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Caderno mat mat-efi-campo-multiplicativo
O documento discute a formação de professores para o ensino de matemática no campo multiplicativo no Ensino Fundamental I. Ele apresenta uma classificação de problemas do campo multiplicativo em três categorias (proporcionalidade, configuração retangular e análise combinatória) e discute a importância de se trabalhar a multiplicação e a divisão de forma conjunta ao invés de separada. O documento também aborda a análise de resultados obtidos por uma professora em atividade prática e reflexões sobre como melhorar o ensino dessas operações.
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- 1. FORMAÇÃO DE PROFESSORES OCampo Multiplicativo Matemática Ensino Fundamental I
- 2. A área deEducação da FundaçãoVale busca contribuir para a melhoria da educação básica, com foco na promoção de uma prática docente pautada nos princípios da pluralidade cultural e do respeito às diferenças. COORDENAÇÃO DO PROGRAMA Equipe de Educação Fundação Vale APOIO EDITORIAL Departamento de Comunicação Corporativa Vale PARCEIRO Comunidade Educativa CEDAC EDIÇÃO E REVISÃO DE TEXTO JVAB Edições Ltda PROJETO GRÁFICO E DIAGRAMAÇÃO Inventum Design Este símbolo indica que o papel utilizado neste material foi produzido com madeiras de florestas certificadas. selo FSC
- 3. 1 O Campo Multiplicativo Aresolução de problemas do campo multiplicativo Professor(a), No bimestre anterior, analisamos os problemas do campo aditivo, aqueles que envolvem as ideias da adição e da subtração. Neste bimestre, vamos avançar nos estudos sobre a resolução de problemas, tema que estará constante- mente presente em nosso processo de formação, haja vista sua importância no ensino e na aprendizagem. O nosso foco será explorar o campo multiplicativo, que propõe o estudo da multiplicação e da divisão, e refletir sobre questões como: a partir de quando é possível abordar a multiplicação e a divisão na es- cola? A multiplicação e a divisão podem ser trabalhadas conjuntamente? Vamos conhecer uma classificação para os problemas do campo multiplicativo, tendo como critérios as diversas ideias envolvidas na multiplicação e na divisão. A atividade de Aplicação Prática será a de planejar e propor em sala de aula o trabalho com problemas do campo multiplicativo, bem como coletar, organizar e analisar os procedimentos das crianças para re- solvê-los, com a finalidade de refletir sobre como podemos intervir para favorecer as aprendizagens. Espera-se desenvolver e/ou ampliar as seguintes competências docentes neste bimestre: n Trabalhar em equipe, interagindo com os colegas e colaborando com a formação do grupo. n Apropriar-se do recurso à resolução de problemas, reconhecendo-o como ponto de partida da aprendizagem matemática. n Reconhecer a importância da interação entre pares na elaboração do conhecimento, promovendo as condições para que essa interação ocorra nas aulas. n Ampliar o repertório de possibilidades do ensino das operações do campo multiplicativo. n Coletar, organizar, analisar e interpretar informações sobre procedimentos dos alunos. n Elaborar e desenvolver projetos pessoais de estudo e trabalho, empenhando-se em compartilhar a prática e produzir coletivamente.
- 4. 2 Formação de Professores Nesteencontro, você participará de situações nas quais abordaremos os seguintes conteúdos: n Operações do campo multiplicativo: divisão e multiplicação. n Identificação e classificação de problemas do campo multiplicativo. n Implicações do trabalho com situações-problema do campo multiplicativo no Ensino Fundamental I.
- 5. 3 O Campo Multiplicativo Encontropresencial Duração: 4h Para começo de conversa Duração: 30min Pensar sobre a prática e compartilhar resultados Iniciaremos este encontro retomando e compartilhando reflexões desenvolvidas a partir da atividade Aplicação Prática.Vamos direcionar nossas discussões para o acompanhamento das aprendizagens dos alunos e sua importância para a elaboração de planejamentos posteriores. 1. Na tabela abaixo estão especificados os problemas que fizeram parte da Aplicação Prática de resolução de problemas do campo aditivo (comparação) de uma professora do 4º ano do Ensino Fundamental. Classificação dos problemas Exemplos Problema 1 Comparação O valor desconhecido (incógnita) é uma das medidas Pedro e Henrique colecionam figurinhas. Pedro tem 109 figurinhas e Henrique tem 37 a mais do que ele. Quantas figurinhas Henrique tem em sua coleção? Problema 2 Comparação O valor desconhecido (incógnita) é a relação entre as medidas Camila tem 19 anos e sua avó tem 77. Quantos anos a avó de Camila tem a mais do que ela? Após desenvolver a atividade em sua sala de aula, a professora preencheu a pauta de acompanhamen- to, que ficou da seguinte forma:
- 6. 4 Formação de Professores Nomedos alunos Problema 1 Problema 2 Acertou tudo Utilizou estratégia adequada, mas errou algum cálculo Não acertou Acertou tudo Utilizou estratégia adequada, mas errou algum cálculo Não acertou Ana X X Arthur X x Beatriz X x Bianca X x Breno X X Bruna X X Bruno X X Caio x x Caíque X X Diogo X x Eva X X Fábio X X Fabíola x X Flávia x X Igor X X
- 7. 5 O Campo Multiplicativo LuanaX X Maria X X Otávio X X Rafaela X X Tiago X X Vagner X X Para melhor compreender e visualizar os dados obtidos, a professora decidiu organizar graficamente essas informações. Veja o gráfico resultante. Resultados obtidos no 4º ano do Ensino Fundamental Problemas do campo aditivo - comparação 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Acertou Estratégia Adequada / Erro de Cálculo Não acertou 16 03 02 04 14 03
- 8. 6 Formação de Professores Apartir da análise destes resultados, a professora concluiu que os problemas de comparação cujo valor desconhecido (incógnita) é a relação entre as medidas não são apropriados para a sua turma de alunos e justificou:“O termo‘a mais’confunde os alunos. Eles acham que devem sempre fazer uma adição”. De- cidiu, então, que problemas deste tipo não farão parte de seus planejamentos no decorrer do ano. n Você concorda com a decisão tomada por essa professora? Por quê? Registre. 2. Reúna-se com outros professores, formando um grupo de trabalho. a) Com base nas informações da“Pauta de acompanhamento das aprendizagens dos alunos”de ca- da um, compartilhem: n Qual foi o resultado que mais os surpreendeu? Por quê? n Quais resultados encontrados por vocês se assemelham? Quais diferem? b) Elejam dois pontos discutidos, referentes aos itens anteriores, e compartilhem com os de- mais grupos.
