Tópico 1 - Estatistica Descritiva.pdf

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Estatística Descritiva
1 Introdução
Os métodos estatísticos são hoje em dia aplicados em diferentes ramos de actividades, sejam
nas engenharias, ciências sociais e humanas, medicina, economia, ciências contábeis, e entre
outros, pois os seus métodos auxiliam na organização e interpretação de dados gerados (ou
obtidos) nestas áreas, facilitando a tomada de decisões a partir destes.
A Estatística como ciência é organizada (ou dividida) em dois grandes campos, devido a forma
como os dados são analisados, nomeadamente, a Estatística Descritiva, cujos os objectivos
são descrição, análise e intepretação de dados colectados ou gerados, enquanto que o outro
campo, é a Inferência Estatística, cujo é realizar inferências, ou seja a generalização de
resultados particulares, e esta, está associada às Probabilidades que quanticam a incerteza
neste processo.
2 Conceitos Básicos
Em seguida, serão apresentados conceitos básicos, que são aplicados com uma grande frequência
no estudo de métodos estatísticos.
2.1 População e Unidade Estatística
A palavra população é aplicada na Estatística para se referir a um conjunto de elementos (ou
indivíduos estatísticos) que apresentam pelos uma característica em comum. O termo indivíduos
estatísticos não apenas representam pessoas , estes podem ser plantas, animais, objectos ,
minérios, entre outros. A população , quanto ao número de elementos ou ao processo analisado,
pode ser nita ou innita. A cada elemento da população chama-se unidade estatística.
2.2 Amostra
Uma amostra, outro conceito de grande importância, é um subconjunto não vazio da popu-
lação. O tratamento estatístico a partir de uma amostra apresenta-se vantajoso em termos
económico, de economia de tempo, entre outros. Dependendo do tipo de amostragem, tema
a ser abordado na Teoria de Amostragem, o seu uso requer cuidado, pois tratando-se de um
processo probabilístico ela deve ser aleatória, representativa, ampla e não viciada.
2.3 Variável Estatística
Quando se pretende analisar (ou estudar) uma determinada população, são denidas a priori
e observadas características especícas da mesma. A estas características, recebem o nome de
MSc.Élio José Taero, Mestre em Estatística, Matemática e Computação,Avaliações
Estatísticas, ISPT - 2022

2
variáveis estatísticas. A variáveis estatísticas podem ser quantitativas são expressas numeri-
camente) ou qualitativas (também chamadas de atributos, que geralmente não são expressas
numericamente. Em alguns casos podem assumir a escala numérica). As variáveis quantitativas
podem ser discretas, quando assumem valores discretos (ou seja são representados por números
inteiros) e contínuas, quando não assumem valores discretos (ou seja, podem ser representados
números decimais ). As variáveis qualitativas podem ser nominais, quando as suas catego-
rias não apresentam relação de ordem, e ordinais se as suas categorias apresentam relação de
ordem.A gura 1, ilustra a classicação de uma variável estatística.
Variável Estatística
Qualitativa
Quantitativa
Discreta
Contínua Nominal
Ordinal
Figura 1: Classicação de uma Variável Estatística
3 Distribuição de Frequências
3.1 Elementos de uma Distribuição de Frequências
Para elaborar uma tabela de frequências de dados agrupados ou não em classes, é necessário,
apresentar alguns termos usados neste processo. Assim,tem-se:
1. Frequência Absoluta, denotado por fi (com i = 1, 2, 3, · · · , n), é o número de dados
observados correspondentes a uma classe ou a um valor individual.
2. Frequência Relativa, denotado por fri (com i = 1, 2, 3, · · · , n), é o quociente entre
frequência absoluta de uma classe ou a um valor individual e o número total de dados
observados (ou colectados). A sua expressão matemática é:
fri =
fi
n
X
i=1
fi

