I \ I permite reduzir a ordem da equação diferencial. Este documento apresenta um prefácio e capítulos sobre equações diferenciais ordinárias e transformadas de Laplace. O prefácio destaca a importância dos fundamentos matemáticos para o desenvolvimento de engenheiros e a utilização de novas ferramentas computacionais. O livro fornece exemplos resolvidos para ajudar os alunos a compreender melhor os conceitos teóricos ensinados nas aulas.

1. Director da colecção Manual. Prof. Paulo Manuel de Araújo de Sá Luísa Madureira
Projecto gráfico. Incomun
Impressão e acabamentos. marca-ag.com
1: edição. 2000
2: edição. 2004
3: edição. 2010
Depósito legal n.? 206 451/04
roblemas de equações
ISBN 978-972-752-124-1
© Luísa Madureira . 2000
© Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
iferenciais ordinárias
Rua Dr. Roberto Frias. 4200-465 Porto
http://feupedJe.up.pt transformadas de Laplace
lodo os direitos reservados. Nenhuma parte deste livro
pod 5 r reproduzida por processo mecânico, electrónico
ou outro sem autorização escrita do editor.
3.a edição

2. li dice
Pr fácio. 11
Introdução. 13
Capítulo 1
quações diferenciais de primeira ordem. 15
1.1 Equações diferenciais de variáveis separáveis. 15
1.2 Equações diferenciais homogéneas. 20
1.2.1 Equações redutíveis a homogéneas. 26
1.3 Trajectórias ortogonais. 30
1.1]·Equações diferenciais exactas. Factor integrante. 34
1.4.1 Factor integrante. 38
I. quações diferenciais lineares. 42
1.5.1 Equação de Bernoulli. 48
1.5.2 Equação de Riccati. 52
I. qu cõ s n o r solvidas em ordem à derivada. 56
1.6.1 EqLI c od L gr ng . 60
1.. I 1~lil (o d Clt ir ut. 3

3. Capítulo 2
Equações diferenciais de ordem superior à prim ) .1 7
2.1 Redução da ordem das equações diferenciais 67 I 11111'1111 d', ti! IlIilol íun tl uac dif r nç . 178
2.2 Equações diferenciais lineares de ordem n. 72 " I I I Ili'l! 1I tI~ jltlltl tl fi nt .178
2.2.1 Soluções da equação homogénea e não homogénea. 73 , I 'I I ililli'ilC,tlS nu i dif r nças divididas. 179
2.2.2 Equações diferenciais lineares homogéneas de coeficientes constantes. 75 " I I I qUtlr, s cI drf r ncas. 180
2.2.3 Equações diferenciais lineares não homogéneas de coeficientes I I ,11111t,,1o ti qu ç o de diferenças. 180
constantes. 81 " 1'1 d valor inicial. 180
2.3 Equações de Euler. 93 I II qlltl~ dif r nças lineares homogéneas de coeficientes constantes. 182
2.4 Soluções de equações diferenciais em séries de potências. 96 ',11 d p ssoapasso.183
2.4.1 Soluções em série de potências em torno de um ponto não singular. 97 " I) D l rmin ção da solução geral como combinação linear de soluções. 183
2.4.2 Soluções em série de potências generalizada. Método de Frobenius. 103 I, I ',oluV1 d quação de diferenças não homogénea. Método dos coeficientes
111111'1 rrnin dos. 188
' •. 1 l rminação de uma solução particular. 189
Capítulo 3
Sistemas de equações diferenciais lineares. 111 fia. 193
3.1 Sistemas de equações diferenciais lineares homogéneos de coeficientes constantes.
Método de Euler. 113 Itldl r missivo. 195
3.2 Sistemas de equações diferenciais lineares não homogéneos de coeficientes
constantes. 125
Capítulo 4
Transformadas de Laplace. 133
4.1 Definição, existência e propriedades da transformada de Laplace. 133
4.2 Transformada de Laplace da derivada. 140
4.3 Inversa da transformada de Laplace e aplicação às equações diferenciais. 143
4.4 Primeiro e segundo teoremas da translação 150
4.5 Transformada de Laplace da "função" Delta de Dirac. 159
4.6 Transformada de Laplace do integral. 162
4.7 Derivada e integral da transformada de Laplace. 165
4.8 Teorema da convolução. 170
'I
., I
11111

4. I r fácio
NrI últimas décadas tem-se assistido ao extraordinário desenvolvimento das capacida-
des computacionais existentes e o crescente acesso a poderosos produtos que
nos permitem facilmente executar tarefas outrora ciclópicas ou irrealizáveis. É as-
sim possível hoje em dia, com recurso a essesprodutos, resolver numericamente
sistemas de milhares de equações diferenciais não lineares que caracterizam um
vasto número de problemas com que nos deparamos na Engenharia. Estes no-
vos paradigmas geram a necessidade de, em muitos aspectos, reequacionarmos
a forma como o estudo da Matemática deve ser ministrado aos cursos de Enge-
nharia mas também, indubitavelmente, reforçam a necessidade de se adquirir
um conhecimento sólido dos princípios elementares da Matemática, no sentido
de se ser capaz de desenvolver, interpretar e correctamente utilizar essas novas
ferramentas. Há etapas da aprendizagem que não devem ser queimadas sob
pena de se hipotecar o desenvolvimento dessas competências.
O livro da Prof." Luísa Madureira, Problemas de Equações Diferenciais Ordinárias e Trans-
formadas de Laplace, pretende ser um contributo nalgumas dessas etapas fun-
damentais. Escrito numa linguagem acessível, mas com rigor, visa sobretudo
fornecer ao aluno um conjunto variado de problemas que lhes permitam melhor
compreender aqueles assuntos que são ministrados nas aulas teóricas e práticas
nos prim ires anos dos cursos de Engenharia. E permanecerá para os alunos
futuros ngenheiros como uma fonte de consulta onde poderão encontrar
inform c út is p ra a solução de muitos problemas que enfrentarão no seu
(utur I lud nt profissionai .
I( " ,( ",di <11' ,
(1'1111 (!lII'lIlo1I11 ( 11.1 I !lI til<lolcll' di' 111111 1111011101 cloI lJlllvl'I',lcloIill cio I ()J to)

5. dy y
a equação resolve-se integrando ambos os membros de (2) -=n-
dx x
J g(y) dy = J !(x) dx + C (4) e separando variáveis obtém-se
dy dx
onde C é uma constante arbitrária. -=n-
y x
e portanto
Problema 1.1
Calcular a solução da equação diferencial (I - cosx) y' = sen x . y
o que conduz a
Resolução
Escrevendo a equação na forma In Iyl= lnlx"l + In C
dy senx dx A solução é então
y 1- cosx
integrando tem-se y = C x"
Inlyl = In 11- cos x] + In C
Prohlema 1.3
R olvendo em ordem a y I . acordo com a lei de Newton a velocidade de arrefecimento de um corpo é
proporcional à diferença entre a temperatura T desse corpo e a temperatura am-
y = C (I - cos x) hi .nte To. Sabendo que uma dada substância se encontra à temperatura 100°C e é
colocada num ambiente à temperatura 20°C tendo arrefecido até 80°C ao fim de
minutos, determinar quanto tempo será necessário para que a temperatura seja
Problema 1.2 I xluzida para 40°C.
Determinar a equação da curva que tem a propriedade do declive da tangente em
qualquer dos seus pontos ser n vezes maior que o declive da recta que une esse
ponto à origem das coordenadas. Resolução
A relação de proporcionalidade descrita tem a expressão
Resolução dT = k (T - 20)
di
o declive da tangente à curva é dado por dy e o declive da recta que une um p rando v riáv is obtém-se
dx
d'f'
ponto (x,y) ao ponto (O, O) dado por Z 'r - ()
- t: di
x
fl1l, I'ntlfl"<!)I,I(dlllltll"('d(lI1'.t,H1IP ',IIJ1'''V(/QIl( 1,11'" (), I 11I11,1111,
ti" (11 I (lO" '

6. T (0)=20 + C1 ')(I+er)YY'=ex
obtendo-se assim o valor da constante 11) Ji:I + yy'~1 + x2 =0
I' I' (I + y') = I
Tem-se então T (t) = 20 + 80 il
I} v' + 5 x 4 i = O, y (O) = I
Determine-se agora o, valor de k. Sabendo que para t = 2 o valor de T é de
80°C, tem-se
T ( 2 ) = 80 = 20 + 80 e k2 11m ponto material de massa I g está animado de movimento rectilíneo, sob
1I 11'I,'lIO de uma força directamente proporcional ao tempo decorrido desde o mo-
o que é equivalente a 1111 1110 I = O e inversamente proporcional à velocidade do ponto. Sabe-se que no
11 11li 11 .nto 1= 10 s a velocidade era de 0,5 m/s e a força era de 4x 10-5N. Qual será
k2 80 - 20
e 11 wlo 'idade do ponto I minuto após o início do movimento?
80
I/I I 'termine a funçãof(x) que satisfaz a condição: f(x) = 2+ f ;'f(t)dt.
e portanto 1.7 I 'termine f(x) que satisfaz a condição:
F(x)+2xef(x)=0 e f(O)=O
k = ..!..ln 80 - 20 = ..!.. In 2 I H Uma curva de equação cartesiana y = f(x) passa na origem. Linhas traçadas
2 80 2 4
1'" li 'lamente aos eixos coordenados a partir de um ponto arbitrário da curva de-
Finalmente para um valor da temperatura igual a 40°C tem-se 1111 'Ill um rectângulo conjuntamente com os eixos coordenados. A curva divide o
I túngulo em duas áreas uma das quais é n vezes superior à da outra. Determine
40 = 20 + 80 eO,5 In (3'1/4) , til" ':io/(x).
1.1' IJm tanque tem uma secção quadrangular de 60 em de lado. A água escoa-se
ou 1111IV:S de um orifício na base de 10 em? de área. Se o nível inicial da água estiver
11 rt() '111 de altura qual o tempo necessário para se situar a 30 em?
0,5In(3'1/4) 1
e =-
4
o que conduz a oluções
1,tl
t = 9,638 min 3 4
) -=':::""-+C
4
Problemas b)y. (x_l)eX
1.4 Resolva as equações diferenciais:
) ,I~ • '4' In (I + e,l )
a y'. .r: li
ti) JII 1 I JI I I' •

7. M(l,Y/X)
f)y=--
1
x5 + 1
g) are tg e
x
=
2 sen
1
2
y
+C
M(x,y)
N(x,y) =
M(Àx,ÀY)
N(Àx,ÀY) =
I
N(1,y/x)'x>O
M(-l,-y/x)
N (-l,-y/x)
1111 VI "fica-se que o resultado se pode escrever como uma função de
" equação diferencial
.x e O
(7) pode ser escrita na forma
(8)
1'. e portanto
x
1.5 v = so.J2gem /s (9)
1.6 f(x) =2 /<-I} o que permite concluir que se a equação diferencial y' = F(x,y) é tal que
J
17 y=Jn -- F(Àx,ÀY) = F(x,y) (10)
2
x +1
1.8 Y = kx" ou y=kX'/" então ela é homogénea.
1.936,897 s
11 011 ma
I I !''Iu cáo diferencial y' = F (x, y) é homogénea então a mudança de variável y = ux
ti nsforma esta equação numa equação diferencial em LI, de variáveis separá-
1.2 Equações diferenciais homogéneas
vis.
Uma função M (x,y) diz-se homogénea de grau n se para qualquer À positivo se tem
(5) I «111 n tração
"1 "(, [u cão é homogénea pode ser escrita como
Uma equação diferencial homogénea é do tipo
(6)
M (x,y)dx+ N(x,y)dy =O
I ""',leI r - e agora a mudança de variável y = ux. Tem-se
em que M (x, y) e N (x,y) são funções homogéneas do mesmo grau n, lIy du
-u+x-
Neste caso a substituição Y = ux transforma a equação (6) numa equação de variáveis tlx dx
separáveis em u e x. Analogamente, a substituição x = vy transforma a equação
port nto
(6) numa equação de variáveis separáveis em v e y.
Se e equação (6) for escrita na forma dll
111-;(- - FCu)
lx
dy =_ M (x,y) (7)
dx N(x,y)
I por À , se À>O. Tom nd t r À v I r
pod -s substituir por Àx
.1 !l1l .IIIVIl nu .1' III'q"llvo, 11'111 ,I'

8. e separando variáveis tem-se 1111(' r ndo tem-se
du dx 11I111l1I1=lnlxl+lnC
F(u)-u x
que é uma equação de variáveis separáveis podendo portanto ser integrada I) 'lu equivalente a
IIlH=Cx
como descrito em 1.1, após o que se substitui u por I.
x
• I' 1 olucão da equação é
Cr
Problema 1.10 li-e
Resolver a equação diferencial xi = y(lny-lnx)+ y
1111 Imente substituindo u por 2'. obtém-se a solução,
x
Resolução
Verificando que a equação é homogénea começa-se por escrevê-Ia na forma
, y (ln y - In x + 1) I'. Hhll'lIIa 1.11
Y =
x
Fazendo a substituição de x por Âx e y por Ây 1 I 01 v 'r a equação diferencial xel (xdy - ydx) = l dy.
, Ây(lnÂy-lnÂx+I) y(lny+lnÂ-lnx-lnÂ+I) y(lny-lnx)+y
y = = =
Âx x x R solução
efectuando a mudança de variável y = UX, tem-se t az ndo a substituição de x por Âx e y por Ây
À,2x2
dy du Âxe
).l,2(
) Âxdy - Âydx
)?2 Â -y
= dy
-=u+x-
dx dx
A equação escreve-se lU quivalente a
du ux ln u + ux
u+x-=
dx x
ou simplificando , implificando verifica-se que a equação é homogénea.
Jl d m o screver-se a equação na forma
du
u+x-=u Inu+u
2
dx
til .1 o / _ y2
5 P rando vari v is obtém-s dv • .'
,
.1"'1,1'
rllI
/I 111
11

9. 1.I.ll- 2xy+x2y' = O
1.14 I' = y_~x2 + l
II .(y+4x)y'+y(x+4y)=0
Neste caso efectua-se a mudança de variável x = vy e tem-se
dx dv
-=v+y-
dy (If
I•17 I
1/2 dx+ ()1/4
xy dy=O, y(0)=1
e a equação em v e y escreve-se
1.1 K Iy' = Y - ~ x2 + l efectuando a mudança para coordenadas polares
1" (r y + xy cos Z)y' = x2 cos Z + xy + l cos Z
que é equivalente a x x x
dv 1 2
y-=-- 11 tly = y(i +x )+ 2x2y
v2
dy ve til" 2x3
Separando as variáveis tem-se
2 d oluções
ve" dv =-~
y
1.12 x2+i =Cx4
e integrando obtém-se
Cx2
113 y=--
Cx+l
I 11 x2 + 2Cy = C2
ou
1.1 X 4 Y 4 = ( x+ Y )3
E finalmente tem-se a solução
x2
I,I! '/'----
1+ scn@
Problemas . +l Z)
R 'solv 'r as s iuint s quaçõ s dif r n .iuis: X
I () ,)
1.1
1'

10. 1.2.1 Equações redutíveis a homogéneas I! qlldC,dO diferencial resultante em z e x é de variáveis separáveis.
" (19)
Considere-se a equação não homogénea
1
(11)
I ,,!tI. 11111 1.21
na qual se efectua a mudança de variável
-quaçao dif
- rrerencia. I Y ' x +Y- 3
= --'---
x- y-I
(12)
li. lução
( !1I1',!cI re-se a mudança de variável
Tem-se então
dYl = dy = F ( ai xI + ai II + bl YI + bl k + cI ) (13)
dXI dx a2xI +a2II+b2YI +b2k+c2
Ao escolher II e k tal que
1111,0
a1h+ blk + CI = O (14)
{ a2II+b2k+C2 =0 tI"I •• xI + II + YI + k - 3
rlrl XI + II - YI - k-l
e sendo o sistema tal que
().."ma que determina h e k é
l
(15)
" 1-1<-3=0
{ "-/(-1=0
obtém-se a equação diferencial homogénea em xI e YI
t' t m como solução II = 2 e k = 1. A mudança de variável é então
(16)
-XI +2
Se não se verificar a condição (15) então "-YI +I
quação toma a forma
rlYI _ xI + YI
e (11) pode escrever-se
dx, XI - YI
(17) h mo n a e portanto aplica-se a mudança de variável )'1 = uXI'
cr v -s
Fazendo a mudança de variável z = alx + bl)' tem-se
tllI .1I 111'1
1i I11
(li I I 1/ I
(I )
I' 11"'1"'11"

11. du 1+ u2
-x,=--
dx, l-u
~ldz=dx
[ 5z+9
Separando as variáveis tem-se
I' mt grando obtém-se
7
e integrando obtém-se ::+ -lnI5z+ 91= x+ C
25
ou, nas variáveis iniciais,
Então a solução é .1'+IOy+71nIIOx+5y+91 =C
t=r
~l+u~
1 arctgu
=
C
x,
1'1 Ul!h'IIIl1S
e nas variáveis iniciais x e y tem a expressão I I nlv 'r as seguintes equações diferenciais:
1'(lly+l)dx+(2x+2y-l)dy=O
' I 3y-7x+7
I ' - --=-----
3x-7y- 3
Problema 1.22
I,' (I t-2y+l)dx-(2x+4y+3)dy=O
I"eso Iver a equaçao dif
~ - lierenCla. I -
dy 2x + y - I
= ---"--
dx 4x+2y+5
l'fI(l 2y+l)dx-(2x-3)dy=O
Resolução I I 1 t-y-2+(I-x)y'=O
Como a,b2 = a2b,. faz-se a mudança de variável
1'1(( ry)dx+(x+y-l)dy=O
z = 2x+ y
I I) y-5+(3x+2y-5)y'=O
e a equação toma a forma
dZ_2=~ luções
dx 2z+ 5
Separando as variáveis Tem-se 1. x+2y+ Inlx+y-21=C
2z+5
--dz=dx
5z+9
Cill' C[IIÍVtll('lll "

12. 4y+5
1.261n 2x-3 I I---=C
2x- 3
(24)
1.27 Y = 1+(x-l)lnC(x-l) I" lo ~ u integral geral.
1.28(x+y)2_2y=C
I 1 •• 11" 11I11 1.30
? ?
1.29 r+3xy+x--5x-5y=C Ii I 1I11 uur a equação da família de curvas ortogonais à seguinte família
I 2((."
1.3 Trajectórias ortogonais
H lução
Considere-se uma família de curvas no plano a um parâmetro C f l.unllla dada é uma família de circunferências com centros no eixo Ox e
11111(1 tes ao eixo Oy (Fig. 1.1).
n
f(x,y,C) = O (20)
y
sendofdiferenciável. Calculando a diferencial tem-se
af _ af ,
-(x,y,C)+-(x,y,C)y =0 (21)
ax ay
e eliminando C nas duas últimas equações obtém-se a equaçâo diferencial 1------~--~--~--I-7
x
I (x ,y,y') = O (22)
nl- o assim por este processo determinada a equaçâo diferencial que tem como so-
lução geral uma família de curvas dada inicialmente. É de especial importância
a família das trajectórias ortogonais a essascurvas. Cada curva da família inicial 11'1 I I
é intersectada perpendicularmente por todas as curvas da família designada por
família das trajectórias ortogonais. Isto significa que as tangentes às curvas no " 1'<i1111Ç , rencial que as caracteriza é obtida por derivação de ambos os
dif
ponto de intersecção são perpendiculares. 111I'llIllI d quação. Obtém-se então
O d s duas curvas F(x'YI)=ü e G(x,Y2)=ü a relação de perpendicularidade entre
rectas tangentes a essas curvas é dada pela equação I I 1/ _ 2 I
, J
Y2 =r+; (23) ,1111'11111111 O v I r d
I C/ que se obtém da equação inicial
YI
A tr j tória ortogon um famfii d curvas r pres ntada por j(x, y, )- O s o ,1
nt O obti d

13. , y2 _X2
y=-- 11111'1l1 '.
2.xy
I'
Então a equação diferencial das trajectórias ortogonais é tal que y~rt =-~
y'
, 2xy I
Yort =--2--2 1111 nuund y' por ":"; obtém-se a equação diferencial das trajectórias
y -x y
111111'11 lI,lI
que é homogénea. A sua solução é
y
'1111' '11m quação de variáveis separáveis e integrando conduz a
que é a família de circunferências de centros no eixo Oy e tangentes ao eixo
Ox que se pode ver representada na Figura 1.2.
y '1"" 11m família de elipses (Fig. 1.3).
y
1--f--I--7
x
x
Fig. 1.2
IIq 1 1
Problema 1.31
Determinar as trajectórias ortogonais à família de parábolas x = ai.
1', ,,1111'111111/
II II 1111111 11' (I • [uação las trajectórias ortogonais às seguintes famílias de curvas:
Resolução
Derivando ambos os membros da equação tem-se 1 -O, {/>O
I ",2ayy' l/I"
( IiIllÍl1dllCl
II li I I
I'

