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19

AULA

O operador momento angular

Meta da aula

objetivos

Introduzir o operador momento angular quântico.

• escrever a expressão para o operador momento angular em
coordenadas esféricas;
ˆ
ˆ
• identificar os autovalores e autofunções dos operadores L2 e Lz ;
• identificar e manipular matematicamente os harmônicos
esféricos.

Pré-requisito
Para melhor compreender esta aula, é preciso que você
reveja a Aula 18 desta disciplina.
Introdução à Mecânica Quântica | O operador momento angular

PARTÍCULA SOBRE UM CÍRCULO (ROTOR RÍGIDO): VISÃO
SEMICLÁSSICA DO MOMENTO ANGULAR
Para abordar os problemas físicos desta aula e da próxima,
precisaremos utilizar alguns resultados matemáticos sem demonstrálos. Na maioria das vezes, isso não prejudicará o entendimento físico
dos problemas, no qual iremos focalizar nossa atenção. A derivação
completa desses resultados pode ser encontrada em livros-texto mais
avançados de Mecânica Quântica.
Nas últimas aulas, estudamos alguns sistemas quânticos em três
dimensões pelo método de separação de variáveis em coordenadas
cartesianas. Esse método, apesar de bastante útil em algumas situações,
não é o mais conveniente para se utilizar quando o potencial tem simetria
esférica (potencial central), ou seja, quando podemos escrever V = V(r),
em que r =

x 2 + y 2 + z 2 . Nesse caso, o uso de coordenadas esféricas

é mais adequado. Vale destacar que esse tipo de situação é bastante
comum em Física. Em particular, sistemas atômicos, que constituem
uma das aplicações mais antigas e importantes da Mecânica Quântica,
têm simetria esférica.
Na Mecânica Clássica, vimos que uma partícula sob a ação
de um potencial tem seu momento angular conservado. O mesmo
ocorrerá na Mecânica Quântica. Sendo assim, é importante introduzir
o operador momento angular, que terá um papel fundamental em nossa
abordagem:

r r r
ˆ ˆ ˆ
L = r×p ,

(19.1)

onde os operadores posição e momento linear são vetores em três
dimensões. Estes podem ser obtidos por uma generalização imediata de
suas definições em uma dimensão:

r
r r
r
ˆ
r = xi + yj + zk
r
r
 ∂ r ∂ r ∂ r
ˆ
p = −i h 
i+
j + k  = −i h∇.
∂y
∂z 
 ∂x

(19.2)

Antes de abordarmos o problema do operador momento angular
em sua forma completa, é instrutivo fazer uma análise mais simplificada,
usando uma abordagem semiclássica. Vamos considerar o problema
de uma partícula quântica em movimento circular no plano xy, com

110

CEDERJ
MÓDULO 1

19

raio constante r e momento linear de módulo p, como mostrado na

AULA

Figura 19.1. Este problema também é conhecido como o rotor rígido, ou
seja, imagina-se a partícula presa a uma haste rígida de massa desprezível
e comprimento r. A partícula movimenta-se livremente ao longo do
círculo (em outras palavras, a energia potencial não depende do ângulo

ϕ, também mostrado na figura). Este problema é bastante parecido com
o de uma partícula livre em 1D e, portanto, é consideravelmente mais
simples que o problema de uma partícula em 3D sob ação de um potencial
central. No entanto, veremos que é possível obter alguns resultados
interessantes e que serão úteis em nossa análise posterior.

y
r
p

r
r

ϕ
x

Figura 19.1: Partícula em movimento circular de raio r e momento linear
tracejada indica a onda de de Broglie associada ao movimento.

r
p . A linha

Usando a hipótese de de Broglie, vemos que a onda associada ao
movimento da partícula tem comprimento de onda λ = h p . Esta onda
está indicada, de forma pictórica, por uma linha tracejada na figura.
Vimos que, na teoria de Schrödinger, esta onda é, na verdade, uma função
de onda Φ, que determina a dinâmica quântica da partícula. Como a
distância da partícula à origem é fixa, podemos usar o ângulo ϕ como
variável de movimento. Assim, utilizaremos a função de onda Φ(ϕ) para
descrever esse sistema.

CEDERJ

111
Introdução à Mecânica Quântica | O operador momento angular

Como o movimento é livre ao longo de ϕ, a função de onda será
uma onda plana, semelhante à de uma partícula livre em 1D, discutida
na Aula 7:

Φ(ϕ ) = Neiks = Neikrϕ ,

(19.3)

em que o comprimento de arco de circunferência s = rϕ é a coordenada tangencial e N é uma constante de normalização. Como a função de
onda deve ser unívoca, temos

Φ(ϕ + 2π ) = Φ(ϕ ) ,

(19.4)

o que nos leva à quantização do número de onda
m = 0, ±1, ±2, ...

kr = m,

(19.5)

A quantização do número de onda k nos leva, pela condição de de Broglie,
à quantização do momento linear

p = h λ = hk =

mh
.
r

(19.6)

Na geometria considerada na Figura 19.1, o momento angular tem
apenas a componente z, dada pela relação Lz = rp . Isso nos leva, pela
Equação (19.6), à quantização da componente z do momento angular:

Lz = mh

(19.7)

Portanto, vemos que, ao contrário do que acontece na Mecânica
Clássica, a componente z do momento angular não pode ter qualquer
valor, mas apenas múltiplos inteiros de h . O número inteiro m é conheLz = m
cido como número quântico magnético. Valores positivos de m
correspondem à partícula (ou sua onda associada) se movimentando no
sentido anti-horário, enquanto que valores negativos de m estão associados
à propagação no sentido horário.
O resultado obtido na Equação (19.7), apesar de ter sido obtido
por uma abordagem semiclássica, permanece correto na descrição
puramente quântica, como veremos mais adiante, devendo apenas
ser reinterpretado da seguinte forma: os autovalores do operador

112

CEDERJ
MÓDULO 1

19

ˆ
momento angular Lz são iguais = mh, em que m é inteiro, com as autoLz a

AULA

funções (19.3) que podem ser escritas como

Φ m (ϕ ) = eimϕ ,

(19.8)

em que omitimos a constante de normalização.

ˆ
Vamos obter uma expressão para o operador Lz . Sabemos que

∂
. Em nosso
∂x
caso, a coordenada “linear” do movimento é a coordenada tangencial
ˆ
o operador momento linear em 1D é dado por p = −i h

s, de modo que podemos adaptar a expressão para o momento linear
tangencial:

∂
$
p = −i h
∂s

(19.9)

Sabendo que s = rϕ e Lz = rp, obtemos a expressão para o

ˆ
operador Lz :
∂
µ
Lz = −i h
∂ϕ

(19.10)

Como veremos, essa expressão permanece válida na descrição
puramente quântica. É fácil verificar que as funções (19.8) são
autofunções deste operador com autovalores mh :
Lz = m

∂Φ
ˆ
Lz Φ m (ϕ ) = −i h m = −i h
∂ϕ

∂ ( eimϕ )
∂ϕ

= mhΦ m (ϕ )

(19.11)

ATIVIDADE
1. Obtenha os autovalores da energia para uma partícula de massa µ
sobre um círculo.
________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
.

