1) O documento apresenta um método para resolver equações diferenciais ordinárias e parciais lineares de qualquer ordem através da construção de uma função solução como soma de funções parciais. 2) O método é aplicado para resolver a equação generalizada de Euler-Tricomi, obtendo uma expressão para a função solução em termos de integrais das funções que definem a equação diferencial original. 3) Achar pares de funções satisfazendo certa equação integral forneceria a solução completa do problema segundo o método proposto.

1. 1
Novas Informações Sobre a Equação Generalizada de
Euler-Tricomi
1Lohans de Oliveira Miranda; 2Lossian Barbosa Bacelar Miranda
1Universidad Europea del Atlântico, Espanha, lohansmiranda@gmail.com
2IFPI, Brazil, lossianm@gmail.com
Data: 04/01/2022
Abstract. Nós divulgamos um simples e direto método de resolução de
equações diferenciais ordinárias ou parciais lineares de ordens quaisquer
e o aplicamos para resolver a equação generalizada de Euler-Tricomi. O
método é mais fácil do que os métodos clássicos e, também, didático.
1. Preliminares
A seguir, transcrevemos o já estabelecido em [2].
“Consider:
1) 𝑥
⃗ = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝐴, 𝐴 open set of ℝ𝑛
;
2) 𝑘 ∈ 𝐼𝑛 = {1, 2, 3, … , 𝑛};
3) 𝑢: 𝐴 → ℝ, differentiable function of order 𝑘, with continuous
derivatives (1)
Let us consider the “𝑘-dimensional Hessian matrix” given by
𝐻 = (
𝜕𝑘
𝑢(𝑥
⃗)
𝜕𝑥𝑖1
𝜕𝑥𝑖2
… 𝜕𝑥𝑖𝑘
) (2)
From 𝐻, let us consider the following system, being 𝑏𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗) and
𝑓𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗) differentiable functions of order 𝑘, with continuous derivatives,
and
𝑓𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
𝑏𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
being well defined in 𝐴:
(𝑏𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
𝜕𝑘
𝑢(𝑥
⃗)
𝜕𝑥𝑖1
𝜕𝑥𝑖2
… 𝜕𝑥𝑖𝑘
) = (𝑓𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)) (3)
Let us denote:
𝑔𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗) =
𝑓𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
𝑏𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
(4)
So (3) will be written as
(
𝜕𝑘
𝑢(𝑥
⃗)
𝜕𝑥𝑖1
𝜕𝑥𝑖2
… 𝜕𝑥𝑖𝑘
) = (𝑔𝑖1…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)) (5)
Observation 1. Repeated applications of the Fundamental Theorem of
Calculus for each of the 𝑛𝑘
partial differential equations

2. 2
𝜕𝑘
𝑢(𝑥
⃗)
𝜕𝑥𝑖1
𝜕𝑥𝑖2
… 𝜕𝑥𝑖𝑘
= 𝑔𝑖1…𝑖𝑘
(𝑥
⃗) (6)
give us the 𝑛𝑘
solutions
𝑢𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗) = ∭ … ∫ 𝑔𝑖1…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)𝜕𝑥𝑖1
𝜕𝑥𝑖2
… 𝜕𝑥𝑖𝑘−1
+
∑ 𝑐𝑠,𝑖1…𝑖𝑘
𝑘−1
𝑠=1
∏ 𝑥𝑖𝜃
𝑘−1
𝜃=𝑠+1
+ 𝑐𝑘−1,𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(7)
Here, the c (under indexed) are real or complex numbers. Obviously,
𝜕𝑘
𝑢𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
𝜕𝑥𝑗1
𝜕𝑥𝑗2
… 𝜕𝑥𝑗
= 𝑔𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗) (8)
if (𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑘) = (𝑗1, 𝑗2, … , 𝑗𝑘).
Now, consider the function
𝑢
̃(𝑥
⃗) = ∑ 𝑢𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
𝑖1,𝑖2,…,𝑖𝑘∈𝐼𝑛
(9)"
Agora Podemos anunciar os resultados principais.
2. Resultados principais
Novamente, transcrevemos o que foi feito em [2]:
“Proposition 1. In the hypotheses established above, if for (𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑘) ≠
(𝑗1, 𝑗2, … , 𝑗𝑘) we have
𝜕𝑘
𝑢𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
𝜕𝑥𝑗1
𝜕𝑥𝑗2
… 𝜕𝑥𝑗
= 0, (10)
then 𝑢
̃(𝑥
⃗) = ∑ 𝑢𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
𝑖1,𝑖2,…,𝑖𝑘∈𝐼𝑛
defined in (9) will be the solution of 𝑛𝑘
partial differential equations defined in (3), or alternatively in (6). In
particular, 𝑢
̃(𝑥
⃗) will be a solution of the 2𝑛𝑘
− 1 differential equations
defined by the sums of the elements of all non-empty subsets of the set
𝐵 = {
𝜕𝑘
𝑢(𝑥
⃗)
𝜕𝑥𝑖1
𝜕𝑥𝑖2
… 𝜕𝑥𝑖𝑘
; 𝑖1,𝑖2, … , 𝑖𝑘 ∈ 𝐼𝑛 } (11)
Demonstration. It is an immediate consequence of the construction of
𝑢
̃(𝑥
⃗) and of the hypothesis (𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑘) ≠ (𝑗1, 𝑗2, … , 𝑗𝑘).
Observation 2. The thesis of Proposition 1 can still be obtained even if the
assumptions established in (10) are not satisfied. To do so, it is enough
to find the unknown functions involved that satisfy the required integral
equations”.

