Este documento apresenta um resumo da aula 2 sobre transformação da deformação. Os tópicos abordados incluem estado plano de deformações, equações de transformação, círculo de Mohr, deformação por cisalhamento máxima, rosetas e relações entre propriedades dos materiais e deformações. O objetivo é mostrar métodos para medir e analisar deformações em diferentes orientações.

1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO POLITÉCNICO
Graduação em Engenharia Mecânica
Disciplinas:
Mecânica dos Materiais 2 – 6º Período
E
Dinâmica e Projeto de Máquinas 2-10º Período
Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.

2. Tema de aula 2: Transformação da Deformação
SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS:
• 2.1 Estado Plano de Deformações
• 2.2 Equações Gerais de Transformação para o Estado Plano de Deformações
• 2.3 Círculo de Mohr — Estado Plano de Deformações
• 2.4 Deformação por Cisalhamento Máxima Absoluta
• 2.5 Rosetas
• 2.6 Relações Material-Propriedade
OBJETIVOS:
• Mostrar utilização de métodos semelhantes aos de transformação de tensão.
• Apresentar maneiras de medição das deformações
“Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio.”
THOMAS FULLER, M.D.

3. 2.1 Estado plano de deformações
O estado geral de deformação também é caracterizado por seis componentes, três normais εx,
εy e εz (adimensionais) que ocorrem nas direções dos eixos x, y e z e três por cisalhamento γ
xy, γ yz e γxz (variação angular [rad] entre os pares de eixos especificados);
No estado plano de deformações desconsideramos as componentes εz, γyz e γxz, teremos;
Convenção:
. γ (+) -> (fecha).
. γ (-) ->(abre).
As componentes de deformação são avaliadas por extensômetros e tem valores específicos em
cada direção observada.
Mas devido ao efeito Poisson, o estado plano de tensões não
causa necessariamente um estado plano de deformações e vice-versa.

4. 2.2 Equações gerais de transformação para o estado plano de deformações
Baseado nestas deformações, buscamos as deformações
de um elemento em x’y’ rotacionado em relação a xy;
Na direção y’ defasamos = +90º, e teremos;
Consideraremos o elemento infinitesimal com deformações normais εx e εy nas direções x e y e
deformações total cisalhantes γxy ;
Para a deformação normal em x’ teremos a equação geral;
Para a deformação cisalhante em x’y’ teremos
a equação geral;
Como no estado plano de tensões
podemos geometricamente deduzir
expressões para obter εx’, εy’, γ x’y’
nos eixos x’y’.

5. EXEMPLO: O elemento infinitesimal do suporte está sujeito a um estado plano de deformações
com os seguintes componentes: εx = 150 (10-6), εy = 200 (10-6), e γxy= -700 (10-6). Usar as
equações de transformação e determinar as deformações planas equivalentes em um elemento
orientado a 30° no sentido horário em relação à posição original. Esquematizar no plano x-y o
elemento distorcido em virtude dessas deformações.
Solução:
Vemos que há uma def. cis. Negativa (abre ângulo entre x’
e y’), uma def. normal positiva em x’ (alonga) e negativa
em y’ (contrai), logo esboçamos o elemento deformado:

6. DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS;
 Obtemos as expressões de maneira análoga as tensões principais
 Deformações normais principais também ocorrem em orientações de deformações cisalhantes
nulas.
 A deformação cisalhante máxima também ocorre em planos a 45º, onde atua uma deformação
normal média.
 Em materiais isotrópicos os eixos das deformações principais coincidem com a orientação dos eixos
das tensões principais.

7. Fazer: O estado de deformação no ponto do dente da engrenagem tem
componentes εx=850(10-6), εy=480(10-6), γxy = 650(10-6), Usar as
equações de transformação da deformação para determinar (a) as
deformações principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento
máxima no plano e a deformação normal média. Especificar em cada caso
a orientação do elemento e mostrar no plano x-y como as deformações o
distorcem.