- 9. 7 O Campo Multiplicativo Atividadede contextualização Duração: 30min 1. Ainda em grupos, a proposta é refletir sobre os problemas elaborados a partir desta imagem, com foco na seguinte questão: O que esses problemas têm em comum? a) Descubra quantos pastéis há em cada bandeja, sem contá-los um a um. Indique como fez o cálculo. b) Se em cada bandeja são colocados 12 pastéis, quantos pastéis caberão em 4 bandejas? c) São colocados à venda 48 pastéis organizados em bandejas com espaço para 12. Quantas bandejas serão necessárias para acomodar todos os pastéis? d) Observando a tabela, descubra quantos tipos de pastéis são vendidos na pastelaria. e) Considerando as opções de tamanhos e sabores disponíveis, descobrimos que podem ser compra- dos 6 tipos de pastéis. Sabendo que podem ser escolhidos 2 tamanhos diferentes, quantos sabores poderão ser escolhidos no ato da compra?
- 10. 8 Formação de Professores 2. Registrem as conclusões a que o grupo chegou. A prática em questão Duração: 3h Momento 1 – As situações-problema do campo multiplicativo Duração: 40min 1. Leiam de forma compartilhada o texto a seguir. Para abordar os problemas que envolvem a multiplicação e a divisão, vamos considerar alguns pontos daTeoria dos Campos Conceituais, do pesquisador francês GerardVergnaud, que começamos a estudar no caderno anterior. Como vimos, Vergnaud propõe agrupar as operações segundo as ideias que elas contêm, ou melhor, segundo o campo de conceitos que elas envolvem. Ele propõe que as quatro ope- rações sejam agrupadas em dois grandes grupos: o campo aditivo, que engloba a adição e a subtra- ção, e o campo multiplicativo, que engloba a divisão e a multiplicação. Nessa visão, da mesma maneira que as operações de adição e de subtração fazem parte de um mesmo campo conceitual, a divisão e a multiplicação também constituem um mesmo campo conceitual, pois elas envolvem ideias que se relacionam conceitualmente. A partir disso, os problemas do campo multiplicativo são classificados segundo as ideias que eles envol- vem, diferentemente da tradicional separação em “problemas de multiplicação” e “problemas de divi- são”. Assim, serão organizados em três grupos, como mostra o quadro:
- 11. 9 O Campo Multiplicativo Tipode problema Ideias envolvidas Exemplos de problemas Problemas de proporcionalidade Problemas que envolvem duas séries proporcionais, isto é, existe uma relação fixa entre duas variáveis 1. Tenho 8 pacotes de biscoito com 12 unidades em cada um. Quantos biscoitos tenho ao todo? 2. Uma sala de aula tem 38 ganchos para pendurar o material dos alunos. Se cada aluno utiliza 2 ganchos com suas mochilas e casacos, quantos alunos podem acomodar suas coisas nessa sala? Problemas de configuração retangular Problemas que se referem à organização de elementos em linha e coluna ou envolvem uma análise dimensional (como a de área) 1. Num auditório, as cadeiras estão dispostas em 12 fileiras de 15 cadeiras cada. Quantas cadeiras há ao todo? 2. Calcular a área de um retângulo que possui lados medindo 3 cm e 4 cm Problemas de análise combinatória São problemas que envolvem combinar diferentes elementos entre si 1. Para fazer um sanduíche, tenho 3 tipos de pães e 2 tipos de queijos. Quantos sanduíches diferentes eu posso fazer com esses ingredientes, usando um só tipo de queijo em cada um? 2. Luiz consegue formar 20 trajes diferentes para ir ao trabalho, combinando as calças que possui com suas 4 camisas. Quantas calças ele tem? 2. Permaneçam em pequenos grupos para realizar a seguinte atividade: ler os problemas da lista a se- guir e classificá-los de acordo com as três categorias apresentadas, preenchendo o quadro na pági- na seguinte. a) Celina comprou 3 pacotes de figurinhas com 5 figurinhas em cada pacote. No total, quantas figuri- nhas comprou? b) Em uma mesa há 3 potes: um colorido, um todo branco e um transparente. Também há algumas tampas coloridas que servem para todos os potes. Sabendo que é possível fazer 12 combinações di- ferentes, quantas tampas há em cima da mesa? c) Em uma página do álbum há 4 fileiras com 3 figurinhas em cada uma. Quantas figurinhas estão co- ladas nessa página? d) Mariana tem uma festa de aniversário e está em dúvida sobre que roupa usar. Ela colocou em cima da cama 2 camisetas, uma rosa e uma azul, e 3 saias, sendo uma preta, uma branca e uma vermelha. De quantas maneiras diferentes Mariana pode combinar essas peças de roupa? e) Para azulejar uma parede de sua casa, seu Armando precisa de 144 azulejos. Se eles estão dispostos em 9 fileiras, quantos azulejos há em cada fileira?
- 12. 10 Formação de Professores f) Júlia tem 8 chicletes e quer dividi-los igualmente entre suas 4 amigas. Quantos chicletes cada amiga de Júlia vai ganhar? Problema Classificação Proporcionalidade Análise combinatória Configuração retangular a) b) c) d) e) f) 3. Comparem a classificação do seu grupo com as dos outros grupos, coletivamente. Em caso de diver- gências, procurem discutir e, se possível, chegar a um consenso. Depois disso, verifiquem o gabarito no fim deste caderno. 4. Retomem a Atividade de contextualização. a) Verifiquem se mudariam algo naquela resposta (item 2 da atividade). b) Aqueles problemas também podem ser classificados da mesma forma que estes? Justifiquem a resposta.