14. 1.36 cosxchy =a
'I'!lel
1.37 xi - 4ax2 =O
AI (.r,y) =-
au e N(x,y) =-
au (27)
õx õy
1.38 x = ae-/
I' P t t nto a equação (25) é do tipo
1.39 y c axe" tllJ
dx+-dy=O
au
(28)
i), ay
I' () u integral é então
Soluções
2 ?
ll(x,y)=C (29)
1.32 2x + y- = C
? 2
vondo U (x,y) obtido por
1.33 X- + ny = C
x Y
1.34 xy = C se k =2 e /-k = x2-k + C se k '" 2
{/ (.r, y) = J M (t , y) dt + J N (Xo ,t) dt (30)
Yo
ou por
x Y
U(x,y)= J M(t,Yo}dt+ JN(x,t)dt (31)
1.36 senxsenhy = C
Yo
2
1.37 x2+L=C
2 I, 111 r
11111,1 (011 liç o necessária e suficiente para que exista uma função U(x, y) tal que a
1.38 Y = Cex'
ndição (26) se verifique é que
1.39 i = -2x + In (I + x)2 + C íJM( ,y) aN(x,y)
(32)
oy ax
( , funçõ s M (x,y) e N(x,y) sejam contínuas num domínio simplesmente
n xo.
1.4 Equações diferenciais exactas. Factor integrante
Uma equação diferencial exacta é do tipo
1', ullh'lIIl1 1.40
I',"v 11 que ti S' iuint quaçã é diferencial exacta e calcular a sua solução geral.
M (x,y)dx+ N(x,y)dy =O (25)
se o primeiro membro de (25) for a diferencial de uma função U(x, y), isto é
(/U M (. ,y)dr N(.r,y)rty (2 ) I , ',I II (
''''IIr/1I AI '0 I '' li N 1_ vI I di ul.un ',( ,I', (/I'r/Vddtl', 11t111
itlh

15. aM = 3x2 I IlIhh 1II11/!
ay
I I I 11 1/11' as seguintes equações diferenciais são exactas e calcular as suas solu-
aN = 3x2
ax
I I
Dado que são iguais verifica-se que a equação é exacta. Então existe uma I 11 til 1 dy =0
v~
função U(x, y) tal que
au
-=cosx+3x
2
y II
(I I 'v)d.r+ydy
--=0
ax ( I
. .1')2
e
au
-=x
3
-y
2
,,,.:}m:(I-:;)dY'O com y(0).2
ay
Tem-se então, admitindo um percurso de integração com y constante,
I I ( I 1')"1 I (x+2y)dy=0
que é equivalente a I h
U(x,y) = senx+x3y+ f(y) 11 ,/1' I'fN - (xdy - ydx)/(x2 + l)
em que f (y) é calculado de modo a que ' / 1,1)1111-(1/ y_3x2 / / )dy=O
Então tem-se "I tlll tlll' 'osxdx=3cos3ycos2xdy
f(y)=--+C i
3
e está encontrada a função U(x, y).
3
U(x,y) = senx+x3y- L+c
3
I1
A solução da equação diferencial é
I'
3 , /111 ',111-
3 I I I'
senx+x y-L = C
3
11'1')

16. dl' 111'
dAI IiN N (1 M ily _ N íll n 1' _ M ri In ,LI
(36)
X~ ? C ti" d l' cJx ()y
'I .11 + Xv + v~ = 1'
2 . .
tlIII tld I''1IIt1I,.í( ( ) P lv I d t rminarfactores integrantes. Os casos mais simples
1i 11<111('1(' -rn qu o f tor integrante é uma função só de x ou só de y.
1.47 x2 + l- 2 arctg (y / x) = C
111111
11 ItllllllltlO (J11 quação diferencial (25) é não exacta, se
,3 (37)
. Y 1
1.4 --xy--+-sen2y = C
324
1111lima função só de x, sejaf(x), o factor integrante é
I. O 'os2x sen3y = C
I' () -(' ,
f /(x)dx
(38)
1 2 2 y y
I.' 1 x'y+4x y -12e +12ye =C
1111 1111110 laoo se tem que
I .11. 1 tor integrante I (()M ON) (39)
/11 ()y OX
',I' 11 ('lJllde, (2) não for uma equação diferencial exacta é possível em certos casos I' 11111,1 função só de y, seja g(y), então o factcr integrante é
11,111 f rmá-Ia numa equação exacta multiplicando-a por uma função particular.
I)" 111 11111 ,LI (x,y) é um factor integrante da equação não exacta se multiplicando a I' () -('
Y
- f f;( ..
)')dv
(40)
qu c o por esta função
It(.r,y)[ M (x,y)dx+N(x,y)dy] = O (33) 111111111'1' O
IljI'"II111 ',I' prim iramente que fL = ,u(x), então : = O e a equação (36) escreve-se
I s reduz a uma equação diferencial exacta. Como as equações (25) e (33) são
quivalentes então têm a mesma solução geral. I (fiM _(W)=dIIl/-!=f(x) (41)
(' 1 quação (33) é exacta então
N (I)' õx dx
"P Itlnl
B
-;-(I-LM) =
a
-(.uN) (34)
()y ax
(42)
ou
" () Id( tOI ínt r nt função só de x
iiM
1' ( ---
BN) -N--M-
a/-! aI-" (35)
iJy ãs fi fly
(38)
1111'111111 I'

17. (43) ( I 11);- 2 X -3 Y3) d x+ 3x -2 y 2d y= O
'
integrando obtém-se a solução da equação dada
o que é equivalente a
-?
-y 3 C
ln u =- f g(y)dy (44) x Inx-x+x =
o factor integrante neste caso é então dado pela função só de y
I'whlcma 1.53
(40) I I 01ver a equação diferencial cos xd.x + (y + senx) dy = O,
•
Resolução
Problema 1.52
Resolver a equação diferencial (x4ln 2
x - 2xy3)dx+ 3x ldy = O,
C Icu Ian d o - aM - -aN e diIVI Indo por M tem-se
'd"
ay õx
Resolução
~(aM _ aN) =_1_( -cosx) =-1
4 3 2 ?
M ay õx cosx
Neste caso M = x In x - 2xy e N = 3x y- Então
I m-se neste caso a considerar Il; como função de y
aM aN
--- = -6xy
2
-6xy
2
ay õx
Dividindo por N tem-se
Após multiplicação da equação diferencial por este factor integrante a equa-
f(x) =-~
çtlo screve-se
x
e o factor integrante é
4
J --dx I' mt r ndo obtém-se a solução
/-l(x)=e x
ou
Inx-4
/-l ()x = e
1'111""'11I111>
I, ItI '11 IIS S' iuint s equações diferenciais:
que é equivalente a
-4
1' () ' -
( ' I li ) 1 )1 rly - ()
Mlllilplll tllldo ,lInl)

18. I..(,,' '.1' • c" .om y. ()par;1 .r. () IJIII 11 11111011 I 111 I' I' I" POdl'lld II( ) , J( ) 'I qutli lU I íun do ,«
1111111111.1'. IlIlIll I 1t11111 I,
!I. I 1',11 lil' () (.1') • O ,1 quaçc lrc nsf rm - numa equação diferencial de variáveis
',I'Jldl, v('i li/- qu
I.5X (y / x)dx+(i -In x)dY = O
I" I 1'(.).1' - O (46)
d qu ão homogénea associada a (45). Note-se que esta equação não é
1.60 (I - x tg x + seny) dx + cos y tg xdy = O lic 111 n a no sentido referido em 1.2. (equação (6)). No entanto é costume
11',,11 a m sma terminologia para designar a equação (46). A solução desta
1.61 ( e 2.1' ) 1
- yx dx = -2,xdy I'CJlI,IÇ que se designa por Yh é obtida por integração de
til'
- -I (x)dx (47)
I'
Soluções
1111 ,1'1'111,
2
1.54 y+x = Cy
3
1111.1'1- - f P(x)dx (48)
1.55 Y3 -31nlxl=C
x I Jl rt nto a solução da equação homogénea é
3x 2x
1.56 y=e -e
(49)
I'" -
-x'/2 2
1.57 Y = Ce +x-2
IJ 1111111 () m todo da variação da constante é possível determinar a solução geral da
1 2
1.58 -lnlxl+L=C I'ql1tlÇ o não homogénea. Considera-se que a solução geral tem a forma
y 2
I'.C ( x ) e-fp(rAx-r- (50)
C+e-x
1.59y=ln Fx
I' I m-s
1.60 x cos x + senysenx = C
li. "(x)e- f P(x)dx _ p(x)C(x)e- f P(x)dx (51)
1 2x
1.61 ln 1x 1 + - ye - = C
2 1111 1lIllillc1o n quação (45) obtém-se
c (0 1')('- f IJ(x)dx _ p(x)C (x)e- f P(x)dx + p(x)C (x) e- f P(x)dx = Q(x) (52)
1.5 Equações diferenciais lineares
I' !l011,'1 l
Um equ ç o diferencial linear de primeira ordem em y é do tipo
(o/ .
) (
.1
)
{'
f 1'( ) d. (53)
(1 )

19. (111' P '1IIIill' lil lIltll '(.) (" I) '
ul: 1IIIIIIIdn 1101 ('qUtlc,t 1111 I Il m
Fin 1m nte a solução da equação (45) é então
(55) , 11111111111 ()
~
Problema 1.62
R 'solver a equação diferencial xy' = x3 - 2y. Inlll!,')O n tão
Resolução
A quação pode escrever-se como
I IlIhl. 111111.(13
, 2 2
y+-y=x I. "I 11 -quação diferencial x(x+l)y'+y=x(x+l)2senx.
x
e a equação homogénea associada é
II luç o
,
2 O
Y +-y= ()/I ndo por escrever a equação na forma
X
~; I
Separando variáveis tem-se , f 1'/ I (--) Y = (x + 1) senx
.r x+ I
/ ('C/LI o homogénea associada é
1
e integrando obtém-se I" I y=O
.I'(x+ I)
Inlyl = -2Inlxl+ ln C I' ~ p r ndo variáveis tem-se
ti I c/x
ou
x( + I)
-2
y" = Cx 11 'c) nd obt m-se
Procurando agora a solução geral na forma
I'" lu d
,. I
tcmso. d riv ndo m ord m x I'"
H
1'1111,101111

20. I 10 I ( I li I '1'1111
'lilll1l" '1Ididll snrrc li 'UI'VII ' ti corda li)p é igual a .1'.1,
onsid r - agora omo solução da equação dad
11 I, 111111111
I 1t111~'!
0./'(,1),
x+1 "" li. 11uulnnr li sulução ) irul da equação y'scn .r « ycosx = I para x E ]O,Jí[.
y=C(x)-
x
s di ferenciais:
e portanto
I" ' I I' 'ot '' - S n 2x
Substituindo y e y' na equação tem-se
I ') ,
I' +.I"Y=2x
C' (x) x + 1 = (x + 1)senx
x I U 1' I ' - 4e ~
111 11" __ Y_.I".1e.l"
e portanto
I !I 1'1os s 'guintes problemas:
C'(x)=xsenx
I' 'I' iundo ti lei de Newton, a taxa de variação da temperatura de um cor-
I'" I tlllI'l'l!Im .nrc proporcional à diferença entre a sua temperatura e a do meio
donde se obtém para C (x)
(s '.ia
1111111111' k a constante de proporcionalidade). Se y = f(r) é a temperatura
" I IlIlh -cida) do corpo no instante teM (t) designa a temperatura (conhecida) do
C (x) = -x cos x + senx + C
111'1IIIIIIIli '111.cscrever a equação diferencial que traduz a referida lei de Newton.
I' 11111 'cio arrefece de 200°C a 120°C em meia hora num meio com tempe-
obj
Finalmente a solução é
I 11IIslunlc de 60°C.
11111111
x+l ) x+l I) 11"iI temperatura do objecto ao fim de t minutos?
y = C -- - (x + 1 cos x + -- senx
x x 11) uul () tempo necessário para que o objecto atinja a temperatura T?
I ) I ct .rminar o tempo ao fim do qual a temperatura do objecto é de 90°C.
I Itll'IlIll(.JO que a temperatura do meio ambiente embora a 60°C quando o ob-
1111
Problemas
I 111 11 00° diminui de JOC em cada 10 minutos, determinar a nova lei que
1.64 Resolver as seguintes equações diferenciais tendo em conta as condições
I 1111'111'1111
ratura do objecto ao fim de t minutos.
iniciais dadas:
I 11 d -xint • 'ração do elemento rádio é tal que são necessários aproximadamen-
x E ]-oo,+oo[ I 11.1111 lHOSpara que uma dada quantidade se reduza a metade. Determinar qual
a) y-
, 3y=e 2x , y=O para x=O e
I I" 1 11 ' '1 de uma dada quantidade de rádio que se desintegra em 100 anos,
5 x E ]O,+oo[ "" IId1 qu ' 11 lo 'ida le de desintegração do rádio é directamente proporcional
V à
b) xy'-2y=x , y=l para x =1 e
~ 1111111 1110instante considerado.
~
dx
c) -+x=e
21
, X =1 para t=O e tE ]-00, + oo[
dt
x El-oo,+oor ',Olll
.& d) y' + xy = x3, y=O para x=O e
11111
li) ' (, a
1.65 rráflco duma fun ã .l x) passa por PO. (O, I) '1' (I, () , I 111'1I
lodo
O ponto urhilrllio (ln 'lII'ViI, p( I', y),lI .urvu stlÍ SilU11(11I 111111i 1'(1dI
pw d Ih/),

21. 2 2 1 5 y' + p(x)y = Q(x)yP (56)
b)y=-x+-x
3 3
2 -t 1 21 com P(x) e Q(x) contínuas num domínio D, e no caso de p '" O é redutível a
C) X = -e +-e
3 3 uma equação diferencial linear de primeira ordem por uma mudança de variável.
Sendo p = O ou p = 1 a equação (56) é linear.
_x2
d) y = 2e 2 + x2 - 2
? 1 orema
1.65 Y = 5x - 6x- + 1
onsidere-se a equação (56). Ao efectuar a mudança de variável
x+C
1.66 y=--
senx (57)
1.67 Y =-
I( Ce ,.2
-- I)
x2 2 a equação transforma-se numa equação diferencial linear de primeira ordem
2 2 C em v e x.
1.68 y=-sen x+--
3 senx
1.69 y=2+C~
monstração
nsidere-se a mudança de variável v = yl-p Obtém-se
? 2 r (58)
1.71 Y = Cx- + X e
e ao multiplicar a equação (56) por (I - p) y- (J tem-se
1.72 y' = -k(Y- M (t))
(59)
1.73
e é equivalente a
a) T = 140e-kl + 60
b) T=~[lnI40-ln(T-60)]
v' + p (x)( 1- p) v = (1 - p) Q (x) (60)
k
que é uma equação linear de primeira ordem. Após obter a solução v desta
C) 54,542 minutos
quação e usando (57) tem-se a solução da equação (56) em y.
In7 -ln3 o P >O y == O. •
d) T = 140-- 1 ) e -kl +60--+- 1
t Nota: k =--- lli) ,1 d a equação (56) admite sempre como solução
( 10k 10 10k 30
1.74'" 4,2%
1'/'c,hh'IIIH 1.75
x
I kl 1 minur 11 S ilu 'I O la IUH '130 Iif rCI1 ial y' - 2yeX = 2JYe .
1.5.1 Equ ç O d B rnoulli
li I'qloIl .lO dill'll'll< 1011 cll·111 111<11111 I' dI) Ilpo

22. NI"dl' (d',O 11 I
, ,
Ii 'I' I' I
"
1'-.1' ' ('
1" I' I'
.1'
I I =; I
li ••• - V -)1 II
2- 11( hl"l y x~y -O
I
multiplicando a equação por ~ y - 2 obtém-se I 1((, I" I ytgx+2y2scnx=0
2
I I
I -2 I -2 x x
-y y-y e =e
2
I li tl'l'nlinar a solução das seguintes equações diferenciais com os valores iniciais
é equivalente a
dlldllS:
1.1'7 vy'+x/-x = O; y(O) =-1
J
que é uma equação linear de primeira ordem em v. A sua solução é LXX 2/+3-Y-=3y3; y(e)=O
xlnx
v = Cee' -1
Soluções
e as soluções da equação inicial, nas variáveis dadas, são
Y = ( Ce"
,_- 1 )2 ; Y'= O 1.76 Y = ( ce
2x
- e
X
t; y =O
1.77 Y = ( ce -x + x2 - x+2 r'; y =O
Problemas
Determinar a solução das seguintes equações diferenciais:
1.78 Y = (cx + x3 t; y =O
x2
1.79 y=--; y=O
1.76 y' - 4y = 2eXy.Y, c-x
I
1.80 y=--; y=O
o 1.77 y' - y = -/ (x
2
+x + J) I+Cex
1.81 y-3 =Cex -2x-l; y=O
1.78 xy' - 2y = 4x3yh
I C
1.82/ =-senx+--
2 senx
1.80 y' + y x2
6) ,. Y = O
=/
1 83
. y = C- eX (x3 - 3x2 + 6x -
1.81 3y' + y = (I - 2x) l
o 51
Problemas de equações diferenciais ordinárias e transformadas de Laplace Equações diferenciais de primeira ordem

23. x2
1.84 y=--; y=O (64)
c :>
1.85 i = __ 1_; y=O simplificando esta equação e considerando que u (x) é solução de (61) tem-se
x2 +Cx
cosx 1I'(X)+P(X)U(X)+Q(X)U2 (x)+
1.86 Y = 2 ' Y =O I I 1 I
C+sen x
- - z' + P (x) - + 2Q(x) U(x) - + Q (x)? = R (x) (65)
z2 Z Z z"
J 1.87 y=-1
e portanto
=X(l __ l_)
2
1.88 y3
Inx I I 1 I
-?z' + p(x)-+ 2Q(x )u(x)-;+ Q(x)2" =O (66)
z- z ~ z
1.5.2 Equação de Riccati I Iljl( a-se então que ela se reduz a uma equação diferencial linear de primeira ordem
mz
A equação de Riccati é do tipo
~' -[P(x)+2Q(x)u(x)]z = Q(x) (67)
/+p(x)y+Q(x)/ = R(x) (61)
•
com P(x) , Q(x) e R(x) contínuas num domínio D. Para esta equação não é
possível descrever um método de calcular a solução geral. No entanto, no caso 1'10111 'ma 1.89
de ser conhecida uma solução particular a integração da equação já é possível I·11 1'lmlllar a so lucão d a equaçao xy - y + y
uçao -,22 = x .
por um processo simples.
Resolução
Teorema Uma solução da equação é y = x como facilmente se verifica. Considere-se
Considere-se a equação de Riccati (61). No caso de ser conhecida uma solução particu- ntão
lar u (x) a mudança de variável
I
y •• x+-
1 • Z
y=u(x)+- (62)
Z
inda
transforma a equação numa equação diferencial linear de primeira ordem em
, I I ,
z ex. Y - -2"z
z
11 tituindo na quação e simplificando obtém-se
Demonstração
de variável y = LI (x) +~.
.v I - I
Considere-se a mudança Então ~'--+-+--O
z ~ ,,(. z
, ,()
y=u --z ,
I
1( I' ,I' jl 1(1 ('~ I 'V 'I om
z2
111l~lilll"lCjCl 1'111 (rI I) ollt '111 ',1'

24. t ,I) 1 y' + xy + xl = 6x
Considerando a equação homogénea associada
2x-]
z'---z=O
x I I volver as seguintes equações diferenciais sabendo que admitem a solução u
ti nln,
vai obter-se
1.1'2/=x3(y_x)2+x-ly; u=x
d: 2x-1
-=--dx
z x
o que integrando conduz a
I••, •• y ' = e - 'y
'I,' r 2 r
+ y - e'; u. = e .r
Usando o método da variação da constante considera-se a solução na forma
I,W, v' cosx = cos2 X - ysenx+ i; u = senx
2x
e
Z=C(X)- J
x u=-
x
e substituindo na equação homogénea em z ex tem-se a equação em C' (x) I
u=-
x
C'(x) = e-2x
Soluções
e portanto
Ce3x +2
1 -2x C I 1,90y= ;y=1;y=-2
C () =--e
x +- Ce3x -1
2 2
5
1,91 y=2+---;y=2;y=-3
2
o que dá como solução da equação em z 5x
Ce 2 -1
1
z=--+--
c>
2x 2x N problemas 1,92 a 1,98, as solucões incluem também as funções u dadas,
e portanto as soluções da equação inicial são 5x
1.2 y=x+--
C_x5
2x
y=x+_ ;y=x I
2x 1.31-1+----
Ce -1
l-x+Ce-x
x 2
I. t]. _e +
Problemas -~r
Resolver as seguintes equações diferenciais considerando que admitem uma so- 2
19' Y -.r l-I
lução constante: '('
I
-I
1.'>0 v' I ' I v
I I) 1 " "I I
('11 "11

25. 3X2
Ce -1 + 6x (75)
1.97 v= 3x-
,
Cxe -x
"1I11i'II'llle eliminando p de (70) e (74) (ou (75)) obtém-se
l-a
CX +a
1.98 y = ( )
X Cxl-a +1 FI (x,y,C) = O (76)
que é o integral geral da equação dada.
1.6 Equações não resolvidas em ordem à derivada
I'tllhh'ma 1.99
Considere-se a equação diferencial II ulvcr a equação diferencial 2y,2 -2xy' _2y+x2 =0.
f(x,y,y') =O (68)
Resolução
Supondo que não é possível resolvê-la em ordem à derivada e tomando Hesolvendo a equação em ordem a y tem-se
2
,2 , x
y'= p (69) Y=y -xy +-
. 2
tem-se lomando y' = p obtém-se
2
2 X
f(x,y,p)=O (70) '=p -xp+-
2
e derivando em ordem a x obtém-se derivando em ordem a x
dp dp
af + af p + af dp = O (71) p = 2p-- p-x-+x
õx ay õp d.x dx dx
Eliminando x e d.x usando as equações (69) e (70) obtém-se a nova equação diferencial qu é equivalente a
p
f(y,p,dy,dp) =O (72) {2p_x)d =2p-x
dx
ou em alternativa, eliminando y e dy C n id rem-se agora dois casos possíveis.
f(x,p,dx,dp) = O (73) 1.° C o:
p-x O t rn-se
o que integrando conduz a
FI (y,p)=C (74)
I' P II"'II!
011

