercícios
1. Dado f(x,y) = x2+2xy2-y3, calcule e
2. Calcule as derivadas de segunda ordem de f(x,y) = x2y + cos(x+y)
3. Dado um cone circular reto cuja altura é y e o raio da base x, calcule a variação do
volume do cone em função de x e em função de y
Os.: volume do cone = πr2h/3
4. Uma placa de metal aquecida está situada em um plano xy de modo que a temperatura T
no ponto (x,y) é dada por T(x,y) =10(x2+y2)2. Determine a taxa de variação de T em relação
à distância no ponto P(1,2) na direção:
a) do eixo das abscissas
b) do eixo das ordenadas
5. Determinar as derivadas parciais de segunda ordem das funções dadas por:
Atualizado em 10.11.2020
26
2.5. Exercícios
Nos exercícios abaixo, para cada função dada, calcule nos pontos (1,4) e (-3,2):
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Atualizado em 10.11.2020
27
2.5. Exercícios
14. Calcular a inclinação da reta tangente à interseção da superfície z = 4x2y - xy3, com o
plano y=2, no ponto (3, 2, 48)
17. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
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28
2.5. Exercícios
18. Encontre a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de no ponto de
abscissa 2.
19. Sendo u uma função de x, isto é, u=u(x), exprima cada uma das seguintes derivadas em
termos de u e de du / dx:
20. Determine uma função y=f(x) tal que
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29
2.5. Exercícios
21.
22. Escreva a equação do plano tangente ao parabolóide z=x²+y² no ponto P(2,-1,5)
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30
3. Integrais Múltiplas
3.1 - Integrais duplas
Sabe-se do cálculo que a integral simples , é definida como
a área delimitada pelo eixo x, pelas retas x = a e x=b e pelo gráfico da função y =
f(x). Este conceito de integral simples pode ser estendido a uma função real de
duas variáveis reais f: D ⊂R2 → R contínua na região compacta D, por exemplo,
no retângulo
Dividindo-se o retângulo formado na região acima em infinitos pedaços em x
e infinitos pedaços em y, temos que a volume do sólido delimitado por f(x) e pelos
valores do retângulo, ou seja, pelo plano xy vale:
S =
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31
Sendo o presente limite definido por
onde dA = dxdy
Logo S =
Propriedades
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32
Teorema de Fubini: Seja f:D⊂R2→R contínua no retângulo
são as integrais iteradas ou repetidas de f(x,y) sobre o retângulo D, e nelas são
especificadas a ordem de integração. Por exemplo na integral iterada
primeiro calculamos a integral parcial , mantendo y constante,
e o resultado integramos com respeito a variável y no intervalo [c,d]
Atualizado em 10.11.2020
33
Exemplo: Calcular a integral dupla
3.1.1. Aplicações da Integral dupla:
a. Cálculo de volume: dada uma função f(x,y) o volume do sólido delimitado
pela função e pelo plano xy será dado por:
b. Área delimitada por curvas do R2
c. Áreas de superfície de z = f(x,y) no R3
 


R
y
x dydx
f
f
Área 1
2
2
Atualizado em 10.11.2020
34
3.2 - Integrais duplas na forma polar
3.2.1. Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Através de uma mudança de variáveis x = x(u, v) e y = y(u, v) uma integral dupla
sobre uma região D do plano xy pode ser transformada numa integral dupla sobre uma
região D ’ do plano uv.
Atualizado em 10.11.2020
35
Considerando que as funções são contínuas, com derivadas parciais contínuas em D ’ e
D, respectivamente, temos:
Onde é o determinante jacobiano de x e y em relação a u e v, dado por
A transformação que leva pontos (x, y) do plano xy a pontos (r, ) do plano r  é dada
por
r2 = x2 + y2 q = arctg(y/x)
x = r.cos  y = r.sen 
z = z
Atualizado em 10.11.2020
36
E seu determinante é dado por:
Portanto, a fórmula pode ser expressa por:
Exemplo:
Calcular , onde R é a região semicircular, x2 + y2 = 1, onde y é
positivo. (RESOLUÇÃO AO FINAL DO CAPÍTULO)
Atualizado em 10.11.2020
37
3.3 - Integrais triplas
O cálculo de integrais triplas se reduz ao cálculo de uma integral dupla
seguida de uma integral simples e, dependendo da região de integração, a
integral pode ser calculada de forma iterada como três integrais simples. Pode-se
dizer que, semelhante a mudança ocorrida da integral simples para dupla,
quando o diferencial passa de linear para área, da integral dupla para tripla, a
diferencial da integral passa de uma área para volume.
A integral tripla pode se apresentar em uma das seguintes formas:
Atualizado em 10.11.2020
38
Atualizado em 10.11.2020
39
Portanto, seja f : W ⊂ R3 → R contínua.
Atualizado em 10.11.2020
40
Exemplos:
Atualizado em 10.11.2020
41
3.3.1. Cálculo de volume utilizando a integração tripla
Seja T uma região qualquer no plano xyz. Projetamos a região T sobre o
plano xy e obtemos a região plana R limitada por
R =
Se a região T é limitada por z1 = g1(x,y) e z2 = g2(x,y), então o volume da
região T é dado por
V =
ou
V =
Atualizado em 10.11.2020
42
3.4. Mudança de coordenadas
Consideremos uma transformação (mudança de coordenadas) T : R3 > R3
com jacobiano diferente de zero:
<> 0
Representemos por D* a imagem da região D pela transformação T, como
sugere a figura abaixo.
Atualizado em 10.11.2020
43
Consideremos dois casos especiais:
3.4.1. Coordenadas Cilíndricas
Nesse caso a transformação T é definida por: x = r cos α; y = r sen α e z = z; 0
< α <= 2π, com jacobiano J = r: Assim, a fórmula de mudança de coordenadas
fica:
3.4.2. Coordenadas Esféricas
Nesse caso a transformação T é definida por: x = ρsenβcosα; y = ρsenβsenα
e z = ρcosβ; 0 < α <= 2π e 0 < β <= π; com jacobiano |J| = ρ2 senβ. Assim, a
fórmula de mudança de coordenadas fica:
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3.5 - Integrais de Linha de campos escalares.
