Base dos logaritmos

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Conceitos sobre a base dos logaritmos naturais

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Base dos logaritmos

  1. 1. Base dos Logaritmos Naturais O que é Base dos Logaritmos Naturais “e”? Como se calcula? Quantos dígitos têm? e = 2.71828..., Base de Logaritmos Naturais é um numero real, uma constante, que aparece em alguns tipos de problemas matemáticos. Exemplos de tais problemas são aqueles envolvendo crescimento ou decadência (inclusive juros compostos), a curva de sino da estatística, alguns problemas de probabilidade, alguns problemas de contabilidade, e até mesmo o estudo da distribuição de números primos. Aparece na Fórmula de Stirling na aproximação de fatoriais. Também aparece freqüentemente em cálculo, onde quer que você esteja lidando com funções logarítmicas ou exponenciais. Também há uma conexão entre ele e os números complexos, pela Equação de Euler. “e" normalmente é definido pela equação seguinte: e = lim n->infinito (1 + 1 / n ) n.
  2. 2. Base dos Logaritmos Naturais Seu valor é de aproximadamente 2.718281828459045... e foi calculado com 869.894.101 casas decimais por Sebastian Wedeniwski, o primeiro numero de 5998 dígitos. O número "e" foi estudado primeiramente pelo matemático suíço Leonhard Euler em 1720, embora sua existência estivesse implícita no trabalho de John Napier, o inventor dos logaritmos, em 1614. Euler também foi o primeiro em usar a letra “e” para identificá-lo em 1727 (o fato que é a primeira letra do seu sobrenome, pura coincidência). Como resultado, às vezes é chamado de numero de Euler, o numero Euleriano, ou a Constante de Napier (mas não a Constante de Euler). Um modo efetivo para se calcular seu valor é não usar a equação definindo acima, mas usar a seguinte soma infinita: e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! +...
  3. 3. Base dos Logaritmos Naturais Se você precisa de N casas decimais, compute cada termo para N+3 casas decimais e os soma. Você pode deixar de somar depois do termo 1/n! onde n! > 10N+3, porque, para N+3 lugares decimais, o resto das condições é sempre zero. Embora haja infinita maneiras de compô-lo, eles não mudarão os lugares das decimais que você já calculou. Agora a ultima ou duas ultimas casas decimais do resultados da soma resultante podem sumir devido ao arredondando de cada termo, mas os primeiras casas de N devem estar corretos. Isso é por que a computação usa casas decimais extras.
  4. 4. Base dos Logaritmos Naturais Como exemplo, computação de e com 22 casas decimais: 1/0! = 1/1 = 1.0000000000000000000000000 1/1! = 1/1 = 1.0000000000000000000000000 1/2! = ½ = 0.5000000000000000000000000 1/3! = 1/6 = 0.1666666666666666666666667 1/4! = 1/24 = 0.0416666666666666666666667 1/5! = 1/120 = 0.0083333333333333333333333 1/6! = 1/720 = 0.0013888888888888888888889 1/7! = 1/5040 = 0.0001984126984126984126984 1/8! = 1/40320 = 0.0000248015873015873015873 1/9! = 1/362880 = 0.0000027557319223985890653 1/10! = 1/3628800 = 0.0000002755731922398589065 1/11! = 0.0000000250521083854417188 1/12! = 0.0000000020876756987868099 1/13! = 0.0000000001605904383682161 1/14! = 0.0000000000114707455977297 1/15! = 0.0000000000007647163731820 1/16! = 0.0000000000000477947733239 1/17! = 0.0000000000000028114572543 1/18! = 0.0000000000000001561920697 1/19! = 0.0000000000000000082206352 1/20! = 0.0000000000000000004110318 1/21! = 0.0000000000000000000195729 1/22! = 0.0000000000000000000008897 1/23! = 0.0000000000000000000000387 1/24! = 0.0000000000000000000000016 1/25! = 0.0000000000000000000000001 ------------------------------------------ 2.7182818284590452353602875
  5. 5. Base dos Logaritmos Naturais Então para 22 casas decimais, e = 2.7182818284590452353603 que está correta (de fato todos as 25 casas decimais estão corretas, mas isso foi sorte!).   Houve descobertas recentes e até mesmo modos mais eficientes de computar o "e", um dos quais foi usado para obter os dados acima. É um fato, provado por Euler, que "e" trata-se de um número irracional, assim sua expansão decimal nunca termina, nem é eventualmente periódica. Assim não importa quantos dígitos há, o único modo de predizer o próximo digito é computar e usar o método acima com mais precisão.
  6. 6. Base dos Logaritmos Naturais Também é verdade que “e” trata-se de um número transcendental, um fato provado primeiramente em 1873 pelo matemático francês Charles Hermite, que significa que “e” não é a raiz de qualquer polinômio com coeficientes de número racionais. Estes têm as propriedades de ”e” as compartilham com pi. E "e" também é a base dos logaritmos naturais. O logaritmo natural da função ln(x) é definida de modo que: ln (x) = log e (x). É natural por várias razões. Um é o seguinte limite: ln(x) = limk->0 (xk-1)/k.
  7. 7. Base dos Logaritmos Naturais Outro exemplo de cálculo é que se y = ln(x) + c, para c constante, então dy/dx = 1/x, e estes são as únicas funções para as quais isto é verdade. Outro é que a curva y = ln(x) tem uma tangente a (1,0) com rampa 1, e entre todas as funções logarítmicas, é a único que faz. Nota: O termo a Constante de Euler também é reservado para outro número estudado por Euler, 0.5772156649... = lim n ->infinito [1/1 + 1/2 + 1/3 + . + 1/n - ln(n)].

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