26. p=x+C ou
que conduz a
v' - P
--=2x
1- p2
dp
-
I + ,} (1+ p2)2 dx
l' equivalente a
ou
2
X 2
y=Cx+-+C ou ainda a
2
2.0 caso:
=, 2dp =0
Se 2 p - x = O tem-se
r p( 1+ p2)
que é uma equação diferencial de variáveis separáveis. Integrando, a solução
x d sta equação é dada por
p=-
2
e portanto vai obter-se o integral singular
ou
C(I + p2)
ou c -'--;,----'-
p2
Iliminando p usando esta equação e a seguinte
2xp
que deve sempre confirmar-se se é solução da equação. '.--
1+ p2
ol l m-se
Problema 1.100
2ty'
Integrar a equação y = -'-2 .
1+ y' N so de p = ±I tem-se
Resolução
Fazendo y' = p tem-se
I' inl r I ingul r é
2xp
y=--
1+ p2 I" - - - ()
e derivando em ordem x obtém-
/1 I - /1 d/I
/1- , I •• ,
I I // (I I ,,') 111

27. Problemas ( m cp(y') •• v'.
Resolver as seguintes equações diferenciais: """1(10 y' = p a equação escreve-se
1.101 y,2 - (2x+ y) y' + x2 + xy = O (78)
( derivando em ordem a x obtém-se
p
1'=cp(p)+XCP'(p)d + ll/(p)dp (79)
dx dx
dx
1.104 y,2 _ yy' + e' = O I I .lllwlldo em ordem a - tem-se
dp
lIx
(80)
IIp
1.106 y = y,2 + 2lny'
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem em x com p como
v riável independente. Integrando esta equação e eliminando p obtém-se o
Soluções Integral geral.
x2
1.101 y=-+c, y=Cex-x-1
2 1'1 uhlcrna 1.107
x
102 lnCy =x±2e2, y = O I I ,1v 'r li equação diferencial y =x (I + y') + y'2.
Resolução
tornando y' = p a equação escreve-se
2 2 2
.105 ( y-ax-C ) =Cl sen x
2 ( d rivando em ordem a x tem-se
x=2p--+C
1.106 p
dp dp
11.I+p+x-+2p-
1Y = p2 + 21n p
dx dx
qu quival nte à equação diferencial linear de primeira ordem
1.6.1 Equação de Lagrange
dI'
.r-- p
rlli
A equação de Lagrange é do tipo
 1I11( tjl,l , [.'1
(11)
'/, I' I )
I II

28. I .2 Equação de Clairaut
Então a solução da equação diferencial é dada por
I'qllação de Clairaut é um caso particular da equação de Lagrange
y = xy' + lJ.!(y') (81)
ou
Jy=[Ce-P+2(1-P)](1+p)+p2 e resolve-se fazendo a substituição
lx=ce-P+2(J-p)
y'=p (82)
111'llv,mdo em ordem a x tem-se
Problemas
Resolver as seguintes equações de Lagrange: p =
dp
p+x-+1jJ ,()
p- dp (83)
dx dx
1.108 y=2"x 1 (,y +74) o que é equivalente a
1.109 y= ( l+y ') x+ y ,2 dp = O se x + lJ.!' (p ) ",.O (84)
dx
,2 J
1.110 y = xy - =; e integrando tem-se
y
, 1
1.111 y = 2xy - (i p=C (85)
Y
() 1111' ral geral é então
Soluções
(86)
x2
1 108 y=C+-, y=±2x
. C
d x + 1// (p) = O obtém-se a solução singular.
x=ce-P -2p+2
1.109 ? 2
{ y=C(J+p)e-1 -p +2
I'whlcma I.U2
1.110
x =
Cp2 +2p-l
2p2(p-l)
2
I I ulv 'I' H quação diferencial y = xy' - b.
1+y,2
Cp2+2p-l1
y= 2 --
2(p-l) P
lu
x= Cp" 2
+ 2 P-3 I( m.md y' - p qu
1.111 I 2
{ y-2 17- +317-
' 'li J 1i I
I, 1I

29. 1,114 y=xy'+y'2
e derivando em ordem a x obtém-se
dp r.-2 2 P dp I. H 5 v = xy' + ~
-'j1+p 1-p . y'
dp dx ~l+p2 dx
0= x- - --------'-~--
dx 1+ p2 1.I1(, .v = xy' +~ ?
y'-
o que conduz a 1.117 y = xy' +a~1 + y'2
dp = O se x- 1 3/2 '" O
dx (I + p2) Soluções
Por integração obtém-se
3 ?
1.113 y=Cx+- y- = 6x
2C'
1.114 y=Cx+x2,
e portanto a solução geral é
I 2
115 y=Cx+- Y =4x
C'
Para se obter a solução singular elimina-se p das duas seguintes equações
1.116 Y = Cx +~
C2 '
4 i = 27 ax2
p J 1.117 y=Cx+a~1+C2, x2+/ =c?
y=xp- ~l+/ e x= (J+p2t'2
A segunda equação pode escrever-se
e substituindo na primeira tem-se
p p
y =( 2 )3/2 2 )1/2 . 2 )3/2
1+ p ( 1+ p ( J+ p
Finalmente, das duas últimas equações resulta
Problemas
Res Iver as seguintes cquaçõ s dif r nciais:
l
I.IIJ I' 11" I

30. Capítulo 2
quações diferenciais de ordem superior à primeira
NI'~t capítulo são estudadas as equações diferenciais de ordem n geralmente repre-
sentadas por
F( x,y,y ,,,
,y , ...,y (n))_o
- (1)
.1 Redução da ordem das equações diferenciais
1111 di jun casos é possível reduzir a ordem de uma equação diferencial do tipo (1) ob-
l ndo equações diferenciais de ordem inferior que sejam mais fáceis de resolver.
" I) de i os casos mais simples em que esta redução de ordem se aplica.
, I d',O:
d tipo (2), isto é, não aparecem y, y', ..., y(k-I) explicitamente
1,'( . Y
(1.) ,.I' (I.,.i) , ... , I(/1))-0 (2)
I, 1111 111110

31. (3) ", uhlcma 2.1
I I ulvcr a equação diferencial x2y'" + xy" = 1.
a ordem da equação é reduzida em k unidades obtendo-se
(4) Resolução
F(- X,Z,z, ' ... ,Z
(n-k))_o-
Considerando
que integrando conduz à solução z = y"
(5)
tem-se a equação
Integrando em seguida a equação (3) k vezes obtém-se .2 ,
. Z + xz = 1
(6)
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Começando por
I so Iver a equação homogénea associada
2.0 caso:
2
.v -+xz
dz = O
dx
A equação é do tipo
(7) ou
F( y,y ,,,
,y , ... ,y (/1))-0
-
d; dx
isto é, não contém a variável independente x. Neste caso faz-se a substituição " x
(8) qu integrando conduz a
z(y)=/
e tem-se
(9) P lo método da variação da constante tem-se z _ C (x) e na equação inicial
obt rn- e - -x-
, dy
y =-=z
dx
" d: d: dy d; (x)x-C(X)) C(x)
y =_=--=z- ,I' ( ,
2 +x--=]
dx dy dx dy x x
() qu C nduz a
y"'=~(ZdZ=~(ZdZdY = ((dZ2+zd2z1z
dx dy) dy dy) dx dy) di
('(.I')-Inlxl
I' 1)()II,11 ) ,,~ Ilç, 1, uaç
1,1 suh lillliç, O condu/ a urn r duc d um unideo n or m d eu c o d d
,
()I)I '111',1' 1111Itll'ql.l<", (l <II('101(1.l111,1 Vtlt!, vol ln 1('1' 'nu '111( )1. I

32. Para obter a solução y(x) basta integrar duas vezes. Após a primeira integra-
ção tem-se
que é equivalente a
e integrando novamente tem-se
1','Hhlcmas
I I',olver as seguintes equações diferenciais:
que é a solução geral da equação dada.
, /' + y' = 1 + x2
,I .1''' = y' + x2
Problema 2.2
Resolver a equação diferencial yy" - y'(1 + y') = o.
,
,
,~, .1' "=y 'In-
Y
Resolução x
.. d dy por z. tem-se ,71"(I+(y')2)=ay"
Substituin o -
dx
d: ,M I'.''' + (yf - (y')3 In y =O
yz-- z (l+z ) = O
dy
e esta equação integra-se por separação de variáveis
,')y"=(yf-y, y(l)=-~ e y'(I)=~
4 2
dz = dy ,lI) .li" + y' = xex
l+z y
I cxulver o seguinte problema:
e a solução é
.11 Uma partícula move-se ao longo de uma linha recta de tal modo que o pro-
dl1to (h aceleração pela velocidade é constante e igual a 2 cm2 s-3. Determinar a
posi ·rro e a velocidade da partícula no instante t = 9 s sabendo que partiu do re-
. . dy P0l1S0 no instante t = O s e que se encontra nesse instante afastada 5 em da origem
S u b strtui-se agora z por -
dx dlls .spaç s.
luç
que integrando conduz a
') .1'-.' .:) , ',lnll'l·'
1
', t ('
1',1 II-VI'IUI!)
1'111111<11'11101 'lIhll'lll ',i li '1011, ,lO

33. 1 Soluções da equação homogénea e não homogénea
X C,.ul I eC,X+1 +C 111 I ma
2 . 6 y=-e -2 2
CI CI , ,I', lunções YI, Y2, ... , )'/11 são m. soluções particulares da equação (13) então qual-
quer combinação linear dessas soluções é também solução da equação homo-
2.7 x+C2 =alnsen(~+c[)
génea.
2.8X=cll+ylny+C2
x2 1 li, 1,1 nstração
2.9Y=4-"2
li, ',111'1 -se por z(x) a combinação linear das 1'1"1. soluções
I . 3 C -~ C
2.10 y=-xe --e - [e + 2 ;: = Cy + C2Y2 + + C"'Y/ll
2 4
z' = Clyí + C2)'2 + + C,,,y;,,
1
2.11 s=4Icm, v=6cms-
7(") - C (Il) C (11) C (,,)
,. - 1)'1 + 2Y2 + ...+ /IIY/II (14)
ulr.utuindo no primeiro membro de (13) obtém-se
2.2 Equações diferenciais lineares de ordem n
As equações diferenciais lineares de ordem 11 são do tipo
ao (cyi n
) + C2Y~") + ...+ C",y}~'))+ ai (clyf"-I) + C2y~'-I) + ...+ C",y}:,,-I)) +
+ ...+ a" (CIYI + C2Y2 + ...+ CII/Y/II)
ao (x)y(n) + ai (X)y("-I) + ...+a,,_1 (x)y' +a" (x)y = f(x) (12)
(15)
que é equivalente a
comao(x)",O
Estaequação é linear em y e nassuas derivadas. Os coeficientes ao (x), ai (x), ... , an (x)
ef(x) são funções contínuas num dado domínio.
No caso de f (x) '" O a equação diz-se homogénea e escreve-se
(16)
(13)
ao ( x ) y (n) + a[ ()x y (,,-I) + ...+ a,,_1 (-)' Y + a" (-) y- - O
x x
como YI , Y2, ... , Ym são soluções de (13) pode ver-se que esta soma se anula
portanto a equação é verificada pela solução z(x) que é a combinação linear
d YI, Y2, ... , )'/11. •
Teorema
Considerando a equação (12) nas condições descritas, se Xo é um ponto do domínio de
ao (x), ai (x), ... , a" (x)ef(x)edadosvaloresreaisko, k[, ... , kn_l,existeuma
I,!ll rnr
11 ''',11" oluç s d ção homogénea (13) é um espaço de dimensão 1"1.,
única solução y(x)de (12)tal que y(xo) = ko,y' (xo) = kl, .)"-1) (xo) = k"_I·
rd m 17 h /I soluções line rm nte independentes
'1' 11, ... ,.v" lI!llqUI lu p rti ul rd u ç (13)p d r xpr
«)III) (Unl)I"" d( 11I(ltll ri ".' ••, /I '. íuc ',1111 111 111( 11 I ( 11I nl
1 I{ ,1111, ,
(1111,IIIJI'IIII dl' (I I) d,ulll 11(11

34. (17) (22)
Um processo de determinar a independência linear de n funções fi, h, ...J;., é através
, que é equivalente a
do cálculo do seguinte determinante designado por Wronskiano
(lo (x)(y - y)H + ai (x)(y - y)(II- I) + ...+ ali (x)(y - y) = O (23)
fi ./2 J;,
donde se conclui que y - Y é solução da equação homogénea associada (13) e
fi ./2 j,.;
portanto se pode escrever como
w (.ti , h, ... ./;,)
, =
Ali-I) Ali-I) J;(II-I)
11 (18) (24)
IllIoIlIn nte obtém-se a expressão da solução geral y
Teorema
O Wronskiano de n soluções da equação diferencial linear homogénea (13) é ou nulo y = clYI + c2Y2 + ...+ c"y" + Y (25)
em todos os pontos ou nunca se anula em nenhum ponto. Quaisquer soluções •
de (13) são linearmente independentes se e só se o Wronskiano é diferente de
zero em todos os pontos do domínio.
Equações diferenciais lineares homogéneas de coeficientes
Considere-se agora a equação não homogénea (12)
constantes
I I" 1',1<1 re-se a equação diferencial de ordem /1
Teorema
Se Y (x) é uma solução particular da equação (12) e YI , Y2, ... , Yn são ri soluções line-
(11). (n-i) ,
armente independentes da equação homogénea associada (13) então a solução 00Y -t- a,y + ...+ al1_IY + any = O (26)
geral da equação não homogénea é
onde ao, ai, ... , an são constantes reais e ao "O. Estudando primeiramente o
(19) C so de equações de segunda ordem, procuram-se soluções da forma
y=e ''', (27)
Demonstração
Seja y(x) a solução geral da equação (12) e Y(x) uma sua solução particular. Então 1111"'1'
(20) (28)
ao (x)y(n) + ai (x)i'-I) + ... +an_1 (x)y' +an (x)y = f(x)
( bl rn- a equação característica
e
(21) (29)
""(' I ld( 11'1 111 l 1,,1/(",
ulJII "I" lo rI~ <11. " lU" ~ )1 m
J) 'I, " ",11' I dl',IIIII.I',

35. 1'111, obter a solução da equação (26) de ordem l1j;)asta determinar a equação carac-
o que conduz às soluções er,x e e'iX linearmente independentes e portanto a
terística - -
solução geral é uma combinação linear destas duas funções
(30) (38)
e calcular as suas n raízes. A partir destes valores obtêm-se as soluções como
ii) ri raiz real dupla
no caso 11= 2.
então pode verificar-se que er,x e xer,x são soluções e portanto, como são line-
Ilo caso de uma raiz r ter multiplicidade m as soluções linearmente independentes a
armente independentes, a solução geral é dada por
considerar são
(31 )
rx ~ rx 2 I:r
e,xe,xe, (39)
iii) ri , r2 são complexas conjugadas isto é
I'rnhlcma 2.12
ri =a+if3
(32) I h'l .rrninar a solução geral da equação diferencial ym + 4 y" + 4 y' = O.
r2 = a - if3
. _. (a+i{3)x (a-i{3)x
então as soluções são comblnaçoes lineares de e ee
Resolução
Usando as igualdades
O polinómio característico é dado por
(33)
e(a+i{3)x = eax (cos f3x + isenf3x)
e e as raízes da equação característica calculam-se a partir de
(34)
e(a-i{3)X = eCLt (cos f3x - isenf3x)
podem fazer-se as seguintes combinações lineares que são também soluções
las são
(a+i{3)x (a-i{3)x (35)
e +e = eax cos f3x
2 r ~ Oe r = -2 dupla
e ntão são soluções eOx, e-2x e xe-2x A solução geral escreve-se
(a+i{3)x (a-i{3)x (36)
e - e = eaxsenf3x
2i
Usando agora eCLt cos f3x e e= senf3x como soluções linearmente independentes ob-
tém-se a solução geral
1'llIlIh'lIIlI .I.
(37) Il! II 1IIlilHII' li s()hl '! ) dn cqun 't () dif r n .iul "+ 4 '+6 - O com y (O) =O c
I (O)

36. Problemas
Resolução
I 'solver as seguintes equações diferenciais:
O polinómio característico é
.4 y" -4y=0
.5 y" + y =O
e as raízes da equação característica são
.I (, y" - 5y' + 6y =O
r=-2±.J2i
).7 y" - y' = O
sendo portanto a solução dada por
-?r t: -2, i: .Xy"+2y'+y=0
Y (x) = Cle - cON2x + C2e . sen,,2x
.1.1 y" + 4 y' + 13y = O
Usando agora as condições iniciais tem-se
11 y"+2.J3y'+3y=0
• v"'-13y"+12y'=0
e portanto a solução é da forma
I""-y' = O
. J ,,'"+ y=O
e como
_1, c; r; -2, t: ,,'" - 3y" + 3y' - y = O
y' ( x ) = -2C
2
e -~selN2x + ,,2C2e . cos ,,2x
" ,'" - y" + y' - y = O
tem-se
, 'f, ,(11') - 2y''' + y" =O
e portanto
'.IH 1,(11') -l- I" - 12y = O
"I ,(lI') I I() ," + 25y - O
Finalmente a solução é
I. IIVI'I' l~ S' iuint 'S prohl I1111S:
lU 111111 l'II'VII 1111' '1'111 ,li - /I (,I) la iquu 'fio difcrcn 'iul )/" - )/' + 29 - O in-
I I 1111 11111 ('111 VII illl 'PI'I" I' 1'( I do 'q li [1', o di!"1' '11 'ill; 11" • v' I. 1- () 1111
1'11 1111 ti 11 I 1III I I 111 Il 111' IIIIl ti ''li '111 111 i '('111 I kl '11:1i1l11l ;, ' I' M'

37. 2 .28 Y = C le J3x + C2e -J3x + C 3cOS x+ C4sen 2 x
2
2.31 Em cada caso deduzir a equação diferencial linear de 2: ordem que tem como
soluções particulares:
a) YI = eX; Y2 = e-x I 2r-n: sen 5x; v () = -5 e -(?r+n:) sen 3x
R 2 . 3 O u () = - e'
x x _.
2 6
2x 2x
b) YI = e ;Y2 =xe
o 2.31
x x
c) YI = e 2 cos x; Y2 = e 2 sen x
JJ a) y"- y =0
~ b) y"-4y'+4y=0
Soluções
" C)
" I 5
Y +y +-y= O
2 . 14 y = C le 2x + C 2e -2x 4
.2.3 Equações diferenciais lineares não homogéneas de coeficientes
constantes
"('Ia agora a equação
(40)
onde aI ,a2' ...,an são constantes reais e em que J(x) é uma função contínua
num dado domínio I. Como foi anteriormente demonstrado e usando (19), a
solução geral de (40) é dada por
y= y" +yP (41)
m que y" é a solução da equação homogénea associada e yp é uma solução
J p rticular da equação (40).
1111, o após resolver a equação homogénea associada, calculando a sua solução Yh
J
(42)
XC xC2x
2.24 Y = C te + 2xe + 3x e
,1P n n C ss rio d terminar uma solução particular yp e somar ambas.
111 ·,1'1111(1. m nt Ir nt d dois método distintos para o cálculo da solução.
')) Y- I 4

38. (51)
Método de Wronski
Este método é o método da variação das constantes. Considera-se que a solução geral
desde que
de (40) é dada por
(52)
I oram consideradas então n-I condições em C'. Derivando novamente obtém-se
sendo ul' u2, ....u., as soluções da equação homogénea e C1 (x), C2 (x),
A equação
... ,C" (x) funções a determinar.
(43) pode ser escrita como um ~odu~o~scalar
y (,,) = (C .u (")) + (C' .u (,,-I)) (53)
(44) e desta vez impõe-se
y = (c,u)
(C',U(,,-I)) = f(x) (54)
onde
(45) e portanto
(55)
o vector C vai ser escolhido tal que o produto escalar satisfaz a equação não homogé-
nea.
I ',(I vendo agora a equação diferencial com estas expressões para as derivadas y{k)
Calculando a primeira derivada de y tem-se
obtém-se
(46)
y' = (C,u')+ (C',u) [(C,u(Il))+ f(x)]+a, (C,u("-I))+ ...+([,,_1 (C,u')+(l" (C,u) =
e impõe-se que = CI (uf") + ([Iuf"-I) + + (/,,-ILlí +(["UI)+
(C',u)= O
(47) + C2 (u~,,) + alu~,-I) + + (l,,_IU; + a"u2 ) +
+ ...+ C" (u~,) +alu,V'-I) + ...+ a,,_lu;, +a"u,,)+ f(x) = f(x) (56)
Tem-se então
(48) uma vez que ul, u2' .,', u/! são soluções da equação homogénea .
y'=(C,u')
• /I condições impostas conduzem à resolução do seguinte sistema de n equações em
Igualmente para y" tem-se derivando a expressão (48)
í,Cí, ""C: 1
(49) í',' I +C;u2 +",+C:,un =0
y" = (C,u")+(C',u')
í"í + 2"'2 + ...+ C:,u;, = O
(57)
e impõe-se
, (11-1) _
11"11 -
j'( X_)
(50)
( ',1/') - O
IIIIP"' lo',',IVI'I <11'11'1111111<11" ••1
',0111( m um v / eu O d t rmin nt dos
101'11111'1111" 11WIIIII',~ 1,111111' 1l.1111Hllo
I I'
1'111"""111111111
dllllll' ,1110111111111 li', dl'IIVII<lII', "l'tlllIlIll"
1"1" 11'111
',I'

