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Agenda
Densidade de probabilidade de uma variável aleatória F(υ1, υ2);
Simplicação da densidade da distribuição F(υ1, υ2);
Como calcular a moda da distribuição F(υ1, υ2);
Resolução de questão do concurso da Marinha (CP-T/2016).
Distribuição F
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição F de Snedecor com υ1 e υ2
graus de liberdade, denotada por Fυ1,υ2 , se sua função densidade for dada por:
f(x) =
Γ υ1+υ2
2
Γ υ1
2 Γ υ2
2
·
υ1
υ2
υ1
2
·
x
υ1
2
−1
1 + υ1
υ2
x
υ1+υ2
2
, 0  x  ∞, υ1, υ2 = 1, 2, 3, . . .
Se k =
Γ υ1+υ2
2
Γ υ1
2 Γ υ2
2
·
υ1
υ2
υ1
2
, podemos escrever a densidade como se segue
f(x) = k ·
x
υ1
2
−1
1 + υ1
υ2
x
υ1+υ2
2
Distribuição F
f(x) = k ·
x
υ1
2
−1
1 + υ1
υ2
x
υ1+υ2
2
, 0  x  ∞, υ1, υ2 = 1, 2, 3, . . .
Observe ainda, se zermos



a =
υ1
2
b =
υ1
υ2
c =
υ1 + υ2
2
Distribuição F
A densidade ca simplicada a
f(x) = k ·
xa−1
(1 + bx)c , 0  x  ∞
Finalmente, podemos armar que afunção de densidade da F é da forma
f(x) = k ·
g(x)
h(x)
Onde g(x) = xa−1
e h(x) = (1 + bx)c
.
Distribuição F
Figure: Densidade da F By IkamusumeFan - Own work, CC BY-SA 4.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=34777108
Regra de Derivação f(x) = g(x)/h(x)
A densidade de F é do tipo
f(x) = k ·
g(x)
h(x)
⇒ f (x) = k ·
g (x)h(x) − g(x)h (x)
[h(x)]2
Derivando a densidade f(x)
f(x) = k ·
g(x)
h(x)
Onde g(x) = xa−1
e h(x) = (1 + bx)c
.
g(x) = xa−1
⇒ g (x) = (a − 1)xa−2
h(x) = (1 + bx)c
⇒ h (x) = bc(1 + bx)c−1
Portanto
f (x) = k ·
(a − 1)xa−2 (1 + bx)c
− xa−1bc(1 + bx)c−1
[(1 + bx)c]2
Para maximizar f(x), fazemos f (x) = 0, logo devemos ter
(a − 1)xa−2
(1 + bx)c
− xa−1
bc(1 + bx)c−1
= 0
Com isso
(a − 1)xa−2
(1 + bx)c
= xa−1
bc(1 + bx)c−1
⇒ x =
1 − a
bc − ab − b
Distribuição F  Resumo
A densidade da F é dada por
f(x) = k ·
xa−1
(1 + bx)c , 0  x  ∞
Com a =
υ1
2
, b =
υ1
υ2
, c =
υ1 + υ2
2
e k =
Γ υ1+υ2
2
Γ υ1
2 Γ υ2
2
Sua moda é dada por x =
1 − a
bc − ab − b
. Fazendo as subistituições
xmodal =
(υ1 − 2)
υ1
·
υ2
(υ2 + 2)
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Distribuição F de Probabilidade

  • 2. Agenda Densidade de probabilidade de uma variável aleatória F(υ1, υ2); Simplicação da densidade da distribuição F(υ1, υ2); Como calcular a moda da distribuição F(υ1, υ2); Resolução de questão do concurso da Marinha (CP-T/2016).
  • 3. Distribuição F Uma variável aleatória contínua X tem distribuição F de Snedecor com υ1 e υ2 graus de liberdade, denotada por Fυ1,υ2 , se sua função densidade for dada por: f(x) = Γ υ1+υ2 2 Γ υ1 2 Γ υ2 2 · υ1 υ2 υ1 2 · x υ1 2 −1 1 + υ1 υ2 x υ1+υ2 2 , 0 x ∞, υ1, υ2 = 1, 2, 3, . . . Se k = Γ υ1+υ2 2 Γ υ1 2 Γ υ2 2 · υ1 υ2 υ1 2 , podemos escrever a densidade como se segue f(x) = k · x υ1 2 −1 1 + υ1 υ2 x υ1+υ2 2
  • 4. Distribuição F f(x) = k · x υ1 2 −1 1 + υ1 υ2 x υ1+υ2 2 , 0 x ∞, υ1, υ2 = 1, 2, 3, . . . Observe ainda, se zermos    a = υ1 2 b = υ1 υ2 c = υ1 + υ2 2
  • 5. Distribuição F A densidade ca simplicada a f(x) = k · xa−1 (1 + bx)c , 0 x ∞ Finalmente, podemos armar que afunção de densidade da F é da forma f(x) = k · g(x) h(x) Onde g(x) = xa−1 e h(x) = (1 + bx)c .
  • 6. Distribuição F Figure: Densidade da F By IkamusumeFan - Own work, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=34777108
  • 7. Regra de Derivação f(x) = g(x)/h(x) A densidade de F é do tipo f(x) = k · g(x) h(x) ⇒ f (x) = k · g (x)h(x) − g(x)h (x) [h(x)]2
  • 8. Derivando a densidade f(x) f(x) = k · g(x) h(x) Onde g(x) = xa−1 e h(x) = (1 + bx)c . g(x) = xa−1 ⇒ g (x) = (a − 1)xa−2 h(x) = (1 + bx)c ⇒ h (x) = bc(1 + bx)c−1 Portanto f (x) = k · (a − 1)xa−2 (1 + bx)c − xa−1bc(1 + bx)c−1 [(1 + bx)c]2 Para maximizar f(x), fazemos f (x) = 0, logo devemos ter (a − 1)xa−2 (1 + bx)c − xa−1 bc(1 + bx)c−1 = 0 Com isso (a − 1)xa−2 (1 + bx)c = xa−1 bc(1 + bx)c−1 ⇒ x = 1 − a bc − ab − b
  • 9. Distribuição F Resumo A densidade da F é dada por f(x) = k · xa−1 (1 + bx)c , 0 x ∞ Com a = υ1 2 , b = υ1 υ2 , c = υ1 + υ2 2 e k = Γ υ1+υ2 2 Γ υ1 2 Γ υ2 2 Sua moda é dada por x = 1 − a bc − ab − b . Fazendo as subistituições xmodal = (υ1 − 2) υ1 · υ2 (υ2 + 2)
  • 10. CPT/2016 - Prova Amarela Questão 11
  • 11. CPT/2016 - Prova Amarela Questão 11