O documento discute equações diferenciais de primeira ordem. Apresenta exemplos de como modelar problemas físicos usando tais equações e métodos para resolvê-las, como separação de variáveis. Exemplos incluem o movimento de um corpo sob a gravidade com e sem resistência do ar.
Este documento discute equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Aborda equações diferenciais lineares e não lineares, sistemas autônomos e não autônomos, existência e unicidade de soluções, dependência das soluções em relação às condições iniciais e parâmetros, e elementos da teoria qualitativa de equações diferenciais como campos vetoriais e fluxos.
Aula 17: Separação da equação de Schrödinger em coordenadas cartesianas. Part...Adriano Silva
Este documento discute a separação da equação de Schrödinger tridimensional em coordenadas cartesianas para casos em que o potencial é separável. Explica que para potenciais separáveis, a equação pode ser escrita como três equações de Schrödinger unidimensionais, cada uma relacionada a uma das coordenadas cartesianas. Ilustra isso para os casos de uma partícula livre e de uma partícula em uma caixa tridimensional.
1. O documento discute equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, incluindo três subclasses: equações lineares, separáveis e exatas.
2. Há vários métodos para resolver equações diferenciais de primeira ordem, como o uso de fator integrante e a transformação de equações não exatas em exatas.
3. A escolha adequada de um fator integrante pode facilitar a solução de uma equação diferencial de primeira ordem.
O documento apresenta um plano de ensino para a disciplina de Cálculo IV - Equações Diferenciais no curso de Engenharia de Produção. O conteúdo programático inclui equações diferenciais de primeira e segunda ordem, com foco em técnicas de resolução e aplicações em diferentes áreas como mecânica, oscilações e biologia. A avaliação será contínua ao longo do semestre por meio de trabalhos e provas.
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre mecânica quântica. O objetivo da aula é consolidar os conhecimentos adquiridos no módulo anterior aplicando-os à resolução dos exercícios. São abordados tópicos como partícula livre e em caixa de potencial tridimensional, operador momento angular e relações de comutação entre operadores.
1) O documento introduz o Método de Elementos Finitos (MEF) para resolver equações diferenciais parciais. 2) No MEF, o domínio é dividido em subdomínios chamados "elementos finitos" e as variáveis são aproximadas por funções dentro de cada elemento. 3) O procedimento passo a passo do MEF inclui a discretização, formulação do elemento, e montagem do sistema matricial para cada elemento.
Aplicar o formalismo quântico ao caso de um potencial V(x) que tem a forma de um poço infinito: o potencial é infinito para x < –a/2 e para x > a/2, e tem o valor 0 para –a/2 < x < a/2.
O documento discute equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Apresenta exemplos de aplicações em física e engenharia e explica conceitos-chave como solução geral, solução particular e campo de direções.
Este documento discute equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Aborda equações diferenciais lineares e não lineares, sistemas autônomos e não autônomos, existência e unicidade de soluções, dependência das soluções em relação às condições iniciais e parâmetros, e elementos da teoria qualitativa de equações diferenciais como campos vetoriais e fluxos.
Aula 17: Separação da equação de Schrödinger em coordenadas cartesianas. Part...Adriano Silva
Este documento discute a separação da equação de Schrödinger tridimensional em coordenadas cartesianas para casos em que o potencial é separável. Explica que para potenciais separáveis, a equação pode ser escrita como três equações de Schrödinger unidimensionais, cada uma relacionada a uma das coordenadas cartesianas. Ilustra isso para os casos de uma partícula livre e de uma partícula em uma caixa tridimensional.
1. O documento discute equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, incluindo três subclasses: equações lineares, separáveis e exatas.
2. Há vários métodos para resolver equações diferenciais de primeira ordem, como o uso de fator integrante e a transformação de equações não exatas em exatas.
3. A escolha adequada de um fator integrante pode facilitar a solução de uma equação diferencial de primeira ordem.
O documento apresenta um plano de ensino para a disciplina de Cálculo IV - Equações Diferenciais no curso de Engenharia de Produção. O conteúdo programático inclui equações diferenciais de primeira e segunda ordem, com foco em técnicas de resolução e aplicações em diferentes áreas como mecânica, oscilações e biologia. A avaliação será contínua ao longo do semestre por meio de trabalhos e provas.
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre mecânica quântica. O objetivo da aula é consolidar os conhecimentos adquiridos no módulo anterior aplicando-os à resolução dos exercícios. São abordados tópicos como partícula livre e em caixa de potencial tridimensional, operador momento angular e relações de comutação entre operadores.
1) O documento introduz o Método de Elementos Finitos (MEF) para resolver equações diferenciais parciais. 2) No MEF, o domínio é dividido em subdomínios chamados "elementos finitos" e as variáveis são aproximadas por funções dentro de cada elemento. 3) O procedimento passo a passo do MEF inclui a discretização, formulação do elemento, e montagem do sistema matricial para cada elemento.
Aplicar o formalismo quântico ao caso de um potencial V(x) que tem a forma de um poço infinito: o potencial é infinito para x < –a/2 e para x > a/2, e tem o valor 0 para –a/2 < x < a/2.
O documento discute equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Apresenta exemplos de aplicações em física e engenharia e explica conceitos-chave como solução geral, solução particular e campo de direções.
1) O documento apresenta as técnicas de derivação de funções elementares como constante, potência, múltiplo constante, soma e diferença.
2) São definidas as derivadas de funções como xn, c, cx e f(x) + g(x) e apresentados exemplos de cálculo.
3) São identificados os pontos onde a curva y = x4 – 6x2 + 4 tem tangentes horizontais.
O documento descreve um oscilador harmônico quântico simples, com três objetivos principais: 1) obter a solução da equação de Schrödinger para este sistema; 2) compará-la com a solução clássica correspondente; 3) aplicar o formalismo quântico ao potencial harmônico V(x)=1/2kx2.
[1] O documento introduz o operador momento angular quântico em coordenadas esféricas. [2] É derivada a expressão para o operador momento angular e suas componentes cartesianas nestas coordenadas. [3] O documento também aborda harmônicos esféricos, que são autofunções do operador momento angular.
Aplicar o método de separação da equação de Schrödinger em coordenadas esféricas ao caso de átomos com um único elétron, tais como o átomo de hidrogênio.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre mecânica quântica para aplicar os conceitos estudados nas aulas anteriores. Os exercícios abordam tópicos como função de onda, equação de Schrödinger, operadores momento e energia, princípio da incerteza e casos estacionários e não estacionários.
Aula 9 - profmat - os teoremas de euler e wilson 27 10-17Aline Guedes
1. O documento apresenta os teoremas de Euler e Wilson, que tratam de propriedades de congruências aritméticas módulo m.
2. É definida a função φ de Euler, que conta o número de inteiros entre 1 e m que são relativamente primos a m.
3. É apresentada a demonstração do Teorema de Euler, que relaciona a função φ de Euler com congruências da forma aφ(m) ≡ 1 (mod m).
1. O documento contém exercícios resolvidos de álgebra linear, incluindo verificação de espaços vetoriais, subespaços vetoriais e bases.
2. Os exercícios envolvem encontrar geradores e bases para subespaços definidos por conjuntos de vetores ou matrizes.
3. As respostas explicam detalhadamente os passos para resolver cada exercício e encontrar os geradores ou bases solicitados.
O documento introduz funções exponenciais e suas propriedades. Apresenta exemplos de crescimento exponencial como a duplicação de bactérias e decaimento radioativo. Explica como resolver equações e inequações exponenciais usando propriedades de potenciação ou substituição de variáveis.
O documento discute conceitos básicos de equações diferenciais ordinárias, incluindo tipos de equações, soluções e exemplos clássicos. Resume três pontos principais: 1) Equações diferenciais modelam movimentos e outros fenômenos físicos; 2) Exemplos históricos incluem movimento livre, queda livre e crescimento populacional; 3) A resolução de equações diferenciais é fundamental para a física e seu desenvolvimento.
