O documento descreve um programa sobre análise de estruturas por meio do método dos elementos finitos. O programa aborda 1) conceitos sobre elementos finitos, 2) construção do modelo matemático, 3) elementos utilizados na discretização, 4) malha de elementos finitos, 5) análise CAE, 6) análise dinâmica por elementos finitos e 7) diferentes tipos de análises estruturais que podem ser realizadas. O documento fornece os fundamentos teóricos e etapas para solução de problemas estruturais

1. PROJETOAUXILIADOPOR COMPUTADOR II
PROGRAMA
1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS
1.1. O que é Elementos Finitos.
2. CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1. Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
2.2. Idealização de Sistemas – Modelos Discretizados;
2.3. MEF – Sistema Discreto Padrão;
2.4. Tipos de Modelos Discretizados;
2.5. Matriz de Rigidez de um Elemento.
2.6. Leis Fundamentais – Matriz de Rigidez da Estrutura
3. ELEMENTOS UTILIZADOS NA DISCRETIZAÇÃO:
3.1. Mola;
3.2. Treliça;
3.3. Viga;
3.4. Casca;
3.5. Solido.
4. MALHA DE ELEMENTOS FINITOS:
4.1. Degeneração;
4.2. Convergência.

2. PROJETOAUXILIADOPOR COMPUTADOR II
PROGRAMA
5. ANÁLISE CAE (COSMOSWorks):
5.1. Elementos Unidimensionais;
5.2. Elementos Bidimensionais;
5.3. Elementos Tridimensionais;
6. ANÁLISE DINÂMICA por ELEMENTOS FINITOS:
6.1. Estudo de Frequência;
6.2. Formas Modais e Efeitos da Carga;
6.3. Análise com Cargas Dinâmicas.
7. ANALISES:
7.1. Estudo de Flambagem;
7.2. Estudo Térmico;
7.3. Estudo de Impacto.
7.4. Estudo de Fadiga.
7.5. Extensometria.

3. BIBLIOGRAFIA INDICADA
- ALVES FILHO, Avelino. Elementos finitos: a base da tecnologia CAE : análise dinâmica. São Paulo:
Érica,2005.301 p.
- AGOSTINHO, A. L., et al. Tolerâncias, ajustes, desvios e análise de dimensões. São Paulo: Edgar
Blücher,1995.
- MELCONIAN,Sarkis.Elementos de maquinas.5.ed. São Paulo:Érica, 2004.358 p.
LEITURACOMPLEMENTAR
- BEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON, E. Russell; PEREIRA, Celso Pinto Morais. Resistencia dos
materiais.3. ed. São Paulo:Makron,1995-19961255 p.
- FIALHO, Arivelto Bustamante. COSMOS Plataforma CAE do SolidWorks 2008, 1ª. Ed. São Paulo –
Editora Érica Ltda 2008.
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO
N1 – 04/10/2011 – 1º avaliação individual sendo realizada em sala de aula;
N2 – 22/11/2011 – 2º avaliação individual sendo realizada no computador;
N3 – 13/12/2011 – 3º avaliação individual sendo realizada no computador;
MS – média do semestre;
A média do semestre (MS) será calculada pela média aritmética das duas maiores notas
entre N1, N2 e N3.
Para que o aluno seja aprovado: MS > 6,0 - Se MS < 6,0 o aluno será reprovado.
A avaliação N3 tem caráter supletivo e/ou substitutivo podendo ou não ser realizada pelo
aluno a fim de substituir N1 ou N2 na composição de MS.

4. 1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS
1.1. O que é Elementos Finitos.
O Método dos Elementos Finitos (MEF) ou Finite Element Method (FEM).
- É uma técnica para resolver equações diferenciais parciais.
Equação de Poisson,
Equação de Laplace,
Equação de Helmholtz,
Equação de Navier- Stokes, etc...
Devido às suas características de flexibilidade e estabilidade numérica, ele pode ser
implementado na forma de um sistema computacional de forma consistente e sistemática,
fato que explica a sua grande popularidade nos dias atuais.
Um grande impulso para o seu desenvolvimento e aperfeiçoamento foi dado pela indústria
aeroespacial, onde o método vem tendo larga aplicação desde os anos 50, sendo
utilizado, entre outros, para o projeto e análise de estruturas complexas de aeronaves,
as quais certamente não poderiam ser analisadas e projetadas de forma segura usando-
se apenas técnicas tradicionais analíticas.

