Capítulo 4 análises estruturais

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Capítulo 4 análises estruturais

  1. 1. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4 ANÁLISES ESTRUTURAISCopyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises EstruturaisCreated by Pappalardo Jr., Alfonso
  2. 2. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos Elementos Finitos aplicado Método dos Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil à Engenharia Civil: Teoria e Prática aplicadas a problemas multidisciplinares 4.1 GENERALIDADES As análises estruturais são utilizadas para determinar o campo dos deslocamentos (translação e rotação) e, a partir dos mesmos, as tensões, as deformações, as reações de apoio e outras grandezas, decorrentes da aplicação de forças externas ativas.Copyright 4 Análises estruturaisCapítulo 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises Estruturais 1/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  3. 3. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.2 TIPOS DE ANÁLISES  Análise modal  Análise estática  Análise harmônica  Análise dinâmica  Análise transiente  Análise de flambagem  Análise espectral  Análise de fadiga  Análise linear  Análises não-lineares (física, geométrica, de contato...)Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 2/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  4. 4. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3 ANÁLISES ESTÁTICAS As análises estruturais estáticas são apropriadas para resolver problemas em que as forças de inércia e os amortecimentos podem ser desprezados não afetando significativamente a resposta estrutural. 4.3.1 Elástica-linear Os carregamentos são aplicados lentamente (quase perma- nentes) produzindo pequenos deslocamentos (linearidade geométrica) e preservando a proporcionalidade entre tensão e deformação (linearidade física);Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 3/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  5. 5. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1 Elástica-linear (cont...) A energia potencial total para problemas estruturais e conservativos é definida por  U  , (4.1) onde U é a energia de deformação (trabalho esforços internos) e  é a energia potencial (trabalho das forças externas). Para materiais que apresentam comportamento elástico-linear, pode- se escrever: 1 U    T dV , (4.2) 2 VCopyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 4/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  6. 6. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1 Elástica-linear (cont...)   onde  T   x  y  z  xy  yz  zx (4.3) T   x  y  z  xy  yz  zx  são, respectivamente, o tensor das deformações e o tensor das tensões e suas componentes para o caso da elasticidade tridimensional. z z  zx   yz   zx   yz  Esquema 4.1 Componentes do tensor das tensões e das deformações x  xy  y  xy  y xCopyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 5/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  7. 7. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1 Elástica-linear (cont...) (MPa)  energia de deformação em regime elástico-linear  (%) Esquema 4.2 Diagrama tensão-deformação: energia de deformação específica (J/m3)Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 6/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  8. 8. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1 Elástica-linear (cont...) As Equações Constitutivas relacionam tensão e deformação, que na forma genérica, pode-se escrever:   D , (4.4) onde D é a matriz constitutiva, que depende do tipo de formulação utilizada. A seguir, serão apresentadas as matrizes constitutivas para diversas formulações estruturais.Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 7/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  9. 9. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1.1 Elementos unidimensionais treliça 2-D treliça 3-D viga 2-D Z X Y Y X viga 3-D  T   x  D  E   T   x  E módulo de elasticidade (longitudinal) Matriz 4.1 Relações constitutivas para materiais elástico-lineares isotrópicos usadas para os elementos finitos estruturais 1D: treliças e vigas (2D e 3D)Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 2/8 8/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso 315/325
  10. 10. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1.2 Elementos bidimensionais 4.3.1.2.1 Estado Plano de Tensão   T   x  y  xy  EPT   T   x  y  xy  Y 1   X 0 E    D  1 0 sendo z  ( x   y )  1 2   E  0 0 (1   ) / 2  e   coeficient de Poisson e Matriz 4.2 Relações constitutivas para materiais elástico-lineares isotrópicos usadas para os elementos finitos estruturais 2D: chapasCopyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 3/8 9/43 1/1Created by Pappalardo Jr., Alfonso 316/325