Aula 8: O degrau de potencial. Caso I: Energia menor que o degrauAdriano Silva
Este documento descreve um caso de mecânica quântica envolvendo uma partícula que incide sobre um potencial em forma de degrau. O documento apresenta:
1) A equação de Schrödinger para este problema é resolvida separadamente para as regiões x<0 e x>0 do potencial.
2) As soluções são "costuradas" impondo condições de continuidade na interface.
3) Isto mostra que a probabilidade de encontrar a partícula na região classificamente proibida é não-nula, diferentemente da
Aula 6: O caso estacioário em uma dimensãoAdriano Silva
1) O documento discute o formalismo quântico no caso de sistemas unidimensionais sob a influência de potenciais independentes do tempo. 2) Nesse caso, a equação de Schrödinger tem uma forma simplificada e soluções podem ser encontradas separando as variáveis espaço e tempo. 3) A constante de separação E corresponde à energia do sistema e as soluções são autoestados do hamiltoniano.
Aula 18: Separação da equação de Schrödinger em coordenadas cartesianas. 2 Pa...Adriano Silva
Este documento descreve a resolução da equação de Schrödinger para duas situações tridimensionais: (1) uma partícula em uma caixa cúbica, cujos níveis de energia apresentam degenerescência relacionada à simetria do potencial, e (2) um oscilador harmônico tridimensional, cuja equação pode ser separada em coordenadas cartesianas assim como no caso unidimensional.
1. O documento descreve a equação de Schrödinger, que fornece uma descrição ondulatória da mecânica quântica.
2. É explicado que as equações envolvidas na descrição quântica, assim como a equação de onda, devem envolver derivadas parciais, diferentemente da mecânica newtoniana que envolve derivadas totais.
3. O documento introduz a equação de Lagrange, que fornece uma descrição equivalente à mecânica newtoniana em qualquer sistema de coordenadas
Aplicar o formalismo quântico ao caso de um potencial V(x) que tem a forma de um poço (tem um valor V0 para x < -a/2 e para x > a/2, e um valor 0 para –a/2 < x < a/2).
4 alternativas-para-resolver-a-equacao-de-schrodingerMarcelo de Souza
Quatro métodos numéricos são descritos para resolver a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio: (1) revisão da solução analítica, (2) uso de transformadas integrais para representar orbitais atômicos, (3) uso de números aleatórios no método de Monte Carlo Quântico. A motivação é explorar novos aspectos deste sistema bem conhecido usando técnicas numéricas.
[1] O documento discute o caso de uma partícula que incide sobre uma barreira de potencial retangular, onde a energia potencial tem valor 0 fora da barreira e valor V0 dentro da barreira.
[2] São analisados dois casos: energia da partícula menor que a altura da barreira (E < V0) e energia maior que a altura da barreira (E > V0).
[3] No caso E < V0, a mecânica quântica prevê a possibilidade da partícula atravessar a barreira
1. O documento discute os princípios básicos das equações diferenciais ordinárias, incluindo conceitos como ordem, linearidade e soluções. 2. Apresenta exemplos clássicos de equações diferenciais que modelam movimentos como o movimento livre, queda livre e crescimento populacional. 3. Fornece exercícios para aplicar os conceitos discutidos.
Aplicações da equação de Schrödinger independente do tempoLucas Guimaraes
Equação de Schrödinger; Interpretação probabilística da função de onda; Normalização; Equação de Schrödinger independente do tempo; Poço potencial quadrado infinito; Poço potencial quadrado finito.
(apresentação publicada com autorização do autor).
Este documento apresenta um capítulo sobre funções exponenciais e logarítmicas. Primeiro, discute a importância dessas funções em aplicações como economia, biologia e química. Em seguida, introduz o conceito de função inversa e mostra como determiná-la através de um exemplo sobre crescimento populacional. Por fim, discute as condições para que uma função tenha inversa, relacionando isso ao teste da reta horizontal em seu gráfico.
1) O documento apresenta as técnicas de derivação de funções elementares como constante, potência, múltiplo constante, soma e diferença.
2) São definidas as derivadas de funções como xn, c, cx e f(x) + g(x) e apresentados exemplos de cálculo.
3) São identificados os pontos onde a curva y = x4 – 6x2 + 4 tem tangentes horizontais.
O documento descreve um oscilador harmônico quântico simples, com três objetivos principais: 1) obter a solução da equação de Schrödinger para este sistema; 2) compará-la com a solução clássica correspondente; 3) aplicar o formalismo quântico ao potencial harmônico V(x)=1/2kx2.
[1] O documento introduz o operador momento angular quântico em coordenadas esféricas. [2] É derivada a expressão para o operador momento angular e suas componentes cartesianas nestas coordenadas. [3] O documento também aborda harmônicos esféricos, que são autofunções do operador momento angular.
Aplicar o método de separação da equação de Schrödinger em coordenadas esféricas ao caso de átomos com um único elétron, tais como o átomo de hidrogênio.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre mecânica quântica para aplicar os conceitos estudados nas aulas anteriores. Os exercícios abordam tópicos como função de onda, equação de Schrödinger, operadores momento e energia, princípio da incerteza e casos estacionários e não estacionários.
Aula 9 - profmat - os teoremas de euler e wilson 27 10-17Aline Guedes
1. O documento apresenta os teoremas de Euler e Wilson, que tratam de propriedades de congruências aritméticas módulo m.
2. É definida a função φ de Euler, que conta o número de inteiros entre 1 e m que são relativamente primos a m.
3. É apresentada a demonstração do Teorema de Euler, que relaciona a função φ de Euler com congruências da forma aφ(m) ≡ 1 (mod m).
1. O documento contém exercícios resolvidos de álgebra linear, incluindo verificação de espaços vetoriais, subespaços vetoriais e bases.
2. Os exercícios envolvem encontrar geradores e bases para subespaços definidos por conjuntos de vetores ou matrizes.
3. As respostas explicam detalhadamente os passos para resolver cada exercício e encontrar os geradores ou bases solicitados.
O documento introduz funções exponenciais e suas propriedades. Apresenta exemplos de crescimento exponencial como a duplicação de bactérias e decaimento radioativo. Explica como resolver equações e inequações exponenciais usando propriedades de potenciação ou substituição de variáveis.
O documento discute conceitos básicos de equações diferenciais ordinárias, incluindo tipos de equações, soluções e exemplos clássicos. Resume três pontos principais: 1) Equações diferenciais modelam movimentos e outros fenômenos físicos; 2) Exemplos históricos incluem movimento livre, queda livre e crescimento populacional; 3) A resolução de equações diferenciais é fundamental para a física e seu desenvolvimento.
Aula 8: O degrau de potencial. Caso I: Energia menor que o degrauAdriano Silva
Este documento descreve um caso de mecânica quântica envolvendo uma partícula que incide sobre um potencial em forma de degrau. O documento apresenta:
1) A equação de Schrödinger para este problema é resolvida separadamente para as regiões x<0 e x>0 do potencial.
2) As soluções são "costuradas" impondo condições de continuidade na interface.
3) Isto mostra que a probabilidade de encontrar a partícula na região classificamente proibida é não-nula, diferentemente da
Aula 6: O caso estacioário em uma dimensãoAdriano Silva
1) O documento discute o formalismo quântico no caso de sistemas unidimensionais sob a influência de potenciais independentes do tempo. 2) Nesse caso, a equação de Schrödinger tem uma forma simplificada e soluções podem ser encontradas separando as variáveis espaço e tempo. 3) A constante de separação E corresponde à energia do sistema e as soluções são autoestados do hamiltoniano.
Aula 18: Separação da equação de Schrödinger em coordenadas cartesianas. 2 Pa...Adriano Silva
Este documento descreve a resolução da equação de Schrödinger para duas situações tridimensionais: (1) uma partícula em uma caixa cúbica, cujos níveis de energia apresentam degenerescência relacionada à simetria do potencial, e (2) um oscilador harmônico tridimensional, cuja equação pode ser separada em coordenadas cartesianas assim como no caso unidimensional.
