2. Pontos aderentes a um conjunto de números
reais
Dados um conjunto 𝐴 ⊂ ℝ e um ponto 𝑎 ∈ ℝ, diz-se que 𝑎 é um ponto
aderente de 𝐴 quando existe uma sucessão (𝑥 𝑛) de elementos de 𝐴 tal
que lim 𝑥 𝑛 = 𝑎.
1. Todo o ponto 𝑎 ∈ 𝐴 é um ponto aderente de 𝐴
(basta considerar a sucessão 𝑥 𝑛 = 𝑎).
2. Pode ter-se um ponto 𝑎 aderente de 𝐴, sem que 𝑎 pertença a 𝐴.
Exemplo:
Considera o conjunto 𝐴 = −2 ∪ 0, 3 .
• 3 é um ponto aderente de 𝐴, pois, por exemplo, 𝑥 𝑛 = 3 −
1
𝑛−4
é uma
sucessão de elementos de 𝐴, tal que lim 𝑥 𝑛 = 3.
• −2 é um ponto aderente de 𝐴, pois, por exemplo, 𝑥 𝑛 = −2 é uma
sucessão de elementos de 𝐴, tal que lim 𝑥 𝑛 = −2.
3. Limite de uma função num ponto aderente
ao respetivo domínio
Seja 𝑓 uma função real de variável real e 𝑎 ∈ ℝ, o número real 𝑏
designa-se por limite de 𝒇(𝒙) quando 𝒙 tende para 𝒂 quando 𝑎 for um
ponto aderente de 𝐷𝑓, e para toda a sucessão (𝑥 𝑛) de elementos de 𝐷𝑓
convergente para 𝑎, lim 𝑓 𝑥 𝑛 = 𝑏. Escreve-se lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑏.
Notas:
1. Para 𝑎 ∈ 𝐷𝑓, se o limite de 𝑓 𝑥 , quando 𝑥 tende para 𝑎, existir, é igual a 𝑓(𝑎).
2. O limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende para 𝑎, se existir, é único.
3. A definição de limite e a propriedade presente na nota anterior estende-se ao
caso de limites infinitos.
Definição de limite segundo Heine
4. Exemplo 1
Considera a função 𝑓 definida por 𝑓 𝑥 =
−4
𝑥³−2
.
Recorrendo à definição de limite segundo Heine, prova que lim
𝑥→5
𝑓 𝑥 = −
4
123
.
Sugestão de resolução:
Seja (𝑥 𝑛) uma sucessão qualquer de elementos de 𝐷𝑓: 𝑥 𝑛 → 5
lim 𝑓(𝑥 𝑛) = lim
−4
(𝑥 𝑛)³−2
=
lim −4
lim (𝑥 𝑛)³−2
=
lim −4
lim (𝑥 𝑛)³−lim 2
=
−4
5³−2
= −
4
123
∴ lim
𝑥→5
𝑓 𝑥 = −
4
123
=
lim −4
lim 𝑥 𝑛 ³−lim 2
=
5. Seja 𝑓 uma função real de variável real e 𝑎 ∈ ℝ. Diz-se que:
𝑏 ∈ ℝ é o limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende para 𝑎 por valores inferiores
a 𝑎 ou limite de 𝑓(𝑥) à esquerda de 𝑎 quando 𝑏 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 −∞, 𝑎 𝑥 .
Escreve-se lim
𝑥→𝑎⁻
𝑓 𝑥 = 𝑏 .
𝑏 ∈ ℝ é o limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende para 𝑎 por valores
superiores a 𝑎 ou limite de 𝑓(𝑥) à direita de 𝑎 quando 𝑏 =
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑎,+∞ 𝑥 . Escreve-se lim
𝑥→𝑎⁺
𝑓 𝑥 = 𝑏 .
Limites laterais
6. Exemplo 2
Considera a função 𝑓 definida por 𝑓 𝑥 =
−4
𝑥−2
+ 5.
Recorrendo à definição de limite segundo Heine, prova que lim
𝑥→2⁺
𝑓 𝑥 = −∞.
Sugestão de resolução:
Seja (𝑥 𝑛) uma sucessão qualquer de elementos de 𝐷𝑓: 𝑥 𝑛 → 2 ∧ 𝑥 𝑛 > 2, ∀𝑛 ∈ ℕ.
lim 𝑓(𝑥 𝑛) = lim
−4
𝑥 𝑛−2
+ 5 =
lim −4
lim 𝑥 𝑛−2
+ lim 5 =
=
lim −4
lim 𝑥 𝑛−lim 2
+ lim 5 =
lim
−4
𝑥 𝑛−2
+ lim 5 =
−4
2⁺−2
+ 5 = −∞
∴ lim
𝑥→2⁺
𝑓 𝑥 = −∞
−4
0⁺
+ 5 = −∞ + 5 =
7. Dada uma função real de variável real 𝑓 e dado um ponto 𝑎 aderente ao
respetivo domínio 𝐷𝑓:
se 𝒂 ∉ 𝑫 𝒇 e se 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂⁻
𝒇 𝒙 e 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂+
𝒇 𝒙 existirem e forem iguais, então
existe o lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 e, nesse caso, lim
𝑥→𝑎⁻
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 .
se 𝒂 ∈ 𝑫 𝒇 e se 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂⁻
𝒇 𝒙 e 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂+
𝒇 𝒙 existirem e forem iguais a 𝒇 𝒂 ,
então existe o lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 e, nesse caso, lim
𝑥→𝑎⁻
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 .