3
Para as frequências relativas vale a seguinte relação
n
X
i=1
fri = 1
As frequências relativas podem ser presentadas na forma de percentagem, para isso faça:
fri =
fi
n
X
i=1
fi
× 100%
3. As frequências acumuladas podem ser:
(a) Frequência Absoluta Acumulada
(i) A Frequência Absoluta Acumulada Acima de,denotada por Fi ↑ (com
i = 1, 2, 3, · · · , n), é a soma de todas as frequências absolutas acima da classe
ou valor individual inclusivé.
(ii) A Frequência Absoluta Acumulada Abaixo de,denotada por Fi ↓ (com
i = 1, 2, 3, · · · , n), é a soma de todas as frequências absolutas abaixo da classe ou
valor individual inclusivé.
(b) Frequencia Relativa Acumulada
(i) A Frequência Relativa Acumulada Acima de,denotada por Fri ↑ (com
i = 1, 2, 3, · · · , n), é a soma de todas as frequências relativas acima da classe ou
(ii) A Frequência Relativa Acumulada Abaixo de,denotada por Fri ↓ (com
i = 1, 2, 3, · · · , n), é a soma de todas as frequências relativas abaixo da classe ou
4. Dados Brutos: são os dados não prontos para uma análise por não estarem organizados
(ordenados).
5. Rol Estatistico (também tratado por Rol): é organização dos dados brutos em ordem
crescente ou decrescente.
6. Amplitude Total, denotada AT , é a diferença entre o maior (xmax) e o menor (xmin) valor
observado para um conjunto de dados observados. A expressão matemática é:
AT = xmax − xmin
7. Ponto médio da classe (ou centro da classe) é a média aritmética entre os limites inferior
e superior da classe. Geralmente, representa-se por xi e calcula-se da seguinte forma:
xi =
lsup − linf
2

4
onde:
lsup limite superior da classe;
linf limite inferior da classe;
8. Número de Classes, denotado por k, pode ser determinado por vários critérios , neste
texto serão destacados os seguintes:
(a) Critério Arbitrário: O número de classes depende do pesquisador, mas deve obedecer
o seguinte condição
5 6 k 6 20
Na prática, recomenda-se para além da condição quanto maior o número dados maior
deve ser o número de classes
(b) Critério da Raíz: obedece ao resultado
k =





5 se n 6 25
√
n se n 25
(c) Fórmula de STURGES:
k = 1 + 3, 3 log (n)
Em todos casos, para questões de cálculo, o valor de k deve ser arrendondado por excesso
se não for inteiro e n é número dados observados.
9. Amplitude do Intervalo da Classe, denotada por h,é a diferença entre o limite superior
e inferior da classe.
3.2 Roteiro para Elaboração de uma Tabela de Frequências
Para elaboração de uma tabela de frequências com dados agrupados em classes, é apresentado
um roteiro não rígido, com as seguintes etapas:
1. Organizar os dados em ordem crescente;
2. Determinar a amplitude total;
3. Achar o número de classes para os dados observados;
4. Calcular a amplitude do intervalo da classe,dada pela seguinte expressão:
h =
AT
k
O valor de h deve ser arrendondado por excesso se não for inteiro.
5. Determinar os limites dos intervalos das classes

5
6. Construir a tabela de frequências
4 Medidas de Tendência Central
4.1 Média Aritmética
A média aritmética, denotada por x̄, é uma das medidas de tendência central mais aplicada na
estatística. Para dados não agrupados , a média aritmética é calculada pela fórmula:
x̄ =
x1 + x2 + x3 + · · · + xn
n
=
n
X
i=1
xi
n
Para dados agrupados em classes, a média aritmética é calculada pela fórmula:
x̄ =
x1f1 + x2f2 + x3f3 + · · · + xnfn
f1 + f2 + f3 + · · · + fn
=
n
X
i=1
xifi
n
X
i=1
fi
Para este caso de dados agrupados em classes, xi representa o ponto médio (também chamado
de centro) da classe e fi representa a frequência da classe.
4.2 Média Geométrica
A média geométrica, denotada x̄G, é determinada pela seguinte expressão:
x̄G = n
√
x1 × x2 × x3 × · · · × xn = n
v
u
u
t
n
Y
i=1
xi
Para dados agrupados em classes, a média geométrica é calculada pela fórmula:
x̄G =
N
q
xf1
1 × xf2
2 × xf3
3 × · · · × xfn
n = N
v
u
u
t
n
Y
i=1
xfi
i
de centro) da classe , fi representa a frequência da classe e N =
n
X
i=1
fi.
Devido a complexidade de cálculos, logaritmizando ambos os membros da fórmula anterior,tornam-
se simples os cálculos em termos computacionais, e chega-se ao resultado:
log(x̄G) =
f1 log(x1) + f2 log(x2) + f3 log(x3) + · · · + fn log(xn)
N

6
A média geométrica, geralmente, é útil para o cálculo de aumentos percentuais médios.
4.3 Média Harmónica
A média harmónica, denotada x̄H, é determinada pela seguinte expressão:
x̄H =
n
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
+ · · · +
1
xn
=
n
n
X
i=1
1
xi
Para dados agrupados em classes, a média harmónica é calculada pela fórmula:
x̄H =
N
f1
x1
+
f2
x2
+
f3
x3
+ · · · +
fn
xn
=
N
n
X
i=1
fi
xi
de centro) da classe , fi representa a frequência da classe e N =
n
X
i=1
fi.A média harmónica é
útil para o tratamento de grandezas inversamente proporcionais.
4.4 Moda
A moda, denotada por Mo , é o valor que ocorre com maior frequência numa distribuição (
ou conjunto de dados). O termo moda foi introduzido por Karl Pearson em 1895. A moda
para um conjunto de dados não agrupados em classes é o valor mais predominante ou seja que
possui maior frequência. Existem distribuições plurimodais ( que possuem mais de uma moda)
e amodais ( que não possuem a moda).
Para o caso de dados apresentados em uma tabela de frequências com dados agrupados em
classes, a moda pode ser calculada a partir da fórmula de Czuber :
Mo = lMo +
∆1
∆1 + ∆2
h
onde:
lMo - limite inferior da classe modal (classe que apresenta maior frequência);
∆1 - Diferença entre a frequência da classe modal e a imediatamente anterior;
∆2 - Diferença entre a frequência da classe modal e a imediatamente posterior;
h - amplitude da classe modal.
4.5 Mediana
A mediana, denotada por Me ,é uma medida que divide um conjunto de dados de tal forma
que pelo menos a metade deles são maiores ou iguais a ela (mediana). Por outra forma, a

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mediana divide um conjunto de dados em duas partes iguais, isto é, ela deixa o mesmo número
de elementos antes e depois dela.Para dados não agrupados em classes, o valor da mediana é
determinado através das seguintes etapas:
1. Ordenar os dados em ordem crescente ou decrescente;
2. Vericar se o número dados observados é par ou ímpar;
3. Caso o número de dados observados seja:
(a) par, a mediana será igual a média aritmética dos termos centrais;
(b) ímpar, a mediana será igual ao termo central.
Para dados agrupados em classes, o valor da mediana é dado pela seguinte fórmula:
Me = lMe +
n
2
−
X
Fa

fMe
h
onde:
lMe - limite inferior da classe mediana ;
n - número total de dados (soma de todas as frequências absolutas) ;
P
Fa - soma de todas as frequências anteriores à classe mediana;
fMe - frequência da classe mediana;
. h - amplitude da classe mediana.
Para determinar a classe mediana, é necessário determinar o valor do elemento mediano, que é
calculado pela expressão:
EMe =
n
2
Então, se EMe é:
1. inteiro, a classe mediana será aquela que conter o valor (o valor representa uma posição) do
elemento mediano calculado e o da posição seguinte.No caso dos dois elementos localizarem-se
em classes diferentes, a classe mediana será aquela que tiver o elemento da posição seguinte;
2. decimal, a classe mediana será aquela que conter o valor (o valor representa uma posição)
do elemento mediano arredondado (sempre por excesso) depois de calculado;
5 Medidas de Posição
5.1 Quartis
Os quartis, denotados por Qi ( com i = 1,2 e 3), dividem um conjunto de dados em quatro
partes iguais. Para os quartil de ordem i , a posição do quartil a ser calculado, é dado pela

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expressão:
EQi =
in
4
onde: i - número do quartil a ser calculado e n - número de dados observados.Quando EQi
for inteiro, o quartil em causa vai ser determinado pela média aritmética entre o elemento
da posição calculada ( valor inteiro encontrado pela fórmula) e o da posição seguinte. Caso
EQi , for decimal, a posição do quartil serà o valor inteiro obtido (sempre arredondado por
excesso).As regras anteriores servem também para determinar a classe quartil de ordem i. Para
determinar essas posições os conjuntos devem ser ordenados de forma crescente, antes de forem
calculadas as posições. Para dados agrupados em classes, o quartil é estimado pela seguinte
fórmula:
Qi = lQi
+
in
4
−
X
FQi

fQi
h
onde:
lQi
- limite inferior da classe quartil de ordem i ;
P
Fa - soma de todas as frequências anteriores à classe quartil de ordem i ;
fQi
- frequência da classe quartil de ordem i ;
. h - amplitude da classe quartil de ordem i .
5.2 Decis
Os decis, denotados por Di ( com i = 1, 2, 3, · · · , 9), dividem um conjunto de dados em dez
partes iguais. Para os decis de ordem i , a posição do decil a ser calculado, é dado pela expressão:
EDi =
in
10
onde: i - número do decil a ser calculado e n - número de dados observados. Quando EDi
for inteiro, o decil em causa vai ser determinado pela média aritmética entre o elemento da
posição calculada ( valor inteiro encontrado pela fórmula) e o da posição seguinte. Caso EDi ,
for decimal, a posição do decil serà o valor inteiro obtido (sempre arredondado por excesso). As
regras anteriores servem também para determinar a classe decil de ordem i. Para determinar
essas posições os conjuntos devem ser ordenados de forma crescente, antes de forem calculadas
as posições. Para dados agrupados em classes, o decil é estimado pela seguinte fórmula:
Di = lDi
+
in
10
−
X
FDi

fDi
h
onde:
lDi
- limite inferior da classe decil de ordem i ;

9
P
Fa - soma de todas as frequências anteriores à classe decil de ordem i ;
fDi
- frequência da classe decil de ordem i ;
. h - amplitude da classe decil de ordem i .
5.3 Centis
Os centis (também chamados de percentis), denotados por Ci ( com i = 1, 2, 3, · · · , 99), dividem
um conjunto de dados em cem partes iguais. Para os centis de ordem i , a posição do centil a
ser calculado, é dado pela expressão:
ECi =
in
100
onde: i - número do centil a ser calculado e n - número de dados observados. Quando ECi
for inteiro, o centil em causa vai ser determinado pela média aritmética entre o elemento
da posição calculada ( valor inteiro encontrado pela fórmula) e o da posição seguinte. Caso
ECi , for decimal, a posição do centil serà o valor inteiro obtido (sempre arredondado por
excesso). As regras anteriores servem também para determinar a classe centil de ordem i. Para
determinar essas posições os conjuntos devem ser ordenados de forma crescente, antes de forem
calculadas as posições. Para dados agrupados em classes, o centil é estimado pela seguinte
fórmula:
Ci = lCi
+
in
100
−
X
FCi

fCi
h
onde:
lCi
- limite inferior da classe centil de ordem i ;
P
Fa - soma de todas as frequências anteriores à classe centil de ordem i ;
fCi
- frequência da classe centil de ordem i ;
. h - amplitude da classe centil de ordem i .
6 Medidas de Dispersão
6.1 Introdução
As medidas de dispersão tem grande utilidade para determinar o grau de dispersão entre os
valores observados e o seu promédio ( muitas das vezes, é a média aritmética). Nos casos em que
as médias de dois conjuntos são iguais (ou aproximadamente iguais) ou quando se pretenda saber
como estão distribuidos os dados neste conjunto analisado ( porque a média não dá informação
sobre a distribuição dos dados, ou sejam como variam em relação a média), são esses casos em
que as medidas de dispersão tem grande importância. Existem várias medidas de dispersão,
mas neste texto serão destacadas a variância, desvio padrão e coeciente de variação.

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6.2 Variância
A variância é uma medida de dispersão absoluta. Ela determina o grau de variação ( como já foi
realçado antes) entre os dados e a média. Na Estatística a variância nâo tem muito signicado
porque as unidades das observações ou dados observados, são elevadas ao quadrado,dicultando
a sua interpretação estatística. Por esta razão recorre se na maioria das vezes ao desvio
padrão.
6.2.1 Fórmulas para o cálculo da variância de uma amostra
(a) Para dados não agrupados
s2
=
(x1 − x̄)2
+ (x2 − x̄)2
+ (x3 − x̄)2
+ · · · + (xn − x̄)2
n − 1
=
n
X
i=1
(xi − x̄)2
n − 1
(b) Para dados agrupados
s2
=
(x1 − x̄)2
f1 + (x2 − x̄)2
f2 + (x3 − x̄)2
f3 + · · · + (xn − x̄)2
fn
n − 1
=
n
X
i=1
(xi − x̄)2
fi
n − 1
6.2.2 Fórmulas para o cálculo da variância de uma população
σ2
=
(x1 − x̄)2
+ (x2 − x̄)2
+ (x3 − x̄)2
+ · · · + (xn − x̄)2
n
=
n
X
i=1
(xi − x̄)2
n
σ2
=
(x1 − x̄)2
f1 + (x2 − x̄)2
f2 + (x3 − x̄)2
f3 + · · · + (xn − x̄)2
fn
n
=
n
X
i=1
(xi − x̄)2
fi
n
Para os dois casos apresentados, tem-se: xi - representa cada um dos valores observados e n
- é a quantidade dos dados observados (no caso da amostra, é o tamanho da amostra e no
caso da população, refere-se ao tamanho ao tamanho da população ).Para dados agrupados em
classe, xi - é ponto médio de cada classe , fi - representa cada uma das frequências absolutas
observadas e µ = x̄ - é a média da população. Para este texto, em todos os casos onde
nada for dito, usaremos as fórmulas da população.

