1) O documento apresenta 17 questões sobre cilindros e volumes cilíndricos, encontradas em provas do ENEM e de vestibulares de diversas universidades brasileiras entre os anos de 2001 a 2014. As questões abordam tópicos como volume de cilindros, área lateral de cilindros, misturas para atrair aves, capacidade de tanques e reservatórios cilíndricos. 2) A maioria das questões requer o cálculo do volume ou da área lateral de objetos cilíndricos como tanques,

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QUESTÕES DE CILINDROS NO ENEM
1. (Enem 2014) Uma empresa que organiza eventos de formatura confecciona canudos de diplomas a partir de folhas
de papel quadradas. Para que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de um cilindro de
madeira de diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas completas em torno de tal cilindro. Ao final,
amarra-se um cordão no meio do diploma, bem ajustado, para que não ocorra o desenrolamento, como ilustrado na
figura.
Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do papel enrolado, finalizando a confecção do diploma.
Considere que a espessura da folha de papel original seja desprezível.
Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma?
a) dπ
b) 2 dπ
c) 4 dπ
d) 5 dπ
e) 10 dπ
2. (Enem 2013) Num parque aquático existe uma piscina infantil na forma
de um cilindro circular reto, de 1 m de profundidade e volume igual a 12m3,
cuja base tem um raio R e centro O. Deseja-se construir uma ilha de lazer
seca no interior dessa piscina, também na forma de um cilindro circular
reto, cuja base estará no fundo e com centro da base coincidindo com o
centro do fundo da piscina, conforme a figura. O raio da ilha de lazer será r.
Deseja-se que após a construção dessa ilha, o espaço destinado à água na
piscina tenha um volume de, no mínimo, 4m3.
Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer r, em
metros, estará mais próximo de
a) 1,6.
b) 1,7.
c) 2,0.
d) 3,0.
e) 3,8.
3. (Enem 2011) É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-las. Muitas pessoas costumam usar
água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores. Mas é importante saber que, na hora de fazer a mistura, você
deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, em dias quentes, precisa trocar a
água de duas a três vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O
excesso de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso
pode até matá-la.
Ciência Hoje das Crianças. FNDE; Instituto Ciência Hoje, n. 166, mar 1996.
Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-flores. O copo tem formato cilíndrico, e
suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro. A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é
cerca de (utilize 3  )
a) 20 mL.
b) 24 mL.
c) 100 mL.
d) 120 mL.
e) 600 mL.

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4. (Enem 2010) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que
se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos
plásticos, também cilíndricos.
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para
encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá
a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.
b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.
c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
5. (Enem 2010) No manejo sustentável de florestas, é preciso muitas vezes obter o volume da tora que pode ser
obtida a partir de uma árvore. Para isso, existe um método prático, em que se mede a circunferência da árvore à
altura do peito de um homem (1,30 m), conforme indicado na figura. A essa medida denomina-se "rodo" da árvore. O
quadro a seguir indica a fórmula para se cubar, ou seja, obter o volume da tora em m3 a partir da medida do rodo e da
altura da árvore.
Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de cubar, abater e transportar cinco toras de madeira, de duas
espécies diferentes, sendo
• 3 toras da espécie I, com 3 m de rodo, 12 m de comprimento e densidade 0,77 toneladas/m3;
• 2 toras da espécie II, com 4 m de rodo, 10 m de comprimento e densidade 0,78 toneladas/m3.
Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que enviassem caminhões para transportar uma carga de,
aproximadamente,
a) 29,9 toneladas.
b) 31,1 toneladas.
c) 32,4 toneladas.
d) 35,3 toneladas.
e) 41,8 toneladas.
6. (Enem 2010) Alguns testes de preferência por bebedouros de água
foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de
formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de
um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da
base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3
é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60
cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura.

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Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação para o
bebedouro 3?
a)
b)
c)
d)
e)
7. (Enem 2010) Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de
espessura desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, contendo 20 cm de espessura.
Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de ð, então o
preço dessa manilha é igual a
a) R$ 230,40.
b) R$ 124,00.
c) R$ 104,16.
d) R$ 54,56.
e) R$ 49,60.
8. (Enem 2010) Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato cilíndrico, em três tamanhos, com
medidas indicadas nas figuras. O preço do tanque é diretamente proporcional à medida da área da superfície lateral
do tanque. O dono de um posto de combustível deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cúbico de
capacidade de armazenamento.
Qual dos tanques devera ser escolhido pelo dono do posto? (Considere 3  )

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a) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de
1
.
3
b) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de
4
.
3
c) OI, pela relação área/capacidade de armazenamento de
3
.
4
d) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de
2
.
3
e) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de
7
.
12
9. (Enem 2008) A figura abaixo mostra um reservatório de água na forma de um cilindro circular reto, com 6 m de
altura. Quando está completamente cheio, o reservatório é suficiente para abastecer, por um dia, 900 casas cujo
consumo médio diário é de 500 litros de água.
Suponha que, um certo dia, após uma campanha de conscientização do uso da água, os moradores das 900 casas
abastecidas por esse reservatório tenham feito economia de 10% no consumo de água. Nessa situação,
a) a quantidade de água economizada foi de 3
4,5 m .
b) a altura do nível da água que sobrou no reservatório, no final do dia, foi igual a 60cm.
c) a quantidade de água economizada seria suficiente para abastecer, no máximo, 90 casas cujo consumo diário
fosse de 450 litros.
d) os moradores dessas casas economizariam mais de R$ 200,00, se o custo de 3
1m de água para o consumidor
fosse igual a R$ 2,50.
e) um reservatório de mesma forma e altura, mas com raio da base 10% menor que o representado, teria água
suficiente para abastecer todas as casas.
10. (Enem 2006) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com
cartões de papel retangulares de 20cm 10cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do
cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina.

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Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do
tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será
a) o triplo.
b) o dobro.
c) igual.
d) a metade.
e) a terça parte.
11. (Enem 2001) Em muitas regiões do Estado do Amazonas, o volume de madeira de uma árvore cortada é
avaliado de acordo com uma prática dessas regiões:
I. Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante.
II. O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu comprimento é medido com fita métrica.
III. O valor obtido com essa medida é multiplicado por ele mesmo e depois multiplicado pelo comprimento do tronco.
Esse é o volume estimado de madeira.
Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito.
A diferença entre essas medidas é praticamente equivalente às perdas de madeira no processo de corte para
comercialização.
Pode-se afirmar que essas perdas são da ordem de
a) 30%.
b) 22%.
c) 15%.
d) 12%.
e) 5%.
12. (Ufu 2015) O rendimento teórico de uma tinta é a quantidade necessária para pintar um metro quadrado de área
e serve apenas para determinar o custo por metro quadrado da tinta. O rendimento real de uma tinta é calculado no
final do trabalho executado que leva em conta o número de demãos (números de camadas de tintas necessárias
para obter o resultado esperado) e as perdas decorrentes da preparação e do método de aplicação. Admita que as
perdas usando os diferentes métodos de pintura são estimadas em: pincel 10%, rolo 20% e pistola pneumática
25%.
Um pintor vai pintar toda a superfície de um tanque de combustível na forma de um cilindro circular de 10m de altura
e raio da base igual a 2m. Sabe-se que a tinta a ser usada tem rendimento teórico de 2
20m por litro e que são
necessárias duas demãos.
Determine a quantidade, em litros, de tintas necessárias para pintar esse tanque utilizando a pistola pneumática.
Dado: Use 3,14.π 
13. (Upe 2015) A figura a seguir representa a vista de cima de uma cisterna cilíndrica. Os pontos A e B indicam os
locais de abastecimento, diametralmente opostos, e o ponto X mostra a posição de uma pessoa que se encontra a
6 m de A e a 8 m de B.

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Sabendo-se que a profundidade da cisterna é de 2 m, qual a sua capacidade máxima?
(Considere 3)π 
a) 14.000 litros.
b) 48.000 litros.
c) 100.000 litros.
d) 150.000 litros.
e) 300.000 litros.
14. (Ufsm 2014) Uma alternativa encontrada para a melhoria da circulação em grandes cidades e em rodovias é a
construção de túneis. A realização dessas obras envolve muita ciência e tecnologia.
Um túnel em formato semicircular, destinado ao transporte rodoviário, tem as dimensões conforme a figura a seguir.
Qual é o volume, em 3
m , no interior desse túnel?
a) 4.800 .π
b) 7.200 .π
c) 14.400 .π
d) 28.800 .π
e) 57.600 .π
15. (Unifor 2014) Duas velas homogêneas e de comprimentos iguais são acesas simultaneamente. A primeira tem
um tempo de queima de 4 horas e a segunda de 6 horas. Após certo tempo, ambas foram apagadas ao mesmo
tempo. Observou-se que o resto de uma tinha o dobro do resto da outra. Por quanto tempo ficaram acesas?
a) 2 horas
b) 2 horas e 30 min
c) 3 horas
d) 3 horas e 20 min
e) 3 horas e 30 min
16. (Unifor 2014) Um posto de combustível inaugurado recentemente em Fortaleza usa tanque subterrâneo que tem
a forma de um cilindro circular reto na posição vertical como mostra a figura abaixo. O tanque está completamente
cheio com 3
42 m de gasolina e 3
30 m de álcool. Considerando que a altura do tanque é de 12 metros, a altura da
camada de gasolina é:

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a) 6 m
b) 7 m
c) 8 m
d) 9 m
e) 10 m
17. (Uel 2014) No Paraná, a situação do saneamento público é preocupante, já que o índice de tratamento de esgoto
é de apenas 53%, ou seja, quase metade das residências no Estado ainda joga esgoto em fossas. José possui, em
sua residência, uma fossa sanitária de forma cilíndrica, com raio de 1 metro e profundidade de 3 metros.
Supondo que José queira aumentar em 40% o volume de sua fossa, assinale a alternativa que apresenta,
corretamente, de quanto o raio deve ser aumentado percentualmente.
Dado: 1,4 1,183
a) 11,8%
b) 14,0%
c) 18,3%
d) 60,0%
e) 71,2%
18. (Uemg 2014) Uma empresa de produtos de limpeza deseja fabricar uma embalagem com tampa para seu
produto. Foram apresentados dois tipos de embalagens com volumes iguais. A primeira é um cilindro de raio da base
igual a 2 cm e altura igual a 10 cm; e a segunda, um paralelepípedo de dimensões iguais a 4 cm, 5 cm e 6 cm. O
metro quadrado do material utilizado na fabricação das embalagens custa R$ 25,00.
Considerando-se 3,π  o valor da embalagem que terá o menor custo será
a) R$ 0,36.
b) R$ 0,27.
c) R$ 0,54.
d) R$ 0,41.
19. (Ufsj 2013) Um galão cilíndrico, com 1m de altura e 1m de diâmetro da sua base, está cheio de um líquido até
sua borda. Abrindo-se completamente uma torneira localizada na sua base, a velocidade de escoamento do líquido é
de 15 litros minuto. Considerando a abertura total da torneira e que 3
1dm 1litro, o tempo estimado para o
esvaziamento do galão está entre
a) 16 e 17 minutos.
b) 52 e 53 minutos.
c) 66 e 67 minutos.
d) 21 e 22 minutos.
20. (Espm 2013) Um cilindro circular reto de raio da base igual a 4 cm contém água até uma certa altura. Um objeto
é colocado no seu interior, ficando totalmente submerso. Se o nível da água no cilindro subiu 3 cm, podemos afirmar
que o volume desse objeto é de, aproximadamente:
a) 174 cm3
b) 146 cm3
c) 162 cm3
d) 183 cm3
e) 151 cm3

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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[D]
O lado da folha de papel corresponde ao quíntuplo do comprimento da base do cilindro, ou seja, 5 d.π
Resposta da questão 2:
[A]
Queremos calcular r, de modo que 2
12 r 1 4.π    Portanto, considerando 3 como o valor aproximado de ,π
temos
2 2 8
12 3r 4 r
3
8
0 r
3
0 r 1,63,
   
  
  
ou seja, a medida do raio máximo da ilha de lazer, em metros, é um número que está mais próximo de 1,6.
Resposta da questão 3:
[C]
Supondo que o volume de açúcar e o volume de água somem o volume do copo.
De acordo com o texto, temos:
Volume de água = 5x
Volume de água = x
Volume do copo = 2 2 3
.2 .10 3.2 .10 120cm π
Então x + 5x = 120 3
6x 120 x 20cm   
Portanto, a quantidade de água deverá ser 5.20 = 100 cm3 = 100 mL.
Resposta da questão 4:
[A]
Volume do copinho =  .22.4 = 16 cm3
Volume de 20 copinhos pela metade =
1
2
20. 16 cm2 = 160 cm3
Volume da leiteira = .42.20 = 320 cm3
Resposta da questão 5:
[A]
Volume 3
(m ) Massa (toneladas)
Espécie I 2
3 3 12 0,06 19,44    0,77 19,44 14,96 
Espécie II 2
2 4 10 0,06 19,2    0,78 19,2 14,97 
Resposta da questão 6:
[E]

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A superfície do bebedouro 3 é constituída por dois semicírculos e por um retângulo.
Resposta da questão 7:
[D]
Volume do concreto é V. Logo:
V = Volume do cilindro maior – volume do cilindro menor
V = .(1,2)2 .4 - .12.4
V = 1,76.3,1
V= 5,456m3
Logo, o preço da manilha será 5,456 . 10 = R$ 54,56
Resposta da questão 8:
[D]
Resposta da questão 9:
[B]
O volume e a altura do cilindro são diretamente
proporcionais. Desse modo, uma economia de 10% da
capacidade corresponde a 10% da altura do reservatório,
isto é,  10% 600 60cm.
Resposta da questão 10:
[B]
Sejam IV e IIV os volumes das velas de cada tipo.
Temos que
 
    
  
2
3
I
10 1000
V 10 cm
e
 
    
  
2
3
II
5 500
V 20 cm .
Se o custo é diretamente proporcional ao volume, então
 C k V,
em que C é o custo, k é a constante de proporcionalidade e V é o volume.
Desse modo,
Área lateral (AL) Volume AL/V
Tanque I 2.2.6 = 24 .22.6 = 24 1
Tanque II 2.2.8 = 32 .22.8 = 32 1
Tanque III 2.3.8 = 48 .32
..8 =72 2/3

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 

    
 

I
I
I II
II
II
1000
C k
C
2 C 2 C ,
500 C
C k
ou seja, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será o dobro.
Resposta da questão 11:
[B]
2
2
2 .R
.h
4
78,5%
.R .h
π
π
 
 
  
Portanto, as perdas são da ordem de 100% - 78,5% = 21,5%.
Resposta: 22%.
Resposta da questão 12:
Supondo que apenas a superfície externa do cilindro será pintada, e sabendo que serão aplicadas duas demãos, a
área que receberá a tinta é igual a 2
2 2 2 (2 10) 301,44 m .π     
Desconsiderando qualquer perda, a quantidade de tinta necessária para pintar o tanque seria de
301,44
15,072
20

litros. Porém, como a pistola pneumática desperdiça 25% da tinta utilizada, segue que o resultado pedido é
15,072
20,096
0,75
 litros.
Resposta da questão 13:
[D]
Como AB é um diâmetro, tem-se que o triângulo ABX é retângulo. Além disso, sendo AX 6 m e BX 8 m,
podemos concluir que o triângulo ABX é semelhante ao triângulo de lados 3 m, 4 m e 5 m.
Portanto, segue que AB 10 m e r 5 m, com r sendo o raio da cisterna.
A capacidade máxima da cisterna é dada por
2 3
5 2 3 25 2 150 m 150.000 litros.π       
Resposta da questão 14:
[B]
O túnel é um semicilindro de raio 6m e altura 400m.
Volume do túnel:
2
36
V 400 7200 m
2
π
π

  
Resposta da questão 15:
[C]
O volume que resta na primeira vela após t horas é dado por 2 t
r H 1 ,
4
 
    
 
π enquanto que o volume que resta na
segunda é 2 t
R H 1 .
6
 
    
 
π

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Suponha que a altura da segunda vela após t horas seja 2h H. Logo, temos
2 2 t t
R 2h R H 1 2h H 1 .
6 6
   
             
   
π π
Por outro lado, na primeira vela, após t horas, teríamos
2 2 t t
r h r H 1 h H 1 .
4 4
   
             
   
π π
Em consequência, segue que
t t t t
2 H 1 H 1 1
4 6 2 6
t 3.
   
           
   
 
Resposta da questão 16:
[B]
Seja h a altura da camada de gasolina. Assim, como a altura de cada líquido é proporcional ao volume, temos
h 42
h 7 m.
12 42 30
  

Resposta da questão 17:
[C]
De acordo com o enunciado podemos escrever:
VII = 1,4VI
2 2
2
R 3 1,4 1 3
R 1,4
R 1,183
π π    


Portanto, o raio terá um aumento de 18,3%.
Resposta da questão 18:
[A]
Área total do cilindro: 2 2
2 2 2 2 10 48 48 3 1334cm .π π π        
Valor da embalagem em forma de cilindro:
25
144 R$0,36.
10000
 

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Área total do paralelepípedo: 2
2 (4 5 4 6 5 6) 148cm .      
Valor da embalagem em forma de paralelepípedo:
25
148 R$0,37.
10000
 
O valor da embalagem que terá o menor custo será: R$0,36.
Resposta da questão 19:
[B]
Volume do galão cilíndrico.
2 3
V (0,5) 1 0,785 m 785L
1min ______ 15L
x ______ 785L
π    
Logo, x = 52,333.... minutos.
Logo, 52 minutos < 52,3333... minutos < 53 minutos.
Resposta da questão 20:
[E]
Pelo Princípio de Arquimedes, o volume do objeto corresponde ao volume de um cilindro circular reto de raio da base
igual a 4cm e altura 3cm, ou seja,
2
3
4 3 3,14 48
151cm .
π    


