1. O documento apresenta uma síntese das equações de Maxwell, incluindo suas formas discreta e fasorial. As equações descrevem as relações entre os campos elétrico e magnético.
2. A condição de Lorentz para potenciais é discutida, relacionando potenciais variantes no tempo com a obtenção desta condição. A equação de Poisson é resolvida.
3. As equações da onda eletromagnética são deduzidas para vácuo, meios dielétricos, condutores e polarização linear
Aula 17: Separação da equação de Schrödinger em coordenadas cartesianas. Part...Adriano Silva
Este documento discute a separação da equação de Schrödinger tridimensional em coordenadas cartesianas para casos em que o potencial é separável. Explica que para potenciais separáveis, a equação pode ser escrita como três equações de Schrödinger unidimensionais, cada uma relacionada a uma das coordenadas cartesianas. Ilustra isso para os casos de uma partícula livre e de uma partícula em uma caixa tridimensional.
Aula 18: Separação da equação de Schrödinger em coordenadas cartesianas. 2 Pa...Adriano Silva
Este documento descreve a resolução da equação de Schrödinger para duas situações tridimensionais: (1) uma partícula em uma caixa cúbica, cujos níveis de energia apresentam degenerescência relacionada à simetria do potencial, e (2) um oscilador harmônico tridimensional, cuja equação pode ser separada em coordenadas cartesianas assim como no caso unidimensional.
Aula 8: O degrau de potencial. Caso I: Energia menor que o degrauAdriano Silva
Este documento descreve um caso de mecânica quântica envolvendo uma partícula que incide sobre um potencial em forma de degrau. O documento apresenta:
1) A equação de Schrödinger para este problema é resolvida separadamente para as regiões x<0 e x>0 do potencial.
2) As soluções são "costuradas" impondo condições de continuidade na interface.
3) Isto mostra que a probabilidade de encontrar a partícula na região classificamente proibida é não-nula, diferentemente da
Aplicar o formalismo quântico ao caso de um potencial V(x) que tem a forma de um poço infinito: o potencial é infinito para x < –a/2 e para x > a/2, e tem o valor 0 para –a/2 < x < a/2.
Este capítulo discute a dinâmica relativística de partículas clássicas utilizando o formalismo tensorial de Minkowski. A segunda lei de Newton é generalizada para o formalismo relativístico através da equação do quadri-momento, que se reduz à segunda lei de Newton em baixas velocidades. A massa é mostrada como equivalente à energia através da fórmula E=mc2. Transformações de Lorentz são aplicadas às grandezas quadri-vetoriais como momento e força.
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre mecânica quântica. O objetivo da aula é consolidar os conhecimentos adquiridos no módulo anterior aplicando-os à resolução dos exercícios. São abordados tópicos como partícula livre e em caixa de potencial tridimensional, operador momento angular e relações de comutação entre operadores.
4 alternativas-para-resolver-a-equacao-de-schrodingerMarcelo de Souza
Quatro métodos numéricos são descritos para resolver a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio: (1) revisão da solução analítica, (2) uso de transformadas integrais para representar orbitais atômicos, (3) uso de números aleatórios no método de Monte Carlo Quântico. A motivação é explorar novos aspectos deste sistema bem conhecido usando técnicas numéricas.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre mecânica quântica para aplicar os conceitos estudados nas aulas anteriores. Os exercícios abordam tópicos como função de onda, equação de Schrödinger, operadores momento e energia, princípio da incerteza e casos estacionários e não estacionários.
Aula 17: Separação da equação de Schrödinger em coordenadas cartesianas. Part...Adriano Silva
Este documento discute a separação da equação de Schrödinger tridimensional em coordenadas cartesianas para casos em que o potencial é separável. Explica que para potenciais separáveis, a equação pode ser escrita como três equações de Schrödinger unidimensionais, cada uma relacionada a uma das coordenadas cartesianas. Ilustra isso para os casos de uma partícula livre e de uma partícula em uma caixa tridimensional.
Aula 18: Separação da equação de Schrödinger em coordenadas cartesianas. 2 Pa...Adriano Silva
Este documento descreve a resolução da equação de Schrödinger para duas situações tridimensionais: (1) uma partícula em uma caixa cúbica, cujos níveis de energia apresentam degenerescência relacionada à simetria do potencial, e (2) um oscilador harmônico tridimensional, cuja equação pode ser separada em coordenadas cartesianas assim como no caso unidimensional.
Aula 8: O degrau de potencial. Caso I: Energia menor que o degrauAdriano Silva
Este documento descreve um caso de mecânica quântica envolvendo uma partícula que incide sobre um potencial em forma de degrau. O documento apresenta:
1) A equação de Schrödinger para este problema é resolvida separadamente para as regiões x<0 e x>0 do potencial.
2) As soluções são "costuradas" impondo condições de continuidade na interface.
3) Isto mostra que a probabilidade de encontrar a partícula na região classificamente proibida é não-nula, diferentemente da
Aplicar o formalismo quântico ao caso de um potencial V(x) que tem a forma de um poço infinito: o potencial é infinito para x < –a/2 e para x > a/2, e tem o valor 0 para –a/2 < x < a/2.
Este capítulo discute a dinâmica relativística de partículas clássicas utilizando o formalismo tensorial de Minkowski. A segunda lei de Newton é generalizada para o formalismo relativístico através da equação do quadri-momento, que se reduz à segunda lei de Newton em baixas velocidades. A massa é mostrada como equivalente à energia através da fórmula E=mc2. Transformações de Lorentz são aplicadas às grandezas quadri-vetoriais como momento e força.
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre mecânica quântica. O objetivo da aula é consolidar os conhecimentos adquiridos no módulo anterior aplicando-os à resolução dos exercícios. São abordados tópicos como partícula livre e em caixa de potencial tridimensional, operador momento angular e relações de comutação entre operadores.
4 alternativas-para-resolver-a-equacao-de-schrodingerMarcelo de Souza
Quatro métodos numéricos são descritos para resolver a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio: (1) revisão da solução analítica, (2) uso de transformadas integrais para representar orbitais atômicos, (3) uso de números aleatórios no método de Monte Carlo Quântico. A motivação é explorar novos aspectos deste sistema bem conhecido usando técnicas numéricas.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre mecânica quântica para aplicar os conceitos estudados nas aulas anteriores. Os exercícios abordam tópicos como função de onda, equação de Schrödinger, operadores momento e energia, princípio da incerteza e casos estacionários e não estacionários.
Aplicações da equação de Schrödinger independente do tempoLucas Guimaraes
Equação de Schrödinger; Interpretação probabilística da função de onda; Normalização; Equação de Schrödinger independente do tempo; Poço potencial quadrado infinito; Poço potencial quadrado finito.
(apresentação publicada com autorização do autor).
O documento discute equações diferenciais de primeira ordem. Apresenta exemplos de como modelar problemas físicos usando tais equações e métodos para resolvê-las, como separação de variáveis. Exemplos incluem o movimento de um corpo sob a gravidade com e sem resistência do ar.
Análise Dinâmica de uma Viga do tipo biapoiada utilizando o Método dos Elemen...Vinicius Elias
Este documento apresenta uma análise dinâmica de uma viga biapoiada utilizando o método dos elementos finitos no software ANSYS. A análise inclui a determinação dos modos de vibração, frequências naturais e resposta harmônica da viga sob carregamento. Os resultados mostram o comportamento dinâmico da estrutura e a eficácia do método dos elementos finitos para este tipo de análise.
O documento descreve um oscilador harmônico quântico simples, com três objetivos principais: 1) obter a solução da equação de Schrödinger para este sistema; 2) compará-la com a solução clássica correspondente; 3) aplicar o formalismo quântico ao potencial harmônico V(x)=1/2kx2.
O documento discute a energia de deformação em materiais sob tensões normais, cisalhamento e flexão. Explica-se que a energia de deformação é igual ao trabalho realizado na deformação do material e é medida em joules (J). A densidade de energia de deformação é definida como a energia por unidade de volume e depende das propriedades do material como módulo de Young.
Este documento fornece dados físicos fundamentais e apresenta 15 questões sobre mecânica newtoniana, termodinâmica, eletrostática e eletromagnetismo. As questões abordam tópicos como cálculo de velocidade média, energia potencial gravitacional, corrente elétrica em solução iônica e comprimento de onda de de Broglie.
Este documento apresenta resoluções de exercícios de física relacionados a cinemática, leis de Newton e atrito. Os exercícios envolvem cálculos de tempo, velocidade, aceleração e força para sistemas em movimento retilíneo uniforme e circular uniforme. As respostas incluem valores numéricos e expressões algébricas.