39. O eX xe x
O eX
(x+ 1) eX
Note-se ainda que este método, pelo que ficou mostrado, se aplica igualmente a equa-
ções diferenciais lineares de coeficientes não constantes. xex ex (x+2)e X
Cí (x) =
e2x
Problema 2.32 x 1 O xe x
Calcular a solução geral da equação diferencial ylll - 2 y" + y' = xe . X
O O (x+ l)e
O xex (x+ 2)e X
Cí (x) =
Resolução e2x
Seja a equação característica
I eX O
X
O e O
e das suas raízes O e 1, sendo esta dupla, obtém-se a solução da equação O e X
xex
C 3 (x) = '----.--!
homogénea e2x
obtendo-se
A solução geral pelo método da variação das constantes é
e portanto
C()f X = xe dx = xe' < - e x-+ CI
X
I
o sistema que determina Cí (x), C; (x) e C3 (x) é
li m-se ainda
Cí(X)+C2(x)ex +C3(x)xeX =0
2 (x) = -(l+x)x
O + C; (x) e + C3 (x) ( e + xex
X X
) =O
x x
O + C; (x) e' + C3 (x) (2ex + xe ) = xe donde se obtém
2 3
e tem Wronskiano
. (,)= f -(x+l)xdx=-~-~+C2 2 3
1ex xex (I fin 1m nt sendo
2x
w(x)= O eX (x+ 1)eX =e
'(.1")- .
O eX (x+2)e"
nl< I m·
I ,III'V!'I H 1(1 IIIJ(lI li ,I ,ol!/(,' (I til li '111',(

40. , 2.34 Y = CI + C2senx+ C3 cos x+ Injsec.c-s tgxl+ senx ln Icosxl-xcosx
que é equivalente a
2
3x 3x 3 2 3r X 3r
2.36 y=Cle +C2xe --x e' +-Inxe'
4 2
I I
2.37 Y = CI cos 3x+ C')sen3x+ -cos 3x ln Icos 3xl+ -xsen3x
sendo - 9 3
1 2 x I 3 x
y=--xe +-xe
2 6
a solução particular.
2.39 Y = Cle·r +C2xex _ex Inlx+ q+xex ln~
x+l
-.r C .r X -r X r
2 .40 y = C I + C? e . + 3e' + - e . + - e"
- . 2 2
Problemas
241 y=Cle-x +c2ex+(ex _e-x)ln(l+ex)_(I+xer)
Resolver as seguintes equações diferenciais:
/ 233 y" + y = tg x
Modo do anulador
I onsidere-se uma equação diferencial linear de coeficientes constantes (40) e seja o
~ 234 y'" + y' = sec x
operador diferencial
-x
2.35 y" + 2y' + y =~
x L = DI'I +a1DI'I-I + ...+a,,_1D +a" (58)
3x
236 y" - 6y' + 9y =e ln x
sendo o operador D dado por
2.37 y" + 9y = sec 3x
D=~ (59)
dx
j 23ã, y" - 2y' + 5y = 2xex
1111,10 equação diferencial (40) pode ser escrita como
x
239 y"_2y,+y=_e_
x2 +x L(y) = .f(x) (60)
2.40 y'" - y' = eX + e-x
,I I" d ar o operador diferencial A, de coeficientes constantes, tal que
J QY"_y=_2_
'l ~ l+ex A [.l(x)] =O (61)
11l dil u A nul ar d f(x). Aplicando o operador A a ambos os
Soluções
111 'llil)1 lI) (' 11IdÇ( ir r n i I (O) bt m-
, I ( i' () ( )

41. função anulador
ou seja, obteve-se então uma equação diferencial linear homogénea de
coeficientes constantes cuja solução y* contém a solução y" da equação 1 O
homogénea associada a (60) e portanto considerando a parcela
x 02
(63)
kx" 0"+1
keax O-a
tal que satisfaz (60) está encontrada a solução particular desta equação. Basta
kx"eax (o-a)"+1
então encontrar uma solução yp de AL(Y) = O tal que
cos f3x 02 + f32
(64)
senf3x 02 + f32
e obtém-se uma solução particular de (60). A sua solução geral é então a soma keax cos f3x 02 -2aO+a2 +rP
da solução y" da equação homogénea associada com a solução particular yp' 2 ? 2
keaxsenf3x O -2aO+a- +f3
Existem anuladores de algumas funções que são simples de calcular Por exemplo o
(
anulador de k.x é 0
2 kx" eax cos f3x O 2 -2aO+a-+f3 ? 2 )"+1
( O 2 -2aO+a-+f3 ? 2)"+1
(65) kx" e" senf3x
Tabela 2.1
Generalizando (sem efectuar agora a demonstração que deverá ser feita pelo método
de indução) deduz-se que o anulador de kx" é 0"+ I.
(66) I'mhlcma 2.42
I "ulver a equação diferencial y" + 2y' + y = eX + e-x.
ax
No caso de funções exponenciais tem-se que o anulador de ke é O- a
(67) Resolução
Começando por resolver a equação homogénea associada
Se considerarmos xeax o anulador é (O - a)2 como se pode verificar e no caso de
/,+2y'+y=0
X
,(O
n eax o anu Ia d or e - a )"+1 .
2 2
No caso das funções senf3x ecos f3x o anulador é D + 13
t1 solução é obtida a partir da equação característica
(68)
r + 21'+ I =O
2 2 2
e no caso de eaxsenf3x e eax cos f3x o anulador é 0 - 2aO + a + 13
m r iz -1 dupla. Então a solução é
Resumem-se na tabela seguinte (Tabela 2.1) os anula dores de algumas funçõ s
I )1'11'111111101 ,I' ,1'III1Ic1oillll'IIII' I) oilllll,,,lc)) cio ',I''1I1IHlo 1111'11111111' I I' I"(

42. 1 1
a=- b=-
A=(D-l)(D+l) 4' 2
após o que se escreve a equação inicial como L(Y) = .t(x), isto é, e portanto
j x 1 2-x
y=-e+-xe
p 4 2
e aplica-se a ambos os membros o operador A obtendo-se a nova equação sendo a solução geral dada por
diferencial homogénea
I'rublemas
que se pode escrever
I) 'terminar os anuladores das seguintes funções:
.43
Determina-se agora a solução desta equação homogénea e obtém-se
x -x -x 2 -x
y* = ae + be + cxe + dx e
b) y = 3ex
É necessário seguidamente determinar uma solução particular da equação
inicial que é obtida da expressão
ti) y = cos2x
e portanto procura-se a solução particular yp que satisfaz essa equação ,) y = xcos2x
I') Y = 6 + e2x
Substituindo na equação obtém-se
.) y=(sen3x+cos3x)eX
(Xx
ae +Zde" -4dxe- x = dx 2 e- x) +2 (x
ae +Zdxe" x -dx 2 e- x) +
x 2 -x x -x
+ae +dx e =e +e
I " ulv r as s uintes equações diferenciais:
ou, simplificando
4aex + 2d -x _ ,x + -x .11 v" - y' - ,
-,

43. 2.48 Y = CI + C2 COS 3x + C3senx + x - xsen3x
2.46 y" + y = xexsen2x
(4) -,
2.47 y - y = xe .
J
2.50 y=CI cosx+C2senx+xsenx--xcosx
2.48 ylll +9y' = 18sen3x+9 2
1
2 2.51 Y = CI COSX + C2senx+ 1 - -x cosx
2.49 v" - 2y" + 5y' = 3+ 30x 2
2.50 y" + y = senx + 2 cosx
Equações de Euler
2.51 y" + y = 1 + senx
1', equações de Euler são equações diferenciais de ordem n com coeficientes não cons-
tantes do tipo
Soluções
2.43
ali (a + f3x)" y(lI) + ali_I (a + f3x )(11-1) y(II-I) + "'+ ai (a + f3x) y' + C/oY = .r (x)
(69)
a) (D -I)
e resolvem-se por uma mudança de variável.
bl(D -I)
I 111 iderando a + f3x > O faz-se
(70)
e f é a nova variável independente. Converte-se assim a equação (69) numa
equação diferencial linear de ordem n de coeficientes constantes.
,ti rivadas de y são substituídas por
f) D (D-2)
y' = dy dt = dy f3e-1 (71)
dt dx dt
2 2y
Y ,,_ d y 13 -113e -I -- dy 13 -{ -=
-- e e dt 132e -21 (d
---2 dY) (72)
dl2 dt dx dt dt
.vIII - f3 (73)
_, ,x -x X x
2.45 Y = CI + C2 e ~ + C3 e + - e + - e
2 2 te.
7.11 Y- I '( S .r s nr (
•O
- I -)
•
e' 'OS r C(- 1~) X) e s n s
11111 d',l di (( I (li () el'vI' I'Ii 1(ldl ',e' d ~1I1l tit'li, (J. (I. - -e',
1 _ I '('
~ I v ('11" 1 ("1" 1 ('I 'O, 1(',1 eu ('
K K

44. 2y
e 21e -21 (d
--- dY) + 3 ee
I -[ dy
-+y=e 31
Problema 2.52 dt2 dt dt
2
Resolver a equação diferencial x y" - 3xy' + 4 y = O.
e reduz-se a
Resolução
Neste caso a = O, f3 = 1 e portanto a + f3x = x. Tem-se
, dY-I A solução desta equação é dada por
y =-e
dt
-I C -I 1 31
y= C le + 2re +-e
e também 16
(d Y _ dY)e-
2
21 ou na variável inicial
y" =
dt2 dt
1 In(l+x) 1 3
y=CI--+C? +-(I+x) x>-l
Efectuando a substituição x = el a equação toma a forma 1 +x - 1+x 16 '
2y
e 21[ e -21 (d
--- dY)] - 3 eI e -I -+ 4 y= O
dy
dr2 dt dt Problemas
I) 'terminar as soluções das seguintes equações diferenciais:
ou simplificando
.54 x2 y" + xy' + 4 y = O
SS 2"
.• xy- 4xy+ 6y=x
.
cuja solução é
.cn x 3... - 3x 2 y " + 6 xy'- 6 y = O
"''' y '
Y = C je 2t + C 2te 21
3 d3y 2 d2y dy 4
.57 x -3 +4x -? -5x--15y=x
Finalmente na variável x tem-se dx dx: dx
••o
li
x-a y , - xy • + 2 y = 1+ ln 2 x
.. 9 x2y" - 3xy' + 3y = lnx, Y(l) = 1 y'(I) = 2
Problema 2.53
,(,1) x·y'''+2x2y''+xy'-y=15cos(2lnx), Y(I)=2, y'(1)=-3, Y"(I)=-3
Determinar a solução da equação diferencial (1 + x)2 y" + 3(1 + x) y' + y = (1 + x?
.(11 ( + x)2 y" + ~ y = 2+x
4
Resolução
,(, (I 2·)2y"+2(1+2x)y'-ln(I+2x)
Tome-se
I·ox./
',1111'.1111111(111 ' ,,' 1'1'101" 11"'1'1 (1IVoI', 1)(111{l',', (",01 ('qllol ,10 (111101 01 [0111'01

45. 2.4.1 Soluções em série de potências em torno de um ponto não
Soluções singular
2.54 y=CI cos(21nx)+C2sen(21nx), x>O
Teorema
e os coeficientes da equação (74) são funções analíticas num intervalo contendo Xo e
se Xo é um ponto não singular de (74), isto é, se
? 3 O
2.56 y=CIX+C2,C +C3x , x >
4
I x (76)
2.57 y=CIX3+?[C2cos(lnx)+C3sen(lnx)]+-, x>O
x- 37
J 2 então esta equação admite duas soluções analíticas representadas por séries de I
2.58Y=X[Clcos(lnX)+C2sen(lnx) ] +1+lnx+2:1nx, x>O
potências com a forma
2.59 y=~(5x3+4+1nX3), x>O
y (x) = 2: c" (x - Xo )"
,,~o
(77)
2
2.60 Y=X+coS(lnX2)-2Sen(lnX ), x c- O
que convergem num dado intervalo Ix - Xo I < r a determinar. Este valor de r é
quando muito a distância de Xo ao ponto singular mais próximo. A solução geral
2.61 é dada pela combinação linear destas duas soluções.
4 ) coeficientes cn calculam-se considerando na equação diferencial dada as expressões
x > -2
y = C .J2+x cos[ln(2+x)]+ C2.J2 +xsen[ln(2 + x)] + 5(2+ x),
I
co
Y
,~ L.; nc" ( x - Xo ),,-1 (78)
3 =
2.62 Y = CI ln (I + 2x) + C2 + ;4 ln (I + 2x), x> - ~ ,,~I
oo
y n = L.; n ( n - 1) c; ( x - Xo
~ )n-1 - (79)
n~2
obtendo-se
2.4 Soluções de equações diferenciais em séries de potências
cc
o método das soluções em forma de séries de potências permite resolver equações
ao (x) 2: n(n-l)c n (x-xO)"-2 +al (x) ~ =; (x-xO)"-1 +
n~2 ,,~I
diferenciais de ordem n e de coeficientes não constantes.
(74)
a2 (x) 2: c" (x - xo)" = O
(80)
11~0
A JlMtir desta equação e por um método de coeficientes indeterminados para séries de
Dado que as equações mais usuais na prática são de segunda ordem, será seguidamen-
potências são calculados os valores de cn de forma recorrente. Os valores de <o
te considerado apenas o caso n = 2 em que a equação se pode escrever
ti - o tomados como constantes arbitrárias e por uma fórmula de recorrência
(7 ) bt m-s o v lor 5 d '2,'3,'" em termos de Co e cl· Isto é imediato se as
m do con id r r
i) m ",Illl (1)(11 )( 111 I cI

46. 00
ii) para todas as séries deve tomar-se o índice n a começar no maior dos valores (-2co + 2C2) + (6C3 - 2cI ) X + 2: [n (n -1) <, + (n2 - 5n + 6 - 2) c,,_2 ]x"-2 = O
11=4
iniciais presentes nas séries anteriormente consideradas.
Se a equação diferencial for de ordem n podem arbitrar-se Co,cl , ...,cl1-1 e obtêm-se os Igualando a zero todos os coeficientes obtém-se
seguintes valores ck recursivamente. A solução da equação diferencial em série
de potências está então determinada
Problema 2.63
Determinar a solução em série de potências em torno de Xo = O da equação n (n - 1) c" = -c,,_2 (n2 - Sn + 4), in e 4)
(1 + x2 ) y" - 2 y = O.
Esta última igualdade pode escrever-se como
Resolução
n(n -l)c" = -c,,_2 (n - J)(n - 4)
Considere-se a solução y na forma
ou
co
y = ~~ c"x " n-4
,,=0
cn = -clI_2--
n
então
e portanto tem-se (para n = 4,5,6,7,8, ...)
co
~
y" = ~ n ( n - I) C"X 11-2
11=2
e tem-se 11
<s= -Cj--
co 35
(1 + x2) 2: n (n -1) c"x"-2 - 2 2: c,,x" = O
1/=2 ,,=0
que pode escrever-se como 113 11
c7=cl---=Cj--
f
,,=2
n(n-l)c"x"-2 + f
11=2
n(n-l)cl/x" -2 f
11=0
c"x" =0
C8 = O
357 57
ou ainda tomando em todas as séries o mesmo expoente de x
1 15 11
'9 = -CI --- = -cl --
f n(n_l)c"xn-2 + f (n-2)(n-3)c _2X"-
l
2
-2co -2Clx
579 79
11=2 n=4
00
O
- 2 2: c
,,-4
n- 2x
11-2
= , J-I)k+1
(~k",1 ---
4k -I
rin ilm nt O L rmo m p d x d or m cr nt I( 1Yl1ll<1 ('o ('I m f) con t nto d int r cão éri d potências tem
ti ('XI)! (l)',.!
I()d'!', ti',', 'li,,,, «()III(I(,tlIHlo 111/1 I.

47. <o (I+X2)+CI x+ 2: --=';-x2k+1 1
cc ( )k+ 1
(
k=14k -I 11=4
Usando o critério de D' Alembert para o estudo da convergência tem-se
I x 12k+2+1
Tem-se então
2
. 4 (k + 1)2 -1
lirn
.
= 11m
4k - I
?
12
x =
I I
X
12
I
k ....•ca I X 12k+1 k ....•'" 4(k + It-1 c2 =-
2
4k2 -1
e portanto a série converge para Ixl < I.
e também
Problema 2.64
Determinar a solução em série de potências em torno de Xo =O da equação I[n(n-I)C" +(_n2 +6n-9)c"_2 ]x"-2 =0
(1_ x2 )y" +xy' - y = O com as condições y(O)= 1e y'(O) =-1
11=4
e portanto
_ (n_3)2
c" - CII-2 -'---:----'--
Resolução n(n -I)
Considerando a solução na forma
donde se obtém
I I
C4 =---
2 4x 3
e usando as condições dadas pode concluir-se que
Co = 1 1 I 32
c6=-----
24x36x5
I 1 32 52
c8=-------
por outro lado tem-se 2 4x3 6x5 8x7
00 00 00 00
2:n(n-l)c"xn-2- 2: n(n-l)c"x" + 2:nc"xn- 2: C/1X
I1
=O 1 1
CIO = ----------
32 52 72
,,=2 11=2 /1=1 1l=0
24x36x58x71Ox9
ou, tomando em todas as séries o mesmo expoente de x
'" '" '"
2: n(n-l)c"x"-2 - 2: (n-2)(n-3)c,,_2 ,,-2 X + 2: (n-2)c"_2 "-2 X
A soluçá o da equação é então
,,-2 11-4 ".3
2
I I
("" x" 2_0 .1'-1-.1'.1--.1' '" .1'4 . /' Ixk 1
I 1 61
1/-
I' p()III' 1",( 11'Vi'1 ,I' ( 1111111
I' qlll' I l'qlilvlill'llll' ,I

48. 1<x<3
Usando o critério de convergência
2.67 y=c)I+3I
l (x_2)2k
k~0(2k-3)(2k-l)
]+CI[(X-2)-(X-2)3]
,
(2(k+ 1))'1XI2k+2 '" 2k+1 ')k 2k(k+I)! 2k+1
+CI2: (2k+
00
2.68Y=C02:-k- (x+3)- I (x+3) ,
lim [2k+I(2k+l)(k+I)Y = lim (2k+2)(2k+l)(2k-lllxI 2 =I I
X
2
l
k~O 2 k. k~O I).
k~oo (2k)!IXI2k k~"'22(2k+l)2(k+I)(k+l)
[2k (2k-l)k!r
-')
Ixl< 5
conclui-se finalmente que a série converge se Ixl < I, e está determinada a
solução da equação diferencial.
Problemas
Determinar uma solução em série de potências em torno cio ponto Xo para cada
uma das seguintes equações diferenciais:
2.65 y' = x + y, Xo =° e y (O) =I ,4.2 Soluções em série de potências generalizada. Método de
2•66 y
I
=
2xy, xo = ° Frobenius
( ()ll~idere-se que Xo é um ponto singular da equação (75)
2.68 y"-(x+3)y'-3y=0, xo =-3 ao (x) y" + ai (x) y' + a2 (x) y = ° (75)
111,1 não é possível determinar uma solução em série de potências de x - xo. Sob cer-
2.69 (25-x2)/'+2Y=0, Xo =0
tas condições a solução toma no entanto a forma
2.70 (1-x2)i'-2XY'+2Y=0, Xo =0 co
y = Ix- xo r 2: c" (x - xo )" (81)
,,~o
2.71 (x+l)y'-(2x+3)y=0, Xo =0
nde r é uma constante real ou complexa.
d2y dy ( 111110 0o(x) uma função não nula a equação diferencial (75) pode ser escrita na
2.72 -+x~+y=O, xo =0
dx? dx r rm
(82)
lu

49. ~ (x) = ai (x) (83) e portanto substituindo na equação (75) e dividindo por ao (x ) x' tem-se
ao (x)
Se Xo é um ponto tal que pelo menos uma das funções
xo. diz-se que Xo é um ponto singular da equação
PI (x) e P2 (x)
(75)
é não analítica em
Se as funções definidas
I(n+r)(n+r-I)c
11=0
n (X-XO)"-2 + ai (x)
ao (x)
I(n+r)c
11=0
n (X-XO)"-I +
pelos produtos
+
a2(X)~ ~
a (x) CII
( x-xo )" =0 (89)
(84) o 11=0
I~ screvendo a equação em soma de três séries de potências e igualando a zero os
são ambas analíticas em xo. então Xo diz-se um ponto singular regular da equação
(75). Se pelo menos um dos produtos em (84) é uma função não analítica em xo· coeficientes associados a cada potência de x encontram-se os valores de cI/' O
número r é determinado a partir da equação indicial
diz-se que xo é um ponto singular irregular da equação (75).
r (r - I) + ar + f3 =O (90)
Teorema
em que
Seja Xo um ponto singular regular da equação (75). Então esta equação tem pelo menos
uma solução não trivial da forma
(91)
00
y=lx-xol' 2: c" (x-xo)" (81)
que se obtém de igualar a zero o coeficiente do termo de menor grau em x - xc)'
,,=0
onde r é uma constante real ou complexa a determinar e a solução é válida para algum
As raízes r1 e r2 desta equação são tais que Re(rl) "" Re(r2) e conduzem a duas solu-
'i - ''2
intervalo O< Ix - xo I < R (R> O)
ções distintas linearmente independentes se a diferença for diferente de
um número inteiro positivo e de zero. No caso de a diferença ser zero apenas se
pode construir uma série e no caso de a diferença considerada ser um número
inteiro positivo não é em geral possível construir mais que uma série.
Método de Frobenius
Pretende-se procurar soluções de (75) em algum intervalo da forma O < Ix - Xo 1< R.
Considere-se que a solução da equação (75) é da forma
Problema 2.73
00
y = (x - xo r 2: CII (x - Xo )" (85) Determinar a solução em série
11 .ssel 2
x y" + xi + (x2 - p2)y
de
= O onde
potências em torno de
p é uma constante.
xo = O da equação de
11=0
com Co ;é O. Escrevendo na forma
00
v= ~ "( x-xo r
n=O
c"
(86) Resolução
Neste caso tem-se
e derivando termo a termo obtém-se I
~(x)-- e
x
Y, - ~ ( 11 + r ) ( )"+1-1 (87)
~ '11 - - x()
"••
O
I'· (1/ I I )( 1/ I I - I h,(I 111
",, I (1lH) (f lli 1 l/i I' 111111'/',(1) -/,
• .J I1 11
1/ 1I

50. e portanto a equação indicial (p2 _ p2)cO =0
r (r-I) + ar + (3 = O [(1+ p)2 _ p2]c1 =0
[(2+ p)2 - p2 ]C2 +co = O
toma a forma
[(3+p)2_/]C3+CI =0
[( 4 + p)2 _ p2 ] c4 + c2 =O
Então
A primeira solução particular da equação de Bessel tem a forma de série de
potências generalizada dada por donde resulta que Co é qualquer e cl = O. Da terceira equação obtém-se
00
y=x" 2: c"x"
,,~O
Substituindo y, y' e y" na equação obtém-se Da quarta e sexta equações e assim sucessivamente conclui-se que
00 00
X
2"~ c" ()( p
n.+ n+P- I x
) ,,+,,-2 + x "( c"
~ n+p x
) ,,+p-I +
,,~ k~
00
Da quinta equação obtém-se o valor de C4
+ (x2 - p2) 2: c"x,,+p = O
,,~O
Dividindo por x'' tem-se
Os coeficientes de índice par vão então ter a forma
2
~ c" (n+ p)(n + p -I )x" + ~ c" (n + p )x" + ~ cnx"+ - p2 ~ x" = O
Il~O Il~O Il~O n~O c _ (-1)" Co
2" - 2 2" ( p+l ) ( p+2 ) ... ( p+n ) n!
o que é equivalente a
~Cn[(n+p)2_p2]XIl+ ~cllxn+2=0 No caso de r =- p a segunda solução particular da equação de Bessel é dada
k~O n~O por
00
Esta igualdade é verificada se e só se todos os coeficientes de todas as potên- y-x-P 2: d"x"
cias de x forem z ro portanto t m-s ,,-o
(/'1/11 (), 1/ n,l, ....

