Modelagem mef

Introdução ao Método dos
Elementos Finitos

Raul Pessolani - UFF
Métodos Computacionais

Definição
O objetivo do MEF é a resolução de equações
diferenciais, pela aproximação da solução contínua
por pequenas soluções discretas aproximadas em
elementos distribuídos na sua superfície

Raul Pessolani - Métodos
Computacionais - UFF

Seja a eq. de Poisson, que é uma eq. dif. de 2ª ordem que
descreve uma gde variedade de fenômenos:

2 ∂2Φ(x, ∂2Φ(x,
y) y)
∇ Φ(x, =
y) + =0.
2 2
∂x ∂y
O MEF a transforma num sistema de equações algébricas
que podem resolvidas facilmente pelo computador:

[ A ]{X }= {B }
A ordem do sistema depende da malha adotada: do número de nós
e de graus de liberdade por nó.
As incógnitas podem ser temperatura, deslocamentos, tensões,
potencial elétrico, ....

História
1909 – Surge o Método de Ritz em Cálculo Variacional.

1953 – Os computadores começam, a ser aplicados para
resolver problemas de Engenharia.

1956 e 1960 – Publicam-se aplicações de Métodos
Aproximados para Computadores Digitais.

1960 – Surge o termo “Elementos Finitos”.


História II
1963 – Reconhece-se que os Métodos Aproximados
nada mais são do que uma variação do Método de Ritz.

1970 – Extensão do Método para outros tipos de
problemas, além do cálculo estrutural.

1980 – Com a popularização dos computadores, vem a
grande divulgação do Método.

1990 – Com a evolução dos PC´s, os “mainframes”
perdem força.

Etapas na Análise
1. O usuário cria o modelo Físico
• Define a geometria, materiais, apoios e cargas.
• Gera a malha de nós e elementos
2. O programa efetua a análise
• Resolução das equações para cada nó
• Montagem do sistema
• Resolução do sistema
3. Pós-Processamento
1. Análise dos Resultados
2. Erro e precisão.

Considerações Gerais sobre
Modelos Físicos
Um modelo é uma idealização da estrutura real

Supõe sempre uma aproximação: não existe o
“engastado” e o “simplesmente apoiado”, nem
cargas pontuais, etc.

Contudo, essa idealização deve supor uma boa
representação da estrutura real

Etapas
• Definição da geometria, dos apoios

• Escolha do tipo de elemento a ser utilizado.
• Lançamento da malha: Nós e elementos
• Definição dos materiais.
• Aplicação das cargas e das condições de
contorno.


1. Definição da Geometria


2. Tipos de
Elementos: Viga

Utiliza-se em geral em peças
cujo comprimento é muito
maior que a sua profundidade
e altura.
Cabos, tubulações,
parafusos, varas e hastes,
etc.
Dois nós, com 6 dof cada.


Elemento Casca
Utiliza-se em geral em
superfícies onde uma
dimensão (espessura) é
muito menor que as outras.
Vasos de pressão, pás de
turbinas, cúpulas, etc.
Cada nó possui 5 dof.
Assume-se que não há
rotação no eixo z.


Elemento 3D Sólido
Utiliza-se em
quaisquer peças onde
a espessura não é
desprezível.

Com este elemento
pode-se calcular as
tensões ao longo da
espessura.

Possui 8 nós com 3
dof cada

Elemento Axissimétrico
Caso especial do
elemento sólido, contudo
é mais utilizado.

Utiliza-se em eixos onde
a geometria não varia
com a circunferência

Pode-se transformar o
problema para 2D, e
aplicar estado plano de
tensão ou de
deformação, diminuindo
mais ainda as incógnitas

Outros Tipos de Elementos
2D 3D

Mola-amortecedor Tubos


2.1 - Aplicação de Hipóteses
Simplificadoras

É possível reduzir de 3D para 2D?
Há alguma simetria?
Há alguma dimensão desprezível comparada às
outras?
Pode-se remover algum grau de liberdade?
Pode-se aplicar elemento axissimétrico?
Pode-se utilizar estado plano de Tensão ou de
deformação?