- 13. 11 O Campo Multiplicativo Momento2 – O trabalho com o campo multiplicativo em sua sala de aula Duração: 30min Esse é um momento para que vocês, professores, à luz do que foi colocado e discutido até agora, pen- sem no seu trabalho em sala de aula com os problemas desse campo conceitual, o multiplicativo. 1. Na primeira coluna do quadro abaixo encontram-se algumas falas de professores a respeito desse trabalho. Individualmente, leia e verifique se você se identifica com elas, mesmo que seja parcial- mente, assinalando uma coluna para cada item. Eu me identifico totalmente Eu me identifico parcialmente Eu não me identifico 1- Sempre trabalhei com problemas de multiplicação e divisão, mas separadamente, conforme o livro didático propõe. Na verdade, não havia me dado conta de que estão tão relacionados. 2- Pra mim, a multiplicação tinha muito mais a ver com a adição e não com a divisão, porque uma das formas de resolver a multiplicação é somando as parcelas. 3- Ainda não trabalho com a divisão, estamos vendo a multiplicação, mas percebo que meus alunos já resolvem divisões em situações bem práticas do cotidiano. Por exemplo, calculam quantos refrigerantes podem comprar com certa quantia de dinheiro. 4- Eu dou para meus alunos problemas de divisão e multiplicação, mesmo antes de eles conhecerem os sinais e as contas, mas não sei o que fazer depois que eles resolvem. Normal- mente, o que faço é socializar as estratégias usadas por eles. 5- Como os alunos ainda não sabem as contas de divisão e multiplicação, só trabalho com meus alunos os problemas de adição e subtração. 6- Sempre proponho problemas do campo multiplicativo, de vários tipos. Faço um trabalho para que ampliem suas ideias sobre essas operações, gradualmente. 7- Eu acho que as diferentes estratégias para resolver problemas são importantes enquanto os alunos ainda não aprenderam os algoritmos, mas, depois que aprendem, se um problema é de divisão, eles têm que usar o algoritmo de divisão. Se é de multiplicação, têm que usar o de multiplicação.
- 14. 12 Formação de Professores 2. Em grupo, compartilhem as situações com as quais se identificaram, as situações com as quais se identificaram parcialmente e aquelas com as quais não se identificaram. Depois, discutam as ques- tões: a) O que é comum a todos? Por que essa(s) situação(ões) está(ão) presente(s) para todos? b) Em que os professores do grupo diferem? Essas diferenças estão relacionadas à faixa etária com que trabalham? Há outros fatores envolvidos? Nesse caso, procurem identificar os fatores. Momento 3 – Planejamento passo a passo da Aplicação Prática Para pensar O planejamento escolar é um processo de racionalização, organização e coordenação da atividade do professor. “Se a escola é o lugar onde por excelência se lida com o conhecimento, não podemos agir só com base no improviso. Ensinar requer intencionalidade e sistematização.”(José Cerchi Fusari). Disponível em: http://revistaescola.abril.com.br/planejamento-e-avaliacao/planejamento/ensinar-bem-saber- planejar-424802.shtml. Acesso em: 18.set.2012. Considerando os estudos realizados até agora, vamos planejar uma atividade para ser realizada em sala de aula com problemas do campo multiplicativo envolvendo a ideia de proporcionalidade. Para tanto, tenham em mãos o livro didático adotado por sua escola. Observação: é importante considerar que as situações do campo multiplicativo são muitas. Para efei- tos deste estudo, porém, colocaremos nosso foco de atenção nos procedimentos dos alunos para re- solver um problema de proporcionalidade. Sugerimos que você, ao longo do ano, realize um trabalho semelhante com problemas variados do campo multiplicativo, abrangendo análise combinatória e configuração retangular, além da ideia de proporcionalidade. Os problemas também se diversificam conforme variamos as grandezas envolvidas, a sua forma de apresentação e a linguagem empregada. 1. Antes de iniciar o planejamento, vamos pensar nas etapas que o envolve. Coletivamente, preen- cham as orientações correspondentes a cada uma delas.
- 15. 13 O Campo Multiplicativo Roteiro:etapas para o planejamento da atividade de resolução de problemas do campo multiplicativo Etapas Orientações Selecionar os conteúdos envolvidos na situação-problema Selecionar, conhecer e preparar a situação Antecipar possíveis estratégias que os alunos poderão utilizar para a resolução Identificar o descritor que se relaciona com esse(s) conteúdo(s) Organizar as etapas de trabalho com os alunos no tempo e no espaço da sala de aula Antecipar o papel do professor Avaliar a atividade
- 16. 14 Formação de Professores 2. Estudo das possíveis antecipações das estratégias de resolução de problemas do campo multiplicativo: a) Analisem o modelo de pauta que contém a antecipação de exemplos de estratégias frequente- mente empregados pelos alunos para resolver problemas do campo multiplicativo (proporcio- nalidade). Em grupos, analisem e discutam como esse instrumento foi organizado, estudando os exemplos que constam em cada campo. b) Como essas estratégias aparecem em suas salas? Observação: é importante considerar que os tipos de estratégias que constam desse quadro são bastante frequentes, mas não são os únicos; existem muitas outras possibilidades de respostas.
