O documento discute métodos computacionais para análise de sistemas de engenharia. Ele explica como modelos matemáticos são desenvolvidos para representar problemas físicos e como esses modelos são discretizados em modelos numéricos, como o método dos elementos finitos, para solução computacional. Ele também descreve como os resultados numéricos são avaliados para validação.

1. Introdução aos Métodos Computacionais
Professor: Raul B. V. Pessolani

2. Análise de sistemas de engenharia
Problema físico
Erro Simplificações e
aproximações
Modelo matemático
Ex: Equação Diferencial
Erro Discretização
Modelo numérico
Ex: Modelo de Elementos
Finitos
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3. Análise de sistemas de engenharia
 A seleção do modelo matemático depende do tipo de
problema:
 Distribuição de temperatura.
 Campo de tensões.
 Um bom modelo deve:
 Considerar os aspectos essenciais do problema.
 Desprezar os fatores secundários.
 Fornecer resultados próximos das respostas reais.
 Se as previsões do modelo não estão de acordo com as
respostas reais é necessário refinar o modelo:
 Incluir aspectos inicialmente desprezados.
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4. Análise de sistemas de engenharia
 Modelos numéricos são aproximações dos modelos
matemáticos.
 Um método numérico é confiável se ele converge para a
solução exata do modelo matemático.
 Garantia de convergência com o refinamento.
 Velocidade de convergência.
 Custo computacional envolvido.
 Facilidade de implementação e utilização.
 A solução numérica de um problema não pode ser
melhor do que o modelo matemático utilizado.
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5. Discretização
Problema: Determinação do perímetro de um círculo.
R
Dividindo em n partes:
l = 2Rsen(α/2)
α α = 2π/n
L = n l = 2πR sen(α/2)
α/2
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6. Discretização
Laprox/Lexato log(Laprox/Lexato- 1)
Verifica-se que a solução converge para o resultado exato.
A velocidade de convergência é boa ?
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7. Importância dos métodos numéricos
 Os problemas da engenharia envolvem a solução de
equações diferenciais ordinárias ou parciais.
 Soluções analíticas exatas (fechadas) só existem em
casos especiais:
 Geometria e condições de contorno simples.
 Certos tipos de carregamento.
 Material homogêneo.
 A solução de problemas reais requer a utilização de
métodos numéricos (aproximados):
 Método das Diferenças Finitas.
 Método dos Elementos Finitos.
 Método dos Elementos de Contorno.
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8. Análise por elementos finitos
Malha elemento
Geometria
Material
apoios nó
carregamento
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9. Passos da Análise
1. Dividir o domínio do problema em regiões (elementos
finitos) de geometria simples:
 Triângulos, quadriláteros, tetraedros, hexaedros,...
 Os elementos adjacentes são conectados através dos nós.
2. Aproximar os deslocamentos no interior dos elementos:
 Interpolar a partir dos valores nodais.
 Utilizar funções simples: lineares, quadráticas,...
3. Obter e resolver as equações de equilíbrio em função dos
deslocamentos nodais (graus de liberdade).
4. Calcular respostas no interior dos elementos:
 Deformações a partir do campo de deslocamentos.
 Tensões a partir das deformações.
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10. Vantagens
 Aplicação a qualquer problema de campo:
 Tensões, transferência de calor, percolação, etc.
 Não há restrição quanto a geometria do problema nem quanto ao
carregamento e as condições de contorno do problema.
 O material pode variar de elemento para elemento.
 O modelo de elementos finitos aproxima o comportamento físico na
região a ser analisada segundo funções de interpolação: Constantes,
lineares, quadráticas,...
 Um modelo pode incluir componentes com diferentes comportamentos:
 Barras, vigas, placas, cascas, sólidos, etc.
 A aproximação é melhorada facilmente refinando a malha de
elementos finitos ⇒ convergência.
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11. Exemplo de aplicação: estrutura de edifício
http://www.csiberkeley.com/ 11

12. Análise de um tanque esférico
http://www.csiberkeley.com/
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13. Contato pneu-pavimento (não linearidade)
http://www.manufacturingcenter.com/dfx/ 13

