O documento explica como resolver equações de 2o grau através do método de completar os quadrados e apresenta a fórmula de Bhaskara. Aplica os métodos para resolver exemplos como encontrar as raízes de X2 -14x + 13 =0 e -6m2 + 12m = 0.

1. Solução de equações de 2º grau
Por prof. Luis Claudio
Professor de Matemática do estado
de Pernambuco

2. Equação de 2º grau é uma equação na forma ax² + bx + c = 0
Exemplos :3 x² - 2x + 4= 0 (Equação do tipo
completa com a=3, b=-2, c=4)
2x² -4 = 0 ( equação do tipo incompleta com a= 2,
b=0 e c=-4)
5x² - 10x = 0(a=5, b=-10, c=0)
-6x²=0 (a=-6; b=0; c=0)
a,b,c são números reais e a ≠ 0

3. Quais as raízes da equação X² -14x + 13 =0
• Lembrando que raízes são os números que ao serem
substituído no valor da variável solucionam a equação, isto é
fazem seu valor numérico ser igual ao valor que encontra-se
após o sinal de igualdade.
• Aplicaremos o método de completar os quadrados.

4. Devemos inicialmente isolar o termo independente “c” no outro
membro .
X² -14x = -13
Montaremos a figura
x 7
X X² x
7x
7 7x
x
Falta um quadrado para
completar a figura, como os
lados que faltam medem 7
unidades sua área será 49
unidades.

5. Observe o resultado
x 7
X X² 7x
7 7x 49

6. É só somar 49 unidades nos dois membros da equação
X² -14x + 49 = -13 + 49, obtemos:
X² -14x + 49 = 36,
na forma fatorada fica,
( X - 7)²= 36,
isolaremos X,
X - 7 = 36
X - 7 = ± 6

7. Como 36 possui duas raízes trabalharemos com as duas:
X’ - 7 = + 6 X" - 7 = -6
X' = + 6 + 7 X" = -6 + 7
X' = 13 X" = 1
S = { 1, 13}

8. Verificação: x = 13
X² - 14x + 13 = 0
13² - 14. 13 + 13 = 169 - 182 + 13 = 0 O. K
Verificação: X= 1
X² - 14x + 13 = 0
1² - 14. 1 + 13 = 1 - 14 + 13 = 0 O. K

9. Obtemos a fórmula de Bhaskara, através do método achado
Se ax² + bx + c = 0, devemos isolar a incógnita
x em um dos membros da equação; para tal
isolamos, incialmente, o termo independente
no 2º membro da equação:
ax² + bx = - c
Dividindoos dois membros por “a” para que o coeficiente
seja igual a 1
x² +
푏푥
푎
= -
푐
푎

10. Devemos dividir o termo em x por dois e elevá-lo ao quadrado
X
푏
2푎
X X²
푏푥
2푎
x
푏
2푎
푏푥
2푎
푏²
4푎²
푏
2푎

11. Somando o termo b²/4ª aos dois membros
x² +
푏푥
푎
+
푏²
4푎²
=
푏²
4푎²
-
푐
푎
Colocando o 1º membro na forma fatorada e calculando o
m.m.c. dos denominadores do 2º membro para obter frações
de mesmo denominador
(X +
푏
2푎
)² =
푏² −4푎푐
4푎²
X +
푏
2푎
=
푏² −4푎푐
4푎²
X +
푏
2푎
=
± 푏² −4푎푐
2푎

12. Podemos simplificar a expressão desta forma
• X = -
푏
2푎
±
푏² −4푎푐
4푎²
, que fica assim
• 푥 =
−푏± 푏2−4푎푐
2푎
• Esta é a forma geral da Fórmula de Bhaskara que apesar do
nome não foi criada por ele.

13. Quais as raízes da equação X² -14x + 13 =0 ?
• a = 1, b= -14 e c = 13
• Δ = (-14)² - 4 . 1 . 13
• Δ = 196 – 52
• Δ = 144
• 푥 =
− −14 ± 144
2.1
x =
14 ± 12
2
• x’ =
14+12
2
= 13
• x” =
14 −12
2
= 1 S = { 1, 13}

14. Quais as raízes de -6m² + 12m = 0 ?
• a = -6; b = 12; c = 0
• Δ = 12² - 4. (-6). 0 =144
• m =
−12± 144
2.(−6)
=
−12 ±12
−12
• m’ =
−12+12
−12
=
0
−12
= 0
• m” =
−12−12
−12
=
−24
−12
= 2
• S = {0;2}

15. Quais as raízes de 5y² -125 = 0?
a = 5, b = 0 e c = -125
Δ = 0² - 4. 5. (-125) = 2500
Y =
−0± 2500
2.5
=
0 ±50
10
y’ =
50
10
= 5
y” =
−50
10
= -5
S = {-5;5}

16. Exemplo prático: A temperatura em grau Celsius de um forno é regulada
de modo que varie com o tempo t em minutos de acordo com a lei
C = -0,5t² + 15t + 400 . calcule o instante em que a temperatura alcançar
200 graus.
-0,5t² + 15t + 400 = 200
-0,5t² + 15t + 200 = 0
a = -0,5 ; b= 15; c= 200
Δ = 15² - 4 . (-0,5) . 200
Δ = 225 + 400 = 625
−15± 625
t =
2 . 0,5
=
−15 ± 25
1
t’ =
−15 + 25
−1
= -10 (não convém, pois não tempo
negativo
t”
−15 − 25
−1
= 40
Resposta: 40 minutos.

17. Observações
1. Se Δ > 0 então a equação possui duas raízes reais
e diferentes, isto é, x’ ≠ x”
2. Se Δ= 0 então a equação possui apenas uma raiz,
isto é, x’= x”
3. Se Δ < 0 então a equação não possui raiz real pois
no conjunto dos números reais não é possível
extrair raiz de número negativo e S =∅

18. Exercícios de Fixação
Determinar os conjuntos soluções das equações a
seguir:
a) X² -6x -7 = 0
b) 5x² - 11x + 6 = 0
c) 16y² - 8y + 1 = 0
d) - 6x² - x + 1 = 0
e) X² + 9 = 0

19. Respostas
a) S = {-1, 7}
b) S = {-1; 6/5}
c) S = { 1/4}
d) S = ø
e) S = ø

20. Bibliografia
• Dante, L. R. Projeto Teláris Matemática, 9º ano. 1 edição. 1º
impressão. Ed Ática. 2013. São Paulo-SP
• Spinelli, W. , Souza, M. H. S. de. Matemática oficina de
conceitos, 8º série. 1º edição. 1º impressão. Ed. Ática. 2002.
São Paulo-SP
• Souza, J. Pataro, P. M. Vontade de saber Matemática, 9º ano.
• 1ª edição. 1º impressão. Ed. FTD.2009. São Paulo-SP