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Conjuntos
CONJUNTOS No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição.
DETERMINAÇÃO DE CONJUNTOS I) LISTAGEM Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves  . Exemplos: A) O conjunto dos números pares maiores que 5  e menores que 20. A = { 6;8;10;12;14;16;18 }
II)  Propriedade de Seus Elementos   O conjunto é apresentado por meio de uma propriedade que sirva a todos os elementos do conjunto e somente a estes elementos. Exemplo: Seja A o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então: A = {x / x é vogal do nosso alfabeto}   A = {a , e , i , o , u }
DIAGRAMAS DE VENN Os elementos são representados por pontos interiores a uma linha fechada não entrelaçada.   A M T 7 2 3 6 9 a e i o u 1 7 2 5 8 4 1 5
Exemplos : 1) Um conjunto formado por números  inteiros entre 2 e 7. A = { 3 , 4 , 5 , 6 } A 3 4 5 6 2) Um conjunto formado por números  Naturais pares e primos. A = {  2  } A 2 conjunto unitário A = { 2 }
CONJUNTOS ESPECIAIS CONJUNTO VAZIO Chamamos de conjunto vazio aquele formado por nenhum elemento. Representado por  ou  {  } Exemplos: M = { números maiores que 9 e menores que 5 } = {  } P = { x /  }
CONJUNTO UNITÁRIO É o conjunto que tem um único elemento. Exemplos: F = { x / 2x + 6 = 0 } G = CONJUNTO FINITO É o conjunto com número limitado de elementos. Exemplos: E = { x / x é um número impar positivo menor que 10 } N = { x / x 2  = 4 } ;
CONJUNTO INFINITO É um conjunto com um número ilimitado de elementos. Exemplos: R = { x / x < 6 } S = { x / x é um número par } ;
RELAÇÃO DE PERTENÊNCIA Se um elemento pertence a um conjunto se usa o símbolo: Se um elemento não  pertenece a um conjunto se usa o símbolo: Exemplo: Se M = {2;4;6;8;10} ... se lê 2 pertence ao conjunto M ... se lê 5 não pertence ao conjunto M
Exemplo: A= {a;b;c;d;e}  n(A)= B= {x;x;x;y;y;z}  n(B)=  Não levamos em consideração a ordem, nem a repetição dos elementos. O conjunto {x; x; x; y; y; z } = { x; y; z }. Cardinal = nº de elementos. n(A) = nº de elem. de A 5 3 Atencão!
RELAÇÃO DE PERTENÊNCIA Exemplo: Se A = {2;4;6;{8};10} (  ) (  ) (  ) (  ) (  ) (  ) (  ) (  )
RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS INCLUSÃO Dizemos que o conjunto  A  está contido no conjunto B se A for uma parte de  B .   NOTAÇÃO : Se lê : A é subconjunto de B, A está contido em B , A é parte de B.
A A A A A 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
PROPRIEDADES: I ) Todo conjunto está contido em si mesmo.  II ) O conjunto vazío está contido em qualquer conjunto.
Seja o conjunto  A = {  , 1 , 2, { 1 } },  então : .....  A 1 .....  A 2 .....  A { 1 } .....  A .....  A {  , 1 , 2, { 1 } } ......... A {  } .....  A 1 {  } .....  A 2 {  } .....  A { 1 } {  } .....  A 1 , 2 {  } .....  A
 
 
7 6 5 5 6 UNIÃO DE CONJUNTOS A B 9 8 7 3 1 4 2 B A B A A B B A  U B = { x / x  Є  A ou x  Є  B }
7 6 5 5 6 A B 9 8 7 3 1 4 2 INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS A B A A B B A  B = O A  ∩ B = { x / x  Є  A e x  Є  B }
7 6 5 5 6 A B 9 8 7 3 1 4 2 DIFERENÇA DE CONJUNTOS B  A – B = ? B – A = ? A  B A  B A  B A  B A A B B - A = O
7 6 5 5 6 A B Exemplo: 9 8 7 3 1 4 2 DIFERENÇA SIMÉTRICA
A B A-B B-A A B
COMPLEMENTAR  :  C A B( complementar de B em relação a A  )  Obs: C A B= A - B EX : A = { 1, 3  }  e  B = { 1 , 2 , 3 , 4  } C B A= { 2 , 4 } A B A B
Pág. 236
 
A B 4 5 E 6 7 1 2 3 { 3, 4, 5 }
A tabela expressa o número de cursos oferecidos, em uma faculdade, por turno. Da análise da tabela, pode-se afirmar que essa instituição oferece um total de cursos igual a : ,[object Object],[object Object],3 Matutino, Vespertino e Noturno 4 Vespertino e Noturno 4 Matutino e Noturno 5 Matutino e Vespertino 6 Noturno 9 Vespertino 10 Matutino Nº. DE CURSOS TURNO
(01) A pesquisa envolveu 500 pessoas . (02) 61 pessoas estavam  matriculadas apenas em  alongamento . (04) 259 pessoas estavam  matriculadas em alongamento ou musculação . (08) 89 pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas das atividades indicadas na tabela . (16) O número de pessoas matriculadas apenas em hidroginástica corresponde a 28,4% do total de pessoas envolvidas na pesquisa . ATIVIDADES N°. DE PESSOAS Alongamento 109 Hidroginástica 203 Musculação 162 Alongamento e hidroginástica 25 Alongamento e musculação 28 Hidroginástica e musculação 41 As três atividades 5 Outras atividades 115
 
 
a b c Nº 1 Nº 2 acertaram pelo menos uma 80 a + b + c = 80 acertaram a nº 1 70 a + b = 70 acertaram a nº 2 50 b + c = 50 a + b + c = 80 a + b = 70 c = 10 b + c = 50 c = 10 b = 40 a + b = 70 a = 30
 
OS CONJUNTOS NUMÉRICOS C R Q’ Q Z N ?
CONJUNTOS NUMÉRICOS 1) NÚMEROS NATURAIS Estes números foram criados pela necessidade de contar as  coisas da natureza , por isso são chamados de números naturais. 1 2 3 4 N = { 1, 2, 3, 4, 5, ... } N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
CONJUNTOS NUMÉRICOS 2) NÚMEROS INTEIROS ,[object Object],Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Z N  Z N
CONJUNTOS NUMÉRICOS Entretanto...surgiu outro tipo de problema:“ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros ? “ Para resolver este tipo de problemas foram criados os números fracionários.  3) NÚMEROS RACIONAIS Q = Z    { números fracionários } N Z Q N  Z  Q
[object Object],9 (E) 8 (D) 6  (C) 3  (B) 1 (A)
(01) Se  x = 0,666... , y = -1,333... e  z = 12,444..., então    = 6,222....  .
CONJUNTOS NUMÉRICOS Ao aplicar o Teorema de Pitágoras para determinar a medida do comprimento da diagonal de um quadrado de lado unitário, não conseguimos encontrar um número racional para essa medida. 4) NÚMEROS IRRACIONAIS Ex.:  N Z Q Q’
CONJUNTOS NUMÉRICOS Qualquer número racional ou irracional é chamado de número real. Podemos dizer, portanto que número real é todo número decimal, finito ou infinito.  5) NÚMEROS REAIS N Z Q Q’ R
 
Símbolos de exclusão: * Exclui o zero. +  Exclui os negativos. -  Exclui os positivos. A *  = números não nulos. A +  = A +  = números não negativos. A  --  = números não positivos. A * +  = números positivos. A * --  = números negativos.
v F F v v v F v
A = { 0, 2 ,4 ,6 ,8, 10, ...} B = { -1, 0, 1 ,2 ,3 ,4 ,5 } C = { 0, 1 ,2 ,3 ,4 } B X 2 4 -1 1 3 0 5
Intervalos [a; b] = { x  Є  R/ a ≤ x ≤ b } =  a b ]a; b[ = { x  Є  R/ a < x < b } =  a b [a; b[ = { x  Є  R/ a ≤ x < b } =  a b ]a; b] = { x  Є  R/ a < x ≤ b } =  a b [a; + ∞[  = { x  Є  R/ x ≥ a } =  a ]-  ∞; a[  = { x  Є  R/ x < a } =  a
 

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  • 2. CONJUNTOS No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição.
  • 3. DETERMINAÇÃO DE CONJUNTOS I) LISTAGEM Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves . Exemplos: A) O conjunto dos números pares maiores que 5 e menores que 20. A = { 6;8;10;12;14;16;18 }
  • 4. II) Propriedade de Seus Elementos O conjunto é apresentado por meio de uma propriedade que sirva a todos os elementos do conjunto e somente a estes elementos. Exemplo: Seja A o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então: A = {x / x é vogal do nosso alfabeto} A = {a , e , i , o , u }
  • 5. DIAGRAMAS DE VENN Os elementos são representados por pontos interiores a uma linha fechada não entrelaçada. A M T 7 2 3 6 9 a e i o u 1 7 2 5 8 4 1 5
  • 6. Exemplos : 1) Um conjunto formado por números inteiros entre 2 e 7. A = { 3 , 4 , 5 , 6 } A 3 4 5 6 2) Um conjunto formado por números Naturais pares e primos. A = { 2 } A 2 conjunto unitário A = { 2 }
  • 7. CONJUNTOS ESPECIAIS CONJUNTO VAZIO Chamamos de conjunto vazio aquele formado por nenhum elemento. Representado por ou { } Exemplos: M = { números maiores que 9 e menores que 5 } = { } P = { x / }
  • 8. CONJUNTO UNITÁRIO É o conjunto que tem um único elemento. Exemplos: F = { x / 2x + 6 = 0 } G = CONJUNTO FINITO É o conjunto com número limitado de elementos. Exemplos: E = { x / x é um número impar positivo menor que 10 } N = { x / x 2 = 4 } ;
  • 9. CONJUNTO INFINITO É um conjunto com um número ilimitado de elementos. Exemplos: R = { x / x < 6 } S = { x / x é um número par } ;
  • 10. RELAÇÃO DE PERTENÊNCIA Se um elemento pertence a um conjunto se usa o símbolo: Se um elemento não pertenece a um conjunto se usa o símbolo: Exemplo: Se M = {2;4;6;8;10} ... se lê 2 pertence ao conjunto M ... se lê 5 não pertence ao conjunto M
  • 11. Exemplo: A= {a;b;c;d;e} n(A)= B= {x;x;x;y;y;z} n(B)= Não levamos em consideração a ordem, nem a repetição dos elementos. O conjunto {x; x; x; y; y; z } = { x; y; z }. Cardinal = nº de elementos. n(A) = nº de elem. de A 5 3 Atencão!
  • 12. RELAÇÃO DE PERTENÊNCIA Exemplo: Se A = {2;4;6;{8};10} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
  • 13. RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS INCLUSÃO Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se A for uma parte de B . NOTAÇÃO : Se lê : A é subconjunto de B, A está contido em B , A é parte de B.
  • 14. A A A A A 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
  • 15. PROPRIEDADES: I ) Todo conjunto está contido em si mesmo. II ) O conjunto vazío está contido em qualquer conjunto.
  • 16. Seja o conjunto A = { , 1 , 2, { 1 } }, então : ..... A 1 ..... A 2 ..... A { 1 } ..... A ..... A { , 1 , 2, { 1 } } ......... A { } ..... A 1 { } ..... A 2 { } ..... A { 1 } { } ..... A 1 , 2 { } ..... A
  • 17.  
  • 18.  
  • 19. 7 6 5 5 6 UNIÃO DE CONJUNTOS A B 9 8 7 3 1 4 2 B A B A A B B A U B = { x / x Є A ou x Є B }
  • 20. 7 6 5 5 6 A B 9 8 7 3 1 4 2 INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS A B A A B B A B = O A ∩ B = { x / x Є A e x Є B }
  • 21. 7 6 5 5 6 A B 9 8 7 3 1 4 2 DIFERENÇA DE CONJUNTOS B A – B = ? B – A = ? A B A B A B A B A A B B - A = O
  • 22. 7 6 5 5 6 A B Exemplo: 9 8 7 3 1 4 2 DIFERENÇA SIMÉTRICA
  • 23. A B A-B B-A A B
  • 24. COMPLEMENTAR : C A B( complementar de B em relação a A ) Obs: C A B= A - B EX : A = { 1, 3 } e B = { 1 , 2 , 3 , 4 } C B A= { 2 , 4 } A B A B
  • 26.  
  • 27. A B 4 5 E 6 7 1 2 3 { 3, 4, 5 }
  • 28.
  • 29. (01) A pesquisa envolveu 500 pessoas . (02) 61 pessoas estavam matriculadas apenas em alongamento . (04) 259 pessoas estavam matriculadas em alongamento ou musculação . (08) 89 pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas das atividades indicadas na tabela . (16) O número de pessoas matriculadas apenas em hidroginástica corresponde a 28,4% do total de pessoas envolvidas na pesquisa . ATIVIDADES N°. DE PESSOAS Alongamento 109 Hidroginástica 203 Musculação 162 Alongamento e hidroginástica 25 Alongamento e musculação 28 Hidroginástica e musculação 41 As três atividades 5 Outras atividades 115
  • 30.  
  • 31.  
  • 32. a b c Nº 1 Nº 2 acertaram pelo menos uma 80 a + b + c = 80 acertaram a nº 1 70 a + b = 70 acertaram a nº 2 50 b + c = 50 a + b + c = 80 a + b = 70 c = 10 b + c = 50 c = 10 b = 40 a + b = 70 a = 30
  • 33.  
  • 34. OS CONJUNTOS NUMÉRICOS C R Q’ Q Z N ?
  • 35. CONJUNTOS NUMÉRICOS 1) NÚMEROS NATURAIS Estes números foram criados pela necessidade de contar as coisas da natureza , por isso são chamados de números naturais. 1 2 3 4 N = { 1, 2, 3, 4, 5, ... } N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
  • 36.
  • 37. CONJUNTOS NUMÉRICOS Entretanto...surgiu outro tipo de problema:“ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros ? “ Para resolver este tipo de problemas foram criados os números fracionários. 3) NÚMEROS RACIONAIS Q = Z  { números fracionários } N Z Q N Z Q
  • 38.
  • 39. (01) Se x = 0,666... , y = -1,333... e z = 12,444..., então = 6,222.... .
  • 40. CONJUNTOS NUMÉRICOS Ao aplicar o Teorema de Pitágoras para determinar a medida do comprimento da diagonal de um quadrado de lado unitário, não conseguimos encontrar um número racional para essa medida. 4) NÚMEROS IRRACIONAIS Ex.: N Z Q Q’
  • 41. CONJUNTOS NUMÉRICOS Qualquer número racional ou irracional é chamado de número real. Podemos dizer, portanto que número real é todo número decimal, finito ou infinito. 5) NÚMEROS REAIS N Z Q Q’ R
  • 42.  
  • 43. Símbolos de exclusão: * Exclui o zero. + Exclui os negativos. - Exclui os positivos. A * = números não nulos. A + = A + = números não negativos. A -- = números não positivos. A * + = números positivos. A * -- = números negativos.
  • 44. v F F v v v F v
  • 45. A = { 0, 2 ,4 ,6 ,8, 10, ...} B = { -1, 0, 1 ,2 ,3 ,4 ,5 } C = { 0, 1 ,2 ,3 ,4 } B X 2 4 -1 1 3 0 5
  • 46. Intervalos [a; b] = { x Є R/ a ≤ x ≤ b } = a b ]a; b[ = { x Є R/ a < x < b } = a b [a; b[ = { x Є R/ a ≤ x < b } = a b ]a; b] = { x Є R/ a < x ≤ b } = a b [a; + ∞[ = { x Є R/ x ≥ a } = a ]- ∞; a[ = { x Є R/ x < a } = a
  • 47.