Finit Elements Analysis

Disciplina de BIOMECÂNICA DO MOVIMENTO
Mestrado Integrado em ENGENHARIA BIOMÉDICA
4º Ano, 1º Semestre, 2011

ANÁLISE DE UMA ESTRUTURA DE BARRAS A PARTIR DO MÉTODO
DOS ELEMENTOS FINITOS

TRABALHO 1.15
Diana Santos* e Joana Paulo**

* Diana Catarina Santos
72459
e-mail: diana.c.santos@ist.utl.com

** Joana Margarida Ribeiro Paulo
72455
e-mail: joana.paulo@ist.utl.com

Palavras-chave: Mecânica Computacional, Método dos elementos finitos, Estrutura de
barras, Rótulas, Treliças, Reacções nos apoios, Tensões em cada barra, Deformações.

Resumo: Este trabalho consiste no estudo, através do Método dos Elementos Finitos, do
comportamento de uma estrutura de barras ligadas por rótulas sujeitas à aplicação de forças
- Treliças. Inicialmente analisou- se uma estrutura composta por barras 2D na qual foram
aplicadas forças, com o objectivo de aferir a configuração deformada do sistema, as
reacções nos apoios, o valor da deformação num ponto e a tensão em cada barra. Para isso,
recorreu-se ao software de computação numérica MATLAB® , que a partir das coordenadas
das extremidades de cada barra, da sua secção, do módulo de elasticidade do material que as
compõe, das coordenadas dos pontos fixos do sistema e do módulo das forças aplicadas e do
seu ângulo com o eixo, calcula todas as variáveis acima indicadas e as apresenta ao
utilizador. As forças aplicadas vão provocar alterações na estrutura inicial e, por isso, o
objectivo do trabalho é determinar a estrutura final deformada (em equilíbrio), as reacções
nos apoios, a deformação num ponto pedido e as tensões em cada barra.

Santos, Diana e Paulo, Joana

1. INTRODUÇÃO

A área de Mecânica Computacional destaca-se pelo seu crescente desenvolvimento e
pela sua vasta gama de aplicações, sendo essencial na formação de estudantes e futuros
engenheiros. Em especial para os engenheiros biomédicos, o conhecimento de ferramentas
computacionais preditivas permite a construção de modelos mecânico-biológicos sofisticados
capazes de antecipar, com precisão, os resultados de importantes procedimentos médicos.
Neste âmbito procedemos a uma aplicação do Método dos Elementos Finitos à análise de uma
estrutura de barras, mais propriamente treliças.
O objectivo deste trabalho consiste em usar os conhecimentos adquiridos sobre
mecânica estrutural para implementar computacionalmente um programa que nos permita
resolver um problema com um sistema de barras 2D em que são aplicadas forças, com recurso
ao método dos elementos finitos. A resolução do problema passa por encontrar a configuração
deformada, as reacções nos apoios, o valor do deslocamento nos diferentes pontos do sistema
e a tensão em cada barra. Por forma a automatizar os cálculos inerentes ao método dos
elementos finitos, usámos o MATLAB®, pelas suas características de manipulação numérica.

2. METODOLOGIA
No caso específico do nosso sistema, são apresentadas 7 barras 2D articuladas em 5
pontos (dos quais 2 estão fixos) e aplicação de duas forças, como é representado na figura 1.

Figura 1 - Exercício proposto 1.15

Sendo:
F = 2kN, P = 5kN, A=1.0 m, B=1.5 m, a = 10 mm e b = 20 mm, ! = 30º


2.1. Método dos elementos finitos (MEF)
De uma forma geral, o método dos elementos finitos é a modelação de um problema
genérico que envolve meios contínuos, através da análise de partes discretas desses meios,
para os quais é possível conhecer ou obter uma descrição matemática do seu comportamento;
ou seja, estudando o comportamento de cada elemento de uma estrutura em particular, poder-
se-á generalizar e determinar o comportamento de toda estrutura.

Figura 2 - Elemento de barra para aplicação do método de elementos finitos.