Estado plano
de deformação

Assume-se que
a deformação
numa das
direções é zero.
Estruturas
compridas com
carregamento
uniforme

Estado plano
de tensão
Assume-se que a
tensão numa das
direções é zero.

Estruturas muito
finas como lacas
ou cascas.


3. Regras para lançamento de malha

Deve-se ter uma idéia do Comportamento
Físico do problema


3.1 - Posicione os nós nos pontos de aplicação
das cargas, apoios e mudanças de seção.


3.2 - Transição gradual na malha


3.3 - Utilize preferencialmente
elementos retangulares.
Use elementos triangulares só
para transições


3.4 - Não deforme excessivamente os
elementos


3.5 - Evite ângulos muito obtusos


3.6 – Tome
cuidado com a
representação de
superfícies curvas
por elementos
planos.


3.7 – Não
coloque nós
interiores.


3.8 - Atenção
com a numeração
dos nós.


Ex 1: Peça de sustentação


Apoios e carregamento


Malha com uso de simetria

Calculo da ordem do sistema:
Total:
67*2 = 134
Conhecidos:
11 deslocs em X no plano de simetria
e 5 deslocs em Y e X no apoio
134 – 11 - 9 = 114

Quantos seriam com a simetria?


Solução Tensões

Deformações

Raul PessolaniSimetria
Com - Métodos Sem simetria

Análise da Saída
1. Os resultados são coerentes?
Há erros?

Novamente é necessário conhecer o comportamento físico.

Geometria incorreta

Erro na introdução das condições de contorno

Má discretização
Número insuficiente de nós.
Erro de posicionamento
Escolha inadequada do tipo de elemento

O computador não substitui o engenheiro!

Análise da Saída
2. Há precisão e acuracidade?

A precisão cresce com o número de nós, mas há um
ponto ideal!

Estudo da variação dos resultados com vários
refinamentos de malha nas regiões mais criticas.

Há excessiva variação na resposta?


Estudo da Região mais solicitada


Q= 100 N/mm

Ex 2: Placa
Tracionada com
Furo
no centro

Q= 100 N/mm


Malha Utilizada
Região A e B.

Nº Elementos: 1445

Nº nós: 1536

Carga escolhida:
P=100N/mm²

r=2,5mm e RA=25mm


Pelo ANSYS:
Tração de tensão calculados e plotados pelo ANSYS:

Erro:

300 , 88 − 296 ,8
= 1,4
296 ,8


Ex 3: Pressão causada pelo vento num edifício


Condições de
Contorno


Resultados para 3 posições de porta


Pressão total


Ex 4. Análise de Tensões de um eixo de
propulsão
Esquema típico de uma linha de eixo

Carregamento


Análise pelo MEF

•Tipo de malha: Sólida
•Gerador de malhas usado:Padrão
•Superfície lisa: Ativada
•Tamanho do elemento:128.149 mm
•Tolerância: 6.40744 mm
•Qualidade da malha: Alta
•Total de nós: 19724
•Total de elementos: 11210


Análise da Linha de Eixos por Elementos Finitos

Esquema das cargas e restrições impostas ao
conjunto


Tensões atuantes em toda a linha de eixo


Deformações na linha de eixo


Escoamento transônico
compressível em um difusor
Discretização

Condições de contorno Inlet:
Pressão total = 19.50 psia
Temperatura Total = 500 R

Outlet:
Pressão: 14.10 psia

Escoamento transônico
compressível em um difusor
Nítida formação da onda de choque durante a expansão do gás
A velocidade ultrapassa Mach=1 na região da garganta

Número de Mach máximo: 1,39


Referências
Ansys:
http://www.mece.ualberta.ca/Tutorials/ansys/index.html


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