1. O documento descreve a equação de Schrödinger, que fornece uma descrição ondulatória da mecânica quântica.
2. É explicado que as equações envolvidas na descrição quântica, assim como a equação de onda, devem envolver derivadas parciais, diferentemente da mecânica newtoniana que envolve derivadas totais.
3. O documento introduz a equação de Lagrange, que fornece uma descrição equivalente à mecânica newtoniana em qualquer sistema de coordenadas
Aplicar o formalismo quântico ao caso de um potencial V(x) que tem a forma de um poço (tem um valor V0 para x < -a/2 e para x > a/2, e um valor 0 para –a/2 < x < a/2).
4 alternativas-para-resolver-a-equacao-de-schrodingerMarcelo de Souza
Quatro métodos numéricos são descritos para resolver a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio: (1) revisão da solução analítica, (2) uso de transformadas integrais para representar orbitais atômicos, (3) uso de números aleatórios no método de Monte Carlo Quântico. A motivação é explorar novos aspectos deste sistema bem conhecido usando técnicas numéricas.
[1] O documento discute o caso de uma partícula que incide sobre uma barreira de potencial retangular, onde a energia potencial tem valor 0 fora da barreira e valor V0 dentro da barreira.
[2] São analisados dois casos: energia da partícula menor que a altura da barreira (E < V0) e energia maior que a altura da barreira (E > V0).
[3] No caso E < V0, a mecânica quântica prevê a possibilidade da partícula atravessar a barreira
1. O documento discute os princípios básicos das equações diferenciais ordinárias, incluindo conceitos como ordem, linearidade e soluções. 2. Apresenta exemplos clássicos de equações diferenciais que modelam movimentos como o movimento livre, queda livre e crescimento populacional. 3. Fornece exercícios para aplicar os conceitos discutidos.
Aplicações da equação de Schrödinger independente do tempoLucas Guimaraes
Equação de Schrödinger; Interpretação probabilística da função de onda; Normalização; Equação de Schrödinger independente do tempo; Poço potencial quadrado infinito; Poço potencial quadrado finito.
(apresentação publicada com autorização do autor).
Este documento apresenta um capítulo sobre funções exponenciais e logarítmicas. Primeiro, discute a importância dessas funções em aplicações como economia, biologia e química. Em seguida, introduz o conceito de função inversa e mostra como determiná-la através de um exemplo sobre crescimento populacional. Por fim, discute as condições para que uma função tenha inversa, relacionando isso ao teste da reta horizontal em seu gráfico.
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iiiBruno Luz
1) O documento apresenta os conceitos de integrais duplas e integração por partes.
2) São mostrados exemplos de cálculo de integrais imediatas, integrais definidas e integrais por substituição.
3) Exemplos de resolução de integrais por partes são apresentados para revisão do tema.
O documento discute métodos numéricos para resolver equações diferenciais ordinárias (EDOs). Apresenta exemplos de EDOs que descrevem problemas físicos e de outras áreas. Descreve considerações gerais sobre EDOs, incluindo problemas de valor inicial (PVI) e suas soluções. Em seguida, introduz o Método de Picard e a Solução por Série de Taylor para aproximar soluções de PVI numericamente. Faz a distinção entre erro local e global nos métodos numéricos.
Este documento discute equações diferenciais parciais lineares de primeira ordem e o Teorema de Existência e Unicidade para o Problema de Cauchy. O documento introduz conceitos como operador diferencial parcial, equações diferenciais parciais lineares e não lineares, classificação de EDPs, e exemplos importantes como a equação de Laplace e equações de calor e onda.
O documento apresenta resoluções de problemas de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e segunda ordem. São resolvidos problemas de valor inicial e determinada a solução geral de algumas equações diferenciais. Também é aplicada a lei de resfriamento de Newton para determinar o tempo para um café esfriar até uma temperatura específica.
1. A função f é derivável e tem derivada nula em todos os pontos, mas não é necessariamente constante. Duas funções g e h com derivadas iguais podem ser diferentes, mesmo quando seus gráficos se interceptam.
2. A derivada da função f(x) = cos(2x) no ponto x = 0 é igual a 0.
3. As derivadas das funções y = cos(x + sin x + 1) e y = cos3x + sin4(3x) são expressas em função de funções trigonométricas e suas derivadas.
Este documento introduz o conceito de integral definida como uma ferramenta para calcular a área abaixo de funções contínuas. Ele motiva o conceito dividindo intervalos em partes menores e somando as áreas dos retângulos formados, mostrando que esta soma converge para o valor da área procurada quando o número de partes tende ao infinito. Finalmente, apresenta exercícios para praticar a aplicação deste novo conceito.
1) O documento apresenta um resumo sobre funções e gráficos, incluindo definições de função, domínio, contradomínio e gráfico.
2) São apresentados exemplos de funções afins e quadráticas, com a explicação de como construir seus respectivos gráficos a partir de pontos escolhidos.
3) O autor explica a importância de se conhecer o gráfico de uma função para determinar completamente a função e saber se ela cresce ou decresce.
Relatório do projecto computacional grupo 72Rafael Lucas
Este relatório descreve a implementação do método de Euler progressivo para resolver uma equação diferencial que modela as oscilações de um pequeno cilindro dentro de um maior. Inclui algoritmos para calcular a solução numérica e exata, comparar erros e determinar períodos. Os resultados mostram como o método fornece soluções aproximadas e a análise de erros.
Este relatório descreve a implementação do método de Euler progressivo em MATLAB para resolver uma equação diferencial que modela as oscilações de um pequeno cilindro dentro de um maior. Inclui algoritmos para calcular a solução numérica e exata, comparar erros e determinar períodos. Os resultados mostram como o método fornece soluções aproximadas e a análise de erros.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre diferenciais e integrais. Explica que a diferencial de uma função é o produto da derivada pelo acréscimo da variável independente e representa uma aproximação da variação da função. Também define o que é a integral indefinida, que é o processo inverso da diferenciação e representa a família de primitivas de uma função. Por fim, fornece exemplos sobre como calcular integrais imediatas.
O documento discute integrais múltiplas. Ele introduz o conceito de integrais iteradas e como expressar integrais duplas como integrais iteradas, permitindo que sejam calculadas como integrais unidimensionais. O documento também apresenta o Teorema de Fubini, que estabelece que a ordem da integração em integrais duplas não importa, e fornece exemplos para ilustrar esses conceitos.
Este documento apresenta os principais métodos para resolver equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, incluindo: (1) o método de separação de variáveis, (2) o método de substituição algébrica para equações homogêneas, e (3) o método para equações exatas. Além disso, discute aplicações destas equações diferenciais em problemas como o resfriamento/aquecimento de Newton, dinâmica populacional e crescimento de peixes.
O documento apresenta um resumo sobre conceitos básicos de matemática, incluindo:
1) Conjuntos numéricos como naturais, inteiros, racionais e reais.
2) Operações com frações como soma, subtração, multiplicação e divisão.
3) Proporção, porcentagem e regra de três.
Aplicação da Transformada de Laplace na Determinação de Tensões e Correntes e...Felipe De Almeida
1) O documento descreve os principais sinais não senoidais utilizados na análise de circuitos elétricos, como degrau, impulso e rampa, e introduz a Transformada de Laplace como ferramenta para resolver equações diferenciais em circuitos.
2) A Transformada de Laplace é aplicada para determinar expressões analíticas para tensões e correntes em circuitos após mudanças, como o fechamento de uma chave. Isso é ilustrado em dois exemplos.
3) A solução encontra expressões para a corrente e tensão em
1) O documento discute números complexos, definindo suas operações básicas de adição, multiplicação e divisão geometricamente e algebraicamente.
2) É apresentada a representação trigonométrica de números complexos através de módulo e argumento, e mostram-se propriedades e fórmulas para multiplicação, divisão, potenciação e radiciação nesta representação.
3) Funções exponenciais, trigonométricas e hiperbólicas de números complexos são definidas utilizando a função exponencial complexa.
(1) O documento descreve técnicas de integração por partes, incluindo a fórmula geral e exemplos de sua aplicação. (2) A integração por partes permite transformar uma integral desconhecida em outra mais simples. (3) Os exemplos ilustram como a técnica pode ser usada repetidamente para resolver integrais mais complexas.