9. 2.3 Circulo de Mohr - Estado plano de deformações
A equação do circulo de Mohr de deformações é obtida analogamente às de tensões;
Com atenção para o fato do eixo das ordenadas representar metade da deformação por
cisalhamento.
Centro e raio serão;
onde , e o pt de referência pode ser
Exemplo: O estado de deformação no ponto da chave tem componentes εx=260(10-6),
εy=320(10-6) e γxy= 180(10-6). Usar o circulo de Mohr para determinar (a) as deformações
principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação
normal média. Especificar em cada caso a orientação do elemento e mostrar no plano x-y como
as deformações o distorcem.
Sol; obtendo metade da def. cis. podemos marcar o
pt de referência A,
Com a def. normal média obtemos o centro,
No próximo slide mostramos o círculo construído com o centro e pt de referência dados,

10. Dados; εx=260(10-6), εy=320(10-6) e γxy= 180(10-6)
Temos o circulo;
O raio será;
B e D dão as deformações principais;
A orientação do plano principal de
def. normal min. por tang. é;
Logo θp2=35.8º no sentido horário, e a máxima defasado
portanto observando o círculo
θp1=90-35.8=54.2º anti-hor. p/ a def.
normal máx.
Com o raio obtemos a def. cis. max.
no circulo, entre AC e CE dá o ângulo da orientação da def. cis máx por tg.;
sentido anti-horário, com fechamento angular (γ+).

11. Como vemos, a deformação de cisalhamento máxima absoluta será
como ela ocorre no plano x’z’, seu elemento está orientado à 45º em torno de y’(σint).
Temos ainda a deformação normal média;
2.4 Deformação por cisalhamento máxima absoluta
Em materiais homogêneos e isotrópicos, estas tensões
submetem as deformações principais
nestas direções;
Analisando cada plano
separadamente,
construímos o círculo de
Mohr que cruza o eixo das
abcissas nas def. principais dadas
(pts de ordenadas def. cis.=0)
Como vimos, um elem. em um estado de tensão tridimensional xyz;
terá uma orientação x’y’z’ onde atuam as tensões
principais (triaxiais)
ATENÇÂO: Planos onde não há def. cis. estão com
as def. normais principais.

12. Sol; para obter as tensões principais vamos utilizar o ciclo de Mohr para deformações,
inicialmente no plano xy;
Lembrando que;
Fazemos;
assim teremos as deformações principais no
plano x’y’;
que serão respectivamente εmax e εint, pois se trata de estado plano
com εz’=0=εmin, então fazemos o ciclo simultaneamente com as
deformações principais em cada um dos plano x’y´, x´z´e z´ý´;
Vemos que a def. cis. máxima no plano x’y’ será;
Vemos que def. cis. máxima absoluta ocorre no plano x’z’
(círculo maior) e será;
Exemplo: A deformação no ponto A do suporte tem componentes εx=300(10-6), εy=550(10-6) ,
γxy= -650(10-6) e εz= 0. Determinar (a) as deformações principais em A, (b) a deformação por
cisalhamento máxima no plano x-y e (c) a deformação por cisalhamento máxima absoluta.
Lembre-se: Planos que
não tiverem def. cis. tem
as def. normais principais
(xz e yz neste caso)

13. 2.5 Rosetas
São extensômetros de resistência elétrica;
para padrão de 3 extensômetros;
Em uma superfície xy ela mede as deformações εx’
(εa, εb e εc) respectivamente nas direções θ (θa, θb
e θc) representadas acima.
Trata-se de um problema inverso (temos (εx’)’s e
θ’s, e buscamos εx, εy e γxy) montando um sistema
com a equação geral de transformação ;
(reescrita sem as identidades trigonométricas; sen 2θ = 2 sen
θ cos θ, cos2 θ = (1+ cos 2 θ)/2 e sen2 θ + cos2 θ = 1).
O sistema terá a forma;
Determinados εx, εy e γxy utilizamos Mohr ou
Eq. gerais para obter as deformações principais
e cisalhante máxima.
Para facilitar convém orientar as rosetas
nas formas:

14. Assim o sistema;
Substituindo os valores de sen e cos
reescrevemos respectivamente:
θa=0º
θb=45º
θc=90º
θa=0º
θb=60º
θc=120º
Exemplo: O estado de deformação no ponto A do suporte da Figura-a é medido com o uso da
roseta mostrada na Figura -b. Devido às cargas, as leituras nos aferidores dão εa=60(10-6),
εb=135(10-6) , εc = 264(10-6). Determinar as deformações principais no plano nesse ponto e as
direções em que cada uma atua. Sol; poderíamos usar o sistema reescrito mais
simples, mas montando o sistema inteiro;
Cuja solução será;
ou

15. Por trigonometria (tg) obtemos o menor ângulo principal (2θp2) de AC até a direção da deformação principal
mínima no sentido anti-horário;
Logo a orientação será;
Montaremos o ciclo de Mohr;

16. Fazer: A roseta montada no elo da retroescavadeira fez as seguintes aferições; εa=650(10-6),
εb=-300(10-6) , εc = 480(10-6). Determinar (a) as deformações principais no plano, (b) a
deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média associada.

18. Supondo materiais homogêneos e isotrópicos na região linear elástica;
Lei de Hooke Generalizada;
Em tensões triaxiais para obter as deformações devemos considerar Poisson
, (cada deformação sofre influência da def. perpendicular a ela).
Ex: Vamos buscar εx:
Pela lei de Hooke uniaxial (Cap 3), quando σx é aplicada o elemento deforma-se ε'x em x;
Mas como σy é aplicada; por Poisson ele tb deforma-se ε‘’x em x;
Mas como σz é aplicada; por Poisson ele tb deforma-se ε‘’’x em x;
Portanto a deformação final εx será a superposição (soma) das três, ou seja;
Analogamente para y e z faremos;
LEI DE HOOKE GENERALIZADA TRIAXIAL->
2.6 Relações Material Propriedade

19. Obs: Não existe efeito Poisson no cisalhamento,
Cada tensão τxy (plano x e direção y), apenas deforma o ângulo γxy
, (entre os eixos x e y)
assim, para cisalhamento, a lei de Hooke não se altera;
O módulo de elasticidade (E), o módulo de cisalhamento (ou módulo de rigidez) (G) e o
coeficiente de Poisson (ν) se relacionam pela Equação:
Deformação Volumétrica (e) (ou dilatação) ;
Tensões normais num elemento de volume inicial V0=dV=dxdydz;
causam variações de volume δV=V-V0
desprezando os produtos das deformações,
Deformação volumétrica ou dilatação
é simplesmente a razão adimensional;
Substituindo a Lei de Hooke generalizada nas deformações (ε’s):

20. Módulo de elasticidade do volume (ou compressibilidade) (k);
Dado um elemento submetido a uma pressão hidrostática
positiva (p) de compressão;
Teremos as tensões normais;
Substituíndo estas na equação da def. volumétrica, reescrevemos:
O termo constante do lado direito é o k;
(un: Pa ou ksi)
Obs:
, K>0 , (pois pressão hidrostática (p) positiva é compressão, e causa def. vol. (e) negativa)
Isso mostra que Poisson tem valor limitante máximo ν 0.5 (veja o denominador de k)
Esse é o valor de ν usado para escoamento plástico, quando o módulo de compressibilidade K é
máximo significando não haver mais mudança de volume, só da forma.

21. Fazer: A barra de cloreto de polivinil (Epvc = 800x103 psi) está sujeita a uma força axial de 900 lb.
Supondo que ela tenha as dimensões originais mostradas, se o ângulo θ decrescer Δθ = 0,01°
depois que a carga for aplicada, determinar:
a)as deformações normais εx, εy em função de (νpvc).
b)o coeficiente de Poisson (νpvc).
c)o módulo de cisalhamento (G).
d)a deformação volumétrica (e).
e)o módulo de compressibilidade (k).

23. MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO!
– Bibliografia:
– R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição.