Este trabalho analisa o problema de Dirichlet aplicado a uma calha condutora, utilizando tanto uma solução analítica com a equação de Laplace quanto uma abordagem numérica com o método das diferenças finitas. Os resultados são apresentados graficamente e um estudo do erro percentual entre os dois métodos é realizado. O domínio das soluções é discretizado em uma malha de pontos, e as condições de fronteira são aplicadas para resolver o potencial elétrico e o campo elétrico gerado.

1. FORMA ANALÍTICA E MÉTODOS DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO AO POTENCIAL
DENTRO DE UMA CALHA CONDUTORA
JÚLIO PEIXOTO DA SILVA JÚNIOR - 346283
Departamento de Teleinformática, Universidade Federal do Ceará
juliojrps@gmail.com
Resumo Este trabalho consiste em resolver analiticamente o problema de Dirichlet, aplicado a uma calha condutora fechada
com quatro condições de fronteira e comparar com uma solução de cálculo numérico utilizando o método das diferenças finita.
Todas os resultados serão apresentados de forma gráfica e por fim será realizado uma comparação para análise do erro percentual
dos dois métodos utilizados.
Palavras-chave Problema de Dirichlet, Laplace, MATLAB, Método Numérico, Diferenças Finitas.
1
fronteiras deve ser a única solução, ou seja, o teorema
da unicidade.
Antes de iniciarmos a solução do problema em
questão é necessário definir a equação apropriada. Por
não haver cargas no interior da calha, utilizaremos a
equação de Laplace e verificaremos as condições de
fronteiras a serem satisfeitas.
Introdução
A figura 1 apresenta as condições de fronteira
em uma calha condutora no qual será encontrado a solução analítica e a solução numérica do potencial e do
módulo do campo elétrico. Serão traçados os gráficos
e por fim será verificado o erro percentual do método
numérico utilizado.
3
Solução Analítica
No nosso caso o potencial varia em função de
x e y. Portanto as condições de fronteiras verificadas
são:
i.
V(x=0, 0 ≤ y ≤ b) = 0
ii.
V(x=a, 0 ≤ y ≤ b) = 0
iii.
V(0 ≤ x ≤ a , 0) = V1-V3
iv.
V(0 ≤ x ≤ a , b) = 0
Por não haver cargas no interior da calha a
equação apropriada para esse caso é a de Laplace e
para duas variáveis em sistemas de coordenadas cartesianos é escrita de seguinte forma:
∂2 𝑉 ∂2 𝑉
∇2 V = 2 + 2 = 0
𝜕𝑥
𝜕𝑦
Pelo método da separação de variáveis o potencial V(x,y) será igual a V(x,y) = X(x)Y(y), aplicando
na equação de Laplace e separando as variáveis obtemos:
𝑋 ′′
𝑌 ′′
−
=
𝑋
𝑌
As duas razões acima podem ser definidas
como uma constante de separação (λ). Então temos
que:
𝑋"+λX = 0 e Y" − 𝜆𝑌 = 0
Com as equações separadas, é possível determinar X(x) e Y(y) separadamente, para isso é necessário que as condições de fronteira nas equações estejam separadas.
i.
V(0,y) = X(0)Y(y) = 0  X(0) = 0
ii.
V(a,y) = X(a)Y(y) = 0  X(a) = 0
iii.
V(x,0) = X(x)Y(y) = V1-V3
iv.
V(x,b) = X(x)Y(b) = 0  Y(b) = 0
Figura 1: condições de fronteira
Para este problemas temos que a=1m e b=2m,
V0=10V, V1=V0sin(πx/a) e V3=V0cos2(πx).
2
Equações de Laplace e Poisson
É sabido que para um meio linear e a partir da
lei de Gauss:
∇. D = ∇. εE = 𝜌 𝑣
E = −∇V
∇. (−ε∇V) = 𝜌 𝑣
∇2 V = −𝜌 𝑣 /ε (Eq. Poisson)
Para um meio livre de cargas, ou seja ρv=0,
∇2 V = 0 (Eq. de Laplace)
Existem inúmeros métodos de resoluções da
equação de Laplace, nesse trabalho iremos utilizar o
método analítico e um método numérico. É necessário
observar que a solução da equação de Laplace deve
obedecer as diversas condições de fronteira. Portanto
qualquer solução que satisfaça todas as condições de
1

2. É verificado na condição de fronteira iii que a
equação é inseparável.
Solucionando X”+λX = 0 iremos adotar λ = β2 e
λ>0. Portanto tem-se:
𝑋"+𝛽 2 X= 0
Seja D=d/dx, então obtemos:
(𝐷2 + 𝛽 2 )𝑋 = 0 ↔ 𝐷𝑋 = ±𝑗𝛽𝑋
Então a solução em X(x) é:
𝑋(𝑥) = 𝑘0 𝑒 𝑗𝛽𝑥 + 𝑘1 𝑒 −𝑗𝛽𝑥
𝑋(𝑥) = 𝑐0 cos(𝛽𝑥) + 𝑐1 sin(𝛽𝑥)
Aplicando as condições de fronteiras do problema é possível determinar as constantes, pela separação das variáveis das condições de fronteira i e ii
têm-se:
𝑋(0) = 0 = 𝑓0 cos(0) + 𝑓1 sin(0) ↔ 𝑐0 = 0
𝑛𝜋
𝑋(𝑎) = 0 = 0 cos(𝛽𝑎) + 𝑓1 sin(𝛽𝑎) ↔ 𝛽 =
𝑎
para n pertencente aos naturais.
Portanto a solução geral para X(x) é:
𝑛𝜋𝑥
𝑋(𝑥) = 𝑔 𝑛 sin (
).
𝑎
Para resolver Y” – β2Y =0, será aplicado o
mesmo procedimento que para X(x) cuja única diferença será que o conjunto solução não é complexo.
Resolvendo Y(y) é obtido:
𝑛𝜋𝑏
𝑛𝜋(𝑦 − 𝑏)
𝑌(𝑦) = ℎ 𝑛 𝑒 − 𝑎 sin(
)
𝑎
A solução de V(x,y) = X(x)Y(y) agora pode ser
escrita de seguinte forma:
𝑛𝜋𝑥
𝑛𝜋(𝑦 − 𝑏)
∞
(sin (
) sinh (
)
𝑎
𝑎
𝑉(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑐 𝑛
𝑛𝜋𝑏
sinh(
)
𝑛=1
𝑎
Verifica-se que todas as condições de fronteiras do problema satisfazem a solução de V(x,y). Onde
cn deve ser encontrado através:
2 𝑎
𝑛𝜋𝑥
𝑐 𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥) sin (
) 𝑑𝑥
𝑎 0
𝑎
Aplicando a condição de fronteira iii, temos que:
Figura 2: Potencial Elétrico
Na figura 2 é apresentado o gráfico referente
ao potencial elétrico dentro da calha V(x,y), visualmente é possível verificar que os resultados estão obedecendo todas as condições de fronteira.
O campo elétrico cresce na direção oposta a direção em que V cresce, porém o |E| será sempre positivo. Na figura 2 é apresenta uma representação gráfica dos vetores campo elétrico gerado a parti do aplicativo PDE do MATLAB, na figura 3 é apresentado o
gráfico do modulo do campo elétrico.
𝑛𝜋𝑥
𝑉(𝑥, 0) = − ∑∞ 𝑐 𝑛 (sin ( ) , substituindo o
𝑛=1
𝑎
valor de a=1 e sabendo que:
𝑓(𝑥) = 𝑉1 − 𝑉3 = 10(sin(𝜋𝑥) − cos 2(𝜋𝑥)
resolvendo a integral para encontra cn:
- para n par cn=0;
- para n ímpar 𝑐 𝑛 =
30𝜋−40
3𝜋
Figura 3: Vetores do campo elétrico
= 5,755
Portanto:
𝑛𝜋𝑥
𝑛𝜋(𝑦 − 𝑏)
) sinh (
)
𝑎
𝑎
𝑉(𝑥, 𝑦) = 5,755 ∑
𝑛𝜋𝑏
sinh(
)
𝑛=1,3,5..
𝑎
Achado o potencial elétrico para encontrar o
módulo do campo elétrico é necessário aplicar o gradiente de V(x,y).
𝐸 = −∇𝑉
𝑑𝑉
𝑑𝑉
𝐸= −
â −
â
𝑑𝑥 𝑥
𝑑𝑦 𝑦
∞
|𝐸| = ((
(sin (
𝑑𝑉 2
𝑑𝑉 2
) +( ) )
𝑑𝑥
𝑑𝑦
2
Figura 4: Módulo de Campo Elétrico
2

3. 4
Solução Numérica Computacional
5 Comparação dos Resultados
O método computacional a ser utilizado será o
das diferenças finitas. Este método consiste em dividir
o domínio de solução em uma grade de nós, aproximar
a equação parcial (no caso a de Laplace) e as condições de contorno por um conjunto de equações algébricas nos pontos da malha de nós gerada e por fim
resolve-se o as equações algébricas encontradas.
6 Conclusão
Figura 5: nós empregados para uma malha de potencial elétrico do
método de diferenças finitas. (Fonte: Sadiku, 2006).
O domínio é dividido através da malha de pontos,
como apresentado na figura 6, um nó sobre a região de
contorno onde o potencial é especificado é denominado nó fixo e o restante são denominado nó livre.
Sabendo que,
∂2 𝑉 ∂2 𝑉
∇2 V = 2 + 2 = 0
𝜕𝑥
𝜕𝑦
e que pela definição de derivada em um ponto
(x0,y0) temos que a primeira derivada e a segunda são:
𝑉(𝑥0 + 𝛥𝑥, 𝑦0 ) − 𝑉(𝑥0 − 𝛥𝑥, 𝑦0 )
V′ =
2𝛥𝑥
d2 V (𝑉𝑖+1,𝑗 − 2𝑉𝑖,𝑗 + 𝑉𝑖−1,𝑗 )
=
dx 2
(Δ𝑥 2 )
2
d V (𝑉𝑖+1,𝑗 − 2𝑉𝑖,𝑗 + 𝑉𝑖−1,𝑗 )
=
dy 2
(Δ𝑦 2 )
Aplicando na equação de Laplace e substituindo a variação de x e em y, temos que:
1
𝑉𝑖,𝑗 = (𝑉𝑖+1,𝑗 + 𝑉𝑖−1,𝑗 + 𝑉𝑖,𝑗+1 + 𝑉𝑖,𝑗−1 )
4
Foi utilizando um passo de h=0,05m e o código 2 em anexo apresenta a implementação do método numérico.
Referências Bibliográficas
Won Y. Yang, Wenwu Cao, Tae S.Chung, John
Morris. 2005, Applied numerical methods using
MATLAB. USA.
Kiusalaas, J. 2005, Numerical Methods In
Engineering With MATLAB, New York.
Sadiku, Matthew N. O. (2001). Numerical techniques
in electromagnetics. USA.
Sadiku, Matthew N. O. (2011). Elementos de
Eletromagnetismo.Brasil.
Figura 6: resultado do método numérico.