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- 18. 16 Formação de Professores 3. Organizadosemgruposdeprofessoresdamesmaescola,quepodemserdesériesdiferentes,utilizemes- se roteiro para planejar o trabalho. Planejamento da atividade de resolução de problemas do campo multiplicativo Situação-problema Fonte: Etapas Planejamento Descrever os procedimentos a serem feitos, o material que será utilizado e o tempo previsto para a atividade ou cada parte da atividade Selecionar os conteúdos envolvidos na situação- problema Selecionar, conhecer e preparar a situação Antecipar possíveis estraté- gias que os alunos poderão utilizar para a resolução Identificar o descritor que se relaciona com esse(s) conteúdo(s) Organizar as etapas de trabalho com os alunos no tempo e no espaço da sala de aula Antecipar o papel do professor Avaliar a atividade
- 19. 17 O Campo Multiplicativo 4. Considerando a importância do acompanhamento das aprendizagens dos alunos e tendo a pauta de observação como um instrumento organizador dessa atribuição, planejem os critérios que farão parte da pauta que utilizarão. Para tanto, apoiem-se no planejamento que fizeram, nos objetivos ne- le envolvidos e no que pretendem saber sobre seus alunos em relação às aprendizagens do campo multiplicativo. Registrem esses critérios no quadro que segue: Alunos Pauta de acompanhamento das aprendizagens dos alunos - resoluções de problemas do campo multiplicativo
- 20. 18 Formação de Professores Avaliaçãodo encontro Duração: 10min Este é um momento para você avaliar como foi este Encontro Presencial. Você terá acesso a uma avaliação avulsa. Preencha com bastante atenção e empenho, pois o objetivo é melhorar cada vez mais este programa de formação para você. Para o próximo Encontro Presencial, você vai precisar: n Do livro didático de matemática adotado por sua escola. n Dos Cadernos Bimestrais I e II. n Deste caderno: O Campo Multiplicativo Referências n ARGENTINA. Municipalidad de la ciudad de Buenos Aires. Matemática – documento de trabajo nº 2: actualización curricular. Orientaciones didácticas para la enseñanza de la división en los tres ciclos de la EGB, 2001. Buenos Aires: Secretaria de Educación/Dirección de currículum, 1996. Disponível em: ht- tp://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/docum/matematica.php Acesso em: jun.2009. n ARGENTINA. Gobierno de la ciudad de Buenos Aires. Matemática – documento de trabajo nº 4: actua- lización curricular. Buenos Aires: Secretaria de Educación/Dirección de currículum, 2001. Disponível em: http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/docum/matematica.php Acesso em: jun.2009. n BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Fundamental. Brasília: Inep, 1997. n BRASIL. Ministério da Educação. Saeb/Prova Brasil, 4ª série/5º ano, Ensino Fundamental - Matemática: orientações para o professor. Brasília: Inep, 2009. n BROITMAN, Claudia. As operações matemáticas no Ensino Fundamental I: contribuições para o trabalho em sala de aula. São Paulo: Ática, 2011. (Nós da educação). n ITZCOVICH, Horacio. El trabajo con la multiplicación y con la división. In: La matemática escolar: las prácticas de enseñanza en el aula. Buenos Aires: Aique Educación, 2009. n VERGNAUD, Gérard. A criança, a matemática e a realidade – Problemas do ensino da matemática na es- cola elementar. Curitiba: UFPR, 2009.
- 21. 19 O Campo Multiplicativo AplicaçãoPrática Duração: 4h A proposta aqui é que um dos professores do grupo desenvolva com seus alunos a atividade de reso- lução de problemas do campo multiplicativo que foi planejada no Encontro Presencial e que os demais do grupo assistam a essa aula. Para isso, sigam os passos a seguir: n Releiam o planejamento e procurem esclarecer eventuais dúvidas com seus colegas de grupo. n Lembrem-se dos conteúdos que serão trabalhados na atividade e também dos encaminhamen- tos que planejaram. n Se planejaram usar como suporte para apresentação da atividade algum material, como cartaz ou folha xerografada, é preciso já ter em mãos esse material no momento da aplicação da atividade. Para pensar “O tempo pedagógico não pode ser desperdiçado, sob pena de se assistir ao esvaziamento da prática pedagógica que impulsiona o estudante para atingir novos patamares de aprendizagens”. BRASIL, MEC. Conselhoescolareoaproveitamentosignificativodotempopedagógico.Brasília: MEC/SEB, 2004. p. 53-54. Ao planejar as atividades, é importante considerar as melhores maneiras de aproveitar o tempo. Uma forma de fazer isso é identificar o que é fundamental e o que é secundário na atividade, a partir da definição dos objetivos de ensino. Na atividade que você está planejando, o foco deve ser colocado na resolução do problema, enquanto outras atividades que demandam muito tempo e esforço dos alunos podem ser simplificadas. Por exemplo, a cópia do problema pode ser substituída por tiras de papel impressas com o enunciado, que serão coladas no caderno dos alunos. Assim, privilegia-se o fazer matemático que é inerente à proposta de resolução de problemas. Registrando a prática 1. Com o mesmo grupo de professores, depois do desenvolvimento da atividade, preencham a pauta de acompanhamento das aprendizagens dos alunos que foi elaborada no Encontro Presencial. Para isso se- rá necessário ter em mãos as produções dos alunos. 2. Agora façam o registro reflexivo da atividade utilizando o modelo a seguir:
- 22. 20 Formação de Professores Registroda atividade – resolução de problemas relacionados ao campo multiplicativo Município: Escola: Professor que realizou a aula planejada: Professores parceiros do grupo: Ano/série em que a atividade foi aplicada: Quantidade de alunos presentes no dia da atividade: Tempo utilizado para a realização da atividade: 1- Qual foi o problema proposto? 2- Vocês consideram que o problema selecionado foi adequado? Trouxe um bom grau de desafio para os alunos? Comentem a resposta. 3- Na turma apareceram outras estratégias que não foram antecipadas no planejamento que realizaram? Quais? 4 – A partir dos dados obtidos na atividade e organizados na pauta de acompanhamento, o que puderam identificar sobre as aprendizagens dos alunos a respeito do campo multiplicativo? 5- Ainda considerando esses dados, como pretendem dar continuidade a esse trabalho? Que atividade ou discussão pretendem propor aos alunos para ajudá-los a avançar nas suas aprendizagens?
- 23. 21 O Campo Multiplicativo Grupode Estudos Duração: 4h Momento 1 – Mudanças no ensino dos problemas e das operações 1. Nesse momento vamos propor uma reflexão sobre algumas questões que podem ser levantadas a respeito do trabalho com problemas do campo multiplicativo. Leiam as questões, de forma compartilhada: a) De que forma a prática de sala de aula pode mudar ao considerarmos os problemas de multipli- cação e de divisão como pertencentes a um mesmo campo conceitual? Ou seja, o que muda no ensino dos problemas que até então classificávamos como “problemas de divisão”e “problemas de multiplicação”? b) Qual a melhor maneira e qual o melhor momento para trabalhar com os alunos as ideias relacio- nadas com multiplicar e dividir? c) O que esperar de crianças pequenas, principalmente as dos dois primeiros anos do Ensino Fun- damental, em relação a problemas do campo multiplicativo? d) O ensino dos algoritmos (a conta armada) de divisão e de multiplicação é um pré-requisito para o trabalho com os problemas do campo multiplicativo? 2. Para buscar respostas a essas questões, façam a leitura compartilhada dos trechos a seguir. Duran- te a leitura, grifem as partes que considerarem importantes para responder às questões que foram colocadas no item anterior. Além disso, procurem relacionar cada texto a uma ou mais questões, escrevendo a(s) letra(s) correspondente(s) ao lado dos textos. “No decorrer da escolaridade, é importante propor situações para que as crianças tenham dife- rentes e sucessivas oportunidades de ir construindo e reorganizando seus conhecimentos sobre as operações. A multiplicação não é um conteúdo de um ano em particular, mas um aprendiza- do a longo prazo (VERGNAUD, 1976). Durante os diferentes anos do Ensino Fundamental, as crian- ças poderão ampliar seus conhecimentos sobre essa operação a partir das situações que enfren- tam e de uma organização do ensino que favoreça a reflexão sobre essas mesmas situações.” Extraído de: BROITMAN, Claudia. As operações matemáticas no Ensino Fundamental I: contribuições para o trabalho em sala de aula. São Paulo: Ática, 2011. p. 59. (Nós da educação). “Assim como no caso da adição e da subtração, destaca-se a importância de um trabalho con- junto de problemas que explorem a multiplicação e a divisão, uma vez que há estreitas cone- xões entre as situações que os envolvem e a necessidade de trabalhar essas operações com base em um campo mais amplo de significados do que tem sido usualmente realizado.” Extraído de: BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: Inep, 1997. p 72.
- 24. 22 Formação de Professores “Ascrianças podem enfrentar certos problemas multiplicativos ainda que não dominem es- tratégias de cálculo nem a utilização do sinal X. Como resolvem então os problemas? Tome- mos por exemplo o problema:‘Quantas patas têm 5 cachorros?’. Como os alunos de primeiro ano ou início do segundo não dispõem de recursos de cálculo multiplicativo, mobilizarão di- ferentes recursos de resolução: desenhar, contar, somar etc. Propor problemas multiplicativos às crianças desde o início do primeiro ano tem diversos objetivos. Por um lado, criar condições propícias em aula para abordar conhecimentos e atitudes vinculados ao fazer matemático, à tarefa de resolver e analisar problemas. A inten- ção é que os alunos possam interpretar situações novas para as quais não dispõem de ne- nhum‘recurso especialista’e desenvolver confiança na sua capacidade de construir estraté- gias pessoais que poderão ser comparadas, buscando suas semelhanças e diferenças, julgando sua validade, analisando sua economia etc. Em segundo lugar, propor tais problemas tem como objetivo promover o estudo das situações multiplicativas, estudo esse que exigirá su- cessivas abordagens nos anos seguintes.” Extraído de: ARGENTINA. Municipalidad de la ciudad de Buenos Aires. Matemática – documento de trabajo nº 2: actualización curricular. Orientaciones didácticas para la enseñanza de la división en los tres ciclos de la EGB. Buenos Aires: Secretaria de Educación/Dirección de currículum, 1996. p. 3. Tradução livre. “É importante frisar que, na resolução de problemas, deve caber a cada estudante decidir so- bre o procedimento de cálculo mais adequado, sendo que posteriormente as escolhas dos estudantes podem ser comparadas em termos de praticidade, rapidez e eficiência.” Extraído de: BRASIL. Ministério da Educação. Saeb/Prova Brasil, 4ª série/5º ano, Ensino Fundamental - Matemática: orientações para o professor. Brasília: Inep, 2009. p. 102. “A aprendizagem desses conceitos (multiplicação e divisão) é muito complexa e sua constru- ção se dá ao longo de vários anos. É tão amplo o conjunto de situações em que essas opera- ções estão envolvidas, que o desafio para o ensino é cobrir essa diversidade e garantir um aprofundamento crescente nos tipos de situações propostas ao longo da escolaridade.” Extraído de: ARGENTINA. Gobierno de la ciudad de Buenos Aires. Matemática – documento de trabajo nº 4: actualización curricular. Buenos Aires: Secretaria de Educación/Dirección de currículum, 2001. Tradução livre.. “É importante que desde o primeiro ano as crianças tenham a oportunidade de resolver proble- mas como esse*, em vez de se restringir aos problemas para os quais elas conhecem a operação. (...) No primeiro ano, as crianças poderão resolver problemas similares por meio de contagem, de dividir de um em um, de somas e de subtrações. Durante o segundo e terceiro anos, a resolução de problemas de dividir poderá continuar car- regando de significado o que foi aprendido sobre a multiplicação. É importante que as crian- ças enfrentem, ao mesmo tempo, problemas de dividir e resolvam problemas de multiplicar.
- 25. 23 O Campo Multiplicativo Justamentepela relação entre esses dois tipos de problemas, os alunos vão reconhecer como a multiplicação é um conhecimento útil para a resolução de problemas de divisão, mesmo que, dispondo dos recursos, não os utilizem diretamente nesses problemas.” *O problema ao qual a autora se refere é: ”Tenho 25 balas para dividir igualmente entre 5 crianças. Quantas balas terá cada uma?” “(...) No segundo ciclo espera-se que os alunos recorram ao algoritmo da divisão para resolver es- se tipo de problema**. Ainda que alguns utilizem outros tipos de recurso, será parte da tarefa a se desenvolver conseguir que todos reconheçam esta operação como a mais econômica.” ** Os autores referem-se ao problema: “Para a festa do município serão colocadas na praça 3.452 cadeiras. Serão formadas fileiras com 132 cadeiras cada. Quantas fileiras devem ser for- madas? Sobrarão cadeiras?” Extraído de: ARGENTINA. Municipalidad de la ciudad de Buenos Aires. Matemática – documento de trabajo nº 2: actualización curricular. Orientaciones didácticas para la enseñanza de la división en los tres ciclos de la EGB. Buenos Aires: Secretaria de Educación/Dirección de currículum, 1996. p. 15. Tradução livre. 3. Voltem às perguntas do item 1 e procurem discutir e responder às questões colocadas. Se deseja- rem, escrevam aqui outras questões que vocês tiverem sobre o assunto: Momento 2 – Reflexão sobre a prática 1. Individualmente, faça a leitura do texto“Multiplicação e divisão já nas séries iniciais”e identifique as- pectos que gostaria de discutir com seus colegas. Multiplicação e divisão já nas séries iniciais O domínio das operações de adição e subtração não é pré-requisito para compreender as propriedades do campo multiplicativo que deve ser trabalhado desde o 1º ano A partir de quando é possível abordar a multiplicação e a divisão na escola? A resposta é de ouriçar os educadores mais conservadores: elas já podem aparecer nos primeiros anos do En- sino Fundamental. Problemas envolvendo ambas as situações devem ser explorados em um
- 26. 24 Formação de Professores trabalhocontinuado que percorra toda a escolaridade. Outra visão que se modificou nos últi- mos anos diz respeito à segregação do multiplicar e do dividir. Por que tratá-los como etapas diferentes se a ligação entre eles é tão estreita? A ideia defendida por especialistas de renome é buscar cada vez mais evidenciar as relações existentes entre as operações, mesmo antes da sistematização de seus algoritmos. Desenvolver a compreensão dos conceitos por trás das operações e dar condições às turmas para que joguem com as estruturas multiplicativas amplia a visão sobre a matemática. Resul- tado? O aluno avança de forma autônoma na resolução dos problemas, e o que parecia inde- cifrável começa a fazer sentido (leia quadro abaixo). A classificação da multiplicação e da divisão Assim como no campo aditivo, os problemas do campo multiplicativo foram divididos em ca- tegorias pelo psicólogo francês Gérard Vergnaud. Com essa organização, é possível trabalhar os conceitos de multiplicação e divisão já nos primeiros anos do Ensino Fundamental. Exemplo Observação Variações Proporcionalidade Na festa de aniversário de Carolina, cada criança levou 2 refrigerantes. Ao todo, 8 crianças compareceram à festa. Quantos refrigerantes havia? Regularidade A está para B na mesma medida em que C está para D • Oito crianças levaram 16 refrigerantes ao aniversário de Carolina. Se todas as crianças levaram a mesma quantidade de bebida, quantas garrafas levou cada uma? • Numa festa foram levados 16 refrigerantes pelas crianças e cada uma delas levou 2 garrafas. Quantas crianças havia? • Quatro crianças levaram 8 refrigerantes à festa. Supondo que todas levaram o mesmo número de garrafas, quantos refrigerantes haveria se 8 crianças fossem à festa? Marta tem 4 selos. João tem 3 vezes mais do que ela. Quantos selos tem João? Regularidade A x B = C A = C B B = C A • João tem 12 selos e Marta tem a terça parte da quantidade do amigo. Quantos selos tem Marta? 12 1 3 ? 12 1 3 ? x -
- 27. 25 O Campo Multiplicativo ExemploObservação Variações Organização retangular Um salão tem 5 fileiras com 4 cadeiras em cada uma. Quantas cadeiras há nesse salão? Análise dimensional • Um salão tem 20 cadeiras, com 4 delas em cada fileira. Quantas fileiras há no total? • Um salão tem 20 cadeiras distribuídas em colunas e fileiras. Como elas podem ser organizadas? Exemplo Observação Variações Combinatória Uma menina tem 2 saias e 3 blusas de cores diferentes. De quantas maneiras ela pode se arrumar combinando as saias e as blusas? formação de subconjuntos • Uma menina pode combinar suas saias e blusas de 6 maneiras diferentes. Sabendo que ela tem apenas 2 saias, quantas blusas ela tem? • Uma menina pode combinar suas saias e blusas de 6 maneiras diferentes. Sabendo que ela tem apenas 3 blusas, quantas saias ela tem? Consultoria: Célia Maria Carolino Pires, coordenadora da pós-graduação em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP), e Priscila Monteiro, formadora do programa Matemática É D+ A possibilidade de mudança no ensino se baseia principalmente na Teoria dos Campos Con- ceituais, do psicólogo francês Gérard Vergnaud, que teve suas primeiras inserções no Brasil no fim dos anos 1980. O pesquisador diferencia o campo aditivo do campo multiplicativo, iden- tificando as particularidades de cada uma das áreas, mas também ressaltando o que elas têm em comum: as operações não são estanques – não se pode descolar a adição da subtração, assim como não se separa a multiplicação da divisão, e não há somente um caminho para so- lucionar os problemas matemáticos. Com tantas negativas em seus pontos-chave, a teoria de Vergnaud se coloca em contraposi- ção ao ensino convencional.“Trabalhar com campos conceituais é romper o contrato didáti- co estabelecido tradicionalmente”, explica Lilian Ceile Marciano, orientadora pedagógica e
- 28. 26 Formação de Professores formadorade professores da Escola da Vila, em São Paulo.“Primeiro você apresenta a situação- -problema. Só depois de ela ser elaborada pelos alunos, é possível começar a discussão sobre as possíveis estratégias para resolvê-la”. O aluno pode não ter familiaridade com o algoritmo nem perceber que a adição repetida faz parte do caminho para a multiplicação, mas vai se apropriando da operação com as ferramentas que já possui. Diferentes enunciados criam variados olhares A divisão traz, desde o início, um fator de complexidade quando comparada às operações do campo aditivo: ela trabalha com quatro termos – dividendo, divisor, quociente e resto –, em vez de apenas os três da adição e da subtração. A diversidade de tipos de problema exige o domínio das diversas relações matemáticas para ser resolvida. Divisibilidade sem decoreba Todo número par é divisível por 2. Um número é divisível por 3 se a soma dos algarismos que o compõem for divisível por 3. Regras como essas talvez pareçam práticas no trabalho com a divisibilidade, mas o seu uso pode incorrer na mesma questão dos algoritmos: ele perde o sentido se não for revestido de significação para a garotada. Ao decorar a “fórmula mágica”, que verifica se um número é divisível por outro sem fazer a conta armada, é possível ofuscar a maior riqueza desse tipo de atividade: que a criança perceba as regularidades da divisão.“Em problemas de máximo divisor comum (MDC), por exemplo, os alunos costumam começar simplesmente testando o maior número”, diz Priscila Monteiro, formadora do programa Mate- mática É D+, da Fundação Victor Civita (FVC).“Essa estratégia é positiva e deve ser validada pe- lo professor”. Ela destaca que o interessante do trabalho com atividades que envolvem divisi- bilidade é o potencial de discutir estratégias e, em conjunto, elaborar hipóteses de generali- zação de fenômenos – o que mais tarde as turmas verificarão serem propriedades da divisão. Assim, podem-se ter várias modalidades de enunciados que se baseiam nos mesmos elemen- tos, como no exemplo: “Dezessete balas são divididas entre 5 crianças. Quantas balas ganha cada uma se os doces forem distribuídos igualmente?” De formas variadas, os pequenos de- vem chegar ao resultado: 3 balas para cada uma e sobram 2. A questão pode ser alterada sem modificar os termos: e se as balas forem distribuídas uma a uma até acabarem? Nesse caso, formam-se dois grupos com quantidades diferentes, e o aluno verificará – por contagem, sub- tração repetida ou multiplicando números por 5 até chegar ao mais próximo de 17 (3 x 5), en- tre outras estratégias – que cada criança recebe 3 balas e 2 ficam com 1 bala a mais. Há também como alterar o local da incógnita na operação, usando sempre os mesmos termos: 17 balas foram distribuídas igualmente entre um número de crianças, cada uma ficou com 3 e sobra- ram 2. Quantas crianças havia? Nesse caso, a relação de inverso entre multiplicação e divisão é o destaque. Quanto mais tipos de problema as turmas conhecerem, mais elas ampliarão a compre- ensão das operações e aumentarão o repertório de estratégias para elucidar os desafios. Percebe-se também que relações referentes ao campo aditivo, como a composição e a de- composição de números, servem como uma base para progredir no campo multiplicativo, as- sim como a compreensão do valor posicional e real dos algarismos.