3. 3
Teorema 1. Sejam:
∑ 𝑓𝑘
𝑛
𝑘=1
(𝑥)
𝑑𝑘
𝑦
𝑑𝑥𝑘
(𝑥) = ∑ ℎ𝑘
𝑛
𝑘=1
(𝑥) (12)
𝑑𝑘
𝑦
𝑑𝑥𝑘
(𝑥) =
ℎ𝑘(𝑥)
𝑓𝑘(𝑥)
≝ 𝑔𝑘(𝑥); 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 (13)
Sejam
𝑦𝑘(𝑥) = ∫ ∫ … ∫ 𝑔𝑘(𝑥) 𝑑𝑥𝑑𝑥 … 𝑑𝑥 + (∑ 𝑎𝑘−1𝑥𝑘−1
𝑛
𝑘=1
) ; 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 (14)
𝑦
̃(𝑥) ≝ ∑ 𝑦𝑘
𝑛
𝑘=1
(𝑥); 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 (15 )
𝑑𝑖
𝑦𝑘
𝑑𝑥𝑖
(𝑥) = {
𝑦𝑘(𝑥), 𝑖 = 𝑘
0, 𝑖 ≠ 𝑘
(16)
Então, 𝑦
̃(𝑥) é solução de ∑ 𝑓𝑘
𝑛
𝑘=1 (𝑥)
𝑑𝑘𝑦
𝑑𝑥𝑘
(𝑥) = ∑ ℎ𝑘
𝑛
𝑘=1 (𝑥) e das 2𝑛
− 1
equações diferenciáveis ordinárias que podemos formar com os seus 𝑛
termos.
Prova: É uma consequência imediata da construção de 𝑦
̃(𝑥) e da hipótese
(16).
Observação 1. Tal como ocorre em Observation 2 de [2], se as hipóteses
(1¨) não forem satisfeitas, mesmo assim poderemos, no presente caso,
tentar encontrar solução para a equação diferencial ordinária a partir da
busca de algumas funções auxiliaries, soluções de equações integrais em
uma única variável.
Observação 2. Imitando o realizado em [2] podemos notar que o método
lá estabelecido também se aplica para equações diferenciais parciais
lineares quaisquer. De tal sorte que o método é aplicável para quaisquer
equações diferenciais lineares, sejam ordinárias ou parciais.
3. Aplicação: “Equação generalizada de Euler-Tricomi” (
𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒙𝟐
+
𝒈(𝒙)
𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒚𝟐
= 𝟎)
Na ordem 2 o método acima estabelecido resolve as principais equações
diferenciais parciais da Física e da Tecnologia. Aqui, nós faremos uma
breve aplicação na equação generalizada de Euler-Tricomi,
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝑔(𝑥)
𝜕2
𝑢
𝜕𝑦2
= 0 (17)