1. O documento discute conceitos fundamentais de álgebra linear como base, dimensão e coordenadas de vetores. É apresentada a definição formal de base e exemplos para R3.
2. São listadas as bases canônicas dos principais espaços vetoriais como Rn, M(2x2) e Pn. É explicado o Teorema da Invariância e o processo para obter uma base de um subespaço.
3. Os conceitos de dimensão, subespaços e suas propriedades são definidos. São mostrados teoremas e proposições
1) O documento descreve o algoritmo de ordenação MergeSort, que utiliza a técnica de divisão e conquista.
2) MergeSort divide o problema em subproblemas menores, ordena esses subproblemas recursivamente e depois os combina através de uma operação de intercalação.
3) A análise mostra que a complexidade temporal do algoritmo MergeSort é de O(n log n), tornando-o um dos algoritmos de ordenação mais eficientes.
FORMA ANALÍTICA E MÉTODOS DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO AO POTENCIAL DENTRO...JÚLIO PEIXOTO
Resolução analiticamente o problema de Dirichlet, aplicado a uma calha condutora fechada com quatro condições de fronteira e comparar com uma solução de cálculo numérico utilizando o método das diferenças finita. Todas os resultados serão apresentados de forma gráfica e por fim será realizado uma comparação para análise do erro percentual dos dois métodos utilizados.
[1] O documento introduz o operador momento angular quântico em coordenadas esféricas. [2] É derivada a expressão para o operador momento angular e suas componentes cartesianas nestas coordenadas. [3] O documento também aborda harmônicos esféricos, que são autofunções do operador momento angular.
1) O documento fornece dados físicos fundamentais como aceleração da gravidade, densidade da água, carga do elétron, velocidade da luz e constantes como constante de Planck.
2) Inclui também relações trigonométricas como seno e cosseno de 37 graus.
3) Apresenta 15 questões sobre mecânica newtoniana, termodinâmica, eletrostática e eletromagnetismo para exercitar o uso destes dados e relações.
Este documento apresenta 58 problemas resolvidos de física sobre o capítulo 28 - O Campo Elétrico do livro Física 3 de Resnick, Halliday e Krane. Os problemas abordam tópicos como campo elétrico criado por distribuições de carga pontual e extensa, linhas de campo elétrico, momento de dipolo elétrico entre outros. As soluções são fornecidas para que os estudantes possam verificar seus raciocínios.
O documento discute métodos para estimar densidades de probabilidade a partir de dados, incluindo métodos paramétricos bayesianos, métodos de núcleo e misturas de distribuições. O algoritmo EM é descrito como uma abordagem para inferir parâmetros de misturas de distribuições maximizando a verossimilhança dos dados.
Este documento apresenta a resolução de vários problemas de física relacionados à dinâmica de partículas. Inclui problemas sobre coeficientes de atrito estático e cinético, condições para que um bloco comece a deslizar contra uma parede, e o volume máximo de areia que pode ser empilhado em uma área circular sem que nenhuma areia saia da área.
O documento discute redes neurais para classificação e regressão. Brevemente descreve a história das redes neurais, como elas podem ser usadas para classificação e regressão, e aplicações como detecção de fraude e previsão de riscos. Também resume perceptrons, redes multicamadas, e o algoritmo backpropagation para treinamento de redes neurais.
Este documento apresenta notas de aula sobre modelos nucleares. O capítulo discute tópicos como a composição e estabilidade dos núcleos, o modelo do gás de Fermi, o raio nuclear, a massa nuclear e energia de ligação, modelos nucleares como a gota líquida e camadas, e isospin. Há também exercícios relacionados aos tópicos.
1) O documento discute a distribuição de Boltzmann, que relaciona a termodinâmica à mecânica estatística.
2) A distribuição de Boltzmann mostra que a probabilidade de encontrar moléculas em uma configuração espacial é tanto menor quanto maior for a energia dessa configuração a uma dada temperatura, diminuindo exponencialmente com a energia dividida por kBT.
3) O documento deriva a distribuição de Boltzmann para diferentes sistemas, incluindo a atmosfera e moléculas sob
O documento discute diferentes tipos de força, incluindo a força elástica segundo a Lei de Hooke, a força resultante, e a força de atrito. A Lei de Hooke estabelece que a deformação de um corpo elástico é diretamente proporcional à força aplicada. A força resultante é a única força equivalente que produz o mesmo efeito que várias forças aplicadas a um corpo. A força de atrito sempre atua no sentido oposto ao movimento e depende do coeficiente de atrito e da força normal de
The production company name chosen was "LEEMA Productions" which provides a broad genre for future films and relates more to the creators' names than specifying a genre. The name "LEEMA" can relate to lemurs which are active or llamas to represent the emphasis and activity of the company. The name was developed by merging the names Louise and Deema, the creators of the film company.
The document lists the names of 18 photographers who contributed photos to a Haiku Deck presentation on SlideShare. It encourages the reader to get started creating their own Haiku Deck presentation by providing photos from various photographers available on the platform.
Aplicações da equação de Schrödinger independente do tempoLucas Guimaraes
Equação de Schrödinger; Interpretação probabilística da função de onda; Normalização; Equação de Schrödinger independente do tempo; Poço potencial quadrado infinito; Poço potencial quadrado finito.
(apresentação publicada com autorização do autor).
O documento discute equações diferenciais de primeira ordem. Apresenta exemplos de como modelar problemas físicos usando tais equações e métodos para resolvê-las, como separação de variáveis. Exemplos incluem o movimento de um corpo sob a gravidade com e sem resistência do ar.
Análise Dinâmica de uma Viga do tipo biapoiada utilizando o Método dos Elemen...Vinicius Elias
Este documento apresenta uma análise dinâmica de uma viga biapoiada utilizando o método dos elementos finitos no software ANSYS. A análise inclui a determinação dos modos de vibração, frequências naturais e resposta harmônica da viga sob carregamento. Os resultados mostram o comportamento dinâmico da estrutura e a eficácia do método dos elementos finitos para este tipo de análise.
O documento descreve um oscilador harmônico quântico simples, com três objetivos principais: 1) obter a solução da equação de Schrödinger para este sistema; 2) compará-la com a solução clássica correspondente; 3) aplicar o formalismo quântico ao potencial harmônico V(x)=1/2kx2.
O documento discute a energia de deformação em materiais sob tensões normais, cisalhamento e flexão. Explica-se que a energia de deformação é igual ao trabalho realizado na deformação do material e é medida em joules (J). A densidade de energia de deformação é definida como a energia por unidade de volume e depende das propriedades do material como módulo de Young.
Este documento fornece dados físicos fundamentais e apresenta 15 questões sobre mecânica newtoniana, termodinâmica, eletrostática e eletromagnetismo. As questões abordam tópicos como cálculo de velocidade média, energia potencial gravitacional, corrente elétrica em solução iônica e comprimento de onda de de Broglie.
Este documento apresenta resoluções de exercícios de física relacionados a cinemática, leis de Newton e atrito. Os exercícios envolvem cálculos de tempo, velocidade, aceleração e força para sistemas em movimento retilíneo uniforme e circular uniforme. As respostas incluem valores numéricos e expressões algébricas.
1. O documento discute conceitos fundamentais de álgebra linear como base, dimensão e coordenadas de vetores. É apresentada a definição formal de base e exemplos para R3.
2. São listadas as bases canônicas dos principais espaços vetoriais como Rn, M(2x2) e Pn. É explicado o Teorema da Invariância e o processo para obter uma base de um subespaço.
3. Os conceitos de dimensão, subespaços e suas propriedades são definidos. São mostrados teoremas e proposições
1) O documento descreve o algoritmo de ordenação MergeSort, que utiliza a técnica de divisão e conquista.
2) MergeSort divide o problema em subproblemas menores, ordena esses subproblemas recursivamente e depois os combina através de uma operação de intercalação.
3) A análise mostra que a complexidade temporal do algoritmo MergeSort é de O(n log n), tornando-o um dos algoritmos de ordenação mais eficientes.
FORMA ANALÍTICA E MÉTODOS DAS DIFERENÇAS FINITAS APLICADO AO POTENCIAL DENTRO...JÚLIO PEIXOTO
Resolução analiticamente o problema de Dirichlet, aplicado a uma calha condutora fechada com quatro condições de fronteira e comparar com uma solução de cálculo numérico utilizando o método das diferenças finita. Todas os resultados serão apresentados de forma gráfica e por fim será realizado uma comparação para análise do erro percentual dos dois métodos utilizados.
[1] O documento introduz o operador momento angular quântico em coordenadas esféricas. [2] É derivada a expressão para o operador momento angular e suas componentes cartesianas nestas coordenadas. [3] O documento também aborda harmônicos esféricos, que são autofunções do operador momento angular.