CEDERJ

113
Introdução à Mecânica Quântica | O operador momento angular

RESPOSTA COMENTADA

A energia é puramente cinética, com o Hamiltoniano

ˆ
p2
h2 ∂ 2
ˆ
H=
=−
2µ
2 µ ∂s2
Aplicando o Hamiltoniano à função de onda da Equação (19.3), obtemos
a equação:

h 2 ∂ 2 Φ  h 2 k2 
ˆ
Hψ = −
=
 Φ.
2 µ ∂ϕ 2  2 µ 

Portanto, vemos que o autovalor da energia vale E =
relação de quantização (19.5), obtemos E =
às vezes, escrita como E =

h 2 k2
. Usando a
2µ

h2 m2
. Esta expressão é,
2µ r 2

h2 m2
2
, em que I = µ r é o momento de inércia
2I

da partícula em relação à origem.

O OPERADOR MOMENTO ANGULAR EM COORDENADAS
ESFÉRICAS E HARMÔNICOS ESFÉRICOS
Vamos agora iniciar a abordagem quântica do problema do
momento angular. Como dissemos, o uso de coordenadas esféricas é
mais adequado para esse propósito. O sistema de coordenadas esféricas
está ilustrado na Figura 19.2. A partir desta figura, podemos obter a
correspondência entre as coordenadas esféricas r, θ e ϕ e as coordenadas
cartesianas x, y e z:

ˆ
r

z

ˆ
ϕ

θ

r

θˆ
y

x

ϕ

x = r senθ cos ϕ
y = r senθ senϕ
z = r cosθ

Figura 19.2: Sistema de coordenadas esféricas. Na figura, estão também definidos
os vetores unitários r , θ e ϕ.
ˆ ˆ ˆ

114

CEDERJ
MÓDULO 1

19

Sendo assim, será necessário expressar o operador gradiente em

r
∂
1 ∂
1
∂
ˆ
ˆ
+ϕ
.
∇ = r + θˆ
r ∂θ
∂r
r senθ ∂ϕ

AULA

coordenadas esféricas:
(19.13)

Esta relação pode ser encontrada em livros de Cálculo, Mecânica
ou Eletromagnetismo. Em particular, você deve tê-la visto na Aula 2 da

r

ˆ
disciplina Introdução ao Eletromagnetismo. Notando ainda que r = rr ,
podemos usar a Equação (19.1) para obter a expressão para o operador
momento angular em coordenadas esféricas:

r
 ∂
1 ∂ 
ˆ
ˆ
L = − ih  ϕ
− θˆ
,
senθ ∂ϕ 
 ∂θ

(19.14)

em que usamos as relações r × r = 0, r × θˆ = ϕ r × ϕ = −θˆ. Tais relações
ˆ, ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
podem ser verificadas a partir da Figura (19.2). Note que o operador
momento angular depende apenas das coordenadas angulares θ e ϕ.
A partir da Equação (19.14), podemos escrever as componentes

ˆ
ˆ
ˆ
cartesianas Lx , Ly e Lz em coordenadas esféricas:

∂
∂ 
ˆ
+ cot θ cos ϕ
Lx = i h  sen ϕ

∂θ
∂ϕ 


(19.15)


∂
∂ 
ˆ
+ cot θ senϕ
Ly = i h  − cos ϕ

∂θ
∂ϕ 

∂ .
ˆ
Lz = −i h
∂ϕ
∂
ˆ
Em particular, note que Lz = −i h
na descrição puramente
∂ϕ
quântica, confirmando a Equação (19.10), com autofunções
Lz =
Φ m (ϕ) = eimϕ e autovalores mh .

ATIVIDADE
2. Obtenha as Equações (19.15) a partir da Equação (19.14).
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
__________________________________________________________________

CEDERJ

115
Introdução à Mecânica Quântica | O operador momento angular

RESPOSTA COMENTADA

É preciso projetar as componentes esféricas nas componentes
cartesianas. Para isso, observando a Figura (19.2), vemos que

ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ϕ ⋅ x = −senϕ , ϕ ⋅ y = cos ϕ , ϕ ⋅ z = 0 e θˆ ⋅ x = cosθ cos ϕ ,
ˆ ⋅ y = cosθ senϕ , θˆ ⋅ z = −sen θ . Logo,
θ ˆ
ˆ

∂ cosθ cos ϕ ∂ 
ˆ
−
Lx = −i h  −sen ϕ

sen θ ∂ϕ 
∂θ


∂ cosθ sen ϕ ∂  ,
ˆ
−
Ly = −i h  cos ϕ

sen θ ∂ϕ 
∂θ


1
∂
ˆ
Lz = i h
( − senθ )
senθ
∂ϕ


∂
∂ 
ˆ
Lx = i h  sen ϕ + cot θ cos ϕ

∂θ
∂ϕ 


ou seja,


∂
∂ ,
ˆ
Ly = i h  − cos ϕ + cot θ senϕ

∂θ
∂ϕ 

∂ ,
ˆ
Lz = −i h
∂ϕ
como queríamos demonstrar.

Nesse momento, poderíamos tentar buscar as autofunções das
ˆ
ˆ
componentes L e L do operador momento angular. No entanto, não
x

y

é possível obter autofunções simultâneas das três componentes do
momento angular. Este resultado, que enunciamos sem demonstrar, é, de
fato, semelhante ao Princípio de Incerteza, segundo o qual não é possível
determinar simultaneamente a posição e o momento de uma partícula.
Se conhecemos perfeitamente a componente z do momento angular, não
podemos conhecer com certeza as componentes x e y.

!

116

CEDERJ

É importante enfatizar que, em um potencial central, não
há nada que privilegie a direção z em relação às demais.
Por convenção e por conveniências matemáticas, escolheˆ
se trabalhar com autofunções de Lz em detrimento das
demais componentes. Diz-se então que o eixo z é o eixo
de quantização do sistema. Mas, em termos físicos, seria
igualmente válido usar os eixos x, y, ou qualquer outro,
como eixo de quantização.
MÓDULO 1

19

ˆ
No entanto, é possível ter autofunções simultâneas de Lz e do

 1 ∂ 
∂ 
1 ∂2 
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
+
senθ
L2 = L2 + L2 + L2 = −h2 
x
y
z
.


∂θ  sen2θ ∂ϕ 2 
 sen θ ∂θ 

AULA

ˆ
operador L2, definido por
(19.16)

Essa expressão pode ser obtida a partir das definições (19.15),
o que deixamos como exercício opcional. Perceba que este operador
está associado à magnitude do momento angular. Vamos buscar as
autofunções deste operador usando o método de separação de variáveis,
ou seja, buscamos funções Ylm (θ , ϕ ) que possam ser escritas na forma:

Ylm (θ , ϕ ) = Θlm (θ ) Φ m (ϕ ),

(19.17)

ˆ
em que Φ m (ϕ ) = eimϕ são as autofunções de Lz apresentadas anteriormente e l é um novo número quântico, chamado número quântico
azimutal, do qual falaremos a seguir. Obviamente, as funções Ylm (θ , ϕ )

ˆ
também são autofunções de Lz com os mesmos autovalores:
ˆ
LzYlm (θ , ϕ ) = mhYlm (θ , ϕ ) .

(19.18)

ˆ
Aplicando agora o operador L2 nas funçõesYlm (θ , ϕ ) na forma

ˆ
(19.17), chegamos a uma equação de autovalores para L2 envolvendo
ˆ
as funções Θlm (θ ) . Pode-se mostrar que os autovalores de L2 podem
ser escritos como h2 l(l + 1) , de modo que

ˆ
L2Ylm (θ , ϕ ) = h2 l(l + 1)Ylm (θ , ϕ ),

(19.19)

o que nos leva à equação para Θlm (θ ) :

−

m2 Θlm (θ )
d Θlm (θ ) 
1 d 
+
 sen θ dθ  = l (l + 1)Θlm (θ ) .
2
sen θ
senθ dθ 


(19.20)

Mais uma vez, não nos preocupamos com os detalhes da solução da
Equação (19.20), que podem ser encontrados em livros-texto ou em
cursos mais avançados de Mecânica Quântica. Vamos apenas enunciar
algumas características das soluções. A Equação (19.20) tem soluções
para valores de l inteiros, tais que, para cada valor de l, os valores
possíveis de m são:
m = –l, –l +1, –l + 2, ... –2, –1, 0, 1, 2, ... , l –2, l –1, l

(19.21)

CEDERJ

117
Introdução à Mecânica Quântica | O operador momento angular

Além disso, para cada par de valores aceitáveis de l e m, chamados
números quânticos l e m, as funções Θlm (θ ) têm a forma:

Θlm (θ ) = ( sen θ ) Fl m ( cosθ ) ,
m

(19.22)

onde as funções Fl|m| são polinômios em (cos θ).

As funções Ylm (θ , ϕ ) = Θlm (θ ) Φ m (ϕ ) são conhecidas como har-

mônicos esféricos e também aparecem em outras áreas da Física (por
exemplo, na expansão do campo elétrico em multipolos). Após serem
normalizadas, a forma explícita destas funções Ylm para os primeiros
valores dos números quânticos l e m está mostrada na Tabela 19.1.
A normalização é dada pela condição
2π

π

0

0

*
*
∫ dϕ ∫ senθ Ylm (θ ,ϕ)Ylm (θ ,ϕ)dθ = 1.

Tabela 19.1: Fórmulas de alguns harmônicos esféricos

m

Ylm (θ )

0

0

 1 
Y00 = 

 4π 

1

0

 3 
Y10 = 

 4π 

1

±1

 3 
Y1±1 = m  
 8π 

2

0

 5 
Y20 = 

 16π 

2

±1

 15 
Y2 ±1 = m  
 8π 

2

±2

 15 
Y2 ± 2 = 

 32π 

3

0

 7 
Y30 = 

 16π 

l

1/ 2

1/ 2

cosθ
1/ 2

senθ e ± iϕ

1/ 2

( 3 cos

2

θ − 1)

1/ 2

senθ cosθ e ± iϕ

1/ 2

1/ 2

sen2θ e±2iϕ

( 5 cos θ − 3 cosθ )
3

1/ 2

 21 
= m

 64π 

3

±1

Y3±1

3

±2

 105 
Y3± 2 = 

 32π 

3

±3

 35 
Y3± 3 = m 

 64π 

senθ ( 5 cos2 θ − 1) e ± iϕ
e

1/ 2

sen2θ cosθ e ±2iϕ
1/ 2

118

CEDERJ

sen3θ e ±3iϕ

(19.23)
MÓDULO 1

19

Vamos agora analisar a distribuição angular da densidade de

AULA

probabilidade associada a estas funções. Esta pode ser obtida pela
seguinte equação em coordenadas esféricas:
2

*
rlm (θ , ϕ ) = Ylm (θ , ϕ )Ylm (θ , ϕ ) = Ylm (θ , ϕ ) .

(19.24)

Note que esta é a equação de uma superfície em coordenadas
esféricas, onde a coordenada radial rlm é proporcional ao módulo ao quadrado
do harmônico esférico correspondente. Em outras palavras, a magnitude
de rlm ao longo de uma certa direção (θ, ϕ) será proporcional à probabilidade de encontrarmos a partícula quântica ao longo dessa direção.
Começamos nossa análise pelo harmônico esférico Y00. Pela
fórmula da Tabela 19.1, obtemos Y00 (θ , ϕ )

2

= 1 4π, ou seja, uma cons-

tante independente de θ e ϕ. O gráfico da superfície correspondente,
definida pela Equação (19.24), está mostrado na Figura 19.3 como um
corte no plano yz (à esquerda) e como uma superfície em 3D (à direita).
Perceba que o harmônico esférico Y00 é esfericamente simétrico.
z

|Y00|2

y

Figura 19.3: Harmônico esférico Y00.

CEDERJ

119
Introdução à Mecânica Quântica | O operador momento angular

Vamos analisar agora os harmônicos esféricos correspondentes a l = 1, ou seja, Y 11, Y 10 e Y 1-1. Pela Tabela 19.1, temos

Y10 (θ , ϕ )

2

= ( 3 4π ) cos2 θ e Y11 (θ , ϕ )

2

= Y1−1 (θ , ϕ ) = ( 3 8π ) sen2θ .
2

Os gráficos correspondentes estão mostrados na Figura 19.4, novamente
como um corte no plano yz (à esquerda) e como uma superfície em 3D
(à direita). Perceba que o harmônico esférico Y10 é alongado na direção z:
a partícula tem probabilidade máxima de ser encontrada naquela direção.
Note ainda que a probabilidade de que a partícula seja encontrada no
plano xy é nula. Em contrapartida, os harmônicos esféricos Y11 e Y1-1
fornecem probabilidade máxima no plano xy e probabilidade nula ao
longo de z. Perceba que a densidade de probabilidade não depende
de ϕ. Com efeito, isso vale para qualquer harmônico esférico Ylm.
z

|Y10|2

y

z
|Y11|2 = |Y1–1|2

y

Figura 19.4: Harmônicos esféricos com l = 1.

120

CEDERJ
MÓDULO 1

bilidade associada aos harmônicos esféricos com l = 2: Y22, Y21, Y20,

= ( 5 16π ) ( 3 cos2 θ − 1) ,
2
2
Y22 (θ , ϕ ) 2 = Y2 − 2 (θ , ϕ ) = (15 32π ) sen4θ
Y21 (θ , ϕ ) 2 = Y2 −1 (θ , ϕ ) = (15 8π ) sen2θ cos2 θ e

Y2-1 e Y2-2. Pela Tabela 19.1, temos Y20 (θ , ϕ )

Y22 (θ , ϕ )

2

2

2

.
= Y2 − 2 (θ , ϕ ) = (15 32π ) sen4θ . Os gráficos correspondentes estão mos2

trados na Figura 19.5. Perceba que a dependência angular da
densidade se torna cada vez mais complexa à medida que aumentamos
o valor de l.
z

|Y20|2

y

z

|Y21|2 = |Y2–1|2

y

z

|Y22|2 = |Y2–2|2

y

Figura 19.5: Harmônicos esféricos com l = 2.