A este processo de análise estruturada das partes em detrimento do todo dá-se o nome
de discretização.
O método dos elementos finitos consiste, essencialmente, em três passos:
• Divisão em elementos finitos: divide-se o domínio a analisar em vários
subdomínios, elementos. Cada elemento está ligado aos elementos vizinhos por nós. O
conjunto destes elementos é a chamadas rede de elementos finitos.
• Equações dos elementos: após a divisão do domínio é necessário encontrar
equações aproximadas interpoladoras dos nós para cada elemento.
• Assemblagem das equações dos elementos: É necessário ligar todos os
elementos do domínio de modo a garantir a continuidade e diferenciabilidade da solução,
tendo em conta as condições de fronteira, as quais podem ser forças aplicadas. Sabendo o
comportamento para os pontos do elemento pode-se aproximar o comportamento para o resto
do elemento.
A solução para o nosso problema passa pela resolução do sistema montado. No caso
do tipo de problema que é proposto resolver neste trabalho, são usadas barras. Pode-se, assim,
particularizar para o caso das barras e obter a equação diferencial para barras. Note-se que,
por definição, uma barra tem apenas forças axiais.
Para qualquer problema de barras a equação diferencial é dada por:


! !"
− !" !" !" = ! ! (1)

Em (1), x ∈ [0, he] em que he representa o comprimento do elemento, u é o campo de
deslocamentos, E é o módulo de elasticidade (Young) e A a área da secção transversal da
barra, sendo que EA é a rigidez axial e f a força axial da barra.
Para a resolução da equação (1) é necessário encontrar funções aproximadas de modo
a que as condições de fronteira, que são normalmente conhecidas para = 0 e/ou = he, sejam
respeitadas. As funções podem ser dadas por:

!!"#$%& = ! !
!=1 !! !!

(2)

onde !i são as funções base e ! são constantes. É necessário garantir não só as condições de
i

fronteira essenciais (u – variáveis primárias), o que corresponde a definir os valores
conhecidos de !(!), mas também as condições de fronteira naturais (u’ – variáveis
secundárias). Estas estão relacionadas com as forças pela fórmula (3).

!" !
−!" !"
=! (3)

Como foi referido anteriormente, o que se pretende calcular são as soluções
aproximadas (2). No entanto, se substituirmos a equação (2) directamente na equação (1), a
solução é impossível ou indeterminada. Para contornar este problema multiplicamos a
equação (1) por uma função peso, w(x), e integrando no domínio de 0 a L é possível obter
uma solução aproximada que verifica em média essa igualdade. O integral ponderado é
designado por Formulação Fraca (ou formulação variacional) da equação diferencial e é dado
por:
! ! !"
!
− !" −! ! ! ! !" = 0, ∀ ! ! !"#$%%í!"# (4)
!" !"

Sendo w(x) a função peso.
Nas fronteiras do elemento barra são impostas condições – condições de fronteira.
Estas podem ser essenciais ou naturais. As primeiras correspondem a deslocamentos impostos
em x=0 e/ou x=L, o que faz com que nesses nós a função peso seja nula, e as segundas


correspondem a forças impostas (A.E.u’).

Figura 3 – Elemento da barra

É ainda possível obter este integral para um elemento, como na figura 3, alterando os
limites de integração para xa e xb. Se em (4) substituirmos o u(x) pela sua solução aproximada
(1) vamos obter um sistema de equações que nos permite calcular !! .
Definindo as condições de fronteira Q1 e Q2 obtidas através de (3) para os pontos x=xa
e x=xb e integrando por partes vamos obter a forma fraca, ou seja:

!!!! !" !" !!!! ! !
!!
EA !" !" !" = !!
!"#$ + !! ! !! + !! !!!! , ∀ ! ! !"#$%%í!"# (5)

em que Q representa as condições fronteira:

!" !"
!! = −!" !" !! = !" !" (6)
!!!! !!!!!!