4. 4
(
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
0
0 𝑔(𝑥)
𝜕2
𝑢
𝜕𝑦2
)
= (
𝑓(𝑥, 𝑦) 0
0 −𝑓(𝑥, 𝑦)
) (18)
Aqui, temos:
𝑢11(𝑥, 𝑦) = ∬ 𝑓 𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝑘1(𝑦)𝑥 + 𝑘2(𝑦) (19)
𝑢22(𝑥, 𝑦) = − ∬
𝑓
𝑔(𝑥)
𝑑𝑦𝑑𝑦 + 𝑣(𝑥)𝑦 + 𝑣2(𝑥) (20)
𝑢
̃ = ∬ 𝑓 𝑑𝑥𝑑𝑥 −
1
𝑔(𝑥)
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑦 + 𝑎𝑥𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑 (21)
𝜕2
𝑢
̃
𝜕𝑥2
= 𝑓 − 𝑔(𝑥)−3
∬ (𝑔2
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥2
− 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑔(𝑥)𝑔′′
(𝑥) − 2𝑔𝑔′
𝜕𝑓
𝜕𝑥
+ 2𝑓𝑔′𝑔′) 𝑑𝑦𝑑𝑦 (22)
𝜕2
𝑢
̃
𝜕𝑦2
= −𝑔−1
𝑓 + ∬
𝜕2
𝑓
𝜕𝑦2
𝑑𝑥𝑑𝑥 (23)
Logo,
𝜕2
𝑢
̃
𝜕𝑥2
+ 𝑔
𝜕2
𝑢
̃
𝜕𝑦2
=
−𝑔−3
∬ (𝑔2
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥2
− 𝑓𝑔𝑔′′
− 2𝑔𝑔′
𝜕𝑓
𝜕𝑥
+ 2𝑓𝑔′
𝑔′
) 𝑑𝑦𝑑𝑦 + 𝑔 ∬
𝜕2
𝑓
𝜕𝑦2
𝑑𝑥𝑑𝑥 (24)
A partir desta última equação, notemos que se
𝑔 ∬
𝜕2
𝑓
𝜕𝑦2
𝑑𝑥𝑑𝑥 = 𝑔−3
∬ (𝑔2
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥2
− 𝑓𝑔𝑔′′
− 2𝑔𝑔′
𝜕𝑓
𝜕𝑥
+ 2𝑓𝑔′
𝑔′
) 𝑑𝑦𝑑𝑦 (25)
então teremos
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝑥
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
= 0.
Achar todos os pares (𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑔(𝑥)) satisfazendo a esta equação integral
forneceria o máximo que o método poderia dar.
Comentário 3.1. (Buscando 𝑓 na forma 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐹(𝑥)𝐺(𝑦)). Dada uma
função 𝑔(𝑥) em um domínio qualquer, não parece tarefa fácil achar a
correspondente função 𝑓(𝑥, 𝑦) que satisfaça à equação (25). Aqui, as
buscaremos na forma de variáveis separáveis ou também exponencial.
Fazendo 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐹(𝑥)𝐺(𝑦) em (25) teremos

5. 5
𝐺′′(𝑦)
∬ 𝐺(𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑦
=
𝑔(𝑔𝐹′′
− 2𝑔′
𝐹′
) + (2𝑔′
𝑔′
− 𝑔𝑔′′)𝐹
𝑔4 ∬ 𝐹(𝑥) 𝑑𝑥𝑑𝑥
= 𝑘 (26)
onde 𝑘 é uma constante qualquer.
Com as notações
𝛼(𝑥) = ∬ 𝐹(𝑥) 𝑑𝑥𝑑𝑥 (27)
𝛽(𝑦) = ∬ 𝐺(𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑦 (28)
teremos
𝑔(𝑔𝛼′′′′
− 2𝑔′
𝛼′′′) + (2𝑔′
𝑔′
− 𝑔𝑔′′)𝛼′′
− 𝑘𝑔4
𝛼 = 0 (29)
𝛽′′′′
− 𝑘𝛽 = 0 (30)
(29) se reduz a
𝑔(𝑔𝛼′′′′
− 2𝑔′
𝛼′′′) − 𝑘𝑔4
𝛼 = 0 (31)
caso
2𝑔′
𝑔′
− 𝑔𝑔′′
= 0 (32)
(32) equivale a
𝑔 =
𝑐2
𝑐1 + 𝑥
(33)
Substituindo (33) em (31) teremos
𝑐2(𝑐1 + 𝑥)2
𝛼′′′′
+ 2(𝑐1 + 𝑥)𝛼′′′
− 𝑘𝑐2
3
𝛼 = 0 (34)
Sejam: 𝑐2 ≝ 𝑏; 𝑐1 + 𝑥 ≝ 𝑧; 𝑘𝑐2
3
≝ 𝑎; 𝑦(𝑧) = 𝛼(𝑥(𝑧)). Então, (34) fica sob a
forma
𝑏𝑧2
𝑦′′′′(𝑧) + 2𝑧𝑦′′′(𝑧) − 𝑎𝑦(𝑧) = 0 (35)
A solução de (35) por Wolfram Alpha é:
𝑦(𝑧) = (
𝑖
4
)
3−2/𝑏
𝑏
1
𝑏
−3/2
𝑐̃1𝑎
3
2
−1/𝑏
𝑧3−2/𝑏
𝐹3
0 (;
3
2
−
1
𝑏
, 2 −
1
𝑏
,
5
2
−
1
𝑏
;
𝑎𝑧2
16𝑏
)+
𝑎𝑐̃3𝑧2
𝐹3
0 (;
3
2
, 2,
1
2
+
1
𝑏
;
𝑎𝑧2
16𝑏
)
𝑏
+
𝑖√𝑎𝑐̃2𝑧 𝐹3
0 (;
1
2
,
3
2
,
1
𝑏
;
𝑎𝑧2
16𝑏
)
4√𝑏
+
𝑐̃4𝐺0,4
2,0
(
𝑎𝑧2
16𝑏
|0,1,
1
2
,
3
2
−
1
𝑏
) (36)
onde:
𝐹
𝑞
𝑝 (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑝; 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑞; 𝑧) é a “generalized hypergeometric function”,