CEDERJ

121

AULA

19

Como último exemplo, vamos apresentar a densidade de proba-
Introdução à Mecânica Quântica | O operador momento angular

Finalmente, vamos fazer uma nova análise semiclássica do
momento angular. Vimos que os harmônicos esféricos Ylm (θ , ϕ ) são

ˆ
ˆ
autofunções dos operadores Lz e L2 com autovalores m h2e (l +l1) + 1),
l h2 (l
respectivamente. Vimos ainda que m pode ter qualquer valor inteiro
entre –l e l, em que l também é inteiro. A analogia clássica que podemos
fazer deste sistema está mostrada na Figura 19.6. A figura mostra um
vetor momento angular de módulo igual a 6h (correspondendo portanto a l = 2) que pode ter apenas cinco valores possíveis para a componente

z(−2h, − h, 0, h e 2h) , mas nunca valores intermediários. Pode-se
mostrar que os valores esperados das componentes x e y do momento

ˆ
angular são nulos em qualquer autoestado de Lz . Assim, o análogo clássico desse resultado corresponderia ao vetor momento angular em
movimento de precessão em torno do eixo z, com a componente z
fixa, mas com as componentes x e y oscilando em torno de um valor
médio nulo.

ˆ
Lz
2h
−h

L

0

−h
2h
l=2
Figura 19.6: Analogia clássica dos cinco estados quânticos com l = 2.

Como dissemos no início desta aula, o estudo do momento
angular quântico é de fundamental importância para os problemas que
envolvem potenciais centrais. Veremos isso detalhadamente na próxima
aula, quando estudarmos o átomo de hidrogênio.

122

CEDERJ
MÓDULO 1
AULA

19

ATIVIDADES FINAIS
1. Mostre que os harmônicos esféricos Y00, Y11, Y10 e Y1–1 são autofunções dos
2
ˆ
ˆ
Lz =
operadores Lz e L2 com autovalores mh e h l (l + 1), respectivamente.

RESPOSTA COMENTADA

ˆ
Vamos aplicar as expressões (19.15) e (19.16) para os operadores Lz e

ˆ
L2 aos diferentes harmônicos esféricos:
• l = 0 e m = 0:
12


∂  1 
ˆ
LzY00 =  −i h


∂ϕ   4π 


= 0 = 0× h
12

 1 ∂ 
∂ 
1 ∂2   1 
ˆ
L2 Y00 = −h2 

 senθ
+

∂θ  sen2θ ∂ϕ 2   4π 
 sen θ ∂θ 

= 0 = h2 × 0

• l = 1 e m = 1:
12

  3 1 2


∂   3 
iϕ
iϕ
ˆ
LzY11 =  −i h
 −   sen θ e  = h  −   senθ e  = hY11

∂ϕ    8π 






  8π 


 1 ∂ 
∂
ˆ
L2Y11 = −h2 
 senθ
∂θ
 senθ ∂θ 

12

1 ∂2    3 

iϕ
+
 −   senθ e 

2
2 
 sen θ ∂ϕ    8π 




12

 iϕ 1 d 
d senθ
 e
 senθ
senθ dθ 
dθ


12

1 
 1 d
2 3 
eiϕ 
( senθ cos θ ) −
 = h  8π 
senθ 
 senθ dθ
 

 3 
= h2  
 8π 
 3 
= h2  
 8π 

2 iϕ
 senθ d e 
+

2
2 
 sen θ dϕ 
12

 cos2 θ − sen2θ − 1 
eiϕ 

senθ



  3 1 2

= h  −   2 senθ eiϕ  = 2h2Y11
  8π 



2

CEDERJ

123
Introdução à Mecânica Quântica | O operador momento angular

• l = 1 e m = 0:
12

∂   3 
ˆ
LzY10 =  −i h
 
 cosθ
∂ϕ   4π 




 = 0 = 0 × Y10



12
2

ˆ 2Y = −h2  1 ∂  sen θ ∂  + 1 ∂   3  cosθ
L 10

 



∂θ  sen2θ ∂ϕ 2   4π 
 sen θ ∂θ 

12

 3 
= −h 

 4π 
2

12

 3 
= h2 

 4π 

12

 1 d 
d cosθ  
2 3 
 sen θ
  = −h 


dθ  
 4π 
 senθ dθ 








1 d
( sen2θ )
−
 sen θ dθ


 2 sen θ cosθ 
2

 = 2h Y10
sen θ



• l = 1 e m = -1:
12

  3 1 2


∂   3 
− iϕ
− iϕ
ˆ
LzY1−1 =  −i h
  senθ e  = h  −   senθ e  = −hY1−1

∂ϕ   8π 






  8π 

12

 1 ∂ 
∂ 
1 ∂ 2   3 
− iϕ
ˆ
+
L2Y1−1 = −h2 
senθ
  senθ e 


2
2 
∂θ  sen θ ∂ϕ   8π 


 senθ ∂θ 

12

 − iϕ 1 d 
d senθ
e
 senθ
senθ dθ 
dθ


12

1 
 1 d
2 3 
e − iϕ 
( senθ cosθ ) −
 = −h  8π 
senθ 
 senθ dθ
 

 3 
= −h2  
 8π 
 3 
= −h2  
 8π 

 3 1 2

= h   2 senθ e − iϕ  = 2h2Y1−1
 8π 



2

124

CEDERJ

2 − iϕ
 senθ d e 
+

2
2 
 sen θ dϕ 
12

 cos2 θ − sen2θ − 1 
e − iϕ 

senθ


MÓDULO 1

19

2. Vimos que o harmônico esférico Y10 é orientado ao longo do eixo z. Neste

AULA

exercício, veremos que é possível construir funções análogas orientadas ao longo
dos eixos x e y.
(a) Mostre que o harmônico esférico Y10 pode ser escrito como

Y10 = Y1z = ( 3 4π )

12

z.
r

(b) Usando combinações lineares dos demais harmônicos esféricos com l = 1,
construa as funções Y1x e Y1y , orientadas ao longo de x e y, respectivamente.

RESPOSTA COMENTADA

(a) Basta notar que z = r cosθ , portanto, Y10 = ( 3 4π )

12

cosθ = ( 3 4π )

12

(b) Por analogia com a função Y1z , buscamos as funções Y1x = ( 3 4π )

12

Y1y = ( 3 4π )

12

Y1x = ( 3 4π )

12

eiϕ + e − iϕ
eiϕ − e − iϕ
e sen ϕ =
, chegamos aos resultados
2
2i

 eiϕ + e − iϕ 
x
12
12
= ( 3 4π ) sen θ cos ϕ = ( 3 4π ) sen θ 

r
2



Y1−1 − Y11
2

Y1y = ( 3 4π )

12

Y1y =

e

y
. Usando as expressões da Tabela 19.1, as Equações (19.12)
r

e as identidades cos ϕ =

Y1x =

x
r

z
.
r

 eiϕ − e − iϕ 
y
12
12
= ( 3 4π ) sen θ senϕ = ( 3 4π ) sen θ 

r
2i



−Y1−1 − Y11
2i

Portanto, podemos construir harmônicos esféricos com l = 1 orientados nas
direções x e y a partir de combinações lineares dos harmônicos esféricos originais.
Na verdade, podemos construir, com essa metodologia, funções orientadas
espacialmente em qualquer direção do espaço. Este conceito é bastante útil em
Química, pois está associado à idéia de valência dirigida: os estados quânticos
orientados em certas direções podem ser usados em moléculas ou sólidos para
construir ligações químicas naquelas direções.
CEDERJ

125
Introdução à Mecânica Quântica | O operador momento angular

RESUMO
No caso de uma partícula que se movimenta sob o efeito de um potencial central,
é importante estudar o operador momento angular, cujas componentes podem ser
escritas em coordenadas esféricas. Podemos encontrar autofunções simultâneas

ˆ
ˆ
dos operadores Lz e L2 : são os harmônicos esféricos Ylm (θ , ϕ ) . Essas funções são
caracterizadas por dois números quânticos, l e m, que podem ser associados ao
módulo e à projeção sobre o eixo z do momento angular orbital da partícula.