51. d211= 2
(-1)" dO,2n x , n = 0,1,2, .-- l'luhlcmas
2"(-p+l)(-p+2) ... (-p+n)n! II indo o método de Frobenius determinar uma solução em série de potências
I 11 torno do ponto singular xo para cada uma das seguintes equações diferenciais:
A solução da equação é então
.74 2x2 y" + xy' + (x2 -I) y = O
y=X'
7~
11=0
~
2 211
(p+I)(p+2)
(-Irc,
... (p+n)n!
x
211
+ .75 x2y" -xy' +( x2
+%)y = O
(-1)" c2 x21l .7() 3xy" -(x- 2)/ -2y = O
2211(-p+l)(-p+2) ... (-p+n)n!
.77 x2 y" + xy' + (x2 - ±)y = O (EqUaçãO de Bessel de ordem ~)
Pode introduzir-se uma notação diferente que permite simplificar estas expres- .7M xy" _(x2 +2)y' +xy= O
sões. Considera-se então a função Gama
.71) 9x(I-x)y"-12y'+4y=O
rv= ( ) f Oex 00 - r 1'-'
dx
e as suas seguintes propriedades Soluções
i) r( + 1) = VI ( v)
v
ii)r(l)=I
iii) r (v + n + I) = (v + 1)(v + 2) ...(v + n)r( v + I), se n for inteiro positivo
( l+x+-. 102) ...+c2x~~( 1+-+-+ 362)
3x 7x 5x o
iv) r (n + 1) = n!, se n for inteiro positivo 2.76 y=c, -+ ...
12
Aplicando estas propriedades os coeficientes podem escrever-se na forma
(-I)" (-Ir
c
211
- ----=------~"--------
- 221l(p+l)(p+2) ...(p+n)n!2pr(p+l) 2.78 y=c, (I + ~ ~~n )+c2X3(1+
11=,2 n!
~ __ x_21_' __
11=15·7·9· ... (2n+3)
)
Para cada raiz p da equação indicial a correspondente solução particular da
equação de Bessel é usualmente representada por Jp e designa-se por função
.I
de Bessel de primeira espécie de ordem p
00
(-I)" I, 'I, 7 I ,,,') '(', 71 ( I, H, H,11,
./ 1' (x) - XII 2: 1/1 1' ,,!t' (11 , /I , I)
X 11 ,
,(, ') I()
,
I() , I
11 11

52. pítulo 3
istemas de equações diferenciais lineares
li formulação do problema do comportamento de um sistema físico com n graus de
liberdade conduz a um sistema de n equações diferenciais simultâneas em que
a variável independente é normalmente o tempo.
Np~le terceiro capítulo vão ser apenas considerados sistemas lineares na variável de-
pendente constituídos por n equações diferenciais envolvendo n incógnitas
xí = aI 1 (t) XI + a]2 (t )X2 + + ai" (t) x" +ti (t)
Xl = a21 (t)XI +a22 (t)X2 + +a2/1 (t)x" +12 (I)
(1)
r ma (Existência e unicidade da solução)
',I' fiei ntes aij (I) e as funções!; (t) forem contínuos num intervalo I, to E I e
k, ,k , ... , k" for mil constantes arbitrárias, então em I existe uma só solução
.1"1(I), 2 (I), ... , ,,(I) t I qu XI (lO) = kl ,x2 (10) = k2, ... .x; (to) = k"
1',Ir uma ~ll i 1 r 1,1 (o IW LJ cõ dif r nci i lin r s d ord m n os
',I',fPlllol', <li( 'I '1 i,lI', 1I1H',lI(I', doi m 11101 lei I. r, l v rifi - qu u

53. (9)
equação diferencial linear de ordem n pode sempre transformar-se num sistema
linear de n equações diferenciais.
Uma solução geral desta equação de segunda ordem é
Seja então a equação
(10)
),,) + ai (t) y(n-I) + a2 (t) y(I!-2) + ...+ aI! (t) Y = f (t) (2)
e portanto substituindo em (6) tem-se
Escrevendo YI = Y e introduzindo novas funções incógnitas para cada uma das deriva-
das seguintes
(11)
(3)
YI =Y, Y2 =yj, Y3 =Y2' ... , y" =Y;,-I
(12)
obtém-se o sistema
Ilá no entanto casos em que não é possível reduzir um sistema de n equações a uma só
yj =Y2 de ordem 17, por exemplo o sistema
Y2 = Y3
(13)
Y;,-I =y"
(4) ste método conhecido como método de substituição pode ser usado como processo
Y;, = -ai (t )y" - a2 (t)Y"_1 - ... - a" (t) YI + f(l)
de resolução de sistemas de equações diferenciais, não sendo no entanto o que
será aqui aplicado.
Inversamente é quase sempre possível de um sistema diferencial linear de n equações
guidamente serão considerados apenas sistemas de equações diferenciais lineares de
obter uma equação diferencial de ordem 17.
coeficientes constantes e será exposto um outro método de resolução.
Seja o seguinte sistema
x~ = 3xI + 8x2 (5)
{ x2 = -xI - 3x2
3.1 Sistemas de equações diferenciais lineares homogéneos de
Da segunda equação do sistema obtém-se
coeficientes constantes. Método de Euler
(6)
ja o sistema de equações diferenciais homogéneo de coeficientes constantes escrito
em forma matricial
e por derivação tem-se
(7) x'=Ax (14)
xi = -3X 2 -x2
onde A é uma matriz constante (de dimensão n x n) e
Substituindo (6) e (7) em (5) obtém-se
(8)

54. I rocurando agora outra solução na forma
x=
(22)
.XII
(15)
e derivando e substituindo em (14) obtém-se
Considerem-se soluções da forma
í.}CI( ut + v ) + lle AI
e = AAI(
e ut + v ) (23)
.>
(16)
onsiderando agora que
sendo v um vector constante e í. um escalar.
Substituindo (16) em (14) tem-se Au = í.ll (24)
(17) uma vez que í. é valor próprio de A, simplificando em (23) obtém-se
o que é equivalente a (A-í.I)v=u (25)
(A - í.I)v = O (18) As duas soluções obtidas, que são linearmente independentes, são então
Então (16) será uma solução do sistema (14) se í. é um valor próprio da matriz A e v é x (1) = e AI u e x (2) = e AI ( ut + v ) (26)
o vector próprio correspondente.
Considerando inicialmente apenas as soluções de sistemas de segunda ordem, são en- A solução geral é combinação linear destas duas soluções
tão dois os casos a estudar
i) Os valores próprios í.1 e À:2 são reais ou complexos e distintos e vI e v2 são os (27)
correspondentes vectores próprios.
São soluções do sistema No caso de o sistema ser de ordem três e o valor próprio í. ter multiplicidade três são os
seguintes os dois casos distintos
(19) <I) há um só vector próprio LI
t ntão a segunda solução é da forma
e são linearmente independentes. Então a solução geral é da forma
(28)
(20)
com v tal que
ii) O valor próprio í. real tem multiplicidade dois e u é o único vector próprio
correpondente (no caso de haver dois vectores próprios reduz-se ao caso (A - í.1) v = II (25)
anterior)
uma solução é i l m rrnit e leul r o v ctor v qu se d signa por veetor generalizado.
luç(o l(l(l, I 01
(11 )
/'/ (1/ ',' I ,t' I 11')

55. com w tal que (;; H ~ ~3)(;; 1
(A -AI)w = v (30) Seguidamente calculam-se os valores próprios de A.
As três soluções são linearmente independentes e a solução geral é
(31) o que é equivalente a
b) há dois vectores próprios linearmente independentes ul e u2·
Duas soluções são
e os valores próprios são AI = 3e~ = 4.
(32)
ul
O vector próprio associado ao valor próprio AI = 3é
( u2
A terceira solução é
(33)
tomando-se para vector li
ou seja
6UI - 3u2 = 3uI
(34) ç;, ul = u2
{ 2uI +u2 = 3u2
e sendo v um vector tal que O vector próprio poderá ser então o vector ( : )-
(A - AI) v = u Calculando agora o vector próprio para o valor próprio ~ = 4 tem-se
o v lares kl e k2 são tais que se obtém uma solução não trivial v. As três soluções são
linearmente independentes e a solução geral é
o que é equivalente a
(35)
6UI - 3u2 = 4uI
ç;, 2ul - 3u2 = O
{
2uI +u2 = 4u2
Problema 3.1 Pode então tomar-se para vector próprio o vector ( ~ ).
. _ {XI = 6xI - 3x2 A solução é então
I 'I rminar a solução do isterna de equaçoes, .
x2 = 2xI +x2
R íuç
I (I('v('IHlo () '.1' 1('111.1 "" 10"11" .,'.. X t '111

56. São soluções
x{I) = e(2+3i)1 ( 2 ) e x(2) = e(2-3i)1 ( 2 )
-1+ 3i -I - 3i
Problema 3.2
A solução é dada por
.
Determinar
_. _ {XI 3x
a soluçao do sistema de equaçoes I
= I + 2x2
• •
x2 = -5xl +x2 2 ) + C2e(2-3i)1 ( 2 )
-1+ 3i -I - 3i
É necessário agora obter a solução real e não complexa. Tem-se
Resolução
Calculam-se os valores próprios da matriz dos coeficientes através da equação
X(l) = e(2+3i)1 ( 2 )=e21(cos3t+isen3t)( 2 )=
-I + 3i -I + 3i
det ( A _ ,u) = 3 - À. 2 - O
-5 1- À.
2 COS 31 2sen3t )
que é equivalente a - cos 3t - 3sen3t 3cos 3t - sen3t
e no caso de
X(2) = e(2-3i)1 ( 2 )
e portanto os valores próprios são À.I = 2 + 3i e ~ = 2 - 3i.
-1- 3i
Para o valor próprio À, • 2 + }; o vector próprio ( obtém-se o conjugado do anteriormente obtido
(~5 ~)(:; ].(2+3;)( :; ] e2t ( 2 cos 3t
- cos 3t - 3sen 3t
). -Ie 21 ( 2sen31
3 cos 3t - sen31
)
e tem-se
Considerando agora as seguintes soluções reais .é') e x(2) combinações line-
ares de x(l) e x(2)
3UI +2u2 =(2+3i)ul
{ -5ul + u2 = (2 + 3i)U2 x(t)=x(I)~x(2) =e21( 2cos2t )
- cos 3t - 3sen 3t
que é equivalente a
e também
(1-3i)ul +2u2 =0 X(2) = x(t) - x(2) = e2t ( 2sen3t )
2i 3 cos 3t - sen3t
podendo então tomar-se para vector próprio o vector ( 2 ).
-1 + 3i pode verificar-se que x(l) e x(2) constituem soluções linearmente independen-
o vector próprio associado ao valor próprio conjugado é o conjugado deste tes e portanto a solução pode ser dada por
vector próprio, é
2 OS 31 ) + Be21 ( 2sen3t
- ·O~. 1 - s n. 1 os 1- s n t )
( li

57. XI = 2e2t (A cos 3t + Bsen3t)
x2 = e2t (A (- cos 3t - 3sen 3t ) + B (3 cos 3t - sen3t ))
ou
Problema 33
_. _ {Xí = 4xI - x2
o que é equivalente a
Determinar a soluçao do Sistema de equaçoes I 2'
x2 =xl + x2
Resolução
Uma solução é vI = I, v2 = O e então a solução do sistema é dada por
Calculando os valores próprios da matriz A
4-À. -I
det ( A-Àl ) = =0
I 2-À.
ou ainda
para o que se determinam as raízes da equação
e portanto À. = 3 com multiplicidade dois. O vector próprio é
(
LlI
Ll2
1 tal que
Problemas
I cterminar a solução geral dos seguintes sistemas de equações diferenciais:
dXI = xl - X?
J.4 dt -
o que é equivalente a
j dx?
--
dt
=X2-4xj
4UI - Ll2 = 3uI
~ LlI =u2
{ dx
ul +2u2 = 3u2 -= 3x-y+z
dt
e portanto pode tomar-se para vector próprio o vector ( ~ )-
.'. 5 -=-x+=>y-z
• dy -
dr
Uma solução do sistema é dz 3Z
-=x-y+
di
e outra solução linearmente independente é dada por
J'(lj~;; =x-5y
~-2
di
Ir
- ,'1',11
11
.7
tl»
1'111 qlll' () VI" 1111
(
1'1
I',
1(' Itll qlll' rll
I I' I
/

58. dX
Y; = Y2 -= 3x+8y
.l.H ,
{
Y2 = YI 3.20
j dt
dy
-=-x-3y
dt
com x(0)=6 e y(0)=-2
VI' = -2Y2
19 .
•. { Y2 = 2YI dx
-=8y
di
dy
3.21 -=-2z com x(0)=-4, y(O)=O e z(O)= I
dt
dz
~ = 2x+ 8y-2z
dI
Y; = -4YI - 6Y2
.l.1I
{ ,
Y2 = YI + Y2
'- 2
3.22 y~ - Y2 com YI (O) = -9 e Y2 (O) = I5
{ Y2 = 2YI
3.23 YI,' = 2YI + 4Y2 com YI O
( )
= -4 e Y2(0)=-4
{ Y2=YI+2Y2
VI' = 4 YI + Y?
.1.13 ., -
{ Y2 =-YI +2Y2
com YI (0)=3 e Y2(0)=4
x(o)=( ~~)
Soluções
3.6
'- 'I ·OH./ :; ',s'n./, .1'- l(-os3/+3scn3/)+ 2(scn3/-3cos3t)
1< -sotvcr 01' H' 'uilll's pl'Ohl'IlHlN ti, valor ini .iul:
'I t (' ,I 1,11. , ( , ,) 1I
lI ' I I ,I ,/ I'

59. 3.24 y, = _e-
51
+ 4e2t -51 3 21
Y2 =e + e
3.9 Y, = Acos2t+Bsen2t Y2 = Asen2t - Bcos2t
3.25 X=lO( cost-senf
4 cos t - 3sent
)e-31
326X-'-'[ ~~2lH'~1
[
Y2 = A e I sent - B ecOS t
1
3.2 Sistemas de equações diferenciais lineares não homogéneos de
coeficientes constantes
Considere-se o sistema diferencial linear não homogéneo de coeficientes constantes
X' = Ax+ !(t) (36)
Y3 = -C2e
1
+ 3C 3 e 71
tal que os coeficientes da matriz nx.n A(t) e as componentes do vector
-3cos2t-2sen2t )el +C ( 2cos2t-3sen2t )el
de funções! (t) são contínuos num intervalo r Analogamente à teoria das
3.16 x=C, ( cos 2 t
2
sen2t equações diferenciais lineares a solução geral é dada pela soma da solução da
equação homogénea com uma solução particular
1 ) 1 ( I - 2f ) -I
3.17 x=C, ( -1 e- +C2 2f e
(37)
_ (3cost-sent )+C (Cost+3sent) sendo x" a solução em I do sistema homogéneo
3.18 x-C, 2 5sent
5cost
. 21 C 2 x'=Ax (14)
3.19 x, =2Ce +2C2e- t+
?I
3e
21
t
e xp uma solução particular em I.
Seguidamente é apresentado um método para determinação de soluções particulares
de sistemas diferenciais não homogéneos.
I -I I-I
3.20 x=4e +2e , y=-e -e
Método da variação das constantes
21
3.21 x=-4e-21 -2scn4t, y=e-21 -cos4t, z=e- -2scn4t
(' ('
- ( .Y -~(' I ('
.•
11
,.11
(38)
I', -I " ',, li ',ohl<"illl'llll do ,1'.11'11111
IiOIIlIHI'III'II (111) !lO!!I' '11'1I"l( 111111" fOIlIl"
1

60. e IXII + ...+ e "xI.n I
xI",xI " el
]_x(t)C f: = 3x2 +30
H II
(39)
x, -[ e IX,,+"'+ e "x".n
I xl.: x"Il e"
x2 = -3xI - 3t
Resolução
Na forma matricial o sistema escreve-se
onde X (f) é a matriz de colunas xl , ...,x", chamada matriz fundamental, e C
um vector constante.
O método da variação das constantes consiste em considerar a solução geral da forma
Começa por resolver-se o sistema homogéneo associado. Então, calculando os
(40) valores próprios da matriz dos coeficientes
X=X(t)lI(t)
Substituindo (40) em (36) obtém-se
(41) obtém-se
X'lI+ Xu' = A Xu + f
e como X' = AX uma vez que as colunas de X são soluções do sistema
homogéneo, pode concluir-se que
que tem como raízes À = ±3i.
(42) Calculando agora os vectores próprios, seja À = 3i. Tem-se
Xu' = f
e portanto
o que conduz ao sistema
li' = X-I f (43)
3U2 = 3ü~1
X-I existe em I uma vez que X é a matriz fundamental de x' = Ax e as soluções { -3ul = 3lU2
xl, ...,x" são linearmente independentes.
Então por integração e omitindo todas as constantes de integração, uma vez que se e portanto pode considerar-se para vector próprio o vector ( : ) O outro
pretende apenas uma solução particular, obtém-se
vector próprio será o conjugado ( ~l ) e a solução do sistema homogéneo é
li ( t ) = f X- I (t)f ( t ) dt (44)
e portanto
xp = X(t) f X-I (I )f(t)dt (45) Par ncontrar agora solução na forma real calcula-se
1,111 ( " ) _ ( 'OS, "1 is 'li ,) ( I, ) _ ( S 31 ) +i( . 1131 )
I I -s'n.1 'os.,
I'r ollh-IIIII J. 7
IHlIltlllln li .olu ,111 dll ,1,1111101111111111111'11(111 1 dlic11i l"ll
'<I OIH'III I '1111111' I h'lllIl di' I',!11 I I1' dil ''11 i li '
(I

61. Problemas
1 )+
(
XI
X2
= CI ( COS 3t
-sen3t
C2 ( sen3t )
cos 3t
'
Determinar as soluções dos seguintes sistemas de equações diferenciais:
I' YI 3YI + Y? - 6 e -21
=-
Considerando agora a matriz fundamental 3.28 -
21
Y2 =YI-3Y2+2e-
x _( cos 3t sen3t) 6 ?I
-sen3t cos 3t 3.29 YI = Y2 + e-
e calculando a inversa obtém-se 1 ,
Y2 = YI -
3
e
21
3.30 {Y: = 2YI + 3Y2 - 2 e-I
sen3t cos 3t -sen 3t ) Y2 =-YI -2Y2 +1
X-I = del·t ( cos 3t
X
-sen3t cos3t sen3t cos3t
,
YI = -
5
YI - Y2 + e
-31
331
Seja então
1Y2 =2YI-3Y2-e
, -31
cos 3t 30 dt f ( 30 cos 31+ 3tsen3t }"
f X-I (t)j(t)dt = f( sen3t
-sen 3t )(
COS31 -3t )
=
30sen3t - 3t cos 3t
33:~n31-'WS31 1 ,
XI =XI -X2 +--?
e
-I
[ -3 cos 31 - tsen3t
.D3
j xl = 2xI -
I+r
2 -I
2X2 + _e -
1 +t2
A solução particular calcula-se através do produto
X =X(t)fX-I(t)j(t)dt=( cos3t sen3t)[
- sen3t - t cos 3t
3
31 1
1
I -sen3t cos 3t 31
-3cOS 3t -tsen3t
e obtém-se
Xí = x2
Finalmente a solução geral é dada pela soma da solução do sistema homogé- J.37
{ '- XI-'
n o com a oluç o p rticul r
'0,
'11
1
1
H
'0
'I) I
1
.UH
I lí -
I'.
,11- 1
1i I I I 11/,1
I I