Uma vez que o elemento barra é um elemento linear, pois possui dois nós, como
demonstrado na figura 3, e a solução aproximada é do tipo:

! ! !
!! = !! + !! ! (7)

onde h é o comprimento da barra e dado por xb-xa. Calculando a solução aproximada em cada
nó, resolvendo-a em ordem a c1 e c2 e sabendo que

!
! ! !
!! = !! !!
!!!

obtemos as soluções interpoladoras que neste caso são polinómios de Lagrange de 1º grau

! ! ! !
!! = 1 − (!) !! = (!) (8)
!! !!

onde x é a coordenada local.


Finalmente, substituindo na equação (5) a equação obtida em (8) obtêm-se:
!
!!!! ! !"! ! !" !!!!
!!
!" !!! !" !! !" = !!
!"#$ + !! ! !! + !! ! !!!! , ∀ ! ! !"#$%%í!"# (9)
!"

Neste momento, é necessário ainda substituir a função do peso.
Inicialmente, substitui-se a função peso pela primeira função de base que toma o valor
1 em xe e 0 em xe+1 ; depois pela segunda função de base que toma os mesmos valores nos
pontos opostos. Assim, pode-se escrever a igualdade representada pela equação anterior na
forma:
! ! !! = ! ! (10)

em que [Ke] é a matriz de rigidez e {Fe} o vector das forças e cujas expressões analíticas são
respectivamente:

!!!! !! !! !!!!
K! =
!" !!
EA !"! !"! dx F!! = !!
fψ! dx + Q! (11)

A matriz de rigidez [Ke], especificada para o elementos de barras é dada por:
!" 1 −1
!! = (12)
!! −1 1

O que foi feito até agora aplica-se a um problema de barras mas pode ser aplicado a
qualquer problema unidimensional. Podemos também generalizar para o caso 2D (o caso
usado para a resolução do exercício dado), onde as forças e os movimentos podem ocorrer
segundo x ou y. Se considerar uma barra na horizontal temos:

1 0 −1 0
! !" 0 0 0 0
! =
!! −1 0 1 0
(13)
0 0 0 0

Como existe vantagem em utilizarmos um referencial local temos que ter o cuidado de
passar de coordenadas do referencial local de cada elemento finito, para o referencial global
através da seguinte transformação

!! = !! !! !! (14)


cos ! ! cos ! sin ! −cos ! ! −cos ! sin !
!! =
!" cos ! sin ! sin ! −cos ! sin ! − sin! !
!
(15)
!! −cos ! ! −cos ! sin ! cos ! ! cos ! sin !
!
−cos ! sin ! − sin ! cos ! sin ! sin! !

em que [Te] é a matriz de transformação de coordenadas e α o ângulo que o referencial local
faz com o global.
Para sistemas com múltiplas barras é necessário construir a matriz de rigidez global
[KG]. Para tal, é comum recorrer-se a uma matriz de conectividades, que relaciona os graus de
liberdade do sistema local com os graus de liberdade do sistema global. Para sistemas
bidimensionais, [KG] surge então como uma matriz n×n, onde n é o dobro do número de nós
do sistema.

3. IMPLEMENTAÇÃO EM MATLAB®

A implementação computacional do método dos elementos finitos foi feita em MATLAB®,. O
programa foi desenvolvido de forma a permitir uma utilização fácil e rápida por parte do
utilizador. Para iniciar a sua utilização o utilizador deverá abrir o MATLAB®, abrindo a
directoria onde os ficheiros se encontram e escrever choose_interface() .

3.1. Dados introduzidos pelo utilizador

• Coordenadas das extremidades (inicial e final) para cada barra, bem como as condições
fronteira (pontos fixos);
• Módulo das forças e o seu respectivo ângulo com a horizontal;
• Propriedades dos materiais;
 Módulo de Young do material, que no nosso caso é aço, com módulo de Young
2.1x1011;
 Área de secção da barra (neste caso, é igual para todas – 200x10-4m2).

