O documento descreve um programa sobre análise de estruturas por meio do método dos elementos finitos. O programa aborda 1) conceitos sobre elementos finitos, 2) construção do modelo matemático, 3) elementos utilizados na discretização, 4) malha de elementos finitos, 5) análise CAE, 6) análise dinâmica por elementos finitos e 7) diferentes tipos de análises estruturais que podem ser realizadas. O documento fornece os fundamentos teóricos e etapas para solução de problemas estruturais
O documento descreve os ternos pitagóricos, que são triplos de números inteiros que satisfazem a equação a2 + b2 = c2, onde c é a hipotenusa e a, b são os catetos de um triângulo retângulo. Explica como encontrar esses ternos e classifica-os em primitivos, quando seus números são primos entre si, e compostos, quando não o são.
O documento apresenta 33 exercícios de algoritmos para serem resolvidos, variando em complexidade, desde operações matemáticas simples até cálculos com múltiplos parâmetros. Os exercícios abordam tópicos como entrada e saída de dados, condicionais, laços de repetição e funções.
1) O documento apresenta conceitos básicos de geometria como ângulos, retas, segmentos de reta e tipos de ângulos. 2) Apresenta os principais quadriláteros como paralelogramo, retângulo, quadrado e losango e como calcular suas áreas. 3) Discorre sobre triângulos, apresentando seus tipos e como calcular a área.
Slides da disciplina de Análise de Algoritmos, ministrada pelo Prof. Marcelo H. Carvalho no curso de Pós-Graduação em Ciência da Computação, FACOM - UFMS.
Graph Theory - Exercises - Chapters 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, and 9Michel Alves
Este documento resume as respostas de Michel Alves dos Santos para cinco exercícios de Teoria dos Grafos do Capítulo 2. Ele fornece soluções detalhadas para as questões 1, 2, 3, 6 e 8 utilizando listas de adjacência, matrizes de adjacência e codificações numéricas de sequências de arestas.
Este documento apresenta um resumo sobre linguagens formais e autômatos. Ele discute conceitos básicos de linguagens regulares, incluindo autômatos finitos, expressões regulares e gramáticas regulares. O capítulo 3 se concentra especificamente em linguagens regulares, definindo sistemas de estados finitos, composição seqüencial, não-determinista e autômatos finitos.
O documento descreve o conceito de equações matemáticas. Uma equação é definida como uma igualdade entre duas expressões onde pelo menos uma delas contém uma ou mais letras. Exemplos de equações são apresentados e os principais termos relacionados são explicados, como membros da equação, termos com incógnita e termos independentes.
O documento descreve os ternos pitagóricos, que são triplos de números inteiros que satisfazem a equação a2 + b2 = c2, onde c é a hipotenusa e a, b são os catetos de um triângulo retângulo. Explica como encontrar esses ternos e classifica-os em primitivos, quando seus números são primos entre si, e compostos, quando não o são.
O documento apresenta 33 exercícios de algoritmos para serem resolvidos, variando em complexidade, desde operações matemáticas simples até cálculos com múltiplos parâmetros. Os exercícios abordam tópicos como entrada e saída de dados, condicionais, laços de repetição e funções.
1) O documento apresenta conceitos básicos de geometria como ângulos, retas, segmentos de reta e tipos de ângulos. 2) Apresenta os principais quadriláteros como paralelogramo, retângulo, quadrado e losango e como calcular suas áreas. 3) Discorre sobre triângulos, apresentando seus tipos e como calcular a área.
Slides da disciplina de Análise de Algoritmos, ministrada pelo Prof. Marcelo H. Carvalho no curso de Pós-Graduação em Ciência da Computação, FACOM - UFMS.
Graph Theory - Exercises - Chapters 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, and 9Michel Alves
Este documento resume as respostas de Michel Alves dos Santos para cinco exercícios de Teoria dos Grafos do Capítulo 2. Ele fornece soluções detalhadas para as questões 1, 2, 3, 6 e 8 utilizando listas de adjacência, matrizes de adjacência e codificações numéricas de sequências de arestas.
Este documento apresenta um resumo sobre linguagens formais e autômatos. Ele discute conceitos básicos de linguagens regulares, incluindo autômatos finitos, expressões regulares e gramáticas regulares. O capítulo 3 se concentra especificamente em linguagens regulares, definindo sistemas de estados finitos, composição seqüencial, não-determinista e autômatos finitos.
O documento descreve o conceito de equações matemáticas. Uma equação é definida como uma igualdade entre duas expressões onde pelo menos uma delas contém uma ou mais letras. Exemplos de equações são apresentados e os principais termos relacionados são explicados, como membros da equação, termos com incógnita e termos independentes.
Um paralelepípedo é um prisma cujas bases são paralelogramos. O documento descreve um paralelepípedo retângulo, fornecendo fórmulas para calcular sua diagonal, área total e volume. Exemplos ilustram como aplicar essas fórmulas para resolver problemas envolvendo paralelepípedos retângulos.
O documento apresenta exercícios e resoluções sobre segmentos proporcionais em Desenho Geométrico. Inclui problemas envolvendo encontrar a quarta proporcional, terceira proporcional, média proporcional e construção de figuras geométricas como triângulos e retângulos quando dados seus lados proporcionais ou perímetro total. As resoluções utilizam métodos como razão, divisão de segmentos e construção de figuras auxiliares.
1. O documento discute as propriedades físicas dos fluidos, incluindo densidade, compressibilidade, peso específico e viscosidade.
2. Aborda os conceitos de fluido ideal e real, estatica e dinâmica dos fluidos, equação da continuidade e de Bernoulli.
3. Fornece detalhes sobre vazão, pressão, temperatura, equações de estado térmicas e outras propriedades importantes para o estudo da mecânica dos fluidos.
Este documento apresenta um conjunto de exercícios resolvidos sobre métodos numéricos aplicados à engenharia e outras ciências. Aborda temas como erro numérico, solução de equações não-lineares e lineares, interpolação numérica, mínimos quadrados, integração numérica e diferenciação numérica. A resolução é feita manualmente e com software numérico como CONUM e MATLAB, com o objetivo de capacitar os alunos para a aplicação prática destes métodos.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, classificação, notação, igualdade, tipos, operações e leis de formação. São descritas matrizes quadradas e retangulares, transpostas, nulas e identidade. São explicadas as operações de adição, subtração e multiplicação entre matrizes.
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisãoAngela Costa
Sistemas de equações do 1o grau são ferramentas comuns em matemática e outras áreas. Embora geralmente resolvidos com facilidade, é importante prestar atenção na construção e solução corretas do problema. O documento descreve três métodos para resolver sistemas de equações do 1o grau: método da adição, método da substituição e método da igualdade.
O documento resume a biografia do matemático Joseph Louis Lagrange, incluindo seus principais trabalhos e realizações. Em destaque, sua obra Méchanique analytique de 1788, na qual ele transformou a mecânica em um ramo da análise matemática usando equações diferenciais, e seu Teorema do Valor Médio, que afirma a existência de um ponto onde a derivada de uma função é igual à sua variação média.
O documento discute as propriedades e operações com potências. Explica que potências representam multiplicações repetidas de um mesmo fator, chamado de base, elevado a um expoente que indica a quantidade de vezes que a base é multiplicada. Detalha as regras para realizar operações como multiplicação, divisão, potenciação de potência e potenciação de produtos entre bases iguais ou diferentes.
Calculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de IntegraisRonildo Oliveira
1) O documento apresenta uma breve introdução sobre o estudo de integrais definidas e indefinidas, incluindo definições, métodos de cálculo e exemplos.
2) Aborda conceitos como primitivas, integrais indefinidas e definidas, método de substituição e integral de Riemann.
3) Inclui uma tabela de integrais comuns e exemplos numéricos de cálculo.
Este guia tem como objetivo ajudar o leitor a entender e desenvolver lógica de programação e criar algoritmos. Fornece formulários e passos a serem seguidos para estruturar algoritmos, variáveis, estruturas condicionais e de repetição. Não substitui fundamentos de algoritmos, devendo ser usado como material complementar.