Este documento contém notas de aula sobre cálculo vetorial. Abrange os tópicos de integrais de linha, campos conservativos, teorema de Green, integrais de superfície, divergente, rotacional, e teoremas de Gauss e Stokes.
1) O documento discute equações diofantinas lineares, que são equações polinomiais com coeficientes inteiros cujas soluções buscadas são também inteiras.
2) Dois exemplos ilustram problemas modelados por equações diofantinas lineares em duas incógnitas, relacionados a vale-transporte e selos de correio.
3) Métodos para resolver essas equações são apresentados, incluindo o uso do máximo divisor comum e soluções paramétricas.
AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL INDÚSTRIA E TRANSFORMAÇÃO DIGITAL ...Consultoria Acadêmica
“O processo de inovação envolve a geração de ideias para desenvolver projetos que podem ser testados e implementados na empresa, nesse sentido, uma empresa pode escolher entre inovação aberta ou inovação fechada” (Carvalho, 2024, p.17).
CARVALHO, Maria Fernanda Francelin. Estudo contemporâneo e transversal: indústria e transformação digital. Florianópolis, SC: Arqué, 2024.
Com base no exposto e nos conteúdos estudados na disciplina, analise as afirmativas a seguir:
I - A inovação aberta envolve a colaboração com outras empresas ou parceiros externos para impulsionar ainovação.
II – A inovação aberta é o modelo tradicional, em que a empresa conduz todo o processo internamente,desde pesquisa e desenvolvimento até a comercialização do produto.
III – A inovação fechada é realizada inteiramente com recursos internos da empresa, garantindo o sigilo dasinformações e conhecimento exclusivo para uso interno.
IV – O processo que envolve a colaboração com profissionais de outras empresas, reunindo diversasperspectivas e conhecimentos, trata-se de inovação fechada.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I e II, apenas.
I e III, apenas.
I, III e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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54 99956-3050
Introdução ao GNSS Sistema Global de PosicionamentoGeraldoGouveia2
Este arquivo descreve sobre o GNSS - Globas NavigationSatellite System falando sobre os sistemas de satélites globais e explicando suas características
AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL ENGENHARIA DA SUSTENTABILIDADE UNIC...Consultoria Acadêmica
Os termos "sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" só ganharam repercussão mundial com a realização da Conferência das Nações Unidas sobre o Meio Ambiente e o Desenvolvimento (CNUMAD), conhecida como Rio 92. O encontro reuniu 179 representantes de países e estabeleceu de vez a pauta ambiental no cenário mundial. Outra mudança de paradigma foi a responsabilidade que os países desenvolvidos têm para um planeta mais sustentável, como planos de redução da emissão de poluentes e investimento de recursos para que os países pobres degradem menos. Atualmente, os termos
"sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" fazem parte da agenda e do compromisso de todos os países e organizações que pensam no futuro e estão preocupados com a preservação da vida dos seres vivos.
Elaborado pelo professor, 2023.
Diante do contexto apresentado, assinale a alternativa correta sobre a definição de desenvolvimento sustentável:
ALTERNATIVAS
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento que não esgota os recursos para o futuro.
Desenvolvimento sustantável é o desenvolvimento que supre as necessidades momentâneas das pessoas.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento incapaz de garantir o atendimento das necessidades da geração futura.
Desenvolvimento sustentável é um modelo de desenvolvimento econômico, social e político que esteja contraposto ao meio ambiente.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento capaz de suprir as necessidades da geração anterior, comprometendo a capacidade de atender às necessidades das futuras gerações.
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O presente trabalho consiste em realizar um estudo de caso de um transportador horizontal contínuo com correia plana utilizado em uma empresa do ramo alimentício, a generalização é feita em reserva do setor, condições técnicas e culturais da organização
Se você possui smartphone há mais de 10 anos, talvez não tenha percebido que, no início da onda da
instalação de aplicativos para celulares, quando era instalado um novo aplicativo, ele não perguntava se
podia ter acesso às suas fotos, e-mails, lista de contatos, localização, informações de outros aplicativos
instalados, etc. Isso não significa que agora todos pedem autorização de tudo, mas percebe-se que os
próprios sistemas operacionais (atualmente conhecidos como Android da Google ou IOS da Apple) têm
aumentado a camada de segurança quando algum aplicativo tenta acessar os seus dados, abrindo uma
janela e solicitando sua autorização.
CASTRO, Sílvio. Tecnologia. Formação Sociocultural e Ética II. Unicesumar: Maringá, 2024.
Considerando o exposto, analise as asserções a seguir e assinale a que descreve corretamente.
ALTERNATIVAS
I, apenas.
I e III, apenas.
II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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Estruturas de Madeiras: Dimensionamento e formas de classificaçãocaduelaia
Apresentação completa sobre origem da madeira até os critérios de dimensionamento de acordo com as normas de mercado. Nesse material tem as formas e regras de dimensionamento
Os nanomateriais são materiais com dimensões na escala nanométrica, apresentando propriedades únicas devido ao seu tamanho reduzido. Eles são amplamente explorados em áreas como eletrônica, medicina e energia, promovendo avanços tecnológicos e aplicações inovadoras.
Sobre os nanomateriais, analise as afirmativas a seguir:
-6
I. Os nanomateriais são aqueles que estão na escala manométrica, ou seja, 10 do metro.
II. O Fumo negro é um exemplo de nanomaterial.
III. Os nanotubos de carbono e o grafeno são exemplos de nanomateriais, e possuem apenas carbono emsua composição.
IV. O fulereno é um exemplo de nanomaterial que possuí carbono e silício em sua composição.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I e II, apenas.
I, II e III, apenas.
I, II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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Workshop Gerdau 2023 - Soluções em Aço - Resumo.pptx
Capitulo1
1. Cap´ıtulo 1
Equa¸c˜oes Diferenciais de Primeira Ordem
1.1 Introdu¸c˜ao
Equa¸c˜oes diferenciais ´e um dos t´opicos da matem´atica com aplica¸c˜oes em quase todos os ramos da
ciˆencia. F´ısica, Qu´ımica, Biologia, Economia s˜ao algumas destas ´areas. Para entender melhor, toda
equa¸c˜ao contendo derivadas de fun¸c˜oes s˜ao chamadas de equa¸c˜oes diferenciais. Portanto, o estudo
de equa¸c˜oes diferenciais e suas aplica¸c˜oes dependem do que se entende por derivada de uma fun¸c˜ao,
t´opico este j´a estudado em C´alculo I. As equa¸c˜oes abaixo s˜ao alguns exemplos de equa¸c˜oes diferenciais
que estudaremos neste e no pr´oximo cap´ıtulo.
y + 2xy = 3x2
, xy + sen x y = ex
, 3y + 4y + 5y = cos x
As duas primeiras equa¸c˜oes diferenciais s˜ao chamadas de primeira ordem e a ´ultima de segunda
ordem, devido `a ordem da derivada de maior ordem ser um e dois, respectivamente.
Uma equa¸c˜ao diferencial que descreve algum processo f´ısico, qu´ımico, biol´ogico, econˆomico ...
etc, ´e chamada de modelo matem´atico do processo em quest˜ao e chegar a esta equa¸c˜ao a partir
das descri¸c˜oes destes processos ´e chamado de modelagem do problema. Chegar a este modelos e
resolvˆe-los ´e o que veremos a seguir.
Exemplo 1.1 Vimos em C´alculo I que calcular a f(x) dx ´e encontrar uma primitiva F da fun¸c˜ao
dada f, ou seja, ´e determinar uma fun¸c˜ao F tal que, F = f, isto ´e,
F = f ⇐⇒ f(x) dx = F(x)
Esta equa¸c˜ao foi a primeira equa¸c˜ao diferencial que resolvemos e a primitiva F nada mais ´e que
uma solu¸c˜ao para esta equa¸c˜ao diferencial. Por exemplo, resolver F (x) = cos(x) ´e equivalente a
F(x) = cos x dx = sen x + c ,
o que nos mostra que esta equa¸c˜ao diferencial tem infinitas solu¸c˜oes. O estudo da existˆencia e
unicidade de solu¸c˜oes ´e um dos aspectos mais interessantes desta teoria.
