O documento discute conceitos estatísticos básicos como variáveis qualitativas, quantitativas, distribuição de frequências, medidas descritivas e moda. Ele fornece exemplos e definições de cada um destes conceitos.

1. ESTATÍSTICA
Organizando dados para uma visão melhor
Por: Marden Rodrigues
Aluno de Administração – Segundo Período

2. CONCEITOS GERAIS DE ANÁLISE
DE DADOS
Por: Marden
Rodrigues

3. DEFINIÇÃO E TIPOS DE VARIÁVEIS
Por: Marden
Rodrigues

4. VARIÁVEIS QUALITATIVAS
Quando o resultado da observação é
apresentado na forma de qualidade ou
atributo,
dividem-se em:
 Variáveis nominais: quando podem ser
separadas por categorias chamadas de não
mensuráveis
 Variáveis ordinais: quando os números
podem agir como categorias ou ordenações.
Por: Marden
Rodrigues

5. EXEMPLOS DE VARIÁVEIS QUALITATIVAS

Variáveis nominais: a cor dos olhos, tipo de
acomodação, marcas de carro, sexo, etc.

Variáveis ordinais: como sugere o nome,
elas envolvem variáveis que representam
algum elemento em ordem. Uma
classificação em anos pode ser um exemplo
clássico
Por: Marden
Rodrigues

6. VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
Quando o resultado da observação é um
número,
decorrente de um processo de mensuração ou
contagem.
 Variáveis contínuas: são aquelas que podem
assumir qualquer valor num certo intervalo
da reta real.
 Variáveis discretas: são aquelas que podem
assumir apenas valores inteiros em pontos
da reta real. Por: Marden
Rodrigues

7. EXEMPLOS DE VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
Variáveis contínuas: não é possível
enumerar todos os possíveis valores, essas
variáveis geralmente provém de medições,
como de altura, peso, etc.
 Variáveis discretas: é possível enumerar
todos os possíveis valores da variável, como
o número de alunos em uma escola ou o
número de mensagens de uma secretária
eletrônica.

Por: Marden
Rodrigues

8. DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS
Por: Marden
Rodrigues

9. Um conjunto de observações de certo
fenômeno,
não estando adequadamente organizado,
fornece pouca informação de interesse ao
pesquisador e ao leitor. Para uma visão rápida
e
global do fenômeno deve-se fazer a
organização
dos dados coletados em uma pesquisa através
Por: Marden
das distribuições de freqüência.
Rodrigues

10. REPRESENTAÇÃO DOS DADOS

Dados brutos: são aqueles que não foram
numericamente organizados, ou seja, estão
na forma com que foram coletados.

Rol: é a organização dos dados brutos em
ORDEM de grandeza crescente ou
decrescente
Por: Marden
Rodrigues

11. 

Distribuição da freqüência sem
intervalos de classe: é a simples
condensação dos dados
conforme as repetições de seus
valores. Para um rol de tamanho
razoável, esta distribuição de
freqüência é inconveniente, já
que exige muito espaço.
Distribuição de freqüência com
intervalos de classe: quando o
tamanho da amostra é elevada e
o número de variáveis é muito
grande, é mais racional efetuar o
agrupamento dos valores em
vários intervalos de classe.
REPRESENTAÇÃO DE DADOS
Por: Marden
Rodrigues
As imagens
respectivas
às
classificações
estão nas
páginas 39 e
40 da
apostila

12. CLASSE
Por: Marden
Rodrigues

13. DEFINIÇÃO
São intervalos de variação da variável.
As classes são representadas
simbolicamente
por i, sendo i = 1,2,3...
(ou seja, i = 1ª classe, 2ª classe...)
Por: Marden
Rodrigues

14. LIMITES DE CLASSE
São os extremos de cada classe. O menor
número é o limite inferior da classe (li) e o
maior número é o limite superior da classe
(ls).
Por exemplo: se em uma classe temos que :
26|--- 36 (onde “ |--- “ indica: fechado em 26
e aberto em 36), dizemos que li = 26 e ls =
36
Por: Marden
Rodrigues

