funções: caracterização, operações, composições; função inversa; derivada de uma função (inc)

1. Matemática A 11º Ano
0.1. Caracterização de funções
Seja 𝑓 uma função real de variável real,tal que:
𝑓: 𝐷𝑓 ℝ
𝑥 𝑓(𝑥)
0.2. Equivalência e Igualdade de Funções
Sejam 𝑔 e 𝑓 duas funções de variável real,tal que:
𝑓: 𝐷𝑓 ℝ
𝑥 𝑓(𝑥)
𝑔: 𝐷𝑔 ℝ
𝑥 𝑔(𝑥)
 Duas expressões são equivalentes num dado conjunto D se, para qualquer valor deD, assumiremo mesmo valor
numérico. D é o domínio de equivalência.
 Igualdade de funções
Duas funções de variável real são iguais se têm o mesmo domínio e se quaisquer dois valores do seu domínio têm a
mesma imagem, ou seja, 𝑫 𝒇 = 𝑫 𝒈 e ∀𝒙 ∈ 𝑫 𝒇: 𝒇( 𝒙) = 𝒈( 𝒙)
1. Operações com funções
2. Composição de funções
𝑓 ∘ 𝑔 = "𝑓 𝑎𝑝ó𝑠 𝑔"
𝑔 ∘ 𝑓 = "𝑎𝑝ó𝑠 𝑓"

2. 3. Restrição e prolongamento de uma função
4. Função inversa
1. Função injetiva
 Para existir inversa de uma função, é preciso que a função seja injetiva.
2. Graficamente
Os objetos da função 𝑓−1
são as imagens da função 𝑓 e as imagens de 𝑓−1
são as imagens de 𝑓.
O gráfico de 𝑓−1
(função inversa de f) pode ser obtido a partir do
gráfico da função 𝑓 por uma simetria em relação à bissetrizdos
quadrantes ímpares (𝑦 = 𝑥).
 Se existirempontos de intercessão entre os dois gráficos,então
esses pontos pertencem à reta 𝑦 = 𝑥.

3. Noção de função inversa

3. 4. Como determinar analiticamentea inversa de uma função
5. Funções irracionais
𝑓 é uma função racional, tal que 𝑓( 𝑥) = √𝐴( 𝑥)𝑛
1. Domínio:
 Se 𝑛 for par: 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ∈ 𝐷𝐴 ∧ 𝐴( 𝑥) ≥ 0}
 Se 𝑛 for impar: 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ∈ 𝐷𝐴 }
2. Função inversa de uma função potência

4. 𝑓 é continua no seu domínio
3. Resolução de equações racionais
4. Resolução de inequações racionais
𝑥 − 4 ≥ √4𝑥 − 19 < = > 𝑥 − 4 − √4𝑥 − 19
Seja 𝑓 uma função de variável real: 𝑓( 𝑥) = 𝑥 − 4 − √4𝑥 − 19 e 𝐷𝑓 = [
19
4
; +∞[
𝑓( 𝑥) ≥ 0
𝑥 19
4
𝑓(𝑥) 3
4
+ − +
c.a. fazer a equação
𝑓( 𝑥) = 0
E determinar os seus
zeros
5 7
𝑥 = 6 = > 𝑓( 𝑥) < 0
𝑥 = 8 = > 𝑓( 𝑥) > 0
𝑓( 𝑥) ≥ 0 < = > 𝑥 ∈ [
19
4
;5] ∪ [7; +∞[

5. 6. Derivadas
1. Variação deuma função 𝑓 num intervalo [𝑎; 𝑏]
A variação de uma função 𝑓 num intervalo [ 𝑎; 𝑏]é dada por 𝑓( 𝑏) − 𝑓( 𝑎)
2. Taxa média de variação
𝑇. 𝑚. 𝑣.[ 𝑎;𝑏] =
𝑓( 𝑏) − 𝑓( 𝑎)
𝑏 − 𝑎
Graficamente:
A taxa média de variação deuma função no intervalo
[𝑎; 𝑏], geometricamente, correspondeao decliveda reta
secante ao gráfico de 𝑓 nos pontos 𝐴( 𝑎; 𝑓( 𝑎)) e
𝐵( 𝑏; 𝑓( 𝑏))
 Nota (propriedades da TMV (𝑏 > 𝑎 ⟺ 𝑏 − 𝑎 > 0)
1. 𝑇. 𝑚. 𝑣[ 𝑎;𝑏] > 0 ⟺ 𝑓( 𝑏) > 𝑓( 𝑎) 2. 𝑇. 𝑚. 𝑣[ 𝑎;𝑏] < 0 ⟺ 𝑓( 𝑏) < 𝑓( 𝑎) 3. 𝑇. 𝑚. 𝑣[ 𝑎;𝑏] = 0 ⟺ 𝑓( 𝑏) = 𝑓( 𝑎)
3. Derivada de uma função num ponto (taxa de variação) 𝑓′
𝑓′ ( 𝑎) = lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥)−𝑓( 𝑎)
𝑥−𝑎
𝑓′ ( 𝑎) = lim
ℎ→0
𝑓( 𝑎 + ℎ) − 𝑓( 𝑎)
ℎ
Geometricamente:
𝑡 é uma reta tangente (perpendicular ao raio decurvatura) ao gráfico de 𝑓 no
ponto 𝐴( 𝑎; 𝑓( 𝑎)).
 A derivada de uma função num ponto 𝑨( 𝒂; 𝒇( 𝒂)) é o declive da reta tangente ao gráfico da função no ponto
ℎ = 𝑥 − 𝑎
𝑥 = 𝑎 + ℎ
t s
𝑨( 𝒂; 𝒇( 𝒂)) – ponto de tangência do gráfico
𝑚 𝑠 =
𝑓( 𝑥) − 𝑓( 𝑎)
𝑥 − 𝑎
= 𝑇. 𝑚. 𝑣[ 𝑎;𝑥]
𝑚 𝑡 = lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) − 𝑓( 𝑎)
𝑥 − 𝑎
= 𝑓′(𝑎)
a x
a
𝑓(𝑥)