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Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração: 21/09/2015 às 06:28
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo
1 ............135560.....Baixa ............. Matemática ... Enem/2014 .......................... Múltipla escolha
2 ............128035.....Baixa ............. Matemática ... Enem/2013 .......................... Múltipla escolha
3 ............108706.....Média ............ Matemática ... Enem/2011 .......................... Múltipla escolha
4 ............100292.....Média ............ Matemática ... Enem/2010 .......................... Múltipla escolha
5 ............100299.....Média ............ Matemática ... Enem/2010 .......................... Múltipla escolha
6 ............100278.....Média ............ Matemática ... Enem/2010 .......................... Múltipla escolha
7 ............100298.....Média ............ Matemática ... Enem/2010 .......................... Múltipla escolha
8 ............100302.....Média ............ Matemática ... Enem/2010 .......................... Múltipla escolha
9 ............86284.......Baixa ............. Matemática ... Enem/2008 .......................... Múltipla escolha
10 ..........68349.......Média ............ Matemática ... Enem/2006 .......................... Múltipla escolha
11 ..........40194.......Média ............ Matemática ... Enem/2001 .......................... Múltipla escolha
12 ..........140055.....Média ............ Matemática ... Ufu/2015 .............................. Analítica
13 ..........137803.....Média ............ Matemática ... Upe/2015 ............................. Múltipla escolha
14 ..........134063.....Média ............ Matemática ... Ufsm/2014 ........................... Múltipla escolha
15 ..........135245.....Média ............ Matemática ... Unifor/2014 .......................... Múltipla escolha
16 ..........135216.....Baixa ............. Matemática ... Unifor/2014 .......................... Múltipla escolha
17 ..........128533.....Média ............ Matemática ... Uel/2014 .............................. Múltipla escolha
18 ..........131150.....Média ............ Matemática ... Uemg/2014 .......................... Múltipla escolha
19 ..........125243.....Média ............ Matemática ... Ufsj/2013.............................. Múltipla escolha
20 ..........125892.....Baixa ............. Matemática ... Espm/2013........................... Múltipla escolha

15. Interbits – SuperPro ® Web
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QUESTÕES DE PRISMAS NO ENEM
1. (Enem 2014) Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, feitas de um mesmo material. Por ter recebido
de seus clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura em
1
,
8
preservando suas espessuras. A fim de
manter o custo com o material de cada porta, precisou reduzir a largura.
A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior é
a)
1
8
b)
7
8
c)
8
7
d)
8
9
e)
9
8
2. (Enem 2014) Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac), o passageiro que embarcar em
voo doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo a soma das dimensões da bagagem (altura +
comprimento + largura) não pode ser superior a 115cm.
A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo.
O maior valor possível para x, em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela
Anac é
a) 25.
b) 33.
c) 42.
d) 45.
e) 49.
3. (Enem 2014) O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de apartamento construa um armário em
sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1:100, foi disponibilizado aos interessados já com as
especificações das dimensões do armário, que deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com
dimensões, no projeto, iguais a 3cm, 1cm e 2cm.
O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será
a) 6.
b) 600.
c) 6.000.
d) 60.000.
e) 6.000.000.

16. Interbits – SuperPro ® Web
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4. (Enem 2014) Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e
protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um
prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura.
Considere um silo de 2m de altura, 6m de largura de topo e 20m de comprimento. Para cada metro de altura do
silo, a largura do topo tem 0,5m a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa
3
2m desse tipo de silo.
EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado).
Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é
a) 110.
b) 125.
c) 130.
d) 220.
e) 260.
5. (Enem 2014) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em
centímetros, mostradas na figura.
Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as dimensões de sua base sejam
25% maiores que as da lata atual.
Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em
a) 14,4%
b) 20%
c) 32,0%
d) 36,0%
e) 64,0%
6. (Enem 2014) Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duas partes cúbicas que se
comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da
aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada para encher o depósito tem vazão constante e levou 8 minutos
para encher metade da parte de baixo.

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Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito?
a) 8.
b) 10.
c) 16.
d) 18.
e) 24.
7. (Enem 2013) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa
avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de
114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo
de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 15º e duas casas decimais nas operações, descobre-se que
a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço
a) menor que 100m2.
b) entre 100m2 e 300m2.
c) entre 300m2 e 500m2.
d) entre 500m2 e 700m2.
e) maior que 700m2.
8. (Enem 2012) Alguns objetos, durante a sua fabricação,
necessitam passar por um processo de resfriamento. Para
que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de
resfriamento, como mostrado na figura.
O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm3?
a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura.

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b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura.
c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura.
d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar.
e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.
9. (Enem 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo
volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de
comprimento e 4 cm de espessura.
Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o
formato de cubo é igual a
a) 5 cm.
b) 6 cm.
c) 12 cm.
d) 24 cm.
e) 25 cm.
10. (Enem 2010) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir.
O cubo de dentro e vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que e interno, mede 8 cm.
O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de
a) 12 cm3.
b) 64 cm3.
c) 96 cm3.
d) 1 216 cm3.
e) 1 728 cm3.
11. (Enem 2010) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de
peça feita nessa companhia tem o formato de um paralepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas
na figura que segue.
O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza
a) massa.
b) volume.
c) superfície.
d) capacidade.
e) comprimento.
12. (Enem 2009) Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de
um cubo, para transportá-las. Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm3, então o número máximo de
esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a
a) 4. b) 8. c) 16. d) 24. e) 32.

19. Interbits – SuperPro ® Web
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13. (Enem 2006) Eclusa é um canal que, construído em águas de um rio com grande desnível, possibilita a
navegabilidade, subida ou descida de embarcações. No esquema a seguir, está representada a descida de uma
embarcação, pela eclusa do porto Primavera, do nível mais alto do rio Paraná até o nível da jusante.
A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado de 200 m e largura igual a 17 m. A vazão aproximada da água
durante o esvaziamento da câmara é de 3
4.200 m por minuto. Assim, para descer do nível mais alto até o nível da
jusante, uma embarcação leva cerca de
a) 2 minutos.
b) 5 minutos.
c) 11 minutos.
d) 16 minutos.
e) 21 minutos.
14. (Enem 2ª aplicação 2010) A figura seguinte ilustra um salão de um clube onde estão destacados os pontos A e B.
Nesse salão, o ponto em que chega o sinal da TV a cabo fica situado em A. A fim de instalar um telão para a
transmissão dos jogos de futebol da Copa do Mundo, esse sinal deverá ser levado até o ponto B por meio de um
cabeamento que seguirá na parte interna da parede e do teto.
O menor comprimento que esse cabo deverá ter para ligar os pontos A e B poderá ser obtido por meio da seguinte
representação no plano:
a)
b)

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c)
d)
e)
15. (Enem cancelado 2009) Considere um caminhão que tenha uma carroceria na forma de um paralelepípedo
retângulo, cujas dimensões internas são 5,1 m de comprimento, 2,1 m de largura e 2,1 m de altura. Suponha que
esse caminhão foi contratado para transportar 240 caixas na forma de cubo com 1 m de aresta cada uma e que
essas caixas podem ser empilhadas para o transporte.
Qual é o número mínimo de viagens necessárias para realizar esse transporte?
a) 10 viagens.
b) 11 viagens.
c) 12 viagens.
d) 24 viagens.
e) 27 viagens.
16. (Enem PPL 2012) Em uma aula de matemática, a professora propôs que os alunos construíssem um cubo a
partir da planificação em uma folha de papel, representada na figura a seguir.
Após a construção do cubo, apoiou-se sobre a mesa a face com a letra M.
As faces paralelas deste cubo são representadas pelos pares de letras
a) E-N, E-M e B-R.
b) B-N, E-E e M-R.
c) E-M, B-N e E-R.
d) B-E, E-R e M-N.
e) E-N, B-M e E-R.
17. (Enem PPL 2012) Em um terreno, deseja-se instalar uma piscina com formato de um bloco retangular de altura 1
m e base de dimensões 20m 10m. Nas faces laterais e no fundo desta piscina será aplicado um líquido para a
impermeabilização. Esse líquido deve ser aplicado na razão de 1 L para cada 1 m2 de área a ser impermeabilizada.
O fornecedor A vende cada lata de impermeabilizante de 10 L por R$ 100,00, e o B vende cada lata de 15 L por R$
145,00. Determine a quantidade de latas de impermeabilizante que deve ser comprada e o fornecedor a ser
escolhido, de modo a se obter o menor custo.
a) Fabricante A, 26 latas.
b) Fabricante A, 46 latas.
c) Fabricante B, 17 latas.
d) Fabricante B, 18 latas.
e) Fabricante B, 31 latas.

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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[D]
Sejam x, y e z, respectivamente, a altura, a espessura e a largura da porta original. Logo, segue que o volume da
porta original é igual a x y z. 
Aumentando-se em
1
8
a altura da porta e preservando a espessura, deve-se ter, a fim de manter o custo com o
material,
1 1
9x 8z
y z x y z z ,
8 9
      
com 1z sendo a largura da nova porta.
Portanto, a razão pedida é 1z 8
.
z 9

Resposta da questão 2:
[E]
De acordo com a figura, tem-se que a altura da caixa mede 24cm. Além disso, a largura mede 90 2 24 42cm.  
Daí, o comprimento x, em centímetros, deve ser tal que
0 x 42 24 115 0 x 49.      
Portanto, o maior valor possível para x, em centímetros, é 49.
Resposta da questão 3:
[E]
Seja V o volume real do armário.
O volume do armário, no projeto, é 3
3 2 1 6cm .   Logo, temos
3
36 1
V 6.000.000cm .
V 100
 
   
 
Resposta da questão 4:
[A]
Como h 2 m, segue-se que b 6 2 0,5 5 m.    Logo, segue que o volume total do silo é igual a
36 5
20 220 m .
2
 
  
 
Em consequência, sabendo que 1 tonelada de forragem ocupa 3
2 m , podemos concluir que o
resultado pedido é
220
110
2
 toneladas.
Resposta da questão 5:
[D]
Se H é a altura da lata atual, então seu volume é igual a 2 3
24 Hcm . Agora, sabendo que as dimensões da nova
lata são 25% maiores que as da lata atual, e sendo h a altura da nova lata, temos
2
25 16
24 h 24 H h H h 64% H,
4 25
 
          
 
isto é, a altura da lata atual deve ser reduzida em
100% 64% 36%. 

23. Interbits – SuperPro ® Web
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Resposta da questão 6:
[B]
Sendo a medida da aresta da parte cúbica de cima, tem-se que a aresta da parte cúbica de baixo mede 2 .
Por conseguinte, se a torneira levou 8 minutos para despejar
3
3(2 )
4
2
 unidades de volume, então ela levará
3 3
3
4
8 10
4
 
   
 
minutos para encher completamente o restante do depósito.
Resposta da questão 7:
[E]
Considere a vista lateral de uma das torres Puerta de Europa.
Do triângulo ABC, obtemos
BC BC
tgBAC tg15
114AB
BC 114 0,26
BC 29,64 m.
   
  
 
Portanto, como a base é um quadrado, segue-se que sua área é aproximadamente igual a
2 2 2
BC (29,64) 878,53 m . 
Resposta da questão 8:
[C]
O nível da água subiria
2400
2cm,
40 30


fazendo a água ficar com 25 5 2 22cm   de altura.
Resposta da questão 9:
[B]
Sendo a a aresta do cubo, temos:
a3 = 4.18.3
a3 = 216
a = 6
Resposta da questão 10:
[D]

24. Interbits – SuperPro ® Web
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V = volume do cubo maior – volume do cubo menor
V = 123 - 83
V = 1728 – 512
V = 1216
Resposta da questão 11:
[B]
Multiplicando as dimensões temos o valor de seu volume em m3.
Resposta da questão 12:
[B]
a 3 = 13.824  a = 24cm. Diâmetro da esfera = 12cm
No comprimento do cubo podemos colocar 2 esferas
Na largura do cubo podemos colocar 2 esferas
Na altura do cubo podemos colocar 2 esferas
Logo o número de esferas será 2.2.2 = 8
Resposta da questão 13:
[D]
O volume de água a ser escoado da câmara é de 3
200 17 20 68.000 m .   Logo, como a vazão de escoamento é
3
4.200 m por minuto, segue que uma embarcação leva cerca de
68000
16
4200
 minutos para descer do nível mais alto
até o nível da jusante.
Resposta da questão 14:
[E]
Sabendo que a menor distância entre dois pontos é o segmento de reta que os une, segue que a representação
exibida na alternativa (E) é a única que ilustra corretamente a menor distância entre A e B.
Resposta da questão 15:
[C]
No comprimento conseguiremos colocar 5 caixas, na largura 2 caixas e na altura 2 caixas.
Total de caixas 5.2.2 = 20 caixas.
Número mínimo de viagens:
20
240
= 12
Resposta da questão 16:
[C]

25. Interbits – SuperPro ® Web
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Construindo o cubo temos:
Portanto, as faces paralelas desse cubo são E-M, B-N e E-R.
Resposta da questão 17:
[A]
Área a ser impermeabilizada: 2
A 20 10 2 20 ,1 2 10 1 260m         onde serão usados 260 L de impermeabilizante.
Valor gasto com o fornecedor A:
Número de ladas necessárias: 260 :10 26 latas.
Valor das latas: 100 26 2600 reais. 
Valor gasto com o fornecedor B:
Número de latas necessárias: 260 :15 17,3333..., ou seja, serão necessárias 18 latas.
Valor das 19 latas: 145 18 2610 reais. 

26. Interbits – SuperPro ® Web
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração: 26/04/2015 às 18:21
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo
1 ............135522.....Baixa ............. Matemática ... Enem/2014 .......................... Múltipla escolha
2 ............135573.....Média ............ Matemática ... Enem/2014 .......................... Múltipla escolha
3 ............135588.....Baixa ............. Matemática ... Enem/2014 .......................... Múltipla escolha
4 ............135547.....Baixa ............. Matemática ... Enem/2014 .......................... Múltipla escolha
5 ............135574.....Baixa ............. Matemática ... Enem/2014 .......................... Múltipla escolha
6 ............135593.....Baixa ............. Matemática ... Enem/2014 .......................... Múltipla escolha
7 ............128021.....Baixa ............. Matemática ... Enem/2013 .......................... Múltipla escolha
8 ............122031.....Baixa ............. Matemática ... Enem/2012 .......................... Múltipla escolha
9 ............100280.....Baixa ............. Matemática ... Enem/2010 .......................... Múltipla escolha
10 ..........100318.....Média ............ Matemática ... Enem/2010 .......................... Múltipla escolha
11 ..........100287.....Média ............ Matemática ... Enem/2010 .......................... Múltipla escolha
12 ..........90622.......Média ............ Matemática ... Enem/2009 .......................... Múltipla escolha
13 ..........68350.......Baixa ............. Matemática ... Enem/2006 .......................... Múltipla escolha
14 ..........106523.....Baixa ............. Matemática ... Enem 2ª aplicação/2010...... Múltipla escolha
15 ..........91828.......Média ............ Matemática ... Enem cancelado/2009......... Múltipla escolha
16 ..........127140.....Média ............ Matemática ... Enem PPL/2012 .................. Múltipla escolha
17 ..........127150.....Média ............ Matemática ... Enem PPL/2012 .................. Múltipla escolha

27. G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4
T O D A S A S Q U E S T Õ E S R E S O L V I D A S ! P á g i n a | 1
PREPARAENEM _ Prof. Cristiano Siqueira
1. (Enem 2014) Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo de mesmo
comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um
dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um
triângulo construído com essas características.
A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos é
a) 3.
b) 5.
c) 6.
d) 8.
e) 10.
Resposta:
[A]
Sejam a e b as quantidades de palitos em cada um dos outros dois lados do triângulo. Tem-se
que {a, b} {{1,10}, {2,9}, {3, 8}, {4, 7}, {5, 6}}. Mas, pela condição de existência de um triângulo,
só pode ser {a, b} {{3, 8}, {4, 7}, {5, 6}} e, portanto, a resposta é 3.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. (Enem 2014) Diariamente, uma residência consome 20.160Wh. Essa residência possui 100
células solares retangulares (dispositivos capazes de converter a luz solar em energia elétrica)
de dimensões 6cm 8cm. Cada uma das tais células produz, ao longo do dia, 24Wh por
centímetro de diagonal. O proprietário dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a
mesma quantidade de energia que sua casa consome.
Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja o seu objetivo?
a) Retirar 16 células.
b) Retirar 40 células.
c) Acrescentar 5 células.
d) Acrescentar 20 células.
e) Acrescentar 40 células.
Resposta:
[A]
Aplicando o Teorema de Pitágoras, concluímos facilmente que a diagonal de uma célula solar
mede 10cm. Em consequência, as 100 células produzem 100 10 24 24.000 Wh.   Assim,

28. G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4
T O D A S A S Q U E S T Õ E S R E S O L V I D A S ! P á g i n a | 2
PREPARAENEM _ Prof. Cristiano Siqueira
estão sendo produzidos, diariamente, 24000 20160 3.840 Wh  além do consumo. Portanto,
o proprietário deverá retirar
3840
16
240
 células.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. (Enem PPL 2014) Um artista deseja pintar em um quadro uma figura na forma de triângulo
equilátero ABC de lado 1 metro. Com o objetivo de dar um efeito diferente em sua obra, o
artista traça segmentos que unem os pontos médios D, E e F dos lados BC, AC e AB,
respectivamente, colorindo um dos quatro triângulos menores, como mostra a figura.
Qual é a medida da área pintada, em metros quadrados, do triângulo DEF?
a)
1
16
b)
3
16
c)
1
8
d)
3
8
e)
3
4
Resposta:
[B]
Os quatro triângulos menores são equiláteros de lado
1
m.
2
Portanto, segue que
2
21 1 3
(DEF) 3 m .
4 2 16
 
    
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4. (Enem PPL 2014) Um construtor precisa revestir o piso de uma sala retangular. Para essa
tarefa, ele dispõe de dois tipos de cerâmicas:
I. cerâmica em forma de quadrado de lado 20 cm, que custa R$ 8,00 por unidade;
II. cerâmica em forma de triângulo retângulo isósceles de catetos com 20 cm, que custa
R$ 6,00 por unidade.
A sala tem largura de 5 m e comprimento de 6 m.

29. G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4
T O D A S A S Q U E S T Õ E S R E S O L V I D A S ! P á g i n a | 3
PREPARAENEM _ Prof. Cristiano Siqueira
O construtor deseja gastar a menor quantia possível com a compra de cerâmica. Sejam x o
número de peças de cerâmica de forma quadrada e y o número de peças de cerâmica de
forma triangular.
Isso significa, então, encontrar valores para x e y tais que 0,04x 0,02y 30  e que tomem o
menor possível valor de
a) 8x 6y.
b) 6x 8y.
c) 0,32x 0,12y.
d) 0,32x 0,02y.
e) 0,04x 0,12y.
Resposta:
[A]
O custo total das lajotas é dado por 8x 6y, que é o resultado pedido.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5. (Enem 2014) Uma pessoa possui um espaço retangular de lados 11,5m e 14m no quintal de
sua casa e pretende fazer um pomar doméstico de maçãs. Ao pesquisar sobre o plantio dessa
fruta, descobriu que as mudas de maçã devem ser plantadas em covas com uma única muda e
com espaçamento mínimo de 3 metros entre elas e as laterais do terreno. Ela sabe que
conseguirá plantar um número maior de mudas em seu pomar se dispuser as covas em filas
alinhadas paralelamente ao lado de maior extensão.
O número máximo de mudas que essa pessoa poderá plantar no espaço disponível é
a) 4.
b) 8.
c) 9.
d) 12.
e) 20.
Resposta:
[C]
Considere a figura, em que os círculos têm raio igual a 3 m e as mudas correspondem aos
pontos vermelhos.

30. G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4
T O D A S A S Q U E S T Õ E S R E S O L V I D A S ! P á g i n a | 4
PREPARAENEM _ Prof. Cristiano Siqueira
Portanto, segue que o resultado pedido é 9.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6. (Enem PPL 2014) Um homem, determinado a melhorar sua saúde, resolveu andar
diariamente numa praça circular que há em frente à sua casa. Todos os dias ele dá exatamente
15 voltas em torno da praça, que tem 50 m de raio.
Use 3 como aproximação para .π
Qual é a distância percorrida por esse homem em sua caminhada diária?
a) 0,30 km
b) 0,75 km
c) 1,50 km
d) 2,25 km
e) 4,50 km
Resposta:
[E]
A distância percorrida pelo homem em sua caminhada diária é igual a
15 2 50 4500 m 4,5km.π    
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7. (Enem 2013) Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras
mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve
apresentar simetria em relação ao ponto O.
A imagem que representa a nova figura é:

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a)
b)
c)
d)
e)
Resposta:
[E]
Como o simétrico de um ponto P do plano, em relação ao ponto O, é o ponto P' tal que
PO P'O e P' pertence à reta PO, segue-se que a alternativa correta é a alternativa [E].
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8. (Enem PPL 2013) O símbolo internacional de acesso, mostrado na figura, anuncia local
acessível para o portador de necessidades especiais. Na concepção desse símbolo, foram
empregados elementos gráficos geométricos elementares.

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Os elementos geométricos que constituem os contornos das partes claras da figura são
a) retas e círculos.
b) retas e circunferências.
c) arcos de circunferências e retas.
d) coroas circulares e segmentos de retas.
e) arcos de circunferências e segmentos de retas.
Resposta:
[E]
É fácil ver que os elementos geométricos que constituem os contornos das partes claras da
figura são arcos de circunferências e segmentos de retas.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9. (Enem 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor
firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na
qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo EF, todos
perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC
representam cabos de aço que serão instalados.
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
a) 1m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 6 m
Resposta: [C]

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É fácil ver que os triângulos AEC e BED são semelhantes. Logo,
AF AC AF 4
6BF BD BF
AF BF 2 3
2AF
AF 2
.
5AF BF
  
 
 
 

Além disso, como os triângulos AEF e ABD também são semelhantes, vem
AF EF AF EF
6AB BD AF BF
EF 2
6 5
EF 2,4 m.
  

 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
10. (Enem PPL 2013) O proprietário de um terreno retangular medindo 10 m por 31,5 m
deseja instalar lâmpadas nos pontos C e D, conforme ilustrado na figura:
Cada lâmpada ilumina uma região circular de 5 m de raio. Os segmentos AC e BD medem 2,5
m. O valor em m2
mais aproximado da área do terreno iluminada pelas lâmpadas é
(Aproxime 3 para 1,7 e π para 3.)
a) 30.
b) 34.
c) 50.
d) 61.
e) 69.
Resposta:
[D]
Considere a figura.

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Do triângulo ACF, vem
AC 2,5
cosACF cosACF
5CF
ACF 60 .
  
  
Logo, ECF 180 ACF 120 .    
Portanto, como os triângulos ACF e BDG são congruentes, bem como os setores ECF e
BGH, segue-se que a área pedida é dada por
2 2
2
1 1 1 5 3 1
2 AC CF senACF CF 2 5 5
2 3 2 2 2 3
25 1
2 1,7 3 25
8 3
61m .
π π
  
                     
 
      
 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
11. (Enem PPL 2013) Em uma casa, há um espaço retangular medindo 4 m por 6 m, onde se
pretende colocar um piso de cerâmica resistente e de bom preço. Em uma loja especializada,
há cinco possibilidades de pisos que atendem às especificações desejadas, apresentadas no
quadro:
Tipo do piso Forma
Preço do piso
(em reais)
I
Quadrado de lado
medindo 20 cm
15,00
II
Retângulo medindo 30 cm
por 20 cm
20,00
III
Quadrado de lado
medindo 25 cm
25,00
IV
Retângulo medindo 16 cm
por 25 cm
20,00
V
Quadrado de lado
medindo 40 cm
60,00
Levando-se em consideração que não há perda de material, dentre os pisos apresentados,
aquele que implicará o menor custo para a colocação no referido espaço é o piso
a) I.

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b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
Resposta:
[B]
A área do espaço é igual a 2 2
4 6 24 m 240.000cm .  
Cada quadrado do tipo I tem área igual a 2 2
20 400cm . Logo, o custo do piso I é
240000
15 R$ 9.000,00.
400
 
Cada retângulo do tipo II tem área igual a 2
30 20 600cm .  Assim, o custo do piso II é
240000
20 R$ 8.000,00.
600
 
Cada quadrado do tipo III tem área igual a 2 2
25 625cm . Desse modo, o custo do piso III é
240000
25 R$ 9.600,00.
625
 
Cada retângulo do tipo IV tem área igual a 2
16 25 400cm .  Desse modo, o custo do piso IV é
240000
20 R$ 12.000,00.
400
 
Cada quadrado do tipo V tem área igual a 2 2
40 1.600cm . Então, o custo do piso V é
240000
60 R$ 9.000,00.
1600
 
Por conseguinte, o piso que implicará o menor custo para a colocação no referido espaço é o
piso II.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
12. (Enem 2013) Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a
y centímetros. Essas placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é especificada
a área máxima S que pode ser coberta pelas N placas.
Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados
de suas placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não
fosse alterada.
A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a:

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a)
N
9
b)
N
6
c)
N
3
d) 3N
e) 9N
Resposta:
[A]
Seja S' a área coberta pelas placas de uma caixa nova. Como 2
S N y ,  2
S' X 9y  e S' S,
temos
2 2 N
X 9y N y X .
9
    
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
13. (Enem 2013) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da
humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na
evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma
determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o
processo de cozimento, causa uma redução de até 20% nas dimensões lineares de uma peça.
Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012.
Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados
mediam 30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%.
Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em
a) 4%.
b) 20%.
c) 36%.
d) 64%.
e) 96%.
Resposta:
[C]
Sendo de 20% a redução nas medidas dos lados, tem-se que a redução na área é dada por
2
1 0,8 1 0,64 0,36 36%.    

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14. (Enem 2013) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são
soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para
posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10cm entre os
canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal,
conforme a figura:
Utilize 1,7 como aproximação para 3.
O valor de R, em centímetros, é igual a
a) 64,0.
b) 65,5.
c) 74,0.
d) 81,0.
e) 91,0.
Resposta:
[C]
Considere a figura, em que O é o centro do triângulo equilátero ABC de lado 60cm, M é o
ponto médio do lado BC e D é a interseção da reta OC com o círculo de raio 30cm e centro
em C.
Desse modo, como OC é o raio do círculo circunscrito ao triângulo ABC, segue-se que

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60 3
OC 34cm.
3
 
Portanto,
R OC CD DE
34 30 10
74cm.
  
  

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
15. (Enem 2013) Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com base quadradas.
Todos os copos desse restaurante têm o formato representado na figura:
Considere que
7
AC BD
5
 e que é a medida de um dos lados da base da bandeja.
Qual deve ser o menor valor da razão
BD
para que uma bandeja tenha capacidade de portar
exatamente quatro copos de uma só vez?
a) 2
b)
14
5
c) 4
d)
24
5
e)
28
5
Resposta:
[D]
Considere a figura, em que BD x e AC y.

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Para que a bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez,
deve-se ter
247
2 (x y) 2 x.x x
55
 
      
 
Portanto, o resultado pedido é dado por
24
x
245 .
x 5BD
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
16. (Enem PPL 2012) Um professor, ao fazer uma atividade de origami (dobraduras) com seus
alunos, pede para que estes dobrem um pedaço de papel em forma triangular, como na figura
a seguir, de modo que M e N sejam pontos médios respectivamente de AB e AC, e D, ponto do
lado BC, indica a nova posição do vértice A do triângulo ABC.
Se ABC é um triângulo qualquer, após a construção, são exemplos de triângulos isósceles os
triângulos
a) CMA e CMB.
b) CAD e ADB.
c) NAM e NDM.
d) CND e DMB.
e) CND e NDM.
Resposta:
[D]

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Gabarito Oficial: [E]
Gabarito Possível: [D]
Como MN é base média de ABC, segue-se que AM MB MD  e AN CN ND.  Portanto,
são exemplos de triângulos isósceles os triângulos CND e DMB.
Observação: O gabarito oficial aponta a alternativa [E] como sendo a alternativa correta.
Porém, com os dados fornecidos não é possível afirmar que o triângulo NDM é isósceles.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
17. (Enem PPL 2012) Em uma das paredes de um depósito existem compartimentos de
mesmo tamanho para armazenamento de caixas de dimensões frontais a e b. A terceira
dimensão da caixa coincide com a profundidade de cada um dos compartimentos. Inicialmente
as caixas são arrumadas, em cada um deles, como representado na Figura 1. A fim de
aproveitar melhor o espaço, uma nova proposta de disposição das caixas foi idealizada e está
indicada na Figura 2. Essa nova proposta possibilitaria o aumento do número de caixas
armazenadas de 10 para 12 e a eliminação de folgas.
É possível ocorrer a troca de arrumação segundo a nova proposta?
a) Não, porque a segunda proposta deixa uma folga de 4 cm na altura do compartimento, que
é de 12 cm, o que permitiria colocar um número maior de caixas.
b) Não, porque, para aceitar a segunda proposta, seria necessário praticamente dobrar a altura
e reduzir à metade a largura do compartimento.
c) Sim, porque a nova disposição das caixas ficaria acomodada perfeitamente no
compartimento de 20 cm de altura por 27 cm de largura.
d) Sim, pois efetivamente aumentaria o número de caixas e reduziria o número de folgas para
apenas uma de 2 cm na largura do compartimento.
e) Sim, porque a nova disposição de caixas ficaria acomodada perfeitamente no
compartimento de 32 cm de altura por 45 cm de largura.

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Resposta:
[E]
Para que a troca seja possível, deve-se ter 4a 2b 2  e 3b 5a 5.  Logo, se 4a 32cm, ou
seja, a 8cm, então 3b 45cm e, portanto, a troca será possível.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
18. (Enem 2012) Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas
Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para
Sistema de Posicionamento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do Meridiano de
Greenwich.
Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”.
PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado)
A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma
decimal é
a) 124,02°.
b) 124,05°.
c) 124,20°.
d) 124,30°.
e) 124,50°.
Resposta:
[B]
3’= (3/60)° = 0,05°
124° 3’ 0” = 124,05°
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
19. (Enem PPL 2012) Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de uma pista
circular de raio R, conforme figura a seguir. A sua largada foi dada na posição representada
pela letra L, a chegada está representada pela letra C e a letra A representa o atleta. O
segmento LC é um diâmetro da circunferência e o centro da circunferência está representado
pela letra F.
Sabemos que, em qualquer posição que o atleta esteja na pista, os segmentos LA e AC são
perpendiculares. Seja θ o ângulo que o segmento AF faz com segmento FC.
Quantos graus mede o ângulo θ quando o segmento AC medir R durante a corrida?
a) 15 graus
b) 30 graus
c) 60 graus
d) 90 graus
e) 120 graus

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Resposta:
[C]
Se AC = R, temos o triângulo AFC equilátero. Logo, 60 .θ  
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
20. (Enem 2012) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o
conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de
aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35
m2
de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 m2
de área. O
fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do
que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo
possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte
(ambientes representados por três retângulos é um trapézio).
Avaliando-se todas as informações, serão necessários
a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B.
b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B.
c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B.
d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B.
e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B.
Resposta:
[C]
Calculando as áreas dos ambientes, obtemos
2
IS 8 5 40 m ,  
2
IIS (14 8) 5 30 m ,   
2
IIIS (14 8) (9 5) 24 m    
e

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2
IV
(14 8) 4
S 7 35 m .
2
 
  
Desse modo, como Jorge quer gastar o mínimo com gás, ele deverá instalar duas unidades do
tipo A (ambientes II e III) e duas unidades do tipo B (ambientes I e IV).
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
21. (Enem 2012) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que
encolherá após a primeira lavagem, mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir
mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y)
na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 –
y).
Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por:
a) 2xy
b) 15 – 3x
c) 15 – 5y
d) –5y – 3x
e) 5y + 3x – xy
Resposta:
[E]
Como o retângulo de dimensões x y está contido nos retângulos de dimensões 5 y e 3 x,
segue que a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por 3x 5y xy. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
22. (Enem 2012) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de
vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.

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Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos
AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados
dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m2
, e outro
para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2
.
De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?
a) R$ 22,50
b) R$ 35,00
c) R$ 40,00
d) R$ 42,50
e) R$ 45,00
Resposta:
[B]
O custo pedido é dado por
2
1 1 1 1
3 14 2 4 21 4 30 4 50 30 50
2 2 4 4
R$ 35,00.
 
  
          
 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
23. (Enem PPL 2012) Vitor deseja revestir uma sala retangular de dimensões 3m 4m, usando
um tipo de peça de cerâmica. Em uma pesquisa inicial, ele selecionou cinco tipos de peças
disponíveis, nos seguintes formatos e dimensões:
- Tipo I: quadrados, com 0,5 m de lado.
- Tipo II: triângulos equiláteros, com 0,5 m de lado.
- Tipo III: retângulos, com dimensões 0,5m 0,6m.
- Tipo IV: triângulos retângulos isósceles, cujos catetos medem 0,5 m.
- Tipo V: quadrados, com 0,6 m de lado.
Analisando a pesquisa, o mestre de obras recomendou que Vítor escolhesse um tipo de piso
que possibilitasse a utilização do menor número de peças e não acarretasse sobreposições ou
cortes nas cerâmicas.
Qual o tipo de piso o mestre de obras recomendou que fosse comprado?
a) Tipo l.
b) Tipo II.
c) Tipo III.
d) Tipo IV.
e) Tipo V.
Resposta:
[C]

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As figuras com as maiores áreas são o quadrado de lado 0,6m e o retângulo cujos lados
medem 0,6m e 0,5m. A figura que melhor se adapta às condições do problema é o retângulo
de lados 0,6m e 0,5m (figura III), pois 3m : 0,6m = 5 e 4m : 0,5m = 8. O quadrado de lado 6m
possui maior área, porém 4 dividido por 0,6m não resulta em um número inteiro.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
24. (Enem 2012) Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre
plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja
integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado,
no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar
técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da
medida L do lado da base da estatua.
Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de
segurança seja cumprida?
a) R L/ 2
b) R 2L/π
c) R L/ π
d) R L/2
e)  R L/ 2 2
Resposta:
[A]
Considerando R o raio da menor plataforma para se apoiar uma estátua e L o lado da base da
estátua, podemos escrever:
R2
+ R2
= L2
2
2 L
R
2
L
R
2


Portanto:

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L
R .
2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
25. (Enem 2011) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de
lazer reinvidicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda
com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às características
técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no
máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro
as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça:
Terreno 1: 55 m por 45 m
Terreno 2: 55 m por 55 m
Terreno 3: 60 m por 30 m
Terreno 4: 70 m por 20 m
Terreno 5: 95 m por 85 m
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os
moradores deverão escolher o terreno
a) 01.
b) 02.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
Resposta:
[C]
Apenas os terrenos 3 e 4 possuem 180 m de comprimento. Calculando a área de cada um
deles, temos:
2
3
2
4
A 60 30 1800 m
A 70 20 1400 m
  
  
Logo, o terreno com maior área que possui 180 m de perímetro é o terrenos de no
3.

47. G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4
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26. (Enem 2011)
O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de
a) 45°.
b) 60°.
c) 90°.
d) 120°.
e) 180°.
Resposta:
[D]
360 : 3 = 120°
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
27. (Enem 2011) O atletismo é um dos esportes que mais se identificam com o espírito
olímpico. A figura ilustra uma pista de atletismo. A pista é composta por oito raias e tem
largura de 9,76 m. As raias são numeradas do centro da pista para a extremidade e são
construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de circunferência. Os dois semicírculos da
pista são iguais.

48. G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4
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Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das raias o
corredor estaria sendo beneficiado?
a) 1
b) 4
c) 5
d) 7
e) 8
Resposta:
[A]
Na raia 1, o atleta percorreria a menor distância, pois seu comprimento é menor. Os raios das
semicircunferências são menores.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
28. (Enem 2010) Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores
realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra
deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão
plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um
triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo,
conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto.
Nessas condições, a área a ser calcada corresponde
a) a mesma área do triângulo AMC.
b) a mesma área do triângulo BNC.
c) a metade da área formada pelo triângulo ABC.
d) ao dobro da área do triângulo MNC.
e) ao triplo da área do triângulo MNC.

49. G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4
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Resposta:
[E]
2
MNC
ABC
S 1
S 2
 
  
 
SABC = 4.SMNC
SABMN= SABC – SMNC =
SABMN = 4.SMNC - SMNC
SABMN =3. SCMN (TRIPLO)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
29. (Enem 2010) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais
por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais.
Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8
quadros retangulares (25 cm x 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora
para 8 quadros retangulares (50 cm x 100 cm).
O valor da segunda encomenda será
a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros
dobraram.
b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro.
c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros
dobraram.
d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade.
e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo.
Resposta:
[B]
Valor da primeira encomenda = 8.0,25.0,50.20 + 8.2(0,25 + 0,50).15 + 10 = 20 + 180 + 10 =
210,00
Valor da segunda encomenda = 8.0,50.1.20 + 8.2(1 + 0,5). 15 + 10 = 80 + 360 + 10 = 450,0
Logo, o valor da segunda encomenda será maior que o valor da primeira encomenda, mas não
o dobro.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
30. (Enem 2010) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande
quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões
da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira
que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente as suas faces laterais,
conforme mostra a figura.

50. G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4
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O raio da perfuração da peça é igual a
a) 1 cm.
b) 2 cm.
c) 3 cm.
d) 4 cm.
e) 5 cm.
Resposta:
[B]
Seja r o raio da base do cilindro
O triângulo é retângulo, pois 62
+ 82
= 102
Logo, sua área será A =
6.8
24
2

Portanto: 24
2
.10
2
.8
2
.6

rrr
12r = 24
r = 2

51. G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4
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31. (Enem 2010) A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados provavelmente
surgiu com os antigos egípcios ao construírem as pirâmides.
Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, em metros, a expressăo do
deslocamento horizontal y do bloco de pedra em funçăo de R, após o rolo ter dado uma volta
completa sem deslizar, é
a) y = R.
b) y = 2R.
c) y = πR.
d) y = 2πR.
e) y = 4πR.
Resposta:
[E]
Deslocamento do rolo em relação ao solo: R.2 .
Deslocamento do bloco em relação ao rolo: R.2 .
Deslocamento do bloco em relação ao solo: R.4 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
32. (Enem 2009) Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa
a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos
números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília – DF, sem
escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4.

52. G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4
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Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que
forma um ângulo de 135o
graus no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em
alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um
avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a
direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por
um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela
cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em
a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba.
b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador.
c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho.
d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro.
e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
Resposta:
[B]
De acordo com o desenho a seguir, Belo Horizonte e Salvador.

53. G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4
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------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
33. (Enem 2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2
metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e
alcançou uma altura de 0,8 metro.
A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da
rampa é
a) 1,16 metros.
b) 3,0 metros.
c) 5,4 metros.
d) 5,6 metros.
e) 7,04 metros.
Resposta:
[D]
mxx
x
6,52,3.2,2)2,3(8,0
2,2
8,0
2,3
2,3


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
34. (Enem cancelado 2009) A fotografia mostra uma turista aparentemente beijando a esfinge
de Gizé, no Egito. A figura a seguir mostra como, na verdade, foram posicionadas a câmera
fotográfica, a turista e a esfinge.

54. G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4
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Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, verifica-se que a medida do queixo até
o alto da cabeça da turista é igual a
2
3
da medida do queixo da esfinge até o alto da sua
cabeça. Considere que essas medidas na realidade são representadas por d e d’,
respectivamente, que a distância da esfinge à lente da câmera fotográfica, localizada no plano
horizontal do queixo da turista e da esfinge, é representada por b, e que a distância da turista
à mesma lente, por a.
A razão entre b e a será dada por
a)
b d'
a c

b)
b 2d
a 3c

c)
b 3d'
a 2c

d)
b 2d'
a 3c

e)
b 2d'
a c

Resposta:
[D]

55. G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4
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Na figura o ∆BC ~ ∆ADE logo
c
d
a
b
 como d =
3
2
.d‘
Temos
2c
2d
a
b '

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
35. (Enem simulado 2009) Uma pessoa de estatura mediana pretende fazer um alambrado em
torno do campo de futebol de seu bairro. No dia da medida do terreno, esqueceu de levar a
trena para realizar a medição. Para resolver o problema, a pessoa cortou uma vara de
comprimento igual a sua altura. O formato do campo é retangular e foi constatado que ele
mede 53 varas de comprimento e 30 varas de largura.
Uma região R tem área AR, dada em m2
, de mesma medida do campo de futebol, descrito
acima.
A expressão algébrica que determina a medida da vara em metros é
a) RA
Vara m.
1500

b) RA
Vara m.
1590

c)
R
1590
Vara m.
A

d) RA
Vara m.
1500

e) RA
Vara m.
1590

Resposta:
[B]
Medida da vara em metros: v
AR = 53v.30v  AR = 1590v2
 v =
1590
RA
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
36. (Enem 2009) O quadro apresenta informações da área aproximada de cada bioma
brasileiro.
biomas
continentais
brasileiros
área
aproximada
(Km2
)
Área / total
Brasil
Amazônia 4.196.943 49,29%
Cerrado 2.036.448 23,92%

56. G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4
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Mata atlântica 1.110.182 13,04%
Caantiga 844.453 9,92%
Pampa 176.496 2,07%
Pantanal 150.355 1,76%
Área Total Brasil 8.514.877
Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).
É comum em conversas informais, ou mesmo em noticiários, o uso de múltiplos da área de um
campo de futebol (com as medidas de 120 m x 90 m) para auxiliar a visualização de áreas
consideradas extensas. Nesse caso, qual é o número de campos de futebol correspondente à
área aproximada do bioma Pantanal?
a) 1.400
b) 14.000
c) 140.000
d) 1.400.000
e) 14.000.000
Resposta:
[E]
Área de um campo de futebol (km2
) 0,12km . 0,09 km = 0,0108km2
número de campos de
futebol para a área do Pantanal = 150.355 dividido por 0,0108 = 13.921759 aproximadamente
14 000 000 km2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
37. (Enem cancelado 2009) Um fazendeiro doa, como incentivo, uma área retangular de sua
fazenda para seu filho, que está indicada na figura como 100% cultivada. De acordo com as
leis, deve-se ter uma reserva legal de 20% de sua área total. Assim, o pai resolve doar mais
uma parte para compor a reserva para o filho, conforme a figura.
De acordo com a figura anterior, o novo terreno do filho cumpre a lei, após acrescentar uma
faixa de largura x metros contornando o terreno cultivado, que se destinará à reserva legal
(filho). O dobro da largura x da faixa é
a) 10%(a + b)2
b) 10%(a . b)2
c) a b − (a + b)
d)    
2
a b ab a b   
e)    
2
a b ab a b   

57. G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4
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Resposta:
[D]
a x
b
x
bx
x2ax
0,2 (a + x) . (b + x) = ax + bx + x2
Desenvolvendo, temos a equação:
0,8x2
+ 0,8 (a + b)x - 0,2ab = 0 ( multiplicando por 5)
4x2
+ 4 (a+b)x – ab = 0
abbabao
abbaba
x
abbaba
x






2
2
2
2
)()(2xlog
2
)()(
8
)(4)(4
)abb)16((aΔ
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
38. (Enem cancelado 2009) Dois holofotes iguais, situados em H1 e H2, respectivamente,
iluminam regiões circulares, ambas de raio R. Essas regiões se sobrepõem e determinam uma
região S de maior intensidade luminosa, conforme figura.
Área do setor circular: ASC =
2
R
2

, α em radianos.
A área da região S, em unidades de área, é igual a

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a)
2 2
2 R 3R
3 2


b)
  2
2 3 3 R
12
 
c)
2 2
R R
12 8


d)
2
R
2

e)
2
R
3

Resposta:
[A]
A1 = o
senRR
R
120..
2
1
360
120.. 2


S = 2.A1 = 2. 








2
3
.
2
1
3
. 2
2
R
R
S =
2 2
2 R 3R
3 2


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
39. (Enem 2009) O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências
com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de
preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que AB =
BC
2
, Antônio
demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua residência, de acordo
com o desenho, no qual AE =
AB
5
é lado do quadrado.

59. G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4
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Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela
condição se ele
a) duplicasse a medida do lado do quadrado.
b) triplicasse a medida do lado do quadrado.
c) triplicasse a área do quadrado.
d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.
e) ampliasse a área do quadrado em 4%.
Resposta:
[C]
105
2
x
AEe
2
xx
AB 
Área da residência =
10010
22
xx






Área máxima permitida =
100
3
2100
6 2
x
x
x
 logo A(máxima) = 3.A(construída)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
40. (Enem 2009) A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos
períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de
água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles,
tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m3
/s. O
cálculo da vazão, Q em m3
/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa
a água), em m2
, pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av.
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para evitar a
ocorrência de enchentes.

