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Derivadas

  1. 1. Derivadas Definição: f’(p) = px pfxf px − − → )()( lim Exercícios. Calcule f'(p), pela definição, sendo dados: (a) f(x) = x2 + x e p = 1 (b) f(x) = x e p = 4 (c) f(x) = 5x - 3 e p = -3 (d) f(x) = 1/x e p = 1 (e) f(x) = x1/2 e p = 3 (f) f(x) = x2 + 1 e p = 0 (g) f(x) = 5 e p = -2 (h) f(x) = -7 e p = 1 Regras de Derivação 1. f(x) = c ⇒ f’(x) = 0 2. f(x) = xn ⇒ f’(x) = n xn-1 3. f(x) = c g(x) ⇒ f’(x) = c g’(x) 4. (f ± g)’ = f’ ± g’ 5. f(x) = ex ⇒ f’(x) = ex 6. f(x) = ln x ⇒ f’(x) = 1/x 7. f(x) = sen x ⇒ f’(x) = cos x 8. f(x) = cos x ⇒ f’(x) = - sen x 9. f(x) = tg x ⇒ f´(x) = sec2 x 10. f(x) = sec x ⇒ f´(x) = sec x tg x 11. f(x) = cotg x ⇒ f´(x) = - cossec2 x 12. f(x) = cossec x ⇒ f´(x) = - cossec x cotg x 13.(f g)’ = f’ g + f g’ 14. '       g f = 2 '' g gfgf − Exercícios. Calcular f’(x), onde: (a) f(x) = 3x2 + 5x (b) f(x) = x3 + x2 + 1 (c) f(x) = 3x3 - 2x2 + 4 (d) f(x) = 3x + x1/2 (e) f(x) = 5 + 3x-2 (f) f(x) = 2x1/3 (g) f(x) = 3x + 1/x (h) f(x) = 4/x + 5/x2 (i) f(x) = x/(x2 +1) (j) f(x) = (x2 -1)/(x+1) (k) f(x) = (x1/3 +x)/(x2 +x1/4 ) (l) f(x) = 3x2 + 5 cos x (m) f(x) = x senx (n) f(x) = cosx +(x2 +1) senx (o) f(x) = (x+1)/(x lnx) (p) f(x) = x2 senx + cos x (q) f(x) = ex cos x 1
  2. 2. Regra da Cadeia para Derivação de Função Composta Sejam y = f(x) e x = g(t) duas funções deriváveis, com Im(g) ⊂ D(f). Então a composta h(t) = f(g(t)) é derivável e h'(t) = f'(g(t)) g'(t). Regras de Derivação 1. (k)’ = 0; 2. (un )’ = n un-1 u’; 3. [k u]’ = k u’; 4. [u ± v]’ = u’ ± v’; 5. (eu )’ = eu u’; 6. (ln u)’ = u 1 u’; 7. (sen u)’ = cos u u'; 8. (cos u)’ = - sen u u’; 9. (tg u)’ = sec2 u u’; 10. (sec u)’ = sec u tg u u’; 11. (cotg u)’ = - cossec2 u u’; 12.(cossec u)’ = -cossec u cotg u u’; 13. [u v]’ = u’ v + u v’; 14. '       g f = 2 '' g gfgf − ; Exercícios. Calcule f'(x) onde: a) f(x) = 13 +x b) f(x) = (x2 + 3)4 c) f(x) = sen(cos x) d) f(x) = x x 2sen 5cos e) f(x) = e-x + ln(2x+1) f) f(x) = 3 2 3+x g) f(x) = x3 e-3x h) f(x) = ex cos 2x i) f(x) = (3x2 +1)3 Derivada de f(x)g(x) Fórmula: [f(x)g(x) ]’ = f(x)g(x) [g(x) ln f(x)]’ Exercícios. Calcule as seguintes derivadas. a) y = (2 + sen x)cos 3x b) y = (2x + 1)x c) y = (1 + 1/x)x d) y = (x2 + 1)π e) y = ln(1 + xx ) f) y = x2 g) y = xx h) y = 3x d) y = (1 – cos x)sen x 2
  3. 3. Derivação de Função dada Implicitamente Consideremos uma equação nas variáveis x e y. Dizemos que uma função y = f(x) é dada implicitamente por tal equação se, para todo x no domínio de f, o ponto (x,f(x)) for solução da equação. Exercícios. 1. Expresse y’ = f’(x) em termos de x e y, onde y = f(x) é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação: a) x2 - y2 = 4 b) y3 + x2 y = x + 4 c) 5y + cos y = xy d) xey + xy = 3 e) y + ln (x2 + y2 ) = 4 2. Uma escada de 8m está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2 m/s, com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3m da parede? ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES. Teorema1. Seja f contínua no intervalo I. a) Se f'(x) > 0 para todo x interior a I, então f será estritamente crescente em I; b) Se f'(x) < 0 para todo x interior a I, então f será estritamente decrescente em I. Teorema2. Seja f uma função que admite derivada até 2ª ordem no intervalo I. a) Se f''(x) > 0 em I, então f terá a concavidade para cima em I; b) Se f''(x) < 0 em I, então f terá a concavidade para baixo em I. Gráficos. Para o esboço do gráfico de uma função f, sugerimos o roteiro: a) explicitar o domínio; b) determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento; c) estudar a concavidade e destacar os pontos de inflexão; d) calcular os limites laterais de f, em p, nos casos: (i) p ∉ D(f), mas p é extremo de um dos intervalos que compõem D(f) (ii) p ∈ D(f), mas f não é contínua em p; e) calcular os limites para x → +∞ e x → -∞; f) determinar ou localizar as raízes de f. 3
