2. CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Considere a função 𝑓 𝑥 : ℝ → ℝ tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥). Então:
Derivada: Mede a taxa de variação de 𝑓 em relação a variável
𝑥 que é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 𝑓.
Notação: 𝑓′ 𝑥 , 𝑓 𝑥 ′ ou
𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑥
A derivada 𝑓′
𝑎 é o coeficiente angular da reta que melhor aproxima a
função no ponto (𝑎, 𝑓 𝑎 ).
Diferencial:
𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑥
= 𝑓′
𝑥 ⇒ 𝑑𝑓 𝑥 = 𝑓′
𝑥 𝑑𝑥
Vamos usar o diferencial como na definição acima.
O uso da diferencial permite resolver problemas envolvendo mudança de
variáveis (como regra de cadeia e integração) com facilidade.
3. CONCEITO DE INTEGRAÇÃO
A integração é a operação que nos dá a função quando
conhecemos sua diferencial.
Considere:
Note que as funções acima:
Função Derivada Diferencial
𝑦 = 𝑥2 − 4 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
𝑦 = 𝑥2 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
𝑦 = 𝑥2
+ 1 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
𝑦 = 𝑥2
+ 𝐶 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
diferem entre si apenas no termo constante;
possuem a mesma diferencial.
4. CONCEITO DE INTEGRAÇÃO
• Dada diferencial 𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥 podemos encontrar as
infinitas funções que a produziram, através da relação
inversa.
• A integral indefinida de
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
é dada por:
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
𝑦 = 𝑥2 + 𝐶
5. CONCEITO DE INTEGRAÇÃO
Considere:
𝑑 a relação que leva a função à sua derivada;
𝑑−1
a relação inversa de 𝑑.
então 𝑑−1 leva a derivada às infinitas funções correspondentes.
6. Constante de integração
(pode assumir infinitos
valores)
Integrando
INTEGRAL INDEFINIDA
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶
Sua determinação só é possível quando se fixa uma condição
inicial.
𝐹 𝑥 + 𝐶 é a solução geral;
𝐹 𝑥 + 10 é uma solução particular
𝐶 = 10 é obtido pela fixação de uma condição inicial.
7. SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA CONSTANTE C
Problema: Determine a equação da família de curvas sabendo-se
que o declive da tangente a ela em qualquer de seus pontos é o dobro
da abcissa do ponto considerado.
O declive 𝑎 da tangente à curva é a derivada da função (curva)
no ponto considerado, logo:
𝑎 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
De acordo com o problema:
𝑎 = 2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
Integrando:
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥.
Assim,
𝑦 = 𝑥2 + 𝐶.
8. SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA CONSTANTE C
• Uma vez que
𝑦 = 𝑥2 + 𝐶
Para 𝐶 = −4, 𝑦 = 𝑥2 − 4.
Para 𝐶 = 0, 𝑦 = 𝑥2.
Para 𝐶 = 2, 𝑦 = 𝑥2 + 2.
Representação gráfica
9. A CONSTANTE C
A constante 𝐶 de integração é a altura onde a curva intercepta o
eixo das ordenadas.
Considerando o problema anterior, pede-se: Determine a
curva da família que passa pelo ponto 1, 3 .
A equação da família de curvas é: 𝑦 = 𝑥2 + 𝐶.
Da condição fixada, 𝑦 = 3 e 𝑥 = 1, então:
3 = 1 + 𝐶 ⇒ 𝐶 = 2.
Portanto a curva é a parábola:
𝑦 = 𝑥2 + 2.