5. 1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS
Aplicações:
Entre as áreas que usam o MEF em projeto e análise se destacam:
- Estruturas oceânicas e navios.
- Veículos rodoviários e ferroviários.
- Hidrogeradores.
- Estruturas aeroespaciais e aviões.
- Mecânica estrutural.
- Mecânica dos fluídos computacional.
- Condução de calor.
-Eletromagnetismo.
O MEF envolve ferramentas matemáticas das mais simples (envolvendo algebra vetorial)
até as mais avançadas (como teoremas integrais), o uso de pacotes comercias, como o
COSMOSWORKS, para análise é muito corriqueiro.
Deve ficar claro que um engenheiro que não sabe modelar um problema via MEF sem o
computador não saberá como proceder tendo uma máquina e os mais avançados dos
programas. As facilidades gráficas de ferramentas CAD, CAE, CAM traz a sensação que
basta "decorar"meia dúzia de comandos para se dizer especialista em MEF. Porém, isto é
um conceito errado.

6. 1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS
Etapas de solução usando MEF:
O FEM é um procedimento bem metódico dividido em várias etapas:
-Desenvolvimento das equações do elemento.
-Discretização do domínio de solução dentro de uma malha de elementos finitos.
-Montagem das equações do elemento.
-Introdução das condições de contorno (restrições físicas e geométricas).
-Solução para os nós desconhecidos.
-Cálculo da solução e das quantidades (grandezas) em cada elemento.

7. 1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS
Etapas de soluçãousandoMEF:
Soluções dos problemas de análise estruturalem engenharia.
Problema real
(Estrutura a ser analisada)
Modelo para análise
(Representação da estrutura
que se possa analisá-la) A viga foi idealizada como bi apoiada, pois os vínculos
permitem rotação nas extremidades; caso contrário,
teríamos viga bi engastada.
Equações de Equilíbrio aplicáveis ao modelo
(Relações matemáticas conhecidas do Estudo da
Mecânica que traduzem um dado comportamento físico)
Equilíbrio de Forças: ∑Forças = 0 → ∑Fy = 0
R1 + R2 – q.L = 0
Equilíbrio de Momentos: ∑Momentos = 0
R1.L = q.L.(L/2)
Solução das Equações de Equilibrio
(Manipulação matemática das equações para determinação
das incógnitas e Estudo de Resistência Interna da Estrutura –
Deslocamentos, Deformações e Tensões).
Interpretação dos Resultados
(Análise dos resultados em função das expectativas do
Modelo Proposto e Verificação da Coerência do Modelo com
o problema real).
Reações: R1 = q.L / 2; R2 = q.L / 2
Momento Fletor: Mx = (q.L/2).x – q.x.(x/2)
Força Cortante: Qx = (q.L/2) – q.x
Deslocamentos: ∆x = (q.x/24E.I).(L3-2L.x2 + x3)

8. 1- CONCEITO SOBRE ELEMENTOS FINITOS
A “solução pronta” do problema encontradas nos livros de Resistências dos Materiais,
é produto do tratamento matemático clássico baseado no estudo das Equações
Diferenciais, que descrevem o equilíbrio da estrutura. Há outros problemas, tais como:
- Teoria das Vigas.
- Teoria Geral de Placas e Cascas;
- Teoria Matemática da Elasticidade (estuda o comportamento dos sólidos
deformáveis).
Métodos Analíticos Clássicos
Permite o Cálculo da Resposta Exata dos Deslocamentos, Deformações e Tensões na
estrutura em todos os seus pontos. (infinitos pontos), porém essas soluções são
conhecidas para alguns casos.
Métodos dos Elementos Finitos
Procedimentos aproximados aplicados em caráter geral, independente da forma da
estrutura e da condição de carregamento, dentro da precisão aceitável do problema
de engenharia.
Estruturas com Geometria,
Carregamento e Condição
deApoio Simples.
Estruturas Complexas
Solução Exata
SoluçãoAproximada
Método dos
Elementos
Finitos