  4. 4. Exercícios. Esboce os gráficos das seguintes funções: a) f(x) = x3 - x2 - x + 1; b) f(x) = x3 - 2x2 + x + 2; c) f(x) = 2 2 31 x xx + − ; Máximos e Mínimos: Definição1. Sejam f uma função, A ⊂ D(f) e p ∈ A. Dizemos que f(p) é o valor máximo de f em A ou que p é um ponto de máximo de f em A se f(x) ≤ f(p) para todo x em A. Se f(x) ≥ f(p) para todo x em A, dizemos então que f(p) é o valor mínimo de f em A ou que p é um ponto de mínimo de f em A. Definição2. Sejam f uma função e p ∈ D(f). Dizemos que f(p) é o valor máximo global de f ou que p é um ponto de máximo global de f se, para todo x em D(f), f(x) ≤ f(p). Se, para todo x em D(f), f(x) ≥ f(p), diremos então que f(p) é o valor mínimo global de f ou que p é um ponto de mínimo global de f. Definição3. Sejam f uma função e p ∈ D(f). Dizemos que p é ponto de máximo local de f se existir r > 0 tal que f(x) ≤ f(p) para todo x em ]p-r,p+r[ ∩ D(f). Por outro lado, dizemos que p é ponto de mínimo local de f se existir r > 0 tal que f(x) ≥ f(p) para todo x em ]p- r,p+r[ ∩ D(f). Exercícios. 1. Determine dois números positivos cuja soma seja 4 e tal que a soma do cubo do menor com o quadrado do maior seja mínima? 2. Determine o número real positivo cuja diferença entre ele e seu quadrado seja mínima. 3. Um corpo é lançado obliquamente a partir da superfície da terra, com velocidade inicial. Desse modo, descreve-se uma trajetória parabólica, que representa a função y = x – 0,1 x2 (x e y em metros) a) calcule a altura máxima atingida por esse corpo; b) obtenha o alcance desse corpo, ou seja, a distância horizontal que o corpo percorre até encontrar novamente o solo. 4. Em uma partida de futebol, a cobrança de uma falta lança a bola em uma trajetória tal, que a altura h, em metros, varia com o tempo t, em segundos, de acordo com a fórmula h(t) = -t2 + 10 t. Em que instante a bola atinge a altura máxima? De quantos metros é essa altura? 5. Um carpinteiro vai construir um galinheiro retangular. Ele vai usar L m de tela e, para um dos lados, pretende aproveitar uma parede já existente. Expresse a área desse galinheiro em função da medida de um 4
  5. 5. dos lados. A seguir, descubra quais são as medidas dos lados desse retângulo para que a área seja máxima. 6. Os fisiologistas afirmam que, para um indivíduo sadio e em repouso, o número N de batimentos cardíacos por minuto varia em função da temperatura ambiente (em graus Celsius) segundo a função N(t) = 0.1 t2 – 4 t + 90. Nessas condições, em qual temperatura o número de batimentos cardíacos por minuto é mínimo? Qual é esse número? 7. Para uma excursão foi fretado um avião de 100 lugares. Cada pessoa deve pagar para a companhia de avião R$ 2000,00 e mais uma taxa de R$ 40,00 para cada lugar não ocupado do avião. Qual é a quantia máxima que a companhia pode receber? 8. Quais as dimensões de um retângulo de perímetro P dado que maximizam sua área? 9. Um campo petrolífero tem 20 poços e vem produzindo 4.000 barris/dia de petróleo. Para cada novo poço perfurado, a produção diária de cada poço decai de 5 barris. Determine o número de poços que devem ser perfurados para maximizar a produção diária do campo petrolífero. 10. Suponha que uma caixa retangular tenha 324 cm3 de volume e base quadrada de lado x cm. O material da base custa 2 centavos por cm2 e o material para a tampa e para os quatro lados custa 1 centavo por cm2 . Determine as dimensões da caixa que minimizam seu custo. 5
  6. 6. dos lados. A seguir, descubra quais são as medidas dos lados desse retângulo para que a área seja máxima. 6. Os fisiologistas afirmam que, para um indivíduo sadio e em repouso, o número N de batimentos cardíacos por minuto varia em função da temperatura ambiente (em graus Celsius) segundo a função N(t) = 0.1 t2 – 4 t + 90. Nessas condições, em qual temperatura o número de batimentos cardíacos por minuto é mínimo? Qual é esse número? 7. Para uma excursão foi fretado um avião de 100 lugares. Cada pessoa deve pagar para a companhia de avião R$ 2000,00 e mais uma taxa de R$ 40,00 para cada lugar não ocupado do avião. Qual é a quantia máxima que a companhia pode receber? 8. Quais as dimensões de um retângulo de perímetro P dado que maximizam sua área? 9. Um campo petrolífero tem 20 poços e vem produzindo 4.000 barris/dia de petróleo. Para cada novo poço perfurado, a produção diária de cada poço decai de 5 barris. Determine o número de poços que devem ser perfurados para maximizar a produção diária do campo petrolífero. 10. Suponha que uma caixa retangular tenha 324 cm3 de volume e base quadrada de lado x cm. O material da base custa 2 centavos por cm2 e o material para a tampa e para os quatro lados custa 1 centavo por cm2 . Determine as dimensões da caixa que minimizam seu custo. 5

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