3.2. MEF – Processamentos de dados

Para utilizar o programa elaborado deve executar-se, em primeiro lugar, a função


choose_interface, criada com o intuito de facilitar a introdução de dados pela parte do
utilizador. Esta função “chama” uma outra função main, assim denominada por possuir todo o
algoritmo necessário à resolução do sistema proposto, cálculo da deformada (deslocamentos e
apresentação gráfica da deformada), reacções nos apoios e tensões em cada barra.
Com os dados introduzidos pelo utilizador, o programa calcula inicialmente
comprimentos e ângulos das barras com a horizontal.
Segue-se então o cálculo da matriz de conectividades, que é calculada pela comparação
com o elemento genérico para barras unidas por rótulas (em que cada nó possui dois graus de
liberdade). Computacionalmente, essa matriz é iniciada na primeira linha com os graus de
liberdade 1, 2, 3, e 4. O algoritmo usado para calcular esta matriz associa os graus de
liberdade às coordenadas dos nós, de tal forma que para as mesmas coordenadas x e y, atribui
os graus de liberdade que foram usados na linha anterior para essas coordenadas. Se as
coordenadas ainda não possuírem graus de liberdade associados, então o algoritmo atribui-lhe
os dois números seguintes aos mais altos já usados na matriz de conectividades. Esta matriz é
útil para o preenchimento da matriz de rigidez global, que soma os valores das contribuições
de cada elemento (barra) para a rigidez global. Estes valores são dados pelas matrizes de
rigidez local, para cada elemento. Em termos de programação, a matriz de rigidez global é
calculada pela procura de pares de graus de liberdade, correspondentes a cada nó na matriz de
conectividades e pelo uso desses índices de pesquisa para procurar o valor a somar no
elemento dado pelo número da linha da matriz de conectividades (número do elemento).
Criada a matriz de rigidez global, segue-se a definição das condições fronteira que é
feita com base, nos dados introduzidos pelo utilizador, relativamente aos pontos fixos. Nestes
pontos fixos (em x, y ou xy), o deslocamento é zero. Como tal, procede-se ao cálculo dos
deslocamentos dos nós para cada um dos seus graus de liberdade, em que [Q] é zero (não há
deslocamento), através da expressão:

K ! ∆! = F ! + Q (16)

em que, como já foi descrito anteriormente, K ! é a matriz de rigidez global, {∆e} é o vector
dos deslocamentos e [Q] o vector das reacções.
Calculados os deslocamentos, para os nós em que eles existem, pretende-se também


calcular as reacções nos apoios, e portanto resolver o sistema anterior, desta vez para o caso
em que [Q]≠0. Assim sendo, como já são conhecidos os valores de deslocamento, já é
possível obter as reacções nos apoios, portanto para os nós em que ∆! =0.

Q = K ! ∆! − F ! (17)

É importante notar que F ! corresponde às forças externas aplicadas em cada nó,
decompostas em cada uma das direcções.
É ainda pedido que sejam calculados os valores de tensão em cada barra. Sabendo que:
!!
σ= !
(18)

em que δ é a deformação, E, o módulo de Young e L, o comprimento inicial das barras.
O programa desenvolvido calcula as tensões atribuindo à deformação o valor da
diferença entre o comprimento das barras deformadas e o valor do comprimento das barras,
no seu estado inicial.

3.3. Interface Gráfica – Guide User Interface (GUI)
Tal como referido anteriormente, para o utilizador poder resolver ora problemas
propostos, ora introduzir novos dados para um novo problema, criou-se uma interface gráfica
para introdução e apresentação de dados. As imagens seguintes ilustram o que esta interface
permite ao utilizador:
1. Executar o programa para um exercício proposto pelo professor:

Figura 4 – Interface: escolher modo de introdução dos dados


2. Definir a escala de ampliação dos valores da deformação, para melhor visualização:

Figura 5- Interface: definição da escala para visualização da deformada

3. Caso o exercício esteja inserido numa folha de excel de acordo com a disposição pre-
determinada (Anexo 1), o utilizado pode simplesmente escolher introduzir o ficheiro.
Caso na primeira interface a opção tenha sido manualmente, terá de introduzir as
coordenadas das extremidades das barras, tal como as forças e propriedades intrínsecas
ao material (se todas as barras tiverem a mesma área e/ou tiverem o mesmo módulo de
Young, deve colocar uma tag em Manter Dados).