- 29. 27 O Campo Multiplicativo Conheceros tipos de trabalho é chave para ensinar melhor Até o 5º ano do Ensino Fundamental, é importante trabalhar com três conceitos do campo multiplicativo: a proporcionalidade, a organização retangular e a combinatória. Com a propor- cionalidade, a criança percebe a regularidade entre elementos de uma tabela – se um pacote tem 5 figurinhas, 2 pacotes têm 10, 3 pacotes têm 15 etc. – e deve também ter oportunidade de constatar a ideia da proporcionalidade inversa (fenômeno da diminuição proporcional de um dos elementos com o aumento do outro. Exemplo: uma caixa d’água tem seu volume di- minuído pela metade a cada semana. Quanto tempo levará para chegar a 1/8 de sua capaci- dade total? Nessa lógica, quanto maior o tempo, menor é o resultado obtido). A organização retangular – também conhecida como análise dimensional ou produto de me- didas – pode ter mais questões de seu potencial de complexidade tratadas nas séries iniciais. Algumas propostas envolvem o desafio de descobrir a área de uma superfície, quantas peças cabem em um tabuleiro, o número de casas ou de uma casa específica em jogos com tabelas numéricas.“É comum a criança não entender de início que um retângulo de três fileiras e qua- tro linhas tenha o mesmo número de casas que um de quatro fileiras e três linhas”, explica Ana Ruth Starepravo, educadora e pesquisadora da Universidade de São Paulo (USP).“Familiarizar- -se com essa noção é importante para o campo multiplicativo e para a geometria e a percep- ção do espaço”, argumenta. A análise combinatória – conteúdo antes reservado às turmas do Ensino Médio – ganha lugar nas séries iniciais. Os desafios que desenvolvem combinação são adaptados para ficar ao al- cance do entendimento dos alunos menores. No início, a garotada geralmente faz represen- tações usando desenhos ou identificando, com outras notações, elemento por elemento no papel e, somente depois, faz a contagem. Essa estratégia é útil e importante para a compreensão da operação, mas quando diferentes maneiras de calcular são discutidas pelo grupo e validadas pelo professor e a grandeza dos números envolvidos cresce, é hora de sistematizar o conhecimento. “É preciso dar conta das ideias que estão por trás do concreto”, explica Esther Pillar Grossi, doutora em psicologia da in- teligência e coordenadora do Grupo de Estudos sobre Educação, Metodologia da Pesquisa e Ação (Geempa), em Porto Alegre. “É importante ter algo que possa ser generalizado, um co- nhecimento já incorporado e que possa ser usado sem ser preciso inventar uma estratégia a cada problema”. Saber armar conta sem saber o porquê não faz sentido A ideia de que dispomos de um aglomerado de saberes – espécie de rede maleável e aberta que se reorganiza a cada novo conhecimento adquirido, criando novas relações –, trabalhada por seguidores de Vergnaud, remete à visão de que não há sentido em separar o aprendizado das operações, mas aproveitar as relações estabelecidas para avançar no estudo da matemática. Mudança de verdade Romper com a educação matemática tradicional é uma atitude válida desde que a mudança se- ja construída com consistência pelo educador e embasada por conhecimentos concretos. “O
- 30. 28 Formação de Professores quemais ouço em formações de professores são discursos estereotipados e vazios, como o cli- chê de desenvolver o raciocínio lógico e de estimular que as crianças‘vivenciem’os problemas”, conta Silvia Swain Canoas, docente da Universidade do Estado de Minas Gerais (UEMG) e espe- cialista em campo multiplicativo.“Quando pergunto que tipo de prática propicia esses objetivos, eles repetem o velho esquema linear de trabalho com as operações”. Para ela, uma das maiores dificuldades dos professores é o fato de não compreenderem realmente o que se busca com o uso do campo multiplicativo. É preciso ter clareza de que trabalhar nessa linha é oferecer opor- tunidades de estabelecer mais relações matemáticas com as mesmas operações que são traba- lhadas no ensino tradicional. Primeiro, o professor deve saber quais delas podem ser trabalhadas nas séries iniciais – a proporcionalidade (direta e inversa), a organização espacial e a combinató- ria. Quanto mais amplo for o conhecimento do professor sobre esses conceitos, maior facilidade ele terá para reconhecer os tipos de problema. Assim, a tendência é que a diversidade de ques- tões e de resoluções cresça, assim como a rede de saberes do próprio aluno. O campo aditivo e o multiplicativo podem ser ensinados paralelamente e de maneira não line- ar. As relações entre adição e multiplicação e entre subtração e divisão devem ser explicitadas, como explica Esther:“O ensino da disciplina nas séries iniciais caminha em três pistas: desenvol- ver as estruturas numéricas, aditivas e multiplicativas”. Uma vez ativa em todas essas áreas, por mais que não as domine de imediato, a criança vai gradualmente tecendo as relações entre os conceitos das operações, e o posterior aprendizado do algoritmo ganhará significado. Sob esse enfoque, saber armar uma conta sem entender o porquê da escolha da operação não faz sentido. Um termômetro disso é a necessidade de a criança perguntar qual operação deve ser utilizada em cada problema. “Pode-se estabelecer uma analogia com a informática”, diz Jorge Falcão, da Universidade Federal de Pernambuco (UFPE).“Qualquer programador faz o computador calcular. O desafio é conseguir que a máquina interprete o problema e decida qual operação realizar”. De todo modo, o algoritmo não deve ser desprezado, mas é crucial que a criança compreen- da o que é o resto, por exemplo, sem pensar que seja simplesmente um dos elementos dos quais tem de dar conta para executar o algoritmo da divisão. Aquela que enxergar além disso nas séries iniciais sairá em vantagem no percurso de compreensão da matemática. Extraído de: http://revistaescola.abril.com.br/matematica/fundamentos/multiplicacao-divisao-ja-series-iniciais-500495.shtml. Acesso em: 30.abr.2013. 2. Elejam alguns pontos comuns ao grupo e discutam. 3. À luz das considerações trazidas neste texto, atentem, mais uma vez, à prática de sala de aula e refli- tam sobre alguns aspectos do trabalho com o campo multiplicativo descritos na primeira coluna da tabela que segue. Em seguida, façam um registro coletivo que relate como esse trabalho vem acon- tecendo nessa escola, preenchendo a 2ª e a 3ª colunas.
