Nós divulgamos um simples e direto método de resolução de equações diferenciais parciais lineares com termos de iguais ordens e o aplicamos para resolver a equação de Euler-Tricomi. O método é mais fácil do que os métodos clássicos e, também, didático.

1. 1
Novas Informações Sobre a Equação de Euler-Tricomi
1Lohans de Oliveira Miranda; 2Lossian Barbosa Bacelar Miranda
1Universidad Europea del Atlântico, Espanha, lohansmiranda@gmail.com
2IFPI, Brazil, lossianm@gmail.com
Abstract. Nós divulgamos um simples e direto método de resolução de
equações diferenciais parciais lineares com termos de iguais ordens e o
aplicamos para resolver a equação de Euler-Tricomi. O método é mais
fácil do que os métodos clássicos e, também, didático.
1. Preliminares
A seguir, transcrevemos o já estabelecido em [2].
“Consider:
1) 𝑥
⃗ = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝐴, 𝐴 open set of ℝ𝑛
;
2) 𝑘 ∈ 𝐼𝑛 = {1, 2, 3, … , 𝑛};
3) 𝑢: 𝐴 → ℝ, differentiable function of order 𝑘, with continuous
derivatives (1)
Let us consider the “𝑘-dimensional Hessian matrix” given by
𝐻 = (
𝜕𝑘
𝑢(𝑥
⃗)
𝜕𝑥𝑖1
𝜕𝑥𝑖2
… 𝜕𝑥𝑖𝑘
) (2)
From 𝐻, let us consider the following system, being 𝑏𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗) and
𝑓𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗) differentiable functions of order 𝑘, with continuous derivatives,
and
𝑓𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
𝑏𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
being well defined in 𝐴:
(𝑏𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
𝜕𝑘
𝑢(𝑥
⃗)
𝜕𝑥𝑖1
𝜕𝑥𝑖2
… 𝜕𝑥𝑖𝑘
) = (𝑓𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)) (3)
Let us denote:
𝑔𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗) =
𝑓𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
𝑏𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
(4)
So (3) will be written as
(
𝜕𝑘
𝑢(𝑥
⃗)
𝜕𝑥𝑖1
𝜕𝑥𝑖2
… 𝜕𝑥𝑖𝑘
) = (𝑔𝑖1…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)) (5)
Observation 1. Repeated applications of the Fundamental Theorem of
Calculus for each of the 𝑛𝑘
partial differential equations
𝜕𝑘
𝑢(𝑥
⃗)
𝜕𝑥𝑖1
𝜕𝑥𝑖2
… 𝜕𝑥𝑖𝑘
= 𝑔𝑖1…𝑖𝑘
(𝑥
⃗) (6)

2. 2
give us the 𝑛𝑘
solutions
𝑢𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗) = ∭ … ∫ 𝑔𝑖1…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)𝜕𝑥𝑖1
𝜕𝑥𝑖2
… 𝜕𝑥𝑖𝑘−1
+
∑ 𝑐𝑠,𝑖1…𝑖𝑘
𝑘−1
𝑠=1
∏ 𝑥𝑖𝜃
𝑘−1
𝜃=𝑠+1
+ 𝑐𝑘−1,𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(7)
Here, the c (under indexed) are real or complex numbers. Obviously,
𝜕𝑘
𝑢𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
𝜕𝑥𝑗1
𝜕𝑥𝑗2
… 𝜕𝑥𝑗
= 𝑔𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗) (8)
if (𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑘) = (𝑗1, 𝑗2, … , 𝑗𝑘).
Now, consider the function
𝑢
̃(𝑥
⃗) = ∑ 𝑢𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
𝑖1,𝑖2,…,𝑖𝑘∈𝐼𝑛
(9)"
Agora Podemos anunciar os resultados principais.
2. Resultados principais
Novamente, transcrevemos o que foi feito em [2]:
“Proposition 1. In the hypotheses established above, if for (𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑘) ≠
(𝑗1, 𝑗2, … , 𝑗𝑘) we have
𝜕𝑘
𝑢𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
𝜕𝑥𝑗1
𝜕𝑥𝑗2
… 𝜕𝑥𝑗
= 0, (10)
then 𝑢
̃(𝑥
⃗) = ∑ 𝑢𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
𝑖1,𝑖2,…,𝑖𝑘∈𝐼𝑛
defined in (9) will be the solution of 𝑛𝑘
partial differential equations defined in (3), or alternatively in (6). In
particular, 𝑢
̃(𝑥
⃗) will be a solution of the 2𝑛𝑘
− 1 differential equations
defined by the sums of the elements of all non-empty subsets of the set
𝐵 = {
𝜕𝑘
𝑢(𝑥
⃗)
𝜕𝑥𝑖1
𝜕𝑥𝑖2
… 𝜕𝑥𝑖𝑘
; 𝑖1,𝑖2, … , 𝑖𝑘 ∈ 𝐼𝑛 } (11)
Demonstration. It is an immediate consequence of the construction of
𝑢
̃(𝑥
⃗) and of the hypothesis (𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑘) ≠ (𝑗1, 𝑗2, … , 𝑗𝑘).
Observation 2. The thesis of Proposition 1 can still be obtained even if the
assumptions established in (10) are not satisfied. To do so, it is enough
to find the unknown functions involved that satisfy the required integral
equations”.