Figura 6- Interface: introdução de dados manualmente

No canto superior esquerdo é indicada o número da barra que está a introduzir a cada
momento. Ao escolher Adicionar Barra é apresentado outro menu que permite ao utilizador
adicionar mais barras ou terminar a inserção de barras, passando assim automaticamente para
o cálculo do sistema.


Figura 7- Interface: Introdução de uma nova barra

Todos os resultados considerados importantes são demonstrados na janela comandos do
MATLAB®.
De forma a simplificar a compreensão do código desenvolvido, criou-se um fluxograma
com a estrutura geral da metodologia implementada.

Figura 8 – Fluxograma da metodologia implementada


3.4. Guia do Utilizador
Para realizar o exercício 1.15 proposto, o utilizador deverá efectuar os seguintes passos:
1. Abrir o ficheiro choose_interface.m e executa-lo;
2. Escolher introduzir os dados por um ficheiro do Excel, selecionando o ficheiro
Exercicio1.15.xls. (No anexo 1 são especificados todos os parâmetros necessários para
o preenchimento da tabela necessária à resolução do exercício).
3. Escolher a escala de ampliação da deformada (para o nosso caso deve ser usada uma
escala=1000, mas depende do material de constituição das barras e das forças
aplicadas ao sistema);
4. Obter o desenho da deformada, cujas cores das barras são proporcionais aos valores de
tensão das mesmas;
5. Obter na janela de comandos do MATLAB os valores de deslocamento, reacções nos
apoios e tensões na linha de comandos.

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Tabela 1 – Resultados gerais obtidos para o exercício 1.15.

Grau de Coordenadas Deslocamentos Reacções nos Forças
liberdade (m) apoios (N) externas (N)
1 Nó 1 x -0 -1.1e-004 0 -2598,1
2 y-1.5 -4.7e-005 0 -1500
3 Nó 2 x -1 -4.3e-005 0 0
4 y–1.5 -5.5e-005 0 -2000
5 Nó 3 x-2 0 -1500 0
6 y-1.5 0 470 0
7 Nó 4 x-1 4.7e-006 0 0
8 y-0 -3.2e-005 0 0
9 Nó 5 x-0 0 710 0
10 y-0 0 30 0

• Deslocamentos
Como é possível de constatar pelos resultados apresentados na tabela acima, os
deslocamentos não nulos são negativos para todos os nós em todas as direcções à excepção da
direcção x do nó 4, em que há um deslocamento, embora muito pequeno, para a direita. Estes
resultados permitem-nos então afirmar que há um deslocamento vertical para baixo dos nós 1,


2 e 4 e um deslocamento desses pontos também para a esquerda à excepção do ponto 4, como
anteriormente referido. Nos nós 3 e 5, os deslocamentos são zero devido às condições
fronteira impostas pelo utilizador, isto é na definição dos pontos fixos, que neste caso são o 3
e o 5, em ambas as direcções x e y.
Os valores tabelados estão de acordo com a deformação prevista para esta estrutura,
uma vez que esta sofre a aplicação de uma força de 3000N, com uma componente de 2598 N
na direcção negativa de x no ponto 1, o que desvia a estrutura para a esquerda e uma força de
2000N no ponto 2 e a componente y da força aplicada no ponto 1 (-1500N), o que desvia a
estrutura para baixo.
Para a apresentação da deformada criámos uma interface gráfica capaz de mostrar todos os
resultados pretendidos de uma forma simples e prática, nomeadamente, a configuração
original (atrás a cinzento) juntamente com a configuração deformada da estrutura (a cores),
como é demonstrado na figura 9.
Analisando a configuração deformada da estrutura pode-se afirmar que o processo de
assemblagem foi convenientemente realizado uma vez que se verifica continuidade nos vários
nós.

