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Prof. Jorge1 –3 24 2 0–2 1 3Exemplos Calcule o determinante da matriz A abaixo.A =1 –3 24 2 0–2 1 31 –34 2–2 11.2.3 + (–3...
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Prof. JorgePropriedadesdosDeterminantesMATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto
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Prof. JorgePropriedades dos determinantesPropriedades dos determinantesP2. se trocarmos de posição, entre si, duas linhas ...
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Prof. JorgePropriedades dos determinantesPropriedades dos determinantesP4. O determinante de uma matriz é igual aodetermin...
Prof. Jorge2 0 03 –1 02 0 3Propriedades dos determinantesPropriedades dos determinantesP5. Se forem nulos todos os element...
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  1. 1. Prof. Jorge
  2. 2. Prof. JorgeDeterminante de uma matriz quadradaDeterminante de uma matriz quadrada A toda matriz quadrada A está associado umnúmero real, chamado determinante de A.Ele é obtido por meio de certas operaçõescom os elementos da matriz. O determinante de uma matriz A pode serindicado por det A ou, ainda, substituído-seos parênteses ou colchetes da matriz porbarras.MATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto
  3. 3. Prof. JorgeExemplo O determinante da matriz P abaixopode ser indicado–5 0–1 4P = Por det P;–5 0–1 4MATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto
  4. 4. Prof. JorgeDeterminantes de 1ª e 2ª ordemDeterminantes de 1ª e 2ª ordem O determinante de uma matriz quadrada de 1ªordem (matriz 1 x 1) é igual ao valor de seu únicoelemento. Exemplo2 ⇒ det A = 2A =A = [a11] det A = a⇒ 11MATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto
  5. 5. Prof. JorgeDeterminantes de 1ª e 2ª ordemDeterminantes de 1ª e 2ª ordem O determinante de uma matriz quadrada de 2ªordem (matriz 2 x 2) é igual ao produto doselementos da diagonal principal, menos o produtodos elementos da diagonal secundária.a11 a12a21 a22= a11 . a22 – a12 . a21MATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto
  6. 6. Prof. JorgeExemplos Calcule o determinante das matrizes M e N abaixo.2 35 1M =–5 0–1 4N =2 35 1 Det M = = 2.1 – 3.5 = 2 – 15 = –13–5 0–1 4 Det N = = (–5).4 – 0.(–1) = –20MATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto
  7. 7. Prof. JorgeExemplos Resolver a equaçãox 2x x + 1= 2.x 2x x + 1= x.(x + 1) – 2.x = x2+ x – 2x = x2– xx2– x = 2 ⇒ x2– x – 2 = 0 ⇒ x = –1 ou x = 2MATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto
  8. 8. Prof. JorgeDeterminantes de 3ª ordemDeterminantes de 3ª ordem Para calcular determinantes de 3ª ordem, usamosum dispositivo chamado Regra de Sarrus. Veja ospassos a serem seguidos, em que tomamos umdeterminante de uma matriz genérica A.a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33A =MATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto
  9. 9. Prof. JorgeDeterminantes de 3ª ordemDeterminantes de 3ª ordema11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33a11 a12a21 a22a31 a32A =1opasso: Copiamos ao lado da matriz A as suasduas primeiras colunasMATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto
  10. 10. Prof. JorgeDeterminantes de 3ª ordemDeterminantes de 3ª ordem2opasso: Multiplicamos os elementos da diagonalprincipal de A. Seguindo a direção da diagonalprincipal, multiplicamos, separadamente, oselementos das outras “diagonais”.a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33a11 a12a21 a22a31 a32Det A =A =a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32MATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto
  11. 11. Prof. JorgeDeterminantes de 3ª ordemDeterminantes de 3ª ordem3opasso: Multiplicamos os elementos da diagonalsecundária de A, trocando o sinal do produto obtido.Seguindo a direção da diagonal secundária,multiplicamos, separadamente, os elementos dasoutras “diagonais”, também trocando o sinal dosprodutos.a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33a11 a12a21 a22a31 a32Det A =A =a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32– a31.a22.a13 – a32.a23.a11MATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto
  12. 12. Prof. JorgeDeterminantes de 3ª ordemDeterminantes de 3ª ordema11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33a11 a12a21 a22a31 a32Det A =A =a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32– a31.a22.a13 – a32.a23.a11 – a33.a21.a124opasso: Somamos todos os resultados obtidos.MATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto
  13. 13. Prof. Jorge1 –3 24 2 0–2 1 3Exemplos Calcule o determinante da matriz A abaixo.A =1 –3 24 2 0–2 1 31 –34 2–2 11.2.3 + (–3).0.(–2) + 2.4.1 = 6 + 0 + 8 = 14–[2.2.(–2)] –[1.0.1] –[(–3).4.3] = 8 – 0 + 36 = 44Det A = 14 + 44 = 58MATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto
  14. 14. Prof. Jorgex 2 3–1 x 4–3 0 1Exemplos Encontrar os valores de x que anulam odeterminantex 2 3–1 x 4–3 0 1x 2–1 x–3 0x.x.1 + 2.4.(–3) + 3.(–1).0 = x2– 24–[3.x.(–3)] –[x.4.0] –[2.(–1).1] = 9x + 2Det A = x2+ 9x – 22 ⇒ x2+ 9x – 22 = 0 ⇒x = –11oux = 2MATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto
  15. 15. Prof. JorgePropriedadesdosDeterminantesMATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto
  16. 16. Prof. JorgePropriedades dos determinantesPropriedades dos determinantesP1. O determinante de uma matriz vale zero se eletem: Uma linha (ou coluna) nula.–1 2 30 0 05 1 3= 0 Duas linhas (ou colunas) iguais ou proporcionais.1 5 12 –4 23 0 3= 00 1 32 2 6–3 4 12= 02ºcoluna x 31ºcoluna =3oMATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto
  17. 17. Prof. JorgePropriedades dos determinantesPropriedades dos determinantesP2. se trocarmos de posição, entre si, duas linhas (oucolunas) de um determinante, ele troca de sinal.2 –1 31 0 43 –2 1= –13 –1 24 0 11 –2 3= 1MATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto
  18. 18. Prof. Jorge2.3 –51.3 42 –51 4Propriedades dos determinantesPropriedades dos determinantesP3. Se multiplicarmos uma linha (ou coluna) de umdeterminante por uma constante k, ele ficamultiplicado por k.= 136 –53 4= = 3913. 3 = 39MATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto
  19. 19. Prof. JorgePropriedades dos determinantesPropriedades dos determinantesP4. O determinante de uma matriz é igual aodeterminante de sua transposta.Det At⇔ det A Exemplo3 1–4 2A =3 –41 2⇒ At=Det A = 10 Det At= 10MATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto
  20. 20. Prof. Jorge2 0 03 –1 02 0 3Propriedades dos determinantesPropriedades dos determinantesP5. Se forem nulos todos os elementos situados deum mesmo lado da diagonal principal, odeterminante será igual ao produto doselementos da diagonal principal. ExemploA = Det A = 2.(–1).3 = –6 A matriz A é triangular.MATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto
  21. 21. Prof. JorgePropriedades dos determinantesPropriedades dos determinantesP6. O determinante do produto de duas matrizes é oproduto de seus determinantes (teorema deBinet).det (AB) = det A . det B Exemplo3 14 2A =2 –34 1B =10 –816 –10AB =Det A = 2 Det B = 14 Det AB = 28MATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto
  22. 22. Prof. Jorge1 + (–2).2 23 + (–2).5 5Propriedades dos determinantesPropriedades dos determinantesP7. Um determinante não se altera se substituirmosuma de suas filas por ela própria somada comuma outra paralela multiplicada por umaconstante (Teorema de Jacobi). Exemplo1 23 5= 1.5 – 2.3 = 5 – 6 = –1=–3 2–7 5= –15 – (–14) = –1MATEMÁTICA – Prof. José Junior BarretoMATEMÁTICA – Prof. José Junior Barreto

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