Vamos iniciar nosso estudo com as integrais de linha de uma função de duas
variáveis. Denominamos de integral de linha escalar, a integral de uma função f(x,
y) ao longo de uma curva C e a denotamos por,
onde ds é uma quantidade infinitesimal da curva C. A curva C é chamada o
caminho da integração
Para se entender melhor o conceito de integral de linha. Iremos utilizar a
notação, para denotar um caminho (uma curva) no plano cartesiano R2. Podemos
pensar em P(t) como sendo um ponto (em movimento), como função do tempo t,
descrevendo uma curva C no plano, para a <= t <= b.
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45
Para calcularmos uma integral de linha escalar f(x,y)ds, podemos
transforma-lá em uma integral simples de uma função de uma variável. Para isso,
basta restringirmos os valores de f x, y aos pontos da curva C, e encontrarmos
uma expressão adequada para ds.
Para acharmos ds devemos observar que, sendo ds uma quantidade
infinitesimal (muito pequena) do comprimento da curva C, podemos supor que ela
é a hipotenusa do triângulo retângulo, cujos catetos são dx e dy.
Aplicando o Teorema de Pitágoras nesse triângulo, obtemos:
Aqui, temos dois casos a considerar:
1o Caso: A curva C é o gráfico de uma função y = g(x)
Nesse caso, temos que:
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46
Ex.: Calcule a integral sobre a curva do ponto ao ponto
- Resolver esta integral simples fazendo u2 = 1 + x2
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47
2º caso: A curva C é dada na forma paramétrica.
Portanto:
Calcule a integral onde C é a parte da circunferência unitária
percorrida no sentido anti-horário.
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48
3.6. Exercícios
1. Calcular o volume do sólido delimitado pelos valores x = [0,1]; y = [0,1] e pela
superfície x + y + z = 2
2. Calcular o volume do sólido delimitado no plano x,y pelo retângulo [-1,1]x[0,1]
e pelo cilindro z = 1- x2
3. Calcule a integral de z = f(x,y) = xy2 sobre o 1o quadrante de um círculo com
centro na origem do plano xy e raio = 1
5. Calcule o volume do tetraedro formado pelo plano x + y + z = 1 e pelos planos
coordenados
6. Calcule a área delimitada pelas curvas x2 + 2y = 16 e x + 2y = 4
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49
7. Calcule , onde R = [1,2] x [0,]
8. Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 +
2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados.
9.
10.
11.
12.

R
dA
)
xy
sen(
y
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50
13.
14. Resolver a integral dupla
15. Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2.
16. Em cada caso, calcule o volume do sólido gerado por integração tripla.
(a) é delimitado por z + x2 = 9, z + y = 4, y = 0 e y = 4;
(b) é delimitado pelos cilindros z = 3x2 e z = 4 - x2 e pelos planos x + y = 6 e y = 0;
(c) é a interseção da bola x2 + y2 + z2 <= 6 com o parabolóide z >= x2 + y2;
 
D
dA
)
y
2
x
(
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51
17. Ache o volume do sólido no primeiro octante, limitado pelo cilindro z2+y2= 4 e pelo
plano x + y =2
18. Ache o volume do sólido limitado pelo parabolóide x2+y2+z= 12 e pelo plano z= 8
19 - Ache o volume do sólido interno `a esfera x2+y2+z2= 4 e acima do cone x2+y2 = z2
20 – Calcule o volume do sólido delimitado pela esfera de raio R
21 – Calcule o volume do elipsóide x2 / a2 + y2 / b2 + z2 / c2 <= 1
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52
22.
do ponto P(1,0,0) até o ponto q(1,0,2π)
23. Calcule a massa total de um arame no formato de uma parábola y = x2 ao longo de 2
<= x <= 6. Considere a densidade de massa dada por ρ(x,y) = x / y em unidades de grama
por centímetro.
Os.:
24.
25.
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53
26.
27.
28.
29.
30.
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54
4. Campos Vetoriais
4.1 - Integrais de linha para campos vetoriais
Dada uma função vetorial iremos calcular sua integral de linha ao longo de uma curva
C, denotada por:
Antes, porém, é necessário observar que existe uma diferença importante entre uma
integral de linha escalar e uma integral de linha vetorial: para determinar uma integral de
linha vetorial, devemos primeiramente escolher um sentido de percurso ao longo da curva C.
Isso é necessário porque as grandezas físicas, obtidas por este procedimento, ficam afetadas
de um sinal algébrico.
)
,
( y
x
F

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55
Observe que podemos percorrer uma curva C em um de dois sentidos. Ou
seja, em cada curva existem duas orientações possíveis correspondendo aos dois
sentidos de percurso. Quando escolhemos um desses sentidos de percurso,
dizemos que a curva C está orientada e este é considerado o sentido positivo de
percurso ao longo da curva. Escrevemos então, –C para denotar a curva C com a
orientação oposta.
Assim,
Vejamos então como calcular uma integral de linha
vetorial dada por:
onde C é definida como o gráfico de uma função y  g x de x = a até x = b.
Nesse caso, primeiramente devemos escrever o integrando em função de x. Para isso,
substituímos y por g(x) e dy por g ' xdx na integral
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56
Exemplo 1:
(a) Ache o valor da integral de linha vetorial sobre o caminho C
(ver figura) para M x, y  y e N x, y  xy quando o caminho C
vai de A até B.
(b) Ache o valor da integral sobre o caminho C (ver figura) para
M x, y  y e N x, y  xy , quando o caminho C vai de B até A.
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57
Solução
(a) Considerando y = 1-x (equação da reta que vai de A até B) a função que define o
caminho C, com 1 <= x <= 0, temos que dy = -dx e, portanto,
(b) Considerando y = 1-x (equação da reta) com 0 <= x <= 1 temos que dy = -dx e, portanto,
Atualizado em 10.11.2020
58
Observe que no exemplo 1, invertendo a orientação da curva C, o sinal da integral de
linha mudou. Se C for uma curva lisa orientada, denotamos por –C a curva orientada que
consiste dos mesmos pontos de C, mas com orientação contrária.
De uma maneira geral, o valor de uma integral de linha depende do caminho de
integração, como mostra o próximo exemplo.
Exemplo 2: Ache o valor da integral de linha vetorial sobre o caminho C (ver figura)
para M x, y  y e Nx, y  xy de A até B.
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59
Exemplo 3: Calcule a integral do exemplo 2, agora utilizando equações paramétricas para a
curva C.