14. Trem de pouso
http://www.abaqus.com/
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15. Fuselagem
http://www.abaqus.com/
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16. Fuselagem
Cargas e apoios
Configuração pós-flambagem
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17. Pontes
Depois do terremoto
San Francisco Bay Bridge
http://www.adina.com/
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18. Pontes
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19. Passos da Simulação Numérica
 Análise preliminar:
 Obter uma solução aproximada do problema.
 Modelo analítico simplificado, fórmulas, análise
experimental, análises anteriores, etc.
 Análise por Métodos Numéricos:
 Pré-processamento:
 Modelagem: geometria, apoios, carregamento, materiais, ...
 Geração de malha.
 Análise numérica.
 Pós-processamento:

Deformadas, modos de vibração/flambagem, animações,...

Contornos e gráficos de tensões.
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20. Análise de navios – Malha Global
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21. Análise de Navios - Carregamento
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22. Análise de Navios – Detalhamento
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23. Exmeplo do Método dos Elementos de
Contorno
 Tubulação de 3 metros de comprimento, cubo de 2 metros de lado e o
fluxo livre é de 1m/s
 Discretização inicial com 22 elementos
Qoo = 1 m/s
Qoo = 1 m/s
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24. Resultados – Validação
 Discretização final com 2400 elementos
 Avaliação da faixa central, pois se aproxima à solução 2D que possui
solução analítica
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25. Validação - Solução analítica x Solução Programa
V p=2 RV ∞ SEN  θ 
Raio = 1
Voo = 1.0
Vp
=0.27
=0.58
=0.87
=1.08
=1.14
=1.59
=1.76
=1.89
=1.95
=1.99
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26. Jaqueta para Plataforma
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27. Aeronave para AeroDesign
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28. Passos da Simulação Numérica
1. Pré-Análise
Escolher o modelo Obter resultados aproximados Planejar a discretização
Matemático Para posterior validação
2. Pacote
3. Análise dos Resultados
PRÉ-PROCESSAMENTO
Alteração
SIM Dados.
Devo refinar mais a malha?
Devo mudar o tipo de elemento? ANÁLISE
Devo mudar o Método?
SIM
NÃO
Os resultados são coerentes?
PARAR PÓS-PROCESSAMENTO
Há erros grosseiros?
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29. Análise dos resultados
 Avaliação qualitativa:
 A resposta “parece” certa ?

As simetrias esperadas estão presentes?

As condições de contorno são respeitadas?

As maiores deformações (ou tensões) estão nos pontos
esperados?
 Verificar se a estrutura está em equilíbrio ou se a massa se
mantém
 Avaliação quantitativa
 A resposta está correta?
 Comparar resultados obtidos com as soluções preliminares.
 Verificar se o nível de discretização é satisfatório
especialmente quando há picos na solução.
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30. Por que estudar a teoria?
 Por que estudar a teoria?
 Programas comerciais são utilizados a bastante tempo.
 Intensivamente testados: fabricantes e usuários.
 Os programas atuais possuem interface amigável.
 Sua utilização não requer grandes conhecimentos.
 A obtenção de resultados confiáveis requer:
 Conhecimento do comportamento físico:
 Mecânica dos Fluídos , Resistência dos Materiais, ...
 Conhecimento dos diferentes Métodos:

Comportamento dos elementos, características dos algoritmos
aproximações e limitações
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31. Principais questões envolvidas na análise
 Estático x dinâmico
 As cargas atuantes são periódicas ou impulsivas ?
 A estrutura é muito flexível ?
 A freqüência do carregamento é próxima a da estrutura ?
 O comportamento do material é dependente do tempo ?
 Linear x não-linear
 Os deslocamentos/rotações são significativos ?
 A relação tensão-deformação pode ser considerada linear ?
 O material sofre deformações permanentes ?
 Existe a formação de trincas ?
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32. Tipos de análise
 Acoplada (multi-física) x desacoplada
 Termo-mecânico.
 Solo-estrutura.
 Fluido-estrutrura.
 Estado da prática:
 Depende do ramo de aplicação.
 Engenharia civil: estática, linear e desacoplada.
 Análise dinâmica: terremotos, edifícios altos,...
 Análise não-linear: problemas especiais.
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33. Método das Diferenças Finitas
 Problema da Difusão e propagação da onda
acústica
Bor Área do modelo
da
Algoritmos de absorção
testados
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