INFORMAÇÃO SOBRE A PRÓXIMA AULA
Na próxima aula, vamos aplicar o método de separação da equação de Schrödinger
tridimensional em coordenadas esféricas ao caso de um átomo com um único
elétron, como o átomo de hidrogênio.

126

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Momento angular quântico

  • 1. 19 AULA O operador momento angular Meta da aula objetivos Introduzir o operador momento angular quântico. • escrever a expressão para o operador momento angular em coordenadas esféricas; ˆ ˆ • identificar os autovalores e autofunções dos operadores L2 e Lz ; • identificar e manipular matematicamente os harmônicos esféricos. Pré-requisito Para melhor compreender esta aula, é preciso que você reveja a Aula 18 desta disciplina.
  • 2. Introdução à Mecânica Quântica | O operador momento angular PARTÍCULA SOBRE UM CÍRCULO (ROTOR RÍGIDO): VISÃO SEMICLÁSSICA DO MOMENTO ANGULAR Para abordar os problemas físicos desta aula e da próxima, precisaremos utilizar alguns resultados matemáticos sem demonstrálos. Na maioria das vezes, isso não prejudicará o entendimento físico dos problemas, no qual iremos focalizar nossa atenção. A derivação completa desses resultados pode ser encontrada em livros-texto mais avançados de Mecânica Quântica. Nas últimas aulas, estudamos alguns sistemas quânticos em três dimensões pelo método de separação de variáveis em coordenadas cartesianas. Esse método, apesar de bastante útil em algumas situações, não é o mais conveniente para se utilizar quando o potencial tem simetria esférica (potencial central), ou seja, quando podemos escrever V = V(r), em que r = x 2 + y 2 + z 2 . Nesse caso, o uso de coordenadas esféricas é mais adequado. Vale destacar que esse tipo de situação é bastante comum em Física. Em particular, sistemas atômicos, que constituem uma das aplicações mais antigas e importantes da Mecânica Quântica, têm simetria esférica. Na Mecânica Clássica, vimos que uma partícula sob a ação de um potencial tem seu momento angular conservado. O mesmo ocorrerá na Mecânica Quântica. Sendo assim, é importante introduzir o operador momento angular, que terá um papel fundamental em nossa abordagem: r r r ˆ ˆ ˆ L = r×p , (19.1) onde os operadores posição e momento linear são vetores em três dimensões. Estes podem ser obtidos por uma generalização imediata de suas definições em uma dimensão: r r r r ˆ r = xi + yj + zk r r  ∂ r ∂ r ∂ r ˆ p = −i h  i+ j + k  = −i h∇. ∂y ∂z   ∂x (19.2) Antes de abordarmos o problema do operador momento angular em sua forma completa, é instrutivo fazer uma análise mais simplificada, usando uma abordagem semiclássica. Vamos considerar o problema de uma partícula quântica em movimento circular no plano xy, com 110 CEDERJ
  • 3. MÓDULO 1 19 raio constante r e momento linear de módulo p, como mostrado na AULA Figura 19.1. Este problema também é conhecido como o rotor rígido, ou seja, imagina-se a partícula presa a uma haste rígida de massa desprezível e comprimento r. A partícula movimenta-se livremente ao longo do círculo (em outras palavras, a energia potencial não depende do ângulo ϕ, também mostrado na figura). Este problema é bastante parecido com o de uma partícula livre em 1D e, portanto, é consideravelmente mais simples que o problema de uma partícula em 3D sob ação de um potencial central. No entanto, veremos que é possível obter alguns resultados interessantes e que serão úteis em nossa análise posterior. y r p r r ϕ x Figura 19.1: Partícula em movimento circular de raio r e momento linear tracejada indica a onda de de Broglie associada ao movimento. r p . A linha Usando a hipótese de de Broglie, vemos que a onda associada ao movimento da partícula tem comprimento de onda λ = h p . Esta onda está indicada, de forma pictórica, por uma linha tracejada na figura. Vimos que, na teoria de Schrödinger, esta onda é, na verdade, uma função de onda Φ, que determina a dinâmica quântica da partícula. Como a distância da partícula à origem é fixa, podemos usar o ângulo ϕ como variável de movimento. Assim, utilizaremos a função de onda Φ(ϕ) para descrever esse sistema. CEDERJ 111
  • 4. Introdução à Mecânica Quântica | O operador momento angular Como o movimento é livre ao longo de ϕ, a função de onda será uma onda plana, semelhante à de uma partícula livre em 1D, discutida na Aula 7: Φ(ϕ ) = Neiks = Neikrϕ , (19.3) em que o comprimento de arco de circunferência s = rϕ é a coordenada tangencial e N é uma constante de normalização. Como a função de onda deve ser unívoca, temos Φ(ϕ + 2π ) = Φ(ϕ ) , (19.4) o que nos leva à quantização do número de onda m = 0, ±1, ±2, ... kr = m, (19.5) A quantização do número de onda k nos leva, pela condição de de Broglie, à quantização do momento linear p = h λ = hk = mh . r (19.6) Na geometria considerada na Figura 19.1, o momento angular tem apenas a componente z, dada pela relação Lz = rp . Isso nos leva, pela Equação (19.6), à quantização da componente z do momento angular: Lz = mh (19.7) Portanto, vemos que, ao contrário do que acontece na Mecânica Clássica, a componente z do momento angular não pode ter qualquer valor, mas apenas múltiplos inteiros de h . O número inteiro m é conheLz = m cido como número quântico magnético. Valores positivos de m correspondem à partícula (ou sua onda associada) se movimentando no sentido anti-horário, enquanto que valores negativos de m estão associados à propagação no sentido horário. O resultado obtido na Equação (19.7), apesar de ter sido obtido por uma abordagem semiclássica, permanece correto na descrição puramente quântica, como veremos mais adiante, devendo apenas ser reinterpretado da seguinte forma: os autovalores do operador 112 CEDERJ