15. AMPLITUDE DE UM INTERVALO DE CLASSE
É a medida de intervalo que define a classe.
Ela é obtida pela diferença entre os limites
superior e inferior. A nomeando de “h”, temos
que:
h = ls – li
Por exemplo, no exemplo anterior, podemos
afirmar que a amplitude é de 10. (36-26)
Por: Marden
Rodrigues

16. AMPLITUDE TOTAL (H)
É a diferença entre o valor máximo e o valor
mínimo da amostra:
H = Li – Ls
Se no total de uma amostra, temos que o
maior valor é de 96 e o menor é de 6, temos
que H= 96 – 6 = 90
Por: Marden
Rodrigues

17. PONTO MÉDIO DE UMA CLASSE
O ponto médio de uma classe (xi) é o ponto que
divide o intervalo de classe em duas partes
iguais.
xi = (li + ls)/2
No exemplo anterior do intervalo 26|--- 36,
temos
que:
xi = (36+26)/2 = 62/2 = 31
Por: Marden
Rodrigues

18. EM SÍNTESE...
Dados
brutos são aqueles que não foram
organizados.
Rol é a organização dos dados brutos em ordem de
grandeza crescente ou decrescente.
Distribuição de freqüências pode ser com ou sem
intervalos de classe.
Os elementos da distribuição de frequencias são:
 Classe:
são intervalos de variação da variável.
 Limites de classe: são extremos de cada classe.
 Amplitude de classe e total: é a diferença entre o
maior e o menor limite.
 Ponto médio: é a média aritmética dos limites de
Por: Marden
classe.
Rodrigues

19. -DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS
-NÚMERO DE CLASSE
-TIPOS DE FREQÜÊNCIA
Por: Marden
Rodrigues

20. DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE CLASSES (K)
É importante que a distribuição conte com
um número adequado de classes. Se o
número de classes for excessivamente
pequeno acarretará perda de detalhe e
pouca informação se poderá extrair da
tabela. Por outro lado, se for utilizado um
número excessivo de classes, haverá
alguma classe com freqüência nula ou muito
pequena, não atingindo o objetivo de
classificação que é tornar o conjunto de
Por: Marden
dados supervisionáveis.
Rodrigues

21. TRÊS SOLUÇÕES PARA DETERMINAR “K”
1) Para n ≤ 25 , K = 5. E para n > 25, K =
√n
Por exemplo: se a amostra tiver 23
elementos analisados, o número de classes
é 5, pois n< 25. Por outro lado, supondo que
a amostra tenha 83 elementos analisados
(n>25), o número de classes é dado por √83
= 9,1104335, que aproximando-se = 9
Por: Marden
classes.
Rodrigues

22. TRÊS SOLUÇÕES PARA DETERMINAR “K”
2) Pode-se utilizar a regra de Sturges, que
fornece o número de classes em função do
total de observações:
K = 1 + 3,3 x log n
Por: Marden
Rodrigues

23. TRÊS SOLUÇÕES PARA DETERMINAR “K”
3) Truman L. Kelley, sugere os seguintes
números de classes, com base no número
total de observações, para efeito de
representação gráfica:
n
5
10
25
50
100
200
500
K
2
4
6
8
10
12
15
Por: Marden
Rodrigues

24. RELEMBRANDO...
Qualquer regra para determinação do número
de classes da tabela não nos leva a uma
decisão final, esta vai DEPENDER, na
realidade, de um julgamento pessoal, que
deve estar ligado á natureza dos dados.
Por: Marden
Rodrigues

25. AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE

Amplitude do intervalo de classe nada mais
é que o comprimento da mesma, dado por:
Ai = H/K
Onde H = Limite superior – Limite inferior
K = número de classes
Por: Marden
Rodrigues

26. TIPOS DE FREQÜÊNCIA
Por: Marden
Rodrigues

27. FREQÜÊNCIA SIMPLES OU ABSOLUTA
Representada por “fi”, é o número de
repetições de um valor individual ou de uma
classe de valores da variável. A soma das
freqüências simples é igual ao número total
dos dados da distribuição.
∑fi = n
Por: Marden
Rodrigues