1) O documento fornece dados físicos fundamentais como aceleração da gravidade, densidade da água, carga do elétron, velocidade da luz e constantes como constante de Planck.
2) Inclui também relações trigonométricas como seno e cosseno de 37 graus.
3) Apresenta 15 questões sobre mecânica newtoniana, termodinâmica, eletrostática e eletromagnetismo para exercitar o uso destes dados e relações.
Este documento apresenta 58 problemas resolvidos de física sobre o capítulo 28 - O Campo Elétrico do livro Física 3 de Resnick, Halliday e Krane. Os problemas abordam tópicos como campo elétrico criado por distribuições de carga pontual e extensa, linhas de campo elétrico, momento de dipolo elétrico entre outros. As soluções são fornecidas para que os estudantes possam verificar seus raciocínios.
O documento discute métodos para estimar densidades de probabilidade a partir de dados, incluindo métodos paramétricos bayesianos, métodos de núcleo e misturas de distribuições. O algoritmo EM é descrito como uma abordagem para inferir parâmetros de misturas de distribuições maximizando a verossimilhança dos dados.
Este documento apresenta a resolução de vários problemas de física relacionados à dinâmica de partículas. Inclui problemas sobre coeficientes de atrito estático e cinético, condições para que um bloco comece a deslizar contra uma parede, e o volume máximo de areia que pode ser empilhado em uma área circular sem que nenhuma areia saia da área.
O documento discute redes neurais para classificação e regressão. Brevemente descreve a história das redes neurais, como elas podem ser usadas para classificação e regressão, e aplicações como detecção de fraude e previsão de riscos. Também resume perceptrons, redes multicamadas, e o algoritmo backpropagation para treinamento de redes neurais.
Este documento apresenta notas de aula sobre modelos nucleares. O capítulo discute tópicos como a composição e estabilidade dos núcleos, o modelo do gás de Fermi, o raio nuclear, a massa nuclear e energia de ligação, modelos nucleares como a gota líquida e camadas, e isospin. Há também exercícios relacionados aos tópicos.
1) O documento discute a distribuição de Boltzmann, que relaciona a termodinâmica à mecânica estatística.
2) A distribuição de Boltzmann mostra que a probabilidade de encontrar moléculas em uma configuração espacial é tanto menor quanto maior for a energia dessa configuração a uma dada temperatura, diminuindo exponencialmente com a energia dividida por kBT.
3) O documento deriva a distribuição de Boltzmann para diferentes sistemas, incluindo a atmosfera e moléculas sob
O documento discute diferentes tipos de força, incluindo a força elástica segundo a Lei de Hooke, a força resultante, e a força de atrito. A Lei de Hooke estabelece que a deformação de um corpo elástico é diretamente proporcional à força aplicada. A força resultante é a única força equivalente que produz o mesmo efeito que várias forças aplicadas a um corpo. A força de atrito sempre atua no sentido oposto ao movimento e depende do coeficiente de atrito e da força normal de
The production company name chosen was "LEEMA Productions" which provides a broad genre for future films and relates more to the creators' names than specifying a genre. The name "LEEMA" can relate to lemurs which are active or llamas to represent the emphasis and activity of the company. The name was developed by merging the names Louise and Deema, the creators of the film company.
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Gautam Jain has a Master's degree in Information Systems from the University of Maryland and a Bachelor's degree in Electronics and Instrumentation Engineering from D.A.V.V. Indore. He has work experience as an Associate Software Engineer at Accenture Services Pvt. Ltd. where he customized Salesforce modules, performed testing, and coordinated project meetings. Gautam has experience leading teams, mentoring new hires, and conducting technical seminars. His academic projects involved database development and analyzing Sony's impact on the gaming industry. Gautam has skills in languages like SQL, C++, Java and tools like Excel, Visio and Salesforce. He received awards for delivery success from Accenture
The document discusses the learning and progression from a preliminary film project to a full opening sequence project. It summarizes that the preliminary project was simple while the opening sequence had more complex elements like different shots. It describes learning basic skills in video editing software and camera operation for the preliminary project. For the full project, it discusses applying skills more naturally and learning advanced techniques like various shots, controlling camera shake, and properly applying composition rules. Prices are listed for courses and tasks related to video skills learning.
Dokumen tersebut membincangkan beberapa isu dan cabaran pendidikan semasa seperti usaha menyatukan negara berbilang agama dan budaya, integrasi nasional, pendemokrasian pendidikan, kepelbagaian budaya, dan pengaruh perkembangan teknologi maklumat dan komunikasi. Ia juga menyentuh langkah-langkah yang boleh diambil untuk menangani cabaran tersebut seperti menjadikan sekolah kebangsaan sebagai peneraju, memastikan pel
Dokumen ini memberikan program tahunan mata pelajaran Ilmu Pengetahuan Sosial (IPS) untuk kelas VI semester 1 dan 2 di sekolah dasar, yang mencakup standar kompetensi dan alokasi waktu pembelajaran untuk masing-masing kompetensi dasar.
Dr. George Nicolas Batty is a hematologist and medical oncologist at a comprehensive cancer center in Palm Springs, California. He strives to share medical information with patients compassionately. Research shows that most patients prefer to receive their cancer diagnosis privately from their doctor and want a back-and-forth discussion to understand their condition and preliminary treatment plan so they don't feel alone after the appointment. Dr. Batty's cancer center also serves Spanish-speaking patients.
El cáncer de pulmón es el crecimiento maligno de células en los pulmones que puede propagarse a otros órganos. Puede aparecer en los bronquios principales o más pequeños. Los síntomas incluyen tos, dolor torácico y sangre en la tos. El diagnóstico se realiza mediante radiografías, TAC, análisis de esputo, análisis de sangre y biopsias. Los tratamientos son cirugía, quimioterapia y radioterapia.
This document outlines the yearly plan for the Science subject for Form 4 students at SMK Ungku Husin in 2010. It includes 13 themes that will be covered from January to May, along with the topics, content, learning outcomes, and planned completion dates for each week. The major themes include introducing science, body coordination, heredity and variation, and matter in nature. Some of the topics covered are scientific investigation, the human nervous system, cell division, states of matter, and the periodic table.
This document contains class timetables for 2015 from SK Titi Gantong school in Bota, Perak. It lists the subjects, teachers, and number of class periods for three classes - 1 Bestari, 1 Potensi, and 1 Jauhari. Each class has between 6-10 subjects with 1-2 periods allocated per subject weekly. The timetable schedules the classes from 7:40am to 2:10pm on Mondays with 10 minute breaks between periods.
El documento trata sobre la contaminación ambiental. Explica que la contaminación ha existido desde tiempos antiguos pero se agravó con la revolución industrial y el uso masivo de combustibles fósiles. También cubre los primeros esfuerzos legislativos para combatirla y desastres como el Gran Hedor de Londres. La contaminación se ha convertido en un problema global debido a la naturaleza transfronteriza de la atmósfera y los océanos. Existe una variedad de fuentes y tipos de contaminación que afectan la salud humana y los
El documento describe la misión, visión, escudo, bandera e himno del Servicio Nacional de Aprendizaje (SENA) de Colombia. La misión del SENA es ofrecer formación profesional integral para contribuir al desarrollo social, económico y tecnológico del país. Su visión para 2020 es ser una entidad líder mundial en formación profesional que incremente la competitividad de Colombia.
The document provides biographical information about Andrew Severns. It includes his location, what someone might find about him online including his Facebook and career, and that he lives in the Philadelphia area. It then lists some things Google wouldn't show like his life story, friends, and what he's learned. It details his hobbies, skills, goals for college and life, things he doesn't want to do, and concludes with his email address.
O documento apresenta os principais conceitos matemáticos relacionados ao eletromagnetismo, como operador nabla, gradiente, divergência e rotacional. Explica o significado geométrico e físico dessas grandezas vetoriais diferenciais e mostra exemplos de suas aplicações.
1) O documento fornece dados físicos fundamentais como aceleração da gravidade, densidade da água, calor específico da água, carga do elétron, massa do elétron, velocidade da luz, constante de Planck e valores de seno e cosseno.
2) Inclui 11 exercícios resolvidos de mecânica newtoniana, termodinâmica e ondas, abordando conceitos como velocidade média, força, energia potencial e cinética, pressão de gases, calor e propagação de
1. Um corpo eletrizado positivamente apresenta uma carga de 480 Cμ. Isso significa que o corpo perdeu 3 × 1020 elétrons, inicialmente neutro.
2. Quando as duas esferas estão separadas por uma distância d, a força sobre cada uma é F. Quando estão em contato, a força é 4/3F.