  • 5. MÓDULO 1 19 ˆ momento angular Lz são iguais = mh, em que m é inteiro, com as autoLz a AULA funções (19.3) que podem ser escritas como Φ m (ϕ ) = eimϕ , (19.8) em que omitimos a constante de normalização. ˆ Vamos obter uma expressão para o operador Lz . Sabemos que ∂ . Em nosso ∂x caso, a coordenada “linear” do movimento é a coordenada tangencial ˆ o operador momento linear em 1D é dado por p = −i h s, de modo que podemos adaptar a expressão para o momento linear tangencial: ∂ $ p = −i h ∂s (19.9) Sabendo que s = rϕ e Lz = rp, obtemos a expressão para o ˆ operador Lz : ∂ µ Lz = −i h ∂ϕ (19.10) Como veremos, essa expressão permanece válida na descrição puramente quântica. É fácil verificar que as funções (19.8) são autofunções deste operador com autovalores mh : Lz = m ∂Φ ˆ Lz Φ m (ϕ ) = −i h m = −i h ∂ϕ ∂ ( eimϕ ) ∂ϕ = mhΦ m (ϕ ) (19.11) ATIVIDADE 1. Obtenha os autovalores da energia para uma partícula de massa µ sobre um círculo. ________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ . CEDERJ 113
  • 6. Introdução à Mecânica Quântica | O operador momento angular RESPOSTA COMENTADA A energia é puramente cinética, com o Hamiltoniano ˆ p2 h2 ∂ 2 ˆ H= =− 2µ 2 µ ∂s2 Aplicando o Hamiltoniano à função de onda da Equação (19.3), obtemos a equação: h 2 ∂ 2 Φ  h 2 k2  ˆ Hψ = − =  Φ. 2 µ ∂ϕ 2  2 µ  Portanto, vemos que o autovalor da energia vale E = relação de quantização (19.5), obtemos E = às vezes, escrita como E = h 2 k2 . Usando a 2µ h2 m2 . Esta expressão é, 2µ r 2 h2 m2 2 , em que I = µ r é o momento de inércia 2I da partícula em relação à origem. O OPERADOR MOMENTO ANGULAR EM COORDENADAS ESFÉRICAS E HARMÔNICOS ESFÉRICOS Vamos agora iniciar a abordagem quântica do problema do momento angular. Como dissemos, o uso de coordenadas esféricas é mais adequado para esse propósito. O sistema de coordenadas esféricas está ilustrado na Figura 19.2. A partir desta figura, podemos obter a correspondência entre as coordenadas esféricas r, θ e ϕ e as coordenadas cartesianas x, y e z: ˆ r z ˆ ϕ θ r θˆ y x ϕ x = r senθ cos ϕ y = r senθ senϕ z = r cosθ Figura 19.2: Sistema de coordenadas esféricas. Na figura, estão também definidos os vetores unitários r , θ e ϕ. ˆ ˆ ˆ 114 CEDERJ
  • 7. MÓDULO 1 19 Sendo assim, será necessário expressar o operador gradiente em r ∂ 1 ∂ 1 ∂ ˆ ˆ +ϕ . ∇ = r + θˆ r ∂θ ∂r r senθ ∂ϕ AULA coordenadas esféricas: (19.13) Esta relação pode ser encontrada em livros de Cálculo, Mecânica ou Eletromagnetismo. Em particular, você deve tê-la visto na Aula 2 da r ˆ disciplina Introdução ao Eletromagnetismo. Notando ainda que r = rr , podemos usar a Equação (19.1) para obter a expressão para o operador momento angular em coordenadas esféricas: r  ∂ 1 ∂  ˆ ˆ L = − ih  ϕ − θˆ , senθ ∂ϕ   ∂θ (19.14) em que usamos as relações r × r = 0, r × θˆ = ϕ r × ϕ = −θˆ. Tais relações ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ podem ser verificadas a partir da Figura (19.2). Note que o operador momento angular depende apenas das coordenadas angulares θ e ϕ. A partir da Equação (19.14), podemos escrever as componentes ˆ ˆ ˆ cartesianas Lx , Ly e Lz em coordenadas esféricas:  ∂ ∂  ˆ + cot θ cos ϕ Lx = i h  sen ϕ  ∂θ ∂ϕ   (19.15)  ∂ ∂  ˆ + cot θ senϕ Ly = i h  − cos ϕ  ∂θ ∂ϕ   ∂ . ˆ Lz = −i h ∂ϕ ∂ ˆ Em particular, note que Lz = −i h na descrição puramente ∂ϕ quântica, confirmando a Equação (19.10), com autofunções Lz = Φ m (ϕ) = eimϕ e autovalores mh . ATIVIDADE 2. Obtenha as Equações (19.15) a partir da Equação (19.14). _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ __________________________________________________________________ CEDERJ 115
  • 8. Introdução à Mecânica Quântica | O operador momento angular RESPOSTA COMENTADA É preciso projetar as componentes esféricas nas componentes cartesianas. Para isso, observando a Figura (19.2), vemos que ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ϕ ⋅ x = −senϕ , ϕ ⋅ y = cos ϕ , ϕ ⋅ z = 0 e θˆ ⋅ x = cosθ cos ϕ , ˆ ⋅ y = cosθ senϕ , θˆ ⋅ z = −sen θ . Logo, θ ˆ ˆ  ∂ cosθ cos ϕ ∂  ˆ − Lx = −i h  −sen ϕ  sen θ ∂ϕ  ∂θ   ∂ cosθ sen ϕ ∂  , ˆ − Ly = −i h  cos ϕ  sen θ ∂ϕ  ∂θ  1 ∂ ˆ Lz = i h ( − senθ ) senθ ∂ϕ  ∂ ∂  ˆ Lx = i h  sen ϕ + cot θ cos ϕ  ∂θ ∂ϕ   ou seja,  ∂ ∂ , ˆ Ly = i h  − cos ϕ + cot θ senϕ  ∂θ ∂ϕ   ∂ , ˆ Lz = −i h ∂ϕ como queríamos demonstrar. Nesse momento, poderíamos tentar buscar as autofunções das ˆ ˆ componentes L e L do operador momento angular. No entanto, não x y é possível obter autofunções simultâneas das três componentes do momento angular. Este resultado, que enunciamos sem demonstrar, é, de fato, semelhante ao Princípio de Incerteza, segundo o qual não é possível determinar simultaneamente a posição e o momento de uma partícula. Se conhecemos perfeitamente a componente z do momento angular, não podemos conhecer com certeza as componentes x e y. ! 116 CEDERJ É importante enfatizar que, em um potencial central, não há nada que privilegie a direção z em relação às demais. Por convenção e por conveniências matemáticas, escolheˆ se trabalhar com autofunções de Lz em detrimento das demais componentes. Diz-se então que o eixo z é o eixo de quantização do sistema. Mas, em termos físicos, seria igualmente válido usar os eixos x, y, ou qualquer outro, como eixo de quantização.
