Este documento apresenta uma agenda para discutir vários tópicos relacionados a variáveis aleatórias, incluindo: (1) distribuição uniforme, (2) média e variância da distribuição uniforme, (3) distribuição normal, (4) distribuição F, e (5) distribuição t de Student. O documento também fornece uma introdução sobre variáveis aleatórias e suas funções de distribuição e densidade. Por fim, discute a distribuição uniforme em mais detalhes, definindo sua função de densidade, esperança matemática e
9. Agenda
Variável Aleatória: função de distribuição e de densidade;
0 Distribuição Uniforme X ∼ U[a, b];
1 Média e Variância: X ∼ U[a, b];
10. Agenda
Variável Aleatória: função de distribuição e de densidade;
0 Distribuição Uniforme X ∼ U[a, b];
1 Média e Variância: X ∼ U[a, b];
2 Distribuição Normal
11. Agenda
Variável Aleatória: função de distribuição e de densidade;
0 Distribuição Uniforme X ∼ U[a, b];
1 Média e Variância: X ∼ U[a, b];
2 Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
);
12. Agenda
Variável Aleatória: função de distribuição e de densidade;
0 Distribuição Uniforme X ∼ U[a, b];
1 Média e Variância: X ∼ U[a, b];
2 Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
);
3 Distribução F de probabilidade;
13. Agenda
Variável Aleatória: função de distribuição e de densidade;
0 Distribuição Uniforme X ∼ U[a, b];
1 Média e Variância: X ∼ U[a, b];
2 Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
);
3 Distribução F de probabilidade;
4 Distribuição t de Student.
14. Agenda
Variável Aleatória: função de distribuição e de densidade;
0 Distribuição Uniforme X ∼ U[a, b];
1 Média e Variância: X ∼ U[a, b];
2 Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
);
3 Distribução F de probabilidade;
4 Distribuição t de Student.
19. Introdução
i. Variável Aleatória: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade.
Denominamos variável aleatória, qualquer função: X : Ω → R
20. Introdução
i. Variável Aleatória: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade.
Denominamos variável aleatória, qualquer função: X : Ω → R tal que
X−1
(I) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I} ∈ F
21. Introdução
i. Variável Aleatória: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade.
Denominamos variável aleatória, qualquer função: X : Ω → R tal que
X−1
(I) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I} ∈ F
uma variável aleatória (v.a)
22. Introdução
i. Variável Aleatória: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade.
Denominamos variável aleatória, qualquer função: X : Ω → R tal que
X−1
(I) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I} ∈ F
uma variável aleatória (v.a) é um característico numérico do resultado de
um experimento aleatório.
23. Introdução
i. Variável Aleatória: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade.
Denominamos variável aleatória, qualquer função: X : Ω → R tal que
X−1
(I) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I} ∈ F
uma variável aleatória (v.a) é um característico numérico do resultado de
um experimento aleatório.
Uma variável aleatória X em um espaço de probabilidade (Ω, F, P)
24. Introdução
i. Variável Aleatória: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade.
Denominamos variável aleatória, qualquer função: X : Ω → R tal que
X−1
(I) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I} ∈ F
uma variável aleatória (v.a) é um característico numérico do resultado de
um experimento aleatório.
Uma variável aleatória X em um espaço de probabilidade (Ω, F, P) é
uma função real denida no espaço Ω
25. Introdução
i. Variável Aleatória: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade.
Denominamos variável aleatória, qualquer função: X : Ω → R tal que
X−1
(I) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I} ∈ F
uma variável aleatória (v.a) é um característico numérico do resultado de
um experimento aleatório.
Uma variável aleatória X em um espaço de probabilidade (Ω, F, P) é
uma função real denida no espaço Ω tal que [X ≤ x]
26. Introdução
i. Variável Aleatória: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade.
Denominamos variável aleatória, qualquer função: X : Ω → R tal que
X−1
(I) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I} ∈ F
uma variável aleatória (v.a) é um característico numérico do resultado de
um experimento aleatório.
Uma variável aleatória X em um espaço de probabilidade (Ω, F, P) é
uma função real denida no espaço Ω tal que [X ≤ x] é evento aleatório
∀x ∈ R; i.e,
27. Introdução
i. Variável Aleatória: Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade.