Exemplo 1.2 Considere um corpo de massa m caindo na atmosfera. Se desprezarmos a resistˆencia
do ar, chamando de v sua velocidade em um determinado instante de tempo t e de a sua acelera¸c˜ao,
a ´unica for¸ca atuante ´e a do seu pr´oprio peso p = mg, onde g ´e a constante gravitacional. Pela
segunda lei de Newton teremos
F = ma = p = mg =⇒
dv
dt
= g =⇒ v(t) = gt + c (1.1)
1
2. 2 EDO primeira ordem
Se o objeto partiu do repouso, sua velocidade inicial v(0) = 0, e, ent˜ao, v(t) = gt. Se o objeto
partiu com uma velocidade inicial v(0) = v0, ent˜ao, v(t) = gt + v0. A equa¸c˜ao 1.1 nos diz que
toda solu¸c˜ao v(t) tem inclina¸c˜ao g, isto ´e, a velocidade n˜ao varia com o tempo e tem sempre a
mesma inclina¸c˜ao. Isto ´e mostrado no gr´afico abaixo, chamado de campo de dire¸c˜oes ou vetores,
onde desenhamos pequenos segmentos de reta com coeficiente angular g = 9, 8. Chamando de x(t) a
v(t)
25
20
15
10
5
0
t
21,510,50
Figura 1.1: Campo de dire¸c˜oes para a equa¸c˜ao dv
dt
= g
posi¸c˜ao do objeto em cada instante de tempo t, temos que
dx
dt
= v(t) = gt + v0 =⇒ x(t) =
1
2
gt2
+ v0t + c
Se o objeto parte de uma posi¸c˜ao inicial x(0) = x0, tem-se x(t) = 1
2
gt2
+ v0t + x0.
Exemplo 1.3 Considere o problema anterior, agora, com o ar oferecendo uma resistˆencia propor-
cional `a velocidade. As for¸cas atuantes no sistema, agora, s˜ao o peso e a resistˆencia do ar. Assim,
pela segunda lei de Newton,
m
dv
dt
= mg − kv =⇒
dv
dt
= g −
k
m
v (1.2)
Podemos fazer uma an´alise do comportamento da solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao diferencial sem resolvˆe-
la, como fizemos no exemplo 1, atrav´es do seu campo de dire¸c˜oes. Para isto, vamos dar valores `as
constantes envolvidas na equa¸c˜ao 1.2. Considere g = 9, 8 m
s2 , m = 20 kg e o coeficiente de resistˆencia
do ar k = 5 kg
s
.
v(t)
80
60
40
20
0
t
12840
Figura 1.2: Campo de dire¸c˜oes da equa¸c˜ao dv
dt
= 9, 8 − v
4
Observe que o campo de vetores na figura 1.2 ´e tra¸cado no plano t × v sem resolver a equa¸c˜ao
1.2, dando-se um valor para a velocidade v, por exemplo v = 60 e obtendo-se o valor de dv
dt
= −5, 2
3. W.Bianchini 3
para todo valor de t. Com isso tra¸ca-se pequenos segmentos de retas, ou vetores, para determinados
valores de t, eq¨uidistantes, ao longo da reta v = 60 com o mesma declividade. Olhando para a figura,
observe que se o objeto partir com velocidade acima de 40 m/s, ou abaixo, esta velocidade tende a
diminuir ou crescer, respectivamente, e se aproximar da velocidade terminal ou de equil´ıbrio que,
como se vˆe no gr´afico, deve ser pr´oxima de 40 m/s.
Voltemos para a resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao 1.2. Chamando
k
m
= h, observe que
dv
dt
= g − hv ⇐⇒
1
g − hv
dv
dt
= 1 (1.3)
Integrando ambos os lados com respeito `a vari´avel t, obt´em-se:
1
g − hv
dv
dt
dt = dt = t + c1 (1.4)
Agora, para calcular a integral do lado esquerdo acima, observe que se v = v(t), ent˜ao, dv = v (t)dt.
Fazendo esta substitui¸c˜ao, tem-se:
1
g − hv
dv
dt
dt =
1
g − hv
dv (1.5)
Agora, fazemos a substitui¸c˜ao u = g − hv ⇒ du = −h dv, assim,
1
g − hv
dv = −
1
h
1
u
du = −
1
h
ln |u| + c2 = −
1
h
ln |g − hv| + c2 (1.6)
Assim, as equa¸c˜oes 1.4 e 1.6 implicam que
−
1
h
ln |g − hv| + c2 = t + c1 ⇐⇒ ln |g − hv| = −ht − hc1 + c2 = −ht + c3
onde, c3 = −hc1 + c2 ´e uma constante real qualquer. Assim,
|g − hv| = e−ht+c3
=⇒ g − hv = ±e−ht+c3
= ce−ht
=⇒ v =
g
h
− ce−ht
onde c = ±ec3
, ou seja, c ´e uma constante real qualquer diferente de zero.
Se o objeto parte do repouso, temos uma condi¸c˜ao inicial v(0) = 0, e assim,
v(0) =
g
h
− c = 0 =⇒ c =
g
h
e, portanto,
v(t) =
g
h
(1 − e−ht
) (1.7)
A figura 1.3 mostra o campo de vetores com as condi¸c˜oes iniciais v(0) = 0 e v(0) = 60.
Note que a solu¸c˜ao v(t) → g
h
, quando o tempo t → ∞, que ´e tamb´em uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao
1.2. Para verificar isto, basta substituir v = g
h
na equa¸c˜ao 1.2 e verificar que dar´a 0 = 0.
Se quisermos determinar a posi¸c˜ao do objeto em cada instante, basta lembrar que
dx
dt
= v(t) e
supondo que sua posi¸c˜ao inicial x(0) = 0, tem-se
x(t) =
g
h
t +
g
h2
e−ht
4. 4 EDO primeira ordem
0
20
40
60
80
v(t)
2 4 6 8 10 12 14
t
Figura 1.3:
1.2 Equa¸c˜oes Separ´aveis
A resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao do exemplo 1.3 da se¸c˜ao anterior pode ser esquematizada de modo a ficar
mais pr´atico e r´apido de se resolver equa¸c˜oes daquele tipo. Tal m´etodo ´e chamado de separa¸c˜ao de
vari´aveis e as equa¸c˜oes de equa¸c˜oes separ´aveis. Note que a substitui¸c˜ao que fizemos na integral do
lado esquerdo em 1.4, nos d´a uma igualdade que, de um lado temos apenas a vari´avel v e do outro,
apenas a vari´avel t, isto ´e, separamos as vari´aveis t e v.
Resumindo: O m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis se aplica a equa¸c˜oes do tipo
dy
dx
= g(x) h(y) (1.8)
Assim, se y = f(x) ´e uma solu¸c˜ao de 1.8, ent˜ao,
dy
dx
= g(x) h(y) =
1
h(f(x))
f (x) = g(x) =⇒
1
h(f(x))
f (x) dx = g(x) dx (1.9)
por´em, como y = f(x) ⇒ dy = f (x) dx e assim,
1
h(y)
dy = g(x) dx
Exemplo 1.4 Resolva as equa¸c˜oes
(a)
dy
dx
= xy (b)
dy
dx
=
y cos x
1 + 2y2
(c)
dy
dx
= 3y + 5
Solu¸c˜ao: (a) Separando as vari´aveis
dy
dx
= xy ⇐⇒
1
y
dy = x dx
Integrando ambos os lados, resulta
ln |y| =
x2
2
+ C1 =⇒ |y| = e
x2
2 ec1
=⇒ y = ±ec1
e
x2
2 = ce
x2
2 , 0 = c ∈ R
Observe que a fun¸c˜ao y = 0, tamb´em ´e solu¸c˜ao. Portanto, a solu¸c˜ao geral desta equa¸c˜ao ´e
y = ce
x2
2 , c ∈ R
A figura 1.4 mostra o campo de vetores e aos gr´aficos da solu¸c˜ao para v´arios valores de c.