O documento discute as isometrias de reflexão, rotação e translação no 6o ano. Apresenta as propriedades dessas transformações geométricas e sugere tarefas para explorar esses conceitos, incluindo a construção de frisos e rosáceas usando isometrias. O objetivo é desenvolver o senso espacial e a compreensão de congruência.
O documento define e explica os conceitos de perímetro, área e unidades de medida para diferentes figuras geométricas planas como retângulos, quadrados, círculos e triângulos. Explica como calcular o perímetro somando os comprimentos dos lados e a área dividindo a figura em unidades como quadrados e retângulos e somando as áreas parciais.
O documento discute o Método de Dedução Natural, um sistema formal para provar argumentos lógicos. 1) O método caracteriza-se por regras de inferência ao invés de axiomas. 2) As regras incluem introdução e eliminação de conectivos lógicos como conjunção e implicação. 3) Provas podem ser representadas por árvores mostrando a aplicação das regras.
Resolver sistema de inequações lineares com uma variávelJeremias Manhica
O documento discute resolução de sistemas de inequações lineares com uma variável. Explica que um sistema é um conjunto de inequações aplicadas a variáveis infinitas. A solução satisfaz todas as inequações simultaneamente. Detalha os passos para resolver: 1) resolver cada inequação separadamente, 2) representar as soluções no eixo real, 3) a solução comum é a interseção dos intervalos. Fornece exemplos de sistemas possíveis e determinados e impossíveis.
Relação entre perímetros e áreas em triângulos semelhantesaldaalves
Este documento discute as relações entre perímetros e áreas em triângulos semelhantes. Ele mostra que a razão entre os perímetros de triângulos semelhantes é igual à sua razão de semelhança, enquanto a razão entre suas áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança. Dois exercícios são fornecidos para exemplificar essas relações.
O documento apresenta um resumo da Unidade 1 do curso de Programação de Computadores I. A unidade introduz os conceitos de lógica de programação, algoritmos e fluxos de controle. Inclui exemplos de algoritmos para troca de lâmpadas e discussão sobre representação de algoritmos em forma textual e gráfica. Por fim, apresenta exercícios sobre problemas lógicos como atravessar um rio com itens específicos e Torre de Hanói.
O documento discute princípios de contagem como multiplicação, adição, inclusão e exclusão e casas de pombo. O princípio da multiplicação é usado para contar resultados de eventos sequenciais. O princípio da adição conta resultados de eventos disjuntos. O princípio de inclusão e exclusão determina o tamanho da união de conjuntos. O princípio das casas de pombo encontra o número mínimo de elementos com propriedades compartilhadas.
1. Os levantamentos gravimétricos medem variações no campo gravitacional da Terra causadas por diferenças de densidade nas rochas subsuperficiais.
2. A interpretação das anomalias gravimétricas permite determinar a profundidade, forma e massa do corpo geológico causador da anomalia.
3. As medições da gravidade são corrigidas para remover efeitos como a deriva do instrumento, latitude, elevação, relevo do terreno e marés terrestres, permitindo interpretar apenas as anomalias causadas por var
O documento introduz os conceitos básicos de teoria dos grafos, incluindo definições formais e informais de grafos, exemplos de grafos, terminologia comum e aplicações. Além disso, aborda conceitos específicos como grafos isomorfos, grafos planares, árvores e percursos em árvores.
1. O documento apresenta o Teorema Chinês dos Restos, que estabelece que um sistema de congruências módulos primos tem sempre solução única quando considerado módulo o produto dos módulos.
2. O teorema permite reduzir a resolução de uma equação modular a um sistema de equações mais simples.
3. Dois métodos são apresentados para resolver sistemas de congruências usando o teorema: substituição iterativa e soma ponderada de soluções parciais.
O documento introduz o Método dos Elementos Finitos (MEF) como uma técnica para resolver equações diferenciais através da aproximação da solução contínua por soluções discretas em elementos distribuídos. Explica as etapas do MEF, incluindo a modelagem, discretização, resolução do sistema algébrico e análise dos resultados. Apresenta exemplos de aplicação do MEF em diversos problemas de engenharia.
Artigo elementos finitos-modelagem e análise de predio industrialRafael Lial
O trabalho consiste em aplicar a teoria de Elementos Finitos na análise de um caso real de Engenharia. Como o poderio da simulação em Elementos Finitos teremos uma previsão mais bem apurada do que poderá ocorrer com a estrutura em estudo. O projeto será de um prédio industrial composto por 3 andares nos quais será colocado algumas instalações e equipamentos, com os quais tomadas as suas características principais será desenvolvido todo um estudo referente a esta estrutura.
O objetivo geral do trabalho é dimensionar um prédio com seus equipamentos e realizar uma modelagem e análise da estrutura em Elementos Finitos.
Os objetivos específicos do trabalho em questão são:
• Analisar um caso real em Elementos Finitos;
• Desenvolver conhecimentos em disciplinas referentes a projeto tais como: Desenho Técnico, Resistência dos Materiais, Vibrações Mecânicas, Elementos e Projetos de Máquinas;
• Estudo da viabilidade econômica do projeto.
Um paralelepípedo é um prisma cujas bases são paralelogramos. O documento descreve um paralelepípedo retângulo, fornecendo fórmulas para calcular sua diagonal, área total e volume. Exemplos ilustram como aplicar essas fórmulas para resolver problemas envolvendo paralelepípedos retângulos.
O documento apresenta exercícios e resoluções sobre segmentos proporcionais em Desenho Geométrico. Inclui problemas envolvendo encontrar a quarta proporcional, terceira proporcional, média proporcional e construção de figuras geométricas como triângulos e retângulos quando dados seus lados proporcionais ou perímetro total. As resoluções utilizam métodos como razão, divisão de segmentos e construção de figuras auxiliares.
1. O documento discute as propriedades físicas dos fluidos, incluindo densidade, compressibilidade, peso específico e viscosidade.
2. Aborda os conceitos de fluido ideal e real, estatica e dinâmica dos fluidos, equação da continuidade e de Bernoulli.
3. Fornece detalhes sobre vazão, pressão, temperatura, equações de estado térmicas e outras propriedades importantes para o estudo da mecânica dos fluidos.
Este documento apresenta um conjunto de exercícios resolvidos sobre métodos numéricos aplicados à engenharia e outras ciências. Aborda temas como erro numérico, solução de equações não-lineares e lineares, interpolação numérica, mínimos quadrados, integração numérica e diferenciação numérica. A resolução é feita manualmente e com software numérico como CONUM e MATLAB, com o objetivo de capacitar os alunos para a aplicação prática destes métodos.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, classificação, notação, igualdade, tipos, operações e leis de formação. São descritas matrizes quadradas e retangulares, transpostas, nulas e identidade. São explicadas as operações de adição, subtração e multiplicação entre matrizes.
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisãoAngela Costa
Sistemas de equações do 1o grau são ferramentas comuns em matemática e outras áreas. Embora geralmente resolvidos com facilidade, é importante prestar atenção na construção e solução corretas do problema. O documento descreve três métodos para resolver sistemas de equações do 1o grau: método da adição, método da substituição e método da igualdade.
O documento resume a biografia do matemático Joseph Louis Lagrange, incluindo seus principais trabalhos e realizações. Em destaque, sua obra Méchanique analytique de 1788, na qual ele transformou a mecânica em um ramo da análise matemática usando equações diferenciais, e seu Teorema do Valor Médio, que afirma a existência de um ponto onde a derivada de uma função é igual à sua variação média.
O documento discute as propriedades e operações com potências. Explica que potências representam multiplicações repetidas de um mesmo fator, chamado de base, elevado a um expoente que indica a quantidade de vezes que a base é multiplicada. Detalha as regras para realizar operações como multiplicação, divisão, potenciação de potência e potenciação de produtos entre bases iguais ou diferentes.
Calculo I - Uma Breve Introdução ao Estudo de IntegraisRonildo Oliveira
1) O documento apresenta uma breve introdução sobre o estudo de integrais definidas e indefinidas, incluindo definições, métodos de cálculo e exemplos.
2) Aborda conceitos como primitivas, integrais indefinidas e definidas, método de substituição e integral de Riemann.