Denominamos variável aleatória, qualquer função: X : Ω → R tal que
X−1
(I) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I} ∈ F
uma variável aleatória (v.a) é um característico numérico do resultado de
um experimento aleatório.
Uma variável aleatória X em um espaço de probabilidade (Ω, F, P) é
uma função real denida no espaço Ω tal que [X ≤ x] é evento aleatório
∀x ∈ R; i.e,
X : Ω → R é variável aleatória se [X ≤ x] ∈ F, ∀x ∈ R
30. Introdução
Sendo X uma va em (Ω, F, P) sua função de distribuição é denida por:
FX(x) = P(X ∈ (−∞, x])) = P(X ≤ x)
31. Introdução
Sendo X uma va em (Ω, F, P) sua função de distribuição é denida por:
FX(x) = P(X ∈ (−∞, x])) = P(X ≤ x)
A partir da f.d obtemos quaisquer informações acerca da v.a.
32. Introdução
Sendo X uma va em (Ω, F, P) sua função de distribuição é denida por:
FX(x) = P(X ∈ (−∞, x])) = P(X ≤ x)
A partir da f.d obtemos quaisquer informações acerca da v.a.
Obtemos também a função de densidade de probabilidade
33. Introdução
Sendo X uma va em (Ω, F, P) sua função de distribuição é denida por:
FX(x) = P(X ∈ (−∞, x])) = P(X ≤ x)
A partir da f.d obtemos quaisquer informações acerca da v.a.
Obtemos também a função de densidade de probabilidade ou a função de
probabilidade
34. Introdução
Sendo X uma va em (Ω, F, P) sua função de distribuição é denida por:
FX(x) = P(X ∈ (−∞, x])) = P(X ≤ x)
A partir da f.d obtemos quaisquer informações acerca da v.a.
Obtemos também a função de densidade de probabilidade ou a função de
probabilidade , que está associada à uma função de distribuição;
35. Introdução
Sendo X uma va em (Ω, F, P) sua função de distribuição é denida por:
FX(x) = P(X ∈ (−∞, x])) = P(X ≤ x)
A partir da f.d obtemos quaisquer informações acerca da v.a.
Obtemos também a função de densidade de probabilidade ou a função de
probabilidade , que está associada à uma função de distribuição;
38. Exame 2019 Questão 1
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
39. Exame 2019 Questão 1
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
0. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
média igual a 3, 50.
40. Exame 2019 Questão 1
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
0. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
média igual a 3, 50.
1. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
variância igual a 0, 75.
41. Exame 2019 Questão 1
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
0. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
média igual a 3, 50.
1. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
variância igual a 0, 75.
2. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5, então Z =
X − 2
5
também apresenta distribuição normal, com
média 0 e variância 1.
42. Exame 2019 Questão 1
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
0. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
média igual a 3, 50.
1. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
variância igual a 0, 75.
2. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5, então Z =
X − 2
5
também apresenta distribuição normal, com
média 0 e variância 1.
3. Sejam Z1 e Z2 duas variáveis aleatórias independentes com distribuição
quiquadrado, então W =
Z1
Z2
apresenta distribuição F.
43. Exame 2019 Questão 1
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
0. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
média igual a 3, 50.
1. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
variância igual a 0, 75.
2. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5, então Z =
X − 2
5
também apresenta distribuição normal, com
média 0 e variância 1.
3. Sejam Z1 e Z2 duas variáveis aleatórias independentes com distribuição
quiquadrado, então W =
Z1
Z2
apresenta distribuição F.
4. Seja uma variável aleatória X, com distribuição t-Student com 2 graus de
liberdade. Então sua variância não será denida.
47. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado ou Esperança Matemática:
48. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado ou Esperança Matemática:
E(X) =
b
a
x · f(x) dx
49. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado ou Esperança Matemática:
E(X) =
b
a
x · f(x) dx
=
b
a
x
b − a
dx
50. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado ou Esperança Matemática:
E(X) =
b
a
x · f(x) dx
=
b
a
x
b − a
dx =
x2
2(b − a)
b
a
51. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado ou Esperança Matemática:
E(X) =
b
a
x · f(x) dx
=
b
a
x
b − a
dx =
x2
2(b − a)
b
a
=
b2
2(b − a)
52. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado ou Esperança Matemática:
E(X) =
b
a
x · f(x) dx
=
b
a
x
b − a
dx =
x2
2(b − a)
b
a
=
b2
2(b − a)
−
a2
2(b − a)
53. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado ou Esperança Matemática:
E(X) =
b
a
x · f(x) dx
=
b
a
x
b − a
dx =
x2
2(b − a)
b
a
=
b2
2(b − a)
−
a2
2(b − a)
=
b2 − a2
2(b − a)
54. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado ou Esperança Matemática:
E(X) =
b
a
x · f(x) dx
=
b
a
x
b − a
dx =
x2
2(b − a)
b
a
=
b2
2(b − a)
−
a2
2(b − a)
=
b2 − a2
2(b − a)
=
(b − a)(b + a)
55. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado ou Esperança Matemática:
E(X) =
b
a
x · f(x) dx
=
b
a
x
b − a
dx =
x2
2(b − a)
b
a
=
b2
2(b − a)
−
a2
2(b − a)
=
b2 − a2
2(b − a)
=
(b − a)(b + a)
2(b − a)
56. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado ou Esperança Matemática:
E(X) =
b
a
x · f(x) dx
=
b
a
x
b − a
dx =
x2
2(b − a)
b
a
=
b2
2(b − a)
−
a2
2(b − a)
=
b2 − a2
2(b − a)
=
(b − a)(b + a)
2(b − a)
=
(b − a)(b + a)
2(b − a)
57. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado ou Esperança Matemática:
E(X) =
b
a
x · f(x) dx
=
b
a
x
b − a
dx =
x2
2(b − a)
b
a
=
b2
2(b − a)
−
a2
2(b − a)
=
b2 − a2
2(b − a)
=
(b − a)(b + a)
2(b − a)
=
(b − a)(b + a)
2(b − a)
E(X) =
a + b
2
59. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
60. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
)
61. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
) =
b
a
x2
· f(x) dx
62. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
) =
b
a
x2
· f(x) dx
=
b
a
x2
b − a
dx
63. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
) =
b
a
x2
· f(x) dx
=
b
a
x2
b − a
dx =
x3
3(b − a)
b
a
64. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
) =
b
a
x2
· f(x) dx
=
b
a
x2
b − a
dx =
x3
3(b − a)
b
a
=
b3
3(b − a)
65. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
) =
b
a
x2
· f(x) dx
=
b
a
x2
b − a
dx =
x3
3(b − a)
b
a
=
b3
3(b − a)
−
a3
3(b − a)
66. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
) =
b
a
x2
· f(x) dx
=
b
a
x2
b − a
dx =
x3
3(b − a)
b
a
=
b3
3(b − a)
−
a3
3(b − a)
=
b3 − a3
67. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
) =
b
a
x2
· f(x) dx
=
b
a
x2
b − a
dx =
x3
3(b − a)
b
a
=
b3
3(b − a)
−
a3
3(b − a)
=
b3 − a3
3(b − a)
68. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
) =
b
a
x2
· f(x) dx
=
b
a
x2
b − a
dx =
x3
3(b − a)
b
a
=
b3
3(b − a)
−
a3
3(b − a)
=
b3 − a3
3(b − a)
=
(b − a)(b2 + ab + a2)
69. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
) =
b
a
x2
· f(x) dx
=
b
a
x2
b − a
dx =
x3
3(b − a)
b
a
=
b3
3(b − a)
−
a3
3(b − a)
=
b3 − a3
3(b − a)
=
(b − a)(b2 + ab + a2)
3(b − a)
70. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
) =
b
a
x2
· f(x) dx
=
b
a
x2
b − a
dx =
x3
3(b − a)
b
a
=
b3
3(b − a)
−
a3
3(b − a)
=
b3 − a3
3(b − a)
=
(b − a)(b2 + ab + a2)
3(b − a)
=
(b − a)(b2 + ab + a2)
3(b − a)
71. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Valor esperado de X2
:
E(X2
) =
b
a
x2
· f(x) dx
=
b
a
x2
b − a
dx =
x3
3(b − a)
b
a
=
b3
3(b − a)
−
a3
3(b − a)
=
b3 − a3
3(b − a)
=
(b − a)(b2 + ab + a2)
3(b − a)
=
(b − a)(b2 + ab + a2)
3(b − a)
E(X2
) =
b2 + ab + a2
3
73. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Variância Var(X) = E(X2
) − E(X)2
:
74. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Variância Var(X) = E(X2
