Fermat: Números primos, amigos e perfeitos
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O documento discute a evolução do conhecimento sobre números primos, desde a antiga Grécia até Pierre de Fermat e matemáticos posteriores. Apresenta conceitos como o Pequeno Teorema de Fermat, números amigos e perfeitos, e destaca as contribuições de Fermat e Euler para a teoria dos números.
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- 1. Fermat, Os Números Primos, Amigos e Perfeitos Escola Secundária Dr. Jorge Augusto Correia Matemática A
- 2. Índice - Diapositivos Introdução 4 O que são números primos? 5 Breve história dos números primos até Fermat 7 Vida e obra de Pierre de Fermat 10 Números Primos de Fermat 14
- 3. Índice - Diapositivos (cont.) Pequeno Teorema de Fermat 20 Interesse do matemático Leonhard Euler na obra de Fermat 24 Outros matemáticos que desenvolveram trabalhos no âmbito dos números primos 27 Números Amigos e Números Perfeitos 28
- 4. Introdução O conhecimento dos números foi fundamental na evolução da História do Homem. Tendo sido sempre importantes, hoje, os números estão presentes em qualquer atividade do Homem. A teoria dos números, ou seja, o estudo das propriedades dos números inteiros foi chamada a rainha da matemática. O objetivo deste trabalho é conhecer a evolução, aplicação e propriedades dos números primos, dos números amigos e perfeitos, e, ainda, o Pequeno Teorema de Fermat.
- 6. ● São números primos, os números inteiros positivos maiores que um e que são divisíveis por 1 e por eles mesmos. Exemplo: Número primo Exemplo: Número não primo 7 é divisível por 1 e por 7 apenas, 4 é divisível por 1, 2 e 4, logo, como tem mais logo, é um número primo de dois divisores não é primo
- 7. Breve história dos Números Primos até Fermat
- 8. ● A descoberta dos números primos foi iniciada por Euclides de Alexandria no ano 360 a.c a 295 a.c ● Euclides era um célebre matemático grego que conseguiu provar que existe um número infinito de números primos. Como estava curioso acerca destes números, resolveu aprofundar o seu conhecimento ● Assim, aprendeu uma propriedade dos números: qualquer número composto se pode decompor num produto de fatores primos
- 9. ● A 200 a.C. o Grego Eratóstenes apresentou um algoritmo para calcular números primos, o Crivo de Eratóstenes ● A descoberta dos números primos foi tentada por muitos matemáticos que nunca conseguiram descobrir como o fazer até que Euclides o descobriu ● A descoberta dos números primos teve uma grande importância ao longo da história da matemática e ainda hoje em dia os usamos com grande frequência
- 10. Vida e obra de Pierre de Fermat
- 11. Vida e obra de Pierre de Fermat ● Pierre de Fermat (1601-1665) foi um magistrado, matemático e cientista francês, que nasceu em Beaumont-de-Lomagne, França. ● Em 1636, Fermat propôs um sistema de geometria analítica. O seu trabalho estava baseado numa reconstrução do trabalho de Apollonius, usando a álgebra de Viète. Um trabalho semelhante conduziu Fermat para descobrir métodos similares para diferenciação e integração por máximos e mínimos.
- 12. Vida e obra de Pierre de Fermat ● é conhecido pelos seus teoremas na área da teoria dos números, em particular o seu famoso último teorema: xn + yn = zn não possui solução não nula quando n>2. Apesar de Fermat ter anotado que tinha descoberto uma prova para esta conjetura, é hoje aceite que tal afirmação não seria exata. Só em novembro de 1994 foi apresentada uma demonstração da autoria do matemático britânico Andrew Wiles.
- 13. Vida e obra de Pierre de Fermat ● Fermat não publicou quase nada durante a sua vida, anunciando as suas descobertas em cartas aos amigos. Às vezes anotava resultados nas margens dos seus livros. O seu trabalho foi largamente esquecido até que foi redescoberto no meio do século XIX ● No entanto, 300 anos de tentativas não sucedidas levaram à descoberta de um número importantíssimo de resultados, nomeadamente a teoria dos anéis comutativos
- 15. Em 1638, Fermat não conhecia nenhum método com a finalidade de verificar se um número é primo. No entanto, ele descobriu que se pode verificar se algum número n, é seu divisor. Esta relação é conhecida como Número de Fermat
- 16. A relação do Número de Fermat diz-nos que qualquer número é primo para valores inteiros positivos de n. Mais tarde, foi descoberto que nenhum outro valor de Fn, além de n={0, 1, 2, 3, 4}, é primo.