3) Inclui uma tabela de integrais comuns e exemplos numéricos de cálculo.
Este guia tem como objetivo ajudar o leitor a entender e desenvolver lógica de programação e criar algoritmos. Fornece formulários e passos a serem seguidos para estruturar algoritmos, variáveis, estruturas condicionais e de repetição. Não substitui fundamentos de algoritmos, devendo ser usado como material complementar.
O documento discute as isometrias de reflexão, rotação e translação no 6o ano. Apresenta as propriedades dessas transformações geométricas e sugere tarefas para explorar esses conceitos, incluindo a construção de frisos e rosáceas usando isometrias. O objetivo é desenvolver o senso espacial e a compreensão de congruência.
O documento define e explica os conceitos de perímetro, área e unidades de medida para diferentes figuras geométricas planas como retângulos, quadrados, círculos e triângulos. Explica como calcular o perímetro somando os comprimentos dos lados e a área dividindo a figura em unidades como quadrados e retângulos e somando as áreas parciais.
O documento discute o Método de Dedução Natural, um sistema formal para provar argumentos lógicos. 1) O método caracteriza-se por regras de inferência ao invés de axiomas. 2) As regras incluem introdução e eliminação de conectivos lógicos como conjunção e implicação. 3) Provas podem ser representadas por árvores mostrando a aplicação das regras.
Resolver sistema de inequações lineares com uma variávelJeremias Manhica
O documento discute resolução de sistemas de inequações lineares com uma variável. Explica que um sistema é um conjunto de inequações aplicadas a variáveis infinitas. A solução satisfaz todas as inequações simultaneamente. Detalha os passos para resolver: 1) resolver cada inequação separadamente, 2) representar as soluções no eixo real, 3) a solução comum é a interseção dos intervalos. Fornece exemplos de sistemas possíveis e determinados e impossíveis.
Relação entre perímetros e áreas em triângulos semelhantesaldaalves
Este documento discute as relações entre perímetros e áreas em triângulos semelhantes. Ele mostra que a razão entre os perímetros de triângulos semelhantes é igual à sua razão de semelhança, enquanto a razão entre suas áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança. Dois exercícios são fornecidos para exemplificar essas relações.
O documento apresenta um resumo da Unidade 1 do curso de Programação de Computadores I. A unidade introduz os conceitos de lógica de programação, algoritmos e fluxos de controle. Inclui exemplos de algoritmos para troca de lâmpadas e discussão sobre representação de algoritmos em forma textual e gráfica. Por fim, apresenta exercícios sobre problemas lógicos como atravessar um rio com itens específicos e Torre de Hanói.
O documento discute princípios de contagem como multiplicação, adição, inclusão e exclusão e casas de pombo. O princípio da multiplicação é usado para contar resultados de eventos sequenciais. O princípio da adição conta resultados de eventos disjuntos. O princípio de inclusão e exclusão determina o tamanho da união de conjuntos. O princípio das casas de pombo encontra o número mínimo de elementos com propriedades compartilhadas.
1. Os levantamentos gravimétricos medem variações no campo gravitacional da Terra causadas por diferenças de densidade nas rochas subsuperficiais.
2. A interpretação das anomalias gravimétricas permite determinar a profundidade, forma e massa do corpo geológico causador da anomalia.
3. As medições da gravidade são corrigidas para remover efeitos como a deriva do instrumento, latitude, elevação, relevo do terreno e marés terrestres, permitindo interpretar apenas as anomalias causadas por var
O documento introduz os conceitos básicos de teoria dos grafos, incluindo definições formais e informais de grafos, exemplos de grafos, terminologia comum e aplicações. Além disso, aborda conceitos específicos como grafos isomorfos, grafos planares, árvores e percursos em árvores.
1. O documento apresenta o Teorema Chinês dos Restos, que estabelece que um sistema de congruências módulos primos tem sempre solução única quando considerado módulo o produto dos módulos.
2. O teorema permite reduzir a resolução de uma equação modular a um sistema de equações mais simples.
3. Dois métodos são apresentados para resolver sistemas de congruências usando o teorema: substituição iterativa e soma ponderada de soluções parciais.
O documento introduz o Método dos Elementos Finitos (MEF) como uma técnica para resolver equações diferenciais através da aproximação da solução contínua por soluções discretas em elementos distribuídos. Explica as etapas do MEF, incluindo a modelagem, discretização, resolução do sistema algébrico e análise dos resultados. Apresenta exemplos de aplicação do MEF em diversos problemas de engenharia.
Artigo elementos finitos-modelagem e análise de predio industrialRafael Lial
O trabalho consiste em aplicar a teoria de Elementos Finitos na análise de um caso real de Engenharia. Como o poderio da simulação em Elementos Finitos teremos uma previsão mais bem apurada do que poderá ocorrer com a estrutura em estudo. O projeto será de um prédio industrial composto por 3 andares nos quais será colocado algumas instalações e equipamentos, com os quais tomadas as suas características principais será desenvolvido todo um estudo referente a esta estrutura.
O objetivo geral do trabalho é dimensionar um prédio com seus equipamentos e realizar uma modelagem e análise da estrutura em Elementos Finitos.
Os objetivos específicos do trabalho em questão são:
• Analisar um caso real em Elementos Finitos;
• Desenvolver conhecimentos em disciplinas referentes a projeto tais como: Desenho Técnico, Resistência dos Materiais, Vibrações Mecânicas, Elementos e Projetos de Máquinas;
• Estudo da viabilidade econômica do projeto.
O documento discute a análise de estruturas compostas por perfis abertos de paredes delgadas utilizando a analogia flexão-retorção. A teoria de Vlasov permite equacionar o problema de flexo-torção e encontrar soluções exatas. Um modelo híbrido é desenvolvido para estimar as tensões normais de flexo-torção em estruturas como chassis de veículos utilizando elementos de viga convencionais.
O documento apresenta uma introdução ao método dos elementos de contorno (MEC). Discute-se a dedução da equação integral de contorno, as vantagens e desvantagens do MEC em relação aos elementos finitos, e exemplos de problemas que podem ser resolvidos com MEC, como potencial e elasticidade.
Este documento descreve diferentes tipos de molas, incluindo suas definições, classificações, características e materiais. Detalha molas helicoidais, planas e suas aplicações mecânicas, além de abordar conceitos como deformação elástica, tensões, deflexão, rigidez e estabilidade.
O documento discute a importância do planejamento da trama e personagens em obras de ficção. Sugere começar pelo desenvolvimento das características e relações dos personagens, e depois planejar uma sequência de eventos que coloque os personagens em conflito e resolva essa tensão. Também diferencia as tramas para literatura e cinema, destacando que na literatura os estados emocionais devem ser descritos em detalhes.
O documento descreve um programa sobre análise estrutural utilizando o método dos elementos finitos. O programa aborda 1) conceitos sobre elementos finitos, 2) construção do modelo matemático, 3) elementos utilizados na discretização, 4) malha de elementos finitos, 5) análise CAE, 6) análise dinâmica por elementos finitos e 7) diferentes tipos de análises estruturais. O documento fornece referências bibliográficas e critérios de avaliação.
O documento apresenta os conceitos básicos da concepção estrutural de edifícios de concreto, incluindo elementos estruturais como lajes, vigas e pilares. Detalha o pré-dimensionamento destes elementos e fornece diretrizes para o posicionamento adequado considerando fatores como transferência de cargas, uniformidade e limites dimensionais.
O documento descreve diferentes tipos de análises estruturais realizadas com o método dos elementos finitos, incluindo análises estáticas, dinâmicas e não-lineares. É apresentada a teoria por trás da análise estática linear elástica para elementos unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais.
La ONU es una organización internacional fundada en 1945 tras la Segunda Guerra Mundial para promover la cooperación internacional y prevenir futuros conflictos. Actualmente cuenta con 193 Estados miembros y tiene como objetivos principales mantener la paz y la seguridad internacionales, desarrollar relaciones de amistad entre las naciones y lograr la cooperación internacional en la solución de problemas económicos, sociales, culturales o humanitarios.