3. Dois pontos carregados A e B no vácuo, onde A é fixo e positivo com carga Q+, e B executa movimento circular uniforme ao redor de A com raio r e
Equacionamento das ondas planas - Eletromag.william chagas
1) O documento discute a teoria da propagação de ondas eletromagnéticas planas, apresentando as equações de Maxwell que descrevem esses campos elétrico e magnético.
2) É explicado que as ondas eletromagnéticas são soluções das equações de ondas de Helmholtz no vácuo e que a constante de propagação depende das propriedades do meio.
3) O teorema de Poynting sobre o fluxo de potência associado às ondas eletromagnéticas é apresentado, relacionando os
A aula aborda conceitos de potencial elétrico, campo elétrico e energia potencial elétrica. Explica como calcular o potencial elétrico criado por cargas pontuais e como determinar o campo elétrico a partir do potencial. Apresenta também exemplos numéricos de cálculos envolvendo estas grandezas.
1) O documento apresenta 15 questões de física sobre tópicos como mecânica, termodinâmica, eletromagnetismo e física atômica.
2) As questões abordam cálculos envolvendo força, trabalho, energia cinética e potencial, velocidade do som, campo elétrico, órbitas atômicas e outros conceitos físicos.
3) São fornecidas as respostas corretas para cada questão junto com uma breve justificativa dos cálculos realizados.
1) O documento apresenta 14 problemas de física resolvidos, envolvendo conceitos como conservação da quantidade de movimento, energia mecânica, circuitos elétricos e capacitores.
2) Os problemas abordam tópicos como movimento de projéteis, sistemas de partículas, oscilações mecânicas, resistores e capacitores em série e paralelo.
3) As soluções utilizam equações como leis de Newton, conservação da energia e leis de Kirchhoff para circuitos elétricos.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre física quântica e atômica. Os exercícios envolvem o princípio da incerteza de Heisenberg, a equação de Schrödinger e funções de onda para diferentes sistemas quânticos unidimensionais.
1) O documento apresenta a derivação matemática das leis de Kepler a partir da lei da gravitação universal de Newton. 2) A primeira lei de Kepler, sobre as órbitas elípticas dos planetas, é demonstrada a partir da equação diferencial do movimento de dois corpos e da conservação do momento angular. 3) A segunda lei de Kepler, sobre a área varrida em tempos iguais, é mostrada como consequência direta da conservação do momento angular.
Este documento apresenta uma série de exercícios relacionados aos tópicos de mecânica quântica estudados nas aulas anteriores, como barreiras de potencial, poços de potencial finitos e infinitos e oscilador harmônico. As questões abordam cálculos de probabilidade de transmissão através de barreiras, estimativas de energia de estados ligados em poços e cálculos de valores esperados para diferentes estados quânticos. Resoluções detalhadas são fornecidas para cada exercício como forma de
O documento descreve o cálculo da força de atrito entre um corpo em movimento e as moléculas de ar. Considerando a densidade do ar n e a massa das moléculas m, é calculado o número de colisões N e a variação de momento ∆P para obter a equação da força de atrito F = 2nmv2A.
Este documento discute as tensões e deformações em barras elásticas submetidas à flexão. Ele apresenta as fórmulas para calcular a tensão máxima, a tensão em qualquer ponto e a curvatura da barra. Também aborda como essas fórmulas se aplicam a barras compostas por vários materiais, com diferentes módulos de elasticidade.
O documento apresenta os principais teoremas de Stokes sobre campos elétricos e magnéticos, incluindo: (1) o Teorema da Divergência, o Teorema do Rotacional e as Leis de Gauss para eletricidade e magnetismo; (2) a Lei de Faraday e a Lei de Ampère-Maxwell; e (3) as Equações de Maxwell na forma diferencial. Exemplos numéricos ilustram a aplicação destes teoremas.
Aula 9: O degrau de potencial. Caso II: Energia maior que o degrauAdriano Silva
Aplicar o formalismo quântico ao caso de uma partícula quântica que incide sobre o degrau de potencial, definido na Aula 8. Vamos considerar agora o caso em que a energia da partícula é maior que a altura do degrau.
Este documento apresenta 58 problemas resolvidos de física sobre o capítulo 28 - O Campo Elétrico do livro Física 3 de Resnick, Halliday e Krane. Os problemas abordam tópicos como campo elétrico criado por distribuições de carga pontual e extensa, linhas de campo elétrico, momento de dipolo elétrico e oscilações de dipolos em campos elétricos.
1) O documento discute condutores e capacitores na eletrostática, definindo condutores como materiais que possuem elétrons livres para se movimentar sob campo elétrico e isolantes como aqueles em que os elétrons estão fortemente ligados.
2) Em condutores, as cargas se redistribuem de modo a anular o campo elétrico interno, gerando uma densidade de carga superficial que o polariza.
3) Dois condutores carregados formam um capacitor, onde a diferença de potencial é diretamente pro
1) O documento apresenta 6 questões de matemática sobre sequências numéricas, expressões algébricas, logaritmos e raízes complexas.
2) A segunda parte contém 6 questões de física sobre colisões, movimento harmônico simples, termodinâmica de gases ideais e óptica.
3) Os documentos fornecem problemas e exercícios típicos de vestibulares de engenharia com foco em matemática e física.
O documento descreve 7 aplicações da equação de Schrodinger, incluindo:
1) Uma partícula livre, cuja função de onda é uma onda plana com momento previsível.
2) Um potencial degrau, onde a função de onda depende se a energia é menor ou maior que a altura do degrau.
3) O caso de energia menor que a altura do degrau é analisado.
Aplicar o formalismo quântico ao caso de um potencial V(x) que tem a forma de um poço (tem um valor V0 para x < -a/2 e para x > a/2, e um valor 0 para –a/2 < x < a/2).
1. André Luís da Silva Pessoa
alsppibr@gmail.com(e-mail)/alsp1991(skype)
Referências
[1] Bhag Guru , Huseyin R. Hiziroglu, Eletromagnetic: Field Theory
Fundamentals, Cambridge, 2 ed.
[2] William H. Hayt Jr., John A. Buck, Eletromagnetismo, Livros
Téc. e Cient. Editora, 6 ed., 2003.
[3] Sadiku, Matthew N. O., Elementos de Eletromagnetismo , Bo-
okmann, 2004.
[4] D. J. Griffiths, Eletrodinâmica, Pearson..
[5] Kraus, J. D. e Carver, K. R, Eletromagnetismo, Guanabara Dois,
6 ed.
[6] David K. Cheng Field and Wave Eletromagnetics, ADDISON-
WESLEY PUBLISHING COMPANY, 2 ed.
1
2. Sumário
1 Síntese das equações de Maxwell 3
1.1 Equações na forma discreta: . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Equações de Maxwell na forma fasorial: . . . . . . . . 5
1.2.1 A fórmula de Euler: . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 conclusões finais para esta seção: . . . . . . . 6
2 A condição de Lorentz para potenciais: 7
2.1 Potenciais variantes no tempo e a obtenção da con-
dição de Lorentz para potenciais:[3] e [5] . . . . . . . 7
2
2.2 Resolvendo a equação 2 V − εµ ∂ 2V = − ρε e discu-
∂ t
V
tindo o significado de seu resultado:[5] . . . . . . . . 9
3 A onda eletromagnética : 10
3.1 Exercício 01: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Considerações necessárias para cada meio:[3] . . . . . 12
3.3 Equações da Onda para o vácuo: . . . . . . . . . . . 12
3.3.1 Equações de Maxwell para o vácuo: . . . . . . 12
3.3.2 Deduzindo as equações da onda eletromagné-
tica no vácuo:[2] . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 Equações da onda para um meio dielétrico(isolante)
:[2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.5 Equação da onda em meio condutor:[1] . . . . . . . . 15
3.6 Exercício 02: [1], [2] e [3] . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.7 Exemplo 03: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.8 Estudo da potência de uma OPU: . . . . . . . . . . . 20
3.8.1 Calculando a potência da onda[2] e [3]: . . . . 20
3.8.2 Calculando a densidade de potência média em
um dielétrico[2] e [3]: . . . . . . . . . . . . . . 21
3.8.3 Cálculo Densidade de potência média em um
meio bom condutor[2]: . . . . . . . . . . . . . 21
3.8.4 Potência total [2] e [3]: . . . . . . . . . . . . . 22
3.8.5 Ondas polarizadas linearmente: . . . . . . . . 22
3.9 Exemplo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2
3. 1 Síntese das equações de Maxwell
1.1 Equações na forma discreta:
1.1.1 .E= ρV
• Divergente do vetor intensidade de campo elétrico é igual à
razão entre a densidade volumétrica pela permissividade do
dielétrico;
• Justificativa:
Pela lei de Gauss:
ˆ ˆ
D.dS = ρV .dV (1)
S
V
Pelo teorema de Gauss-Ostrovsky:
ˆ ˆ
.D.dV = ρV .dV (2)
V
V
Derivando ambos os lados e simplificando:
.D = ρV (3)
Substituindo D por E, fica:
ρV
.E = (4)
1.1.2 × E = −µ ∂H
∂t
• O rotacional do vetor intensidade de campo elétrico é igual
ao oposto do produto entre a permeabilidade magnética e a
derivada parcial do vetor intensidade de campo magnético pelo
tempo;
• Justificativa:
Analisando a Lei de Faraday-Neumann-Lenz:
ˆ
dΦ
E.dl = − (5)
C dt
Utilizando o teorema de Stokes ou teorema da divergência:
3
4. ˆ ´
d S B.dS
× E.dS = − (6)
S dt
Colocando a derivada para o interior da integração:
ˆ ˆ
∂B
× E.dS = − .dS (7)
S S ∂t
Derivando ambos os lados,substituindo B por µ.H e simplificando:
∂H
× E = −µ (8)
∂t
1.1.3 .H=0
• O divergente do vertor densidade de fluxo magnético é 0(zero);
• Jsutificativa: Pois as linhas de força magnéticas são fechadas;
∂E
1.1.4 ×H = J+ ∂t
[3]
• O rotacional do vetor intensidade de campo magnético é igual
à soma da densidade de corrente elétrico pelo produto entre
a permissividade do dielétrico pela derivada parcial do vetor
intensidade campo elétrico em relação ao tempo;
• Justificativa:
Analisando a lei de Ampère, temos:
ˆ ´ ˆ ˆ
dQ d S D.dS ∂D
B.dl = I = = = .dS = J.dS (9)
C dt dt S ∂t S
´ I representa corrente elétrica e pode ser expressa como sendo
´
d S D.dS
dt
ou como sendo S J.dS.