28. FREQÜÊNCIAS RELATIVAS
Representadas por “fri”, são os valores das
razões (divisões) entre as freqüências
absolutas de cada classe e a freqüência
total da distribuição. A soma das freqüências
relativas é igual a 1 ou 100%.
Fri = (fi/n) x 100
Por: Marden
Rodrigues

29. FREQUENCIA SIMPLES ACUMULADA
Representadas por “faci”, é o total das
freqüências de todos os valores inferiores do
limite superior do intervalo de uma
determinada classe.
Bilhete meu: se você não entendeu aqui, no
exemplo entenderá. 
Por: Marden
Rodrigues

30. FREQÜÊNCIA RELATIVA ACUMULADA
Representada por “fraci”, é a freqüência
acumulada da classe, dividida pela
freqüência total da distribuição.
fraci = faci/n
Por: Marden
Rodrigues

31. Classe
Fi
Fri
Fri (%)
Faci
Fraci
xi
280|-- 305
2
8%
8
2
8%
293
305|-- 330
3
12%
12
5
20%
318
330|-- 355
4
16%
16
9
40%
343
355|-- 380
9
36%
36
18
76%
368
380|-- 405
5
20%
20
23
92%
393
405|--|430
2
8%
8
25
100%
418
∑
25
100%
100
-
-
-

32. EM SÍNTESE...
Para
determinar o número de classes,
temos
três casos:
1º caso:
Para n ≤ 25  número de classes é K = 5
Para n > 25  número de classes é K = √n
2º caso:
Pela regra de Sturges  K = 1 + 3,3 x log n
3º caso:
Por: Marden
Pela regra de Truman. Conforme a tabela
Rodrigues

33. EM SÍNTESE...
 Amplitude
do intervalo de classe: é o comprimento
da classe, calculado por Ai = H/K.
 Freqüência simples ou absoluta (fi) é o número de
repetições de um valor individual.
 Freqüências relativas (fri) são os valores das
divisões entre “fi” e “n”
 Freqüência simples acumulada (faci) é o total das
freqüências de todos os valores inferiores ao limite
superior do intervalo de uma determinada classe.
 Freqüência
relativa acumulada (fraci) é a
freqüência acumulada da classe (faci) dividida pela
Por: Marden
freqüência total da distribuição.
Rodrigues

34. MEDIDAS DESCRITIVAS
Por: Marden
Rodrigues

35. MÉDIAS
Por: Marden
Rodrigues

36. MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
Para se obter a média aritmética simples de um conjunto
de dados, devemos dividir a soma dos valores de todos
os dados do conjunto pela quantidade deles. Coisa que
todos nós já sabíamos.
∂ = ∑xi/n
Onde:
∑ indica “soma de”
xi = valores que a variável x assume
n = número de valores
∂ = a média aritmética da amostra/população
Por: Marden
Rodrigues

37. MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
Média ponderada é uma média arítmética na
qual será atribuído um peso a cada valor da
série.
∂p = (xi . Pi)/∑Pi
onde o acréscimo da letra “i” na variável,
indica o fator de “todos os valores de”, por
exemplo: Pi = todos os valores de P
Por: Marden
Rodrigues

38. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS
SEM INTERVALOS DE CLASSES
As frequencias são as quantidades de vezes
que a variável ocorre na oleta de dados, elas
funcionam como fatores de ponderação, o
que nos leva a calcular uma média
ponderada.
∂ = (xi . fi)/n
Por: Marden
Rodrigues

39. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS
AGRUPADOS COM INTERVALO DE CLASSES
Neste caso, convencionamos que todos os
valores incluídos em um determinado intervalo
de classe coincidem com seu ponto médio, e
determinamos a média aritmética ponderada
por meio da seguinte fórmula:
∂ = (xi . fi)/n
Onde :
xi = (li + ls)/2 = ponto médio

40. EXEMPLOS...

Sem intervalo de classes:
Após ter sido realizado trabalho bimestral numa turma de
Estatística, o professor efetuou levantamento das notas obtidas
pelos alunos, observou a seguinte distribuição e calculou a
média de sua turma:
Notas dos alunos Números de alunos - xifi
fi
1
2
3
4
Total ∑
1
3
5
1
Por: N = 10
Marden
Rodrigues
1
6
15
4
26
∂ =(∑xi . fi)/n
∂ = 26/10
∂ = 2,6

41. EXEMPLOS...

Com intervalo de classes:
Determine a renda familiar, de acordo com os dados da tabela:
Classes – Renda
familiar
Xi
Fi – numero de
famílias
xifi
2 |--- 4
3
5
15
4 |--- 6
5
10
50
6 |--- 8
7
14
98
8 |--- 10
9
8
72
10 |--- 12
11
3
33
N = 40
268
Total ∑
∂ =(∑xi . fi)/n
∂ = 268/40
∂ = 6,7

42. MODA (MO)
Por: Marden
Rodrigues

43. DEFINIÇÃO E LEMBRETE
Define-se a moda como o valor que ocorre com
maior freqüência em um conjunto de dados.


Primeiramente os dados devem ser ordenados
para, em seguida, observar o valor que tem
maior freqüência.
É possível que haja mais de uma moda dentro
de uma mesma amostra/população,
dependendo da freqüência de determinado
Por: Marden
dado.
Rodrigues

44. EXEMPLOS...
Calcular a moda nos seguintes conjuntos de dados:
X = (4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8)
Mo = 6 (o valor mais freqüente)
Y = (1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6)
Mo = 2 e Mo = 4 (valores mais freqüentes)
Conjunto BImodal
Z = (1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5)
Mo = 2, Mo = 3 e Mo = 4 (valores mais freqüentes)
Conjunto POLImodal, ou seja, tem mais de 2 modas
Por: Marden
Rodrigues

45. MEDIANA (MD)
Por: Marden
Rodrigues

46. DEFINIÇÃO E OBTENÇÃO
É uma medida de posição cujo número divide um
conjunto de dados em duas partes iguais. Portanto, a
mediana se localiza no centro de um conjunto de
números ordenados segundo uma ordem de grandeza.

Para se obter o elemento mediano de uma série
deveremos seguir os seguintes passos:
- Se N for ímpar, a mediana é o termo de ordem:
P = (N+1)/2
- Se N for par, a mediana é a média aritmética dos
termos de ordem:
P1 = N/2 e P2 = N/2 + 1
Por: Marden
Rodrigues

47. EXEMPLOS...
1)
Determine o valor da mediana da série que é composta
dos seguintes elementos: 56, 58, 62, 65 e 90.
N = 5 (ímpar)  P = (N + 1)/2 = 6/2 = 3
3  indica o 3º elemento  Md = 62
2)
Em um pesquisa realizada a respeito de erros por folha,
cometidos por digitadores, revelaram-se as seguintes
quantidades: 12, 12, 13, 13, 15, 16, 18 e 20. Determinar
a quantidade mediana de falhas.
N = 8 (par)  P1 = N/2 = 8/2 = 4  4º elemento  Md = 13
P2 = N/2 + 1 = 8/2 + 1 = 5  5º elemento  Md = 15
Logo, a mediana será (13 + 15)/2 = 28/2 = 14
Por: Marden

48. DICA IMPORTANTE
Para analisar a fundo a
diferença entre Média, Mediana
e Moda, estude a tabela da
página 60 da apostila.
Por: Marden
Rodrigues

49. POSIÇÃO – QUARTIS, DECIS E PERCENTIS
Por: Marden
Rodrigues

50. DEFINIÇÃO E DIFERENCIAÇÃO
As medidas de posição denominadas quartis, decis
e percentis têm o mesmo princípio da mediana.
Enquanto a mediana separa a distribuição em duas
partes iguais, a característica principal de cada
uma dessas medidas é que:
Quartis: dividem a distribuição em quatro partes.
Decis: dividem em dez partes iguais.
Percentis: dividem em cem partem iguais.
Por: Marden
Rodrigues

