Veja como obter um Intervalo de Confiança para a Mediana amostral a partir de uma adaptação do Teste do Sinal. Teste de Hipóteses não paramétrico.

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Anselmo Alves de Sousa
Estatístico - CONRE 9743

3. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
59. Para a variável aleatória X, observou-se uma amostra aleatória de 6
elementos, a saber: 62, 63, 66, 70, 71 e 72.Considerando-se [63, 71] um
intervalo de conança para a mediana de X, esse intervalo tem
coeciente de conança dado, aproximadamente, por

4. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
59. Para a variável aleatória X, observou-se uma amostra aleatória de 6
elementos, a saber: 62, 63, 66, 70, 71 e 72.Considerando-se [63, 71] um
intervalo de conança para a mediana de X, esse intervalo tem
coeciente de conança dado, aproximadamente, por
(A) 0, 97

5. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
59. Para a variável aleatória X, observou-se uma amostra aleatória de 6
elementos, a saber: 62, 63, 66, 70, 71 e 72.Considerando-se [63, 71] um
intervalo de conança para a mediana de X, esse intervalo tem
coeciente de conança dado, aproximadamente, por
(A) 0, 97
(B) 0, 95

6. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
59. Para a variável aleatória X, observou-se uma amostra aleatória de 6
elementos, a saber: 62, 63, 66, 70, 71 e 72.Considerando-se [63, 71] um
intervalo de conança para a mediana de X, esse intervalo tem
coeciente de conança dado, aproximadamente, por
(A) 0, 97
(B) 0, 95
(C) 0, 88

7. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
59. Para a variável aleatória X, observou-se uma amostra aleatória de 6
elementos, a saber: 62, 63, 66, 70, 71 e 72.Considerando-se [63, 71] um
intervalo de conança para a mediana de X, esse intervalo tem
coeciente de conança dado, aproximadamente, por
(A) 0, 97
(B) 0, 95
(C) 0, 88
(D) 0, 78

8. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
59. Para a variável aleatória X, observou-se uma amostra aleatória de 6
elementos, a saber: 62, 63, 66, 70, 71 e 72.Considerando-se [63, 71] um
intervalo de conança para a mediana de X, esse intervalo tem
coeciente de conança dado, aproximadamente, por
(A) 0, 97
(B) 0, 95
(C) 0, 88
(D) 0, 78
(E) 0, 72

9. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Seja (X1, X2, . . . , Xn) uma amostra de uma variável aleatória X com mediana θ

10. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Seja (X1, X2, . . . , Xn) uma amostra de uma variável aleatória X com mediana θ ,
consideremos as hipóteses:

11. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Seja (X1, X2, . . . , Xn) uma amostra de uma variável aleatória X com mediana θ ,
consideremos as hipóteses:
H0 : θ = θ0 contra H1 : θ θ0

12. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Seja (X1, X2, . . . , Xn) uma amostra de uma variável aleatória X com mediana θ ,
consideremos as hipóteses:
H0 : θ = θ0 contra H1 : θ θ0
X(1) X(2) θ0 X(n−2) X(n−1) X(n)

13. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Seja (X1, X2, . . . , Xn) uma amostra de uma variável aleatória X com mediana θ ,
consideremos as hipóteses:
H0 : θ = θ0 contra H1 : θ θ0
X(1) X(2) θ0 X(n−2) X(n−1) X(n)
Sejam as variáveis Di = Xi − θ0, i = 1, 2, . . . , n.

14. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Seja (X1, X2, . . . , Xn) uma amostra de uma variável aleatória X com mediana θ ,
consideremos as hipóteses:
H0 : θ = θ0 contra H1 : θ θ0
X(1) X(2) θ0 X(n−2) X(n−1) X(n)
Sejam as variáveis Di = Xi − θ0, i = 1, 2, . . . , n.
Estatística de teste T = número de diferenças Di +.

15. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Seja (X1, X2, . . . , Xn) uma amostra de uma variável aleatória X com mediana θ ,
consideremos as hipóteses:
H0 : θ = θ0 contra H1 : θ θ0
X(1) X(2) θ0 X(n−2) X(n−1) X(n)
Sejam as variáveis Di = Xi − θ0, i = 1, 2, . . . , n.
Estatística de teste T = número de diferenças Di +.
T ∼ Binomial(n, 1/2)

16. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Seja (X1, X2, . . . , Xn) uma amostra de uma variável aleatória X com mediana θ ,
consideremos as hipóteses:
H0 : θ = θ0 contra H1 : θ θ0
X(1) X(2) θ0 X(n−2) X(n−1) X(n)
Sejam as variáveis Di = Xi − θ0, i = 1, 2, . . . , n.
Estatística de teste T = número de diferenças Di +.
T ∼ Binomial(n, 1/2)
A regra de rejeição no caso das hipóteses acima é: jeitaremos H0, a um nível
de signicância α, se (T∗
≤ t) , onde t é tal que P(T ≤ t) = α.

17. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Possibilidades (adaptação do teste do sinal teste não paramétrico):

18. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Possibilidades (adaptação do teste do sinal teste não paramétrico):
Se o IC, [X(2), X(n−1)] não cobre a verdadeira mediana:

19. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Possibilidades (adaptação do teste do sinal teste não paramétrico):
Se o IC, [X(2), X(n−1)] não cobre a verdadeira mediana:
i. θ Xi

20. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Possibilidades (adaptação do teste do sinal teste não paramétrico):
Se o IC, [X(2), X(n−1)] não cobre a verdadeira mediana:
i. θ Xi, ∀i = 1, 2, . . . , n

21. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Possibilidades (adaptação do teste do sinal teste não paramétrico):
Se o IC, [X(2), X(n−1)] não cobre a verdadeira mediana:
i. θ Xi, ∀i = 1, 2, . . . , n ⇒ T = n (sinais positivos).

22. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Possibilidades (adaptação do teste do sinal teste não paramétrico):
Se o IC, [X(2), X(n−1)] não cobre a verdadeira mediana:
i. θ Xi, ∀i = 1, 2, . . . , n ⇒ T = n (sinais positivos).
θ 62 63 66
. . .
70 71 72

23. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Possibilidades (adaptação do teste do sinal teste não paramétrico):
Se o IC, [X(2), X(n−1)] não cobre a verdadeira mediana:
i. θ Xi, ∀i = 1, 2, . . . , n ⇒ T = n (sinais positivos).
θ 62 63 66
. . .
70 71 72
No nosso exercício n = 6.

24. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Se o IC não cobre a verdadeira mediana:

25. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Se o IC não cobre a verdadeira mediana:
ii. θ X(2), teremos:.

26. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Se o IC não cobre a verdadeira mediana:
ii. θ X(2), teremos:.
θ Xi,

27. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Se o IC não cobre a verdadeira mediana:
ii. θ X(2), teremos:.
θ Xi, ∀i = 2, 3, . . . , n

28. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Se o IC não cobre a verdadeira mediana:
ii. θ X(2), teremos:.
θ Xi, ∀i = 2, 3, . . . , n ⇒ T = n − 1 (sinais positivos).

29. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Se o IC não cobre a verdadeira mediana:
ii. θ X(2), teremos:.
θ Xi, ∀i = 2, 3, . . . , n ⇒ T = n − 1 (sinais positivos).
62 θ 63 66
. . .
70 71 72

30. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Se o IC não cobre a verdadeira mediana:
ii. θ X(2), teremos:.
θ Xi, ∀i = 2, 3, . . . , n ⇒ T = n − 1 (sinais positivos).
62 θ 63 66
. . .
70 71 72
No nosso exercício T = 5.

31. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Se o IC não cobre a verdadeira mediana:

32. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Se o IC não cobre a verdadeira mediana:
iii. X(n−1) θ X(n), teremos:.

33. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Se o IC não cobre a verdadeira mediana:
iii. X(n−1) θ X(n), teremos:.
X(n−1) θ X(n)

34. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Se o IC não cobre a verdadeira mediana:
iii. X(n−1) θ X(n), teremos:.
X(n−1) θ X(n) ⇒ T = 1 (sinal positivo).

35. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Se o IC não cobre a verdadeira mediana:
iii. X(n−1) θ X(n), teremos:.
X(n−1) θ X(n) ⇒ T = 1 (sinal positivo).
62 63 66
. . .
70 71 θ 72

36. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Se o IC não cobre a verdadeira mediana:

37. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Se o IC não cobre a verdadeira mediana:
iv. θ X(n), teremos:

38. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Se o IC não cobre a verdadeira mediana:
iv. θ X(n), teremos:
θ Xi,

39. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Se o IC não cobre a verdadeira mediana:
iv. θ X(n), teremos:
θ Xi, ∀i = 1, 2, . . . , n

40. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Se o IC não cobre a verdadeira mediana:
iv. θ X(n), teremos:
θ Xi, ∀i = 1, 2, . . . , n ⇒ T = 0 (sinal positivo).

41. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Se o IC não cobre a verdadeira mediana:
iv. θ X(n), teremos:
θ Xi, ∀i = 1, 2, . . . , n ⇒ T = 0 (sinal positivo).
62 63 66
. . .
70 71 72 θ

42. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
Se o IC não cobre a verdadeira mediana:
iv. θ X(n), teremos:
θ Xi, ∀i = 1, 2, . . . , n ⇒ T = 0 (sinal positivo).
62 63 66
. . .
70 71 72 θ

43. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC Resolução

44. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC Resolução
Pr(T = t)

45. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC Resolução
Pr(T = t) =
n
t
0, 5t
· 0, 5n−t
, t = 0, 1, 2, . . . , n:

46. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC Resolução
Pr(T = t) =
n
t
0, 5t
· 0, 5n−t
, t = 0, 1, 2, . . . , n:
Se o IC cobre a verdadeira mediana:

47. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC Resolução
Pr(T = t) =
n
t
0, 5t
· 0, 5n−t
, t = 0, 1, 2, . . . , n:
Se o IC cobre a verdadeira mediana:
Temos IC(1 − γ) × 100% (θ)

48. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC Resolução
Pr(T = t) =
n
t
0, 5t
· 0, 5n−t
, t = 0, 1, 2, . . . , n:
Se o IC cobre a verdadeira mediana:
Temos IC(1 − γ) × 100% (θ) é tal que:

49. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC Resolução
Pr(T = t) =
n
t
0, 5t
· 0, 5n−t
, t = 0, 1, 2, . . . , n:
Se o IC cobre a verdadeira mediana:
Temos IC(1 − γ) × 100% (θ) é tal que:
X(1) X(2) θ0 X(n−2) X(n−1) X(n)

50. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC Resolução
Pr(T = t) =
n
t
0, 5t
· 0, 5n−t
, t = 0, 1, 2, . . . , n:
Se o IC cobre a verdadeira mediana:
Temos IC(1 − γ) × 100% (θ) é tal que:
X(1) X(2) θ0 X(n−2) X(n−1) X(n)
γ

51. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC Resolução
Pr(T = t) =
n
t
0, 5t
· 0, 5n−t
, t = 0, 1, 2, . . . , n:
Se o IC cobre a verdadeira mediana:
Temos IC(1 − γ) × 100% (θ) é tal que:
X(1) X(2) θ0 X(n−2) X(n−1) X(n)
γ = {Pr(T ≤ 1) + Pr (T ≥ n − 1)}

52. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC Resolução
Pr(T = t) =
n
t
0, 5t
· 0, 5n−t
, t = 0, 1, 2, . . . , n:
Se o IC cobre a verdadeira mediana:
Temos IC(1 − γ) × 100% (θ) é tal que:
X(1) X(2) θ0 X(n−2) X(n−1) X(n)
γ = {Pr(T ≤ 1) + Pr (T ≥ n − 1)}
γ = 2 × Pr(T ≤ 1)

53. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC Resolução
Pr(T = t) =
n
t
0, 5t
· 0, 5n−t
, t = 0, 1, 2, . . . , n:
Se o IC cobre a verdadeira mediana:
Temos IC(1 − γ) × 100% (θ) é tal que:
X(1) X(2) θ0 X(n−2) X(n−1) X(n)
γ = {Pr(T ≤ 1) + Pr (T ≥ n − 1)}
γ = 2 × Pr(T ≤ 1)
γ

54. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC Resolução
Pr(T = t) =
n
t
0, 5t
· 0, 5n−t
, t = 0, 1, 2, . . . , n:
Se o IC cobre a verdadeira mediana:
Temos IC(1 − γ) × 100% (θ) é tal que:
X(1) X(2) θ0 X(n−2) X(n−1) X(n)
γ = {Pr(T ≤ 1) + Pr (T ≥ n − 1)}
γ = 2 × Pr(T ≤ 1)
γ = 2 ×

55. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC Resolução
Pr(T = t) =
n
t
0, 5t
· 0, 5n−t
, t = 0, 1, 2, . . . , n:
Se o IC cobre a verdadeira mediana:
Temos IC(1 − γ) × 100% (θ) é tal que:
X(1) X(2) θ0 X(n−2) X(n−1) X(n)
γ = {Pr(T ≤ 1) + Pr (T ≥ n − 1)}
γ = 2 × Pr(T ≤ 1)
γ = 2 ×
6
0
0, 56
+
6
1
0, 5 × 0, 55
= 0, 21875

56. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC Resolução
Pr(T = t) =
n
t
0, 5t
· 0, 5n−t
, t = 0, 1, 2, . . . , n:
Se o IC cobre a verdadeira mediana:
Temos IC(1 − γ) × 100% (θ) é tal que:
X(1) X(2) θ0 X(n−2) X(n−1) X(n)
γ = {Pr(T ≤ 1) + Pr (T ≥ n − 1)}
γ = 2 × Pr(T ≤ 1)
γ = 2 ×
6
0
0, 56
+
6
1
0, 5 × 0, 55
= 0, 21875
1 − γ = 0, 78125

57. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC Resolução
Pr(T = t) =
n
t
0, 5t
· 0, 5n−t
, t = 0, 1, 2, . . . , n:
Se o IC cobre a verdadeira mediana:
Temos IC(1 − γ) × 100% (θ) é tal que:
X(1) X(2) θ0 X(n−2) X(n−1) X(n)
γ = {Pr(T ≤ 1) + Pr (T ≥ n − 1)}
γ = 2 × Pr(T ≤ 1)
γ = 2 ×
6
0
0, 56
+
6
1
0, 5 × 0, 55
= 0, 21875
1 − γ = 0, 78125 ≈ 78%

58. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC Resolução
Pr(T = t) =
n
t
0, 5t
· 0, 5n−t
, t = 0, 1, 2, . . . , n:
Se o IC cobre a verdadeira mediana:
Temos IC(1 − γ) × 100% (θ) é tal que:
X(1) X(2) θ0 X(n−2) X(n−1) X(n)
γ = {Pr(T ≤ 1) + Pr (T ≥ n − 1)}
γ = 2 × Pr(T ≤ 1)
γ = 2 ×
6
0
0, 56
+
6
1
0, 5 × 0, 55
= 0, 21875
1 − γ = 0, 78125 ≈ 78%

59. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
59. Para a variável aleatória X, observou-se uma amostra aleatória de 6
elementos, a saber: 62, 63, 66, 70, 71 e 72.Considerando-se [63, 71] um
intervalo de conança para a mediana de X, esse intervalo tem
coeciente de conança dado, aproximadamente, por
(A) 0, 97
(B) 0, 95
(C) 0, 88
(D) 0, 78
(E) 0, 72

60. MPEPE/2006 Fundação Carlos Chagas FCC
59. Para a variável aleatória X, observou-se uma amostra aleatória de 6
elementos, a saber: 62, 63, 66, 70, 71 e 72.Considerando-se [63, 71] um
intervalo de conança para a mediana de X, esse intervalo tem
coeciente de conança dado, aproximadamente, por
(A)
(B)
(C)
(D) 0, 78
(E)

61. Conteúdo Exclusivo
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