Figura 9 – Deformada resultante do exercício 1.15


• Reacções nos apoios

Neste exercício existem dois pontos fixos ([0,0] e [2,1.2]), de tal forma que são
esperadas apenas reacções nos sentidos x e y para cada um dos dois nós. Os nossos resultados
apresentam estas 4 reacções nos apoios, no entanto, os valores obtidos não são os esperados,
pois o nó 3 apresenta uma reacção de -1500N, valor que deveria de ser positivo de forma a
opor-se às forças que estão a ser aplicadas nas barras a que este ponto está ligado.
Para que o sistema esteja em equilíbrio é necessário que o somatório de todas as forças
na direcção x seja 0, assim como para a direcção y.

!" = !1! + !2! + !5! + !9! (19)
!" = −2598,1 + 0 − 1500 + 710 = −3388,1 (20)
!" = !1! + !2! + !5! + !9! (21)
!" = −1500 − 2000 + 470 + 30 = −3000 (22)

Como se pode verificar pelas equações apresentadas em anteriormente, o nosso
programa não está a calcular correctamente as reacções nos apoios, dados que o somatório das
forças nestas componentes não é 0.

• Tensões nas barras

As cores apresentadas em cada barra ajudam-nos a perceber o cenário do qual estamos
presentes, relativamente aos valores de tensão. Como é possível de verificar na imagem
apresentada em cima, o vermelho corresponde a valores de tensão máxima e o azul-escuro a
tensão mínima. Isto implica que, barras com cores entre o verde e o vermelho estão à tracção,
pois apresentam valores positivos de tensão e barras com cores entre o azul céu e o azul-
escuro correspondem a barras que se encontram à compressão, pois apresentam valores
negativos de tensão.
Desta vez os resultados estão de acordo com os resultados esperados, dado que, a
barra 1 (0,1.5)-(1,1.5) que está sujeita a duas forças é a que apresenta maior valor de tensão e
as barras mais distantes do ponto de aplicação das forças apresentam cores azuladas, ou seja
tensões inferiores.


Tabela 2 – Tensões obtidos para o exercício 1.15.

Barra Tensão (Pa)
1 1.4e+007
2 9.1e+006
3 2.8e+006
4 9.8e+005
5 5.8e+006
6 -8.1e+006
7 -6.6e+006
8 -3.2e+006

5. CONCLUSÕES

Concluímos que o nosso programa, embora resolva a generalidade dos problemas de
barras unidas por rótulas, pelo método dos elementos finitos, apresenta em alguns casos (do
qual o nosso é exemplo), de valores de reacções nos apoios que não são correctos, embora os
desenhos das deformadas sejam satisfatórios.
Estes resultados poderão reflectir eventuais erros no código. No entanto, após longas
tentativas de validação, continuaram a obter-se valores não esperados para as reacções nos
apoios. Foram feitos inúmeros testes, em que foi possível observar a variação da deformada
de acordo com as propriedades dos materiais e as forças aplicadas ao sistema.

REFERÊNCIAS
[1] J. Folgado, Apontamentos da Disciplina de Biomecânica do Movimento, DEM, IST, 2011
[2] S. Hall, Basic Biomechanics, 2nd Edition, Mosby, 1995.
[3] K. U.Schmitt, P.Niederer e F. Walz, Trauma Biomechanics, Springer-Verlag, NY, 2004.
[4] J. Jalón e E. Bayo, Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems – The
Real-Time Challenge, Springer-Verlag, NY, 1993.


ANEXO 1

Figura 10 – Demonstração de inserção de dados do Excel (Exercício 1.15)

No ficheiro Excel, caso o utilizador necessite alterar valores deve introduzir:
• Coordenadas do primeiro nó (inicial) em x e em y;
• Coordenadas do segundo nó (chegada) em x e em y;
• Pontos Fixos (caso a coordenada tenha ponto fixo =1, caso contrário =0);
• Área da secção em milímetros (mm);
• Módulo de Elasticidade (Young) em Pascal (Pa);
• Forças em Newton (N);
• Ângulos em graus (º);

O exemplo acima demonstrado está definido para 8 barras. Havendo a necessidade de
adicionar mais barras, o utilizador necessitará de introduzir novas linhas no ficheiro Excel.
Após a inserção de dados estar concluída, deverá guardar o novo ficheiro .xls na mesma pasta
onde se encontra o código fonte.

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