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60
•
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61
4.2. Operadores Diferenciais
Basicamente, existem três operadores diferenciais relevantes: o gradiente, divergência
e rotacional
1. Gradiente
Seja um f : R3 → R campo escalar nas coordenadas cartesianas usuais. Define-se
gradiente ( ) de como sendo um vetor tal que:
2. Divergência
Seja f : R3 → R3 um campo vetorial definido nas coordenadas cartesianas usuais, tal
que f(x,y,z) = (f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z)). Define-se divergência de F ( ) como
sendo:
f

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3. Rotacional
Seja f : R3 → R3 um campo vetorial definido nas coordenadas cartesianas usuais, tal
que f(x,y,z) = (Fx(x, y, z), Fy(x, y, z), Fz(x, y, z)). Define-se rotacional ( ) como sendo:
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63
Definições:
Diz-se que um fluxo ou fluido é incompressível quando o divergente
da função que o define é nulo
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64
4.2.1. Derivadas Direcionais
Seja u = (ux, uy, uz) um vetor constante que caracteriza a direção da derivada. O
correspondente versor é dado por
em que
E seja s um múltiplo do versor u, LOGO:
Ex.: Calcular a derivada parcial de f na direção de u, dados f =
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65
4.3. Teorema de Green
Sejam C uma curva fechada do R2 orientada positivamente (por definição, uma
curva é orientada positivamente quando percorre o sentido anti-horário), D região
contida em C (conforme figura abaixo) e F : A → R2 da forma F = (F1(x,y), F2(x,y)), o
teorema de Green estabelece que:
1.
2.
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66
4.3.1. Exemplos
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67
4.4. Exercícios
- Dado dz = yexydx + xexydy
2.
3.
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69
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70
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71
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72
29. Para os seguintes campos vetoriais, encontre o
rotacional no campo indicado
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73
30. Pelo teorema de Green, determine a área de uma elipse descrita por x2 / a2 + y2 /
b2 = 1
31. Pelo teorema de Green, determine a área de uma circunferência descrita por x2 +
y2 = R2
32. Determine a área da região limitada pelas curvas 4x2 + y2 = 4 e x2 / 9 + y2 / 4 = 1.
(dica: pela simetria, calcular a área no 1º quadrante e multiplicar por 4, sendo a região
fechada simples D tal que ∂D = γ1 ∪ γ2 ∪ γ3, onde γ1 é o arco da elipse 4x2 + y2 = 4 ,
γ2 é o segmento de reta que liga os pontos (1, 0) e (3, 0) e γ3 é o arco da elipse x2 / 9
+ y2 / 4 = 1.
33. Usando o Teorema de Green, transforme a integral de linha sobre γ de (x4 −y3 )dx
+ (x3 + y5)dy numa integral dupla e calcule, sendo γ(t) = (cost,sent) com t ∈ [0, 2π].
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  • 1. NOTAS DE AULA – ANÁLISE MATEMÁTICA II ÍNDICE 1. Funções Vetoriais 1.1 - Cálculo Vetorial: funções a valores vetoriais 1.2 - Equações paramétricas, derivadas e integrais de funções vetoriais 1.3 - Coordenadas polares 1.3.1. Definição 1.3.2. Equação polar de uma reta 1.4 - Curvas no espaço: vetor tangente, vetor normal, velocidade, aceleração e curvatura 1.5 - Exercícios 2. Funções de várias variáveis e suas derivadas 2.1 - Diferenciação parcial 2.1.1 – Considerações Importantes 2.1.2 – Significado geométrico da derivada parcial 2.2 - Diferenciação total ou exata 2.3 - Diferenciação da função composta (Regra da cadeia) 2.4 - Derivadas de ordem superior 2.5 - Exercícios
  • 2. ÍNDICE 3. Integrais Múltiplas 3.1 - Integrais duplas 3.2 - Integrais duplas na forma polar 3.3 - Integrais triplas 3.4 - Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas 3.5 - Integrais de Linha de campos escalares. 3.6 - Exercícios 4. Campos Vetoriais 4.1 - Integrais de linha para campos vetoriais 4.2 - Operadores Diferenciais 4.2.1 - Derivada Direcional 4.3 - Teorema de Green 4.4 - Exercícios Atualizado em 10.11.2020 2
  • 3. 1. Funções Vetoriais 1.1 - Funções Vetoriais e Curvas no Espaço Em geral uma função é uma regra que associa a cada elemento de seu domínio um único elemento de sua imagem. Estabelecendo que, para cada valor do parâmetro t, exista um único vetor posição r(t) que determina a posição da partícula em cada instante, podemos entender essa correspondência como uma função cujo domínio é um conjunto de números reais (os valores permitidos para t) e cuja imagem é um conjunto de vetores. Uma função deste tipo é dita uma função vetorial ou uma função de valor vetorial. O conceito de função vetorial pode ser empregado para estudar movimentos de partículas no espaço. Como sabemos, para determinar a posição de um ponto no espaço, precisamos de um terno ordenado de números reais (x, y, z) que são as suas coordenadas. Da mesma forma, a posição de uma partícula que se desloca no espaço será determinada por três funções coordenadas x = f(t) , y = g(t) e z = h(t) que definem a posição da partícula em cada instante de tempo t. Chamando de i , j , k os vetores unitários nas direções dos respectivos eixos coordenados x , y e z , i.e., i = < 1, 0, 0 >, j = < 0, 1, 0 > e k = < 0, 0, 1 >, o vetor posição é determinado pela equação vetorial (t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k. Atualizado em 10.11.2020 3