Logo desenvolvendo, derivando e substituindo D por E, fica:
×H=J (10)
∂E
×H= (11)
∂t
Se aplicarmos a operação de divergência nos dois membros da
equação 10,fica:
4
5. ∂ρV
.( × H) = .J ∧ .( × H) = 0 ⇒ .J = − =0 (12)
∂t
.J = − ∂ρV é conhecida como a equação da continuidade.
∂t
Como em situações variantes no tempo a equação 12 não ocorre,
pois ∂ρV é distinta de zero, então faz-se o seguinte ajuste:
∂t
×H=J+J (13)
Executando a operação de divergência em ambos os membros da
equação 13, obtêm-se a seguinte situação:
∂ρV
.( × H) = .J + .J = 0 ⇒ .J = − .J = −(− )
∂t
∂ρV ∂( .D) ∂D
= = = . (14)
∂t ∂t ∂t
Logo,
∂D
J = (15)
∂t
Conclui-se então, que:
∂D ∂E
×H=J+ =J+ (16)
∂t ∂t
1.2 Equações de Maxwell na forma fasorial:
O campo elétrico por exemplo pode ser colocado na forma fasorial,
que é determinada analisando incialmente a sua forma variante no
tempo, que é:
−
→
Ex = E(x, y, z) cos(ωt + ψ)ˆx
a (17)
1.2.1 A fórmula de Euler:
eα+jβ = eα [cos(β) + jsen(β)] (18)
• Justificativa: Usando as séries de potência, teremos as seguintes identida-
des:
5
6. x2 x3
ex = 1 + x + + + ... (19)
2! 3!
x2 x4 x6
cos(x) = 1 − + − ... (20)
2! 4! 6!
x3 x5 x7
sin(x) = x −
+ − + ... (21)
3! 5! 7!
Se atribuirmos a x o valor βj, fica:
(βj)2 (βj)3 β2 jβ 3 β4 jβ 5
eβj = 1 + βj + + + ... = 1 + βj − − + + + ... =
2! 3! 2! 3! 4! 5!
β2 β4 β3 β5
= (1 − 2! + 4! + ...) + j(β − 3! + 5! ) = cosβ + jsenβ.
1.2.2 conclusões finais para esta seção:
Ex = Re[E(x, y, z).ej(ωt+ψ) ] = Re[|E(x, y, z)|∠(ωt + ψ)] (22)
Onde fica claro que estamos considerando apenas a parte real
desta operação, que possui também uma parte imaginária; a equação
18 pode também ser expressada comos:
Ex = Re[E(x, y, z).ejψ ].ejwt (23)
→
−
Na equação 23, Re[E(x, y, z).ejψ ] a forma fasorial de E x e será
representada por E S ; teremos agora que:
−→
−
EXS = ES .ejwt ax
ˆ (24)
Derivando E XS teremos que :
∂EXS
= jwES ejwt (25)
∂t
Em tempos instantâneos, a equação 21 fica:
∂EXS
≈ jwES (26)
∂t
Assim, as equações de Maxwell serão reescritas assim:
.EXS = ρV
.HXS = 0
× EXS = −jwµHS
× HXS = J + jw ES
6
7. 2 A condição de Lorentz para potenciais:
2.1 Potenciais variantes no tempo e a obtenção da condi-
ção de Lorentz para potenciais:[3] e [5]
O potencial elétrico escalar e o potencial magnético vetorial são modelados res-
pectivamente:
ˆ
ρV .dv
V = (27)
V 4πεR
ˆ
µ.J.dv
A= (28)
V 4πR
Considerando a identidade:
→ →
− −
×A =B (29)
→
−
Podemos desenvolver a equação de Maxwell na forma discreta, ×E =
→
−
B
− ∂∂t e obter a seguinte igualdade:
→
− →
− →
−
→
− ∂ ×A → ∂
− ×A → ∂A
−
×E =− ⇒ ×E+ =0⇒ × (E + ) = 0 (30)
∂t ∂t ∂t
Como o rotacional de um campo escalar é nulo, podemos inferir que a igual-
dade 30 poder ser reescrita da seginte forma:
→
−
→ ∂A
−
× (E + )= × (− V ) (31)
∂t
que poderá ser simplificado para:
→
−
→ ∂A
−
E+ =− V (32)
∂t
→
−
Isolando E :
→
−
→
− ∂A
E =− V − (33)
∂t
→
−
Conforme as equações de Maxwell na forma discreta, sabe-se que × H =
→
− →
− →− →
− →
− →
− →
−
E E
J +ε ∂∂t o que pode ser reescrito como × B = µ J +εµ ∂∂t , já que B = µ H ;
logo:
→
−
→
− →
− →
− ∂E
× ×A = × B = µ J + εµ (34)
∂t
Aplicando a equação 33 na equação 34:
7
8. →
−
A
∂(− V − ∂∂t )
→
− →
− →
−
× ×A = × B = µ J + εµ (35)
∂t
Como existe a identidade :
→
− →
− 2→
−
× ×A = ( .A) − A (36)
Então :
→
− →
−
A
∂(− V − ∂∂t ) ∂(− V ) A
∂( ∂∂t )
→
− 2→
− →
− →
−
( .A) − A = µ J + εµ = µ J + εµ − εµ
∂t ∂t ∂t
(37)
Reescrevendo a equação 37, fica:
−
→
→
− 2→
− →
− ∂(V ) ∂2A
( .A) − A = µ J − εµ − εµ 2 (38)
∂t ∂ t
ou
−
→
2→
− ∂2A →
− →
− ∂(V )
− A + εµ = µJ − ( . A + εµ ) (39)
∂2t ∂t
ou
−
→
2→
− ∂2A →
− →
− ∂(V )
A − εµ 2 = −µ J + ( . A + εµ ) (40)
∂ t ∂t
→
−
Considerando . A + εµ ∂(V ) = 0 ⇒
∂t
→
− ∂(V )
. A = −εµ (41)
∂t
A equação 41 é chama de condição de Lorentz para potenciais.
Aplicando a equação 41 na equação 40, obtem-se:
−
→
2→
−∂2A →
−
A − εµ 2 = −µ J (42)
∂ t
→
− →
− →
−
Como .E = ρV A
e E = − V − ∂∂t , então:
ε
→
− →
− →
−
→
− →
− ρV ∂A ρV ∂A 2 ∂ .A
.E = .E ⇒ = .(− V − )⇒ = − .( V )− . )=− V−
ε ∂t ε ∂t ∂t
(43)
Aplicando a equação 41 na equação 43:
ρV ∂(−εµ ∂(V ) ) ∂2V
=− 2
V − ∂t
=− 2
V + εµ (44)
ε ∂t ∂2t
ou seja:
8
9. ∂2V ρV
2
2t
V − εµ
=− (45)
∂ ε
As equações 42 e 45 são as equações de onda!