- 17. Método de Fatoração de Fermat
- 18. O método de fatoração de Fermat, homenageando Pierre de Fermat, baseia-se na representação de um número inteiro ímpar, é representado pela diferença dos quadrados: A diferença é algebricamente fatorial (a+b)(a-b); se nenhum fator for igual a um, isso é uma fatoração apropriada para N. Cada número ímpar tem uma única representação. De fato, se é a fatoração de N, então
- 19. ● Em sua forma mais simples, o método de Fermat pode ser ainda mais lento do que a divisão comum (no pior caso). No entanto, a combinação de divisão comum e do método de Fermat é mais eficaz do que qualquer outro. ● Desde que N seja ímpar, então c e d também são ímpares, porque as suas metades são inteiras. (Um múltiplo de quatro também é uma diferença de quadrados, desde que c e d também seja.)
- 21. Pequeno Teorema de Fermat O Teorema de Fermat oferece um teste simples e eficaz que ignora todos o números que não são primos. Todos os números que falham esse teste são números não primos.
- 22. Assume-se mdc(a,b) como o máximo divisor comum entre a e b Se m é primo, então para qualquer a tal que mdc (a,m)=1, temos: ● Se m não é primo, ainda é possível (embora pouco provável) que o supracitado se verifique. ● Se m é ímpar composto, e a um número inteiro tal que mdc(a,m)=1 e diz-se que m é pseudoprimo para a base a, ou seja, é um número não primo que passa o teste de Fermat.
- 23. Qual o resto da divisão de 2 por 7? Exemplo de Exercício 24
- 24. Interesse do matemático Leonhard Euler na obra de Fermat
- 25. ● Apesar da grande importância, a primeira demonstração do chamado “pequeno teorema de Fermat” levou quase cem anos para ser divulgada. Foi publicada apenas em 1736, pelo grande Leonhard Euler. ● Este aprofundou o Teorema de Fermat que, assim, se começou a chamar Teorema de Euler ou Teorema de Fermat-Euler
- 26. Leonhard Euler generalizou o Pequeno Teorema de Fermat: Para qualquer número inteiro positivo e qualquer inteiro relativamente primo a , tem-se: onde denota a função totiente de Euler que conta o número de inteiros entre 1 e n que sejam coprimos em relação a n.
- 27. Outros matemáticos que desenvolveram trabalhos no âmbito dos números primos Euclides Eratóstenes Leonhard Euler Gauss Chebyshev
- 28. Números Amigos e Números Perfeitos
- 29. Números Amigos Dizemos que dois números são amigos se cada um deles é igual à soma dos divisores próprios do outro, com exceção do próprio número. Um exemplo de números amigos é 284 e 220, pois os divisores próprios de 220 são: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. Efetuando a soma destes números obtemos o resultado 284. 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 Os divisores próprios de 284 são: 1, 2, 4, 71 e 142, efetuando a soma destes números obtemos o resultado 220. 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
- 30. Números Perfeitos A explicação sobre os fundamentos matemáticos começa com os números perfeitos. Os números perfeitos são iguais à soma dos seus divisores próprios. Divisores próprios de um número positivo, ou seja maior que zero, são todos os divisores inteiros positivos do número, exceto o próprio número. Para facilitar o entendimento, veja o exemplo: Os divisores próprios do número 6 são 1, 2 e 3. Se somar esses números, o valor resultante será o próprio número: 6 (1 + 2 + 3 = 6). Outro exemplo é o número 28, cujos divisores próprios são 1, 2, 4, 7 e 14. Com ele acontece a mesma situação do exemplo anterior: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
- 31. Dinâmica
- 32. Conclusão Ao longo de 27 diapositivos mostrámos o que são números primos, breve história dos mesmos até Fermat, o Pequeno Teorema de Fermat e os conceitos de números amigos e perfeitos. Por último, uma breve dinâmica teve como objetivo cimentar os conceitos apreendidos e aplicá-los. Este trabalho foi muito importante para percebermos a importância que os números têm no nosso dia a dia, da atividade mais simples até à mais complexa.