Este documento discute a teoria de flexão de placas. Introduz placas como corpos tridimensionais finos e apresenta exemplos. Descreve a teoria clássica de placas finas de Kirchhoff, incluindo relações entre extensão, curvatura e tensão. Explica como momentos de flexão, torsão e forças de corte surgem das tensões através da espessura da placa.
The document discusses the basics of finite element analysis (FEA). It explains that FEA involves breaking a physical object down into small pieces or elements, then using a numerical technique to analyze them. Key steps in FEA include preprocessing like meshing the geometry, applying boundary conditions and material properties, solving the system of equations generated, and postprocessing to view results like displacements and stresses. An example problem of analyzing a plate under load is presented to illustrate the FEA formulation and solution process.
Projeto estruturaldeedifícios j. s. giongo-eesc-turma2-2008Bowman Guimaraes
1. O documento apresenta orientações para projeto estrutural de edifícios de concreto armado, abordando concepção estrutural, ações, escolha da forma, análise estrutural e projeto de lajes maciças.
2. As seções discutem conceitos como identificação de elementos estruturais, sistemas estruturais, idealização de ações, custo e análise estrutural.
3. O capítulo 6 apresenta um exemplo prático de projeto de pavimento-tipo, incluindo escolha da forma estrut
Starke Mais TM-Ertragsverbesserung durch endophytische Samen-Impfung zweier ...Johann HUMER
Starke Mais TM-Ertragsverbesserung durch endophytische Samen-Impfung zweier Maissorten,
Strong maize yield improvement by maize seed inoculation with endophytic mircoaorganism.
Starke Ertragswirkung endophytischer Impfung TM bei 2 Maissorten, Q Naveed, Muhammad et al 2014. Boku Glashaus Versuch in Tulln 2011,Grafik Layout HUMER
DESENVOLVIMENTO DE UMA PLANILHA ELETRÔNICA PARA OTIMIZAÇÃO DO DIMENSIONAMENTO...Rafael Kerst
O presente trabalho apresenta um estudo sobre o dimensionamento de terças metálicas em aço formado a frio, proporcionando, através da elaboração de uma planilha eletrônica, a otimização dos perfis de seção U, U enrijecido, Z45 e Z90, voltados à aplicação em terças de cobertura. A metodologia de cálculo utilizada foi o Método das Seções Efetivas (MSE), conforme indicado pela norma brasileira ABNT NBR 14762/2010. A planilha eletrônica, elaborada com o software Microsoft Excel, utiliza a linguagem Visual Basic ao qual implementou-se uma rotina de cálculo para a verificação dos perfis. Nesta, a partir de um banco de dados, cada seção foi submetida ás verificações de norma, e após analisadas, apresentou-se ao usuário uma lista em ordem crescente de área de aço dos perfis que resistem ás solicitações. Deste modo, situando-se em primeiro, a seção mais otimizada. Para verificar a confiabilidade do programa elaborado, foram comparados os valores de esforços resistentes obtidos com os do software DimPerfil. Neste sentido, pode-se concluir que ambos evidenciaram grande semelhança nos valores, comprovando assim a credibilidade e o auxílio para a escolha de uma seção econômica.
Este documento descreve o método dos elementos de contorno para resolver problemas de placas finas utilizando a teoria clássica de placas. Ele define placas finas, apresenta as hipóteses de Kirchhoff e descreve como calcular tensões, deformações, esforços solicitantes e a equação de equilíbrio de Lagrange. Exemplos numéricos ilustram a aplicação do método para diferentes condições de apoio.
Análise Dinâmica de uma Viga do tipo biapoiada utilizando o Método dos Elemen...Vinicius Elias
Este documento apresenta uma análise dinâmica de uma viga biapoiada utilizando o método dos elementos finitos no software ANSYS. A análise inclui a determinação dos modos de vibração, frequências naturais e resposta harmônica da viga sob carregamento. Os resultados mostram o comportamento dinâmico da estrutura e a eficácia do método dos elementos finitos para este tipo de análise.
Equacoes diferenciais parciais pelo metodo dos numeros finitosRaianebrandao
O documento discute a modelagem matemática de problemas de engenharia usando equações diferenciais parciais e a solução dessas equações pelo método dos elementos finitos. Problemas de engenharia como tensões mecânicas, fluxo de calor e fluxo de água são modelados por equações diferenciais parciais que geralmente não podem ser resolvidas analiticamente. O método dos elementos finitos é apresentado como uma ferramenta eficaz para encontrar soluções aproximadas a esses problemas.
Simulacao conf chapas [modo de compatibilidade]vinibull
O documento discute princípios de análise estrutural por meio de simulação computacional utilizando o método dos elementos finitos. Aborda tópicos como análise linear e não-linear, origens da não-linearidade, critérios de escoamento e endurecimento, solução dinâmica não-linear por métodos implícitos e explícitos e fatores que influenciam a conformação de chapas.
1. O documento apresenta uma metodologia para análise e retroanálise de vigas de concreto armado e protendido considerando os efeitos da fluência, retração e fissuração do concreto.
2. Uma função geral de fluência é proposta para aproximar qualquer função de fluência empírica por séries exponenciais, requerendo apenas parâmetros iniciais para cada incremento de tempo e reduzindo os requisitos de armazenamento.
3. Um exemplo prático é analisado para mostrar a eficácia do método
1) O documento descreve o uso do Método dos Elementos de Contorno com Integração Direta (MECID) para resolver problemas de autovalor em domínios bidimensionais não regulares.
2) Foram testadas várias funções de base radial no MECID anteriormente em domínios regulares, porém agora o objetivo é simular problemas com domínios não regulares para uma melhor avaliação do método.
3) Apenas os resultados de duas funções radiais são apresentados devido ao espaço, comparando com a Solução dos Elementos Finitos.
O documento discute métodos computacionais para análise de sistemas de engenharia. Ele explica como modelos matemáticos são desenvolvidos para representar problemas físicos e como esses modelos são discretizados em modelos numéricos, como o método dos elementos finitos, para solução computacional. Ele também descreve como os resultados numéricos são avaliados para validação.
Este documento apresenta um trabalho de conclusão de curso sobre o desenvolvimento de um software para projeto de mecanismos flexíveis tridimensionais utilizando otimização topológica. O trabalho descreve os fundamentos teóricos do método dos elementos finitos, otimização topológica e análise de mecanismos flexíveis. A formulação matemática e implementação numérica do software são detalhadas, assim como resultados obtidos para validação e casos tridimensionais.
Cálculo de Estados Eletrônicosem Estruturas SemicondutorasThiago Melo
Aqui é descrito um método numérico para o cálculo de estados eletrônicos em sistemas quânticos submetidos a potenciais arbitrários. O método é aplicado à estruturas semicondutoras.
O método utilizado se chama Split-Step FFT. Além disso é feita uma introdução para o tratamento do problema utilizando o método das diferenças finitas.
Este documento descreve um programa chamado GOP que utiliza o método dos elementos finitos para analisar guias ópticos planares. O programa pode analisar tanto guias homogêneos quanto guias formados por difusão de íons de titânio em substratos de niobato de lítio. Ele fornece uma interface gráfica para entrada de dados e visualização dos resultados das análises numéricas de modos ópticos guiados.
Este documento descreve um modelo de resolução numérica de equações diferenciais parciais parabólicas usando o método Hopscotch com refinamento não-uniforme da malha. O método Hopscotch combina discretizações explícita e implícita para calcular a solução em cada ponto de forma alternada. O domínio é dividido em subdomínios atribuídos a processadores, permitindo refinar seletivamente áreas próximas a descontinuidades para melhorar a precisão.
O presente trabalho consiste em realizar um estudo de caso de um transportador horizontal contínuo com correia plana utilizado em uma empresa do ramo alimentício, a generalização é feita em reserva do setor, condições técnicas e culturais da organização
Introdução ao GNSS Sistema Global de PosicionamentoGeraldoGouveia2
Este arquivo descreve sobre o GNSS - Globas NavigationSatellite System falando sobre os sistemas de satélites globais e explicando suas características
AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL INDÚSTRIA E TRANSFORMAÇÃO DIGITAL ...Consultoria Acadêmica
“O processo de inovação envolve a geração de ideias para desenvolver projetos que podem ser testados e implementados na empresa, nesse sentido, uma empresa pode escolher entre inovação aberta ou inovação fechada” (Carvalho, 2024, p.17).
