O documento apresenta uma aula sobre determinação dos esforços solicitantes em estruturas isostáticas. Aborda conceitos como análise estrutural, classificação de elementos e sistemas estruturais, vinculação de sistemas lineares planos, equações de equilíbrio para sistemas isostáticos e determinação dos esforços normais, cortantes e momentos fletores.

1. Aula I
Determinação dos esforços
solicitantes em estruturas
isostáticas

2. Apresentação da aula
1. Análise estrutural em engenharia
2. Classificação dos elementos e dos sistemas
estruturais
2.1- Elementos estruturais
2.2- Sistemas estruturais
3. Vinculação dos sistemas estruturais lineares planos
3.1- Elementos componentes
3.2- Vínculos e movimentos dos elementos
3.3- Determinação geométrica das estruturas
planas
4. Equações de equilíbrio dos sistemas estruturais
planos isostáticos

3. 5. Esforços solicitantes em estruturas planas
isostáticas
6. Equações analíticas e diagrama de esforços
7. Relações diferenciais entre os esforços solicitantes e
carregamentos

4. 1. Análise estrutural em engenharia
Mecânica clássica dos corpos
Estática: estudo das condições de equilíbrio de
um corpo ou de um sistema de corpos sujeitos
à ação de forças externas; estudo das
deformações do corpo
Dinâmica: estudo dos movimentos dos corpos
ou de um sistema de corpos

5. Elemento estrutural
Elementos estruturais são os componentes da
estrutura portante de uma edificação
Funções
- atender às condições arquitetônicas e
funcionais e dar forma à edificação
- transmitir os carregamentos advindos das ações
às bases da estrutura (solo) – “caminho das
cargas”
- resistir às ações e garantir a estabilidade
(segurança estrutural)

6. Projeto Estrutural
- Geometria da edificação: arquitetura (função),
forma, dimensões, espaços, localização
- Sistema estrutural: classificação, definição e
posicionamento dos elementos componentes,
vinculações entre eles (concepção estrutural)
- Ações: classificação, quantificação,
combinação (carregamentos)
- Esforços solicitantes nos elementos estruturais:
análise do comportamento (resposta) estrutural
do elemento submetido às ações (carregamentos)
- Dimensionamento dos elementos estruturais:
comportamento estrutural e resistência do
material que o compõe

7. 2. Classificação dos elementos e dos
sistemas estruturais
2.1- Elementos estruturais
Classificação segundo as dimensões
Elementos tridimensionais
Elementos bidimensionais ou planos
Elementos unidimensionais ou lineares

8. Elementos tridimensionais
Elementos com as três dimensões da
mesma ordem de grandeza.
Elementos de fundação, de arrimo
(gravidade) ou de barragens

9. Elementos bidimensionais ou planos
Elementos com duas dimensões preponderantes
em relação à terceira.
Submetidos a carregamentos no plano médio
(chapas ou paredes) ou transversais (placas,
cascas)
Placas ou cascas:
Sujeitos a esforços de flexão e de força cortante
Transmite as cargas em direção aos apoios
(bordas)- caminho das cargas

10. Elementos unidimensionais ou lineares
Elementos com uma dimensão preponderante em
relação às outras duas, de eixo reto ou curvo.
Submetidos a carregamentos no eixo longitudinal
(barras, colunas ou tirantes) ou transversais (vigas)
Sujeitos a esforços normais(axiais),
de flexão, de força cortante e de torção

11. 2.1- Sistemas estruturais
Espaciais (treliças, cúpulas, Planos (treliças, pórticos,
cestas, cabos-treliça) arcos, cabos-treliça)
Subsistemas horizontais – lajes, vigas, grelhas, cascas, treliças
espaciais;
Subsistemas verticais – treliças planas, pórticos planos,
painéis e paredes

12. Subsistemas horizontais

13. Subsistemas verticais

14. 3. Vinculação dos sistemas estruturais
lineares planos
3.1- Elementos componentes
Barras – elementos lineares simples (apenas
esforços axiais) e gerais (qualquer esforço,
chapa)
Nós – ponto de une extremidades de barras
Vínculos – ligações (vinculações) pelas quais
as barras são unidas entre si ou com a
“chapa-terra”, impedindo os deslocamentos
relativos entre elas, translação ou rotação

15. 3.2- Vínculos e movimentos dos elementos
vínculos representação movimentos reação
gráfica impedidos correspondente
translação em Ry
y
translações em Rx, Ry
x e y
translações em
x e y Rx, Ry, Mz
e rotação em z
x
yz

16. 3.3- Determinação geométrica das estruturas
planas
Estruturas treliçadas (barras simples) –
necessários dois (02) vínculos para
determinação geométrica de um nó no plano,
correspondentes a duas translações (nas
direções x e y)
Barras gerais (ou chapas) – necessários três
(03) vínculos para determinação geométrica no
plano, correspondentes a três movimentos de
corpo rígido, duas translações (nas direções x
e y) e uma rotação (na direção z, perpendicular
ao plano x,y)

17. Estruturas com barras simples e gerais:
Número de nós: n
Número de barras (chapas): c
Número de barras (vínculos) necessárias:
bnec = 3.c + 2.n
Determinação geométrica de estruturas
estrutura
bexistentes < bnec = 3.c + 2.n - hipostática
bexistentes = bnec = 3.c + 2.n - isostática
bexistentes > bnec = 3.c + 2.n - hiperestática

18. 4. Equações de equilíbrio dos sistemas
estruturais planos isostáticos
Estruturas isostáticas
Estruturas com vínculos externos em número
necessário e suficiente para sua determinação
geométrica, ou seja, com as equações de
equilíbrio é possível a determinação das forças
externas incógnitas (reativas) .

19. Tipos de cargas externas
Cargas distribuídas: carregamento distribuído
ao longo do comprimento de uma barra, na
direção ou perpendicularmente ao seu eixo
axial.
Cargas concentradas: carregamento distribuído
em um comprimento considerado pequeno em
relação ao comprimento de uma barra, podendo
ser considerado como praticamente concentrado
em um ponto.

20. Exemplo: parede de tijolo apoiada sobre viga, ao
longo de seu comprimento
Carregamento = peso da viga
de peso próprio da viga comprimento da viga
Carregamento = peso da parede
de peso próprio da parede comprimento da viga
mkN
L
LeH
g
mkN
L
Lbh
g
viga
tijolo
parede
viga
concreto
viga
/6,2
0,5
0,5.10,0.0,2.13...
/75,0
0,5
0,5.10,0.30,0.25...
===
===
γ
γ

21. Tipos de reações de apoio
Apoio contínuo ou distribuído: caso de barras
apoiadas em meio contínuo, como vigas de
fundação ou sapata corrida, apoiadas sobre o
solo ao longo do seu comprimento e com
reação na direção perpendicular ao seu eixo
axial.
Apoios discretos ou pontuais: elemento de
apoio cuja dimensão de contato com a barra tem
um comprimento considerado pequeno em
relação ao comprimento desta barra, podendo
ser considerado como praticamente concentrado
em um ponto (barra de vínculo).

22. Equações de equilíbrio no plano
Definição: Um sistema estrutural, submetido a
carregamentos conhecidos, mantém-se em
equilíbrio devido às reações (incógnitas)
correspondentes aos vínculos externos que
restringem os graus de liberdade (movimentos)
deste sistema.
Reações de apoio: Dado o corpo rígido (chapa)
qualquer contido no plano Oxy, sujeito a
carregamento externo conhecido, para o seu
equilíbrio deve-se ter:

23. Estrutura de chapa isostática
Número de vínculos externos:
bext = 3.c = 3.1 = 3
3 reações de apoio incógnitas
Equações de equilíbrio






=
=
=
∑
∑
∑
0
0
0
z
y
x
M
F
F
x
yz

24. 5. Esforços solicitantes em estruturas
planas isostáticas
5.1- Definição e convenção de sinais
Definição: Em uma estrutura em equilíbrio, os esforços
solicitantes em uma seção transversal genérica são as
forças que equilibram as ações externas que atuam à
esquerda ou à direita desta seção. Os esforços
solicitantes formam pares (ação e reação entre corpos)
de mesma direção e intensidade, porém de sentidos
contrários, nas duas seções transversais.