) − E(X)2
:
Var(X)
75. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Variância Var(X) = E(X2
) − E(X)2
:
Var(X) =
b2 + ab + a2
3
76. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Variância Var(X) = E(X2
) − E(X)2
:
Var(X) =
b2 + ab + a2
3
−
a + b
2
2
77. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Variância Var(X) = E(X2
) − E(X)2
:
Var(X) =
b2 + ab + a2
3
−
a + b
2
2
=
4b2 + 4ab + 4a2
12
78. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Variância Var(X) = E(X2
) − E(X)2
:
Var(X) =
b2 + ab + a2
3
−
a + b
2
2
=
4b2 + 4ab + 4a2
12
−
a2 + 2ab + b2
4
79. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Variância Var(X) = E(X2
) − E(X)2
:
Var(X) =
b2 + ab + a2
3
−
a + b
2
2
=
4b2 + 4ab + 4a2
12
−
a2 + 2ab + b2
4
=
4b2 + 4ab + 4a2
12
80. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Variância Var(X) = E(X2
) − E(X)2
:
Var(X) =
b2 + ab + a2
3
−
a + b
2
2
=
4b2 + 4ab + 4a2
12
−
a2 + 2ab + b2
4
=
4b2 + 4ab + 4a2
12
−
3a2 + 6ab + 3b2
12
81. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Variância Var(X) = E(X2
) − E(X)2
:
Var(X) =
b2 + ab + a2
3
−
a + b
2
2
=
4b2 + 4ab + 4a2
12
−
a2 + 2ab + b2
4
=
4b2 + 4ab + 4a2
12
−
3a2 + 6ab + 3b2
12
=
b2 − 2ab + a2
12
82. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Variância Var(X) = E(X2
) − E(X)2
:
Var(X) =
b2 + ab + a2
3
−
a + b
2
2
=
4b2 + 4ab + 4a2
12
−
a2 + 2ab + b2
4
=
4b2 + 4ab + 4a2
12
−
3a2 + 6ab + 3b2
12
=
b2 − 2ab + a2
12
=
(b − a)2
12
84. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Média e Variância:
85. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Média e Variância:
E(X) =
a + b
2
86. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Média e Variância:
E(X) =
a + b
2
e Var(X) =
(b − a)2
12
87. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Média e Variância:
E(X) =
a + b
2
e Var(X) =
(b − a)2
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
média igual a 3, 50.
88. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Média e Variância:
E(X) =
a + b
2
e Var(X) =
(b − a)2
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
média igual a 3, 50.
1. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
variância igual a 0, 75.
89. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Média e Variância:
E(X) =
a + b
2
e Var(X) =
(b − a)2
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
média igual a 3, 50.
1. Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5] tem
variância igual a 0, 75.
90. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Média e Variância:
E(X) =
a + b
2
e Var(X) =
(b − a)2
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0. V Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5]
tem média igual a 3, 50.
91. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Média e Variância:
E(X) =
a + b
2
e Var(X) =
(b − a)2
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0. V Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5]
tem média igual a 3, 50. Temos E(X) = (2 + 5)/2 = 3, 5.
92. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Média e Variância:
E(X) =
a + b
2
e Var(X) =
(b − a)2
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0. V Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5]
tem média igual a 3, 50. Temos E(X) = (2 + 5)/2 = 3, 5.
1. V Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5]
tem variância igual a 0, 75.
93. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Média e Variância:
E(X) =
a + b
2
e Var(X) =
(b − a)2
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0. V Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5]
tem média igual a 3, 50. Temos E(X) = (2 + 5)/2 = 3, 5.
1. V Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5]
tem variância igual a 0, 75. Temos Var(X) = (5 − 2)2
/12 = 9/12 = 0, 75.
94. Distribuição Uniforme[a, b]
Função de densidade: X ∼ U[a, b], sua função de densidade é dada por
f(x) =
1
b − a
, a ≤ x ≤ b.