9. ALTERNATIVAS PARA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS ESTRUTURAIS
Equação Diferencial
Teoria das Placas
Solução da Equação
Diferencial
Solução
Exata
ALTERNATIVA
Método
Numérico
Método dos
Elementos
Finitos
Solução Exata Impossível

10. Nos trabalhosque envolvem
ANÁLISE PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Por intermédio de Técnicas Numéricas, como o Método dos
Elementos Finitos, pode-se determina o comportamento
estrutural de componentes com formas complexas, utilizando
‘softwares’ de análise. Os programas requerem o
conhecimento das propriedades dos componentes
(espessuras, módulo de elasticidade, coeficiente de Poisson,
densidade de massa, etc.). O carregamento atuante (Forças,
Pressão, Cargas gravitacionais) e as fixações da estrutura.
Pode-se determinar as regiões mais solicitadas do
componente, estabelecendo-se previsões a respeito do seu
comportamento.
Assim podemos fazer as devidas correções no âmbito do
desenvolvimento do projeto, evitando gastos excessivos em
ferramental, inerentes à execução de projetos desenvolvidos
pelo processo de Tentativae Erros.
O uso do Método dos ElementosFinitos revela-se
como um grande diferencial,reduzindoos prazos
e enxugando oscustos.

11. Nos trabalhosque envolvem
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Para se aplicar MEF é necessária uma base sólida em procedimentos matemáticos que
vão dos mais simples, como manipulação de matrizes, até os mais avançados,
envolvendo por exemplo teoremas de cálculo vetorial.
- Uma grandeza vetorial, como uma força, deslocamento, fluxo, etc. é necessário se
definir três componentes: módulo, direção e sentido.
- Um vetor a pode ser descrito em coordenadas cartesianas em função de vetores
unitários (i, j, k):
- A idéia básica do cálculo vetorial é considerar cada ponto no espaço como uma função
vetorial, o que forma um campo vetorial.
-Um campo vetorial pode ser um deslocamento, fluxo de um fluído, força
gravitacional ou eletromagnética, etc.
- O campo escalar significa associar cada ponto no espaço com um funcional escalar.
- Um exemplo de campo escalar é um campo de temperatura em um ponto no espaço,
campo de pressão, etc.
- O operador diferencial (del) é muito usado para definir operações matemáticas
fundamentais em campos escalares e vetoriais).
- O operador diferencial é dado por:
representa um operador diferencial de 1ª. ordem.

12. Nos trabalhosque envolvem
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
- Um operador de 2ª. ordem é conhecido como Laplaciano e dado por:
- O operador é usado para definir três operações básicas envolvendo campos
escalares e vetoriais:
- Gradiente;
- Divergente;
- Rotacional.
Estas operações são usadas na definição de teoremas fundamentais de integrais de
vetores tais como o Teorema da Divergência e o Teorema de Green-Gauss. Estes dois
teoremas são a base matemática para compreender o método de Galerkin, que por sua
vez é uma das bases fundamentais de MEF.
Produto vetorial
O produto vetorial entre dois vetores a e b é definido por:
O resultado da operação de produtor vetorial é um vetor
perpendicular ao plano onde estão contidos os vetores a e
b. Note que i x i = 0 e que i x j = k. Importante observar que
i x j ≠ j x i.

13. Nos trabalhosque envolvem
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Gradiente
O gradiente de uma função escalar ϕ(x; y; z)1 é dado por:
Note que o resultado do gradiente é um
vetor. Esta operação representa uma
diferença entre níveis de um campo
escalar, representando a variação de uma
grandeza escalar por unidade de espaço.
O significado físico pode ser interpretado como a diferença de temperatura nas faces de
um bloco.
Divergente
O divergente já é uma operação envolvendo um campo vetorial dado por uma função
vetorial do tipo a(x; y; z)2 e calculado por:
O que leva a seguinte expressão:
Note que . a = a . uma vez que o operador deve agir sobre a.
O divergente pode ser interpretado como um escalar que mostra, se um campo vetorial
está se expandindo ("fonte") ou comprimindo ("ralo"). É uma medida de magnitude da
dispersão de um campo vetorial.

14. Nos trabalhosque envolvem
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Rotacional
O rotacional representa um vetor resultante entre o produto vetorial envolvendo o
operador diferencial r e um campo vetorial a(x; y; z). Seu resultado pode ser escrito na
forma de um tensor cartesiano. Esta operação é calculada da seguinte forma:
O rotacional tem este nome pois esta operação representa uma transformação linear de
coordenadas (rotação) do campo vetorial a(x; y; z) que visa observar suas características
nestas novas coordenadas.
Teorema da divergência
O Teorema da divergência é definido como:
sendo V um volume, uma superfície de área S e n um vetor ortonormal à esta
superfície S. O teorema da divergência relaciona o divergente total de um campo vetorial
a em um volume V com o fluxo total deste campo vetorial atravessando uma superfície S.

15. Nos trabalhosque envolvem
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Teorema de Green-Gauss
Muitos problemas de engenharia podem ser escritos em uma forma unidimensional e
considerando as derivadas de funções escalares e com um valor k constante.
Assim:
Aplicando integral de ambos os lados, temos:
(2.1)
Nota-se que o lado esquerdo da eq. acima, forma uma integral perfeita, tem-se que:
(2.2)
Substituindo a eq. (2.2) em (2.1) e rearranjando tem-se:
(2.3)
Considerando que a = β.b, o teorema da divergência, eq. do teorema da divergência ,
pode ser reescrito como:
(2.4)

16. Nos trabalhosque envolvem
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Uma vez que . βb = β . b + β . b, tem-se que:
(2.5)
A eq. (2.5) é um resultado clássico do teorema de Green-Gauss. Em MEF a eq. (2.3) é
uma extensão da eq. (2.5) sendo que e são matrizes representando funções de
interpolação (funções aproximadoras) dos elementos empregados em uma discretização.
ÁLGEBRA MATRICIAL USADO NO MEF.
Utilizando a álgebra matricial, as relações entre um grande conjunto de números podem
ser estabelecidas de forma clara e compacta.
Matriz do tipo m x n – formada por m (linhas) e n (colunas) – sujeita a certas regras de
operação.
Genericamente representamos uma matriz indicando cada um de seus elementos por
uma letra com dois índices:
- Primeiro índice indica em que linha está o elemento;
- Segundo índice indica em que coluna está o elemento.
Quando a matriz possui o mesmo número de linhas e colunas (m = n), diz-se que ela é
Matriz Quadrada de Ordem n.
Quando a matriz possui apenas uma coluna, é chamada Matriz-Coluna.
Quando a matriz possui apenas uma linha, é chamada Matriz-Linha.

17. Nos trabalhosque envolvem
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Desta forma, a matriz K do tipo 3 x 3 pode ser representada da seguinte forma:
Em que:
k11 é o elemento localizado na 1ª. linha e 1ª. coluna.
k23 é o elemento localizado na 2ª. linha e 3ª. coluna.
E de modo geral kij é o elemento localizado na i-ésima linha e j-ésima coluna.
De forma compacta, podemos escrever:
[K] = [Kij]3x3

18. Nos trabalhosque envolvem
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Multiplicação de Matrizes.
Uma das manipulações com matrizes mais utilizadas no Método dos Elementos Finitos é
a Multiplicação de Matrizes.
Multiplicação de uma Matriz por uma Constante
Basta multiplicar cada um dos elementos da matriz por este número.
Multiplicação de uma Matriz por outra Matriz
É possível somente se o n° de colunas da primeira matriz (m x r) for igual ao n° de linhas
da segunda matriz (r x n). O resultado será uma Matriz (m x n).
A Matriz Produto [C] = [A].[B] é obtida da seguinte forma: cada linha da matriz [A] é
multiplicada uma vez e somente uma vez por cada coluna da matriz [B].
(Linha 1 por coluna 1) c11=a11.b11+a12.b21+a13.b31
(Linha 1 por coluna 2) c12=a11.b12+a12.b22+a13.b32
(Linha 2 por coluna 1) c21=a21.b11+a22.b21+a23.b31
(Linha 2 por coluna 2) c22=a21.b12+a22.b22+a23.b32

19. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Um caso particular, porém de muita importância nas aplicações do Método dos
Elementos Finitos, é a Multiplicação de uma Matriz Quadrada por uma Matriz Coluna.
* =
Seguindo a regra da Multiplicação de Matrizes e fazendo o produto das linhas pela única
coluna, teremos:
[ K ] . { u } = { f }
Matriz Simétrica
Uma matriz quadrada é dita Simétrica se kij = kji
k11 k12 k13 k14
k21 k22 k23 k24
k31 k32 k33 k34
k41 k42 k43 k44
u1
u2
u3
u4
f1
f2
f3
f4
É interessante observar que a Multiplicação da
matriz K pela matriz coluna u corresponde a um
Sistema de Equações Algébricas. Inversamente, uma
maneira compacta e elegante de representar o
Sistema de Equações é por intermédio da Notação
Matricial, separando a Matriz dos Coeficientes da
Matriz coluna que contém as incógnitas a se
determinar.

20. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Muitos destas manipulações são triviais, como por exemplo, cálculo de determinante,
mínimo de uma matriz, cofatores, adjuntos, etc.
Outros são mais avançados, como por exemplo, técnicas para inversão de matrizes
visando solucionar sistemas lineares de grande dimensão.
Uma operação usada em MEF se refere a eliminação de linhas e colunas de uma matriz,
que corresponde na prática a aplicação de uma condição de contorno ou restrição no
sistema em estudo. Suponha uma matriz A dada por:
Se uma restrição for imposta de tal forma que a segunda linha e coluna sejam eliminadas
temos uma matriz M22 dada por:
Este conceito também é usado para cálculo do cofator Cij :

21. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Já o adjunto de uma matriz é
Uma aplicação comum em MEF é ter que resolver sistemas lineares do tipo:
Onde o vetor x representa as incógnitas do problemas que são os graus de liberdade em
cada nó de um elemento (por exemplo, deslocamento), a matriz A os parâmetros
conhecidos representando uma matriz de rigidez e o vetor f representando as fontes ou
forças atuantes. A solução deste problema é feita a partir da inversão da matriz de
rigidez:
Porém este método é ineficiente para solucionar sistemas de grandes equações.
Uma maneira mais efetiva e elegante é propor uma decomposição da matriz de rigidez A,
como por exemplo, o método de eliminação de Gauss.
Exemplo: Use o método de eliminação de Gauss para resolver o sistema simultâneo de
equações:

22. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Este sistema de equações pode ser descrito na forma matricial como:
Primeiro é dividido a 1ª. linha por 4 e subtraindo esta nova linha pela 2ª. linha. Na
sequência a nova linha 1 é dividida por 0.5 e subtraída da linha 3. Por fim, a linha 1 é
dividida por -4 e subtraída da linha 4. O resultado é:
Agora neste novo sistema a linha 2 é dividida por 1.5, a nova linha 2 é multiplicada por
-1.25 e subtraída da linha 3. Como um zero já apareceu na linha 4 nenhuma modificação
é exigida. Este resultado é:

23. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Por fim, a linha 3 é dividida por 5.5. Multiplicando esta nova linha por 3 por -2 é subtraindo
da linha 4:
Agora a solução do sistema é trivial e é dada por: x1 = 0,0794, x2 = -1,0066, x3 = 3,9338 e
x4 =-1,6954.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
É primordial que o engenheiro saiba modelar fisicamente o seu problema com o
conhecimento necessário para construir este sistema de equações diferenciais.
Vale apenas lembrar que a maioria dos problemas de engenharia podem ser escritos
através da equação (para o caso unidimensional):
Sendo (x) um parâmetro do material, C(x) uma fonte externa e A(x) a área da secção
transversal. Se estes parâmetros forem variantes significa que o sistema varia de
elemento a elemento. A forma básica é assumir homogeneidade, assim a eq. acima
torna-se:

24. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.1 - Fundamentos Matemáticos Básicos para MEF.
Inúmeros métodos analíticos podem ser usados para solucionar este tipo de problema,
como separação de variáveis, coeficientes desconhecidos, transformada de Laplace, etc.
TENSORES CARTESIANOS
Quando se trabalha com MEF envolvendo sistemas complexos, normalmente são encontradas
equações de grande dimensão. Nestes casos a notação de subscritos pode ser útil. Em primeiro lugar
é preciso lembrar a definição de tensor. Tensor é uma grandeza que precisa de 9 elementos para
poder ser completamente conhecida. Em alguns casos com 6 elementos é possível descrever um
tensor, como por exemplo, no caso de um estado de tensões, onde as tensões cisalhantes no mesmo
plano são iguais. A notação tensorial pode ser usada como forma de propor uma notação compacta
para uma notação vetorial.Um vetordescrito nesta notaçãoé um tensorde primeira ordem.
Imagine um vetorf escrito em função do sistema de coordenadas (x;y; z):
Agora em vez do sistema de coordenadas (x;y;z) imagine um equivalente(x1;x2; x3). Neste novo
sistema de coordenadas este vetoré descrito como:
Em uma notação tensorialeste vetorpode serdado por:

25. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.2 – Idealização de Sistemas – Modelos Discretizados.
As limitações da mente humana são tais que ela não consegue compreender o
comportamento dos sistemas ao seu redor e os fenômenos em uma só operação. É próprio
da mente humana querer subdividir os sistemas em seus componentes individuais, ou
em seus elementos. Assim, surge a ideia de que, a partir do entendimento do comportamento
de cada elemento, é possível entender o comportamento do conjunto por mais complexo que
possa parecer. Esse raciocínio tem implicações também nos métodos matemáticos utilizados
para a descrição do comportamento dos sistemas. Surge então, naturalmente, uma questão
fundamental: como identificar os elementos de um sistema?
2.2.1. SISTEMAS CONTÍNUOS
Pretende-se fazer a análise preliminar de uma estrutura de ponte, constituída basicamente
de apoios flutuantes, sobre os quais são montadas plataformas em que se movimenta um
veículo. O primeiro passo corresponde à Idealização da Estrutura, definindo um Modelo de
Cálculo.
Fig. 7

26. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.2.1. SISTEMAS CONTÍNUOS
A definição desse modelo passa pelo entendimento
do problema físico a ser simulado.
À medida que o veículo se movimenta sobre a
estrutura, os apoios flutuantes sofrem
afundamento, e quanto maior esse afundamento,
maior a força de empuxo decorrente da água
deslocada pelo bote.
Resumidamente, em termos de comportamento
global da plataforma, os botes comportam-se
como apoios elásticos, isto é, como "molas" que
servem de apoio para a estrutura da ponte.
A Fig. 7 representa o problema real, que mostra um
trecho de ponte sendo montado, e a Fig. 8 o
esquema oumodelo decálculo.
Uma das técnicas de abordagem deste problema
clássico baseia-se na hipótese de que haja um
suporte elástico continuosobre a plataforma.
Esta hipótese é considerada adequada do ponto de
vista de engenharia, desde que a distância entre os
apoios seja pequena quando comparada ao
comprimento de onda da linha elástica que se
forma.
Esse tipo de problema é semelhante ao caso da
flexão de um trilho sob a ação da roda de uma
locomotiva, em que a distância entre os dormentes
é pequena.
Fig. 8

27. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.2.1. SISTEMAS CONTÍNUOS
Embora não seja o objetivo discutir a formulação analítica do problema anterior, é importante tecer
algumas considerações a respeito do desenvolvimento das soluções propostas para os SISTEMAS
CONTÍNUOS, e que justificam a busca de uma outra alternativa de cálculo, como o Método dos Elementos
Finitos.
O DIAGRAMADE CORPO LIVRE
O conceito de diagrama de corpo
livre, intensamente utilizado nos
problemas de mecânica, constitui um
poderoso aliado no entendimento do
equilíbrio da estrutura e dos seus
elementos. A Fig. 9 ilustra esse
conceito. Ao analisarmos o equilíbrio
estático ou dinâmico do bloco, nós
o isolamos do resto do sistema,
substituindo a ação dos demais
componentes sobre o bloco pelas
forças que esses componentes
exercemnele.
Assim, focalizamos a atenção apenas no "elemento" alvo de interesse, e justificamos a sua condição
de equilíbrio.
Fig. 9

28. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.2.1. SISTEMAS CONTÍNUOS
EQUILÍBRIO DE UM ELEMENTO DAESTRUTURA
A viga da Fig. 10 está em equilíbrio, portanto cada
trecho dela também está em equilíbrio. Podemos
justificar o equilíbrio de um elemento diferencial de
comprimento dx, representando o carregamento
externo nesse trecho e as forças e momentos que são
trocados com o resto da viga, fazendo também um
diagrama de corpo livre do elemento diferencial.
Como esse diagrama envolve termos diferenciais,
como um aumento "muito pequeno" (diferencial) de
momento dM e força cortante dQ de uma seção para
outra da viga, as Equações de Equilíbrio e as relações
que envolvem momento e curvatura conterão esses
termos diferenciais. Essas equações envolvem
derivadas e não relações diretas entre as grandezas,
e são, portanto, equações diferenciais. Para resolvê-
las, teremos de submetê-las a um processo de
integração.
Neste exemplo, bem como no exemplo anterior da ponte flutuante, a solução da equação diferencial,
embora trabalhosa, é possível por procedimento analítico exato, que em última análise contabiliza o
efeito dos infinitos elementos diferenciais. Em resumo, a partir do entendimento do comportamento
de um elemento diferencial, é possível entender o comportamento da viga inteira. Esse tipo de
solução analítica, infelizmente não está disponível para a maioria dos problemas práticos, o que leva à
busca de outra estratégia para resolvê-los.
Fig. 10

29. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.2.2. SISTEMAS DISCRETOS
A abordagem do equilíbrio da estrutura
pode ser efetuada considerando-a um
Sistema Discreto. A idéia da
discretização de um sistema contínuo
considera a divisão da estrutura em
partes separadas distintas, conectadas
entre si nos pontos discretos O, A, B,
C... etc., como mostra a Fig.11.
Neste caso, a solução aproximada
simula a estrutura como uma
montagem de elementos que têm um
comprimento finito (e não diferencial!).
Assim, o sistema é subdividido em um
número finito de partes ou
elementos, sendo que a estrutura
inteira é modelada por um agregado
de estruturas "simples". Os pontos de
conexão entre os elementos são
chamados de nós do modelo.
Fig. 11

30. LABORATÓRIO
2 - CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO
2.2.2. SISTEMAS DISCRETOS
Estamos diante da questão central do Método dos Elementos Finitos. Em uma primeira abordagem
podemos observarque:
-No sistema discretizado não se pretende calcular os deslocamentos dos infinitos pontos da viga,
como no caso contínuo. São calculados somente os deslocamentos de alguns pontos, que são os nós
do modelo. Porém, julgamos que o número de pontos discretos escolhidos é suficiente para
representar o deslocamento do conjunto inteiro de forma aproximada. A escolha desse número
constituium ponto muito importante no Método dos ElementosFinitos.
- O modo como a estrutura se comporta entre os nós do modelo depende das propriedades atribuídas
ao elemento escolhido, que representa aquele trecho da estrutura entre os nós. Assim, a partir do
conhecimento dos deslocamentos dos nós, podemos calcular o comportamento interno de cada
elemento. Quanto mais bem especificado for esse comportamento interno, mais a resposta do
modelo se aproxima do comportamento real da estrutura. Ou seja, o elemento discreto que representa
um dado trecho da estrutura entre os nós deve ser muito bem definido. A rigor, vamos nos valer da
velha ideia matemáticada interpolação tanto utilizada pêlos engenheirosnas suas aplicações.
- Um dos motivos pelo qual o Método dos Elementos Finitos obteve sucesso desde o início de sua
formulação até os dias de hoje é que o seu conceito básico, a discretização, produz muitas
equações algébricas simultâneas, que são geradas e resolvidas com o auxílio de computadores
digitais. Assim, é possível utilizar procedimentos padrão, aplicáveis aos sistemas discretos, que não
envolvem decisões de engenharia durante o procedimento computacional. Todas as decisões são
tomadas pelo analista na etapa de elaboração do modelo, antes de "disparar" a análise, escolhendo
o elemento adequado que represente uma dada situaçãofísica.