51. QUARTIS PARA DADOS NÃO AGRUPADOS
0%
25%
Q1
50%
Q2
Para o cálculo das posições usaremos:
Q1  P1 = (n+1)/4
Q2  P2 = 2(n+1)/4
Q3  P3 = 3(n+1)/4
Onde n  número de dados (valores).
Por: Marden
Rodrigues
75%
Q3
100%

52. DECIS PARA DADOS NÃO AGRUPADOS
Para o cálculo das posições usaremos:
D1  P1 = (n+1)/10
D2  P2 = 2(n+1)10
D5  P5 = 5(n+1)/10
D9  P9 = 9(n+1)/10
Onde n  número de dados (valores).
Por: Marden
Rodrigues

53. PERCENTIS PARA DADOS NÃO AGRUPADOS
Para o cálculo das posições usaremos:
P1  P1 = (n+1)/100
P2  P2 = 2(n+1)/100
P50  P50 = 50(n+1)/100
P99  P99 = 99(n+1)/100
Onde  número de dados (valores).
Por: Marden
Rodrigues

54. LEMBRANDO QUE...
Utilizando medianas quartis, decis
ou percentis, se calcula uma
POSIÇÃO, ou seja, o valor obtido
do cálculo não será
necessariamente o dado em si, e
sim sua posição dentro do rol.
Por: Marden
Rodrigues

55. MEDIDAS DE DISPERSÃO (VARIABILIDADE)
Por: Marden
Rodrigues

56. DEFINIÇÃO
São medidas utilizadas para medir o grau de
variabilidade ou dispersão dos valores
observados em torno da média aritmética.
Servem para medir a representatividade da
média e proporcionam o conhecimento do
nível de homogeneidade ou
heterogeneidade dentro de cada grupo
analisado. Para compreender esse conceito,
considere o exemplo a seguir.
Por: Marden
Rodrigues

57. EXEMPLO (HOMO/HETEROGENEIDADE)
Um empresário deseja comparar a performance de dois
empregados, com base na produção diária de
determinada peça, durante cinco dias:
Empregado A: 70, 71, 69, 70, 70  ∆ = 70
Empregado B: 60, 80, 70, 62, 83  ∆ = 71
A performance média do empregado A é de 70 peças
produzidas diariamente enquanto que a do empregado B
é de 71 peças. Com base na média aritmética, verifica-se
que a performance B é melhor do que a de A. Porém,
observando-se bem os dados, percebe-se que a
produção de A varia apenas de 69 a 71 peças, ao passo
que a de B varia de 60 a 83 peças, o que revela que a
performance de A é bem mais uniforme do que a de B.

58. TIPOS DE MEDIDAS DE DISPERSÃO ABSOLUTA
Amplitude total (Ai): é a diferença entre o maior
e o menor valor observado.
Exemplo: Pela situação sugerida na introdução,
temos para a amplitude total os seguintes
cálculos para os empregados:
Empregado A  Ai = 71 – 69 = 2
Empregado B  Ai = 83 – 60 = 23
Por: Marden
Rodrigues

59. LEMBRANDO QUE...
Utilizando como medida de dispersão a amplitude
total de um grupo, se obtém algumas
desvantagens, que são:
-
-
- Leva em conta apenas os valores mínimo e
máximo do conjunto. Se ocorrer qualquer
variação no interior do conjunto de dados, a
amplitude total não nos dá qualquer indicação
dessa mudança.
- A amplitude total também sofre a influencia de
um valor “atípico” (extremo) na distribuição, ( um
valor muito elevado ou muito baixo em relação ao
Por: Marden
conjunto)
Rodrigues

60. VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
Por: Marden
Rodrigues

61. DEFINIÇÃO
São as medidas de dispersão mais
empregadas, pois levam em consideração a
totalidade dos valores da variável em estudo.
Ambos estão ligados como meios de se
analisar a dispersão dos dados dentro de uma
amostra.  Vocês vão ver.

Definiremos como: a variância é dada através
da média aritmética dos quadrados dos
desvios. Analisaremos na prática a seguir.
Por: Marden
Rodrigues

62. FÓRMULAS: AMOSTRA X POPULAÇÃO
Ficará assim:
Dados não
agrupados
S² = ∑(xi- )
População
--------N
Amostra
S² = ∑ (xi- )
--------n-1
Dados agrupados
S² = ∑(xi- ) . fi
-----------N
S² = ∑(xi- ) . fi
-----------n-1
A legenda das fórmulas está no slide

63. LEGENDA DAS FÓRMULAS E DESVIO PADRÃO
S = Desvio padrão, no entanto, o calcularemos elevado ao
quadrado, sendo assim:

Desvio Padrão = √variância = √S² = S
 = média (homenagem ao falecido Steve Jobs) rs
Xi = no caso não agrupado, são todos os valores que os
dados podem assumir e no caso agrupado, é o ponto médio
de determinado intervalo de classe.
Sobre a legenda de ∑ e “n”(ou N), vocês já conhecem, que
é, respectivamente: somatório e total de valores.
Por: Marden
Rodrigues

64. CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO
Retomando-se o exemplo de homo/heterogeneidade
para fins de aplicar as fórmulas dadas anteriormente,
efetuaremos os seguintes cálculos:
Empregado A (média = 70)
S² = ∑(xi- )/N =
= (70-70)²+(71-70)²+(69-70)²+(70-70)²+(70-70)²/5 =
2/5 = 0,4
portanto, temos que Desvio Padrão = √S² = √0,4 = aproximadamente
0,64
Empregado B (média = 71)
S² = ∑(xi- )/N =
= (60-71)²+(80-71)²+(70-71)²+(62-71)²+(83-71)²/5 =
428/5 = 85,6 .:. Desvio Padrão = √85.6 = aproximadamente 9,25

65. LEMBRANDO QUE...
O enunciado da questão deverá
informar se os dados estão sendo
demonstrados através de uma amostra
ou de uma população, para que assim
possa haver a mudança necessária
nas fórmulas (e sua interpretação).
Por: Marden
Rodrigues

66. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DE PEARSON
Por: Marden
Rodrigues

67. USO E CÁLCULO
O Coeficiente de variação de Pearson (CV) é
calculado através da divisão entre o desvio
padrão e a média multiplicado por cem. No
caso, é expressado em porcentagem e
facilita a visualização do quão dispersos
estão os valores da amostra ou da
população.
Por: (S x 100)/
CV = Marden
Rodrigues

68. COMO QUALIFICAR A DISPERSÃO

Se CV ≤ 15% , está sendo indicada uma baixa
dispersão.

Se 15% < CV < 30%, há uma média dispersão.

E por fim, se CV ≥ 30%, está sendo representada
uma alta dispersão entre os valores.
Por: Marden
Rodrigues

69. Para finalizar...
MEDIDAS DE ASSIMETRIA
Por: Marden
Rodrigues

70. DEFINIÇÃO
Modo de analisar a distribuição de
freqüência em uma amostra/população
através da organização de seus dados em
forma de gráfico.  Simples?
Por: Marden
Rodrigues

71. CASOS
Caso 1: quando MÉDIA = MEDIANA = MODA,
temos uma distribuição de freqüências:
SIMÉTRICA
MODA
MEDIANA E MÉDIA

72. CASOS
Caso 2: quando MÉDIA < MEDIANA < MODA,
temos uma distribuição de freqüências:
ASSIMÉTRICA À ESQUERDA OU NEGATIVA
MEDIANA
MÉDIA
MODA

73. CASOS
Caso 3: quando MÉDIA > MEDIANA > MODA,
temos uma distribuição de freqüências:
ASSIMÉTRICA À DIREITA OU POSITIVA
MODA
MEDIANA
MÉDIA

74. LEMBRANDO QUE...

A média é afetada pelos EXTREMOS, e por isso,
em gráficos assimétricos, é apresentada sempre
tendendo ao lado onde se encontram os mesmos.

Outro fator por simples observação é que
representei a média dos gráficos assimétricos
através de uma linha circular pois nos casos não
estamos aplicando valores, portanto não
podemos dar com exatidão a média de cada um.
Por: Marden
Rodrigues

75. BONS ESTUDOS!
Por: Marden
Rodrigues