2
2.2 Resolvendo a equação 2 V − εµ ∂ 2V = − ρε e discutindo
∂ t
V
o significado de seu resultado:[5]
Como o operador laplaciano em coordenadas esféricas de V é definido por:
1 ∂(R2 ∂V ) 1 ∂(senθ ∂V ) 1 ∂2V
2
V = 2
∂R
aR + 2
ˆ ∂θ
aθ + 2
ˆ a
ˆ
2θ ∂2ϕ ϕ
(46)
R ∂R R senθ ∂θ R sen
O laplaciano será analisado em coordenadas esféricas por que a melhor si-
metria para analisar a situação fica em simetria esférica.
Como a única direção em que é relevante analisar o problema é na direção do
versor aR , então as demais componentes ai ,para i∈ {θ, ϕ},serão desconsideradas.
ˆ ˆ
então, se ρV = 0:
∂2V 1 ∂(R2 ∂V ) ∂2V
2
V − εµ
=0⇒ 2 ∂R
− εµ 2 = 0 (47)
∂2t R ∂R ∂ t
onde V está dependendo de R e de t, ou seja, V∝ (R, t).
Se chamar V(R,t) de (1/R)U(R,t), ficará:
∂2U ∂2U
2R
− εµ 2 = 0 (48)
∂ ∂ t
√
Resolvendo, ou a solução será em função de (t+R εµ) ou será em função
de (t-R εµ);mas seguindo uma modelagem mais fiel ao que ocorre na prática,
fica:
√
U (R, t) = f (t − R εµ) (49)
√
Na equação 49 constata-se que εµ é a velocidade de propagação e pode-se
constatar que:
√
U (R + R, t + t) = f (t − R εµ) (50)
e a equação 50 sendo reescrita em função de V(R,t) é:
1 √
V (R, t) = f (t − R εµ) (51)
R
A equação 27 diz que dV = ρV .dv
4πεR , então:
ρ(t − R/c).dv
df (t − R/c) = (52)
4πε
9
10. integrando, fica:
ˆ
ρ(t − R/c).dv
f (t − R/c) = (53)
V 4πε
logo,
ˆ
ρ(t − R/c).dv
V (R, t) = (54)
V 4πεR
A equação 54 nos informa que para a onda, os valores futuros estão relacio-
nados com os valores pretéritos.
3 A onda eletromagnética :
Considerando que a onda eletromagnética é formada pelos campos elétrico e
magnético, que estão dispostos como segue:
Segundo os esclarecimentos dados sobre a forma fasorial das funções varian-
tes no podemos escrever o campo elétrico e magnético, como sendo:
Ex = ES ejωt (55)
Hy = HS ejωt (56)
Agora, cabe a nós demonstrarmos uma expressão mais expressiva para os
campos elétrico e magnético utilizando as equações de Maxwell na forma fasorial
como elementos de apoio; Mas antes vale ressaltar uma pequena observação
quanto às ondas:
1. A velocidade angular(ω) = 2πf , onde f é a frequência e [w]=rad/s;
2. A velocidade de fase(Vp )é dada como sendo ∂t ;
∂z
10
11. 3.1 Exercício 01:
−→
− −→
−
Considerando as ondas Ey1 = E01 cos(ωt + βz + θ)ˆy e Ex2 = E02 cos(ωt − βz +
a
θ)ˆx , determine
a
1. As velocidade de fase em ambas as ondas;
2. O versor que corresponde à propagação de ambas as ondas;
3. o versor que corresponde ao crescimento de ambas as ondas;
4. O versor correspondente ao vetor intensidade de campo magnético;
Solução:
Se M = ωt ± βz + θ ⇒ z = ωt+θ−M e como Vp (velocidade de fase)= ∂z ,
±β ∂t
então: ωt+θ−M
∂( )
Vp = ∂z =
∂t
β
∂t = ±ω
β
O sinal negativo ou positivo da velocidade está relacionado com o sentido de
propagação;
Se fizermos um gráfico para ter uma idéia sobre a relação entre o sentido de
propagação e o sinal em ±βz, veja os seguintes gráficos:
A)sen(t)
B)sen(t + π)
C)sen(t − π)
Onde poderemos concluir que com +βz a onda se propaga no sentido de −ˆz a
e que com −βz a onda se propaga no sentido de +ˆz . a
Uma constante na análise dos versores correspondentes à onda eletromagné-
tica é que:
aE × aH = ak , onde ak é o versor que corresponde ao sentido de propagação
ˆ ˆ ˆ ˆ
da onda eletromagnética.
→
−
Considerando E y1 para exemplificar:
Se aE × aH = ak e
ˆ ˆ ˆ
aE = ay
ˆ ˆ
ak = −ˆz
ˆ a
então:
→
−
ay × (−ˆz ) = ak =ˆx , ou seja H y varia sua amplitude segundo o versor ax .
ˆ a ˆ a ˆ
11
12. 3.2 Considerações necessárias para cada meio:[3]
• No vácuo σ(condutividade) = 0, = 0 e µ =µ0 ;
sem perdas : σ = 0;
• Em meio dielétrico
com perdas : σ = 0;
• Em bons condutores σ → ∞;
3.3 Equações da Onda para o vácuo:
3.3.1 Equações de Maxwell para o vácuo:
→
− →
−
1. . E = .H = 0
→
− →
− −
→ −
→
2. H
× E = −µ0 ∂∂t ⇒ × ES = −jω Hs
→
− →
− −→ −
→
∂E
3. ×H = 0 ∂t ⇒ × HS = jwES
3.3.2 Deduzindo as equações da onda eletromagnética no vácuo:[2]
−→ −→
× × Es = −jωµ0 × HS (57)
−→
Substituindo na equação 57 em × HS pela sua respectiva identidade, se-
gundo a equações de Maxwell na forma fasorial:
−
→ −→ −
→
× × Es = −jωµ0 (jω 0 HS ) = ω 2 0 µ0 ES = (58)
Onde ko é conhecido como o número de onda e segundo o exposto vale
√
ω µ0 ε0 .
→
− −→ →
−
Sabendo a existência da identidade × × E S = ( .ES )− 2 E S , infe-
rimos que:
−
→ 2−→ 2−→
× × ES = ( .ES ) − 2
ES= − 2
ES= k0 ES ⇒ 2
ES= − k0 ES (59)
Na equação 59 existe uma operação vetorial que é conhecida como laplaciano
−→
e é o termo ²ES ;
2−
→ ∂ 2 Es ˆ ∂ 2 Es ˆ ∂ 2 Es ˆ
ES = i+ 2 j+ 2 k (60)
∂ 2x ∂ y ∂ z
Como ES varia em funçao apenas de z, então :
2−
→ ∂Ez 2
ES = ∂ 2 z ;
Com as informações acima podemos concluir que :
∂ 2 Es 2
= −ko Es (61)
∂2z
12
13. Resolvendo a equação 61, que é uma equação diferencial de segunda ordem,
obtem-se que:
Es = E0 e−jko z (62)
OBS:A resolução da equação 61 irá ofertar dois termos, porém apenas o
apresentado na equação 62 melhor modela a onda.
Voltando para a equação 17, fica que Ex = Re[ES ]ejωt = Re[E0 e−jk0 z ejωt ] =
Re[E0 ej(ωt−k0 z) ] = E 0 cos(ωt − k0 z).
Ex = E0 cos(ωt − k0 z) (63)
e−jko z )
Como xES = −jωµ0 HS ⇒ ∂ES . −jµ0 ω = HS ⇒ ∂(E0 ∂z
∂z
1 1
. −jw = HS ⇒-
jk0 E0 e −jk0 z
. −jµ0 ω ⇒
1
√ √
⇒ HS = k0 ωµ0 E0 e−jk0 z = ω 0 µ0 ωµ0 E0 e−jk0 z =
1 1 1
0 µ0 µ0 E0 e
−jk0 z
= µ0 E0 e−jk0 z .
ε
0
Se multiplicarmos HS por ejωt e retirarmos a parte real, obteremos :
E0
Hy = cos(ωt − k0 z) (64)
η
Onde η é a impedância intrínsica que é calculada pela expressão µ
ε e tem
como unidade [η] = Ω.
1. Se φ = ωt − k0 z, então ω = ∂φ
∂t = 2πf(f: frequência) e [ω] = 1rad/s;
2. V p (velocidade de f ase) =ω/k0 = √ω
ω µ 0 ε0 = √ 1
µ0 ε0 = c(velocidade da luz
no vácuo)= 3 × 108 m/s;
3. λ(comprimento de onda)= 2π =
k0
√2π
ω µ0 ε0 = 2πf
2π
√
µ0 ε0
c
= f;
4. Ex
Hy = ε0 ;
µ0
3.4 Equações da onda para um meio dielétrico(isolante)
:[2]
Considerando um ambiente dielétrico que diferentemente de um ambiente
como o vácuo, possui perdas e essas perdas irão afetar visivelmente o compor-
tamento da onda no meio dielétrico em que se encontre.