  • 4. 1. Funções Vetoriais Se uma partícula se desloca no espaço com trajetória descrita por este vetor, então o caminho percorrido por ela durante o seu movimento define uma curva no espaço ou uma curva espacial cuja parametrização é dada pela equação anterior. Se considerarmos a função vetorial r(t)  f(t), g(t), h(t)  , então r(t) é um vetor de posição do ponto P = (f(t), g(t), h(t)) sobre uma curva C. Assim, qualquer função vetorial define uma curva espacial C que é traçada pela ponta do vetor r(t) em movimento, como é ilustrado na figura no próximo slide. Atualizado em 10.11.2020 4
  • 5. 1.2 - Equações paramétricas, derivadas e integrais de funções vetoriais q ação Vetorial e Equações Paramétricas da Reta No plano, uma reta pode ser determinada sendo conhecidos um de seus pontos e a sua inclinação (direção). A equação da reta pode então ser escrita utilizando-se a forma ponto-inclinação. Da mesma maneira, uma reta no espaço fica determinada quando conhecemos um de seus pontos e a sua direção. O problema nesse caso é como determinar a direção da reta. Esse problema é facilmente resolvido usando-se o que aprendemos sobre vetores: a direção de uma reta, em duas ou três dimensões, pode ser descrita de uma forma muito conveniente por um vetor, como faremos a seguir. Considere uma reta L, um ponto Po = (xo, yo, zo) pertencente a L e um vetor v , paralelo a L. Determinar a equação da reta L é equivalente a determinar as coordenadas de um ponto arbitrário P de coordenadas ( x , y , z ) em L. Para isso, vamos considerar os vetores ro e r , como os vetores posição de Po e de P, respectivamente. Isto é, se O é a origem do sistema de coordenadas tridimensionais considerado, ro = OPo e r = OP. Se a é o vetor com representante PoP, como mostra a figura do próximo slide, pela regra do trapézio para subtração de vetores temos a = r - ro , isto é, r = ro + a . Mas, como a e v são vetores paralelos, então a é um múltiplo escalar de v , isto é, a = tv onde t é um número real. Assim, r = ro + tv , que é a equação vetorial da reta L. Repare que dessa maneira, obtemos as coordenadas do vetor r e, conseqüentemente, as coordenadas do ponto P sobre a reta, em função das coordenadas do ponto Po, cujo vetor posição é ro , e do vetor v , que determina a direção da reta L. Cada valor do parâmetro t fornece um vetor posição r de um ponto de L. Atualizado em 10.11.2020 5
  • 6. 1.2 - Equações paramétricas, derivadas e integrais de funções vetoriais q ação Vetorial e Equações Paramétricas da Reta Atualizado em 10.11.2020 6
  • 7. 1.2.1. Equações paramétricas Podemos escrever a equação vetorial r = ro + t v em termos das coordenadas dos vetores r , ro e v . Assim, como r = < x , y , z >, ro = < xo , yo , zo >, se v = < a , b , c >, a equação vetorial se torna: < x, y , z > = < xo + ta , yo + tb , zo + tc > Como a igualdade de vetores implica na igualdade de seus correspondentes componentes, da equação vetorial acima resulta três equações escalares: x = xo + at ; y = yo + bt ; z = zo + tc , onde t é um número real. As equações escalares acima são chamadas equações paramétricas da reta L que passa pelo ponto Po = (xo , yo , zo) e é paralela ao vetor v = < a , b , c > . Cada valor do parâmetro t fornece um ponto P ( x , y , z ) da reta L. EXERCÍCIOS 1 a 3 Atualizado em 10.11.2020 7
  • 8. 1.2.2 - Derivadas de funções vetoriais Definição: Seja uma função vetorial, ela é derivável ou tem derivada, se as derivadas das componentes x(t),y(t),z(t) estão bem definidas para todo t do domínio de r(t) 1.2.2.1. Interpretação geométrica da derivada de uma função vetorial. 1.2.2.1.1. Vetor tangente à trajetória e velocidade Seja r(t) o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço R3 . A função r’(t) é a velocidade da partícula e é um vetor tangente à trajetória espacial descrita pela partícula (para cada instante do tempo t). Em outras palavras, dada uma equação y = f(x), a reta tangente à f(x) no ponto x = x0, será dada por: y – f(x0) = (x – x0)f’(x0) ou y = ax + b, onde a = f’(x0) e b = f(x0) - x0f’(x0) Sendo a curva descrita da forma r(t) = (x(t), y(t)) sua reta tangente em t = t0 é dada da forma y – y(t0) = (x – x(t0))y’(t0) ou y = ax + b, onde a = y’(t0) e b = y(t0) – x(t0)y’(t0) Atualizado em 10.11.2020 8
  • 9. Se a equação da reta estiver da forma paramétrica, a equação da reta tangente será: x(t) = x(t0) + tdx(t0) y(t) = y(t0) + tdy(t0) dt dt 1.2.2.1.2. Vetor normal à trajetória Seja f(t) o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço R3, logo T(t) = f’(t) / |f’(t)| é vetor unitário tangente à f(t) . A função N(t) = T’(t) / |T’(t)| representa um vetor normal à trajetória espacial descrita pela partícula (para cada instante do tempo t). 1.2.2.1.3. Vetor tangente e normal à curva Concluindo, dada uma curva parametrizada r(t), temos: - T(to) = r’(to) / |r’(to)|, tangente a r(t) em t = to; - N(to) = T’(to) / |T’(to)|, normal a r(t) em t = to; EM OUTRAS PALAVRAS, O VETOR NORMAL A UMA CURVA É O VERSOR DA DERIVADA DO VERSOR DO VETOR TANGENTE A ESSA CURVA (resolver exercício 1.6) Atualizado em 10.11.2020 9
  • 10. 1.2.2.2 – Regras de derivação de funções vetoriais Seja u,v funções vetoriais de variável real t; a e b são números reais, e f(t),g(t) são funções reais de variável real t. Atualizado em 10.11.2020 10
  • 11. 1.2.3 - Integral de uma função vetorial Seja f(t) =(x(t),y(t),z(t)) uma função vetorial, se as componentes de f são integráveis sobre I=[a,b], então: Exemplo: Calcular a integral da função f(t)= (cos 2(wt), t3+2t+1), LEMBRAR: Atualizado em 10.11.2020 11
  • 12. 1.2.3.1 - Comprimento de arco para curvas lisas Quando uma partícula percorre uma determinada trajetória no espaço, ela descreve uma curva, o comprimento desta curva entre dois instantes dado t0 e t1 se denomina comprimento de arco, esse comprimento “L” será determinado através da seguinte fórmula: O comprimento “L” de uma curva r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, tal que t [a,b] é EXERCÍCIOS 7 e 8  Atualizado em 10.11.2020 12
  • 13. 1.3 - Coordenadas polares 1.3.1. Definição: Um sistema de coordenadas polares Oρθ no plano consiste de um ponto O, denominado pólo ou origem, de uma semi-reta OA, com origem em O, denominada eixo- polar, e de uma unidade de comprimento utilizada para medir a distância de O a um ponto qualquer do plano. Dado um ponto P do plano, suas coordenadas nesse sistema são dois valores ρ e θ, sendo ρ a distância de P a O e θ a medida do ângulo do eixo-polar (OA) para a semi-reta OP. Escrevemos então (Figura 1): P = (ρ; θ) Atualizado em 10.11.2020 13
  • 14. Comentários I. A primeira coordenada polar ρ, de um ponto distinto do pólo, é sempre maior que zero, pois representa a distância do ponto ao pólo. Mas podemos tomar também valores negativos para ρ, convencionando-se, neste caso, marcar a distância |ρ| na semireta oposta, ou seja, o ponto P = (ρ, θ), com ρ < 0, corresponde ao ponto P = (-ρ, θ + π). II. Se a primeira coordenada polar de um ponto é zero então esse ponto é o pólo. O ângulo do pólo não está definido. III. Podemos também usar a medida radianos para os ângulos. IV. O par (ρ, θ) determina, de maneira única, um ponto do plano. No entanto, um ponto no plano pode ser determinado por meio de várias coordenadas polares distintas, pois, de acordo com a construção acima, as medidas θ e θ + 2kπ, onde k é inteiro, estão associadas ao mesmo ângulo e, portanto, (ρ, θ) e (ρ, θ + 2kπ) representam o mesmo ponto do plano. Atualizado em 10.11.2020 14
  • 15. 1.3.2. Equação polar de uma reta Seja Oρθ um sistema de coordenadas polares no plano. Sejam r uma reta que não passa pelo pólo O, λ a distância de r ao pólo e α o ângulo que o eixo-polar forma com a semi-reta de origem no pólo que é perpendicular a r. Então um ponto P de coordenadas polares (ρ; θ) pertence a r se, e somente se: 1.4 - Curvas no espaço: vetor tangente, velocidade e aceleração, curvatura e vetor normal 1.4.1. Vetor tangente, velocidade e aceleração (ver 1.2.2.1. Interpretação geométrica da derivada de uma função vetorial) Seja r(t) o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço R3 . A função r’(t) é a velocidade da partícula e é um vetor tangente à trajetória espacial descrita pela partícula (para cada instante do tempo t). E a função r’’(t) é a aceleração da partícula (para cada instante do tempo t) 1.4.2. Vetor normal à curva Dada uma curva plana parametrizada da forma r(t) = (x(t); y(t)), sua tangente unitária será dada por T(t) = r’(t) / |r’(t)|. O vetor unitário normal a r(t) será dado por n(t) = T’(t) / |T’(t)| Atualizado em 10.11.2020 15
  • 16. 1.4.3. Curvatura Dada uma curva plana parametrizada por (x(t); y(t)), o seu vetor velocidade v = x’i + y’j forma um certo ângulo θ(t) com a horizontal (eixo Ox). Definimos a curvatura desta curva plana num determinado ponto como a taxa de variação deste ângulo por unidade de comprimento medida na curva, isto é, Exercício 9 e 10 Atualizado em 10.11.2020 16
  • 17. 1.5. Exercícios 1. Determine a equação vetorial e paramétrica de uma reta que passa pelo ponto (2, 3, 1) e é paralela ao vetor v = 1, 3, 2 . 2. Determine outros dois pontos pertencentes à reta acima. 3. Determine se as retas L1 e L2 dadas são paralelas, reversas ou concorrentes. Se forem concorrentes, determine o ponto de interseção das mesmas. 4. Determine a derivada de cada função vetorial a) f(t) = (t2, cos(t),4 t) b) f(t) = (2t-3sin(2t), 3-3cos(2t)) 5. Determine a velocidade v(t) e a aceleração a(t) de uma partícula que descreva a seguinte curva (trajetória) r(t)=(2t, 8-3t2,3t+4)m. Atualizado em 10.11.2020 17
  • 18. 1.5. Exercícios 6. Seja uma partícula pontual que segue uma trajetória dada pela curva, definida assim: α:t -> α(t) (Rt -Rsin(t), R-Rcos(t)), a) Determine a posição, velocidade e aceleração no instante t=0s, e t=3π/2. b) Determine a equação da reta tangente a curva α no instante t=3π/2. c) Determine o vetor normal a essa curva em t = 3π/2. 7. Determine o comprimento de arco da ciclóide r(t)=(2t-2 sin(t), 2-2 cos(t)) entre t=0 e t= 2pi 8. Determine o comprimento de arco da função f(t)=(2t3,3t2,3t+4) em um instante de tempo qualquer 9. Sendo uma possível parametrização de um círculo de raio R, dada por x(t)=Rcoswt; y(t)=Rsinwt, calcule sua curvatura 10. Determine o comprimento de arco da espiral logarítmica φ: [0; + [ > R2 definida φ(t) = (etcos(t); etsen(t)) a partir do ponto (1;0) - Calcule a curvatura do citado arco no ponto (1;0) Atualizado em 10.11.2020 18
  • 19. 2. Funções de várias variáveis e suas derivadas 2.1 - Diferenciação parcial Seja y=f(x) uma função de uma variável real. Sua derivada primeira é: e pode ser interpretada como a taxa instantânea de variação de y em relação à x. Para uma função z=f(x,y) de duas variáveis, necessita-se de uma interpretação análoga da taxa à qual z varia quando x e y variam (isolada ou simultaneamente). Vejamos: Começa-se mantendo y fixo e fazendo x variar. A taxa de variação de z em relação à x é então denotada por e tem o valor O valor desse limite, se existir, é chamado DERIVADA PARCIAL DE f EM RELAÇÃO À x. Da mesma forma pode-se manter x fixo e fazer y variar. A taxa de variação de z em relação a y é então a DERIVADA PARCIAL DE f EM RELAÇÃO À y, definida como: Atualizado em 10.11.2020 19
