Exercícios sobre limites, continuidade, limites, etc. Recomendo livros Inglês - Calculus, Early Transcendentals, James Stewart Português - Análise Matemática, Leituras e Exercícios, Carlos Sarrico

1. 1
Explicações Ensino Superior
MIGUEL FERNANDES
Ano Letivo 2017/2018
Cálculo Diferencial e Integral
Exercícios propostos
I. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
 Generalidades, noção de limite e de continuidade
1. Indique, se possível, o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo no domínio de cada
uma das seguintes funções. De entre as mesmas, identifique as que são limitadas.
1.1. 𝑓 ∶ ]−1, 1[ → ℝ, 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
1.2. 𝑔 ∶ ℝ+
→ ℝ, 𝑔( 𝑥) =
1
𝑥
1.3. ℎ ∶ ℝ → ℝ, ℎ( 𝑥) = sen 𝑥 1.4. 𝑗 ∶ [0, 1] → ℝ, 𝑗( 𝑥) = √(𝑥 − 1)2
2. Mostre, pela definição de limite, que lim
𝑥→0
√ 𝑥 = 0.
3. Considere uma função 𝑓 ímpar. Sabendo que lim
𝑥→0+
𝑓( 𝑥) = 3, o que pode dizer acerca
do limite lim
𝑥→0−
𝑓( 𝑥)? Justifique.
4. Considere a função 𝑓 ∶ ℝ → ℝ definida por 𝑓( 𝑥) = 2𝑥 + 1.
4.1. Encontre um valor de 𝜖 para o qual se tenha:
∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓, |𝑥 − 2| < 𝜖 ⇒ |𝑓(𝑥) − 5| < 0,5
4.2. Esse valor é único? Justifique.
4.3. Mostre que 𝑓 é contínua.
5. Classifique cada uma das afirmações abaixo em verdadeira ou falsa. Justifique.
5.1. Se (𝑓 + 𝑔) é uma função contínua em 𝑎 então 𝑓 e 𝑔 são contínuas em 𝑎.
5.2. Se 𝑓 e 𝑔 são contínuas em 𝑎, então (𝑓 × 𝑔) é também contínua em 𝑎.
5.3. Considerando 𝑎 ∈ 𝐷𝑓 um ponto isolado, então 𝑓 é contínua em 𝑎.
5.4. As funções polinomiais são contínuas em todo o seu domínio.
5.5. A continuidade de uma função 𝑓 que admite inversa garante sempre a
continuidade de 𝑓−1
.
6. Mostre que se 𝑓 é uma função contínua em 𝑥 = 𝑐 e 𝑓( 𝑐) > 0, então existe 𝜖 > 0 tal
que ∀𝑥 ∈ ] 𝑐 − 𝜖, 𝑐 + 𝜖[ ∩ 𝐷𝑓, 𝑓( 𝑥) > 0.
7. Seja ℎ ∶ [1, 5] → ℝ uma função definida por:
ℎ( 𝑥) = {
|𝑥2
− 4| se 𝑥 ∈ ]1, 5[
3 se 𝑥 = 1
0 se 𝑥 = 5
7.1. Esboce o gráfico de ℎ.
7.2. Estude a continuidade de ℎ.

2. 2
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8. Mostre que a função de 𝐷𝑖𝑟𝑖𝑐ℎ𝑙𝑒𝑡:
𝑑( 𝑥) = {
0 se 𝑥 é racional
1 se 𝑥 é irracional
não é contínua em nenhum ponto 𝑎 ∈ ℝ.
 Teoremas fundamentais sobre continuidade
9. Seja 𝑓 uma função contínua de domínio [0, 𝑎] e contradomínio [0, 𝑎], com 𝑎 ∈ ℝ+
.
Mostre que o gráfico de 𝑓 interseta a reta de equação 𝑦 = 𝑥.
10. Mostre que, se 𝑓 é contínua no intervalo 𝐼 e se o conjunto 𝑓(𝐼) é finito, então 𝑓 é
constante em 𝐼.
11. Mostre que todo o polinómio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.
II. DERIVADAS
 Definição e regras de derivação
12. Determine uma expressão que defina a função derivada de cada uma das seguintes
funções.
12.1. 𝑦 =
cos 𝑥
𝑥
+
𝑥
cos 𝑥 12.2. 𝑦 =
𝑒2𝑥+8
𝑥2
12.3. 𝑦 = 2 𝑥2
12.4. 𝑦 = √𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ{0}
13. Calcule, a partir da definição, a derivada de cada uma das funções seguintes nos
pontos indicados.
13.1. 𝑓( 𝑥) = sen 𝑥 ; 𝑥 = 0 13.2. 𝑓( 𝑥) = 𝑥 + ln 𝑥 ; 𝑥 = 1
13.3. 𝑓( 𝑥) = 𝑥3
+ 𝑥2
; 𝑥 = 1 13.4. 𝑓( 𝑥) = cos 𝑥 ; 𝑥 = 𝑎
14. Considere as funções 𝑓 ∶ ℝ → ℝ definida por 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
e 𝑔 ∶ ℝ → ℝ definida por
𝑔( 𝑥) = |𝑥|. As funções 𝑓 ∘ 𝑔 e 𝑔 ∘ 𝑓 são ambas deriváveis em 𝑥 = 0?
Há contrariedade com a Regra da Cadeia (regra de derivação das funções
compostas)? Justifique.
15. Calcule 𝑎 e 𝑏 de modo a que 𝑓 ∶ ℝ → ℝ definida por:
𝑓( 𝑥) = {
𝑎𝑥2
− 2 se 𝑥 < 2
4𝑥 + 𝑏 se 𝑥 ≥ 2
seja diferenciável e determine para esses valores de 𝑎 e 𝑏 a função derivada.
16. Seja 𝑔 ∶ ℝ → ℝ definida por 𝑔( 𝑥) = 𝑒 𝑥
− 1.
Mostre que a reta bissetriz dos quadrantes ímpares é tangente ao gráfico de 𝑔 e
determine o ponto de tangência.
17. Mostre que duas retas, 𝑟 e 𝑠, tangentes ao gráfico de uma função quadrática não
podem ser paralelas.

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18. Seja 𝑓 ∶ ℝ → ℝ tal que |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)| ≤ (𝑥 − 𝑦)2
para quaisquer 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.
Mostre que 𝑓 é uma função constante em ℝ.
19. Seja 𝑓 ∶ ℝ → ℝ uma função par e 𝑔 ∶ ℝ → ℝ uma função ímpar.
Mostre que se 𝑓 e 𝑔 são deriváveis em ℝ+
, então são deriváveis em ℝ{0}.
Comente geometricamente este resultado.
20. Determine a reta de aproximação linear da função 𝑓( 𝑥) = (𝑥 + 1)2
no ponto 𝑥 = 3 e
use-a para aproximar o valor de 3,0252
.
21. Considere a função 𝑓 ∶ ℝ → ℝ definida por:
𝑓( 𝑥) = {
𝑥2
sen (
1
𝑥
) se 𝑥 > 0
𝑥2
se 𝑥 ≤ 0
Existe 𝑓′(0)? A função derivada é contínua em 𝑥 = 0? Justifique.
22. A função sinal admite uma tangente vertical na origem? Justifique.
Nota: a função sinal é a função definida por sgn 𝑥 = {
−1 se 𝑥 < 0
0 se 𝑥 = 0
1 se 𝑥 > 0
.
 Derivação implícita
18. Determine a equação da tangente à curva 𝑥3
+ 𝑦3
− 9𝑥𝑦 = 0 (Folium de Descartes)
no ponto (2, 4).
19. Mostre que, dados dois pontos pertencentes a uma circunferência de raio 𝑟 e
simétricos em relação à origem do referencial, as retas tangentes a esses dois
pontos são paralelas.
 Teoremas fundamentais do cálculo diferencial
20. Seja 𝑓 ∶ ℝ → ℝ uma função diferenciável tal que 𝑓(1) = 2, 𝑓(2) = 3 e 𝑓(3) = 4.
Mostre que a equação 𝑓′( 𝑥) = 1 tem pelo menos duas soluções.
21. Aplique convenientemente o Teorema de Lagrange para provar que:
8 +
1
9
< √66 < 8 +
1
8
22. Mostre que ℎ ∶ ℝ → ℝ definida por ℎ( 𝑥) = 𝑥5
+ 3𝑥 − 4 tem apenas um zero.

4. 4
Explicações Ensino Superior
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 Aplicações da função derivada
23. Uma partícula desloca-se sobre uma reta numérica cuja unidade é o metro.
Admita que a posição da partícula nessa reta, no instante 𝑡, em segundos, é dada
por: 𝑥( 𝑡) = 2𝑡2
− 3𝑡 + 1.
23.1. Determine a posição da partícula no instante inicial.
23.2. Calcule a velocidade média da partícula nos primeiros 5 segundos.
23.3. Calcule a velocidade da partícula no instante 𝑡 = 3𝑠.
24. Considere a função real de variável real definida por:
𝑓( 𝑥) =
𝑥2+2𝑥+1
𝑥
Esboce o gráfico de 𝑓, fazendo um estudo da função quanto:
 ao domínio e contradomínio;
 à continuidade;
 à monotonia e extremos;
 às concavidades e pontos de inflexão;
 às assíntotas do gráfico.
25. Calcule:
25.1. lim
𝑥→1
sen (𝑥2+2𝑥−3)
𝑥−1
25.2. lim
𝑥→0
sen (tg 𝑥)
𝑥
25.3. lim
𝑥→1
2
𝑥2−1
−
1
𝑥−1
25.4. lim
𝑥→+∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
 Funções especiais: funções hiperbólicas
26. Mostre que a função cosseno hiperbólico é par e a função seno hiperbólico é ímpar.
O que pode dizer acerca dos gráficos das mesmas?
27. Resolva o exercício 20. para as funções seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e
tangente hiperbólica.
28. Derive a função 𝑓 ∶ ℝ → ℝ definida por 𝑓( 𝑥) = th (sh 𝑥).
29. Defina a função inversa do cosseno hiperbólico.