No meio dielétrico ε = − jε , ou seja, será detentor de uma parte real e
de uma parte imaginária.
Se considerar-mos jk=α + jβ, teremos que :
ES = Re[E0 e−jkz ] = Re[E0 e−z(α+jβ) ] = Re[E0 e−αz e−jβz ] (65)
Multiplicando a equação 65 por ejωt ,fica :
Ex = ES ejωt = Re[E0 e−αz ej(ωt−βz) ] = E0 e−αz cos(ωt − βz) (66)
13
14. α > 0, ele ser´ chamado de coef iciente de atenua¸ ao
a c˜
Na equação 38 quando
α < 0, ele ser´ chamado de coef iciente de ganho
a
e
β é chamado de constante de fase.
Como k, no meio dielétrico é :
√ ε
k = ω µε = ω µ(ε − jε ) = ω µε 1−j (67)
ε
Nota: raiz quadrada de um número complexo:
α + jβ = a + jb (68)
Elevando ambos os membros ao quadrado:
α + jβ = a2 − b2 + 2abj (69)
Logo: α = a2 − b2 eβ = 2abj;
√
Se α = a2 −b2 , etão a = α + b2 ; susbsttuindo a igualdade obtida em β,fica:
β = 2 α + b2 × bj (70)
Elevando os dois membros da equação 42 ao quadrado:
β 2 = −4(α + b2 )b2 = −4αb2 − 4b4 (71)
Organizando a equação 43, obtemos:
4b4 + 4αb2 + β 2 = 0 (72)
Se chamarmos b² de γ, teremos:
4γ 2 + αγ + β 2 (73)
resolvendo essa equação do segundo grau, obtem-se:
γ = −α ± α2 + β 2 (74)
Como γ = b², então:
−α ± α2 + β 2
b= √ (75)
2
e sabendo que α = a2 + b2 , obtem − seque :
+α ± α2 + β 2
a= √ (76)
2
14
15. Pela equação 67 temos o valor de k, ao multiplicar esta equação por j, tere-
mos:
√ ε
jk = α + jβ = jω µε = jω µ(ε − jε ) = jω µε 1−j (77)
ε
desenvolvendo a raiz complexa:
√ √ √ √
α + jβ = jω µε 1 − j ε = −1ω µε
ε 1 − j ε = ω µε
ε −1 + j ε =
ε
√ −1+ 1+( ε )2
ε
1+ 1+( ε )2
ε
ω µε ( √
2
+j √
2
).
Logo,
−1 + 1 + ( ε )2
ε
α=ω µε √ (78)
2
1+ 1 + ( ε )2
ε
β=ω µε √ (79)
2
• Se um material for dielétrico e sem perdas, subentende-se que
ε = 0,e portanto:
0
−1 + 1 + ( ε )2
α=ω µε √ =0 (80)
2
1+ 0
1 + ( ε )2 √
2
β=ω µε √ =ω µε √ = ω µε (81)
2 2
3.5 Equação da onda em meio condutor:[1]
Em um meio condutor considera-se σ = 0, o que irá permitir uma remodelagem
das equações obtidas anteriormente considerando agora a condutividade como
termo útil para a análise da situação.
Com σ = 0, pode-se reescrever a seguinte equação:
→
−
→
− ∂H
× E = −µ (82)
∂t
ou
→
− →
− →
−
∂ ×H E
∂(σ E + ε ∂∂t )
→
− 2→
− 2−
→
× × E = −µ ⇒− E = −µ ⇒ ES = jωµσES +jωµε(jωES )
∂t ∂t
(83)
ou seja,
15
16. 2→
−
E = (jωµσ − ω 2 µε)ES (84)
também é possível encontrar:
2→
−
H = (jωµσ − ω 2 µε)HS (85)
Reajustando a expressão jωµσ − ω µε, fica:
2
jωµ(σ+jωε) = −ω 2 µε[1−j ωε ] = −ω 2 µˆ, onde ε = ε[1−j ωε ] = ε −jε ∧ ε =
σ
ε ˆ σ
εR ε0 .
Concluímos então que:
1. ε = ω;
σ
2. ω × ε = σ;
3. tg(δ) = ωε é chamada de tangente de perdas e δ é o ângulo da tangente
σ
de perdas;
4. ε = ε[1 − jtg(δ)]
ˆ
A figura abaixo foi retirada de [1] é importante para a compreensão do proposto:
3.6 Exercício 02: [1], [2] e [3]
a)Considerando que em um meio mau condutor tg(δ) << 1 e que em um
meio bom condutor tg(θ) >> 1, demonstrar expressões aproximadas para α, β
e η para cada um destes meios.
b)Demonstre que o ângulo da impedância intrínsenca(θη ) é 2δ.
c)Demonstrar uma expressão que coloque α e β em função de δ.
Solução:
a)
1 - Propagação em um mau condutor:
Tendo já conhecimento de que:
√ √
jk = α + jβ = jω µε 1 − j ε = jω µε 1 − j ωε ;
ε
σ
2
Poderemos usar a expansão binomial (1 + x)n = 1 + nx + n(n−1)x + ... , que
1!
é válida para x<<1, em 1 − j ωε = (1 − j ωε )1/2 ,onde n=1/2 e x=−j ωε ,
σ σ σ
devido à tg(δ) = ωε << 1;
σ
√ desenvolver a expansão binomial, multiplicar o resultado da mesma por
Ao
jω µε e igualar a α + jβ, obtem-se:
σ µ
α= (86)
2 ε
1 σ
β=ω µε [1 + ( )] (87)
8 ωε
Como,
16
17. µ µ µ 1 µ ε µ σ −1/2
η= = = = (1−j )−1/2 = (1−j )
ε ε − jε ε 1− jε ε ε ε ωε
ε
poderemos fazer uso novamente da expansão binomial em (1 − j ωε )−1/2 , onde
σ
dessa vez será atribuído à x o valor de −j ωε e a n o valor de -1/2; após
σ
multiplicar o resultado da expansão binomial por ε , obteremos:
µ
µ σ
η= [1 + j ] (88)
ε 2ωε
2 - Propagação em Bom condutor: √
Como em um bom condutor tg(δ) >> 1, a expressão jk=jω µε 1 − j ωεσ
√ √ √
poderá ser simplificada para jω µε −j ωε = j ω 2 ε µ( −jσ ) = −1 −jσωµ =
σ
ωε
√ √ √
jσωµ = j σωµ;
Como
j = 0 + 1j = 02 + 12 ∠tan−1 (0) = 1∠90◦
, temos que
√ 1 1
1∠90◦ = 1∠45◦ = √ + j √
2 2
e que
1 1 1 1 √
jk = α + jβ = ( √ + j √ ) × 2πf σµ = ( √ + j √ ) × 2 × πf σµ
2 2 2 2
ou seja:
α= πf σµ (89)
β= πf σµ (90)
OBS: O inverso de α é conhecido como profundidade de penetração(∆) e
indica até que ponto a onda penetra em determinado meio.
Para calcular a impedância intrínseca em um bom condutor vale analisar a
sua fórmula geral, onde ressaltaremos a presença da condutividade:
µ 1 µ µ jωµ
η= × σ
= σ = σ
ε −j ω = σ+jωε
ε 1 − j ωε ε (1 − j ωε )
como tg(δ) >> 1 ⇒ σ
ωε >> 1 ⇒ σ >> ωε , poderemos continuar a desen-
volver as igualdades:
ωµ ωµ × σ
σ = = ∠45◦
µ jωµ
η= σ+jωε = j =
σ σ×σ
17
18. √ √
◦ ωµσ 2πf µσ
= ∠45 = ∠45◦
σ σ
continuando√ desenvolver, obteremos:
√
a √ ◦
η = ∠45◦ 2 σ µσ = 2∠45 = ∆σ × ( √2 + j √2 ) =
πf
∆σ
1 1 1 1
∆×σ + j ∆×σ .