6. 6
𝐺𝑝,𝑞
𝑚,𝑛
(𝑧 |𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑞
𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑝
) é a “Meijer G-function” e 𝑐̃𝑖, 𝑖 = 1,2,3,4, são constantes.
De 𝑧 = 𝑥 + 𝑐1, 𝛼(𝑥) = 𝑦(𝑥 + 𝑐1) e 𝛼(𝑥) = ∬ 𝐹(𝑥) 𝑑𝑥𝑑𝑥 se conclui que 𝐹(𝑥) =
𝑦′′(𝑥 + 𝑐1). Portanto, 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐹(𝑥)𝐺(𝑦) = 𝑦′′(𝑥 + 𝑐1)𝛽′′(𝑦)
A solução da equação generalizada de Euler-Tricomi será então:
𝑢
̃ = ∬ 𝑦′′(𝑥 + 𝑐1)𝛽′′(𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑥 −
1
𝑔(𝑥)
∬ 𝑦′′(𝑥 + 𝑐1)𝛽′′(𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑦 + 𝑎𝑥𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 +
𝑑 = 𝛽′′(𝑦)𝑦(𝑥 + 𝑐1) −
1
𝑔(𝑥)
𝑦′′(𝑥 + 𝑐1)𝛽(𝑦) (37)
onde
𝛽(𝑦) = 𝑑2𝑒− √𝑘
4
𝑦
+ 𝑑4𝑒 √𝑘
4
𝑦
+ 𝑑3𝑠𝑒𝑛(√𝑘
4
𝑦) + 𝑑1𝑐𝑜𝑠(√𝑘
4
𝑦) (38)
é a solução de (30).
Comentário 3.2. A equação (29) é atípica, pois é uma “equação diferencial”
em duas funções desconhecidas 𝛼(𝑥) e 𝑔(𝑥), as quais devem ser buscadas
acopladas na mesma equação e, com iguais domínios. Técnicas usuais
não permitem encontrar as suas soluções facilmente. A seguir,
tentaremos mais uma situação específica.
Comentário 3.3. (Hipótese 𝑔𝛼′′′′
− 2𝑔′
𝛼′′′
). De
𝑔𝛼′′′′
− 2𝑔′
𝛼′′′
(39)
resultam
𝛼′′′′
𝛼′′′
= 2
𝑔′
𝑔
(40)
Seja
𝛼′′′
= 𝜃 (41)
Então, teremos, de (40)
𝑑𝜃
𝑑𝑥
𝜃
= 2
𝑑𝑔
𝑑𝑥
𝑔
(42)
E desta,
∫
1
𝜃
𝑑𝜃 = ∫
1
𝑔
𝑑𝑔 (43)
𝜃 = 𝑔2
(44)
Desta, de (29), (30) e (41) seguem
(2𝑔′
𝑔′
− 𝑔𝑔′′)𝛼′′ − 𝑘𝑔4
𝛼 = 0 (45)
𝛼′′′(𝑥) = 𝑔2(𝑥) (46)

7. 7
𝛼 = ∭ 𝑔2
(𝑥) 𝑑𝑥𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝑐1𝑥2
+ 𝑐2𝑥 + 𝑐3 (47)
Note que a solução para a equação generalizada de Euler-Tricomi, nesse
caso, fica condicionada a encontrarmos a difícil solução da equação não
linear (45).
Conclusão
O método apresentado resolve em parte a equação generalizada de
Euler-Tricomi em grande abrangência, com possibilidade de nove
parâmetros. O método complementa os resultados clássicos. A exposição
acima deixa claro que condições menos restritivas sobre a função 𝑓(𝑥, 𝑦),
que a separação de variáveis 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐹(𝑥)𝐺(𝑦), podem gerar outras
famílias de soluções.
Referências
[1]. GERALD B. FOLLAND. Introduction to Partial Differential Equations,
2nd ed. Princeton University Press, New Jersey, 1995.
[2]. MIRANDA, Lohans de O. and MIRANDA, Lossian B. B. One Solution
for Many Linear Partial Differential Equations With Terms of Equal
Orders, Journal of Nepal Mathematical Society (JNMS), Vol. 4, Issue 2
(2021).
[3]. MIRANDA, Lohans de O. and MIRANDA, Lossian B. B. Novas
Informações Sobre a Equação de Euler-Tricomi. pt.slideshare.net. Visto
em 04.01.2022.
[4]. Tricomi equation. Encyclopedia of Mathematics. URL:
http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Tricomi_equation&oldid
=33467 . In Dec, 24, 2021.