3. 3
3. Aplicação: equação de Euler-Tricomi
Na ordem 2 o método acima estabelecido resolve as principais
equações da Física e da Tecnologia. Aqui, nós faremos uma breve
aplicação na famosa equação de Euler-Tricomi,
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝑥
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
= 0.
(
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
0
0 𝑥
𝜕2
𝑢
𝜕𝑦2
)
= (
𝑓(𝑥, 𝑦) 0
0 −𝑓(𝑥, 𝑦)
). (13)
Aqui, temos:
∬ 𝑓 𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝑘1(𝑦)𝑥 + 𝑘2(𝑦) (14)
− ∬
𝑓
𝑥
𝑑𝑦𝑑𝑦 + 𝑣(𝑥)𝑦 + 𝑣2(𝑥) (15)
𝑢
̃ = ∬ 𝑓 𝑑𝑥𝑑𝑥 − ∬
𝑓
𝑥
𝑑𝑦𝑑𝑦 + 𝑎𝑥𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑 (16)
𝜕2
𝑢
̃
𝜕𝑥2
= 𝑓 − 𝑥−3
∬ (𝑥2
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥2
− 2𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
+ 2𝑓) 𝑑𝑦𝑑𝑦 (17)
𝜕2
𝑢
̃
𝜕𝑦2
= −𝑥−1
𝑓 + ∬
𝜕2
𝑓
𝜕𝑦2
𝑑𝑥𝑑𝑥 (18)
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝑥
𝜕2
𝑢
𝜕𝑦2
= −𝑥−1
∬
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥2
𝑑𝑦𝑑𝑦 + 2𝑥−2
∬
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑦𝑑𝑦 − 2𝑥−3
∬ 𝑓 𝑑𝑦𝑑𝑦
+ 𝑥 ∬
𝜕2
𝑓
𝜕𝑦2
𝑑𝑥𝑑𝑥 (19)
A partir desta última equação, notemos que se
𝑥−1
∬
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥2
𝑑𝑦𝑑𝑦2𝑥−3
∬ 𝑓 𝑑𝑦𝑑𝑦 = 2𝑥−2
∬
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑦𝑑𝑦 + 𝑥 ∬
𝜕2
𝑓
𝜕𝑦2
𝑑𝑥𝑑𝑥 (20)
então teremos
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝑥
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
= 0.
Façamos a hipótese 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐹(𝑥)𝐺(𝑦). Então (20) equivale a
𝑥−1
𝐹′′(𝑥) + 2𝑥−3
𝐹(𝑥) − 2𝑥−2
𝐹′(𝑥)
𝑥 ∬ 𝐹(𝑥) 𝑑𝑥𝑑𝑥
=
𝐺′′(𝑦)
∬ 𝐺(𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑦
(21)
Ambos os membros desta são constantes, pois o primeiro membro só
depende de 𝑥 e o Segundo só depende de 𝑦. Seja 𝑘, essa constante. Então:
𝑥−1
𝐹′′(𝑥) + 2𝑥−3
𝐹(𝑥) − 2𝑥−2
𝐹′(𝑥) = 𝑘𝑥 ∬ 𝐹(𝑥) 𝑑𝑥𝑑𝑥 (22)

4. 4
𝐺′′(𝑦) = 𝑘 ∬ 𝐺(𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑦 (23)
Objetivando fazer uso da teoria das equações diferenciais ordinárias
lineares, façamos a seguinte notação:
𝛼(𝑥) = ∬ 𝐹(𝑥) 𝑑𝑥𝑑𝑥 (24)
𝛽(𝑦) = ∬ 𝐺(𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑦 (25)
Então, (22) e (23) poderão ser escritas como
2𝑥−3
𝛼′′(𝑥) − 2𝑥−2
𝛼′′′(𝑥) + 𝑥−1
𝛼′′′′(𝑥) = 𝑘𝑥𝛼(𝑥) (26)
𝛽′′′′(𝑦) = 𝑘𝛽(𝑦) (27)
A solução de (26), dada via Wolfram Alpha, é
𝛼(𝑥) =
𝑐1 √𝑘
12
√𝑥Γ (
2
3
) (𝐽
−
1
3
(
2
3 √𝑘
4
𝑥3/2
) + 𝐼−
1
3
(
2
3 √𝑘
4
𝑥3/2
))
√3
3 +
𝑐2 √−1
6
√𝑘
12
√𝑥Γ (
4
3
) (𝐽1
3
(
2
3 √𝑘
4
𝑥3/2
) + 𝐼1
3
(
2
3 √𝑘
4
𝑥3/2
))
22/3 √3
3 +
𝑐3𝑖 √𝑘
12
√𝑥𝛤 (
2
3
) (𝐼
−
1
3
(
2
3 √𝑘
4
𝑥3/2
) − 𝐽−
1
3
(
2
3 √𝑘
4
𝑥3/2
))
12√3
3 +
𝑐4(−1)2/3
√𝑘
12
√𝑥Γ (
4
3
) (𝐼1
3
(
2
3 √𝑘
4
𝑥3/2
) − 𝐽1
3
(
2
3 √𝑘
4
𝑥3/2
))
22/3 √3
3 (28)
sendo 𝐼𝑛(𝑧) a “modified Bessel function of the first kind”, 𝐽𝑛(𝑧) a “Bessel
function of the first kind” e Γ(x) a “gamma function”.
A solução de (27) é
𝛽(𝑦) = 𝑑2𝑒− √𝑘
4
𝑦
+ 𝑑4𝑒 √𝑘
4
𝑦
+ 𝑑3𝑠𝑒𝑛(√𝑘
4
𝑦) + 𝑑1𝑐𝑜𝑠(√𝑘
4
𝑦) (29)
Derivando (24) e (25) duas vezes encontraremos 𝐹(𝑥) = 𝛼′′(𝑥) e 𝐺(𝑦) =
𝛽′′(𝑦). Portanto, 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝛼′′(𝑥)𝛽′′(𝑦) e, finalmente, de (16):
𝑢
̃(𝑥, 𝑦) = ∬ 𝛼′′(𝑥)𝛽′′(𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑥 − ∬
𝛼′′(𝑥)𝛽′′(𝑦)
𝑥
𝑑𝑦𝑑𝑦 + 𝑎𝑥𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑 (30)
A qual equivale a
𝑢
̃(𝑥, 𝑦) = 𝛼(𝑥)𝛽′′(𝑦) −
𝛼′′(𝑥)
𝛽(𝑦)
𝑥
+ 𝑎𝑥𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑 (31)

5. 5
Conclusion
O método apresentado resolve a equação de Euler-Tricomi em
grande abrangência, com possibilidade de nove parâmetros. O método
complementa os resultados clássicos apresentados em [1]. A exposição
acima deixa claro que condições menos restritivas sobre a função 𝑓(𝑥, 𝑦),
que a separação de variáveis 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐹(𝑥)𝐺(𝑦), podem gerar outras
famílias de soluções.
References
[1]. GERALD B. FOLLAND. Introduction to Partial Differential Equations,
2nd ed. Princeton University Press, New Jersey, 1995.
[2]. MIRANDA, Lohans de O. and MIRANDA, Lossian B. B. One Solution
for Many Linear Partial Differential Equations With Terms of Equal
Orders, Journal of Nepal Mathematical Society (JNMS), Vol. 4, Issue 2
(2021).