5. W.Bianchini 5
–4
–2
2
4
y(x)
–2 –1 1 2
x
Figura 1.4: Campo de vetores e curvas integrais para y = xy
(b) Separando as vari´aveis e integrando
1 + 2y2
y
dy = cos x dx =⇒ (
1
y
+ 2y) dy = cos x dx =⇒ ln |y| + y2
= senx + c
Observe que n˜ao podemos explicitar y como uma fun¸c˜ao de x. A solu¸c˜ao, neste caso, ´e chamada de
solu¸c˜ao impl´ıcita da equa¸c˜ao.
Observe que y = 0 tamb´em ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao.
–3
–2
–1
1
2
3
y(x)
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8
x
Figura 1.5: Campo de vetores e curvas integrais para dy
dx
= y cos x
1+2y2
(c) Separando as vari´aveis e integrando e supondo 3y + 5 = 0, temos
dy
3y + 5
= dx ⇒ ln |3y + 5| = x + c1 ⇒ y =
−5 ± ec1
e3x
3
Observe que y = −5
3
tamb´em ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao. Assim, se colocarmos ec1
= c, podemos reescrever
a solu¸c˜ao como
y =
−5 + ce3x
3
,
onde c ∈ R.
Observe na figura 1.6 que as solu¸c˜oes convergem rapidamente para a solu¸c˜ao de equil´ıbrio y = −5
3
6. 6 EDO primeira ordem
–3
–2
–1
1
y(x)
–4 –3 –2 –1 1
x
Figura 1.6: Campo de vetores e curvas integrais para y = 3y + 5
1.3 Equa¸c˜oes Lineares
Equa¸c˜oes do tipo
y (x) + p(x)y(x) = q(x) (1.10)
ou, simplificadamente,
y + py = q ,
onde p = p(x) e q = q(x) s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas em algum intervalo I ⊂ R, s˜ao chamadas de equa¸c˜oes
diferencias lineares de 1a
ordem. As fun¸c˜oes p = p(x) e q = q(x) s˜ao chamadas de coeficientes da
equa¸c˜ao. ´E claro que a equa¸c˜ao 1.2 pode ser reescrita na forma acima:
dv
dt
+
k
m
v = g .
Por´em, nem toda equa¸c˜ao linear ´e separ´avel. Por exemplo: y + 3y = x n˜ao ´e separ´avel.(Tente
separar!)
Para se encontrar uma solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao linear, a id´eia ´e transformar o lado esquerdo de
1.10 em alguma coisa do tipo F = f, tal qual no m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis. Para isto,
vamos multiplicar o lado esquerdo por uma fun¸c˜ao de tal modo que ele se transforme na derivada do
produto de duas fun¸c˜oes, pois ´e com o que ele se parece!
Vamos chamar de u esta fun¸c˜ao. Queremos, ent˜ao, que
u(y + py) = (uy) = u y + uy ⇔ uy + upy = u y + uy
Assim,
upy = u y ⇒
u
u
= p ⇒ ln |u| = p dx ⇒ |u| = e p dx
Como queremos uma fun¸c˜ao para multiplicar ambos os lados da equa¸c˜ao 1.10, podemos considerar
u = e p dx
chamado de fator integrante.
Exemplo 1.5 Resolva as equa¸cˆoes
(a) y + 2y = cos x (b) x3
y − y = 1
O fator integrante
u = e 2 dx
= e2x
7. W.Bianchini 7
. Multiplicando ambos os lados da equa¸c˜ao por u obt´em-se
ye2x
= e2x
cos x ⇒ ye2x
= e2x
cos x dx
Integrando-se duas vezes por partes, obt´em-se
y =
2
5
cos x +
1
5
senx + ce−2x
Observe na figura 1.7 que uma solu¸c˜ao particular da equa¸c˜ao converge rapidamente para a solu¸c˜ao
de equil´ıbrio y = 2
5
cos x + 1
5
senx.
sol.equil
sol.part
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
y(x)
–4 –2 2 4 6 8
x
Figura 1.7:
Exemplo 1.6 (b) Primeiramente, a equa¸c˜ao x3
y − y = 1 tem que ser colocada na forma linear
y + py = q. Assim, supondo x = 0,
x3
y − y = 1 ⇔ y −
y
x3
=
1
x3
Logo, o fator de integra¸c˜ao u = e
x−2
2 . Multiplicando ambos os lados da equa¸c˜ao 1.6, obt´em-se
e
x−2
2 y = x−3
e
x−2
2 dx = −1e
x−2
2 + c ⇒ y = −1 + ce− 1
2x2
–2
–1.5
–1
–0.5
0.5
1
y(x)
–3 –2 –1 1 2 3
x
Figura 1.8:
8. 8 EDO primeira ordem
Observe na figura 1.8 que muito embora a equa¸c˜ao n˜ao esteja definida para x = 0, todas as
solu¸c˜oes passam pelo ponto (0, −1).
Exemplo 1.7 Resolva o problema de valor inicial xy + 2y = 4x2
e y(1) = 2
A equa¸c˜ao acima ´e equivalente `a equa¸c˜ao y + 2
x
y = 4x e portanto seu fator integrante u = x2
.
Assim, multiplicando a equa¸c˜ao por u, obt´em-se
(x2
y) = 4x3
⇒ y = x2
+
c
x2
Como a condi¸c˜ao inicial y(1) = 2, ent˜ao, c = 1, e, portanto, a solu¸c˜ao ser´a
y = x2
+
1
x2
Veja na figura 1.9 que a solu¸c˜ao que passa pelo ponto (1, 2) ´e descont´ınua em x = 0 e, portanto,
temos uma solu¸c˜ao cont´ınua apenas para x > 0. Se impus´essemos a condi¸c˜ao inicial y(1) = 1, a
solu¸c˜ao do problema seria y = x2
, cont´ınua em todo x ∈ R.
y(x)
4
2
0
-2
-4
x
210-1-2
Figura 1.9:
A existˆencia de solu¸c˜oes de equa¸c˜oes diferenciais de 1a
ordem linear ou separ´avel, bem como a
unicidade de tais solu¸c˜oes, ´e tratada na pr´oxima se¸c˜ao.
1.4 Existˆencia e Unicidade de solu¸c˜oes
At´e agora, s´o apresentamos dois m´etodos para encontrar a solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao diferencial de
1a
ordem do tipo separ´avel ou linear. Vimos que quando uma condi¸c˜ao inicial ´e dada encontramos
apenas uma solu¸c˜ao. A pergunta que n˜ao quer calar ´e:
Ser´a que n~ao encontrar´ıamos outras solu¸c~oes se tiv´essemos outros m´etodos de resolu¸c~ao
para aplicar? Isto ´e, a solu¸c~ao ´e ´unica?
Ou ainda, antes mesmo de come¸car a perder um bocado de tempo tentando encontrar uma
solu¸c˜ao:
A solu¸c~ao desta equa¸c~ao existe?
Para equa¸c˜oes lineares, as respostas a essas duas perguntas ´e dado pelo teorema:
9. W.Bianchini 9
Teorema 1.1 Dado o problema com condi¸c˜ao inicial:
y + py = q
y(x0) = y0
(1.11)
se as fun¸c˜oes p = p(x) e q = q(x) s˜ao cont´ınuas em um intervalo aberto I, contendo o ponto x0,
ent˜ao existe uma ´unica fun¸c˜ao y = f(x), x ∈ I que satisfaz o problema de valor inicial 1.11.
Note que o teorema garante a existˆencia e a unicidade de uma solu¸c˜ao apenas no intervalo onde
as fun¸c˜oes p e q s˜ao cont´ınuas. No exemplo 1.7 a fun¸c˜ao p = 2
x
n˜ao ´e cont´ınua no ponto x = 0,
por´em, dependendo da condi¸c˜ao inicial, existem solu¸c˜oes que s˜ao cont´ınuas no ponto x = 0.