25. Estas forças atuantes na seção transversal podem
ser reduzidas a uma força resultante aplicada em
um ponto (centro de gravidade da seção) e a um
momento (binário) resultante.
Para facilitar os cálculos destes esforços
solicitantes, obtêm-se as componentes destas
resultantes nas direções do eixo longitudinal e
dos eixos ortogonais a este, que contêm a seção
transversal da barra.

26. N - força normal ou axial
V - força cortante
M - momento fletor
T - momento torçor
As componentes destas forças, considerando-se
estrutura plana e carregamento contidos no plano xy,
são os esforços solicitantes esforço axial N,
momento fletor Mz e esforço cortante Vy.

27. Convenção de sinais: sentidos positivos dos esforços
Esforço normal (axial): N
Esforço cortante: V
Momento fletor: M
Momento torçor: T

28. Determinação dos esforços solicitantes
As equações de equilíbrio determinam as condições
da estrutura, ou de parte dela, à esquerda ou à direita
da seção transversal estudada.
Exemplo
apoio fixo A:
deslocamentos
restritos vx e vy
apoio móvel C:
deslocamento
restrito vy
x
y
C
B
VA
A
Vc
HA
4,0 1,5 m
5,0 kN/m
8,0 kN
8,0 kN

29. Reações de apoio
Carga distribuída transformada
em força concentrada fictícia,
Fq = 5,0.5,5=27,5 kN
Equações de equilíbrio
x
y
27,5 kN
RA
Rc
HA
4,0 1,5 m
kNRRM
kNRRRRF
kNHF
CCzA
CACAy
Ax
9,1804.
2
5,5
.5,27:0
5,2705,5.5:0
0,8:0
=→=−=
=+→=−+=
==
∑
∑
∑
kNRR CA 6,89,185,275,27 =−=−=
8,0 kN

30. Esforços solicitantes
Seção transversal B (distante 2 metros do apoio A)
equações de equilíbrio
x
y
10,0 kN
RA
2,0
MB
mkNMMRM
kNVkNVVRF
kNNNHF
BBAzB
BBBAy
BBAx
.2,70
2
0,2
.0,2.0,50,2.:0
4,10,106,800,2.0,5:0
0,80:0
=→=−−=
−=→=−→=−−=
−=→=+=
∑
∑
∑
VB
NB
HA

31. 6. Equações analíticas e diagrama de esforços
6.1- Equações analíticas
Os esforços solicitantes são obtidos em uma determinada
seção transversal;
Deseja-se, porém, conhecer a sua evolução (variação) ao
longo do elemento estrutural ou da estrutura como um
todo;
Pode-se obter as expressões analíticas dos esforços em
função da coordenada x, onde são representados os
valores ao longo da estrutura, adotando-se uma seção
transversal de referência em posição genérica.
As funções obtidas são contínuas para carregamentos
contínuos e descontínuas onde houver alguma força (ou
reação) concentrada ou descontinuidade geométrica da
estrutura.

32. Esforços solicitantes
Seção transversal S (distante de s do apoio A)
Variação de a coordenada s: 0 < s < 4,0 m
equações de equilíbrio
x
y
5,0.s
RA
s
MS
2
.5,2.6,80
2
..0,5.:0
.0,56,8.0,56,80.0,5:0
0,80:0
ssMM
s
ssRM
sVsVsVRF
kNNNHF
SSAzS
SSSAy
SSAx
−=→=−−=
−=→−−→=−−=
−=→=+=
∑
∑
∑
VS
NS
s
HA

33. Esforços solicitantes para o trecho AC, entre apoios
Para s=0:
Para s=4,0 (seção à esquerda do apoio C):
0,0.5,2.6,8
6,8.0,56,8
2
=−==
=−==
ssMM
kNsVV
AS
AS
mkNssMM
kNsVV
esqSS
esqSS
.6,50,4.5,20,4.6,8.5,2.6,8
4,110,4.0,56,8.0,56,8
22
,
,
−=−=−==
−=−=−==

34. Esforços solicitantes
Seção transversal S (distante de s do apoio A)
Variação de a coordenada s: 4,0 < s < 5,5 m
x
y
5,0.s
RA
s
MS
2
.5,2)0,4.(9,18.6,8
0
2
..0,5)0,4.(.:0
5,27.0,5
.0,59,186,80.0,5:0
0,80:0
sssM
M
s
ssRsRM
sV
sVsVRRF
kNNNHF
S
SCAzS
S
SSCAy
SSAx
−−+=
→=−−−+=
+−=
→−−+→=−−+=
−=→=+=
∑
∑
∑
VS
NS
s
RC
HA

35. mkN
sssMM
kNsVV
dirCS
dirCS
.6,50,4.5,2)0,40,4.(9,180,4.6,8
.5,2)0,4.(9,18.6,8
5,75,270,4.0,55,27.0,5
2
2
,
,
−=−−+=
=−−+==
=+−=+−==
Esforços solicitantes para o trecho CD, em
balanço
Para s=4,0:
Para s=5,5 (seção extrema do balanço):
0,05,5.5,2)0,45,5.(9,185,5.6,8
.5,2)0,4.(9,18.6,8
0,05,275,5.0,55,27.0,5
2
2
=−−+=
=−−+==
=+−=+−==
sssMM
sVV
DS
DS

36. Diagrama dos esforços solicitantes
As expressões obtidas permitem traçar os diagramas dos
esforços solicitantes seguindo algumas convenções:
Momento fletor e força cortante, valores positivos indicados
abaixo do eixo de abcissa x
8,6
11,4
7,5+
_
+
7,2
5,6
+
_
B
1,4
V (kN)
M (kN.m)

37. Observações:
Força cortante: descontinuidade no diagrama
devido a uma carga concentrada no ponto C
(reação de apoio)
A diferença (ou a soma dos módulos) dos
valores de força cortante, à direita e à esquerda
do apoio (VC,dir–VC,esq=7,5-(-11,4)=18,9kN)
representam a carga concentrada naquele ponto
(reação de apoio VC=18,9kN)
Momento fletor: descontinuidade da inclinação
no diagrama devido a uma carga concentrada no
ponto C (reação de apoio)

38. 7. Relações diferenciais entre os esforços
solicitantes e carregamentos
As expressões analíticas dos esforços solicitantes de
flexão (momento fletor e força cortante) apresentam
relações diferenciais entre si.
Considere-se um elemento de comprimento
infinitesimal dx de uma
barra geral em equilíbrio,
sobrecarregada
uniformemente:

39. Equações de equilíbrio
qxq
dx
Md
ouV
dx
dM
Assim
dx
dVdx
dx
dVdxVdM
dx
dVVdMM
dx
VMM
qxq
dx
dV
Assim
dxxqdVdxxqdVVVF
z
y
−=−==
→→=++−
=+++−+=
−=−=
=−→=−+−=
∑
∑
)(
,
0
2
.:00
2
..
0
2
).()(
2
.:0
)(
,
)(0)()(:0
2
2

40. Integrando-se as duas equações, tem-se:
onde C1 e C2 são constantes de integração e são conhecidos a
partir da definição de condições de contorno do problema
estudado.
[ ] 21
2
1
1
.
2
..
.)(
CxC
x
qdxCxqMVdxdM
CxqVdxxqdV
++−=+−=→−=
+−=→−=
∫∫∫
∫∫

41. Segundo as expressões diferenciais pode-se prever a forma
dos diagramas de esforços M e V para os diversos tipos de
carga distribuída:
q=0: V - constante M - variação linear
q=constante: V - variação linear M - polinômio 2o. grau
q=linear: V – pol. 2o. Grau M - polinômio 3o. grau
E ainda:
máximoéM
dx
Md
mínimooumáximoMV
dx
dM
→<
→==
0
:0
2
2

42. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS -
NBR6120 – Cargas para o cálculo de estruturas de
edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 1980. 6p.
DIAS, L. A M. Estruturas de aço: conceitos, técnicas e linguagem.
Zigurate, 1998.
FUSCO, P.B. Estruturas de concreto: Fundamentos do projeto
estrutural. São Paulo: McGraw Hill, 1976.
GIONGO, J.S. Estruturas de concreto armado. São Carlos:
Publicação EESC/USP, 1993.
MACHADO JUNIOR, E.F. Introdução à isostática. São Carlos:
Publicação EESC/USP,1999.
SCHIEL, F. Introdução à resistência dos materiais. São Paulo:
Harbra, 1984.
Bibliografia