  • 9. MÓDULO 1 19 ˆ No entanto, é possível ter autofunções simultâneas de Lz e do  1 ∂  ∂  1 ∂2  ˆ ˆ ˆ ˆ + senθ L2 = L2 + L2 + L2 = −h2  x y z .   ∂θ  sen2θ ∂ϕ 2   sen θ ∂θ  AULA ˆ operador L2, definido por (19.16) Essa expressão pode ser obtida a partir das definições (19.15), o que deixamos como exercício opcional. Perceba que este operador está associado à magnitude do momento angular. Vamos buscar as autofunções deste operador usando o método de separação de variáveis, ou seja, buscamos funções Ylm (θ , ϕ ) que possam ser escritas na forma: Ylm (θ , ϕ ) = Θlm (θ ) Φ m (ϕ ), (19.17) ˆ em que Φ m (ϕ ) = eimϕ são as autofunções de Lz apresentadas anteriormente e l é um novo número quântico, chamado número quântico azimutal, do qual falaremos a seguir. Obviamente, as funções Ylm (θ , ϕ ) ˆ também são autofunções de Lz com os mesmos autovalores: ˆ LzYlm (θ , ϕ ) = mhYlm (θ , ϕ ) . (19.18) ˆ Aplicando agora o operador L2 nas funçõesYlm (θ , ϕ ) na forma ˆ (19.17), chegamos a uma equação de autovalores para L2 envolvendo ˆ as funções Θlm (θ ) . Pode-se mostrar que os autovalores de L2 podem ser escritos como h2 l(l + 1) , de modo que ˆ L2Ylm (θ , ϕ ) = h2 l(l + 1)Ylm (θ , ϕ ), (19.19) o que nos leva à equação para Θlm (θ ) : − m2 Θlm (θ ) d Θlm (θ )  1 d  +  sen θ dθ  = l (l + 1)Θlm (θ ) . 2 sen θ senθ dθ   (19.20) Mais uma vez, não nos preocupamos com os detalhes da solução da Equação (19.20), que podem ser encontrados em livros-texto ou em cursos mais avançados de Mecânica Quântica. Vamos apenas enunciar algumas características das soluções. A Equação (19.20) tem soluções para valores de l inteiros, tais que, para cada valor de l, os valores possíveis de m são: m = –l, –l +1, –l + 2, ... –2, –1, 0, 1, 2, ... , l –2, l –1, l (19.21) CEDERJ 117
  • 10. Introdução à Mecânica Quântica | O operador momento angular Além disso, para cada par de valores aceitáveis de l e m, chamados números quânticos l e m, as funções Θlm (θ ) têm a forma: Θlm (θ ) = ( sen θ ) Fl m ( cosθ ) , m (19.22) onde as funções Fl|m| são polinômios em (cos θ). As funções Ylm (θ , ϕ ) = Θlm (θ ) Φ m (ϕ ) são conhecidas como har- mônicos esféricos e também aparecem em outras áreas da Física (por exemplo, na expansão do campo elétrico em multipolos). Após serem normalizadas, a forma explícita destas funções Ylm para os primeiros valores dos números quânticos l e m está mostrada na Tabela 19.1. A normalização é dada pela condição 2π π 0 0 * * ∫ dϕ ∫ senθ Ylm (θ ,ϕ)Ylm (θ ,ϕ)dθ = 1. Tabela 19.1: Fórmulas de alguns harmônicos esféricos m Ylm (θ ) 0 0  1  Y00 =    4π  1 0  3  Y10 =    4π  1 ±1  3  Y1±1 = m    8π  2 0  5  Y20 =    16π  2 ±1  15  Y2 ±1 = m    8π  2 ±2  15  Y2 ± 2 =    32π  3 0  7  Y30 =    16π  l 1/ 2 1/ 2 cosθ 1/ 2 senθ e ± iϕ 1/ 2 ( 3 cos 2 θ − 1) 1/ 2 senθ cosθ e ± iϕ 1/ 2 1/ 2 sen2θ e±2iϕ ( 5 cos θ − 3 cosθ ) 3 1/ 2  21  = m   64π  3 ±1 Y3±1 3 ±2  105  Y3± 2 =    32π  3 ±3  35  Y3± 3 = m    64π  senθ ( 5 cos2 θ − 1) e ± iϕ e 1/ 2 sen2θ cosθ e ±2iϕ 1/ 2 118 CEDERJ sen3θ e ±3iϕ (19.23)
  • 11. MÓDULO 1 19 Vamos agora analisar a distribuição angular da densidade de AULA probabilidade associada a estas funções. Esta pode ser obtida pela seguinte equação em coordenadas esféricas: 2 * rlm (θ , ϕ ) = Ylm (θ , ϕ )Ylm (θ , ϕ ) = Ylm (θ , ϕ ) . (19.24) Note que esta é a equação de uma superfície em coordenadas esféricas, onde a coordenada radial rlm é proporcional ao módulo ao quadrado do harmônico esférico correspondente. Em outras palavras, a magnitude de rlm ao longo de uma certa direção (θ, ϕ) será proporcional à probabilidade de encontrarmos a partícula quântica ao longo dessa direção. Começamos nossa análise pelo harmônico esférico Y00. Pela fórmula da Tabela 19.1, obtemos Y00 (θ , ϕ ) 2 = 1 4π, ou seja, uma cons- tante independente de θ e ϕ. O gráfico da superfície correspondente, definida pela Equação (19.24), está mostrado na Figura 19.3 como um corte no plano yz (à esquerda) e como uma superfície em 3D (à direita). Perceba que o harmônico esférico Y00 é esfericamente simétrico. z |Y00|2 y Figura 19.3: Harmônico esférico Y00. CEDERJ 119
  • 12. Introdução à Mecânica Quântica | O operador momento angular Vamos analisar agora os harmônicos esféricos correspondentes a l = 1, ou seja, Y 11, Y 10 e Y 1-1. Pela Tabela 19.1, temos Y10 (θ , ϕ ) 2 = ( 3 4π ) cos2 θ e Y11 (θ , ϕ ) 2 = Y1−1 (θ , ϕ ) = ( 3 8π ) sen2θ . 2 Os gráficos correspondentes estão mostrados na Figura 19.4, novamente como um corte no plano yz (à esquerda) e como uma superfície em 3D (à direita). Perceba que o harmônico esférico Y10 é alongado na direção z: a partícula tem probabilidade máxima de ser encontrada naquela direção. Note ainda que a probabilidade de que a partícula seja encontrada no plano xy é nula. Em contrapartida, os harmônicos esféricos Y11 e Y1-1 fornecem probabilidade máxima no plano xy e probabilidade nula ao longo de z. Perceba que a densidade de probabilidade não depende de ϕ. Com efeito, isso vale para qualquer harmônico esférico Ylm. z |Y10|2 y z |Y11|2 = |Y1–1|2 y Figura 19.4: Harmônicos esféricos com l = 1. 120 CEDERJ
  • 13. MÓDULO 1 bilidade associada aos harmônicos esféricos com l = 2: Y22, Y21, Y20, = ( 5 16π ) ( 3 cos2 θ − 1) , 2 2 Y22 (θ , ϕ ) 2 = Y2 − 2 (θ , ϕ ) = (15 32π ) sen4θ Y21 (θ , ϕ ) 2 = Y2 −1 (θ , ϕ ) = (15 8π ) sen2θ cos2 θ e Y2-1 e Y2-2. Pela Tabela 19.1, temos Y20 (θ , ϕ ) Y22 (θ , ϕ ) 2 2 2 . = Y2 − 2 (θ , ϕ ) = (15 32π ) sen4θ . Os gráficos correspondentes estão mos2 trados na Figura 19.5. Perceba que a dependência angular da densidade se torna cada vez mais complexa à medida que aumentamos o valor de l. z |Y20|2 y z |Y21|2 = |Y2–1|2 y z |Y22|2 = |Y2–2|2 y Figura 19.5: Harmônicos esféricos com l = 2. CEDERJ 121 AULA 19 Como último exemplo, vamos apresentar a densidade de proba-