Para equa¸c˜oes n˜ao-lineares, temos um teorema mais geral:
Teorema 1.2 Se f e df
dy
s˜ao cont´ınuas em um retˆangulo R = {(t, y); |t| < a, |y| < b}, ent˜ao existe
algum intervalo I = {t; |t| < c < a}, no qual existe uma ´unica solu¸c˜ao y = h(t) do problema de valor
inicial
y = f(t, y), y(t0) = y0
1.5 Aplica¸c˜oes
1.5.1 Crescimento e Decaimento Exponencial
1. Decaimento Radioativo
O is´otopo radioativo t´orio desintegra-se numa taxa proporcional `a quantidade presente. Se 100
gramas deste material s˜ao reduzidos a 80 gramas em uma semana, ache uma express˜ao para a
quantidade de t´orio em qualquer tempo.
Calcule, tamb´em, o intervalo de tempo necess´ario para a massa decair `a metade de seu valor
original, chamado de meia vida.
Solu¸c˜ao: Seja Q(t) a quantidade de t´orio em um instante t (dias). Como o t´orio desintegra-se
numa taxa proporcional `a quantidade presente, tem-se:
dQ
dt
= kQ
onde k < 0, pois Q(t) ´e decrescente. Como j´a vimos, a solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao diferencial
pode ser encontrada atrav´es do m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis ou pelo fator integrante, cuja
solu¸c˜ao ´e:
Q(t) = cekt
Como a condi¸c˜ao inicial Q(0) = 100, ent˜ao,
Q(t) = 100ekt
Para calcular o valor da constante k, usamos o fato de que o is´otopo ´e reduzido a 80 g em 7
dias, isto ´e,
Q(7) = 100e7k
= 80 ⇒ k =
1
7
ln 0, 8 = −0.031
Para calcular a meia vida L do t´orio, tem-se
Q(L) =
1
2
Q(0) ⇒ 100e−0.031 L
= 50 ⇒ L =
ln2
0.031
= 21, 74 dias
10. 10 EDO primeira ordem
2. Crescimento Populacional
Uma cultura de bact´erias, com uma quantidade inicial Q0 bact´erias, cresce a uma taxa propor-
cional `a quantidade presente. Ao fim de 20 minutos cresceu 5%.
(a) Determine a quantidade de bacteria em qualquer tempo t.
(b) Quanto tempo levar´a a cultura para duplicar?
Solu¸c˜ao: (a) Seja Q(t) a quantidade presente de bact´erias no instante t. Como a taxa de
crescimento de bact´erias ´e proporcional `a quantidade presente, tem-se
dQ
dt
= kQ =⇒ Q(t) = Q0ekt
Como Q(20) = 1, 05 Q0 =⇒ Q0e20k
= 1, 05Q0 =⇒ k = 1
20
ln 1, 05 = 0, 00243 Portanto,
Q(t) = Q0e0,00243t
(b) Vamos agora determinar para qual valor de t tem-se Q(t) = 2Q0.
Q0e0,00243t
= 2Q0 =⇒ t = 284, 13
3. Misturas
Considere um tanque contendo, inicialmente, 100 litros de salmora com 10 kg de sal. Suponha
que uma torneira despeje mais salmora no tanque numa taxa de 3 l/min, com 1/4 kg de sal
por litro e que a solu¸c˜ao bem misturada esteja saindo por um orif´ıcio no fundo do tanque na
mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante.
Solu¸c˜ao: Seja Q(t) a quantidade de sal no tanque em qualquer instante t. Ent˜ao,
dQ
dt
= taxa de varia¸c˜ao da quantidade de sal no tanque em rela¸c˜ao ao tempo t
= taxa
quantidade de sal que entra - quantidade de sal que sai
rela¸c˜ao ao tempo
= taxa de entrada - taxa de sa´ıda da quantidade de sal
=
1
4
kg
l
3
l
min
−
Q(t)
100
kg
l
3
l
min
=
3
4
−
3
100
Q
Assim
dQ
dt
+
3
100
Q =
3
4
=⇒ Q(t) = 25 + ce−0,03t
Como Q(0) = 10, ent˜ao, c = −15 e, portanto,
Q(t) = 25 − 15e−0,03t
4. Aplica¸c˜oes `a F´ısica
11. W.Bianchini 11
(a) Um paraquedista salta de um avi˜ao e cai livremente durante 30 segundos. Durante este
tempo a resistˆencia do ar ´e desprezada. Quando seu para-quedas abre a resistˆencia do
ar ´e proporcional `a sua velocidade. Encontre a velocidade do paraquedista a partir do
instante em que o para-quedas abriu.
Solu¸c˜ao: Suponha que o aviador tenha massa m. Ent˜ao, antes do para-quedas abrir temos:
m
dv
dt
= mg =⇒ v = gt + c ,
onde g ´e a constante gravitacional. Como a velocidade inicial v(0) = 0, ent˜ao, v = gt e
assim v(30) = 30g, que ´e a condi¸c˜ao inicial quando do problema quando o para-quedas
abre. Neste caso, como as for¸cas atuantes s˜ao o peso do paraquedista e for¸ca de resistˆencia,
tem-se,
m
dv
dt
= mg − kv ⇔
dv
dt
+
k
m
v = g
Resolvendo-se esta equa¸c˜ao utilizando o fator integrante u = e
k
m
t
, obt´em-se
v(t) =
m
k
g + ce− k
m
t
Com a condi¸c˜ao inicial v(0) = 30g, obt´em-se
v(t) =
m
k
g + (30g −
mg
k
)e− k
m
t
Observe que quando t → +∞ ⇒ v(t) → mg
k
, que ´e chamada de velocidade limite.
(b) Um torpedo de massa m = 1 ´e lan¸cado horizontalmente, debaixo d’´agua, com velocidade
inicial v0 m/s. A resistˆencia d’´agua ´e proporcional `a velocidade do torpedo ao quadrado
com constante de proporcionalidade k = 10−3
. Se o torpedo deve atingir o alvo com pelo
menos metade de sua velocidade inicial para causar danos, qual ´e a distˆancia m´axima a
qual o tiro ainda produzir´a efeito?
Solu¸c˜ao: Como a ´unica for¸ca atuante ´e a resistˆencia d’´agua, tem-se a equa¸c˜ao:
dv
dt
= −10−3
v2
que resolvendo-se por separa¸c˜ao de vari´aveis obt´em-se:
1
v2
dv = −10−3
dt =⇒ v =
1
10−3t + c
Como sua velocidade inicial v(0) = v0, ent˜ao, c = 1
v0
, e, portanto, sua velocidade ´e
v(t) =
v0
10−3v0t + 1
Assim, supondo que sua posi¸c˜ao inicial ´e dada por x(0) = 0, sua posi¸c˜ao em cada instante
´e dada por
x(t) = 103
ln (10−3
v0t + 1)
Agora, para calcular a distˆancia m´axima para o tiro ter efeito, devemos calcular o tempo
que o alvo ´e atingido com metade de sua velocidade inicial, isto ´e, para que valor de t
tem-se v(t) = v0
2
.
