1) O documento apresenta 11 problemas de cálculo diferencial e integral relacionados a otimização. Os problemas envolvem determinar dimensões ótimas para objetos como calhas, caixas e tanques de modo a maximizar capacidade ou minimizar custo. 2) Os problemas também abordam determinar a produção semanal ideal para maximizar lucro, além de calcular velocidades e instante de tempo para projeteis. 3) As sugestões para resolução incluem detalhes sobre como aplicar conceitos como derivadas, raízes e equações diferenciais

1. Lista de exercícios - Cálculo Diferencial e Integral I
Problemas de Otimização
1) De uma longa folha retangular de metal de 30 cm de largura deve-se fazer uma
calha dobrando as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem
ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima?
2) Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40
cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado da cada canto da
cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o
tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo.
3) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter capacidade de 375π cm3. O custo
do material usado para a base do recipiente é de 15 centavos o cm2 e o custo do
material usado para a parte curva é de 5 centavos por cm2. Se não há perda de
material, determine as dimensões que minimizem o custo do material.
4) Determine o volume máximo de um cilindro circular reto que pode ser inscrito em
um cone de 12 cm de altura e 4 cm de raio da base, se os eixos do cilindro e do cone
coincidem.
5) Deve-se construir um tanque para armazenamento de gás propano em forma de
cilindro circular reto com dois hemisférios nas extremidades. O custo de metro
quadrado dos hemisférios é o dobro do custo da parte cilíndrica. Se a capacidade do
tanque deve ser de 10π cm3, que dimensões minimizará o custo da construção?
6) Uma bateria de voltagem fixa V e resistência interna fixa r está ligada a um circuito
V
de resistência variável R. Pela Lei de Ohm, a corrente I no circuito é I = . Se a
(R + r)
força resultante é dada por P = I2.R, mostre que a força máxima ocorre quando R = r.
7) Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 120 m/s.
Pela física sabemos que sua distância acima do solo após t segundos é
s(t) = - 4,9t2 + 120t.
a) Determine em que instante e com que velocidade o projétil atinge o solo.

2. b) Determine a altura máxima alcançada pelo projétil.
c) Determine a aceleração em um instante t arbitrário.
8) Um fabricante de móveis estima que o custo semanal da fabricação de x
reproduções (manuais) de uma mesa colonial é dado por C(x) = x3 – 3x2 – 80x + 500.
Cada mesa é vendida por R$ 2800,00. Que produção semanal maximizará o lucro?
Qual o máximo lucro semanal possível?
9) Uma lata cilíndrica fechada pode conter 1 litro (1000 cm3) de líquido. Como
poderíamos escolher a altura e o raio para minimizar o material usado na confecção
da lata?
10) O Departamento de Estradas e Rodagens planeja construir uma área de
piquenique para os motoristas ao longo de uma grande auto-estrada. Ela deve ser
retangular, com uma área de 5000 metros quadrados, e deverá ser cercada nos três
lados não-adjacentes à estrada. Qual é a menor quantidade de cerca que será
necessária para completar o trabalho?
11) No projeto de aviões, uma característica importante é o chamado “fator de
arraste”, isto é, a força de freagem exercida pelo ar sobre o avião. Um modelo mede
B
o arraste por uma função da forma F(v) = Av2 + , onde A e B são constantes
v2
positivas. Descobre-se experimentalmente que o arraste é minimizado quando v =
B
160 mph. Use esta informação para encontrar a razão .
A
Sugestões para a resolução e gabarito
1) x = 7,5 cm 2) V = x(40 – 2x)(52 – 2x)
x = 7,47 cm
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3) V = 375π cm3
V = πr2h = 375π
375
h=
r2
Custo = 15(πr2) + 5(2πrh)

3. 375
C = 15(πr2) + 5(2πr )
r2
C = 15πr2 + 3750r -1
C’(r) = 0
-2
30πr - 3750r =0
r = 5 cm
h = 15 cm
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4) Fazendo semelhança de triângulos
h 12
=
4−r 4
h = 3(4 – r)
V = πr2h = πr2(3)(4 – r)
8
r=
3
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13
5) r = 15 m
2
h = 23 15 m
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V
6) I =
R +r
P = I2 R
2
 V 
P=   R
R + r 
P’(R) = 0
R=r
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4. 7) a) – 4,9t2 + 120t = 0
t = 0 ou t = 24,5 b) v(t) = 0
O projétil atinge o solo após 24,5 t = 12,24 s
segundos
v(t) = s’(t) = –9,8 + 120 c) a(t) = s”(t) = – 9,8 m/s2
s’(24,5) = –120,1 m/s
v(24,5)  = 120,1 m/s
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8) Lucro = L(x) L(x) = R(x) – C(x)
Receita = R(x) L(x) = 2800x – (x3 – 3x2 – 80x + 500)
Custo = C(x) L’(x) = 0
Resposta: x = 32 mesas
L(32) = 61 964 unidades monetárias
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9) V = 1000 cm3 M’(r) = 0
V = πr h = 1000
2
500
r= 3 ≈ 5,42 cm
1000 Π
h=
Πr 2 h = 10,84 cm = 2r
Material = 2πr2 + 2πrh
1000
M(r) = 2πr2 + 2πr
Πr 2
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10) A = 5000 m2 5000
C(x) = 2x +
A = xy = 5000 x
5000 C’(x) = 0
y=
x x = 50m
Cerca = 2x + y y = 100m
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B
11) F(v) = Av2 +
v2
F’(v) = 0 B
= (160)4
A