  11. 11. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1.2.2 Estado Plano de Deformação   T   x  y  xy    T   x  y  xy  EPD  z   ( x   y ) Y X sendo  1  0  D E   1 0  (1   )(1  2 )    0  0 (1  2 ) / 2  Matriz 4.3 Relações constitutivas para materiais elástico-lineares isotrópicos usadas para os elementos finitos estruturais 2D: sólidos confinadosCopyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 4/8 10/43 1/1Created by Pappalardo Jr., Alfonso 317/325
  12. 12. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1.2.3 Estado Axissimétrico de Tensão   T   x  y    xy  axissimétrico   T   x  y    xy  sendo    u r Y X  1   0    1  0  E   D (1   )(1  2 )    1 0     0 0 0 (1  2 ) 2 Matriz 4.4 Relações constitutivas para materiais elástico-lineares isotrópicos usadas para os elementos finitos estruturais 2D: sólidos de revoluçãoCopyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 5/8 11/43 1/1Created by Pappalardo Jr., Alfonso 318/325
  13. 13. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1.3 Elementos tridimensionais 4.3.1.3.1 Casca fina e placa delgada   T   x  y  xy  casca fina X Z Y   T   x  y  xy  placa fina 1  0  D E  1 0    1 2   0 0 (1   ) / 2  2 2 sendo  x  z ( w x )  y  z ( w y ) e  xy  2z ( w x y ) 2 2 2 Matriz 4.5 Relações constitutivas para materiais elástico-lineares isotrópicos usadas para os elementos finitos estruturais 3D: casca fina e placa delgadaCopyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 6/8 12/43 1/1Created by Pappalardo Jr., Alfonso 319/325
  14. 14. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1.3.2 Casca espessa e placa espessa   T   x  y  xy  yz  zx  casca espessa Z X Y   T   x  y  xy  yz  zx  placa espessa  1  0 0 0    1 0 0 0  E   D  0 0 (1  2 ) 2 0 0  (1   )(1  2 )    0 0 0 (1  2 ) 2 0   0  0 0 0 (1  2 ) 2  Matriz 4.6 Relações constitutivas para materiais elástico-lineares isotrópicos usadas para os elementos finitos estruturais 3D: casca espessa e placa espessaCopyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 7/8 13/43 1/1Created by Pappalardo Jr., Alfonso 320/325
  15. 15. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1.3.3 Sólido   T   x  y  z  xy  yz  zx    Z X Y  T   x  y  z  xy  yz  zx sólido  1   0 0  0   1  0 0 0    E    1 0 0 0  D   (1   )(1  2 )  0 0 0 (1  2 ) 2 0 0   0 0 0 0 (1  2 ) 2 0     0  0 0 0 0 (1  2 ) 2  Matriz 4.7 Relações constitutivas para materiais elástico-lineares isotrópicos usadas para os elementos finitos estruturais 3D: sólidoCopyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 8/8 14/43 1/1Created by Pappalardo Jr., Alfonso 321/325
  16. 16. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1 Linear (cont...) Por outro lado, a energia potencial das cargas externas é dada pela expressão nodal:   F TU e . (4.5) As Equações de Compatibilidade que relacionam deformações e deslocamentos são dadas por: u u v x   xy   x y x v v w y   yz   (4.6) y z y w w u z   zx   z x zCopyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 15/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  17. 17. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1 Linear (cont...) e podem ser escritas no formato matricial como:   x   x 0 0      y  0  y 0    u(x, y, z)   z   0 0  z   v (x, y, z)       (4.7)  xy   y  x 0  w (x, y, z)   yz   0  z  y         zx   z    0  x   ou na forma compacta por:   L u( x, y, z) . (4.8)Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 16/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  18. 18. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1 Linear (cont...) Considerando que os deslocamentos – em qualquer ponto no interior de um elemento finito – podem ser aproximados a partir das funções de interpolação (anexo A) e dos deslocamentos nodais, ou seja: ~ u(x, y, z)  u (x, y, z)  N TU e , (4.9) sendo  N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0    N T   0 N1 0 0 N2 0 0 N3 0  , (4.10)  0  0 N1 0 0 N2 0 0 N3 Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 17/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  19. 19. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1 Linear (cont...) onde Ni são as funções de interpolação e u.i, v.i, w i representam . as componentes dos deslocamentos nodais para o elemento e. Introduzindo-se 4.9 em 4.8, tem-se:   L N TU e  B U e , (4.11) onde L é a matriz dos operadores diferenciais de primeira ordem. Observa-se na expressão (4.12) que o estado de deformação do elemento pode ser obtido a partir dos seus deslocamentos nodais. A partir (4.7) e (4.10) tem-se:Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 18/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  20. 20. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1 Linear (cont...)  N1 N 2 N 3   0 0 0 0 0 0   x x x   0 N1 N 2 N 3  0 0 0 0 0  y y y   N1 N 2 N 3   0 0 0 0 0 0  B z z z   N1 N1 N 2 N 2 N 3 N 3  (4.12)  y 0 0 0  x y x y x    0 N1 N1 N 2 N 2 N 3 N 3  0 0  z y z y z y   N N1 N 2 N 2 N 3 N 3   1 0 0 0   z  x z x z x  Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 19/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  21. 21. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1 Linear (cont...) Y 3 u3,v3,w3  u1   v1  u (x,y,z) u2,v 2,w2   . 