v0
10−3v0t + 1
=
v0
2
=⇒ 10−3
v0t + 1 = 2 =⇒ t =
103
v0
Calculando-se a distˆancia com esse tempo, obt´em-se:
x
103
v0
= 103
ln (2) = 693, 14 metros
12. 12 EDO primeira ordem
1.6 Exerc´ıcios
1. Resolva as seguintes equa¸c˜oes diferenciais:
(a)
dy
dx
= ex+y
R: y = ln −1
c+ex
(b)
dy
dx
= 2xy R: y = cex2
(c) (t2
− xt2
)
dx
dt
+ x2
+ tx2
= 0 R: t+x
tx
+ ln |x
t
| = c e x = 0
(d) xy = 2
√
y − 1 R: y = (ln |x| + c)2
+ 1 e y = 1
(e) x ln y
dy
dx
= y R: (ln y)2
= ln x2
+ c
(f) (x2
+ 1)y + y2
+ 1 = 0 e y(0) = 1 R:y = 1−x
1+x
(g)
dy
dx
=
ex
y
e y(0) = 1 R: y =
√
2ex − 1
(h)
dy
dx
=
x + y
x
R: y = c|x| + x ln |x|
(i) y + 3y = x + e−2x
R: y = x
3
− 1
9
+ e−2x
+ ce−3x
(j) y + x2
y = x2
R: y = ce− x3
3 + 1
(k) y − 3y = sen2x R: y = ce3x
− 3
11
sen2x − 1
11
cos 2x
(l) y + 2y = xe−2x
e y(1) = 0 R: y = x2
2
e−2x
− 1
2
e−2x
(m) xy + 2y = 4x2
e y(1) = 2 R: y = x2
+ x−2
(n)
dy
dx
+ 2
cos x
senx
y = senx R: y = c−3 cos x+cos3 x
3sen2x
(o) y + y = x2
y2
(Equa¸c˜ao de Bernoulli : y + p(x)y = q(x)yn
. Solu¸c˜ao: multiplique a
equa¸c˜ao por y−n
e fa¸ca a substitui¸c˜ao u = y1−n
⇒ y−n
y = u
1−n
)
2. Uma cultura de bact´erias cresce a uma taxa proporcional `a quantidade de bact´erias presentes
em cada instante. Ao fim de 10 minutos cresceu 3%.
(a) Determine a constante de proporcionalidade.
(b) (b) Quanto tempo levar´a a cultura para duplicar?
R: (a) k = 1
10
ln (103
100
) (b) t = ln 2
k
3. Certa substˆancia radioativa decresce a uma taxa proporcional `a quantidade presente. Observa-
se que ap´os 1 hora houve uma redu¸c˜ao de 10% da quantidade inicial da substˆancia, determine
a meia-vida da substˆancia.
R: 6, 6 horas.
4. Devido a uma maldi¸c˜ao rogada por uma tribo vizinha, os membros de uma aldeia s˜ao gradu-
almente impelidos ao assassinato ou ao suic´ıdio. A taxa de varia¸c˜ao da popula¸c˜ao ´e −2
√
p
pessoas por mˆes, quando o n´umero de pessoas ´e p. Quando a maldi¸c˜ao foi rogada, a popula¸c˜ao
era de 1600. Quando morrer´a toda a popula¸c˜ao da aldeia?
R: 40 meses.
13. W.Bianchini 13
5. Um tanque com 50 gal˜oes de capacidade cont´em inicialmente 10 gal˜oes de ´agua. Adiciona-se
ao tanque uma solu¸c˜ao de salmoura com 1 kg de sal por gal˜ao, `a raz˜ao de 4 gal˜oes por minuto,
enquanto a mistura escoa `a raz˜ao de 2 gal˜oes por minuto. Determine:
(a) O tempo necess´ario para que ocorra o transbordamento.
(b) A quantidade de sal presente no tanque por ocasi˜ao do transbordamento.
R: (a) 20 minutos (b) 48 kg
6. Um tanque com capacidade de 900 litros cont´em inicialmente 100 litros de ´agua pura. Entra
´agua com 4 gramas de sal por litro numa taxa de 8 litros por minuto e a mistura escoa numa
taxa de 4 litros por minuto. Determine a quantidade de sal no tanque quando a solu¸c˜ao est´a
para transbordar.
7. Certa industria lan¸ca seus dejetos qu´ımicos em um rio que desagua num lago. Os dejetos
causam irrita¸c˜ao na pele quando sua concentra¸c˜ao ´e superior ou igual a 20 partes por milh˜ao
(ppm). Pressionada pelos ecologistas do Green Peace, fazem 30 dias que a f´abrica parou
de lan¸car dejetos, cuja concentra¸c˜ao no lago foi estimada em 120 ppm. Hoje, verificou-se
que a concentra¸c˜ao de dejetos no lago ´e de 60 ppm. Supondo-se que a taxa de varia¸c˜ao
da concentra¸c˜ao de dejetos no lago ´e proporcional `a concentra¸c˜ao presente no lago em cada
instante, quanto tempo ainda levar´a para se poder nadar sem o perigo de sofrer irrita¸c˜ao na
pele? R: 47,5 dias.
8. Um ve´ıculo de massa m = 1, partindo do repouso ´e impulsionado por uma for¸ca constante F.
O meio oferece uma resistˆencia ao deslocamento proporcional `a velocidade, onde a constante
de proporcionalidade ´e k = 3. Quanto valer´a F de modo que a velocidade limite seja 10? Em
que instante o ve´ıculo atinge a velocidade 5? R: F = 30, t = ln 21/3
9. Um barco a vela em repouso de massa m = 1 p˜oe-se em movimento impulsionado pela for¸ca
do vento que ´e proporcional `a diferen¸ca de velocidade do vento, V km/h, e do barco, v km/h,
sendo k = 2/3 a constante de proporcionalidade.
A resistˆencia que a ´agua oferece ao movimento ´e proporcional a velocidade do barco com
constante de proporcionalidade r = 1/3.
Qual deve ser a velocidade constante V do vento, para que o barco atinja a velocidade m´axima
limite de 50 km/h?
10. A for¸ca devida `a resistˆencia do ar que atua num ve´ıculo de massa m ´e kv, onde k ´e constante e
v ´e a velocidade. Qual a for¸ca constante que o motor do ve´ıculo deve transmitir a ele para que
a velocidade m´axima seja v1? Em que tempo ve´ıculo atinge a metade da velocidade m´axima?
R: F = kv1 t = m
k
ln 2
11. Um ve´ıculo de massa m = 1, partindo do repouso ´e impulsionado por uma for¸ca constante F.
O meio oferece uma resistˆencia ao deslocamento proporcional `a velocidade, onde a constante
de proporcionalidade ´e k = 3. Quanto valer´a F de modo que a velocidade limite seja 10? Em
que instante o ve´ıculo atinge a velocidade 5?
R: F = 30 ; t = 1
3
ln ( F
F−15
).
12. Uma bala de massa m = 0, 01 kg introduz-se em uma t´abua de 0, 10 m de espessura, com
velocidade de 200 m/s. Ela sofre uma resistˆencia da t´abua ao seu movimento proporcional ao
quadrado de sua velocidade, com constante de proporcionalidade k. Determine k e o tempo
14. 14 EDO primeira ordem
que a bala leva para perfurar a t´abua, sabendo-se que sai com velocidade de 80 m/s. Despreze
a for¸ca da gravidade.
R: k = ln (5/2)
10
, t = 3
4.104k
13. Um navio de massa m se move em dire¸c˜ao ao cais com velocidade de 12km/h. Seu motor ´e des-
ligado a uma distˆancia de 3km do cais. Considerando que a resistˆencia da ´agua ´e proporcional
`a velocidade com constante de proporcionalidade k = 6m:
(a) (a) Determine a velocidade do navio 1 hora ap´os o motor ser desligado.
(b) (b) O navio atingir´a o cais? Justifique.
14. Um barco a vela em repouso de massa m = 1, ´e posto em movimento impulsionado pela for¸ca
do vento que ´e proporcional `a diferen¸ca de velocidade do vento V km/h e do barco, v km/h,
sendo k = 2
3
a constante de propocionalidade.
A resistˆencia que a ´agua oferece ao movimento ´e proporcional `a velocidade do barco com
constante de proporcionalidade r = 1
3
Qual deve ser a velocidade constante V do vento, para que o barco atinja a velocidade m´axima
limite de 50 km/h?
Resp: v(t) = 2
3
V (1 − e−t
). vellimit = 75 km/h
15. Em uma comunidade de 100 pessoas, inicialmente, existe 1 pessoa infectada com um v´ırus. A
velocidade de propaga¸c˜ao do v´ırus ´e proporcional a k vezes o n´umero de pessoas infectadas
vezes o n´umero de pessoas n˜ao infectadas. Ap´os 1 dia, 1
4
da comunidade est´a contamindada.
(a) Ap´os 2 dias, quantas pessoas estar˜ao contaminadas?
(b) Se p(t) ´e o n´umero de pessoas contaminadas no instante t, determine limt→∞ p(t).
(c) Desenhe o gr´afico de p(t).