  • 20. 2.1.1 – Considerações Importantes - Notações usadas para derivadas parciais: Deve-se observar que se pode calcular fx(x,y) como uma derivada simples em relação à x, simplesmente considerando-se y como uma constante durante o processo de diferenciação. Analogamente, pode-se calcular fy(x,y)como uma derivada simples, encarando-se y como a única variável e x como uma constante durante o cálculo. Atualizado em 10.11.2020 20
  • 21. 2.1.2. Significado geométrico da derivada parcial - Significado Geométrico de fx(x,y) O valor fx (a,b) é o coeficiente angular da reta tangente, em P(a,b,c) à seção paralela ao eixo x (ou seja, y = constante) no ponto P da superfície z=f(x,y) - Significado Geométrico de fy(x,y) O valor fy (a,b) é o coeficiente angular da reta tangente, em P(a,b,c) à seção paralela ao eixo y (ou seja, x = constante) no ponto P na superfície z=f(x,y) 2.1.2.1. Plano tangente a curva no R3. Dada a curva z = f(x,y), a equação do plano tangente a curva em (x0, y0, f(x0, y0)) será dada por: Atualizado em 10.11.2020 21
  • 22. 2.2. Diferenciação total ou exata A diferencial total de uma função f(x,y) é dada por: Atualizado em 10.11.2020 22
  • 23. 2.3 - Diferenciação da função composta (Regra da cadeia) Seja uma função x = g(t) definida no espaço T ⊂ Rk, g: T → Rn, denotamos por X = g(t) a imagem do conjunto T sobre transformação g (X ⊂ Rn). Seja a função y = f(x), f: Rn → R definida no conjunto X. Se a função g(t) é diferenciável no ponto t0 ∈ T e a função f(x) é diferenciável no ponto x0 = g(t0) , então a função composta w = h(t) = f(g(t)) é função diferenciável no ponto t0, sendo calculada das seguintes formas: - Possibilidade 1: Suponha uma função y = f(x) de uma variável real, diferenciável de x. Suponha x = g(t) uma função de variável real t, diferenciável de t. Então y é diferenciável de t e: - Possibilidade 2: Suponha uma função z = f(x,y) de duas variáveis reais, diferenciável de x e de y, onde x = g(t) e y = h(t) são funções diferenciáveis de t. Então z é diferenciável de t e: Atualizado em 10.11.2020 23
  • 24. - Possibilidade 3: Suponha uma função z = f(x,y) de duas variáveis reais, diferenciável de x e de y, onde x = g(s,t) e y = h(s,t) são funções diferenciáveis de s e de t. Então z é diferenciável de t e: - Possibilidade 4: Suponha que u seja uma função diferenciável de n variáveis x1, x2, x3, ..., xn, onde cada xj é uma função diferenciável de m variáveis t1, t2, ..., tn e: Atualizado em 10.11.2020 24
  • 25. 2.4 - Derivadas de ordem superior Uma derivada é dito de ordem superior quando o resultado de uma diferenciação relativamente a uma variável é novamente diferenciada em relação a mesma ou outra variável. Se a função inicial for diferenciada relativamente a diferentes variáveis, ela é dita DERIVADA MISTA Atualizado em 10.11.2020 25
  • 26. 2.5. Exercícios 1. Dado f(x,y) = x2+2xy2-y3, calcule e 2. Calcule as derivadas de segunda ordem de f(x,y) = x2y + cos(x+y) 3. Dado um cone circular reto cuja altura é y e o raio da base x, calcule a variação do volume do cone em função de x e em função de y Os.: volume do cone = πr2h/3 4. Uma placa de metal aquecida está situada em um plano xy de modo que a temperatura T no ponto (x,y) é dada por T(x,y) =10(x2+y2)2. Determine a taxa de variação de T em relação à distância no ponto P(1,2) na direção: a) do eixo das abscissas b) do eixo das ordenadas 5. Determinar as derivadas parciais de segunda ordem das funções dadas por: Atualizado em 10.11.2020 26
  • 27. 2.5. Exercícios Nos exercícios abaixo, para cada função dada, calcule nos pontos (1,4) e (-3,2): 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. Atualizado em 10.11.2020 27
  • 28. 2.5. Exercícios 14. Calcular a inclinação da reta tangente à interseção da superfície z = 4x2y - xy3, com o plano y=2, no ponto (3, 2, 48) 17. Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: Atualizado em 10.11.2020 28
  • 29. 2.5. Exercícios 18. Encontre a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de no ponto de abscissa 2. 19. Sendo u uma função de x, isto é, u=u(x), exprima cada uma das seguintes derivadas em termos de u e de du / dx: 20. Determine uma função y=f(x) tal que Atualizado em 10.11.2020 29
  • 30. 2.5. Exercícios 21. 22. Escreva a equação do plano tangente ao parabolóide z=x²+y² no ponto P(2,-1,5) Atualizado em 10.11.2020 30
  • 31. 3. Integrais Múltiplas 3.1 - Integrais duplas Sabe-se do cálculo que a integral simples , é definida como a área delimitada pelo eixo x, pelas retas x = a e x=b e pelo gráfico da função y = f(x). Este conceito de integral simples pode ser estendido a uma função real de duas variáveis reais f: D ⊂R2 → R contínua na região compacta D, por exemplo, no retângulo Dividindo-se o retângulo formado na região acima em infinitos pedaços em x e infinitos pedaços em y, temos que a volume do sólido delimitado por f(x) e pelos valores do retângulo, ou seja, pelo plano xy vale: S = Atualizado em 10.11.2020 31
  • 32. Sendo o presente limite definido por onde dA = dxdy Logo S = Propriedades Atualizado em 10.11.2020 32
  • 33. Teorema de Fubini: Seja f:D⊂R2→R contínua no retângulo são as integrais iteradas ou repetidas de f(x,y) sobre o retângulo D, e nelas são especificadas a ordem de integração. Por exemplo na integral iterada primeiro calculamos a integral parcial , mantendo y constante, e o resultado integramos com respeito a variável y no intervalo [c,d] Atualizado em 10.11.2020 33
  • 34. Exemplo: Calcular a integral dupla 3.1.1. Aplicações da Integral dupla: a. Cálculo de volume: dada uma função f(x,y) o volume do sólido delimitado pela função e pelo plano xy será dado por: b. Área delimitada por curvas do R2 c. Áreas de superfície de z = f(x,y) no R3     R y x dydx f f Área 1 2 2 Atualizado em 10.11.2020 34
