Pré-Cálculo EP 12 Funções Potência

Pré-Cálculo 2020-2 EP 12 GABARITO 1 de 26
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-2
Profa. Maria Lúcia Campos
Profa. Marlene Dieguez
EP 12 – Função Potência de Expoente Racional
GABARITO
Exercício 1 Considere as potências 𝑥
3
2 , √𝑥4
5
, √𝑥7
3
.
a) Coloque essas potências em ordem crescente para 𝑥 ∊ (1 , +∞).
b) Dê os domínios, estude a paridade e esboce, num mesmo par de eixos, os gráficos das funções
𝑓(𝑥) = 𝑥
3
2 , 𝑔(𝑥) = √𝑥4
5
, ℎ(𝑥) = √𝑥7
3
.
Resolução:
a) Vamos colocar os expoentes
3
2
,
4
5
,
7
3
em ordem crescente.
Vamos provar que
4
5
< 1 <
3
2
<
7
3
. De fato,
4
5
< 1 ⇔ 4 < 5 ; 1 <
3
2
⇔ 2 < 3 ;
3
2
<
7
3
⇔ 3 × 3 < 2 × 7 ⇔ 9 < 14 .
Pelas equivalências acima e o fato das desigualdades da direita serem verdadeiras então a ordem
4
5
<
1 <
3
2
<
7
3
está correta.
Pela Propriedade 6, sabemos que se a base 𝑥 for maior que 1, quanto maior o expoente, maior será a
potência, assim temos a seguinte ordenação para 𝑥 ∊ (1 , +∞): √𝑥4
5
< 𝑥
3
2 < √𝑥7
3
.
Pela mesma Propriedade 6, √𝑥7
3
< 𝑥
3
2 < √𝑥4
5
para 𝑥 ∊ (0 , 1), pois quanto maior o expoente, menor
será a potência.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b)
• 𝑓(𝑥) = 𝑥
3
2 = √𝑥3 está definida para 𝑥 ≥ 0 , pois a raiz é de índice par e no radicando 𝑥 está
elevado a um expoente ímpar que se 𝑥 < 0 então 𝑥3
< 0. Portanto 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [0 , +∞).
• 𝑔(𝑥) = √𝑥4
5
está definida para ∀ 𝑥 ∈ ℝ , pois a raiz é de índice ímpar. Portanto 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ.
• ℎ(𝑥) = √𝑥7
3
está definida para ∀ 𝑥 ∈ ℝ , pois a raiz é de índice ímpar. Portanto 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = ℝ.
• Observe que apenas os domínios das funções 𝑔 e ℎ são simétricos em relação à origem da reta
numérica.
• Justificativa do gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥
3
2:

Como o expoente
3
2
> 1, no seu domínio [0, ∞), o gráfico de 𝑦 = 𝑔(𝑥) tem o mesmo
comportamento do gráfico da função 𝑦 = 𝑥2
, para 𝑥 ≥ 0, ou seja, a função é crescente (pela
propriedade 4) e o gráfico tem concavidade para cima (pela propriedade 5).
• 𝑔(−𝑥) = √(−𝑥)4
5
= √𝑥4
5
= 𝑔(𝑥) , ∀ 𝑥 ∈ ℝ. Isto mostra que 𝑔(𝑥) = √𝑥4
5
é uma função par.
• Justificativa do gráfico de 𝑔(𝑥) = √𝑥4
5
= 𝑥
4
5 no intervalo [0, ∞) do seu domínio:
Como o expoente 0 <
4
5
< 1, o gráfico de 𝑦 = 𝑔(𝑥) tem o mesmo comportamento do gráfico da
função 𝑦 = √𝑥, ou seja, a função é crescente (pela propriedade 4) e o gráfico tem concavidade para baixo
(pela propriedade 5)
• ℎ(−𝑥) = √(−𝑥)7
3
= √−𝑥7
3
= −√𝑥7
3
= −ℎ(𝑥). Isto
mostra que ℎ(𝑥) = √𝑥7
3
é uma função ímpar.
• Justificativa do gráfico de ℎ(𝑥) = √𝑥7
3
= 𝑥
7
3 no
intervalo [0, ∞) do seu domínio:
Como o expoente
7
3
> 1 > 0, o gráfico de 𝑦 = 𝑔(𝑥)
tem o mesmo comportamento do gráfico da função 𝑦 = 𝑥2
,
𝑥 ≥ 0 , ou seja, a função é crescente (pela propriedade 4) e
o gráfico tem concavidade para cima (pela propriedade 5)
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Exercício 2 Considere as funções 𝑓(𝑥) =
1
|𝑥|
e 𝑔(𝑥) =
1
√𝑥4
3 .
a) Dê os domínios, estude a paridade e esboce num mesmo par de eixos os gráficos dessas funções.
b) Dê os intervalos onde a função 𝑓 é maior que a função 𝑔.
c) Dê os intervalos onde a função 𝑓 é menor que a função 𝑔.
d) Dê os pontos onde as duas funções coincidem.
Resolução:
a)
• 𝑓(𝑥) =
1
|𝑥|
,. É preciso que 𝑥 ≠ 0 para que o denominador não se anule. Logo,
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞ , 0) ∪ (0 , +∞) = ℝ − {0}.
• 𝑔(𝑥) =
1
√𝑥4
3 . Temos que √𝑥4
3
está definida para ∀ 𝑥 ∈ ℝ , pois a raiz é de índice ímpar. Como
√𝑥4
3
está no denominador então temos que ter 𝑥 ≠ 0, para que o denominador não se anule.
Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−∞ , 0) ∪ (0 , +∞) = ℝ − {0}.
• 𝑓(−𝑥) =
1
|−𝑥|
=
1
|𝑥|
= 𝑓(𝑥). Lembre que |𝑥| = |−𝑥|, para ∀ 𝑥 ∈ ℝ. Como ℝ − {0} é um conjunto
simétrico relação à origem 𝑂 e 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) para ℝ − {0}, então 𝑓(𝑥) =
1
|𝑥|
é uma função par.

• Justificativa do gráfico de 𝑓(𝑥) =
1
|𝑥|
no intervalo (0, ∞) do seu domínio:
Para 𝑥 > 0, temos que |𝑥| = 𝑥, logo 𝑔(𝑥) =
1
𝑥
, para 𝑥 > 0 e já sabemos que o gráfico é um ramo da
hipérbole.
• 𝑔(−𝑥) =
1
√(−𝑥)4
3 =
1
√𝑥4
3 = 𝑔(𝑥). Como ℝ − {0} é um conjunto simétrico em relação à origem 𝑂 e
𝑔(−𝑥) = 𝑔(𝑥) para ℝ − {0}, então 𝑔(𝑥) =
1
√𝑥4
3 é uma função par.
• Justificativa do gráfico de 𝑔(𝑥) =
1
√𝑥4
3 = 𝑥−
4
3 no intervalo
(0, ∞) do seu domínio:
Como o expoente −
4
3
< 0, o gráfico de 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 𝑥−
4
3
tem o mesmo comportamento do gráfico da função 𝑦 =
1
𝑥
, 𝑥 > 0 , ou seja, a função é decrescente (pela
propriedade 4) e o gráfico tem concavidade para cima
(pela propriedade 5)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) c) d)Para 𝑥 > 0, |𝑥| = 𝑥 e 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
= 𝑥−1
Logo, para 𝒙 > 0 temos as seguintes potências: 𝑥−1
e 𝑥−
4
3.
Para 𝒙 > 1, 𝑥−
4
3 < 𝑥−1
, pois −
4
3
< −1 e a base 𝒙 > 1. (Propriedade 6)
Para 𝟎 < 𝑥 < 1, 𝑥−1
< 𝑥−
4
3 , pois −
4
3
< −1 e a base 𝟎 < 𝑥 < 1. (Propriedade 6)
Temos que 𝑓(1) =
1
|1|
= 1 e 𝑔(1) =
1
√14
3 = 1.
Portanto, para 𝒙 > 0:
𝑓(𝑥) = 𝑥−1
< 𝑥−
4
3 = 𝑔(𝑥) ⇒ 𝒇(𝒙) < 𝑔(𝑥) , para 𝟎 < 𝑥 < 1 e
𝑔(𝑥) = 𝑥−
4
3 < 𝑥−1
= 𝑓(𝑥) ⇒ 𝒈(𝒙) < 𝑓(𝑥) , para 𝒙 > 1.
Como 𝑓 e 𝑔 são funções pares então:
𝑓(𝑥) = 𝑥−1
< 𝑥−
4
3 = 𝑔(𝑥) ⇒ 𝒇(𝒙) < 𝑔(𝒙) , para −𝟏 < 𝑥 < 0 e
𝑔(𝑥) = 𝑥−
4
3 < 𝑥−1
= 𝑓(𝑥) ⇒ 𝒈(𝒙) < 𝑓(𝒙) , para 𝒙 < −1.
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Exercício 3 Encontre os intervalos da reta real para os quais as expressões a seguir estão bem
definidas para todo 𝑥 nesses intervalos:
a) (𝑥 − 1)
4
9 b) (𝑥 − 1)
−4
9 c) (𝑥 − 1)
9
4 d) (𝑥 − 1)
−9
4
e) (𝑥 − 1)4,2
f) (𝑥 − 1)4,3
g) (𝑥 − 1)4,2
h) (𝑥 − 1)4,25
Resolução:

Vamos lembrar que:
• 𝑆𝑒 𝑎 ∈ ℝ , 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟 , 𝑎𝑛
≥ 0 ⇔ 𝑎 ≥ 0 .
• ∀ 𝑎 ∈ ℝ , 𝑛 𝑝𝑎𝑟 , 𝑎𝑛
≥ 0
a) 𝑦 = (𝑥 − 1)
4
9 = √(𝑥 − 1)4
9
. Como a raiz é de índice ímpar, (𝑥 − 1)4
pode ser qualquer número
real, portanto (𝑥 − 1)
4
9 está definida para ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) 𝑦 = (𝑥 − 1)−4
9 =
1
(𝑥−1)
4
9
=
1
√(𝑥−1)4
9 . . Como a raiz é de índice ímpar, (𝑥 − 1)4
pode ser qualquer
número real. Mas, como √(𝑥 − 1)4
9
está no denominador, 𝑥 − 1 ≠ 0 , donde 𝑥 ≠ 1 . Portanto
(𝑥 − 1)−4
9 está definida para ∀ 𝑥 ∈ ℝ − {1}.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c) 𝑦 = (𝑥 − 1)
9
4 = √(𝑥 − 1)9
4
. Como a raiz é de índice par, (𝑥 − 1)9
deve ser positivo ou nulo. Logo,
(𝑥 − 1)9
≥ 0 ⇔ 𝑥 − 1 ≥ 0 ⇔ 𝑥 ≥ 1 . Portanto (𝑥 − 1)
9
4 está definida para ∀ 𝑥 ∈
[1 , +∞).
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
d) 𝑦 = (𝑥 − 1)
−9
4 =
1
(𝑥−1)
9
4
=
1
√(𝑥−1)9
4 . Como a raiz é de índice par, (𝑥 − 1)9
deve ser positivo ou
nulo. Logo, (𝑥 − 1)9
≥ 0 ⇔ 𝑥 − 1 ≥ 0 ⇔ 𝑥 ≥ 1 . Mas, (𝑥 − 1)9
está no denominador e,
portanto, deve ser diferente de zero. Logo, (𝑥 − 1)9
≠ 0 ⇔ 𝑥 − 1 ≠ 0 ⇔ 𝑥 ≠ 1 . Portanto
(𝑥 − 1)
−9
4 está definida para ∀ 𝑥 ∈ (1 , +∞).
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
e) 𝑦 = (𝑥 − 1)4,2
= (𝑥 − 1)
42
10 = (𝑥 − 1)
21
5 = √(𝑥 − 1)21
5
pode ser qualquer número real. Portanto, (𝑥 − 1)4,2
está definida para ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f) 𝑦 = (𝑥 − 1)4,3
= (𝑥 − 1)
43
10 = √(𝑥 − 1)43
10
. Como a raiz é de índice par, (𝑥 − 1)43
deve ser
positivo ou nulo. Logo, (𝑥 − 1)43
≥ 0 ⇔ 𝑥 − 1 ≥ 0 ⇔ 𝑥 ≥ 1 . Portanto (𝑥 − 1)4,3
está
definida para ∀ 𝑥 ∈ [1 , +∞).
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
g) 𝑦 = (𝑥 − 1)4,2
.
Talvez você nunca tenha visto essa notação de dízimas periódicas: 4, 2 = 4,2222 …
Vamos escrever 4, 2 na forma
𝑝
𝑞
, onde 𝑝 , 𝑞 são números inteiros, primos entre si.
Fazendo 𝑧 = 4,222 …, temos 10 ∙ 𝑧 = 42,222 …. Logo, 10𝑧 − 𝑧 = 42,222 … − 4,222 … = 38.

Assim, 9𝑧 = 38 ⇒ 𝑧 =
38
9
.
Logo, 𝑦 = (𝑥 − 1)4,2
= (𝑥 − 1)
38
9 = √(𝑥 − 1)38
9
pode ser
qualquer número real, portanto (𝑥 − 1)4,2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
h) 𝑦 = (𝑥 − 1)4,25
Lembre que 4, 25 = 4,25252525 …,
Vamos escrever 4, 25 na forma
𝑝
𝑞
, onde 𝑝 , 𝑞 são números inteiros, primos entre si.
Fazendo 𝑧 = 4,2525 …, temos 100. 𝑧 = 425,2525 …. Logo,
100. 𝑧 − 𝑧 = 425,2525 … − 4,2525 … = 421.
Assim, 99𝑧 = 421 ⇒ 𝑧 =
421
99
.
Logo, 𝑦 = (𝑥 − 1)4,25
= (𝑥 − 1)
421
99 = √(𝑥 − 1)421
99
pode
ser qualquer número real, portanto (𝑥 − 1)4,25
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Exercício 4
Considere os gráficos abaixo. Admita que sejam gráficos de funções com expoente constante e inteiro. O
domínio e o contradomínio dessas funções são subconjuntos dos reais e o contradomínio coincide com
a imagem.
𝒇(𝒙) = 𝒙𝒂
𝒕(𝒙) = 𝒙𝒎
𝒉(𝒙) = 𝒙𝒄
𝒈(𝒙) = 𝒙𝒃
𝒔(𝒙) = 𝒙𝒌
𝒋(𝒙) = 𝒙𝒅
a) Para cada função, diga se o expoente é par ou se o expoente é impar.
b) Para cada função, diga se o expoente é positivo, negativo ou nulo.

c) Sabendo-se que gráficos de funções injetoras só podem ser cortados uma única vez por retas
horizontais, diga quais dos gráficos representam funções injetoras.
d) Diga para quais subintervalos dos seus domínios as funções são crescentes, decrescentes ou
constantes.
e) Considerando como domínio o conjunto dos números reais ou o conjunto dos reais sem o zero,
identifique quais dessas funções admite inversa. Encontre a expressão da inversa.
f) Para as funções do item anterior que não admitem inversa, encontre, se possível, um subconjunto
𝐴 no qual a função admite inversa. Encontre a expressão da função inversa nesse subconjunto.
g) Lembrando que o gráfico da função inversa é o simétrico do gráfico da função direta em relação à
reta 𝑦 = 𝑥 , esboce o gráfico da cada inversa dos itens e) e f).
Resolução:
a)
• 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑎
tem expoente ímpar, pois se fosse par, 𝑓(𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥 no seu domínio.
• 𝑡(𝑥) = 𝑥𝑚
tem expoente nulo, pois 𝑡(𝑥) = 1 = 𝑥0
, portanto tem expoente par.
• ℎ(𝑥) = 𝑥𝑐
tem expoente par, pois ℎ(𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥 no seu domínio.
• 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑏
tem expoente ímpar, pois se fosse par, 𝑔(𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥 no seu domínio.
• 𝑠(𝑥) = 𝑥𝑘
tem expoente ímpar, pois se fosse par, 𝑠(𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥 no seu domínio.
• 𝑗(𝑥) = 𝑥𝑑
tem expoente par, pois 𝑗(𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥 no seu domínio.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b)
• 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑎
tem expoente positivo, pois está definida para ∀ 𝑥 ∈ ℝ. Se o expoente fosse negativo,
a função não estaria definida para 𝑥 = 0.
• 𝑡(𝑥) = 𝑥𝑚
tem expoente nulo, pois 𝑡(𝑥) = 1 = 𝑥0
.
• ℎ(𝑥) = 𝑥𝑐
• 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑏
tem expoente negativo, pois a função não está definida para 𝑥 = 0.
• ℎ(𝑥) = 𝑥𝑐
• 𝑠(𝑥) = 𝑥𝑘
• 𝑗(𝑥) = 𝑥𝑑
tem expoente negativo, pois a função não está definida para 𝑥 = 0.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c) As funções 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑎
, 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑏
, 𝑠(𝑥) = 𝑥𝑘
são injetoras, pois seus gráficos atendem o
“Teste da Reta Horizontal”.
Já as funções ℎ(𝑥) = 𝑥𝑐
, 𝑡(𝑥) = 𝑥𝑚
, 𝑗(𝑥) = 𝑥𝑑
não são injetoras, pois seus gráficos não são
“aprovados” no “Teste da Reta Horizontal”.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

d)
• A função 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑎
é sempre crescente.
• A função 𝑡(𝑥) = 𝑥𝑚
é constante, 𝑡(𝑥) = 1 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
• A função ℎ(𝑥) = 𝑥𝑐
é decrescente no intervalo (−∞, 0] e é crescente no intervalo [0, +∞).
• A função 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑏
é decrescente nos intervalos ( −∞, 0) e ( 0, +∞).
• A função 𝑠(𝑥) = 𝑥𝑘
é sempre crescente.
• A função 𝑗(𝑥) = 𝑥𝑑
crescente no intervalo ( −∞, 0) e é decrescente no intervalo ( 0, +∞).
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
e) As funções que admitem inversa são: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒂
, 𝒈(𝒙) = 𝒙𝒃
, 𝒔(𝒙) = 𝒙𝒌
. Note que os
gráficos dessas funções são “aprovados” no Teste da Reta Horizontal”.
• 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒂
, 𝒂 > 0 , 𝑎 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 , 𝒙 ∈ ℝ
𝑦 = 𝑥𝑎
⇔ 𝑦
1
𝑎 = (𝑥𝑎
)
1
𝑎 ⇔ 𝑦
1
𝑎 = 𝑥 ⇔ 𝑦
1
𝑎 = 𝑥 ⇔ 𝑥 = 𝑦
1
𝑎 = √𝑦
𝑎
. Logo, a expressão da
inversa é 𝑓−1(𝑦) = 𝑦
1
𝑎 = √𝑦
𝑎
ou 𝑓−1(𝑥) = 𝑥
1
𝑎 = √𝑥
𝑎
.
Exemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑥5
, 5 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 , 5 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 , 𝑥 ∈ ℝ.
A expressão da inversa é
𝑓−1(𝑥) = 𝑥
1
5 = √𝑥
5
, 𝑥 ∈ ℝ.
• 𝒈(𝒙) = 𝒙𝒃
, 𝒃 < 0 , 𝑏 é í𝑚𝑝𝑎𝑟 , 𝒙 ∈ ℝ − {𝟎}.
𝑦 = 𝑥𝑏
⇔ 𝑦
1
𝑏 = (𝑥𝑏
)
1
𝑏 ⇔ 𝑦
1
𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑦
1
𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑥 = 𝑦
1
𝑏 .
Mas, 𝑏 < 0 , segue que, 𝑏 < 0 ⇔ −𝑏 > 0 , 𝑏 = −(−𝑏) . Assim, 𝑥 = 𝑦
1
𝑏 = 𝑦
1
−(−𝑏) =
= 𝑦−
1
−𝑏 =
1
𝑦
1
−𝑏
=
1
√𝑦
(−𝑏) .
Logo, a expressão da inversa é: 𝑔−1(𝑦) = 𝑦
1
𝑏 =
1
√𝑦
(−𝑏) ou 𝑔−1(𝑥) =
1
√𝑥
(−𝑏) .
Exemplo: 𝑔(𝑥) = 𝑥−5
, − 5 < 0 , −5 é í𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑥 ∈ ℝ − {0}.
𝑔−1(𝑦) = 𝑦
1
−5 =
1
√𝑦
5 ou 𝑔−1(𝑥) =
1
√𝑥
5
• 𝒔(𝒙) = 𝒙𝒌
, 𝒌 > 0 , 𝒌 é í𝒎𝒑𝒂𝒓 , 𝒙 ∈ ℝ .

A função 𝒇 tem essas mesmas características, portanto, a expressão da inversa da função 𝒔 é 𝑠−1(𝑦) =
𝑦
1
𝑘 = √𝑦
𝑘
ou 𝑠−1(𝑥) = 𝑥
1
𝑘 = √𝑥
𝑘
.
Observe que, que 𝒌 = 𝟏, o gráfico da função 𝒔 é uma reta que
passa pelos pontos (0,0) 𝑒 (1,1).
Assim, 𝑠(𝑥) = 𝑥 e 𝑠−1(𝑥) = 𝑥
1
1 = 𝑥. Portanto,
𝑠(𝑥) = 𝑠−1(𝑥) , ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f) As funções 𝑡 , ℎ , 𝑗 não admitem inversa, seus gráficos “não são aprovados” no “teste da Reta
Horizontal”.
• 𝒕(𝒙) = 𝟏 = 𝒙𝟎
. Seu gráfico é uma reta paralela ao eixo 𝑂𝑥 e passa pelo ponto (0 , 1).Em qualquer
subconjunto dos reais, a função 𝑡(𝑥) = 1 não será injetora, logo não será possível encontrar um
subconjunto dos reais onde a função admite inversa.
• 𝒉(𝒙) = 𝒙𝒄
, 𝑐 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 , 𝑐 𝑝𝑎𝑟 , é decrescente no intervalo (−∞ 0] e é crescente no intervalo
[0, +∞).
Para inverter a função ℎ , podemos escolher, por exemplo, o intervalo onde ℎ é decrescente, que é o
intervalo (−∞, 0] ou escolher o intervalo onde ℎ é crescente, que é o intervalo [0, +∞).
Vamos escolher o intervalo onde ℎ é decrescente, o intervalo (−∞, 0]:
Temos que 𝑦 = 𝑥𝑐
⇔ 𝑦
1
𝑐 = (𝑥𝑐
)
1
𝑐
𝑐 é 𝑝𝑎𝑟
⇔ 𝑦
1
𝑐 = | 𝑥 |
𝑥<0
⇔ 𝑦
1
𝑐 = −𝑥 ⇔ 𝑥 = − 𝑦
1
𝑐 .
Portanto a inversa é ℎ−1(𝑦) = − 𝑦
1
𝑐 = −√𝑦
𝑐
. Na variável 𝑥 , podemos escrever ℎ−1(𝑥) = −√𝑥
𝑐
.
Exemplo: ℎ(𝑥) = 𝑥4
, 4 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 , 4 é 𝑝𝑎𝑟 ,
𝑥 ∈ (−∞ 0].
ℎ−1(𝑥) = −√𝑥
4
, 𝑥 ∈ [0 , +∞).
• 𝑗(𝒙) = 𝒙𝒅
, 𝑑 < 0 , 𝑑 𝑝𝑎𝑟 , é crescente no intervalo ( −∞, 0) e é decrescente no intervalo
( 0, +∞).
Para inverter a função 𝑗 , podemos escolher, por exemplo, o intervalo onde 𝑗 é decrescente, que é o
intervalo (0 , +∞) ou escolher o intervalo onde ℎ é crescente, que é o intervalo (−∞ , 0):.

Vamos escolher o intervalo onde 𝑗 é crescente, o intervalo (−∞ 0):
Temos que 𝑦 = 𝑥𝑑
⇔ 𝑦
1
𝑑 = (𝑥𝑑
)
1
𝑑
𝑑 é 𝑝𝑎𝑟
⇔ 𝑦
1
𝑑 = | 𝑥 |
𝑥<0
⇔ 𝑦
1
𝑑 = −𝑥 ⇔ 𝑥 = − 𝑦
1
𝑑 .
Mas, 𝑑 < 0 , segue que, 𝑑 < 0 ⇔ −𝑑 > 0 , 𝑑 = −(−𝑑) . Assim, 𝑥 = − 𝑦
1
𝑑 = − 𝑦
1
−(−𝑑) =
= − 𝑦−
1
−𝑑 = −
1
𝑦
1
−𝑑
= −
1
√𝑦
(−𝑑) .
Logo, a expressão da inversa é: 𝑗−1(𝑦) = − 𝑦
1
𝑑 = −
1
√𝑦
(−𝑑) ou 𝑗−1(𝑥) = −
1
√𝑥
(−𝑑) .
Exemplo: 𝑗(𝒙) = 𝒙−𝟒
, −4 < 0 , −4 é 𝑝𝑎𝑟 , 𝑥 ∈ (−∞ 0).
A expressão da inversa é 𝑗−1(𝑦) = − 𝑦
1
−4 = − 𝑦−
1
4 =
−
1
√𝑦
4 ou 𝑗−1(𝑥) = −
1
√𝑥
4 ..
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

g)
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Exercício 5 Estão esboçados, ao lado, os gráficos de:
𝑦 = 𝑥−6
; 𝑦 = 𝑥−2
; 𝑦 = 𝑥−1
; 𝑦 = 𝑥−3
𝑦 = 𝑥0
; 𝑦 = 𝑥1
; 𝑦 = 𝑥3
; 𝑦 = 𝑥13
; 𝑦 = 𝑥6
.
Para os valores de 𝑥 do domínio de cada função,
identifique os gráficos nos seguintes intervalos;
a) 𝑥 ≥ 1 b) 0 ≤ 𝑥 < 1
c) 𝑥 ≤ −1 d) −1 < 𝑥 < 0
Resolução:

A ordem das funções nos intervalos (1, ∞) e (0, 1) são dadas pela Propriedade 3:
Se 𝒙 > 1 então −𝟔 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 3 < 6 < 13 ⇒
𝒙−𝟔
< 𝒙−𝟑
< 𝒙−𝟐
< 𝒙−𝟏
< 𝒙𝟎
< 𝒙𝟏
< 𝒙𝟑
< 𝒙𝟔
< 𝒙𝟏𝟑
Se 𝟎 < 𝒙 < 1 então −𝟔 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 3 < 6 < 13 ⇒
𝒙𝟏𝟑
< 𝒙𝟔
< 𝒙𝟑
< 𝒙𝟏
< 𝒙𝟎
< 𝒙−𝟏
< 𝒙−𝟐
< 𝒙−𝟑
< 𝒙−𝟔
Usamos a paridade das funções para identificar os gráficos nos intervalos (−∞ , −1) e (−1 , 0).
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Exercício 6
a) Escreva em ordem crescente a seguinte lista de números racionais:
1
2
;
2
3
;
3
5
;
5
4
;
6
4
;
4
6
;
1
2
; 0 ; 1 ; −1 ; −
8
12
; −
1
2
; −
2
5
; −
7
4
; −
12
8
; −
5
2
b) Considere as funções com domínio e contradomínio contidos em ℝ , dadas a seguir:
𝑦 = 𝑥
1
2 ; 𝑦 = 𝑥
2
3 ; 𝑦 = 𝑥
3
5 ; 𝑦 = 𝑥
5
4 ; 𝑦 = 𝑥
6
4 ; 𝑦 = 𝑥
4
6 ; 𝑦 = 𝑥 ; 𝑦 = 1 = 𝑥0
Considerando 𝑥 no domínio de cada função, esboce os gráficos dessas funções. Para cada um dos
intervalos a seguir, faça os gráficos de todas as funções em uma única figura.
i). 𝑥 ∈ [1 , +∞) ii). 𝑥 ∈ [0 , 1) iii). 𝑥 ∈ (−∞ , −1] iv). 𝑥 ∈ (−1, 0)
c) Considere as funções com domínio e contradomínio contidos em ℝ , dadas a seguir:
𝑦 = 𝑥− 8
12 ; 𝑦 = 𝑥−1
2 ; 𝑦 = 𝑥−2
5 ; 𝑦 = 𝑥−7
4 ; 𝑦 = 𝑥−5
2 ; 𝑦 = 𝑥−12
8 ; 𝑦 = 𝑥−1
; 𝑦 = 1 = 𝑥0
Considerando 𝑥 no domínio de cada função, esboce os gráficos dessas funções. Para cada um dos
intervalos a seguir, faça os gráficos de todas as funções em uma única figura.
i). 𝑥 ∈ [1 , +∞) ii). 𝑥 ∈ [0 , 1) iii). 𝑥 ∈ (−∞ , −1] iv). 𝑥 ∈ (−1, 0)
Resolução:
a) Dada a sequência,
1
2
;
2
3
;
3
5
;
5
4
;
6
4
;
4
6
;
1
2
; 0 ; 1 ; −1 ; −
8
12
; −
1
2
; −
2
5
; −
7
4
; −
12
8
; −
5
2
,
observe que:
6
4
=
3
2
,
4
6
=
2
3
, −
8
12
= −
2
3
, −
12
8
= −
3
2
Portanto podemos trabalhar com a sequência:
1
2
;
2
3
;
3
5
;
5
4
;
3
2
; 0 ; 1 ; −1 ; −
2
3
; −
1
2
; −
2
5
; −
7
4
; −
3
2
; −
5
2
Colocando em ordem:
−
5
2
< −
7
4
< −
3
2
< −1 < −
2
3
< −
1
2
< −
2
5
< 0 <
1
2
<
3
5
<
2
3
< 1 <
5
4
<
3
2
.
Para colocar em ordem usamos a seguinte propriedade dos números reais:
𝑎
𝑏
<
𝑐
𝑑
⇔ 𝑎 × 𝑑 < 𝑏 × 𝑐 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑑 ∈ ℝ , 𝑏𝑑 > 0
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) Considere as funções com domínio e contradomínio contidos em ℝ , dadas a seguir:

𝑦 = 𝑥
1
2 ; 𝑦 = 𝑥
2
3 ; 𝑦 = 𝑥
3
5 ; 𝑦 = 𝑥
5
4 ; 𝑦 = 𝑥
6
4 ; 𝑦 = 𝑥
4
6 ; 𝑦 = 𝑥 ; 𝑦 = 1 = 𝑥0
i). 𝑥 ∈ [1 , +∞)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ii). 𝑥 ∈ [0 , 1)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

iii). 𝑥 ∈ (−∞ , −1]
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
iv). 𝑥 ∈ (−1, 0)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

c)
i). 𝑥 ∈ [1 , +∞)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ii). 𝑥 ∈ [0 , 1)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

iii). 𝑥 ∈ (−1, 0)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
iv). 𝑥 ∈ (−∞ , −1]
____________________________________________________________________________________

Exercício 7 Quais das seguintes afirmações são verdadeiras? Quais são falsas? Justifique!
a) 20,3
< 20,4
b) (
1
2
)
0,5
< (
1
2
)
0,6
c) 30
< 30,2
d) (
1
3
)
7
4
> (
1
3
)
1,4
e) 𝜋−2
< 𝜋2
f) (
1
5
)
−5
> (
1
5
)
5
g) 3−
1
5 > 1 h) (
3
7
)
−1,5
< 1
i) (
1
7
)
2
> 1 j) 3−0,0001
< 0 k) √11
3
< √5 l) √2 < √3
3
Resolução:
a) 20,3
< 20,4
Pela Propriedade 4(a):
Se a base 𝑏 = 2 > 1 e os expoentes 0,3 < 0,4 então 20,3
< 20,4
.
Essa propriedade também pode ser escrita como: para base maior do que 1, se os expoentes crescem
então a base elevada aos expoentes também crescem.
Portanto a desigualdade é verdadeira.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) (
1
2
)
0,5
< (
1
2
)
0,6
Pela Propriedade 4(b):
Se a base 𝑏 =
1
2
, 0 < 𝑏 < 1 e os expoentes 0,5 < 0,6 então (
1
2
)
0,5
> (
1
2
)
0,6
.
Essa propriedade também pode ser escrita como: para base maior do que 0 e menor do que 1, se os
expoentes crescem então a base elevada aos expoentes decrescem.
Portanto a desigualdade é falsa.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c) 30
< 30,2
Verdadeira, pois a base é maior do que 1 e os expoentes estão em ordem crescente.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
d) (
1
3
)
7
4
> (
1
3
)
1,4
Sabemos que
7
4
= 1,75 > 1,4. Pela Propriedade 4(b):
Se a base 𝑏 =
1
3
, 0 < 𝑏 < 1 e os expoentes 1,4 <
7
4
então (
1
3
)
1,4
> (
1
3
)
1,75
.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
e) 𝜋−2
< 𝜋2
.
Verdadeira, pois a base 𝑏 = 𝜋 > 1 é maior do que 1 e os expoentes estão em ordem crescente (−2 <
2).
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

f) (
1
5
)
−5
> (
1
5
)
5
Verdadeira, pois pela Propriedade 4(b):
Se a base 𝑏 =
1
5
, 0 < 𝑏 < 1 e os expoentes −5 < 5 então (
1
5
)
−5
> (
1
5
)
5
.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
g) 3−
1
5 > 1
Sabemos que 1 = 30
, a base 𝑏 = 3 > 1, e os expoentes −1 < 0, logo 3−
1
5 < 30
= 1.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
h) (
3
7
)
−1,5
< 1
Sabemos que 1 = 30
, a base 𝑏 =
3
7
, 0 < 𝑏 < 1, e os expoentes −1,5 < 0, logo (
3
7
)
−1,5
> (
3
7
)
0
= 1.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
i) (
1
7
)
2
> 1
(
1
7
)
2
=
1
72
, mas 72
> 1 ⟹
1
72
< 1 . Portanto a desigualdade é falsa.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
j) 3−0,0001
< 0
3−0,0001
=
1
30.0001
e sabemos que 3 > 0 ⟹ 30.0001
> 0 ⟹
1
30.0001
> 0 ⟹ 3−0,0001
> 0.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
k) √11
3
< √5
Sabemos que a função 𝑦 = 𝑥6
é crescente no intervalo [0, ∞), √11
3
> 0 e √5 > 0 , logo:
√11
3
< √5 ⟺ (√11
3
)
6
< (√5)
6
⟺ (11
1
3)
6
< (5
1
2)
6
⟺ 112
< 53
⟺ 121 < 125.
Essa última desigualdade é claramente verdadeira. Como há equivalência entre as desigualdades,
conclui-se que a primeira desigualdade também é verdadeira.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
l) √2 < √3
3
Sabemos que a função 𝑦 = 𝑥6
é crescente no intervalo [0, ∞), √3
3
> 0 e √2 > 0 , logo:
√2 < √3
3
⟺ (√2)
6
< (√3
3
)
6
⟺ (2
1
2)
6
< (3
1
3)
6
⟺ 23
< 32
⟺ 8 < 9.

Essa última desigualdade é claramente verdadeira. Como há equivalência entre as desigualdades,
conclui-se que a primeira desigualdade também é verdadeira.
____________________________________________________________________________________
Exercício 8 Resolva as equações. Dê a resposta na forma mais simples possível.
a) (4𝑥2
− 1)
3
4 = 27 b) 6𝑥
1
2 − 𝑥
1
4 = 1 (Sugestão: use a substituição 𝑢 = 𝑥
1
4 ).
Resolução:
a) (4𝑥2
− 1)
3
4 = 27 ⟺ (4𝑥2
− 1)
3
4 = 33
⟺ ((4𝑥2
− 1)
3
4)
4
3
= (33)
4
3 ⟺ 4𝑥2
− 1 =
34
⟺ 4𝑥2
= 81 + 1 ⟺ 4𝑥2
= 82 ⟺ 𝑥2
=
41
2
⟺ 𝑥 = √
41
2
ou 𝑥 = −√
41
2
.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) 6𝑥
1
2 − 𝑥
1
4 = 1
Usando a substituição sugerida, 𝑢 = 𝑥
1
4, temos também que 𝑢2
= (𝑥
1
4)
2
= 𝑥
1
2 .
Logo a equação em 𝑢 fica 6𝑢2
− 𝑢 = 1. Resolvendo,
6𝑢2
− 𝑢 = 1 ⟺ 6𝑢2
− 𝑢 − 1 = 0 ⟺ 𝑢 =
1±√1+24
2∙6
=
1±5
12
⟺ 𝑢 =
1
2
𝑜𝑢 𝑢 = −
4
12
= −
1
3
Quando 𝑢 =
1
2
, temos 𝑥
1
4 =
1
2
. Resolvendo, (𝑥
1
4)
4
= (
1
2
)
4
⟺ 𝑥 =
1
24 ⟺ 𝑥 =
1
16
Quando 𝑢 = −
1
3
, temos 𝑥
1
4 = −
1
3
. , não há solução real.
Logo a única solução da equação é 𝑥 =
1
16
.
____________________________________________________________________________________
Exercício 9 Dê o domínio e esboce o gráfico das funções a seguir. Explique, usando transformações em
gráficos de funções, como obter o gráfico dessas expressões a partir do gráfico da primeira delas.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥−
3
5 b) 𝑔(𝑥) = 𝑥−
3
5 − 1 c) 𝑗(𝑥) = (−𝑥)−
3
5
d) ℎ(𝑥) = |𝑥|−
3
5 e) 𝑘(𝑥) = (2 − 𝑥)−
3
5 f) 𝑙(𝑥) = (2 + |𝑥|)−
3
5
g) 𝑟(𝑥) = −(𝑥 + 1)−
3
5 + 1

Resolução:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥−
3
5 =
1
𝑥
3
5
=
1
√𝑥3
5
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {0} .
Esta função é uma função ímpar:
𝑓(−𝑥) =
1
√(−𝑥)3
5 =
1
√−(𝑥)3
5 =
1
− √𝑥3
5 = =
−
1
√𝑥3
5 = −𝑓(𝑥).
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) 𝑔(𝑥) = 𝑥−
3
5 − 1 =
1
√𝑥3
5 − 1
𝑓(𝑥) = 𝑥−
3
5
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
⇒ 𝑔(𝑥) = 𝑥−
3
5 − 1
𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ − {0}. Esta função não é par nem ímpar.
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
⇒
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

c) 𝑗(𝑥) = −𝑥−
3
5 = −
1
√𝑥3
5 = −𝑓(𝑥)
𝐷𝑜𝑚(𝑗) = ℝ − {0}
Esta função é uma função ímpar:
𝑗(−𝑥) = −𝑓(−𝑥) = −(− 𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝑥) = −𝑗(𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑥−
3
5
𝑅𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜
𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑂𝑥
⇒ − 𝑓(𝑥) = −𝑥−
3
5 = 𝑗(𝑥)
⇒
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
d) ℎ(𝑥) = |𝑥|−
3
5 = {
𝑥−
3
5 , 𝑠𝑒 𝑥 > 0
(−𝑥)−
3
5 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0
= {
𝑥−
3
5 , 𝑠𝑒 𝑥 > 0
−(𝑥−
3
5 ) , 𝑠𝑒 𝑥 < 0
Podemos pensar também que, modular a variável 𝑥 , significa:
• Manter o gráfico da função original 𝑦 = 𝑥−
3
5 para os pontos com abscissa 𝑥 ≥ 0 .
• Refletir a parte do gráfico com pontos de abscissa 𝑥 ≥ 0 em torno do eixo 𝑂𝑦.
Observe que a parte do gráfico original cujos pontos têm abscissa 𝑥 < 0 não é usada quando
modulamos a variável 𝑥.
ℎ(𝑥) = |𝑥|−
3
5 =
1
|𝑥|
3
5
. 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = ℝ − {0} . A função ℎ(𝑥) = |𝑥|−
3
5 é uma função par:
ℎ(−𝑥) = |−𝑥|−
3
5 = |𝑥|−
3
5 = ℎ(𝑥) , pois |−𝑥| = |𝑥| , 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
𝑓(𝑥) = 𝑥−
3
5
𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥
⇒ ℎ(𝑥) = |𝑥|−
3
5

𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑟
𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑥
⇒
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
e) 𝑘(𝑥) = (2 − 𝑥)−
3
5 = −(𝑥 − 2)−
3
5 = −
1
(𝑥−2)
3
5
Esta função não é par nem ímpar. Para que
1
(𝑥−2)
3
5
possa ser calculada é preciso que 𝑥 − 2 ≠ 0 para
que o denominador não se anule. Logo, devemos ter 𝑥 ≠ 2. Assim 𝐷𝑜𝑚(𝑘) = ℝ − {2}
Uma possível sequência de transformação é a seguinte:
𝑓(𝑥) = 𝑥−
3
5
⇒ 𝑦 = −𝑥−
3
5 = −𝑓(𝑥)
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
𝑑𝑒 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
⇒ 𝑘(𝑥) = −(𝑥 − 2)−
3
5
𝑅𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜
⇒

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
⇒
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f) 𝑙(𝑥) = (2 + |𝑥|)−
3
5 = {
(2 + 𝑥)−
3
5 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
(2 − 𝑥)−
3
5 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0
= {
(2 + 𝑥)−
3
5 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
(−(𝑥 − 2))−
3
5 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0
=
= {
(𝑥 + 2)−
3
5 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−(𝑥 − 2)−
3
5 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0
Como 2 + |𝑥| ≥ 2 , 𝑝𝑜𝑖𝑠 |𝑥| ≥ 0 então 𝐷𝑜𝑚(𝑙) = ℝ.
1ª. Forma de resolver:
Vamos esboçar os gráficos das funções:
1) 𝑙1(𝑥) = (𝑥 + 2)−
3
5 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 0 2) 𝑙2(𝑥) = −(𝑥 − 2)−
3
5 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 0
Para a função 1):
𝑓(𝑥) = 𝑥−
3
5
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
⇒ 𝑙1(𝑥) = (𝑥 + 2)−
3
5. Para 𝑥 ≥ 0
Para a função 2):
Observe que 𝑙2(𝑥) = −(𝑥 − 2)−
3
5 = 𝑘(𝑥) do item e). Neste caso vamos usar 𝑥 < 0

⇒

Finalmente, o gráfico de
𝑙(𝑥) = (2 + |𝑥|)−
3
5
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2ª. Forma de resolver:
𝑓(𝑥) = 𝑥−
3
5
⇒ 𝑙1(𝑥) = (𝑥 + 2)−
3
5
⇒ 𝑙(𝑥) = (2 + |𝑥|)−
3
5
⇒
⇒
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

g) 𝑟(𝑥) = −(𝑥 + 1)−
3
5 + 1 = 1 −
1
(𝑥+1)
3
5
Para que 𝑟(𝑥) = 1 −
1
(𝑥+1)
3
5
possa ser calculada é preciso que 𝑥 + 1 ≠ 0 , para que o denominador
não se anule. Assim, é preciso que 𝑥 ≠ −1 . Logo, 𝐷𝑜𝑚(𝑟) = ℝ − {−1} .
Uma possível sequência de transformações é:
𝑓(𝑥) = 𝑥−
3
5
⇒ − 𝑓(𝑥) = −𝑥−
3
5
𝑑𝑒 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
⇒ 𝑦 = −(𝑥 + 1)−
3
5
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
⇒ 𝑟(𝑥) = −(𝑥 + 1)−
3
5 + 1
⇒
𝑑𝑒 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
⇒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
⇒

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