CARVALHO, Maria Fernanda Francelin. Estudo contemporâneo e transversal: indústria e transformação digital. Florianópolis, SC: Arqué, 2024.
Com base no exposto e nos conteúdos estudados na disciplina, analise as afirmativas a seguir:
I - A inovação aberta envolve a colaboração com outras empresas ou parceiros externos para impulsionar ainovação.
II – A inovação aberta é o modelo tradicional, em que a empresa conduz todo o processo internamente,desde pesquisa e desenvolvimento até a comercialização do produto.
III – A inovação fechada é realizada inteiramente com recursos internos da empresa, garantindo o sigilo dasinformações e conhecimento exclusivo para uso interno.
IV – O processo que envolve a colaboração com profissionais de outras empresas, reunindo diversasperspectivas e conhecimentos, trata-se de inovação fechada.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I e II, apenas.
I e III, apenas.
I, III e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL ENGENHARIA DA SUSTENTABILIDADE UNIC...Consultoria Acadêmica
Os termos "sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" só ganharam repercussão mundial com a realização da Conferência das Nações Unidas sobre o Meio Ambiente e o Desenvolvimento (CNUMAD), conhecida como Rio 92. O encontro reuniu 179 representantes de países e estabeleceu de vez a pauta ambiental no cenário mundial. Outra mudança de paradigma foi a responsabilidade que os países desenvolvidos têm para um planeta mais sustentável, como planos de redução da emissão de poluentes e investimento de recursos para que os países pobres degradem menos. Atualmente, os termos
"sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" fazem parte da agenda e do compromisso de todos os países e organizações que pensam no futuro e estão preocupados com a preservação da vida dos seres vivos.
Elaborado pelo professor, 2023.
Diante do contexto apresentado, assinale a alternativa correta sobre a definição de desenvolvimento sustentável:
ALTERNATIVAS
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento que não esgota os recursos para o futuro.
Desenvolvimento sustantável é o desenvolvimento que supre as necessidades momentâneas das pessoas.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento incapaz de garantir o atendimento das necessidades da geração futura.
Desenvolvimento sustentável é um modelo de desenvolvimento econômico, social e político que esteja contraposto ao meio ambiente.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento capaz de suprir as necessidades da geração anterior, comprometendo a capacidade de atender às necessidades das futuras gerações.
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Os nanomateriais são materiais com dimensões na escala nanométrica, apresentando propriedades únicas devido ao seu tamanho reduzido. Eles são amplamente explorados em áreas como eletrônica, medicina e energia, promovendo avanços tecnológicos e aplicações inovadoras.
Sobre os nanomateriais, analise as afirmativas a seguir:
-6
I. Os nanomateriais são aqueles que estão na escala manométrica, ou seja, 10 do metro.
II. O Fumo negro é um exemplo de nanomaterial.
III. Os nanotubos de carbono e o grafeno são exemplos de nanomateriais, e possuem apenas carbono emsua composição.
IV. O fulereno é um exemplo de nanomaterial que possuí carbono e silício em sua composição.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I e II, apenas.
I, II e III, apenas.
I, II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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Se você possui smartphone há mais de 10 anos, talvez não tenha percebido que, no início da onda da
instalação de aplicativos para celulares, quando era instalado um novo aplicativo, ele não perguntava se
podia ter acesso às suas fotos, e-mails, lista de contatos, localização, informações de outros aplicativos
instalados, etc. Isso não significa que agora todos pedem autorização de tudo, mas percebe-se que os
próprios sistemas operacionais (atualmente conhecidos como Android da Google ou IOS da Apple) têm
aumentado a camada de segurança quando algum aplicativo tenta acessar os seus dados, abrindo uma
janela e solicitando sua autorização.
CASTRO, Sílvio. Tecnologia. Formação Sociocultural e Ética II. Unicesumar: Maringá, 2024.
Considerando o exposto, analise as asserções a seguir e assinale a que descreve corretamente.
ALTERNATIVAS
I, apenas.
I e III, apenas.
II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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AE02 - FORMAÇÃO SOCIOCULTURAL E ÉTICA II UNICESUMAR 52/2024
Pac elementos finitos 1 a parte
1. PROJETOAUXILIADOPOR COMPUTADOR II
PROGRAMA
1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS
1.1. O que é Elementos Finitos.
2. CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1. Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
2.2. Idealização de Sistemas – Modelos Discretizados;
2.3. MEF – Sistema Discreto Padrão;
2.4. Tipos de Modelos Discretizados;
2.5. Matriz de Rigidez de um Elemento.
2.6. Leis Fundamentais – Matriz de Rigidez da Estrutura
3. ELEMENTOS UTILIZADOS NA DISCRETIZAÇÃO:
3.1. Mola;
3.2. Treliça;
3.3. Viga;
3.4. Casca;
3.5. Solido.
4. MALHA DE ELEMENTOS FINITOS:
4.1. Degeneração;
4.2. Convergência.
2. PROJETOAUXILIADOPOR COMPUTADOR II
PROGRAMA
5. ANÁLISE CAE (COSMOSWorks):
5.1. Elementos Unidimensionais;
5.2. Elementos Bidimensionais;
5.3. Elementos Tridimensionais;
6. ANÁLISE DINÂMICA por ELEMENTOS FINITOS:
6.1. Estudo de Frequência;
6.2. Formas Modais e Efeitos da Carga;
6.3. Análise com Cargas Dinâmicas.
7. ANALISES:
7.1. Estudo de Flambagem;
7.2. Estudo Térmico;
7.3. Estudo de Impacto.
7.4. Estudo de Fadiga.
7.5. Extensometria.
3. BIBLIOGRAFIA INDICADA
- ALVES FILHO, Avelino. Elementos finitos: a base da tecnologia CAE : análise dinâmica. São Paulo:
Érica,2005.301 p.
- AGOSTINHO, A. L., et al. Tolerâncias, ajustes, desvios e análise de dimensões. São Paulo: Edgar
Blücher,1995.
- MELCONIAN,Sarkis.Elementos de maquinas.5.ed. São Paulo:Érica, 2004.358 p.
LEITURACOMPLEMENTAR
- BEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON, E. Russell; PEREIRA, Celso Pinto Morais. Resistencia dos
materiais.3. ed. São Paulo:Makron,1995-19961255 p.
- FIALHO, Arivelto Bustamante. COSMOS Plataforma CAE do SolidWorks 2008, 1ª. Ed. São Paulo –
Editora Érica Ltda 2008.
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO
N1 – 04/10/2011 – 1º avaliação individual sendo realizada em sala de aula;
N2 – 22/11/2011 – 2º avaliação individual sendo realizada no computador;
N3 – 13/12/2011 – 3º avaliação individual sendo realizada no computador;
MS – média do semestre;
A média do semestre (MS) será calculada pela média aritmética das duas maiores notas
entre N1, N2 e N3.
Para que o aluno seja aprovado: MS > 6,0 - Se MS < 6,0 o aluno será reprovado.
A avaliação N3 tem caráter supletivo e/ou substitutivo podendo ou não ser realizada pelo
aluno a fim de substituir N1 ou N2 na composição de MS.
4. 1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS
1.1. O que é Elementos Finitos.
O Método dos Elementos Finitos (MEF) ou Finite Element Method (FEM).
- É uma técnica para resolver equações diferenciais parciais.
Equação de Poisson,
Equação de Laplace,
Equação de Helmholtz,
Equação de Navier- Stokes, etc...
Devido às suas características de flexibilidade e estabilidade numérica, ele pode ser
implementado na forma de um sistema computacional de forma consistente e sistemática,
fato que explica a sua grande popularidade nos dias atuais.
Um grande impulso para o seu desenvolvimento e aperfeiçoamento foi dado pela indústria
aeroespacial, onde o método vem tendo larga aplicação desde os anos 50, sendo
utilizado, entre outros, para o projeto e análise de estruturas complexas de aeronaves,
as quais certamente não poderiam ser analisadas e projetadas de forma segura usando-
se apenas técnicas tradicionais analíticas.
5. 1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS
Aplicações:
Entre as áreas que usam o MEF em projeto e análise se destacam:
- Estruturas oceânicas e navios.
- Veículos rodoviários e ferroviários.
- Hidrogeradores.
- Estruturas aeroespaciais e aviões.
- Mecânica estrutural.
- Mecânica dos fluídos computacional.
- Condução de calor.
-Eletromagnetismo.
O MEF envolve ferramentas matemáticas das mais simples (envolvendo algebra vetorial)
até as mais avançadas (como teoremas integrais), o uso de pacotes comercias, como o
COSMOSWORKS, para análise é muito corriqueiro.
Deve ficar claro que um engenheiro que não sabe modelar um problema via MEF sem o
computador não saberá como proceder tendo uma máquina e os mais avançados dos
programas. As facilidades gráficas de ferramentas CAD, CAE, CAM traz a sensação que
basta "decorar"meia dúzia de comandos para se dizer especialista em MEF. Porém, isto é
um conceito errado.
6. 1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS
Etapas de solução usando MEF:
O FEM é um procedimento bem metódico dividido em várias etapas:
-Desenvolvimento das equações do elemento.
-Discretização do domínio de solução dentro de uma malha de elementos finitos.
-Montagem das equações do elemento.
-Introdução das condições de contorno (restrições físicas e geométricas).
-Solução para os nós desconhecidos.
-Cálculo da solução e das quantidades (grandezas) em cada elemento.
7. 1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS
Etapas de soluçãousandoMEF:
Soluções dos problemas de análise estruturalem engenharia.
Problema real
(Estrutura a ser analisada)
Modelo para análise
(Representação da estrutura
que se possa analisá-la) A viga foi idealizada como bi apoiada, pois os vínculos
permitem rotação nas extremidades; caso contrário,
teríamos viga bi engastada.
Equações de Equilíbrio aplicáveis ao modelo
(Relações matemáticas conhecidas do Estudo da
Mecânica que traduzem um dado comportamento físico)
Equilíbrio de Forças: ∑Forças = 0 → ∑Fy = 0
R1 + R2 – q.L = 0
Equilíbrio de Momentos: ∑Momentos = 0
R1.L = q.L.(L/2)
Solução das Equações de Equilibrio
(Manipulação matemática das equações para determinação
das incógnitas e Estudo de Resistência Interna da Estrutura –
Deslocamentos, Deformações e Tensões).
Interpretação dos Resultados
(Análise dos resultados em função das expectativas do
Modelo Proposto e Verificação da Coerência do Modelo com
o problema real).
Reações: R1 = q.L / 2; R2 = q.L / 2
Momento Fletor: Mx = (q.L/2).x – q.x.(x/2)
Força Cortante: Qx = (q.L/2) – q.x
Deslocamentos: ∆x = (q.x/24E.I).(L3-2L.x2 + x3)
8. 1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS
A “solução pronta” do problema encontradas nos livros de Resistências dos Materiais,
é produto do tratamento matemático clássico baseado no estudo das Equações
Diferenciais, que descrevem o equilíbrio da estrutura. Há outros problemas, tais como:
- Teoria das Vigas.
- Teoria Geral de Placas e Cascas;
- Teoria Matemática da Elasticidade (estuda o comportamento dos sólidos
deformáveis).
Métodos Analíticos Clássicos
Permite o Cálculo da Resposta Exata dos Deslocamentos, Deformações e Tensões na
estrutura em todos os seus pontos. (infinitos pontos), porém essas soluções são
conhecidas para alguns casos.
Métodos dos Elementos Finitos
Procedimentos aproximados aplicados em caráter geral, independente da forma da
estrutura e da condição de carregamento, dentro da precisão aceitável do problema
de engenharia.
Estruturas com Geometria,
Carregamento e Condição
deApoio Simples.
Estruturas Complexas
Solução Exata
SoluçãoAproximada
Método dos
Elementos
Finitos
9. ALTERNATIVAS PARA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS ESTRUTURAIS
Equação Diferencial
Teoria das Placas
Solução da Equação
Diferencial
Solução
Exata
ALTERNATIVA
Método
Numérico
Método dos
Elementos
Finitos
Solução Exata Impossível
10. Nos trabalhosque envolvem
ANÁLISE PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Por intermédio de Técnicas Numéricas, como o Método dos
Elementos Finitos, pode-se determina o comportamento
estrutural de componentes com formas complexas, utilizando
‘softwares’ de análise. Os programas requerem o
conhecimento das propriedades dos componentes
(espessuras, módulo de elasticidade, coeficiente de Poisson,
densidade de massa, etc.). O carregamento atuante (Forças,
Pressão, Cargas gravitacionais) e as fixações da estrutura.
Pode-se determinar as regiões mais solicitadas do
componente, estabelecendo-se previsões a respeito do seu
comportamento.
Assim podemos fazer as devidas correções no âmbito do
desenvolvimento do projeto, evitando gastos excessivos em
ferramental, inerentes à execução de projetos desenvolvidos
pelo processo de Tentativae Erros.
O uso do Método dos ElementosFinitos revela-se
como um grande diferencial,reduzindoos prazos
e enxugando oscustos.
11. Nos trabalhosque envolvem
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Para se aplicar MEF é necessária uma base sólida em procedimentos matemáticos que
vão dos mais simples, como manipulação de matrizes, até os mais avançados,
envolvendo por exemplo teoremas de cálculo vetorial.
- Uma grandeza vetorial, como uma força, deslocamento, fluxo, etc. é necessário se
definir três componentes: módulo, direção e sentido.
- Um vetor a pode ser descrito em coordenadas cartesianas em função de vetores
unitários (i, j, k):
- A idéia básica do cálculo vetorial é considerar cada ponto no espaço como uma função
vetorial, o que forma um campo vetorial.
-Um campo vetorial pode ser um deslocamento, fluxo de um fluído, força
gravitacional ou eletromagnética, etc.
- O campo escalar significa associar cada ponto no espaço com um funcional escalar.
- Um exemplo de campo escalar é um campo de temperatura em um ponto no espaço,
campo de pressão, etc.
- O operador diferencial (del) é muito usado para definir operações matemáticas
fundamentais em campos escalares e vetoriais).
- O operador diferencial é dado por:
representa um operador diferencial de 1ª. ordem.
12. Nos trabalhosque envolvem
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
- Um operador de 2ª. ordem é conhecido como Laplaciano e dado por:
- O operador é usado para definir três operações básicas envolvendo campos
escalares e vetoriais:
- Gradiente;
- Divergente;
- Rotacional.
Estas operações são usadas na definição de teoremas fundamentais de integrais de
vetores tais como o Teorema da Divergência e o Teorema de Green-Gauss. Estes dois
teoremas são a base matemática para compreender o método de Galerkin, que por sua
vez é uma das bases fundamentais de MEF.
Produto vetorial
O produto vetorial entre dois vetores a e b é definido por:
O resultado da operação de produtor vetorial é um vetor
perpendicular ao plano onde estão contidos os vetores a e
b. Note que i x i = 0 e que i x j = k. Importante observar que
i x j ≠ j x i.
13. Nos trabalhosque envolvem
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Gradiente
O gradiente de uma função escalar ϕ(x; y; z)1 é dado por:
Note que o resultado do gradiente é um
vetor. Esta operação representa uma
diferença entre níveis de um campo
escalar, representando a variação de uma
grandeza escalar por unidade de espaço.
O significado físico pode ser interpretado como a diferença de temperatura nas faces de
um bloco.
Divergente
O divergente já é uma operação envolvendo um campo vetorial dado por uma função
vetorial do tipo a(x; y; z)2 e calculado por:
O que leva a seguinte expressão:
Note que . a = a . uma vez que o operador deve agir sobre a.
O divergente pode ser interpretado como um escalar que mostra, se um campo vetorial
está se expandindo ("fonte") ou comprimindo ("ralo"). É uma medida de magnitude da
dispersão de um campo vetorial.