60. G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4
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Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois
da reforma na canaleta?
a) 90 m3
/s.
b) 750 m3
/s.
c) 1.050 m3
/s.
d) 1.512 m3
/s.
e) 2.009 m3
/s.
Resposta:
[D]
Área da figura I =
  2
5,62
2
5,2.2030
m

e seja v a velocidade da água.
1050 = v.62,5  v = 16,8 m/s
Área da figura II =
  2
90
2
2.4149
m

Nova vazão = 90.16,8 = 1512m3
/ s
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
41. (Enem cancelado 2009) Uma fotografia tirada em uma câmera digital é formada por um
grande número de pontos, denominados pixels. Comercialmente, a resolução de uma câmera
digital é especificada indicando os milhões de pixels, ou seja, os megapixels de que são
constituídas as suas fotos. Ao se imprimir uma foto digital em papel fotográfico, esses pontos
devem ser pequenos para que não sejam distinguíveis a olho nu. A resolução de uma
impressora é indicada pelo termo dpi (dot per inch), que é a quantidade de pontos que serão
impressos em uma linha com uma polegada de comprimento. Uma foto impressa com 300 dpi,
que corresponde a cerca de 120 pontos por centímetro, terá boa qualidade visual, já que os
pontos serão tão pequenos, que o olho não será capaz de vê-los separados e passará a ver um
padrão contínuo. Para se imprimir uma foto retangular de 15 cm por 20 cm, com resolução de
pelo menos 300 dpi, qual é o valor aproximado de megapixels que a foto terá?
a) 1,00 megapixel.
b) 2,52 megapixels.
c) 2,70 megapixels.
d) 3,15 megapixels.
e) 4,32 megapixels.

61. G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4
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Resposta:
[E]
12.120 = 1800 pontos
20.120 = 2400 pontos
No retângulo todo 1800.2400 = 4320000 = 4,32.106
pixels ou seja 4,32 megapixels
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
42. (Enem cancelado 2009) Um chefe de cozinha utiliza um instrumento cilíndrico afiado para
retirar parte do miolo de uma laranja. Em seguida, ele fatia toda a laranja em secções
perpendiculares ao corte feito pelo cilindro. Considere que o raio do cilindro e da laranja sejam
iguais a 1 cm e a 3 cm, respectivamente.
A área da maior fatia possível é
a) duas vezes a área da secção transversal do cilindro.
b) três vezes a área da secção transversal do cilindro.
c) quatro vezes a área da secção transversal do cilindro.
d) seis vezes a área da secção transversal do cilindro.
e) oito vezes a área da secção transversal do cilindro.
Resposta:
[E]
Área da secção transversal do cilindro: A 1 = .12
=  cm2
Área da maior fatia: A2 = .32
- .12
= 8 cm2
Logo a área da maior fatia será 8 vezes a área da secção transversal do cilindro.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
43. (Enem 2008) O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça,
constituído de sete peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado.
Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 1.
Utilizando-se todas as sete peças, é possível representar uma grande diversidade de formas,
como as exemplificadas nas figuras 2 e 3.

62. G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4
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Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2cm, então a área da figura 3, que
representa uma "casinha", é igual a
a) 2
4cm .
b) 2
8cm .
c) 2
12cm .
d) 2
14cm .
e) 2
16cm .
Resposta:
[B]
Considere a figura.
Seja RT .
Temos que
    TS 2 AB 2 2 4.
Mas TS é a diagonal do quadrado RSUT. Logo,
  TS 2 2 2.
Como todas as sete peças foram utilizadas para fazer a casinha, segue que o quadrado RSUT
e a casinha são equivalentes.
Portanto, o resultado pedido é   2 2 2
(RSUT) (2 2) 8cm .

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44. (Enem 2006)
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o
comprimento total do corrimão é igual a
a) 1,8 m.
b) 1,9 m.
c) 2,0 m.
d) 2,1m.
e) 2,2 m.
Resposta:
[D]
Considere a figura, em que BC x.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, obtemos
     2 2 2
x 90 120 x 22500 150cm 1,5 m.
Portanto, o comprimento total do corrimão é   1,5 2 0,3 2,1m.

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45. (Enem 2005) Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como
vértices de um quadrado de 40km de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja
ao mesmo tempo equidistante das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C
e D. A nova estação deve ser localizada
a) no centro do quadrado.
b) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 15km dessa
estrada.
c) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 25km dessa
estrada.
d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB, oposto a essa base.
e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B.
Resposta:
[C]
Considere a figura abaixo, em que P é o ponto onde deverá ser construída a estação.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo APH, obtemos
       
 
 
2 2 2 2 2
x 20 (40 x) x 400 1600 80x x
80x 2000
x 25km.
Por conseguinte, a nova estação deverá ser construída na perpendicular à estrada que
liga C e D passando por seu ponto médio, a 25km dessa estrada.
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46. (Enem 2004) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos
a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a
empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas.

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Área do círculo:  2
r
As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa
empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem
do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que
a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II.
b) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III.
c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III.
d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III.
e) as três entidades recebem iguais quantidades de material.
Resposta:
[E]
Sejam I IIr, r e IIIr os raios das tampas.
Como os círculos são tangentes, segue que o raio de cada um dos três tipos de tampa é
dado por 

2 1
,
2 n n
em que n é o número de círculos tangentes a um dos lados da
chapa.
Desse modo, as sobras de cada chapa são respectivamente iguais a
 
        
 
 
          
 
2
2
I
2
2
II
1
4 r 4 4 ,
1
1
4 4 r 4 4 4
2
e
 
          
 
2
2
III
1
4 16 r 4 16 4 .
4
Portanto, as três entidades recebem iguais quantidades de material.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
47. (Enem 2002) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e
em pontos diametralmente postos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a
6370km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800km/h,
descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente
a) 16 horas.
b) 20 horas.
c) 25 horas.
d) 32 horas.
e) 36 horas.
Resposta:
[C]

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.R 3,14.6.370
25
800 800
π
  horas.
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48. (Enem 2002) Um terreno com o formato mostrado na figura foi herdado por quatro
irmãos e deverá ser dividido em quatro lotes de mesma área.
Um dos irmãos fez algumas propostas de divisão para que fossem analisadas pelos demais
herdeiros.
Dos esquemas a seguir, onde lados de mesma medida têm símbolos iguais, o único em que os
quatro lotes não possuem, necessariamente, a mesma área é:
a)
b)
c)
d)
e)
Resposta:
[E]
Com as informações da figura (E) só é possível estabelecer igualdade entre as áreas 1 e 2 e
entre as áreas 3 e 4.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
49. (Enem 2002) Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com
a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as
combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja
falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras:

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A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus
ângulos internos.
Nome Triângulo Quadrado Pentágono
Figura
Ângulo interno 60° 90° 108°
Nome Hexágono Octágono Eneágono
Figura
Ângulo interno 120° 135° 140°
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os
polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de
um
a) triângulo.
b) quadrado.
c) pentágono.
d) hexágono.
e) eneágono.
Resposta:
[B]

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Cada ângulo interno do octógono regular mede 135° e cada ângulo interno do quadrado mede
90°.
Somando 135° + 135° + 90° = 360°. Portanto, o polígono pedido é o quadrado.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
50. (Enem 2000) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de
forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30
cm, conforme a figura:
Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo,
em cm, deve ser:
a) 144.
b) 180.
c) 210.
d) 225.
e) 240.
Resposta:
[D]
Duplicando a figura dada, como na figura a seguir, podemos observar 5 degraus de 90 cm
cada.

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Logo a soma dos comprimentos dos degraus da escada é
5.90
225cm
2
 .
Portanto, será necessária uma peça linear de no mínimo 225 cm.
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TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
José e Antônio viajarão em seus carros com as respectivas famílias para a cidade de Serra
Branca. Com a intenção de seguir viagem juntos, combinam um encontro no marco inicial da
rodovia, onde chegarão, de modo independente, entre meio-dia e 1 hora da tarde. Entretanto,
como não querem ficar muito tempo esperando um pelo outro, combinam que o primeiro que
chegar ao marco inicial esperará pelo outro, no máximo, meia hora; após esse tempo, seguirá
viagem sozinho.
Chamando de x o horário de chegada de José e de y o horário de chegada de Antônio, e
representando os pares (x; y) em um sistema de eixos cartesianos, a região OPQR a seguir
indicada corresponde ao conjunto de todas as possibilidades para o par (x; y):
51. (Enem 1999) Segundo o combinado, para que José e Antônio viajem juntos, é necessário
que
1
y x
2
  ou que
1
x y
2
  .

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De acordo com o gráfico e nas condições combinadas, as chances de José e Antônio viajarem
juntos são de:
a) 0%
b) 25%
c) 50%
d) 75%
e) 100%
Resposta:
[D]
Calculando a área da região assinalada na figura a seguir, temos:
2
1 1
32 2A 1 2. 75%
2 4

   
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52. (Enem 1998) A sombra de uma pessoa que tem 1,80m de altura mede 60cm . No mesmo
momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00m. Se, mais tarde, a sombra
do poste diminuiu 50cm , a sombra da pessoa passou a medir:
a) 30cm.
b) 45cm.
c) 50cm.
d) 80cm.
e) 90cm.

71. G E O M E T R I A P L A N A _ E N E M _ 1 9 9 8 A 2 0 1 4
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Resposta:
[B]