1
Logo,
1 1
η= +j (91)
∆×σ ∆×σ
OBS: Alguns livros chamam a profundidade de penetração com o símbolo
”δ”, porém como esse símbolo já foi aqui usado em outro contexto será utilizada
a simbologia “∆” para o representar.
b)Como η = σ+jωε , se colocarmos no denominador em evidência jωε e
jωµ
no numerador retirarmos j do radicando, teremos:
√ √ √ √ √
j× ωµ µ µ/ ε
η = √j×√ωε ×√1−j σ = √ε × 4 √ σ 2
1
1 −1 σ = 4√ σ 2
∠[− 2 tan−1 (− ωε )];
1 σ
ωε
1+( ωε ) ∠ 2 tan (− ωε ) 1+( ωε )
Como a função tangente é função ímpar, temos que tan−1 (−x) = −tan−1 (x)
e que:
√ √ √ √
µ/ ε 1 −1 σ µ/ ε 1
∠ tan (
4 1 + ( σ )2 2
)= 4 σ 2
∠( θη )
ωε
ωε 1 + ( ωε ) 2
Como tan−1 ( ωµ ) = δ e 2 tan−1 ( ωε ) = θη , então δ = 2 × θη !
σ 1 σ
δ = 2 × θη (92)
c)Segundo a figura 1, temos as seguintes identidades: √
sen(δ) = √σ2 +ω2 ε2 , cos(δ) = √σ2ωε 2 ε2 , tg(δ) = ωε e sec(δ) =
σ
+ω
σ σ 2 +ω 2 ε2
ωε =
√
σ 2 /ω 2 +ε2
ε √ .
Como jk=jω µˆ = α + jβ e ε = ε[1 − j ωε ], temos que:
ε ˆ σ
σ j
jk = α+jβ = jω µε(1 − j ωε ) = ω −µε(− ωε )(σ + jωε) = jωµ(σ + jωε);
Logo,
α + jβ = jωµ(σ + jωε) (93)
Elevando ambos os membros de (93) ao quadrado, teremos:
jωµσ − ω 2 µε = α2 − β 2 + 2αβj (94)
Logo,
α = −ω 2 µε (95)
β = ωµσ (96)
18
19. De (96):
ωµσ ω 2 µ2 σ 2
β= ⇒ β2 = (97)
2α 4α2
Aplicando (97) em (95):
ω 2 µ2 σ 2
α2 − = −ω 2 µε
4α2
4α2 − ω 2 µ2 σ 2 = −4ω 2 µ2 εα2
Atribuindo, α2 = X :
4X 2 + 4ω 2 µεX − ω 2 µ2 σ 2
O discriminante da equaçao do segundo grau acima será:
σ2
4ω 2 µ ε2 + = 4ω 2 µεsec(δ)
ω2
Resolvendo a equação obtem-se:
√ −4ω 2 µε ± 4ω 2 µεsec(δ) −ω 2 µε ± ω 2 µsen(δ) µεsec(δ)(1 − cos(δ))
α= X= = =ω =
8 2 2
δ
=ω µεsec(δ)sen( )
2
δ
α=ω µεsec(δ)sen( ) (98)
2
Como α2 − β 2 = −ω 2 µε, ao substituirmos a equação (98) no respectivo valor
de α, teremos:
δ
[ω µεsec(δ)sen( )]2 − β 2 = ω 2 µε
2
Desenvolvendo esta equação, obtem-se:
δ
β=ω µεsec(δ)cos( ) (99)
2
3.7 Exemplo 03:
Leia o material presente em:
http://www.inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.php?artigo=cientista-
desafia-matematica-microrrobo-medico&id=010180120223
19
20. 3.8 Estudo da potência de uma OPU:
3.8.1 Calculando a potência da onda[2] e [3]:
Sabendo que
→
− →
−
→ → ∂D
→
−
− − → → → → → → ∂D
− − − − − −
×H = J + ⇒ E. × H = E.J + E.
∂t ∂t
Conhecendo as identidades vetoriais
→ → →
− − − →→ → →→ →
− − − − − −
.( A × B ) = − A . × B + B . × A
e
→
−
→→ → → → −
− − − − − → → → →
− − − → → →∂D
− − −
A . × B = ( A × B) ⇒ .( E x H ) = E . J + E
∂t
→ →
− − →
−
Como B
× E = − ∂∂t , podemos inferir que:
→
− →
− →
− →
−
→∂B → → →
− − − − → → →∂D
− − − → → →
− − − → → →∂D →∂B
− − − −
−H − .( E × H ) = J . E + E ⇒ − .( E × H ) = J . E + E +H
∂t ∂t ∂t ∂t
Logo,
→ → →
− − − → → ∂(εE 2 /2) ∂(µH 2 /2)
− −
− .( E × H ) = J . E + + =
∂t ∂t
→ → ∂(εE 2 /2 + µH 2 /2)
− −
= J .E +
∂t
Concluímos que:
→ → →
− − − → → ∂(εE 2 /2 + µH 2 /2)
− −
.( E × H ) == − J . E − (100)
∂t
Onde:
→ → →
− − −
.( E × H ) : representa a potencia total dissipada;
→−
− →
J .E : representa a energia perdida pelo efeito joule;
∂(εE 2 /2+µH 2 /2)
∂t : representa as perdas capacitivas e indutivas;
O resultado (100) pode ser expresso como sendo:
˛ ˛ ˛
→
− → → →
− − − →→ →
− − − ∂(εE 2 /2 + µH 2 /2) →−
× ( E × H ).d S = J . E .d V + d. V
V ol V ol V ol ∂t
Fazendo teorema de Gauss de forma inversa, teremos:
˛ ˛ ˛
→ → →
− − − →→ →
− − − ∂(εE 2 /2 + µH 2 /2) →−
( E × H ).d S = J . E .d V + d. V (101)
S V ol V ol ∂t
Ou seja,
→ → →
− − −
P = E ×H (102)
20
21. 3.8.2 Calculando a densidade de potência média em um dielétrico[2]
e [3]:
Tendo cochecimento de que,
Ex = Ex0 e−αz cos(ωt − βz) (103)
e que
Hy0 −αz
Hy = e cos(ωt − βz + θη ) (104)
η
Então poderemos inferir que como a potência é calculado usando (100),
obteremos o resultado abaixo:
2
Ex0 −2αz 2
Pz = e cos (ωt − βz) (105)
η
Em funções periódicos faz-se possível o cálculo de seu valor médio usando a
expressão abaixo:
ˆ T
1
RAV = R(x, y, z)dt (106)
T 0
onde T é o período.
Utilizando a equação (106) em (105), obeteremos:
ˆ T 2
1 Ex0 −2αz
PAV,Z = e cos(ωt − βz)cos(ωt − βz + θη )dt (107)
T 0 η
Resolvendo essa integral fica fácil ver que,
2
Ex0 −2αz
Pz,av = e cos(θη ) (108)
2|η|
Observação:
1 1 1 E 2 e−αz ejθη
Pz,AV = Re[ES ×HS ] = Re[Ex0 e−αz e−jβz ×Ex0 e−αz ejβz ejθη ] = Re[ x0
∗
]
2 2 2 |η|
(109)
3.8.3 Cálculo Densidade de potência média em um meio bom con-
dutor[2]:
Como ∆ = α , então α = ∆ ; utilizando estas identidas e utilizando a apróxi-
1 1
mação de η para bons condutores teremos que a intensidade de campo magnético
será reescrito conforme abaixo:
Ex0 −αz Ex0 z z
Hy = e cos(ωt − βz) = √ e− δ z cos(ωt − z)
η 2∠45◦ ∆
σ∆
21
22. e portanto a potência média, será reescrita como,
2 σ∆ z z z π 2 σ∆ z π
P z,av = Ex0 √ e−2 ∆ cos(ωt − )cos(ωt − − ) = Ex0 √ e−2 ∆ cos( )
2 ∆ ∆ 4 2 4
σ∆ −2 z
2
P z,av = Ex0 e δ (110)
4
Observação:
Quando z=∆, então apenas 13,5% da potência ainda permanece.
3.8.4 Potência total [2] e [3]:
→
− →
− →
−
P T otal = P AV,Z × S (111)
→
−
onde S representa a área.
3.8.5 Ondas polarizadas linearmente:
3.9 Exemplo 4
Uma onda com frequência de 2GHz, propaga-se em meio não-magnético que
possui constante do dielétrico valendo 94. Sabendo que o campo elétrico da
mesma tem como lei de formação
−→
− 4π 94π
Ez,t = −e5z sen(ωt + βz + )ˆx − 50e5z cos(ωt + βz +
a )ˆy
a
180 180
Determine:
a)Tangente de perdas;
b)Se o material é dielétrico, mau condutor ou bom condutor;
c)ω
d)β
e)λ
f)η
→
−
g) E S
→
−
h) H S
i)Se é linearmente polarizada, elipticamente polarizada ou circularmente po-
larizada;
j)A densidade de potência média;
l)Considerando que a densidade de potência média passa por uma área de
50cm2 do plano z=2x, determite a potência total;
22