14. Nos trabalhosque envolvem
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Rotacional
O rotacional representa um vetor resultante entre o produto vetorial envolvendo o
operador diferencial r e um campo vetorial a(x; y; z). Seu resultado pode ser escrito na
forma de um tensor cartesiano. Esta operação é calculada da seguinte forma:
O rotacional tem este nome pois esta operação representa uma transformação linear de
coordenadas (rotação) do campo vetorial a(x; y; z) que visa observar suas características
nestas novas coordenadas.
Teorema da divergência
O Teorema da divergência é definido como:
sendo V um volume, uma superfície de área S e n um vetor ortonormal à esta
superfície S. O teorema da divergência relaciona o divergente total de um campo vetorial
a em um volume V com o fluxo total deste campo vetorial atravessando uma superfície S.
15. Nos trabalhosque envolvem
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Teorema de Green-Gauss
Muitos problemas de engenharia podem ser escritos em uma forma unidimensional e
considerando as derivadas de funções escalares e com um valor k constante.
Assim:
Aplicando integral de ambos os lados, temos:
(2.1)
Nota-se que o lado esquerdo da eq. acima, forma uma integral perfeita, tem-se que:
(2.2)
Substituindo a eq. (2.2) em (2.1) e rearranjando tem-se:
(2.3)
Considerando que a = β.b, o teorema da divergência, eq. do teorema da divergência ,
pode ser reescrito como:
(2.4)
16. Nos trabalhosque envolvem
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Uma vez que . βb = β . b + β . b, tem-se que:
(2.5)
A eq. (2.5) é um resultado clássico do teorema de Green-Gauss. Em MEF a eq. (2.3) é
uma extensão da eq. (2.5) sendo que e são matrizes representando funções de
interpolação (funções aproximadoras) dos elementos empregados em uma discretização.
ÁLGEBRA MATRICIAL USADO NO MEF.
Utilizando a álgebra matricial, as relações entre um grande conjunto de números podem
ser estabelecidas de forma clara e compacta.
Matriz do tipo m x n – formada por m (linhas) e n (colunas) – sujeita a certas regras de
operação.
Genericamente representamos uma matriz indicando cada um de seus elementos por
uma letra com dois índices:
- Primeiro índice indica em que linha está o elemento;
- Segundo índice indica em que coluna está o elemento.
Quando a matriz possui o mesmo número de linhas e colunas (m = n), diz-se que ela é
Matriz Quadrada de Ordem n.
Quando a matriz possui apenas uma coluna, é chamada Matriz-Coluna.
Quando a matriz possui apenas uma linha, é chamada Matriz-Linha.
17. Nos trabalhosque envolvem
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Desta forma, a matriz K do tipo 3 x 3 pode ser representada da seguinte forma:
Em que:
k11 é o elemento localizado na 1ª. linha e 1ª. coluna.
k23 é o elemento localizado na 2ª. linha e 3ª. coluna.
E de modo geral kij é o elemento localizado na i-ésima linha e j-ésima coluna.
De forma compacta, podemos escrever:
[K] = [Kij]3x3
18. Nos trabalhosque envolvem
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Multiplicação de Matrizes.
Uma das manipulações com matrizes mais utilizadas no Método dos Elementos Finitos é
a Multiplicação de Matrizes.
Multiplicação de uma Matriz por uma Constante
Basta multiplicar cada um dos elementos da matriz por este número.
Multiplicação de uma Matriz por outra Matriz
É possível somente se o n° de colunas da primeira matriz (m x r) for igual ao n° de linhas
da segunda matriz (r x n). O resultado será uma Matriz (m x n).
A Matriz Produto [C] = [A].[B] é obtida da seguinte forma: cada linha da matriz [A] é
multiplicada uma vez e somente uma vez por cada coluna da matriz [B].
(Linha 1 por coluna 1) c11=a11.b11+a12.b21+a13.b31
(Linha 1 por coluna 2) c12=a11.b12+a12.b22+a13.b32
(Linha 2 por coluna 1) c21=a21.b11+a22.b21+a23.b31
(Linha 2 por coluna 2) c22=a21.b12+a22.b22+a23.b32
19. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Um caso particular, porém de muita importância nas aplicações do Método dos
Elementos Finitos, é a Multiplicação de uma Matriz Quadrada por uma Matriz Coluna.
* =
Seguindo a regra da Multiplicação de Matrizes e fazendo o produto das linhas pela única
coluna, teremos:
[ K ] . { u } = { f }
Matriz Simétrica
Uma matriz quadrada é dita Simétrica se kij = kji
k11 k12 k13 k14
k21 k22 k23 k24
k31 k32 k33 k34
k41 k42 k43 k44
u1
u2
u3
u4
f1
f2
f3
f4
É interessante observar que a Multiplicação da
matriz K pela matriz coluna u corresponde a um
Sistema de Equações Algébricas. Inversamente, uma
maneira compacta e elegante de representar o
Sistema de Equações é por intermédio da Notação
Matricial, separando a Matriz dos Coeficientes da
Matriz coluna que contém as incógnitas a se
determinar.
20. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Muitos destas manipulações são triviais, como por exemplo, cálculo de determinante,
mínimo de uma matriz, cofatores, adjuntos, etc.
Outros são mais avançados, como por exemplo, técnicas para inversão de matrizes
visando solucionar sistemas lineares de grande dimensão.
Uma operação usada em MEF se refere a eliminação de linhas e colunas de uma matriz,
que corresponde na prática a aplicação de uma condição de contorno ou restrição no
sistema em estudo. Suponha uma matriz A dada por:
Se uma restrição for imposta de tal forma que a segunda linha e coluna sejam eliminadas
temos uma matriz M22 dada por:
Este conceito também é usado para cálculo do cofator Cij :
21. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Já o adjunto de uma matriz é
Uma aplicação comum em MEF é ter que resolver sistemas lineares do tipo:
Onde o vetor x representa as incógnitas do problemas que são os graus de liberdade em
cada nó de um elemento (por exemplo, deslocamento), a matriz A os parâmetros
conhecidos representando uma matriz de rigidez e o vetor f representando as fontes ou
forças atuantes. A solução deste problema é feita a partir da inversão da matriz de
rigidez:
Porém este método é ineficiente para solucionar sistemas de grandes equações.
Uma maneira mais efetiva e elegante é propor uma decomposição da matriz de rigidez A,
como por exemplo, o método de eliminação de Gauss.
Exemplo: Use o método de eliminação de Gauss para resolver o sistema simultâneo de
equações:
22. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Este sistema de equações pode ser descrito na forma matricial como:
Primeiro é dividido a 1ª. linha por 4 e subtraindo esta nova linha pela 2ª. linha. Na
sequência a nova linha 1 é dividida por 0.5 e subtraída da linha 3. Por fim, a linha 1 é
dividida por -4 e subtraída da linha 4. O resultado é:
Agora neste novo sistema a linha 2 é dividida por 1.5, a nova linha 2 é multiplicada por
-1.25 e subtraída da linha 3. Como um zero já apareceu na linha 4 nenhuma modificação
é exigida. Este resultado é:
23. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Por fim, a linha 3 é dividida por 5.5. Multiplicando esta nova linha por 3 por -2 é subtraindo
da linha 4:
Agora a solução do sistema é trivial e é dada por: x1 = 0,0794, x2 = -1,0066, x3 = 3,9338 e
x4 =-1,6954.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
É primordial que o engenheiro saiba modelar fisicamente o seu problema com o
conhecimento necessário para construir este sistema de equações diferenciais.
Vale apenas lembrar que a maioria dos problemas de engenharia podem ser escritos
através da equação (para o caso unidimensional):
Sendo (x) um parâmetro do material, C(x) uma fonte externa e A(x) a área da secção
transversal. Se estes parâmetros forem variantes significa que o sistema varia de
elemento a elemento. A forma básica é assumir homogeneidade, assim a eq. acima
torna-se:
24. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Inúmeros métodos analíticos podem ser usados para solucionar este tipo de problema,
como separação de variáveis, coeficientes desconhecidos, transformada de Laplace, etc.