2 e  w1  1 U   (4.13) u1,v1 ,w1  u2  X  v2    Z      Esquema 4.3 Deslocamentos nodais para o elemento triangular de três nósCopyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 20/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  22. 22. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1 Linear (cont...) Pode-se observar, mediante a análise das expressões 4.4, 4.11 e 4.12 que a escolha adequada das funções de interpolação afeta, significativamente, o estado de tensão e deformação do elemento finito. Por exemplo, para o caso do elemento triangular de três nós, a função de interpolação é linear, conforme visto no Anexo A. A partir da expressão 4.11, que relaciona as deformações com os deslocamentos nodais, observa-se que o estado de tensão e de deformação é constante no interior do elemento finito (CST constant strain triangle).Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 21/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  23. 23. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1 Linear (cont...) Combinando-se a expressão 4.1 com 4.2 e 4.5, chega-se a: 1     T dV  F TU , (4.14) 2 V e se introduzindo a equação 4.4 e a aproximação 4.11 em 4.14, leva a: 1    ( U TΒTD B U ) dV  F TU . (4.15) 2 VCopyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 22/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  24. 24. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1 Linear (cont...) Minimizando-se o funcional da energia potencial total em relação aos deslocamentos nodais, chega-se a:    ( ΒTD B ) dV U  F  0 (4.16) U V que é a condição estacionária em que se garante a condição de equilíbrio entre esforços internos e externos. Daí decorre que: K e   BTD B dV , (4.17) V é a matriz de rigidez do elemento finito.Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 23/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  25. 25. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1 Linear (cont...) Após montagem das matrizes globais, apresentadas no Anexo.D, chega-se ao sistema de equações lineares dado por: K U F , (4.18) análogo ao sistema da equação 3.24, sendo neste caso K é a matriz de rigidez da estrutura, U é o vetor deslocamento e F é o vetor carregamento. O sistema 4.18 é resolvido por métodos diretos (Gauss, Cholesky), métodos iterativos (Jacobi, Gauss-Seidel) ou métodos de otimização (Gradientes Conjugados).Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 24/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  26. 26. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1 Linear (cont...) Os carregamentos indicados a seguir podem ser representados pelo vetor carregamento F. As expressões a seguir convertem os carregamentos especificados por forças nodais equivalentes formando o vetor carregamento F . Para maiores detalhes das deduções destas expressões consulte WEAVER (1984). Carregamento de borda uniformemente distribuído: p (N/m) 1 px    L px (N/m) Fe  L N T  p dL  L NT   p y  dL  pz    3 2Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 25/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  27. 27. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.1 Linear (cont...) Carregamento devido a gravidade (volume): b (N/m3) 1 b x    dA Fe  V N T  b dV  V NT  b y  dV by (N/m3)  bz    3 2 Carregamento devido a variação da temperatura: DT (oC) 1  x    Fe  V BT  D  α  DT dV  V BT  D   y   DT dV DT  z    3 2Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 26/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  28. 28. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.2 Não-linearidade física É requerida no caso em que as tensões não são proporcionais às deformações. Vários tipos de não-linearidades físicas podem ser incluídas:  plasticidade, elasticidade não-linear, hiperelasti- cidade: caracterizadas pela relação não-linear entre tensão-deformação;  viscoelasticidade, viscoplasticidade e fluência: onde também são incluidos os efeitos da deformação depende do tempo, da temperatura, da forma de aplicação do carregamento, do nível de tensão, entre outros.Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 27/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  29. 29. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.2 Não-linearidade física (cont...) O carregamento deve ser aplicado incrementalmente. Em cada incremento de carga são realizadas as iterações de equilíbrio do Método de newton-Raphson, conforme esquema 4.4. Equação 4.17 escrita na forma incremental é dada por: K T (u i ) Δu i1  ΔF i  F   F NR (u i ) , i (4.19) onde KT é a matriz de rigidez tangente (que relaciona incrementos de deslocamentos com incrementos de carga), Du é o vetor incremento de deslocamento, F* é o carregamento aplicado, FNR é o vetor carregamento restaurador e DF é o vetor carregamento desbalanceado.Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 28/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  30. 30. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.2 Não-linearidade física (cont...) A cada iteração de equilíbrio, a matriz de rigidez tangente KT e o vetor carregamento desbalanceado FNR são atualizados. O critério de convergência pode ser definido em função do incremento do carregamento D.F ou, do incremento de deslocamento D.u, de maneira similar a fórmula 3.29. Para problemas com fortes não-linearidades envolvidas sugere-se que se diminua o incremento de carga (LOADSTEP) de modo que se contorne as dificuldades de convergência do problema. O esquema 4.4 apresenta a interpretação geometrica do algoritmo.Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 29/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  31. 31. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.2 Não-linearidade física (cont...) F(N) co eficiente angular F* K T(u1) 1 D F 1 =F*FN R K T(u0) Du 2 1 FNR =K(u0)u1 u(m) u0 u1 u2 u* Esquema 4.4 Método de newton-RaphsonCopyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 30/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  32. 32. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.3 Não-linearidade geométrica Ocorre quando os deslocamentos afetam significativamente a rigidez da estrutura. A seguir, citam-se alguns tipos de não- linearidades geométricas: (a) grandes deformações: não existem restrições quanto a magnitudes das deformações e rotações que podem ocorrer. A formulação leva em conta este efeito ajustando- -se a forma dos elementos para refletir a mudança da geometria; (b) grandes deslocamentos: neste caso as deformações são pequenas, porém as rotações são grandes que leva a mudança da orientação espacial do elemento. Segundo esta formulação os carregamentos não são conservativos;Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 31/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  33. 33. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.3 Não-linearidade geométrica (cont...) (c) rigidez geométrica (stress stiffening): leva em conta o aumento ou a diminuição da rigidez estrutural devido ao estado de tensão. Este estado de tensão é utilizado para calcular a matriz de rigidez geométrica S, que será adicionada ou subtraída à matriz de rigidez K da estrutura, de acordo com a equação governante: (K  S ) U  F . (4.20) Fisicamente, este efeito representa o acoplamento entre os deslocamentos transversais e aqueles contidos no plano do elemento estrutural. Para a solução da equação acima, utiliza-se o Método de newton-Raphson, conforme apresentado no caso da não-linearidade física.Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 32/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  34. 34. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.3.4 Não-linearidade de contato Empregada na determinação das forças de contato, levando- se em conta o atrito nas interfaces descontínuas. Constitui-se uma análise não-linear pela mudança brusca de rigidez em função das partes que se contatam. Em uma análise estrutural não-linear, pode-se levar em conta, simultaneamente, as não-linearidades física e geométrica.Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 33/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  35. 35. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.4 ANÁLISES DINÂMICAS As análises estruturais dinâmicas são apropriadas para resolver problemas em que as forças de inércia e os amortecimentos não podem ser negligenciados afetando significativamente a resposta estrutural. Todas as cargas são de origem dinâmica, seja espacial ou temporal, mas em muitos casos os efeitos dinâmicos podem ser desprezados realizando-se uma análise pseudo-estática. Em geral, se a freqüência de excitação for menor que 1/3 da menor freqüência natural da estrutura, a análise estática pode ser utilizada como uma boa aproximação do problema dinâmico.Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 34/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  36. 36. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.4.1 Modal Utilizada na determinação das freqüências naturais e modos de vibração de uma estrutura. Pode-se avaliar a ocorrência do fenômeno da ressonância, com base na comparação entre as freqüências naturais e a freqüência de excitação do carregamento (pessoas, máquinas, equipamentos, veículos em movimento). Pode-se considerar o amortecimento estrutural, assim como, o efeito do pré-tensionamento. Todas as análises dinâmicas sempre são antecedidas pela análise modal, para identificação das freqüências naturais da estrutura que levarão à amplificação dos deslocamentos.Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 35/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  37. 37. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.4.1 Modal (cont...) Em uma análise modal leva-se em conta vibrações livres amortecidas ou não-amortecidas, descritas pela Equação do Movimento: M u  C u  K u 0 ,   (4.21) que recai num problema de autovalores e autovetores. Assim, a equação 4.20 reduz-se na forma: ( K  i C   2M )u  0 , (4.22) onde  representa as freqüências naturais (autovalores) e u representa os modos de vibração natural (autovetores). Para a maioria das análises modais o amortecimento pode ser desprezado.Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 36/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  38. 38. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.4.1 Modal (cont...) A equação 4.22 pode ser resolvida por diversos métodos encontrados na literatura (Lanczos, Subespaços). Os métodos citados são muito eficientes para extração dos autovalores, sendo o primeiro mais preciso. Quando se tiver limitação quanto ao armazenamento das matrizes plenas, pode-se optar por métodos reduzidos (Guyan), que caracterizam a resposta dinâmica da estrutura com um número menor de graus de liberdade (conhecidos por master degree of freedom), que além de viabilizarem a solução reduzem significativamente o tempo de processamento.Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 37/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  39. 39. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.4.2 Harmônica Determina a resposta de uma estrutura de comporta- mento elástico-linear submetida a um carregamento harmonicamente variável no domínio do tempo (bases de equipamentos, geradores) operando numa certa freqüência de excitação. Todas as cargas aplicadas na estrutura atuam numa mesma freqüência, mas não necessariamente em fase. As não- linearidades e os efeitos transientes não podem ser incluídos. Para uma freqüência de excitação muito próxima de uma das freqüências naturais da estrutura, observa-se a amplificação dos deslocamentos. Por este motivo, sempre uma análise modal deve preceder uma análise harmônica, para identificação das freqüências naturais da estrutura.Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 38/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  40. 40. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.4.2 Harmônica (cont...) A equação governante de uma análise harmônica é um caso particular da equação geral do movimento M u  C u  K u  F (t ) ,   (4.23) onde F(t) é a função carregamento que varia harmonicamente com uma amplitude conhecida. Assim, para uma dada freqüência  e um certo ângulo de fase f, tem-se: F (t )  F 0 cos ( t  f )  i sen( t  f ) . (4.24)Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 39/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  41. 41. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.4.2 Harmônica (cont...) Os deslocamentos incógnitos variam harmonicamente na mesma freqüência , mas não necessariamente em fase com a função carregamento. Os deslocamentos são especificados, para uma certa freqüência, em termos de amplitude e ângulo de fase, ou seja, parte real e imaginária. A análise harmônica fará uma varredura num passo constante, dentro de um intervalo de freqüências de excitação, capturando os deslocamentos nodais. Os métodos disponíveis para análise harmônica disponíveis no programa ANSYS são: pleno, reduzido e superposição modal, sendo o primeiro mais geral e preciso.Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 40/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  42. 42. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.5 ANÁLISE DE FLAMBAGEM Empregada na determinação das cargas críticas de flambagem e dos modos de flambagem associados, que levam a estrutura a perda de equilíbrio. A solução de uma análise de flambagem, assim como a análise modal, recai num problema de autovalores e autovetores: ( K   S )u  0 , (4.25) onde  é o fator de carga (autovalor), u é o modo de flambagem (autovetor), K é a matriz de rigidez da estrutura e S é a matriz de rigidez geométrica.Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 41/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  43. 43. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.5 ANÁLISE DE FLAMBAGEM (cont...) As cargas críticas são obtidas multiplicando-se a carga aplicada pelo fator de carga (autovalor), conforme esquema 4.5. Diversos modos de flambagem podem ser capturados (torcional, flexional, lateral, local e localizado). Tais análises permitem a compreensão do fenômeno da flambagem, a verificação da segurança à flambagem e a eficiência de um reforço estrutural. Pode-se incluir os efeitos da protensão (prestress) e do peso próprio (vide esquema 4.6).Copyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 42/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso
  44. 44. Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Método dos dos Elementos Finitos aplicado Método Elementos Finitos: Teoria e prática Coordenadoria de Engenharia Civil aplicadas a problemasTeoria e Prática à Engenharia Civil: multidisciplinares 4.5 ANÁLISE DE FLAMBAGEM (cont...) P1 =1kN P2 =10kN P3 =60kN processamento... processamento... processamento... 1 =150 2 =15 3 =2,5 P =1 .P1 =150 kN P =2 .P2 =150 kN P =3 .P3 =150 kN cr cr cr Esquema 4.5 Fatores de carga para identificação da carga crítica de flambagemCopyright 2007 © Direitos reservados Capítulo 4 Análises estruturais Capítulo 4 Análises Estruturais 43/43Created by Pappalardo Jr., Alfonso

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