  • 35. 3.2 - Integrais duplas na forma polar 3.2.1. Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Através de uma mudança de variáveis x = x(u, v) e y = y(u, v) uma integral dupla sobre uma região D do plano xy pode ser transformada numa integral dupla sobre uma região D ’ do plano uv. Atualizado em 10.11.2020 35
  • 36. Considerando que as funções são contínuas, com derivadas parciais contínuas em D ’ e D, respectivamente, temos: Onde é o determinante jacobiano de x e y em relação a u e v, dado por A transformação que leva pontos (x, y) do plano xy a pontos (r, ) do plano r  é dada por r2 = x2 + y2 q = arctg(y/x) x = r.cos  y = r.sen  z = z Atualizado em 10.11.2020 36
  • 37. E seu determinante é dado por: Portanto, a fórmula pode ser expressa por: Exemplo: Calcular , onde R é a região semicircular, x2 + y2 = 1, onde y é positivo. (RESOLUÇÃO AO FINAL DO CAPÍTULO) Atualizado em 10.11.2020 37
  • 38. 3.3 - Integrais triplas O cálculo de integrais triplas se reduz ao cálculo de uma integral dupla seguida de uma integral simples e, dependendo da região de integração, a integral pode ser calculada de forma iterada como três integrais simples. Pode-se dizer que, semelhante a mudança ocorrida da integral simples para dupla, quando o diferencial passa de linear para área, da integral dupla para tripla, a diferencial da integral passa de uma área para volume. A integral tripla pode se apresentar em uma das seguintes formas: Atualizado em 10.11.2020 38
  • 40. Portanto, seja f : W ⊂ R3 → R contínua. Atualizado em 10.11.2020 40
  • 42. 3.3.1. Cálculo de volume utilizando a integração tripla Seja T uma região qualquer no plano xyz. Projetamos a região T sobre o plano xy e obtemos a região plana R limitada por R = Se a região T é limitada por z1 = g1(x,y) e z2 = g2(x,y), então o volume da região T é dado por V = ou V = Atualizado em 10.11.2020 42
  • 43. 3.4. Mudança de coordenadas Consideremos uma transformação (mudança de coordenadas) T : R3 > R3 com jacobiano diferente de zero: <> 0 Representemos por D* a imagem da região D pela transformação T, como sugere a figura abaixo. Atualizado em 10.11.2020 43
  • 44. Consideremos dois casos especiais: 3.4.1. Coordenadas Cilíndricas Nesse caso a transformação T é definida por: x = r cos α; y = r sen α e z = z; 0 < α <= 2π, com jacobiano J = r: Assim, a fórmula de mudança de coordenadas fica: 3.4.2. Coordenadas Esféricas Nesse caso a transformação T é definida por: x = ρsenβcosα; y = ρsenβsenα e z = ρcosβ; 0 < α <= 2π e 0 < β <= π; com jacobiano |J| = ρ2 senβ. Assim, a fórmula de mudança de coordenadas fica: Atualizado em 10.11.2020 44
  • 45. 3.5 - Integrais de Linha de campos escalares. Vamos iniciar nosso estudo com as integrais de linha de uma função de duas variáveis. Denominamos de integral de linha escalar, a integral de uma função f(x, y) ao longo de uma curva C e a denotamos por, onde ds é uma quantidade infinitesimal da curva C. A curva C é chamada o caminho da integração Para se entender melhor o conceito de integral de linha. Iremos utilizar a notação, para denotar um caminho (uma curva) no plano cartesiano R2. Podemos pensar em P(t) como sendo um ponto (em movimento), como função do tempo t, descrevendo uma curva C no plano, para a <= t <= b. Atualizado em 10.11.2020 45
  • 46. Para calcularmos uma integral de linha escalar f(x,y)ds, podemos transforma-lá em uma integral simples de uma função de uma variável. Para isso, basta restringirmos os valores de f x, y aos pontos da curva C, e encontrarmos uma expressão adequada para ds. Para acharmos ds devemos observar que, sendo ds uma quantidade infinitesimal (muito pequena) do comprimento da curva C, podemos supor que ela é a hipotenusa do triângulo retângulo, cujos catetos são dx e dy. Aplicando o Teorema de Pitágoras nesse triângulo, obtemos: Aqui, temos dois casos a considerar: 1o Caso: A curva C é o gráfico de uma função y = g(x) Nesse caso, temos que: Atualizado em 10.11.2020 46
  • 47. Ex.: Calcule a integral sobre a curva do ponto ao ponto - Resolver esta integral simples fazendo u2 = 1 + x2 Atualizado em 10.11.2020 47
  • 48. 2º caso: A curva C é dada na forma paramétrica. Portanto: Calcule a integral onde C é a parte da circunferência unitária percorrida no sentido anti-horário. Atualizado em 10.11.2020 48
  • 49. 3.6. Exercícios 1. Calcular o volume do sólido delimitado pelos valores x = [0,1]; y = [0,1] e pela superfície x + y + z = 2 2. Calcular o volume do sólido delimitado no plano x,y pelo retângulo [-1,1]x[0,1] e pelo cilindro z = 1- x2 3. Calcule a integral de z = f(x,y) = xy2 sobre o 1o quadrante de um círculo com centro na origem do plano xy e raio = 1 5. Calcule o volume do tetraedro formado pelo plano x + y + z = 1 e pelos planos coordenados 6. Calcule a área delimitada pelas curvas x2 + 2y = 16 e x + 2y = 4 Atualizado em 10.11.2020 49
  • 50. 7. Calcule , onde R = [1,2] x [0,] 8. Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. 9. 10. 11. 12.  R dA ) xy sen( y Atualizado em 10.11.2020 50
  • 51. 13. 14. Resolver a integral dupla 15. Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2. 16. Em cada caso, calcule o volume do sólido gerado por integração tripla. (a) é delimitado por z + x2 = 9, z + y = 4, y = 0 e y = 4; (b) é delimitado pelos cilindros z = 3x2 e z = 4 - x2 e pelos planos x + y = 6 e y = 0; (c) é a interseção da bola x2 + y2 + z2 <= 6 com o parabolóide z >= x2 + y2;   D dA ) y 2 x ( Atualizado em 10.11.2020 51
