Slide que explica como resolver equações de 2º grau.

1. Solução de equações de 2º grau
Por prof. Luis Claudio
Professor de Matemática do estado
de Pernambuco

2. Equação de 2º grau é uma equação na forma ax² + bx + c = 0
Exemplos :3 x² - 2x + 4= 0 (Equação do tipo
completa com a=3, b=-2, c=4)
2x² -4 = 0 ( equação do tipo incompleta com a= 2,
b=0 e c=-4)
5x² - 10x = 0(a=5, b=-10, c=0)
-6x²=0 (a=-6; b=0; c=0)
a,b,c são números reais e a ≠ 0

3. Quais as raízes da equação X² -14x + 13 =0
• Lembrando que raízes são os números que ao serem
substituído no valor da variável solucionam a equação, isto é
fazem seu valor numérico ser igual ao valor que encontra-se
após o sinal de igualdade.
• Aplicaremos o método de completar os quadrados.

4. Devemos inicialmente isolar o termo independente “c” no outro
membro .
X² -14x = -13
Montaremos a figura
x 7
X X² x
7x
7 7x
x
Falta um quadrado para
completar a figura, como os
lados que faltam medem 7
unidades sua área será 49
unidades.

5. Observe o resultado
x 7
X X² 7x
7 7x 49

6. É só somar 49 unidades nos dois membros da equação
X² -14x + 49 = -13 + 49, obtemos:
X² -14x + 49 = 36,
na forma fatorada fica,
( X - 7)²= 36,
isolaremos X,
X - 7 = 36
X - 7 = ± 6

7. Como 36 possui duas raízes trabalharemos com as duas:
X’ - 7 = + 6 X" - 7 = -6
X' = + 6 + 7 X" = -6 + 7
X' = 13 X" = 1
S = { 1, 13}

8. Verificação: x = 13
X² - 14x + 13 = 0
13² - 14. 13 + 13 = 169 - 182 + 13 = 0 O. K
Verificação: X= 1
X² - 14x + 13 = 0
1² - 14. 1 + 13 = 1 - 14 + 13 = 0 O. K

9. Obtemos a fórmula de Bhaskara, através do método achado
Se ax² + bx + c = 0, devemos isolar a incógnita
x em um dos membros da equação; para tal
isolamos, incialmente, o termo independente
no 2º membro da equação:
ax² + bx = - c
Dividindoos dois membros por “a” para que o coeficiente
seja igual a 1
x² +
푏푥
푎
= -
푐
푎

10. Devemos dividir o termo em x por dois e elevá-lo ao quadrado
X
푏
2푎
X X²
푏푥
2푎
x
푏
2푎
푏푥
2푎
푏²
4푎²
푏
2푎

11. Somando o termo b²/4ª aos dois membros
x² +
푏푥
푎
+
푏²
4푎²
=
푏²
4푎²
-
푐
푎
Colocando o 1º membro na forma fatorada e calculando o
m.m.c. dos denominadores do 2º membro para obter frações
de mesmo denominador
(X +
푏
2푎
)² =
푏² −4푎푐
4푎²
X +
푏
2푎
=
푏² −4푎푐
4푎²
X +
푏
2푎
=
± 푏² −4푎푐
2푎

12. Podemos simplificar a expressão desta forma
• X = -
푏
2푎
±
푏² −4푎푐
4푎²
, que fica assim
• 푥 =
−푏± 푏2−4푎푐
2푎
• Esta é a forma geral da Fórmula de Bhaskara que apesar do
nome não foi criada por ele.

13. Quais as raízes da equação X² -14x + 13 =0 ?
• a = 1, b= -14 e c = 13
• Δ = (-14)² - 4 . 1 . 13
• Δ = 196 – 52
• Δ = 144
• 푥 =
− −14 ± 144
2.1
x =
14 ± 12
2
• x’ =
14+12
2
= 13
• x” =
14 −12
2
= 1 S = { 1, 13}

14. Quais as raízes de -6m² + 12m = 0 ?
• a = -6; b = 12; c = 0
• Δ = 12² - 4. (-6). 0 =144
• m =
−12± 144
2.(−6)
=
−12 ±12
−12
• m’ =
−12+12
−12
=
0
−12
= 0
• m” =
−12−12
−12
=
−24
−12
= 2
• S = {0;2}

15. Quais as raízes de 5y² -125 = 0?
a = 5, b = 0 e c = -125
Δ = 0² - 4. 5. (-125) = 2500
Y =
−0± 2500
2.5
=
0 ±50
10
y’ =
50
10
= 5
y” =
−50
10
= -5
S = {-5;5}

16. Exemplo prático: A temperatura em grau Celsius de um forno é regulada
de modo que varie com o tempo t em minutos de acordo com a lei
C = -0,5t² + 15t + 400 . calcule o instante em que a temperatura alcançar
200 graus.
-0,5t² + 15t + 400 = 200
-0,5t² + 15t + 200 = 0
a = -0,5 ; b= 15; c= 200
Δ = 15² - 4 . (-0,5) . 200
Δ = 225 + 400 = 625
−15± 625
t =
2 . 0,5
=
−15 ± 25
1
t’ =
−15 + 25
−1
= -10 (não convém, pois não tempo
negativo
t”
−15 − 25
−1
= 40
Resposta: 40 minutos.

17. Observações
1. Se Δ > 0 então a equação possui duas raízes reais
e diferentes, isto é, x’ ≠ x”
2. Se Δ= 0 então a equação possui apenas uma raiz,
isto é, x’= x”
3. Se Δ < 0 então a equação não possui raiz real pois
no conjunto dos números reais não é possível
extrair raiz de número negativo e S =∅

18. Exercícios de Fixação
Determinar os conjuntos soluções das equações a
seguir:
a) X² -6x -7 = 0
b) 5x² - 11x + 6 = 0
c) 16y² - 8y + 1 = 0
d) - 6x² - x + 1 = 0
e) X² + 9 = 0

19. Respostas
a) S = {-1, 7}
b) S = {-1; 6/5}
c) S = { 1/4}
d) S = ø
e) S = ø

20. Bibliografia
• Dante, L. R. Projeto Teláris Matemática, 9º ano. 1 edição. 1º
impressão. Ed Ática. 2013. São Paulo-SP
• Spinelli, W. , Souza, M. H. S. de. Matemática oficina de
conceitos, 8º série. 1º edição. 1º impressão. Ed. Ática. 2002.
São Paulo-SP
• Souza, J. Pataro, P. M. Vontade de saber Matemática, 9º ano.
• 1ª edição. 1º impressão. Ed. FTD.2009. São Paulo-SP