Média e Variância:
E(X) =
a + b
2
e Var(X) =
(b − a)2
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0. V Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5]
tem média igual a 3, 50. Temos E(X) = (2 + 5)/2 = 3, 5.
1. V Uma dada variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [2, 5]
tem variância igual a 0, 75. Temos Var(X) = (5 − 2)2
/12 = 9/12 = 0, 75.
96. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
97. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x)
98. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
99. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
100. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0
101. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0
E(X) = µ
102. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0
E(X) = µ e σ é o desvio padrão e Var(X) = σ2
.
103. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0
E(X) = µ e σ é o desvio padrão e Var(X) = σ2
. Gráco:
104. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
105. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
A função de distribuição da N(µ, σ2
) não tem uma forma fechada;
106. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
A função de distribuição da N(µ, σ2
) não tem uma forma fechada;
Sendo X ∼ N(µ; σ2
),
107. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
A função de distribuição da N(µ, σ2
) não tem uma forma fechada;
Sendo X ∼ N(µ; σ2
), então Z =
X − µ
σ
⇒ N(0, 1);
108. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
A função de distribuição da N(µ, σ2
) não tem uma forma fechada;
Sendo X ∼ N(µ; σ2
), então Z =
X − µ
σ
⇒ N(0, 1);
P
X − µ
σ
≤ z
109. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
A função de distribuição da N(µ, σ2
) não tem uma forma fechada;
Sendo X ∼ N(µ; σ2
), então Z =
X − µ
σ
⇒ N(0, 1);
P
X − µ
σ
≤ z = P(X ≤ zσ + µ)
110. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
A função de distribuição da N(µ, σ2
) não tem uma forma fechada;
Sendo X ∼ N(µ; σ2
), então Z =
X − µ
σ
⇒ N(0, 1);
P
X − µ
σ
≤ z = P(X ≤ zσ + µ)
=
zσ+µ
−∞
111. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
A função de distribuição da N(µ, σ2
) não tem uma forma fechada;
Sendo X ∼ N(µ; σ2
), então Z =
X − µ
σ
⇒ N(0, 1);
P
X − µ
σ
≤ z = P(X ≤ zσ + µ)
=
zσ+µ
−∞
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
dx
112. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
A função de distribuição da N(µ, σ2
) não tem uma forma fechada;
Sendo X ∼ N(µ; σ2
), então Z =
X − µ
σ
⇒ N(0, 1);
P
X − µ
σ
≤ z = P(X ≤ zσ + µ)
=
zσ+µ
−∞
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
dx
=
y
−∞
113. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
A função de distribuição da N(µ, σ2
) não tem uma forma fechada;
Sendo X ∼ N(µ; σ2
), então Z =
X − µ
σ
⇒ N(0, 1);
P
X − µ
σ
≤ z = P(X ≤ zσ + µ)
=
zσ+µ
−∞
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
dx
=
y
−∞
1
√
2π
exp −
y2
2
dy
114. Distribuição Normal X ∼ N(µ, σ2
)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
A função de distribuição da N(µ, σ2
) não tem uma forma fechada;
Sendo X ∼ N(µ; σ2
), então Z =
X − µ
σ
⇒ N(0, 1);
P
X − µ
σ
≤ z = P(X ≤ zσ + µ)
=
zσ+µ
−∞
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
dx
=
y
−∞
1
√
2π
exp −
y2
2
dy
y = (x − µ)/σ
115. Distribuição Normal X ∼ N(2, 5)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
116. Distribuição Normal X ∼ N(2, 5)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
117. Distribuição Normal X ∼ N(2, 5)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
2. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5
118. Distribuição Normal X ∼ N(2, 5)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
2. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5 , então Z =
X − 2
5
119. Distribuição Normal X ∼ N(2, 5)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
2. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5 , então Z =
X − 2
5
também apresenta distribuição normal, com
média 0 e variância 1.
120. Distribuição Normal X ∼ N(2, 5)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
2. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5 , então Z =
X − 2
5
também apresenta distribuição normal, com
média 0 e variância 1.
121. Distribuição Normal X ∼ N(2, 5)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
2. F Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5, então Z =
X − 2
5
também apresenta distribuição normal, com
média 0 e variância 1.