- 31. 29 O Campo Multiplicativo Escola: Município: Professoresque fazem parte desse grupo de estudos: Formador local responsável pelo grupo de estudo: Trechos do texto para refle- tirem sobre como esse trabalho acontece, na prática, nas salas de aula dessa escola O que já está assegurado, a respeito desse aspecto do trabalho, para esse grupo de professores? Em quais aspectos desse trabalho esse grupo de professores considera que ainda é preciso avançar? TRECHO 1 Outra visão que se modificou nos últimos anos diz respeito à segregação do multiplicar e do dividir. Por que tratá-los como etapas diferentes se a ligação entre eles é tão estreita? TRECHO 2 A ideia defendida por especialistas de renome é buscar cada vez mais evidenciar as relações existentes entre as operações, mesmo antes da sistematização de seus algoritmos. TRECHO 3 Ao decorar a“fórmula mágica”que verifica se um número é divisível por outro sem fazer a conta armada, é possível ofuscar a maior riqueza desse tipo de atividade: que a criança perceba as regularidades da divisão. TRECHO 4 Até o 5º ano do Ensino Fundamen- tal, é importante trabalhar com três conceitos do campo multiplicativo: a proporcionalidade, a organização retangular e a combinatória. TRECHO 5 A ideia de que dispomos de um aglomerado de saberes – espécie de rede maleável e aberta que se reorganiza a cada novo conhecimen- to adquirido, criando novas relações –, trabalhada por seguidores de Vergnaud, remete à visão de que não há sentido em separar o aprendiza- do das operações, mas aproveitar as relações estabelecidas para avançar no estudo da matemática.
- 32. 30 Formação de Professores Anexos: Gabaritoda atividade da página 10 Problema Classificação Proporcionalidade Análise combinatória Configuração retangular A X B X C X D X E X F X Descritores de Matemática1 Bloco de Conteúdo Númerodo Descritor Descrição Espaço e forma D1 Identificar a localização/movimentação de objeto em mapas, croquis e outras representações gráficas. D2 Identificar propriedades comuns e diferenças entre poliedros e corpos redondos, relacionando figuras tridimensionais com suas planificações. D3 Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais pelo número de lados, pelos tipos de ângulos. D4 Identificar quadriláteros observando as posições relativas entre seus lados (paralelos, concorrentes, perpendiculares). D5 Reconhecer a conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro da área em ampliação e/ou redução de figuras poligonais usando malhas quadriculadas. 1 BRASIL. Ministério da Educação. Saeb/Prova Brasil, 4ª série/5º ano, Ensino Fundamental - Matemática: orientações para o professor. Brasília: Inep, 2009.
- 33. 31 O Campo Multiplicativo Blocode Conteúdo Númerodo Descritor Descrição Grandezas e medidas D6 Estimar a medida de grandezas utilizando unidades de media convencionais ou não. D7 Resolver problemas significativos utilizando unidades de medida padronizadas como km/m/cm/mm, kg/g/mg, l/ml. D8 Estabelecer relações entre unidades de medida de tempo. D9 Estabelecer relações entre o horário de início e término e/ou o intervalo da duração de um evento ou acontecimento. D10 Num problema, estabelecer trocas entre cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro, em função de seus valores. D11 Resolver problema envolvendo o cálculo do perímetro de figuras planas, desenhadas em malhas quadriculadas. D12 Resolver problema envolvendo o cálculo ou estimativa de áreas de figuras planas, desenhadas em malhas quadriculadas. Números e operações D13 Reconhecer e utilizar características do sistema de numeração decimal, tais como agrupamentos e trocas de base 10 e princípio do valor posicional. D14 Identificar a localização de números naturais na reta numérica. D15 Reconhecer a decomposição de números naturais nas suas diversas ordens. D16 Reconhecer a composição e a decomposição de números naturais em sua forma polinomial. D17 Calcular o resultado de uma adição ou subtração de números naturais. D18 Calcular o resultado de uma multiplicação ou divisão de números naturais. D19 Resolver problema com números naturais, envolvendo diferentes significados da adição ou subtração: juntar, alteração de um estado inicial (positiva ou negativa), comparação e mais de uma transformação (positiva ou negativa). D20 Resolver problema com números naturais envolvendo diferentes significados da multiplicação ou divisão: multiplicação comparativa, ideia de proporcionalidade, configuração retangular e combinatória. D21 Identificar diferentes representações de um mesmo número racional. D22 Identificar a localização de números racionais representados na forma decimal na reta numérica. D23 Resolver problema utilizando a escrita decimal de cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro. D24 Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados. D25 Resolver problemas com números racionais expressos na forma decimal envolvendo diferentes significados da adição ou subtração. D26 Resolver problemas envolvendo noções de porcentagem (25%, 50%, 100%).
- 34. Formação de Professores 32 Formaçãode Professores Bloco de Conteúdo Númerodo Descritor Descrição Tratamentoda Informação D27 Ler informações e dados apresentados em tabelas. D28 Ler informações e dados apresentados em gráficos (particularmente em gráficos de colunas).
- 35. 33 O Campo MultiplicativoOCampo Multiplicativo Anotações
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