  • 52. 17. Ache o volume do sólido no primeiro octante, limitado pelo cilindro z2+y2= 4 e pelo plano x + y =2 18. Ache o volume do sólido limitado pelo parabolóide x2+y2+z= 12 e pelo plano z= 8 19 - Ache o volume do sólido interno `a esfera x2+y2+z2= 4 e acima do cone x2+y2 = z2 20 – Calcule o volume do sólido delimitado pela esfera de raio R 21 – Calcule o volume do elipsóide x2 / a2 + y2 / b2 + z2 / c2 <= 1 Atualizado em 10.11.2020 52
  • 53. 22. do ponto P(1,0,0) até o ponto q(1,0,2π) 23. Calcule a massa total de um arame no formato de uma parábola y = x2 ao longo de 2 <= x <= 6. Considere a densidade de massa dada por ρ(x,y) = x / y em unidades de grama por centímetro. Os.: 24. 25. Atualizado em 10.11.2020 53
  • 55. 4. Campos Vetoriais 4.1 - Integrais de linha para campos vetoriais Dada uma função vetorial iremos calcular sua integral de linha ao longo de uma curva C, denotada por: Antes, porém, é necessário observar que existe uma diferença importante entre uma integral de linha escalar e uma integral de linha vetorial: para determinar uma integral de linha vetorial, devemos primeiramente escolher um sentido de percurso ao longo da curva C. Isso é necessário porque as grandezas físicas, obtidas por este procedimento, ficam afetadas de um sinal algébrico. ) , ( y x F  Atualizado em 10.11.2020 55
  • 56. Observe que podemos percorrer uma curva C em um de dois sentidos. Ou seja, em cada curva existem duas orientações possíveis correspondendo aos dois sentidos de percurso. Quando escolhemos um desses sentidos de percurso, dizemos que a curva C está orientada e este é considerado o sentido positivo de percurso ao longo da curva. Escrevemos então, –C para denotar a curva C com a orientação oposta. Assim, Vejamos então como calcular uma integral de linha vetorial dada por: onde C é definida como o gráfico de uma função y  g x de x = a até x = b. Nesse caso, primeiramente devemos escrever o integrando em função de x. Para isso, substituímos y por g(x) e dy por g ' xdx na integral Atualizado em 10.11.2020 56
  • 57. Exemplo 1: (a) Ache o valor da integral de linha vetorial sobre o caminho C (ver figura) para M x, y  y e N x, y  xy quando o caminho C vai de A até B. (b) Ache o valor da integral sobre o caminho C (ver figura) para M x, y  y e N x, y  xy , quando o caminho C vai de B até A. Atualizado em 10.11.2020 57
  • 58. Solução (a) Considerando y = 1-x (equação da reta que vai de A até B) a função que define o caminho C, com 1 <= x <= 0, temos que dy = -dx e, portanto, (b) Considerando y = 1-x (equação da reta) com 0 <= x <= 1 temos que dy = -dx e, portanto, Atualizado em 10.11.2020 58
  • 59. Observe que no exemplo 1, invertendo a orientação da curva C, o sinal da integral de linha mudou. Se C for uma curva lisa orientada, denotamos por –C a curva orientada que consiste dos mesmos pontos de C, mas com orientação contrária. De uma maneira geral, o valor de uma integral de linha depende do caminho de integração, como mostra o próximo exemplo. Exemplo 2: Ache o valor da integral de linha vetorial sobre o caminho C (ver figura) para M x, y  y e Nx, y  xy de A até B. Atualizado em 10.11.2020 59
  • 60. Exemplo 3: Calcule a integral do exemplo 2, agora utilizando equações paramétricas para a curva C. Atualizado em 10.11.2020 60
  • 62. 4.2. Operadores Diferenciais Basicamente, existem três operadores diferenciais relevantes: o gradiente, divergência e rotacional 1. Gradiente Seja um f : R3 → R campo escalar nas coordenadas cartesianas usuais. Define-se gradiente ( ) de como sendo um vetor tal que: 2. Divergência Seja f : R3 → R3 um campo vetorial definido nas coordenadas cartesianas usuais, tal que f(x,y,z) = (f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z)). Define-se divergência de F ( ) como sendo: f  Atualizado em 10.11.2020 62
  • 63. 3. Rotacional Seja f : R3 → R3 um campo vetorial definido nas coordenadas cartesianas usuais, tal que f(x,y,z) = (Fx(x, y, z), Fy(x, y, z), Fz(x, y, z)). Define-se rotacional ( ) como sendo: Atualizado em 10.11.2020 63
  • 64. Definições: Diz-se que um fluxo ou fluido é incompressível quando o divergente da função que o define é nulo Atualizado em 10.11.2020 64
  • 65. 4.2.1. Derivadas Direcionais Seja u = (ux, uy, uz) um vetor constante que caracteriza a direção da derivada. O correspondente versor é dado por em que E seja s um múltiplo do versor u, LOGO: Ex.: Calcular a derivada parcial de f na direção de u, dados f = Atualizado em 10.11.2020 65
  • 66. 4.3. Teorema de Green Sejam C uma curva fechada do R2 orientada positivamente (por definição, uma curva é orientada positivamente quando percorre o sentido anti-horário), D região contida em C (conforme figura abaixo) e F : A → R2 da forma F = (F1(x,y), F2(x,y)), o teorema de Green estabelece que: 1. 2. Atualizado em 10.11.2020 66
  • 68. 4.4. Exercícios - Dado dz = yexydx + xexydy 2. 3. Atualizado em 10.11.2020 68
  • 73. 29. Para os seguintes campos vetoriais, encontre o rotacional no campo indicado Atualizado em 10.11.2020 73
  • 74. 30. Pelo teorema de Green, determine a área de uma elipse descrita por x2 / a2 + y2 / b2 = 1 31. Pelo teorema de Green, determine a área de uma circunferência descrita por x2 + y2 = R2 32. Determine a área da região limitada pelas curvas 4x2 + y2 = 4 e x2 / 9 + y2 / 4 = 1. (dica: pela simetria, calcular a área no 1º quadrante e multiplicar por 4, sendo a região fechada simples D tal que ∂D = γ1 ∪ γ2 ∪ γ3, onde γ1 é o arco da elipse 4x2 + y2 = 4 , γ2 é o segmento de reta que liga os pontos (1, 0) e (3, 0) e γ3 é o arco da elipse x2 / 9 + y2 / 4 = 1. 33. Usando o Teorema de Green, transforme a integral de linha sobre γ de (x4 −y3 )dx + (x3 + y5)dy numa integral dupla e calcule, sendo γ(t) = (cost,sent) com t ∈ [0, 2π]. Atualizado em 10.11.2020 74