122. Distribuição Normal X ∼ N(2, 5)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
2. F Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5, então Z =
X − 2
5
também apresenta distribuição normal, com
média 0 e variância 1.
Veja que
µ = 2
123. Distribuição Normal X ∼ N(2, 5)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
2. F Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5, então Z =
X − 2
5
também apresenta distribuição normal, com
média 0 e variância 1.
Veja que
µ = 2 e σ =
√
5
124. Distribuição Normal X ∼ N(2, 5)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
2. F Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5, então Z =
X − 2
5
também apresenta distribuição normal, com
média 0 e variância 1.
Veja que
µ = 2 e σ =
√
5 ⇒ Z =
X − 2
√
5
125. Distribuição Normal X ∼ N(2, 5)
Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
f(x) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, −∞ x ∞, com µ, σ ∈ R, σ 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
2. F Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média 2 e
variância 5, então Z =
X − 2
5
também apresenta distribuição normal, com
média 0 e variância 1.
Veja que
µ = 2 e σ =
√
5 ⇒ Z =
X − 2
√
5
∼ N(0, 1).
128. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado
129. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade
130. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente.
131. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
132. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
Tem função de densidade:
133. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
Tem função de densidade:
f(w)
134. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
Tem função de densidade:
f(w) =
Γ(ν1+ν2
2 )
135. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
Tem função de densidade:
f(w) =
Γ(ν1+ν2
2 )
Γ ν1
2 Γ ν2
2
136. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
Tem função de densidade:
f(w) =
Γ(ν1+ν2
2 )
Γ ν1
2 Γ ν2
2
·
ν1
ν2
ν1/2
137. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
Tem função de densidade:
f(w) =
Γ(ν1+ν2
2 )
Γ ν1
2 Γ ν2
2
·
ν1
ν2
ν1/2
·
w
ν1−2
2
138. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
Tem função de densidade:
f(w) =
Γ(ν1+ν2
2 )
Γ ν1
2 Γ ν2
2
·
ν1
ν2
ν1/2
·
w
ν1−2
2
1 + ν1
ν2
139. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
Tem função de densidade:
f(w) =
Γ(ν1+ν2
2 )
Γ ν1
2 Γ ν2
2
·
ν1
ν2
ν1/2
·
w
ν1−2
2
1 + ν1
ν2
· w
ν1+ν2
2
,
140. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
Tem função de densidade:
f(w) =
Γ(ν1+ν2
2 )
Γ ν1
2 Γ ν2
2
·
ν1
ν2
ν1/2
·
w
ν1−2
2
1 + ν1
ν2
· w
ν1+ν2
2
, w 0
141. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes , cada uma com distribuição
qui-quadrado , com ν1 e ν2, graus de liberdade , respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
Tem função de densidade:
f(w) =
Γ(ν1+ν2
2 )
Γ ν1
2 Γ ν2
2
·
ν1
ν2
ν1/2
·
w
ν1−2
2
1 + ν1
ν2
· w
ν1+ν2
2
, w 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
3. Sejam Z1 e Z2 duas variáveis aleatórias independentes com distribuição
qui-quadrado, então W =
Z1
Z2
apresenta distribuição F.
142. Distribuição F: W ∼ F(ν1, ν2)
Sejam U e V duas v.a independentes, cada uma com distribuição
qui-quadrado, com ν1 e ν2, graus de liberdade, respectivamente. Então a v.a
W =
U/ν1
V/ν2
Tem função de densidade:
f(w) =
Γ(ν1+ν2
2 )
Γ ν1
2 Γ ν2
2
·
ν1
ν2
ν1/2
·
w
ν1−2
2
1 + ν1
ν2
· w
ν1+ν2
2
, w 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julgue como verdadeiras ou falsas as armativas que se seguem:
3. F Sejam Z1 e Z2 duas variáveis aleatórias independentes com distribuição
qui-quadrado, então W =
Z1
Z2
apresenta distribuição F.
Veja que não estão denidos ν1 e ν2, os graus de liberdade.
146. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes
147. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
148. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
149. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
150. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
151. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
152. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
153. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
154. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−(ν+1)/2
155. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−(ν+1)/2
, −∞ t ∞
156. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−(ν+1)/2
, −∞ t ∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valor esperado:
157. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−(ν+1)/2
, −∞ t ∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valor esperado:
E(T)
158. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−(ν+1)/2
, −∞ t ∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valor esperado:
E(T) =
∞
−∞
159. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−(ν+1)/2
, −∞ t ∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valor esperado:
E(T) =
∞
−∞
t ·
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−
(ν+1)
2
dt
160. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−(ν+1)/2
, −∞ t ∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valor esperado:
E(T) =
∞
−∞
t ·
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−
(ν+1)
2
dt = 0
161. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν , com Z e Y independentes . Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−(ν+1)/2
, −∞ t ∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valor esperado:
E(T) =
∞
−∞
t ·
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−
(ν+1)
2
dt = 0 (f(t) é ímpar!)
162. Distribuição t: t ∼ tν
Seja Z uma v.a N(0, 1) e Y uma v.a χ2
ν, com Z e Y independentes. Então a
v.a
t =
Z
Y
ν
Tem função de densidade:
f(t) =
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· 1 +
t2
ν
−(ν+1)/2
, −∞ t ∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variância: Var(X) = E(X2
) − E(X)2
, E(X) = 0 ⇒ Var(X) = E(X2
).
E(T2
) =
∞
−∞
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· t2
1 +
t2
ν
−(ν+1)/2
dt
179. Variância da t
Variância da distribuição t de Student:
E(T2
) =
∞
−∞
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· t2
1 +
t2
ν
−
(ν+1)
2
dt
Seja y = 1 +
t2
v
−1
⇒ t ∈ R, temos 0 y 1.
180. Variância da t
Variância da distribuição t de Student:
E(T2
) =
∞
−∞
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· t2
1 +
t2
ν
−
(ν+1)
2
dt
Seja y = 1 +
t2
v
−1
⇒ t ∈ R, temos 0 y 1.
E(T2
)
181. Variância da t
Variância da distribuição t de Student:
E(T2
) =
∞
−∞
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· t2
1 +
t2
ν
−
(ν+1)
2
dt
Seja y = 1 +
t2
v
−1
⇒ t ∈ R, temos 0 y 1.
E(T2
) = n
Γ n+1
2
Γ 1
2 Γ n
2
182. Variância da t
Variância da distribuição t de Student:
E(T2
) =
∞
−∞
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· t2
1 +
t2
ν
−
(ν+1)
2
dt
Seja y = 1 +
t2
v
−1
⇒ t ∈ R, temos 0 y 1.
E(T2
) = n
Γ n+1
2
Γ 1
2 Γ n
2
1
0
y
n
2
−2
(1 − y)
1
2 dy
183. Variância da t
Variância da distribuição t de Student:
E(T2
) =
∞
−∞
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· t2
1 +
t2
ν
−
(ν+1)
2
dt
Seja y = 1 +
t2
v
−1
⇒ t ∈ R, temos 0 y 1.
E(T2
) = n
Γ n+1
2
Γ 1
2 Γ n
2
1
0
y
n
2
−2
(1 − y)
1
2 dy =
n
n − 2
184. Variância da t
Variância da distribuição t de Student:
E(T2
) =
∞
−∞
Γ(ν+1
2 )
Γ ν
2
√
πν
· t2
1 +
t2
ν
−
(ν+1)
2
dt
Seja y = 1 +
t2
v
−1
⇒ t ∈ R, temos 0 y 1.
E(T2
) = n
Γ n+1
2
Γ 1
2 Γ n
2
1
0
y
n
2
−2
(1 − y)
1
2 dy =
n
n − 2
Finalmente X ∼ tn ⇒ E(X) = 0 e Var(X) =
n
n − 2
.
185. Exame 2019 Questão 1
4. V Seja uma variável aleatória X, com distribuição t-Student com 2 graus de
liberdade. Então sua variância não será denida.
186. Exame 2019 Questão 1
4. V Seja uma variável aleatória X, com distribuição t-Student com 2 graus de
liberdade. Então sua variância não será denida.
X ∼ tn ⇒ E(X) = 0 e Var(X) =
n
n − 2
187. Exame 2019 Questão 1
4. V Seja uma variável aleatória X, com distribuição t-Student com 2 graus de
liberdade. Então sua variância não será denida.
X ∼ tn ⇒ E(X) = 0 e Var(X) =
n
n − 2