62. 3.36 y, = 4e61 +el +t2 -5, Y2 = él -/-t
1 -21 1 I 4 I 1 -21 I I 1 I
3.37x,=--e +-te--e x? = -e +-te --e
18 3 9' - 9 3 9
31 31 4 1 I
3.38 xI = C le +C2te ----e x2 =- C le 31 =C,« 31 ( t+l )
+---e 1
1 I
9 4 - 9 4
3 .39 XI = A e -31 (.-cost-sent)+Be -31
(-sent+cost)+(-3-t)e-JI o
X2 = Ae- 31" COSI + Be
3
I sent+(2+t)e- 3
I
Soluções
-2/ C -4/ 2 -2/ 2 -2/ 3.40 XI = Ae -t (-2sen2t) + Se -/ (2 cos 2t) - te-I sen2t -!e -/ cos 2t
3.28 YI = C le + 2e - te - e 2
-/ 2 B -I 1 -I l_I
-21 C -41 2 -21 2 -21 x2 = A ecos t+ e sen2t+-tcos2te +-e
Y2 = Cle - 2e - te + e 2 4
3.29 YI = C le I + C2e -I + 3 e 21
I -I 3 -I 3_1
3.30 YI = 3 Cle +C2e - «te +-e
2
/ C -t 2 -I I -I
Y2 =-Cle - 2e + -te --e
2
-41 -41 I -31
3.31 YI = Ae cost + Be sent +-e
2
Y2 =Ae -4/ ( sent-cost )+ B e -4/ ( -sent-cost )
332 x=cle-I( ~ )+c2e (
l
)+( -;~t )
333(~: l'c I(: )+C 2,-'( ~ ).,-'""g,( ~)
334 x=e
21
(1+1nt)( !)
3.35
_/2_ 1+4(1 1)ln1
/+1
1/ ( -I -I I Iln1 1

63. Capítulo 4
Transformadas de Laplace
A transformada de Laplace é uma ferramenta particularmente útil na resolução de equa-
ções diferenciais lineares de coeficientes constantes. A sua aplicação permite
converter um problema de valor inicial na variável t num problema algébrico na
variável s e é através deste que se determina a solução da equação diferencial.
Problemas com funções descontínuas podem ser considerados, como por exem-
plo a função de Heaviside ou a "função" õ de Dirac (função impulso).
4.1 Definição, ~xistência e propriedades da transformada de laplace
Dada uma função de variável real f (t) com t <!: O a transformada de Laplace é dada por
F(s) sendo s real
F(s) = J ;f(t)e-'w dt (1)

64. Teorema
A transformada de Laplace existe se a função f (t) for contínua por secções em cada in- M
tervalo O :s r :s b e de ordem exponencial eYI. Significa isto que deve verificar-se = lirn
M
.
--+oc
J M
O
e
-sI
dt = lim
M
.
--+00 (
--e
1 _.
S
.1
) o
a condição
. I -sM I
= 1l Hl --e +-
M --+00 S S
(2)
e então se s > O o limite indicado é zero e tem-se
para algum y eM.
52{I} =~
s
Demonstração
Usando a definição de transformada de Laplace e uma importante propriedade dos Problema 4.2
integrais pode escrever-se a desigualdade Calcular a transformada de Laplace da função f (r) = e -(11.
(3)
Resolução
Usando (2) tem-se Calculando 52 {J (r)} através do integral
12{J(t)}l= J 00
O
MeYle-sl dt = lim
A--+oo
Jo A MeYle-
sl
dt = (4) í~{
~ e -at} io e -at e-sI
=
oo
GIr
M -(,-y)A M (5)
= lim --e· --- e tem-se
A--+ooy-s y-s
Se .I' > Y o limite indicado é zero, tem-se J 00
e
-(.1"+(/)1
G
Ir
=
I·
Il'Il
J M
e
-(.1"+(/)1 dt
1=
O M --+00 O
= lim (__
M --+00 S
I_e-(·+{/)I)M
+a O
=
M
lim ( __
--+00 S
l_e-(.I"+(I)M
+a
+_1_)=
s +a
(6)
1
se s >-a
s+a
e portanto o integral é convergente. Então a transformada de Laplace existe
para s > y. •
Problema 43
'alcular a transformada de Laplace da função f (t) = cos at.
Problema 4.1
ai ular a transformada de Laplace da seguinte função f (t) = 1
Resolução
P I d finiç- O d transformada de Laplace tem-se
R solução
U t nd a d finiç O d Ir n f rm d d I

65. I{ 'OSU/}- Jo COS(UI) e-S/ dl= 4.N f(/)-t. () : ..
_ lim J cos(al) e-s/ dt lim [(~sen(al)e-s/)M - J -~sen(al)." II I
J; X"-I e" dx r(~)=.J;
M = AI .1
M 00 O M -+00 a o o a
4.9 f(l) = t - 2 sabendo que r(n) = e
J M --2 at (-s e-SI) di-11
. [ I
_ 11m-sen(aM)e'
M 00 a
- 5M + (( --se at
cos
a2
+st )M -
o o
cos
a
2
4.10 j(t)=jcos(t- 2;), 2; t»
= lim -sen(aM)e-
I sM
-
scos(aM)e-
SM
s
+1-
JM i
2cos
()e'=st
at dt
1 -
O, t<-
2n
3
M 00 ( a a2 a- O a
R parando agora que o último integral a calcular é novamente a transformada Soluções
d Laplace de j (t) = cos at tem-se 2
4.4 --:3
sM s
_ IIITI e-
. (asenaM -scosaM) +---,l.2,
s S20{
cosat }
2 2 a
M 00 a2 a a 4.5 -2--2
s +a
pode escrever-se a
4.6~
I+-
s2) 5! { cos at } .
hm
e-SM(asenaM-scosaM)
+2
s s -a
( a2
=
M-+oo a
2
a 4.7 ~(l- e-
2S
)
ou ainda considerando s > O e calculando o limite 1 e-2.1' e-2s
4.87+-----
s: s s2
(
I + s: ) 5! { cos at} as2
a
=
49~
21<
Conclui-se então que
4.10 e-3s s
s2+ 1
s
.I! { cos at } = -2--2 se s > O
a +s
Problema 4.11
Problemas
Calcular a transformada de Laplace da função j(t) = 2sent + senht.
'ai .ular .I!{j(t)} em cada um dos seguintes casos:
Resolução
Q 4.4/(/)=/2
Para a resolução deste problema começa-se por utilizar a propriedade da line-
aridade da transformada de Laplace que resulta imediatamente da definição.
4.5/(1) - s nat
Tem-s então
4.6 / (I) - s 'nhOI I{ S nl s nh/}- I{S n/}+2{ enht} =
.7 /(1) { ;1:
() < I _ I!{S'Il/}II{I(/ (II)}_ l{sn/}+~I{/}-±2{e-/}=

66. Aplicando agora os valor s nh id d tr n I 1111!idol dI' '''11101 'tld [un- 1'I'lhl '1llU/,
ções seno e exponencial tem-se 'J .•IIIlt!O li pro] ricda Ic da Iincaridadc da transformada de Laplace calcular:
1 ! 1 ! I
=2--+-------= r.u I {4r1 - 3cos 21 + Se-I}
s2 + I 2 s - 1 2 s+!
3s2 - J
= s4 -1
1.14 .! { cosh 2 21}
,15 .! {cos2 aI}
Problema 4.12
Mostrar por indução matemática que 52 {til} =~ com n inteiro positivo.
S"+
Resolução
Deve provar-se primeiramente a igualdade para n = O.
52{tO}=fool'e-Sldt= lim fMe-Sldt= Soluções
o M -->x o
= lirn(_~e-.I)M = lirn_~e-MI +~=~ 24 3s 5
4.13 ----+--
M -->00 sOM -->00 S S s s4 s2+4 s+!
Suponha-se agora a igualdade verdadeira para n, isto é .2 {til} =~ e
SIl+1 S2 - 8
calcule-se 4.14
s( s2 -16)
52{tl+I}=fOOt"+le-Sldt= lirn fM t"+le-SI dt=
o M -->00 o s2 + 2a2
,. (I
=Im--e
M -->00 S
_SII1+I)M
t
O
n+1
+--Im
S M
I' -->oc
fM
O
li
te -s'd t=
4.15
s( i +4a )
2
2a2
o que após determinar o valor do primeiro limite conduz a 4.16
s(s2 +4a2)
_n+1
---~ Il{t li}
S ,6a3
4.17
Aplicando agora a hipótese de indução obtém-se (s2 +a2)( s2 +9a2 )
n + 1 n!
que é a expressão para 2{t"+I}.
Como sumário destes Iculo ncontra-s no fin I d t I ítul urna t b I
li n [ rm d (To b I 1J.1)ront nd , 1'1111(111<11'111,111 [ rrn d

67. 4. Tr n form da de Lapl ce d d rivada (12)
•
I
f (I) um funç o ontfnua de ordem exponencial em [0,(0) cuja derivad é l m-
yl
b m d ordem exponencial e e contínua por secções em [0,(0) então a tran • Corolário 1
form da de Laplace da derivada f' (t) existe para s>y e /(1) e .l'(I) são funções contínuas de ordem exponencial em [0,(0) e se f"(t) é
também de ordem exponencial e contínua por secções em [O ,00) então
)!{r(l)} = s2{f(t)}- f(O) (7)
2{f"(t)} = s22{f(t)} - sf(O)- f'(0) (13)
monstração
1,11 monstra r o teorema pode supor-se que a derivada tem um salto finito em I = 'o Demonstração
(A demonstração é suficiente para o caso de haver um número finito de saltos). Calcule-se 2 {f" (t)} usando o teorema
Então tem-se
(14)
~{r(t)} = f ;f'(t')e-sldt = (8)
e usando novamente o teorema tem-se
= lim (f O-Ef'(t)e-S1dt+fM
I
f'(t)e-S1dt)= (9)
M ---+00 E to +E
E-O = s(s2{f(t)}- f(O))- f'(0) (15)
e usando integração por partes
= s22{f(t)} - sf(O)- f'(0)
. (( f(t)e-SI )10 -E - f I -E
-se-S1f(t)dt+ ()M SI
f(t)e- _
(16)
=
M
11m
c-O
---+00 E li
o
lO +E •
M -f(t)
f lo +1: se-SI dt) = (10)
Corolário 2
= ~i~je-slõ f(to)- f(O+)e-s.o + +s f :O-E f(t)e-s1dt+ f(M)e-SM + Se f (t), (t ~' ...
f' ,i n1
-) (t) são fu~ções contínuas de ordem exponencial em [0,(0)
E-O . e se f 11) (t) é de ordem exponencial e contínua por secções em [0,(0) então
-e-sl~f(tõ)+sfl~ f(t)e-S1 dt) (11)
2 {i") (t)} = sn2{f(t)}- s,,-lf(O) _s,,-2 f'(0) - ... - .l,-I) (O) (17)
An lisando agora cada um dos limites tem-se
I im f (M) e-sM = ° Problema 4.19
sen2at.
M 00
Calcular a transformada de Laplace da função f(t) =
por a funçãofser de ordem exponencial e
Resolução
C nsid r ndoqu f'(I)=2a.enatcosatef(0)=Otem-se
p r/ I ntínua,
r II1"IIIU'II( ',ClItI,II1Clo ()~ 1111(qloli', ( ,I lIl,I1(1 Iin1i I (", I ("01,1111
(", I( '111 "C'

68. S2 - 8
e pode escrever-se 4.24 ( )
s s2 -16
o{
A:,
2}
sen at =
52 { sen
a ---'~-~ 2at }
s
ou ainda usando a expressão da transformada de Laplace de sen2at
2
íl { 2}
~ sen at =
2a
(2 2)
s s + 4a
Problemas
Usando o teorema da transformada de Laplace da derivada calcular:
4.3 Inversa da transformada de Laplace e aplicação às equações
diferenciais
, 4.21 .!{Icost} o problema da determinação da inversa da transformada de Laplace consiste em dada
uma função F (s) determinar a função f (t) que tem F (.'I) por transformada de
4.22 .! {rl'/} Laplace. A inversa que é designada por Z-I {F (.'I)} é f (r)
A inversa da transformada de Laplace, se for contínua, é única e possui também a pro-
4.23,!{rcoshat} priedade da linearidade.
Problema 4.27
4.25 ,! {sen 2
at cos -l calculando previamente 2{ sen ar}
3
Calcular a inversa da seguinte transformada de Laplace .í!(s) = (I )'
.'I i+1
Resolução
Soluções
3!
Começando por reduzir (?
.'I .'1-
) a fracções simples, tem-se
+1
4.204"
s 1 A Bs+C
--;--:----;- = - + ---
4.21
s2 _]
2
2
S ( .'1 + 1) s i + 1
(i + I) e portanto
I
11.22 2
(.1'-0)
C'JU 11 IUI
/111/ ()
(' ()

69. 4
-I
A decomposição em fracções simples é então 4.32 -4e3
1 S
---,-------.- - - --
= 4.33 4e31 - e-I
S ( s2 + 1) S s2 + 1
I e-I e-31
e portanto 4.34 ---+-
3 2 6
"'{+;+l)}s'm~,,'VJ· Apresenta-se agora como a transformada de Laplace pode ser aplicada na resolução de
= 1- cost problemas de valor inicial consistindo numa equação diferencial linear de ordem
n de coeficientes constantes
d"y d,,-Iy dy .
Problemas ao - + ai --I + ...+ a,,_1 - + ally = j (t) (18)
dt" dt"- dt
alcular a inversa das seguintes transformadas de Laplace:
com as condições iniciais
9
4.2S 3 2
.I' + 3s
y(O) = co, /(0) = cl, ...y(II-1) (O)= clI_1 (19)
I
" 4.29 -2--
.I' +25
Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros de (18) tem-se
8s
4.30 -2--
+16
a02I - Y +a12 {dll-I} Y + ... ° { -c.y } +all~{y}-2{j(r)}
[
[
S C. I 11 } I I _ I .'
--I + 11_1 ,12 (20)
,. 4.31
I {
dt" ar: dt
5
s
com
12
4.32 --
4 - 3s lly
52{d } = s"2{y(t)} - s"-ly(O)- s"-2/(0)- ...- },,-I) (O) =
3s+7 dt"
4.33 --:?::-----
s: - 2s- 3 _ s "íf{ Y ()}_ cos
- ~ t
11-1_
clS
,11-2 __
...
.
(11_1 (21)
I
,. 4.34 3 2
s + 4s + 3s
Soluções
4.28 3t + e-31 -1
(23)
I
4.29 -sen5t
5
D si na- agora 2{Y(I)} por Y(s), para simplificação de notação, e 52{J(t)} por
11.308 ' s41 r(s) nt O (20) tom a xpressão
I ,I
1
li

70. Será então através de 5!:! { Y (s)} = y (t) que irá obter-se a solução da equação
diferencial. Para o cálculo da inversa é necessário reduzir a expressão de Y (s)
a fracções simples obtendo-se
8+3i A B C
(24) ? =-+--+--
s: - 2s - 8 s s + s - 4
2
1 C'Cluac;ão (24) é uma equação algébrica que pode ser resolvida em ordem a Y (s) o que conduz a
calculando-se depois
A (s + 2) (s - 4) + Bs (s - 4) + Cs (s + 2) = 8 + 3i
(25)
e portanto
obtendo-se assim a função y(t) que é a solução da equação diferencial (18) com
l
A+B+C = 3
s condições iniciais dadas por (19)
-2A-4B+2C=0
-8A = 8
Prnhlcma 4.35
cuja solução é
d-;
?
dy
I -rcrminar a solução da equação diferencial _2 -8y= 8 com y(0)=3 e 5 7
y' (()) = 6. dt dt A=-I B=- e C=-
3 3
Calculando então a inversa da transformada
Resolução
Começando por aplicar a transformada de Laplace a ambos os membros da
equação tem-se
obtém-se a solução da equação diferencial
2y
),!,{d }_ 22{dY 1J - 82{y} = 2{8}
dt2 dt 5 -21 7 41
y=-l+-e +-e
3 3
o que conduz a
s2y (s)- sy(O)- y'(0)-2(sY (s)- y(0))-8Y(s) =~ Problema 4.36
s
y' + x = sent
Aplicando agora os valores iniciais obtém-se
Resolver o sistema de equações diferenciais I
{ x+y=O com as condições
x ()
O =O e y ()
O = O.
(.1'2 - 2.1' - 8) y (s) - 3s - 6 + 6 = ~
m rd m Y (.I') R soluç
1 li nd II an r rm d d L pl c ambos os membros das equações
II m (I
I)

71. =-+- ou ainda
l SY(S)- y(O)+ X(s)
sX ( S ) - x ( O) + Y ( s ) = O
e aplicando as condições iniciais o sistema em X
S +1
(s) eY (s) escreve-se
2
1
2
1
x = -sent + -cosht
2
1
e y = --cost
1
- -senht
2
Problemas
Resolver os seguintes problemas de valor inicial:
l X(S)+SY(S)=+
sX(s)+Y(s)=O
Resolvendo agora o sistema obtém-se
S +1
i?
ctl
4.37 dy _2y=e51,
4,38
dt
d2y
-2
dt
dy
-5-+6y=0,
dt
y(O)= 3
y(0)=ley'(0)=2
1 d3y d2y dy
-- S
4.39 -+2----2y=lOcost y(O)=O, y'(0)=0 ey"(0)=3
dt 3 dt 2 dt '
s2 + 1
O 1 4.40 y"+y=t, y(O)= ey'(0)=-2
X(s) =
s l -(i+I)(I-s2)
S I 4.41 y"+9y=cos2t, y(0)=1 eY(~)=-1
e também
4.42 y"-3y'+2y= 12e-21, y(0)=2 ey'(0)=6
1 1
s2 +1 dX
--6x+3y=8e
I
O -s
Y (s) =
s
(i +1)(l-i)
4.43 dt
j
dy
--2x-
dt
y= 4e
I
x(O)=-1 ey(O)=O
l s ~l
dX = 2x- 3y
Reduzindo agora estas expressões a soma de fracções simples obtém-se
-
111
- -
4.44
j dt
dy
-=y-2x
dt
x(O) = 8 e y(O) = 3
X(s) = _2_+ ---±-+---±- X' = 2x+4y
s2 +1 l'-s l+s 4.45 {
I x(O) = y(O) =-4
y = x+ 2y
e ainda
X' + y' = 2senht
Y(s)=_2-.
1
--s
----±-+---±-
1
-
1
- j
4.46 y'+z'=/.
x' + Z' =
l
2e + e- t
x(O)=y(O)=l e z(O)=O
s2 + 1 1- s 1+ s
x" + y = -5 cos2t
Finalm nte calculam-se as inversas de X(s) e Y (s) e obtém-se a solução do
4.47"{ 5 x(O)=l,x'(O)=l,y(O)=-ley'(O)=1
y +x = C s2/
ist ma
I '{, (.I')}- I s'n/, 1(.' ,. ,,-I
11 I
I
'I ) ( ) I I) I II I
I' I I I
I" I

72. lu ,'/', '/{/)rll (71)
.1 "
H ~I I I
11. / Y - (' + e I I
11 8 .v-e I (28)
3
11. Y == -
I
- e
-21
+e
-I 4 I 2
+ - e - sent - cos 1
•
3 3
11.40 Y = COs/- 3sent + t Problema 4.48
Calcular .2 { eGI sen 2 bt }.
414
4.41 )1 = - sen 3t + - cos 2t + - cos 3t
. 5 5 5
I 71 -21
11.42 y=-6e +7e- +e Resolução
Sabendo que
2b 1- cos2bt
sen t = .
2 e 41 + 5-1 2
A
11.'-14x = 3e 4, + 5 e -I y = - e
calcula-se
4.45.x=2-6e41 y=-1-3e41
F( s) = .2{1- COS2bt} = ~.2{1} ~.2{cos2bt}
- =
4.46 x=el y=e~1 z =-e-I +el
2 2 2
11 1 s
4.47 x = sen/ + cos 2t y = sent - cos 2t
= 2"-;- 2 s2 +4b2
após o que basta efectuar a translação
1 I s-a
F (s - a) = (.) 2 2
4.4 Primeiro e segundo teoremas da translação 2 s- a 2 (s - a) + 4b
Problema 4.49
r ma (Primeiro teorema da translação)
./ (I) contínua por secções e de ordem exponencial em [0,(0) com transformada d Calcular Z-I {2s s
+ 6s+ 13
}.
L place dada por F (s) para s > y. Então para qualquer a
~ { e(ll./ (I)} = F (s - a) se s > y +a (26) Resolução
s
Escrev ndo 2 ' como
m s .+6s+ 13
I'IHI
.I'~'
•
(.1' I J) I II .1' I ,) 1 (.1' ~ .) ~ 11·