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6.3 Desvio Padrão
Esta é uma das medidas de dispersão absoluta mais importante na Estatística para análise
da dispersão. Em termos práticos, recorre-se a esta medida pelo facto de ter fácil interpreta-
ção,como foi realçado no estudo da variância. Para o cálculo do valor do desvio padrão
basta encontrar a raiz quadrada da variância. O desvio padro da amostra e da população
são denotados respectivamente por s e σ.
6.3.1 Fórmulas para o cálculo da desvio padrão de uma amostra
s =
s
(x1 − x̄)2
+ (x2 − x̄)2
+ (x3 − x̄)2
+ · · · + (xn − x̄)2
n − 1
=
v
u
u
u
u
t
n
X
i=1
(xi − x̄)2
n − 1
s =
s
(x1 − x̄)2
f1 + (x2 − x̄)2
f2 + (x3 − x̄)2
f3 + · · · + (xn − x̄)2
fn
n − 1
=
v
u
u
u
u
t
n
X
i=1
(xi − x̄)2
fi
n − 1
6.3.2 Fórmulas para o cálculo da variância desvio padrão de uma população
σ =
r
(x1 − x̄)2
+ (x2 − x̄)2
+ (x3 − x̄)2
+ · · · + (xn − x̄)2
n
=
v
u
u
u
t
n
X
i=1
(xi − x̄)2
n
σ =
r
(x1 − x̄)2
f1 + (x2 − x̄)2
f2 + (x3 − x̄)2
f3 + · · · + (xn − x̄)2
fn
n
=
v
u
u
u
t
n
X
i=1
(xi − x̄)2
fi
n
6.4 Coeciente de Variação
Esta é uma medida de dispersão relativa (também chamado de Coeciente de Variação de
Pearson), útil em termos comparativos quando as variáveis têm unidades diferentes, a sua
fórmula de cálculo é:
CVp =
σ
x̄

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Esta medida pode ser dada na forma de percentagem, para isso, faça:
CVp =
σ
x̄
× 100%
Caso a distribuição represente uma população, substitua s por σ.
7 Medidas de Assimetria e Curtose
7.1 Medidas de Assimetria
A assimetria é o desvio ou afastamento da simetria por uma curva de frequências. Quanto a
assimetria uma curva pode ser:
7.1.1 Simétrica
Uma distribuição é considerada simétrica se x̄ = Me = Mo. A distribuição simétrica apresenta
a conguração abaixo (Figura 2).
Figura 2: Distribuição Simétrica
7.1.2 Assimétrica Positiva
Uma distribuição é considerada assimétrica positiva se Mo Me x̄. A distribuição
assimétrica positiva apresenta a conguração abaixo (Figura 3).
Figura 3: Distribuição Assimétrica Positiva
7.1.3 Assimétrica Negativa
Uma distribuição é considerada assimétrica negativa se x̄ Me Mo. A distribuição
assimétrica negativa apresenta a conguração abaixo (Figura 4).

13
Figura 4: Distribuição Assimétrica Negativa
7.1.4 Coeciente de Assimetria de Pearson
Para além de usar as condições anteriores, recorre - se aos primeiro e segundo coeciente de
assimetria de Pearson para avaliar a assimetria de uma distribuição. Os coecientes são dados
pelas seguintes fórmulas:
e1 =
x̄ − Mo
s
e2 =
3(x̄ − Me)
s
Com base nas fórmulas anteriores, uma distribuição será:
(a) simétrica, se e1 = 0 ou e2 = 0. Neste caso, os valores próximos de zero satisfazem estas
condições;
(b) assimétrica positiva, se e1 0 ou e2 0;
(c) assimétrica negativa, se e1 0 ou e2 0;
Caso a distribuição represente uma população, substitua s por σ nas fórmulas dos coecientes
de assimetria.
7.2 Medidas de Curtose
A curtose indica até que ponto uma curva de frequências de uma distribuição se apresenta mais
achatada do que uma curva padrão (curva simétrica). A medida que é usada para avaliar o
grau de curtose de uma distribuição é o coeciente percentílico de curtose, calculado pela
seguinte fórmula:
k =
Q3 − Q1
2(C90 − C10)
7.2.1 Distribuição Mesocúrtica
Uma distribuição é dita Mesocúrtica se k = 0, 263. A sua conguração é apresentada na
Figura 5.

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Figura 5: Distribuição Mesocúrtica
7.2.2 Distribuição Platicúrtica
Uma distribuição é dita Platicúrtica se k 0, 263. A sua conguração é apresentada na
Figura 6.
Figura 6: Distribuição Platicúrtica
7.2.3 Distribuição Leptocúrtica
Uma distribuição é dita Leptocúrtica se k 0, 263. A sua conguração é apresentada na
Figura 7.
Figura 7: Distribuição Leptocúrtica

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