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4. Anexo A – Código referente ao Método Analítico
%Trabalho Computacional - Eletromagnetismo Aplicado
%Júlio Peixoto da Silva Júnior-346283
%Método Análtico
%Professor João Batista
clc;
%cria as matrizes nulas
V=[];
V1=[];
V2=[];
%preenche as matriz com zeros, para evitar erros no meshgrid
V=zeros(41,21);
V1=zeros(41,21);
V2=zeros(41,21);
E=[];
E=zeros(41,21);
%declaração das constantes envolvidas no problemas
v0=10;
b=2.0;
a=1.0;
i=0;
%Método de varedura em y e depois x com o utilizando a formula analítica
%apresenta no texto principal
for y=0:0.05:b,
j=0;
i=i+1;
for x=0:0.05:a,
sum1=0.0;
j=j+1;
for k=1:200,
n=2*k-1;
lado1=sind(n*180*x)*sinh(n*pi*(b-y))/sinh(n*pi*b);
sum1=sum1+lado1;
end
%cálculo da matriz de tenção
V1(i,j)=5*(sin(pi*x))*(sinh(pi*(b-y)))/(sinh(pi*b));
%cálculo do módulo do campio elétrico
E(i,j)=5*pi*((cos(pi*x)*sinh(pi*(y-b)))^2 + (sin(pi*x)*cosh(pi*(yb)))^2)^(1/2); %pi*5.755
V2(i,j)=5.755*sum1;
end
end
%criação do gráfico do potencial elétrico
V=V1;
[X,Y] = meshgrid(0:0.05:1,0:0.05:b);
figure(1)
mesh(X,Y,V)
hold on
title('Potencial Elétrico');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('V');
hold off
%criação do gráfico do campo elétrico
4

5. [X,Y] = meshgrid(0:0.05:1,0:0.05:b);
figure(2)
mesh(X,Y,E)
hold on
title('Módulo do Campo Elétrico');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('V');
hold off
Anexo B – Código referente ao Método Computacional
%Método Computacional
%Júlio Peixoto da Silva Júnior - 346283
% Eletromagnetismo Aplicado - Professor João Batista
clc;
clear all;
%v2,v3,v4 são as condições de fronteira nulas
v2=0;
v3=0;
v4=0;
ni=200; % número de interações do sistema
nx=21; % para um passo de 0.05 até 1
ny=41;% para um passo de 0.05 até 2
x=0.05; %passo
V=zeros(nx,ny);
for i=2:nx-1
v(i,1)=10*sin(pi*x)-10*(cos(pi*x))*(cos(pi*x)); % condição de
fronteira
%indices iniciais para a malha em x
v(i,ny)=v3;
x=x+0.05;
end
for j=2:ny-1
%indices iniciais para a malha em y
v(1,j)=v2;
v(nx,j)=v4;
end
for k=1:ni % interações
for i=2:nx-1
for j=2:ny-1
%aplicação do método numérico
v(i,j)=0.25*(v(i+1,j)+(v(i-1,j))+(v(i,j+1))+v(i,j-1));
end
end
end
v=v'; % inverte a matriz para gerar o grafico 41x21
X,Y] = meshgrid(1:21,1:41); %gera a malha
figure(1) % cria a imagem
mesh(X,Y,v) % gera o gráfico
hold on
title('Potencial Eletrico - Método das Diferenças Finitas');
xlabel('Eixo X');
ylabel('Eixo Y');
zlabel('Potencial Eletrico');
hold off
5

6. Anexo C – Configuração do PDE
O PDE foi utilizado para exemplificar o vetor campo elétrico e servir de base para as possíveis soluções
encontradas na parte analítica e numérica pelo método da diferenças finitas por interação. O primeiro passo foi
definir o retângulo (1mx2m) utilizando a ferramenta de desenho de retângulo e escolher o modo de resolução
Eletrostatics.
Figura 1.B: retângulo proposto no problema.
O passo seguinte é apresentado a figura 2.B onde as condições de fronteiras são adicionadas para cada
borda do retângulo utilizando o tipo de condições de Dirichlet. Após as colocação das quatro condições de
fronteira é necessário verificar se o problema será resolvido utilizando Laplace ou Poisson, na figura 3.B é
possível configuras os valores desses coeficientes e determinar que tipo de solução será utilizada.
Por fim é gerado o mesh, caso seja necessário pode refinar o mesh e por fim encontra-se a solução e o
gráfico é plotado de acordo com as configuração desejadas, figura 4.B.
Figura 2.B: inserção das condições de fronteira.
Figura 3.B: configuração dos coeficientes de Poisson.
6

7. Figura 4.B: mesh e resultado gráfico obtido.
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