73. 2s+ 7
4.57 4
tem-se que
(S + 3)
Resolver as seguintes equações diferenciais:
Usando o primeiro teorema da translação tem-se 4.58 y"+2y'+y=te-I, y(O)=l ey'(0)=-2
0-1
Ao 1 s+3
(s+3f +22
]_- e -31 Ao
0-1 { -- S
i +22
} -
- -31
ecos 2t 4.59 ylll-Sy"+7y'-3y=20sent, y(O)=y'(O)=O ey"(0)=-2
4.60 ylll- 3y" + 3y' - y = (2e', y(O) = 1, y'(0) = O e y"(O) =-2
e também
, 2 2 -31
S!;I f 22 ] = e-31S!;1 {~} = e-31sen2t
4.61 x + x +y = e
{ 3x'+x+y'+3y=O'
x(O) = y(O) = O
l(s+3) +22 s +2
e finalmente a inversa pretendida é dada por
Soluções
~I{ S s2 +6s + 13
}=e-31cos2t-2e-31sen2t
2 4.50
.1'+1
-,?:----
s: +2s + 5
Problemas 4i -4.1'+2
'ulcular a transformada de Laplace das funções: 4.51
(s _ 1)3
4.50 f(t)=e-t cos2t .1'+4
4.52 -,?:-----
.1'-+8s+ 12
4.53 e-31 (COSI- 3sent)
4.52 f(t)=e-4t cosh2t
-2/
4.54 2 ecos 3t+-e1 -2/
sen3t
3
'alcular a inversa da transformada de Laplace nos seguintes casos:
s
4. 3 2
(.1'+3) +1
4.54 2s+ 5
,.2 +4.1'+13
3 -1
t e _I -t
4.58 y= --+e -te
!
4.55
(,I' I n) 4, - (. -4/)('1 s n/- OSI

74. 4.61 x=e-'sen2t y=2e-31 -e-I (2 cos2t + sen2t) 52 { f (t - a) LI (t - a)} e
= -as F ( s) (31)
onsidere-se agora para uma função f(t) uma translação no eixo dos tt e a sua im-
plicação na transformada de Laplace. Seja por exemplo a função de Heaviside Demonstração
(função em degrau), (Fig. 4.1) Aplicando a definição de transformada de Laplace obtém-se
LI ( t -a ) =
{
O, 0< t < a (29) B{f(t-a)u(t-a)}= J ;f(t-a)u(t-a)e-Sldt= (32)
I, t >a
que é uma translação de a unidades para a direita na função f (t) = I com t ~ O =
J co
a
f (
t -a ) e-'I
. dt (33)
u(t-a) Fazendo a mudança de variável T = t - a tem-se
Il
Fig.4.1
a
) I
(34)
•
Problema 4.62
ja agora um caso mais geral de translação de a para a direita numa função f (t) e Calcular 2{ u (1 - a)}.
designe-se essa nova função por (Fig. 42)
.( ) ( ) j
jt-aut-a= O,
f(t-a),
0< t < a
t »a
(30)
Resolução
Neste caso f(t - a)= I. Como 2{1} = F(s) = -
I
tem-se
s
que graficamente tem a representação seguinte a
B{u(t_a)}=e- ." ssO
s
f(1) f(t-a)u(t-a)
Fig.4.2
l~ a
) t
Problema 4.63
Calcular B{f(t)} sendo f(t) =
2,
O,
0< t < 11:
11: < t < 211:.
1 sent, t > 211:
/ Resolução
T ar ma (Segundo teorema da translação)
/(1) continua por secçõ s de ordem expon ncial m [0,00) om transform d d Consid r -se a função f(t) escrita em termos da função de Heaviside. Para
L pl C d d por F(.I'). Con id r ndo funç o 0<1 -cst funç O d finid porf(/)=2[u(t-0)-u(t-11:)]queénulafora
d int IV, I I(), I. Adi ion ndo guid mente função igual a senr para
O, () 1 (/
1(1 (1)11(1-11) j ()
1'11,' li
, 111,
JI(lllIldildld l' QI,II(~V(III'~ 1/,1 m- !lt,

75. l
O, 0<t<4
.t(t) = 2u(t) - 2u (t - n) + sentu (t - 2n) 4.762{f(t)} sendo j'{z}» t-4, 4<t<7
3, t >7
o que é equivalente a
Calcular Z-1 {F (s)} nos seguintes casos:
.t(t) = 2u(t) - 2u (t -n)+sen(t - 2n)u (t - 2n)
e calculando a transformada de Laplace obtém-se
2 e-ns -2ns 1
2{.t(t)}=--2-+e -
s S s2 +1
1+ e-n.1
Problemas 4.79 2
S +4
.alcuíar as seguintes transformadas de Laplace:
4.64 ~{(t -~) u (t -~)} Resolver as seguintes equações diferenciais:
4.80 y"+9y=r(t) com y(O)=O, y'(0)=4 e r(t)={ssent,
° -ct c rc
4.65 ~{(t_l)2 u(t-l)} O, t >n
1, 0<1 <~
4.66 ~{cos(t- n) u (t - n)} 2
4.81 y"+4y'+5y=r(t) com y(O)=O, y'(0)=1 e r(t)=
n
4.6752{/-2u(t-2)} 1O, t> -
2
4.82 y"+4y=r(t) com y(0)=2, y'(0)=0 e r(t)={-4t+sn, 0<t<2n
O, t > 2n
4.6952{costu(t-n)}
4.70 52 {g (t)} com g (t) = t se °t < < 1 e zero para os outros valores 4.83y"-y=r(t) com y(O)=y'(O)=O e r(t)={4e ,
f
° « t «se
O, t >n
4.71 ~{g(t)} com g(t) = / se ° < t < 1 e zero para os outros valores
Soluções
4.72 ~ { J (t)} com g (t) = t se ° < t < a e zero para os outros valores
--."I
1
e 2
4.73 1{g (I)} com g (t) = 2 cos ia, 1 < t < 2 e zero para os outros valores 4.64-2-
/ s
O, 0<t<5
4.74 I .f(t)
{} sendo .t(r) = (
{ / - 5 + 2, ) 2! ~-s
I> 5 4.65 --
s'
l
0, O / n
4.75 ! {f(/)f ,1'11 lo f(/) ,1'1,-1/,
II 11 ()( I I
'11(,
, I I

76. Sen3t+sent, 0< t < n:
e-2s 4.80 Y = 4
4.67 -- { -sen3t, t> se
s-l 3
I
--s
e 2
4.68 el/2
s-1 4.81
-ltS
-se
4.69 -2-
s +1
4.82 Y =
-1+ 2n+ ~sen2t + (2 - 2n) cos2t,
2
° « t < 2n
1 (2 - 2n)cos 2/, t > 2Jt
°
4.71 ---e--
1 e-s
4.83 y =
j-el + 21e' + e -I ,
21e' +e-I -2(I-n)e' _e- + I 2n
,
<t <n
t s- r:
s-1 s-I
1 e -os e -(IS
4.5 Transformada de Laplace da "função" Delta de Dirac
4.72 -----a--
s2 i s
Considere-se a função/i, (t) definida por (Fig. 43)
I
. ()_ -, as rs av k
jk 1 - k (35)
{ O, outros valores
si
--s que representa uma força lI.. cujo impulso no intervalo [a,a k]
+ é representado
se
2 pelo integral definido de lI.. nesse intervalo, com valor 1.
4.75 -2--
s +1
-4.1 -7s
e -e
4.76
s2
. {O, 0< t < n
4.77 f t
. ()
=
-5cos3t-2sen3t, t i- r:
° a a+k
l
O, « t <~ Fig.4.3
2 /
11.78 ./ (I) = n
-21- n
, ( 2) (2 os 1 - scn I), 1>-
Esta função pode ser representada por
2
11.1 f' ()
1
!
I S 11 I,
('11'1.
() - 1
.tk{/)- ~rlf(/-(f)-If(/-(f-k)]
I' 01 ',111111111,1 ll1tlolc1d dI' I IIpld( ( I d,lcld pOI
(36)

77. (/ {j' k (t )} -- 1 -as
~
_ -- e e
-(a+k)S]
_ -as
-e--
l-ks
- e (37) A segunda fracção tem de ser decomposta nas seguintes fracções simples
k ( s s ks
1 "função" delta de Dirac é definida pelo limite
A B C 1e -4s
( S-I+(s_I)2+s+1
1 1 I
encontrando-se os valores A B eC
c5 (t - a) = lim
k-->O
fd t ) (38) = - -,
424
= - = -,
f cto, não pode ser considerada uma função mas sim uma distribuição e a sua trans- Tem-se então que a solução da equação diferencial é dada por
formada de Laplace é dada por
y=~1 f_2 __ ~e-4S _1_+~e-4S _1_+~e-4S _1_) =
q
~
{>: ( t - a )}
U =
I' e -as -- e
1m 1-
-ks
= e -as I' --
1m se
-ks
= e -as (39)
l(s - 1)3 4 s- 1 2 (s _1)2 4 s+1
k -->0 ks k -->0 S
=f 2,e --eI 1-4 u ( t-4 ) I
+-e 1-4 (
t-4 )
u ( t-4 ) 1
+-e -(/-4) u ( t-4 )
424
ou finalmente
Problema 4.84
R 'solver a equação diferencial y'" - y" - y' + y = 4e' + o (t - 4) com y (O) = y' (O) = O
, .1'" (()) = 2, t2 e' , O< t <4
y(t) =
l 2 1 9 1-4
t e - - e
4 2
1 1-4 1 -(1-4)
+ - te +- e
4 '
t > 4
Resolução
Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros da equação
obtém-se
Problemas
.3y (s) _ s2y(0)- sy'(O) - y"(O) -( iy (s) - sy(O) - y'(O))
4.85 Calcular it' 1{_S+2}
e' -- ,
4s s+l
- (sY (s) - y(O))+ y (s) = ~+ e-
s-1
e seguidamente substituem-se os valores iniciais Resolver as seguintes equações diferenciais:
3 -s 2 -s+1 ) Y ()
s -2=-+e 4 -4s 4.86 y" + 2y' + 5y = 25t -c5(t- n), y(O) = -2 e y'(O) = 5
(S
s-l
4.87 y" + 4 y' + 5 y = O (t -1) , Y (O) = O e y' (O) = 3
F ctorizando obtém-se
(s -I? (s + l)Y(s) ~+2 +
s-1
= e-4s
4.88 y"+2y'+2y=c5(t-2n), y(O)=ley'(O)=-l
/ 4.89 yll+2y'-3Y=-8e-l-o(t-~), y(0)=3ey'(0)=-5
u ainda r solvendo em ord m a Y (s)
-4"
Y (.I') - ~
(.1'-1) (.I' I) I) oluç

78. 5t - 2, O<t < n
ou
4.86 y (t) = 1 -(I-n)
{ 5t-2--e sen2t t z- it
2 ' (44)
52{f ~f(X)dX} = ~F(S)
4.87 Y t () 1 =
3e-2Isent, 0< t < I
•
3e-21 sent + e2e-21 sen (t - I) , t>I
4.88 y t = () j e -I
e-I
cos t,
cos t + e 2Jf
e -t senr,
O <f <
t > 2n
2n Problema 4.90
e -I
+e -31 , O <t<- I
2
4.89y(t)= I_I -3(1_1) 2
Resolução
1 2e
-I
+e
-31
--e
4
I 2
+-e
4
I ?
-
'
t>-
I
2
Pretende-se calcular ss-I {~F(S)} com F(s) = -2-
1
-.
s s +4
Tem-se então
4.6 Transformada de Laplace do integral
f(t)=±sen2t
rema
e como
Ic I (I) contínua por secções em [O ,00) e de ordem exponencial. Então a transforma-
da de Laplace de f ~ (x)dx é dada
f por
~{f ~f(X)dX} = ~52{J(t)} (40) obtém-se
f 02
I
-sen2t
I - -
dt =
(I
- -cos
_)
2t
I
1- cos 2t
4 ° 4
monstração 1 ?
= -sen-t
mo ./ (t) é contínua por secções em [0,(0) e de ordem exponencial, a função 2
F (I ) = f ~ (x) dx é contínua
f em [0,(0) e de ordem exponencial. Então pode
plicar-se o teorema da transformada de Laplace da derivada
Problemas
Calcular:
I {I(t)} = 2{F'(t)} = s52{ F(t)} - F(O) = (41)
/ 4.91 52{f ~i3e-2i di}
- ,I' I {f ~f (x) dX} - f ~f (x) dx (42)
por nt l rn-
4.92 2{e- 1
di}
f ~ii
(11 )
4.": I I I ,I
I i
1,11
I 1

79. 4.1)4 >.:1 {_3_}
S2 +s
4.99 1 + t - cos t - sent
4.1)5 >.:1 {_4_}
S3 +4s
4.7 Derivada e integral da transformada de laplace
4.% ~I { 4 -4s 2}
S
8
Teorema (Derivação da transformada de Laplace)
Sejaf uma função contínua por secções em cada intervalo O :s;t :s;b e de ordem expo-
nencial eyt com 52{f(t)} = F(s) Então
52{(f'(t)} = -F'(s) (45)
Demonstração
Derivando a transformada de Laplace em ordem a .I' obtém-se
(46)
Soluções
o que é equivalente a
6
4.91 4
s(s+2) F'(s)=fOO ~(e-sl)f(t)dl= (47)
o as
4.92 -,2=----
S
1
(s+l)
= f; -rl(t)e-Sldl =-52{if(t)} (48)
Estaequivalência obtém-se uma vez que a função if (t ) é também contínua por secções
1
4.93 -2 (1- coswt) e de ordem exponencial.
4.943-3e-t
W
•
4.95 1- cos 2t Problema 4.100
Calcular a transformada de Laplace de f (t ) = tsenat.
4.96 scnh2t - 2t
/
'8 ' -
/1.. 7 I ( 21 I - 21 - 21 2) Resolução
Pelo teorema tem-se
t1 H I I {IS '11(t1} _ -I" (.I')
JI JI

80. Teorema (Integração da transformada de Laplace)
F(s) =E{seoat} =~
s: +a Seja j uma função contínua por secções em cada intervalo O :5 t :5 b e de ordem expo-
então
nencial eYI com E{f(t)} = F(s). Se lim j(t) existe então
I~O t
52{f~t)}= fsooF(S)dsses>y (49)
Demonstração
e portanto
Pela definição de transformada de Laplace tem-se
f 00
S
F(S)ds = f oo(f occe-'"'lf(t)dt)dS
.
= (50)
e como nas condições do teorema é possível trocar a ordem de integração então
pode escrever-se
Prohlema 4.101
(51)
Calcular Z- I { lo -- I} .
s+
s-I
e integrando em ordem a S obtém-se
Resolução 00 e-sI
Pretende-se calcular f (t) tal que
=
f O j(t)-dl t = (52)
s+ 1
52 {f(t) } =10-
s -1 (53)
e então •
52 {if (t)} = -~(10~)
ds s-1 Problema 4.102
- li) --- ------ 1
1 Calcular E {seot} .
-t -
( s+l s-1 s-1 s+1
portanto
Resolução
tf ( I) =Z- I {I ---
s -I
I}
s+ I
=e I -e -I
/
1
Sendo F (s) = E {seot} = -2- e usando o teorema tem-se
s +1
Con lul- nl
I
O qu
I {s 01
1 } _ I.-~
F(.i:)ds
/'(1) (' -I'
I I IIllt'I!I<lIIfIIl nlJl 111',I

81. ~ f .00 -- 1 1dss = ( arctg s_)00 = 4.106 2{t f ~e-3i cOS2tdt}
. .1'2+ s
=- -
n
arctg s = arc cotg s 4.107 2{t f ~sen2t dt}
2
I"'oblcma 4.103 4.108 Q-' 1++::))
4.109 Z-I {are cotg; }
Resolução Usando a integração da transformada de Laplace calcular:
U ando o teorema obtém-se
u
portanto
Soluções
I I 1
- -1-sen3t = -tsen3t (S_2)2_1
2 6 4.104 2
((S-2)2+1)
1'1·.,1)1 'mas
/
2
I Jsnn lo 11 ti riva .ão la transformada d Lapla c calcular: 4.105 ---,
(s -l)j
&'11) I { 1'- r I 'os I} ,I' +I ,1,2 +. ,'+ 3
/1,10
UU. '{I 'I"} (s I I 1,1' I I ,')

82. K,I'
,
I 1(1
101
,I' 1 (' ,1'" I <I ) 2
POI d d lr n r rm d d Laplac tem-se
_ - _ 'OSI!)I
11
~ {I ':'g} = J ;(J ~f( T)g(t - T)dT )e-sl
dt (56)
S 'llIOI
11la
que pode ser escrito como
.1'2 +9 (57)
'1,110111---
,I'
Fazendo agora a mudança de variável
.'+3
11,111 coto-- 2
are
I:>
U =t-T
11 I I Iscnh21
v= T (58)
1111
-( =e _?()
3 I (e :
que tem Jacobiano igual a 1 obtém-se, com os correspondentes novos limites
de integração em u e v
2 - 2cos úJl
11.1111----
(59)
e este integral pode ser escrito como
/1..8 Teorema da convolução
I )111 I IC o importante de determinação da inversa de transformadas de Laplace é que é a expressão para 2{f(t)}>2{g(t)} Fica então provada a igualdade
lad p lo teorema da convolução. A convolução de duas funçóesre g é defi-
l1id por
2{f*g}=2{f}2{g},s>y (61)
(54)
•
I do f g duas funções contínuas por secções em qualquer intervalo fechado Problema 4.115
ünito O :s;I :s b.
Determinar a inversa da transformada de Laplace
S
(2
S +I
)'
1I I II III ( r m da onvolução)
,l'ltllll /1',lI lu 5 runçO contlnu por 5 co 5 em c d int rvalo O:s; I :s; b ord m / Resolução
I'XpC 11 n i lerl nt
I
Pod como o produto H (s) = F(s)G(s) com
( )
.I' i+1 )
I
I,' ,1') «(;(s
l'tll,l I Y ,I / II

83. (' 1("1) ~( inv r d tran r rm da d L place,
y=':' {_.I'_. __ 2_+ i!.{sect}}
, .1'2 +1 i +J .1'2 + 1
l mb m ou ainda
g (I) =,12"""'
s +J
-} {-2- 1
= sent
ntão pelo teorema da convolução tem-se Seja agora a terceira parcela escrita como um produto de transformadas de
Laplace
Q{ secr]
----"c_-'- = Q{ sect }Q{ sent}
s2 +J
u ainda uma vez que a convolução é comutativa
e portanto a sua inversa é a convolução
- f;,g(r)f(t-r)dr= f~ senr'ldr=l-cost
sect * sent = f >ec rsen (t - r )dr =
onclui-se então que
= f ~ r (sentcos
sec r - cos zserrrjzrt; =
l!"' r
1.1'
(I
+1
I)= 1- cos t
.1'2
= fO
I (
sent-cost-- senr) dr=
cos r
Problema 4.116 = (rsent + cos t log Icos rl)~ =
R .solvcr a equação diferencial y" + y = sect com as condições iniciais y( O) = 1 e
v'(O)--2, = tsent + cos t log [cos II
Tem-se então
Resolução
Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros da equação y = E'" {_s_}
.1'2 + 1
_ 2E'" {-2- _}+
.I'
1
+1
tsent+ cost logjcosr]
obtém-se
e finalmente
s2y (.1')- sy(O) - y'(0)+ Y(s) = Q{ sect}
y = cos t - 2sent + tsent + cos t log Icostl
usando os valores iniciais pode escrever-se
(,1,2 + I) Y (s) - .I' + 2 = Q { sec t} / Problemas
Calcular a inversa das seguintes transformadas de Laplace:
R olv ndo m ord ma Y (.I')
4.1171/(.')-
Y (,I') "I'
I{S"'} ,I' r : ,I', )
,I' ,I ,I' ,I .1' ,I
11

84. I
I.IIH " ,I) I 1'1i ' I' l( ( 'os 31 I S '/l.1 - I / 'os. I)
./ (,I' ,• .1) 54 18
1/1
I
f ~I(T)ellT
1.114)/1(.1')_
(,.2 14
-
r 4.1)4
4.125
.I' = ~ senb(t -T)dT
y = _1_
b-a
fI (e-aT
O
_ e-bT) l(t - T)dT
.
= -]-f
b-a
1(e -a(/-T) - e -b(/-T))l(
O .
T )(h
3 ]
4.126 Y = -cos2r + -sen2r - -cos2t loglsec2t + tg2rl
4 4
f(t) F(s)
'ul .ulnr a solução das seguintes equações diferenciais usando o teorema da con-
volll '10:
s
.1 .r» + y = e
; - sent, y O
-?I () = y '(O) =O
elll
rI/- s-a
.1 J '''+4y'+13y=~e-2/sen3r, )'(0)=] e y'(0) =-2 til
sen ar
4.125 y"+(a+h)y'+abY=f(t), y(O)=y'(O)=O
cos ar
4.126y"+4y=tg2/, )'(0)=-] e y'(O)=l
e"1f(t) F(s-a)
-as
e
u(t-a)
Soluções s
f(t-a)u(t-a)
4,118 ~(_1+3/+e-3/)
F(s)G(s)
Tabela 4.1 Transformadas de Laplace
I
1),,11 -(scn2t-2tcos2t)
16
I I
4,120 ---COSWI
(i w2
4,121 I 'OSú)/
/
I l' 1
'l,ln .1'- X(S'I1/- 'OS/) (s '111 'OS / )
H

85. diferenças finitas
Nas aplicações práticas as funções que são usadas em problemas de engenharia são na
maioria das vezes fornecidas por valores tabelados resultantes da observação
experimental, não se conhecendo a sua expressão analítica. Mesmo nos casos
em que essasfunções são conhecidas a resolução das equações diferenciais con-
duz à obtenção das soluções através de fórmulas exageradamente complicadas.
Cada vez mais frequentemente os métodos numéricos são necessários para a re-
solução de equações diferenciais para as quais não se consegue determinar uma
solução analítica. Neste capítulo é feita uma introdução à resolução numérica
de equações diferenciais em que as derivadas são substituídas por diferenças de
uma função em determinados pontos do respectivo domínio.
O método das diferenças finitas é um método de discretização que consiste em transfor-
mar um domínio contínuo da variável, por exemplo um intervalo I, numa malh
de n+ 1 pontos e uma equação diferencial é assim aproximada por um conjunto
de equações de diferenças mais simples de resolver. A solução da equação d
diferenças pode no entanto ser ou não convergente para a solução da equ ç
diferencial.

