1) O documento fornece gabaritos de respostas para uma prova de Matemática III, incluindo cálculos de ângulos internos de poliedros, relações de Euler, e sistemas de equações para determinar características geométricas. 2) Fornece resumos de cálculos para determinar o número de vértices, faces e diagonais de vários poliedros com base em informações fornecidas. 3) Discutem propriedades topológicas e geométricas de poliedros regulares de Platão.

1. TD 11 - Matemática III – GABARITO
1)
Em cada caso utiliza-se a fórmula S: (V – 2).360º
a) hexaedro possui 8 vértices. Logo, º2160)º360.(6º360).28(º360).2(  SSVS .
b) dodecaedro possui 20 vértices. Logo, º6480)º360.(18º360).220(º360).2(  SSVS .
2)
i) 18162
º360
º5760
2
º5760)º90(64
º360).2(






VV
S
VS
ii) 1218228
18
28






F
V
A
iii) Considerando “x” o número de faces triangulares e “y” o de faces heptagonais forma-se um sistema onde uma das
equações envolve o número de arestas emfunção do número de faces.
























7512
5204
5673
3633
5673
)3(12
28
2
7
2
3
12
x
yy
yx
yx
yx
yx
yx
yx
iv) Logo possui 7 faces triangulares e 5 heptagonais.
3)
Calculando o número de vértices, temos: 422
º360
º720
2º360).2(º720  VVV .
Pela relação de Euler, A + 2 = V + F. Substituindo pelas informações, vem:













4)6(
3
2
6
6122321263.
3
2
42
.
3
2
4
F
A
AAAAAA
AF
V
Logo, F = 4.
4) Pelas informações, F = V. Utilizando a relação de Euler, temos: 10 + 2 = 2V. Logo V = 6. Logo o número de faces é
o mesmo. Isto é, há 6 faces.
5) De acordo com as informações, temos: 826
6
2






FFVV
VA
FVA
6)
a)


 






Sim
eulerianoÉ
vértices
arestas
faces
Poliedro
1920237
?
20
37
19
:1 .
b)


 






Sim
eulerianoÉ
vértices
arestas
faces
Poliedro
1613227
?
13
27
16
:2 .

2. 7) Para calcular o número de diagonais é necessário saber o número de vértices. Pelas informações temos F = 10 + 10
= 20 e 40
2
5030
2
)5(10)3(10




A
Logo, V = 40 + 2 – 20 = 22.
Diagonais do poliedro são os segmentos que ligamos vértices, mas não são arestas, nemdiagonais das faces.
Diagonais da face são os segmentos que ligamos vértices, mas não são lados.
i) Total de ligações entre dois vértices: 231)21)(11(
!2
2122
!20!2
!202122
!20!2
!222
22 



C .
ii) Total das diagonais das 10 faces triangulares: hánão 0)0(10 .
iii) Total das diagonais das faces pentagonais: 50)5).(10(5
!2
45
105
!3!2
!345
105
!3!2
!5
10 





















 .
Logo, o total de diagonais do poliedro será: 231 – (40 + 50) = 231 – 90 = 141.
8)
a)Aplicando a fórmula da soma dos ângulos internos, temos:
    1082
º360
º2880
2º2880º360.2  VVVV
b)Há 15 arestas e 10 vértices. Pela relação de Euler, temos: 7102152  FVAF
c)Considere “x” o número de faces quadrangulares e “y” o de pentagonais. Utilizando a informação de F = 7, A = 15 e
V = 10 e aplicando a relação de Euler, temos:


























2
5
:
5272
3054
2844
3054
)4(7
15
2
)5()4(
7
spentagonai
aresquadrangul
FacesLogo
xy
yx
yx
yx
yx
yx
A
yxF
d)As diagonais do poliedro são os segmentos de reta que unem vértices que não pertencem a mesma face, nem são
arestas que unemfaces diferentes. Calculando por partes, temos:
i) Número de segmentos tomados dois a dois a partir do vértice: Essa contagem é uma combinação, pois não importa a
ordem: 45
!8!2
!8.9.10
!8!2
!102
10 C .
ii) Número de diagonais das faces quadrangulares: 2464
!2!2
!2.3.4
!2!2
!4
42
4 C . Logo, em 5 faces
quadrangulares há 5 x 2 = 10 diagonais.
iii) Número de diagonais das faces pentagonais: 55105
!3!2
!3.4.5
!3!2
!5
52
5 C . Logo, em 2 faces
pentagonais há 2 x 5 = 10 diagonais.
iv) Número de arestas que unemduas faces e, logicamente, não são diagonais: 15.
O total de diagonais do poliedro será então D = 45 – (10 + 10 + 15) = 45 – 35 = 10.
9) Identificando cada poliedro de Platão, aplicando a relação de Euler e a fórmula que calcula a soma dos ângulos
internos das faces (V – 2).360º, temos:

3. 10)Em cada caso utiliza-se a fórmula S: (V – 2).360º
a) tetraedro possui 4 vértices. Logo, º720)º360.(2º360).24(º360).2(  SSVS .
b) octaedro possui 6 vértices. Logo, º1440)º360.(4º360).26(º360).2(  SSVS .
c) icosaedro possui 12 vértices. Logo, º3600)º360.(10º360).212(º360).2(  SSVS .
11)Encontramos o número de vértices pela fórmula da soma dos ângulos das faces: S = (V – 2).360º
1082
º360
º2880
2
º2880)º90(32
º360).2(






VV
S
VS
Utilizando a relação de Euler A + 2 = F + V e, substituindo pelos valores , calculamos o número de vértices.
710215
10
15






F
V
A
Considerando “x” o número de faces quadrangulares e “y” o de faces pentagonais forma-se um sistema onde uma das
equações envolve o número de arestas emfunção do número de faces.
























527
2
3054
2844
3054
)4(7
15
2
5
2
4
7
x
y
yx
yx
yx
yx
yx
yx
Logo possui 5 faces quadrangulares e 2 pentagonais.
12)O nº de faces é F = 12 + 20 = 32 faces. Logo o número arestas será 90
2
)20(6)12(5
2



nF
A . O número
de vértices é dado por 60322902  FAV . Logo há 60 átomos ligados entre si por 90 arestas
(ligações).
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