TENSORES CARTESIANOS
Quando se trabalha com MEF envolvendo sistemas complexos, normalmente são encontradas
equações de grande dimensão. Nestes casos a notação de subscritos pode ser útil. Em primeiro lugar
é preciso lembrar a definição de tensor. Tensor é uma grandeza que precisa de 9 elementos para
poder ser completamente conhecida. Em alguns casos com 6 elementos é possível descrever um
tensor, como por exemplo, no caso de um estado de tensões, onde as tensões cisalhantes no mesmo
plano são iguais. A notação tensorial pode ser usada como forma de propor uma notação compacta
para uma notação vetorial.Um vetordescrito nesta notaçãoé um tensorde primeira ordem.
Imagine um vetorf escrito em função do sistema de coordenadas (x;y; z):
Agora em vez do sistema de coordenadas (x;y;z) imagine um equivalente(x1;x2; x3). Neste novo
sistema de coordenadas este vetoré descrito como:
Em uma notação tensorialeste vetorpode serdado por:
25. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.2 – Idealização de Sistemas – Modelos Discretizados.
As limitações da mente humana são tais que ela não consegue compreender o
comportamento dos sistemas ao seu redor e os fenômenos em uma só operação. É próprio
da mente humana querer subdividir os sistemas em seus componentes individuais, ou
em seus elementos. Assim, surge a ideia de que, a partir do entendimento do comportamento
de cada elemento, é possível entender o comportamento do conjunto por mais complexo que
possa parecer. Esse raciocínio tem implicações também nos métodos matemáticos utilizados
para a descrição do comportamento dos sistemas. Surge então, naturalmente, uma questão
fundamental: como identificar os elementos de um sistema?
2.2.1. SISTEMAS CONTÍNUOS
Pretende-se fazer a análise preliminar de uma estrutura de ponte, constituída basicamente
de apoios flutuantes, sobre os quais são montadas plataformas em que se movimenta um
veículo. O primeiro passo corresponde à Idealização da Estrutura, definindo um Modelo de
Cálculo.
Fig. 7
26. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.2.1. SISTEMAS CONTÍNUOS
A definição desse modelo passa pelo entendimento
do problema físico a ser simulado.
À medida que o veículo se movimenta sobre a
estrutura, os apoios flutuantes sofrem
afundamento, e quanto maior esse afundamento,
maior a força de empuxo decorrente da água
deslocada pelo bote.
Resumidamente, em termos de comportamento
global da plataforma, os botes comportam-se
como apoios elásticos, isto é, como "molas" que
servem de apoio para a estrutura da ponte.
A Fig. 7 representa o problema real, que mostra um
trecho de ponte sendo montado, e a Fig. 8 o
esquema oumodelo decálculo.
Uma das técnicas de abordagem deste problema
clássico baseia-se na hipótese de que haja um
suporte elástico continuosobre a plataforma.
Esta hipótese é considerada adequada do ponto de
vista de engenharia, desde que a distância entre os
apoios seja pequena quando comparada ao
comprimento de onda da linha elástica que se
forma.
Esse tipo de problema é semelhante ao caso da
flexão de um trilho sob a ação da roda de uma
locomotiva, em que a distância entre os dormentes
é pequena.
Fig. 8
27. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.2.1. SISTEMAS CONTÍNUOS
Embora não seja o objetivo discutir a formulação analítica do problema anterior, é importante tecer
algumas considerações a respeito do desenvolvimento das soluções propostas para os SISTEMAS
CONTÍNUOS, e que justificam a busca de uma outra alternativa de cálculo, como o Método dos Elementos
Finitos.
O DIAGRAMADE CORPO LIVRE
O conceito de diagrama de corpo
livre, intensamente utilizado nos
problemas de mecânica, constitui um
poderoso aliado no entendimento do
equilíbrio da estrutura e dos seus
elementos. A Fig. 9 ilustra esse
conceito. Ao analisarmos o equilíbrio
estático ou dinâmico do bloco, nós
o isolamos do resto do sistema,
substituindo a ação dos demais
componentes sobre o bloco pelas
forças que esses componentes
exercemnele.
Assim, focalizamos a atenção apenas no "elemento" alvo de interesse, e justificamos a sua condição
de equilíbrio.
Fig. 9
28. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.2.1. SISTEMAS CONTÍNUOS
EQUILÍBRIO DE UM ELEMENTO DAESTRUTURA
A viga da Fig. 10 está em equilíbrio, portanto cada
trecho dela também está em equilíbrio. Podemos
justificar o equilíbrio de um elemento diferencial de
comprimento dx, representando o carregamento
externo nesse trecho e as forças e momentos que são
trocados com o resto da viga, fazendo também um
diagrama de corpo livre do elemento diferencial.
Como esse diagrama envolve termos diferenciais,
como um aumento "muito pequeno" (diferencial) de
momento dM e força cortante dQ de uma seção para
outra da viga, as Equações de Equilíbrio e as relações
que envolvem momento e curvatura conterão esses
termos diferenciais. Essas equações envolvem
derivadas e não relações diretas entre as grandezas,
e são, portanto, equações diferenciais. Para resolvê-
las, teremos de submetê-las a um processo de
integração.
Neste exemplo, bem como no exemplo anterior da ponte flutuante, a solução da equação diferencial,
embora trabalhosa, é possível por procedimento analítico exato, que em última análise contabiliza o
efeito dos infinitos elementos diferenciais. Em resumo, a partir do entendimento do comportamento
de um elemento diferencial, é possível entender o comportamento da viga inteira. Esse tipo de
solução analítica, infelizmente não está disponível para a maioria dos problemas práticos, o que leva à
busca de outra estratégia para resolvê-los.
Fig. 10
29. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.2.2. SISTEMAS DISCRETOS
A abordagem do equilíbrio da estrutura
pode ser efetuada considerando-a um
Sistema Discreto. A idéia da
discretização de um sistema contínuo
considera a divisão da estrutura em
partes separadas distintas, conectadas
entre si nos pontos discretos O, A, B,
C... etc., como mostra a Fig.11.
Neste caso, a solução aproximada
simula a estrutura como uma
montagem de elementos que têm um
comprimento finito (e não diferencial!).
Assim, o sistema é subdividido em um
número finito de partes ou
elementos, sendo que a estrutura
inteira é modelada por um agregado
de estruturas "simples". Os pontos de
conexão entre os elementos são
chamados de nós do modelo.
Fig. 11
30. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.2.2. SISTEMAS DISCRETOS
Estamos diante da questão central do Método dos Elementos Finitos. Em uma primeira abordagem
podemos observarque:
-No sistema discretizado não se pretende calcular os deslocamentos dos infinitos pontos da viga,
como no caso contínuo. São calculados somente os deslocamentos de alguns pontos, que são os nós
do modelo. Porém, julgamos que o número de pontos discretos escolhidos é suficiente para
representar o deslocamento do conjunto inteiro de forma aproximada. A escolha desse número
constituium ponto muito importante no Método dos ElementosFinitos.
- O modo como a estrutura se comporta entre os nós do modelo depende das propriedades atribuídas
ao elemento escolhido, que representa aquele trecho da estrutura entre os nós. Assim, a partir do
conhecimento dos deslocamentos dos nós, podemos calcular o comportamento interno de cada
elemento. Quanto mais bem especificado for esse comportamento interno, mais a resposta do
modelo se aproxima do comportamento real da estrutura. Ou seja, o elemento discreto que representa
um dado trecho da estrutura entre os nós deve ser muito bem definido. A rigor, vamos nos valer da
velha ideia matemáticada interpolação tanto utilizada pêlos engenheirosnas suas aplicações.
- Um dos motivos pelo qual o Método dos Elementos Finitos obteve sucesso desde o início de sua
formulação até os dias de hoje é que o seu conceito básico, a discretização, produz muitas
equações algébricas simultâneas, que são geradas e resolvidas com o auxílio de computadores
digitais. Assim, é possível utilizar procedimentos padrão, aplicáveis aos sistemas discretos, que não
envolvem decisões de engenharia durante o procedimento computacional. Todas as decisões são
tomadas pelo analista na etapa de elaboração do modelo, antes de "disparar" a análise, escolhendo
o elemento adequado que represente uma dada situaçãofísica.