86. .1 Diferenças de uma função e equações de diferenças e assim sucessivamente podem definir-se diferenças de qualquer ordem ~ k pela
expressão
, 1'1,1 y(x) uma função real de variável real e Xo ,xI 'X2' ... ,X" um conjunto discreto de
k k-I k-I
pontos que poderão ser considerados equidistantes, apenas por simplificação e ~)',,=~,,+I)'-~ )'" k=I,2, ... (5)
sem perda de generalidade.
5.1.2 Diferenças centrais e diferenças divididas
XI1
ntão Para algumas aplicações como em problemas de interpolação e na resolução numérica
de equações diferenciais é mais conveniente usar outro tipo de diferenças desig-
i = 0,1,2, ... (1) nadas diferenças centrais e que são definidas por
e o conjunto dos valores da função dado por o)'" =)' I -)'
11+- 11--
I (6)
2 2
X )' em que o ponto x, é central relativamente a x I e x I'
i-- i+
2 2
)'0
A diferença central de segunda ordem é dada por
2
( )',,=0,11 l-O)' I =()',,+I-y,,)-()',,-Y,,-I)= (7)
11+ 11- .
2 2
)'"
= )',,+1 - 2)'" + )',,_1
diferenças divididas seja para a frente ou centrais (ou ainda para trás mas que
.1.1 Diferenças para a frente não são aqui referidas). Se os pontos de uma dada malha são igualmente
espaçados de uma quantidade h a diferença dividida para a frente é dada por
1 designadas por diferenças para a frente de primeira ordem são dadas por
~)' = )',,+1 - )'"
(8)
" h
~)'" = )',,+1 - Yn (2)
e no caso de diferenças de segunda ordem
r d m também definir-se as diferenças para a frente de segunda ordem considerando
que ( )
(3) Se forem consideradas diferenças centrais tem-se respectivamente para primeir
gunda ordem
porte ruo
Oy I - ôy
111 11
1 I '// ( '//1 I '// I I) ('" I I '// '''1 - 1'//11 I 11 óy" - (1 )
/

87. (11 ) Se forem dados os dois valores Yo e Yl como os dois primeiros elementos da sucessão
que é solução da equação, é possível obter Y2 em função de Yo e YI' depois Y3
em função de Y2 e YI' e assim sucessivamente calculam-se todos os elementos
.1.3 Equações de diferenças da sucessão por recorrência. O problema de encontrar a solução de uma equa-
ção de diferenças satisfazendo condições iniciais dadas é designado problema
Urna equação de diferenças é urna equação que relaciona diferentes elementos de uma de valor inicial. No caso geral de a equação ser de ordem n serão dados os
sucessão de números valores YO' YI'"'' Y,,- I'
Teorema
em que se pretende determinar todos os valores de Yw Seja a equação de diferenças linear não homogénea de coeficientes constantes (ou
l x mplos de equações de primeira e segunda ordem podem ser a seguinte equação de coeficientes que são sucessões dadas)
primeira ordem não linear e não homogénea
(17)
2
y,,+, +0.9YI1 = 12 (12)
sendo ao, a I' a2 constantes e 1" uma dada sucessão. Se A e B são duas
e ainda a equação de segunda ordem linear e não homogénea constantes tais que Yo = A e Yl = B a solução de (11) (que no caso de ao = O
é uma equação de primeira ordem) existe e é única. À semelhança da teoria das
(13) equações diferenciais o resultado é válido para equações de ordem n e ainda
para equações de coeficientes não constantes .
.2 Solução de uma equação de diferenças Teorema
Considere-se o Casoratiano de duas sucessões un' vn definido por
onsidere-se agora uma equação de diferenças linear de ordem k em que os coeficien-
tes podem ser constantes ou não (podem ser sucessões) U" v" (18)
(14)
Sejam duas sucessões Uw vn soluções de uma equação de diferenças linear e homo-
e a respectiva equação homogénea associada génea. Então o Casoratiano é sempre diferente de zero ou zero para todos O
valores de n. No primeiro caso as soluções são linearmente independentes e no
aoY,,+k +a,Yn+k-' + ... +akYn =0 (15) segundo linearmente dependentes.
Exemplificando com as sucessões 1 e 211 o Casoratiano é dado por
.. 1 Problema de valor inicial
2" " I " "(2 -I) - 2" O
" •.I
IIJ)( 1I11i1 qu qlll t (8) d nd rd m p d ndo
1I",lllJd<i()',', '(JIIiIlI(II, Jld'd I'CJII<i(, I", rir or I Ir) li. II'IY1 ~ '1<'l1ill(' rll! '1(1111((1(' Ir'IO,
() (111)

88. I( r ma 5.3.1 Método passo a passo
',(' (lu sucessões u.; VII são solução da equação (10) e são linearmente independentes
então qualquer solução wn de (10) pode ser escrita como Dada a equação (14) e dois valores iniciais Yo, YI' podem obter-se por recorrência todos
os valores da sucessão calculando Y2 em função de Yo' YI' depois Y3 em função
(19) de Y I' Y2' etc. Tem-se
onde c), c2 são constantes. As soluções un' v,[ são uma base de soluções e a
solução geral de (16) é dada por (19)
monstração
duas sucessões un' vn são ambas solução da equação homogénea (10) então tam- e assim sucessivamente, todos os termos vão sendo calculados. Este método é
bém é solução a combinação linear clu" + <: v". Basta então provar que qual- portanto um método explícito
quer solução wn se pode escrever nessa forma para determinados valores de c I'
('2' Considerando os dois primeiros valores da sucessão wo' W I tem-se
Problema 5.1
WO = cluO + c2 Vo
(20) Calcular os valores de y", n = 2,3,4,5 para o problema de valor inicial
{
wl = clu) + c2vI
Y,,+2 - 3Y,,+1 + 2y" = 0, com Yo = O'YI = 1.
e como o Casoratiano u" vlI+1 - u,,+1 v" é sempre diferente de zero para qualquer
/I também se tem Llo VI - LlI Vo " ° e portanto o sistema tem solução cl' c2' Mas
então tanto wn como clu" + c2 v" são soluções da equação de segunda ordem Resolução
com as mesmas duas condições iniciais e portanto pelo teorema de existência e Calculando passo a passo tem-se que
unicidade da solução são a mesma sucessão. •
.3 Equações de diferenças lineares homogéneas de coeficientes
constantes
( ( n id r m-se apenas equações de primeira ou segunda ordem da forma Ys = 3Y4 -2Y3 = 31
(21)
5.3.2 Determinação da solução geral como combinação linear de
conform oco fi ciente aO é nulo ou não e todos os coeficientes são const nte . soluções
po sfv I d finir um m lodo d c Icul r a solução geral d st tipo d quaçõ s
tm di d r pr nt do p ra qu cõ s d s und ord m o r sult d Considere-s a quação (14) e procurem-se soluções não nulas, Gá que a sucessão de
podr-m CJ(11('I,lli/.1I ( 1"11,1 qualqu I I I m up ri I. ui I m nt t I t rmo r ti m nt nulo é obvi m nt solução) na forma
',1'11101<10', !fl!', PIO( "',',0',
r cll'.!IIIIIl',
'" ,./1 (17)

89. r ••
então é solução se
(23)
como ri e r2 são diferentes uma das raízes terá de ser zero para a igualdade
e portanto se for verificada a igualdade se verificar. Mas então a2 seria zero e a equação já não era de segunda ordem.
Consequentemente o Casoratiano nunca pode ser zero e as soluções são
(24) linearmente independentes.
ii) Se a raiz é dupla então prova-se que nr" é também solução. Substituindo no
que é designada por equação característica associada. Para cada raiz r da membro esquerdo da equação tem-se
equação obtém-se uma dada solução e a solução geral é a combinação linear
dessas soluções desde que linearmente independentes. A solução geral da
equação de diferenças pode ser obtida de forma explícita calculando-se de uma
única vez para qualquer valor de n.
que é zero porque se r é raiz, pela equação característica o primeiro grupo de
orema parcelas é zero, e o segundo também porque sendo r uma raiz dupla se tem
1 oluções da equação (14) podem ser obtidas a partir das raízes da equação caracte-
ai ±.JO
rística do seguinte modo: r=- .
2ao
i) Se as raízes são reais e distintas ri' r2
Também se verifica a independência linear calculando o Casoratiano para estas
duas sucessões:
ii) Se a raiz é real e dupla ri = r2
rl1 nr"
= r"rl!+1 (n+]- n) = r211+1 '" O
a solução geral é cl (ri r+ c2nh)"
(11. + I)rll+1
iii) Se as raízes são complexas conjugadas p ± iq iii) Neste caso uma solução é Y~/) = (p + iq)1I = ali (cos(n8) + isen(nfJ» com
a solução geral é a" (cl cos(nfJ) + c2sen(n8» a = ~ p2 + l e 8 = arctg 2.
p
onde a = ~ p2 + q2 e 8 = arctg 2. A conjugada y~2) = a" (cos(n8) - isen(n8» é também solução.
p
Fazendo as seguintes combinações lineares
(I) + (2)
monstração YII YI! = ali cos(n8)
2
i) S s raízes s o r ais distintas verifica-se qu r( e /,~' são soluç-o o (I) (2)
lin rm I t ind o nd nt , Suponh - por r duç o o b urdo qu O YII - YII - alls n(n8)
i
lil1('tllln 1I d P 11(1!lI , 111,0 ri ul ndooC I (i,nOI I' nulo p 11'(1
qlldlqll 'I /I I I fi) 1,( dI, clutl' (111 lin arrn nt il d p nd nt oluç o ral
.I Olllllllldl,,)O 1II1I'dl di' lIi1lhd',

90. Problemas
Resolver as seguintes equações de diferenças usando o método passo a passo:
Problema 5.2
'ulcular a solução geral de 5.4 Y//+2 + 2Y,,+1 + 4 Y// = O com Yo = O YI = J3. Calcular Y2 ,Y3 ,Y4
11) .'//+2-3YI1+1 +2Y/1 =O,com Yo =O'YI =1
5.5 Y//+2 -4)',,+1 +8)'" =0 com)'o = 1)'1 =0. Calcular Y2,Y3,Y4
,) 21//+2 - 2Y,,+1 + y" = O
Usando a equação característica associada resolver as seguintes equações de di-
ferenças:
Resolução
a) As raízes da equação característica são reais e distintas, e são 1 e 2; a solução
geral é
5.8 )'//+2 +2Y//+1 +4y// =0 com Yo =0 YI =J3.Calcular Y2,)'3,Y4
5.9 )',,+2 -4)',,+1 +8y" =0 com y, =1 YI =0. Calcular Y2,)'3,Y4
e usando os valores iniciais obtém-se o sistema
sendo portanto c[ = -1 e c2 = 1. A solução do problema de valor inicial é então: Soluções
)'" = -1+ 2" 5.3 Y2 =1'Y3 =7, Y4 = 13')'5 =55')'6 = 133 eY7 =463
b) Neste caso existe uma raiz dupla igual a .L A solução geral é: 5.4 Y2 = -2J3, Y3 = O, )'4 = 8J3
3
v; = CI (~r+ n(~rc2
5.5 )'2 = -8, )'3 = -32, )'4 =-64
I 1. 9 13 17
c) A equação característica tem raízes comp Iexas conjuga das - ± -I. Então 5.6 Y2 = 25 ' Y3 = 125 ' Y4 = 625
2 2
I tt
,.- -+ - e e = arctgl = - e portanto a solução geral é: 5.7 Y =-.!..C-2)" +.!..3"
"5 5
~ 444
//- ( 1: )// ( ('I
I
'Os
IIn
4 +c S n
IIn)
'"4 5.8 //
_ 2// (.!.., n 2nn)
S
'vII (- J ,,( 'os li, s'" 11 )

91. 1)11 (1)/1 5.4.1 Determinação de uma solução particular
5.10 Yn = ( 5 +4n 5
o método dos coeficientes indeterminados permite calcular uma solução particular da
equação de diferenças para alguns tipos de sucessões que figurem no segundo
5.4 Solução da equação de diferenças não homogénea. Método dos membro da equação.
coeficientes indeterminados São cinco os casos considerados e dispostos na seguinte tabela:
Forma da solução particular
T orema
a equação de diferenças não homogénea de coeficientes constantes 1. C constante A
(25) 2. c,l (k inteiro)
3. Cb" Abll
orema
1 lução geral da equação (25) é dada pela soma da solução da equação homogénea 4. C cos(n8) A cos(n8) + Bsen(n8)
associada com uma solução particular.
5. Csen(n8) A cos(n8) + Bsen(n8)
o monstração
Digne-se por hn a solução da equação homogénea associada. Seja Yn a solução geral Os coeficientes considerados na forma da solução particular procurada são determina-
de (25) e Pn uma sua solução particular. Então tem-se dos simplesmente substituindo na equação geral e resolvendo um sistema de
equações.
No entanto, no caso de a solução da equação homogénea conter um termo do mesmo
tipo da sucessão do segundo membro a solução particular não deverá ser igual a
e também essa mas sim ainda do mesmo tipo e multiplicada pela menor potência de 11. que
elimina essa duplicação. Alguns exemplos para o caso de equações de segunda
ordem podem ser os seguintes
subtraindo as duas equações (para cada 11.) e sendo os coeficientes constantes, j~ Forma da solução particular sej;1
o segundo membro é zero e portanto pode concluir-se que a sucessão YIl - p" (alguns exemplos) do mesmo tipo de h
solução da equação homogénea associada (21) tendo-se 1. C constante An
h" = y" - p" 2. Cn3 (e hn = cJ +c 2n) (AI +A2n +A3n2 +A4n3)n2
ou s j oluç O
3. b" Anb"
'" -11,1 I I)" /I ' '(lH( 1/(1) /1/ 'os( /lO) /ll3s n(/lO
('11(1/11) /I 'I (1111) I ,,11 '11(1/(1)
"

92. Problema 5.11 Problemas
'alcular a solução geral de Y,,+2- 5aIY,,+1 + 6a2Y" = 2" + 3 Calcular a solução geral das seguintes equações de diferenças
5.12 _.4 Y,,+I+ 4 y"
)',,+?+ = cos nn
4
Resolução
Considerando a equação característica associada tem 'se 5.13 Y,,+2- 3Y,,+1-IOy" = 3'2"
r2 - 5 r+3 =O 5.14 Y//+2- Y,,+I- 6y" = 6n2
e as raízes são 2 e 3. Então a solução da equação homogénea associada é 5.15 Y,,+2- 2Y,,+1+ y" = 2n
5.16 Y,,+2-2Y"+1 + y" = 12n2
e a solução particular é da forma A + 8n2". Determine-se então o valor dos
coeficientes A e8 Soluções
8(n + 2)2"+2 -58(n+1)2,,+1 + 68n2" +(A-5A+6A)=2" +3 512
.
. (2)"
CI - +c211 (2)"
. - + 4+4F2 nit
cos-+ 4+F2 sen-
nit
40 + 33F2 4 40 + 33F2 4
(B(n+2)x4-5B(n+l)x2+68n)2" +(A-5A+6A)=2" +3
Igualando coeficientes o sistema de equações é então 5.14 cl 3" + c2 ( -2)" - 11
2
- 311 + I
A-5A+6A = 3 2 I 3
5.15 cl +c2n-n +-n
3
B(n+ 2)x 4 -5B(n+ l)x 2 + 6Bn = 1
2A = 3
j 2Bx4-5Bx2=1
Bnx4-5Bnx2+6Bn=Oxn
8B-lOB=1
j 48-lOB+6B=0
A = 3/2
A solução é então dad por
Y" - ('I 11 (,.1/ - /I "

93. I
Bibliografia
APOSTOL, Tom - Calculus. Seeond edition, John Wiley & Sons, New York, 1967.
E. CODDINGTON e N. LEVINSON - Theory of Ordinary Differential Equations. tvc
Graw-Hill, New York, 1955.
FARLOW, S J. - An Introduction to Differential Equations and Their Applications. fV_
Graw-Hill, Singapore, 1994.
FULFORD, G.; FORRESTER, P. e JONES, A. - Modelling With Differential and Differen:!
Equations. New York: Cambridge University Press, 1997.
GOURSAT, E. - Cours dAnalyse Mathématique. Gauthier-Villars, 4érne edition, Paris.
KRASNOV, M. L ; KISELlOV, A. I. e MAKARENKO, G. I. - Problemas de Equações D~_
renciais Ordinárias. Me Graw-Hill de Portugal, Lisboa, 1994.
KREYSZIG, Erwin - Advanced Engineering Mathematics. Seventh edition, John Wile),~
Sons, New York, 1993.
ROSS, Shepley L. - Differential Equations. Third edition, John Wiley & Sons, New Yo,
"
1984.
SOUSA, J. Rios - Exercícios de Cálculo e Análise. Portuealense Editora, Porto, 1944.
WYLlE, C. Ray e BARRETI, Louis C. - Advanced Engineering Mathematics. Sixth editilj
Me Grew-Hill, New York, 1995.

94. índice remissivo
A
Analíticas. 97,104.
Anulador de uma função. 87-90.
c
Casoratiano. 181, 182, 184, 185.
Combinação linear. 73, 76, 97, 115.
Condições iniciais. 46, 78, 148, 172, 173.
Contínua por secções. 134, 141, 154, 162, 163, 165-167.
Convolução. 170, 172-174.
D
Determinante. 83, 84.
Diferenças centrais. 179.
Diferenças divididas. 179.
Diferenças para a frente. 178.
Diferencial. 13-16, 18,20-24,26-29,31-57,59-65,67-72,74,75,77,79-81,
83,811,8 - 1,3- 8,102,109,111-113,121,12 -127,129,145-147,
l' ,1' I, 1 O 1 ,11 1 I' .

95. L
Linearmente independentes. 73-77, 105, 114-116, 119, 126.
Equação característica. 75, 77, 78, 84, 89, 184.
Equação de Bernoulli. 48.
Equação de Clairaut. 63.
Equação de diferenças. 177, 180, 181, 184, 188, 189. M
Matriz fundamental. 126, 128.
Equação de Lagrange. 60, 63.
Método da variação da constante 43, 54, 69, 126.
Equação de Riccati. 52.
Equação de variáveis separáveis. 20, 22, 33. Método de Euler. 113.
Equação diferencial exacta. 34, 38. Método de Frobenius. 103, 104, 109.
Equação homogénea. 43-45, 54, 69, 73-75, 82-84, 88-90, 125. Método de substituição. 113.
Equação homogénea associada. 43-45, 54, 69, 74, 75, 88, 89. Método do anulador. 87.
Equação linear de primeira ordem. 49, 50. Método dos coeficientes indeterminados. 90.
Método passo a passo. 183.
Equações de Euler. 93.
Equações diferenciais lineares de ordem n. 72, 111. Mudança de variável. 21, 22, 24, 26-28, 49, 52, 93, 171, 172.
Equações não resolvidas em ordem à derivada. 56.
Equações redutíveis a homogéneas. 26.
o
Operador diferencial. 87.
Ordem exponencial. 140, 150, 154, 155, 162, 163, 165-167, 170, 171.
Factor integrante. 34, 38-41. Ordem superior. 67.
Família de curvas. 30, 31. Ordinária. 13.
Fracções simples. 143, 144, 148, 161.
Função de Bessel. 108.
p
Função de Heaviside. 155, 156.
Função Delta de Dirac. 159. Polinómio característico. 77, 78.
Ponto não singular da equação não diferencial. 97.
Função Gama. 108.
Ponto singular da equação diferencial. 97, 103, 104, 109.
Função homogénea de grau n. 20.
Primeiro teorema da translação. 150, 152.
Problema de valor inicial. 133.
11
Homogénea. 20-23, 26, 27, 32, 43-45,54,69,72-75,81-84,88-90,128,129.
R
Redução da ordem de uma equação. 67.
Int gral geral. 31, 57,61,63.
lnt gr I singular. 58, 59. S
Segundo teorema da translação. 154.
Int rpol c 0.17 .
lnv 1 ~ d tr n fim da d . 11·3, 1 ,171-17. S ri d p t nci .97-100,102, ios, 105, 106, 109.
li 1 1 t n ia '1 11 I"Ii/,1(1 . 'I ,'10.
11111111'.1111'1111 (OII! (l 1'1

96. Sistemas de equações diferenciais lineares homogéneos. 113.
Sistemas de equações diferenciais lineares não homogéneos. 125.
Solução geral. 35,43,44,47,64,70,73-77,82,84,91,97, 114-116, 121, 125,
126,128,129.
Solução particular. 52, 73, 74, 86, 88, 90,106-108,125,126,128,129.
T
Teorema da convolução. 170, 172, 174.
Teorema da existência e unicidade. 111.
Trajectórias ortogonais. 30, 32, 33.
Transformada de Laplace. 14, 133-136, 139-143, 145-148, 150, 152, 154-156,
159, 160, 162, 163, 165-176.
v
Valores próprios. 114, 115, 117, 118, 120, 127.
Variável dependente. 13, 111.
Variável independente. 13, 61, 68, 93, 111
Vectores próprios. 114-118, 120, 127.
W
Wronski. 82.
Wronskiano. 74, 83, 84.