Limites laterais
10. Dada uma função real de variável real 𝑓 cujo domínio não é majorado
(ou minorado), o número real 𝑏 designa-se por limite de 𝑓(𝑥) quando
𝑥 tende para mais (ou menos) infinito, quando, para toda a sucessão
(𝑥 𝑛) de elementos de 𝐷𝑓, com limite +∞ ou − ∞ , lim 𝑓(𝑥 𝑛) = 𝑏.
Representa-se por 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒇 𝒙 = 𝒃 e diz-se que “𝑓(𝑥) tende para 𝑏
quando 𝑥 tende para mais (ou menos) infinito”.
Limites no infinito
Nota:
O limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende para ±∞, se existir, é único.
11. Exemplo 3
Considera a função 𝑓 definida por 𝑓 𝑥 =
2
𝑥²
.
Recorrendo à definição de limite segundo Heine, prova que lim
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 0.
Sugestão de resolução:
Seja (𝑥 𝑛) uma sucessão qualquer de elementos de 𝐷𝑓: 𝑥 𝑛 → −∞.
lim 𝑓(𝑥 𝑛) = lim
2
𝑥 𝑛 ²
=
lim 2
lim 𝑥 𝑛 ²
=
lim 2
lim 𝑥 𝑛 ²
=
2
−∞ ²
=
∴ lim
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 0
2
+∞
= 0
12. Operações com limites
Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções tais que lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑙1 e lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 𝑙2, com 𝑙1, 𝑙2 ∈
ℝ e 𝑎 um ponto finito (ponto aderente do respetivo domínio) ou infinito:
lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎
lim
𝑥→𝑎
𝑓 × 𝑔 𝑥 = 𝑙1 × 𝑙2
lim
𝑥→𝑎
𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑙1
𝑙2
, se 𝑔 𝑥 ≠ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑔 e 𝑙2 ≠ 0
lim
𝑥→𝑎
𝑘 × 𝑓 𝑥 = 𝑘 × 𝑙1, 𝑘 ∈ ℝ
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 𝑟 = 𝑙1
𝑟, se 𝑟 ∈ ℕ
ou 𝑟 ∈ ℚ⁺ e 𝑓 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓
ou 𝑟 ∈ ℚ e 𝑓 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓
lim
𝑥→𝑎
𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑙1 + 𝑙2
lim
𝑥→𝑎
𝑘 = 𝑘 Nota:
Todas estas propriedades são
suscetíveis de serem alargadas ao
caso de lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 e lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
serem infinitos, exceto se
conduzirem a indeterminações.
15. Produto de uma função limitada por uma
função com limite nulo
Dados 𝐷 ⊂ ℝ, as funções 𝑓: 𝐷 → ℝ e 𝑔: 𝐷 → ℝ e um ponto 𝑎 aderente a
𝐷, se 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = 𝟎 e se 𝒈 é limitada, então 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 = 𝟎.
lim
𝑥→𝑎
sen 𝑥
𝑥²
= 0, pois −1 ≤ sen 𝑥 ≤ 1, ∀ 𝑥 ∈ ℝ e lim
𝑥→𝑎
1
𝑥²
= 0
Exemplo:
16. Limite de uma função composta
Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções reais de variável real e 𝑎 um ponto aderente a 𝐷𝑔∘𝑓.
Se 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = 𝒃 ∈ ℝ e 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒃
𝒈 𝒙 = 𝒄 ∈ ℝ, então 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒈 ∘ 𝒇 𝒙 = 𝒄.
Exemplo 5
Na figura está parte da representação
gráfica de uma função 𝑔 definida em ℝ.
Determina o valor de lim
𝑥→−1
𝑔 𝑥³ + 3 .
Consideremos a mudança de variável 𝑥³ + 3 = 𝑦.
Se 𝑥 → −1,
Assim, lim
𝑥→−1
𝑔 𝑥³ + 3 =
Sugestão de resolução:
então 𝑥³ + 3 → 2, isto é, 𝑦 → 2.
lim
𝑦→2
𝑔 𝑦 = 7.
17. Levantamento algébrico de indeterminações
envolvendo funções racionais
Estratégias:
+∞ − ∞
∞
∞
0 × ∞
Simplificar a
expressão de
modo a obter:
0
0
Fatorizar o numerador e
denominador e
simplificar a espressão
0
0
Se 𝒙 → 𝒂
19. +∞ + −∞ Colocar em evidência o termo de maior
grau.
0
0
0 × ∞
Simplificar a
expressão de
modo a obter:
∞
∞
Colocar em evidência o
termo de maior grau no
numerador e no
denominador.
∞
∞
Se 𝒙 → ±∞
Levantamento algébrico de indeterminações
envolvendo funções racionais
Estratégias: