O documento resume os principais tipos de números e suas propriedades, incluindo números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Ele também discute operações básicas com números reais.

1. Aula I
Professora Aracéli Ciotti de Marins

2. Sistematização dos
Conjuntos Numéricos
 Números Naturais ()
 Números Inteiros ()
 Números Racionais (Q)
 Números Irracionais (I)
 Números Reais (R)

3. Números Naturais ()
 Este conjunto é de grande importância
pelo seu uso na contagem. Sua notação
é: N = 0, 1, 2, 3, ....
 Quando não se utiliza o número 0 (zero),
a notação utilizada é:
N* = N – 0 = 1, 2, ....

4. Números Inteiros ()
O conjunto dos números inteiros é
formado pelos elementos do
conjunto dos naturais acrescidos de
seus simétricos.
Notação: Z = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ....
Quando o elemento zero não
pertence ao conjunto, a notação se
torna: Z* = Z – 0.

5. Números Inteiros ()
 Quando se considera o conjunto dos números
positivos, acrescidos do zero, a notação é:
Z+ = N.
 Quando o elemento zero não pertence ao
conjunto, a notação torna-se: Z * (inteiros

positivos).
 Analogamente, o conjunto dos inteiros não-
positivos é: Z - = ..., -2, -1, 0 e este conjunto
sem o zero é o conjunto dos negativos:
Z   ...,3,2,1
*

6. Números Racionais ou Fracionários (Q)
 São todos os números que podem ser escritos
sob a forma de fração entre dois números
inteiros. Tem representação decimal finita ou
dízima periódica.
 A notação deste conjunto é:
p *
Q   / pZ qZ 
q 
 Exemplos: 2; -4; 0,5; 1,37; 1,5999...; 0,212121...,
etc.

7. Números Irracionais (I)
São os números cuja representação
decimal não é exata nem periódica,
conseqüentemente não podem ser
escritos como uma fração entre dois
inteiros.
Exemplos:  = 3,14159265...,
e = 2,718281828..., 2  1,4142135624 ... ,
etc.

8. Números Reais (R)
Representam a união entre os
números Racionais e Irracionais:
R = Q  I.

9. Operações com números reais
Existem quatro operações básicas
envolvendo os números reais:
 Adição: a + b
 Multiplicação: a  b ou a . b
 Subtração: a – b
 Divisão: a/b ou a
b

10. Exercícios
 Determine se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada
uma das afirmações, justificando sua resposta:
( )–7N
( ) 2 Q
( )5Z
( ) -8  Q
( ) 3  R
( )-I
( )–7Z
( ) 3  Q

11. Exercício
Faça um esquema que represente a
sistematização do conjunto dos números
Reais, decompostos em outros conjuntos.

12. Par Ordenado,
Sistema Cartesiano
e Produto Cartesiano

13. Par Ordenado
Par é todo conjunto formado por dois
elementos {a, b}, não importando a ordem
que a e b aparecem no conjunto, assim,
são iguais os conjuntos: {a, b} = {b, a}.
Porém, quando a ordem dos elementos
importa, o par passa a ser chamado de
par ordenado.

14. Exemplo
Seja o par {x, y} a solução do sistema:
2 x  3 y  4

 x  3 y  7
Verifica-se que x = -1 e y = 2 é solução,
ao passo que x = 2 e y = -1 não é. Assim,
com notação de conjuntos, temos que:
{-1, 2} = {2, -1}, o que não deve ocorre
neste casso, então, utilizamos a notação
(-1, 2) para representar o par ordenado
(x,y). Logo (-1,2)(2,-1).

15. Propriedade
Se (a, b) = (c, d) então a = c e b = d.
Exemplo:
Determine a e b se: (a + 2, 18) = (0, 3b).

16. Exercícios: Determine a e b:
 (a, b) = (1, 3)
 (2a – 2, b + 3) = (3a + 5, 2b – 7)
 (2a, a – 8) = (1 – 3b, b)

17. Sistema Cartesiano Ortogonal
É um sistema formado por dois eixos, x e
y, perpendiculares entre si:
y
2º quadrante 1º quadrante
(a, b)
b
x
a
3º quadrante 4º quadrante

18. O eixo x é denominado eixo das
abscissas e o eixo y é denominado
eixo das ordenadas. Estes eixos
dividem o plano em quatro regiões,
chamadas quadrantes. Este sistema é
utilizado para localizar pontos, com
abscissas e ordenadas conhecidas.

19. Exemplo:
Faça um sistema cartesiano ortogonal,
e nele localize os pontos: A(3,0), B(0,-2),
C(2,2), D(-2,-3), E(1,-4), F(-3,4).

20. Exercícios:
Determine se as sentenças são
verdadeiras (V) ou falsas (F):
 ( ) (-5, 4)  3 quadrante;
 ( ) os pontos de abscissas negativas e
ordenadas positivas pertencem ao 1º
quadrante;
 ( ) um ponto no 4º quadrante tem
abscissa positiva e ordenada negativa.

21. Produto Cartesiano
Definição: dados dois conjuntos não-
vazios A e B, denomina-se produto
cartesiano de A por B o conjunto
A x B, cujos elementos são todos os
pares ordenados (x, y), em que o
primeiro elemento pertence à A e o
segundo pertence à B:
A  B   x, y  / x  A  y  B
Observação: A x A = A2.

22. Exemplo
Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 4}.
Determine A x B e represente num plano
cartesiano e por meio de um diagrama de
Venn.

23. Exercícios
Dados os conjuntos A = {1, 3, 5}, B = {-2, 1} e
C = {-1, 0, 1}, representar, pelos elementos e no
plano cartesiano, os seguintes produtos:
A x B
B x A
A x C
C x A
 B2
 C2

24. Relações Binárias

25. Introdução
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e
B = {2, 4, 6, 8}. O produto cartesiano de A
por B é:
A x B = {(1,2), (1,4), (1,6), (1,8), (2,2),
(2,4), (2,6), (2,8), (3,2), (3,4), (3,6), (3,8),
(4,2), (4,4), (4,6), (4,8)}.

26. Consideremos, agora, alguns
subconjuntos de A x B:
 R1 = {(x, y)  A x B / y = 2x} = {(1,2),
(2,4), (3,6), (4,8)}
 R2 = {(x, y)  A x B / y = x} = {(2,2),
(4,4)}
 R3 = {(x, y)  A x B / y = 6} = {(1,6),
(2,6), (3,6), (4,6)}
 R4 = {(x, y)  A x B / x = 2} = {(2,2),
(2,4), (2,6), (2,8)}

27. Cada um dos conjuntos R1,
R2, R3 e R4 são relações entre
os elementos de A e B. Eles são
denominados relação ou relação
binária de A e B.

28. Definição
R é uma relação de A em B se e
somente se R estiver contido em
A x B, em outras palavras, se R for
subconjunto do produto cartesiano de
A com B.

29. Os conjuntos R1, R2, R3 e R4
estão contidos em A x B e são
formados por pares ordenados (x, y)
em que o primeiro elemento x de A é
“associado” ao elemento
correspondente y de B, mediante
certo critério de “relacionamento” ou
“correspondência”.

30. Observações
 A é o conjunto de partida da relação R;
 B é o conjunto de chegada ou contra-
domínio da relação R.
 Quando o par ordenado (x, y) pertence à
relação R, escrevemos xRy, e se o par não
pertence à relação, escrevemos x R y.


31. Domínio
 Seja R uma relação de A em B.
Chama-se domínio de R, o conjunto D(R)
de todos os primeiros elementos dos
pares ordenados que pertencem à R:
x  DR   y  B /  x, y   R

32. Imagem
 Chama-se imagem de R, o conjunto
Im(R) de todos os segundos
elementos dos pares ordenados que
pertencem à R:
y  ImR   x  A /  x, y   R

33. Exemplo
 Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e
B = {1, 2, 3, 5, 6}, determinar o domínio
e a imagem da relação
R = {(x, y)  A x B / y = x + 1}.

34. Exercício
Dados os conjuntos A = {-4,-3,-2,
-1,0,1,2,3,4} e B = {0,2,4,6,8},
determinar a relação, as imagens e os
domínios das seguintes relações de A
em B:
R1 = {(x, y)  A x B / y = 2x}
R2 = {(x, y)  A x B / y = 2x + 1}
R3 = {(x, y)  A x B / y = x2}
R4 = {(x, y)  A x B / y = |x|}

35. Relação Inversa
Dada uma relação binária R de A em
B, o conjunto:
R   y, x   B  A /  x, y   R
1
representa uma relação de B em A, que
é denominada relação inversa de R.

36. Exemplo
Dados os conjuntos A = {1,2,-4} e
B = {0,1,2,3}, determine a relação
inversa de R = {(x, y)  A x B / y > x}.

37. Exercício
Determine a relação inversa para
cada uma das relações do exercício
anterior