  • 14. Introdução à Mecânica Quântica | O operador momento angular Finalmente, vamos fazer uma nova análise semiclássica do momento angular. Vimos que os harmônicos esféricos Ylm (θ , ϕ ) são ˆ ˆ autofunções dos operadores Lz e L2 com autovalores m h2e (l +l1) + 1), l h2 (l respectivamente. Vimos ainda que m pode ter qualquer valor inteiro entre –l e l, em que l também é inteiro. A analogia clássica que podemos fazer deste sistema está mostrada na Figura 19.6. A figura mostra um vetor momento angular de módulo igual a 6h (correspondendo portanto a l = 2) que pode ter apenas cinco valores possíveis para a componente z(−2h, − h, 0, h e 2h) , mas nunca valores intermediários. Pode-se mostrar que os valores esperados das componentes x e y do momento ˆ angular são nulos em qualquer autoestado de Lz . Assim, o análogo clássico desse resultado corresponderia ao vetor momento angular em movimento de precessão em torno do eixo z, com a componente z fixa, mas com as componentes x e y oscilando em torno de um valor médio nulo. ˆ Lz 2h −h L 0 −h 2h l=2 Figura 19.6: Analogia clássica dos cinco estados quânticos com l = 2. Como dissemos no início desta aula, o estudo do momento angular quântico é de fundamental importância para os problemas que envolvem potenciais centrais. Veremos isso detalhadamente na próxima aula, quando estudarmos o átomo de hidrogênio. 122 CEDERJ
  • 15. MÓDULO 1 AULA 19 ATIVIDADES FINAIS 1. Mostre que os harmônicos esféricos Y00, Y11, Y10 e Y1–1 são autofunções dos 2 ˆ ˆ Lz = operadores Lz e L2 com autovalores mh e h l (l + 1), respectivamente. RESPOSTA COMENTADA ˆ Vamos aplicar as expressões (19.15) e (19.16) para os operadores Lz e ˆ L2 aos diferentes harmônicos esféricos: • l = 0 e m = 0: 12  ∂  1  ˆ LzY00 =  −i h   ∂ϕ   4π   = 0 = 0× h 12  1 ∂  ∂  1 ∂2   1  ˆ L2 Y00 = −h2    senθ +  ∂θ  sen2θ ∂ϕ 2   4π   sen θ ∂θ  = 0 = h2 × 0 • l = 1 e m = 1: 12    3 1 2   ∂   3  iϕ iϕ ˆ LzY11 =  −i h  −   sen θ e  = h  −   senθ e  = hY11  ∂ϕ    8π          8π    1 ∂  ∂ ˆ L2Y11 = −h2   senθ ∂θ  senθ ∂θ  12  1 ∂2    3   iϕ +  −   senθ e   2 2   sen θ ∂ϕ    8π     12  iϕ 1 d  d senθ  e  senθ senθ dθ  dθ  12 1   1 d 2 3  eiϕ  ( senθ cos θ ) −  = h  8π  senθ   senθ dθ    3  = h2    8π   3  = h2    8π  2 iϕ  senθ d e  +  2 2   sen θ dϕ  12  cos2 θ − sen2θ − 1  eiϕ   senθ     3 1 2  = h  −   2 senθ eiϕ  = 2h2Y11   8π     2 CEDERJ 123
  • 16. Introdução à Mecânica Quântica | O operador momento angular • l = 1 e m = 0: 12  ∂   3  ˆ LzY10 =  −i h    cosθ ∂ϕ   4π      = 0 = 0 × Y10   12 2  ˆ 2Y = −h2  1 ∂  sen θ ∂  + 1 ∂   3  cosθ L 10       ∂θ  sen2θ ∂ϕ 2   4π   sen θ ∂θ   12  3  = −h    4π  2 12  3  = h2    4π  12  1 d  d cosθ   2 3   sen θ   = −h    dθ    4π   senθ dθ        1 d ( sen2θ ) −  sen θ dθ   2 sen θ cosθ  2   = 2h Y10 sen θ   • l = 1 e m = -1: 12    3 1 2   ∂   3  − iϕ − iϕ ˆ LzY1−1 =  −i h   senθ e  = h  −   senθ e  = −hY1−1  ∂ϕ   8π          8π   12   1 ∂  ∂  1 ∂ 2   3  − iϕ ˆ + L2Y1−1 = −h2  senθ   senθ e    2 2  ∂θ  sen θ ∂ϕ   8π     senθ ∂θ   12  − iϕ 1 d  d senθ e  senθ senθ dθ  dθ  12 1   1 d 2 3  e − iϕ  ( senθ cosθ ) −  = −h  8π  senθ   senθ dθ    3  = −h2    8π   3  = −h2    8π   3 1 2  = h   2 senθ e − iϕ  = 2h2Y1−1  8π     2 124 CEDERJ 2 − iϕ  senθ d e  +  2 2   sen θ dϕ  12  cos2 θ − sen2θ − 1  e − iϕ   senθ  
  • 17. MÓDULO 1 19 2. Vimos que o harmônico esférico Y10 é orientado ao longo do eixo z. Neste AULA exercício, veremos que é possível construir funções análogas orientadas ao longo dos eixos x e y. (a) Mostre que o harmônico esférico Y10 pode ser escrito como Y10 = Y1z = ( 3 4π ) 12 z. r (b) Usando combinações lineares dos demais harmônicos esféricos com l = 1, construa as funções Y1x e Y1y , orientadas ao longo de x e y, respectivamente. RESPOSTA COMENTADA (a) Basta notar que z = r cosθ , portanto, Y10 = ( 3 4π ) 12 cosθ = ( 3 4π ) 12 (b) Por analogia com a função Y1z , buscamos as funções Y1x = ( 3 4π ) 12 Y1y = ( 3 4π ) 12 Y1x = ( 3 4π ) 12 eiϕ + e − iϕ eiϕ − e − iϕ e sen ϕ = , chegamos aos resultados 2 2i  eiϕ + e − iϕ  x 12 12 = ( 3 4π ) sen θ cos ϕ = ( 3 4π ) sen θ   r 2   Y1−1 − Y11 2 Y1y = ( 3 4π ) 12 Y1y = e y . Usando as expressões da Tabela 19.1, as Equações (19.12) r e as identidades cos ϕ = Y1x = x r z . r  eiϕ − e − iϕ  y 12 12 = ( 3 4π ) sen θ senϕ = ( 3 4π ) sen θ   r 2i   −Y1−1 − Y11 2i Portanto, podemos construir harmônicos esféricos com l = 1 orientados nas direções x e y a partir de combinações lineares dos harmônicos esféricos originais. Na verdade, podemos construir, com essa metodologia, funções orientadas espacialmente em qualquer direção do espaço. Este conceito é bastante útil em Química, pois está associado à idéia de valência dirigida: os estados quânticos orientados em certas direções podem ser usados em moléculas ou sólidos para construir ligações químicas naquelas direções. CEDERJ 125
  • 18. Introdução à Mecânica Quântica | O operador momento angular RESUMO No caso de uma partícula que se movimenta sob o efeito de um potencial central, é importante estudar o operador momento angular, cujas componentes podem ser escritas em coordenadas esféricas. Podemos encontrar autofunções simultâneas ˆ ˆ dos operadores Lz e L2 : são os harmônicos esféricos Ylm (θ , ϕ ) . Essas funções são caracterizadas por dois números quânticos, l e m, que podem ser associados ao módulo e à projeção sobre o eixo z do momento angular orbital da partícula. INFORMAÇÃO SOBRE A PRÓXIMA AULA Na próxima aula, vamos aplicar o método de separação da equação de Schrödinger tridimensional em coordenadas esféricas ao caso de um átomo com um único elétron, como o átomo de hidrogênio. 126 CEDERJ