1) O documento apresenta fórmulas para cálculo de momento de inércia, momento estático e módulo de resistência para diferentes seções transversais. 2) São apresentados exemplos de cálculo de tensões longitudinais em vigas sob flexão, incluindo determinação de diagramas de esforços internos, posição da linha neutra e momentos fletores. 3) Pede-se para calcular a máxima tensão longitudinal em uma barra cilíndrica sob ação de momento fletor uniforme.

1. Adriano Alberto
1
ENG285 4ª Unidade
Fonte: Arquivo da resolução da lista 1 (Adriano Alberto), Slides do Prof. Alberto B. Vieira
Jr., RILEY - Mecânica dos Materiais.
Momento de Inércia (I)
Para seção retangular:
I =
࡮ . ࡴ૜
૚૛
Para seção triangular reta:
I =
࡮ . ࡴ૜
૜૟
Semi-círculo:
࢟ഥ =
૝࢘
૜࣊
Momento estático (Q)
Q = A . (distância do centróide à L.N.)
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟
ࡵࢠ
; ࣌࢟ =
ࡹࢠ . ࢞
ࡵࢠ
࣎࢞࢟ = -
ࢂ . ࡽ
ࡵ . ࢈
Módulo de resistência (W)
ሺ࣌࢞ሻࢇࢊ࢓ =
ࡹ࢓á࢞
‫܅‬‫ܙ܍ܚ‬
=> Wreq =
ࡹ࢓á࢞
ሺ࣌࢞ሻࢇࢊ࢓
W =
ࡵࢠ
|࢟|

2. Adriano Alberto
2PROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXÃO
Nas questões abaixo, de acordo com as respostas da lista, não são calculadas as
tensões máximas. Para isso, seria necessário calcular também as tensões
cisalhantes e, a partir do estado de tensão resultante, calcular as tensões máximas,
que podem ou não coincidir com os resultados das questões abaixo.
1) A viga carregada como mostrado tem a seção transversal da figura. Determine a tensão
longitudinal: (a) num ponto a 4,5 m a contar da extremidade esquerda e 125 mm acima da
superfície neutra; (b) num ponto 75 mm abaixo da superfície neutra numa seção a 1,2 m
do extremo direito
RA + RD = 30 + 15 + 30 = 75 kN
∑ ࡹ࡭ = 0 => - 30 . 1,5 - 15 . 4 + 5 . RD – 6 . 30 = 0 => RD = 57 kN
RA = 18 kN
Para 0 ≤ x < 3:
V(x) = - 10x + 18
Para V(x) = 0 => x = 1,8 m
Diagrama:

3. a)
M(4,5) = ?
Para 4 ≤ x < 5:
V(x) = - 27 kN
M(x) = - 27x + C
M(4) = - 3 kN.m = - 27 . 4 + C =>
M(x) = - 27x + 105 => M(4,5) =
Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)
Obs: não era preciso calcular para esse caso, devido a simetria da seção.
AT = 200 . 50 . 3 = 30 000 mm²
A1 = 200 . 50 = 10 000 mm²
A2 = 200 . 50 = 10 000 mm²
A3 = 200 . 50 = 10 000 mm²
࢟ഥ૚ = 275 mm
࢟ഥ૛ = 150 mm
࢟ഥ૜ = 25 mm
27 . 4 + C => C = 105
27x + 105 => M(4,5) = - 27 . 4,5 + 105 => M(4,5) = - 16,5 kN.m
Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)
Obs: não era preciso calcular para esse caso, devido a simetria da seção.
000 mm²
²
m²
m²
Adriano Alberto
3

4. Adriano Alberto
4
yi =
࡭૚ . ࢟ഥ૚ ା ࡭૛ . ࢟ഥ૛ ା ࡭૜ . ࢟ഥ૜
࡭ࢀ
=
ଵ଴ ଴଴଴ . ሺଶ଻ହ ା ଵହ଴ ା ଶହሻ
ଷ଴ ଴଴଴
= 150 mm
ys = 300 – 150 = 150 mm
Cálculo do momento de inércia
Iz = ࡵࢠ૚
+ ࡵࢠ૛
+ ࡵࢠ૜
ࡵࢠ૚
=
࢈૚ . ሺࢎ૚ሻ૜
૚૛
+ A1 . ሺ࢟ഥ૚ − ࢟࢏ሻ૛
=
ଶ଴଴ . ሺହ଴ሻయ
ଵଶ
+ 10 000 . ሺ275 − 150ሻଶ
= 158 333 333,3.૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૛
=
࢈૛ . ሺࢎ૛ሻ૜
૚૛
+ A2 . ሺ࢟ഥ૛ − ࢟࢏ሻ૛
=
ହ଴ . ሺଶ଴଴ሻయ
ଵଶ
+ 10 000 .ሺ150 − 150ሻଶ
= 33 333 333,33.૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૜
=
࢈૜ . ሺࢎ૜ሻ૜
૚૛
+ A3 . ሺ࢟ഥ૜ − ࢟࢏ሻ૛
=
ଶ଴଴ . ሺହ଴ሻయ
ଵଶ
+ 10 000 . ሺ25 − 150ሻଶ
= 158 333 333,3 .૚૙ି૚૛
m4
=> Iz = 350 000 000 . ૚૙ି૚૛
m4
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟
ࡵࢠ
=> ߪ௫ = -
൫ି ଵ଺,ହ . ଵ଴య ൯ . ଵଶହ . ଵ଴షయ
ଷହ଴ ଴଴଴ ଴଴଴ .ଵ଴షభమ = 5 892 857,143 Pa
b)
x = 7 – 1,2 = 5,8 m
M(5,8) = ?
Para 5 ≤ x < 7:
V(x) = - 15x + C
V(5) = 30 = - 15 . 5 + C => C = 105 => V(x) = - 15x + 105
M(x) = - 7,5 . x² + 105 . x + C
M(5) = - 30 kN.m = - 7,5 . 25 + 105 . 5 + C => C = - 367,5
M(x) = - 7,5 . x² + 105 . x - 367,5 => M(5,8) = - 7,5 . (5,8)² + 105 . 5,8 - 367,5 =>
M(5,8) = - 10,8 kN.m
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟
ࡵࢠ
=> ߪ௫ = -
൫ି ଵ଴,଼ . ଵ଴య ൯ . ሺି଻ହሻ . ଵ଴షయ
ଷହ଴ ଴଴଴ ଴଴଴ .ଵ଴షభమ = - 2 314 285,714 Pa

5. 2) (a) Determine a tensão longitudinal em um ponto 100 mm abaixo da superfície neutra
numa seção a 1,3 m do extremo direito da viga carregada da figura; (b) determine a
máxima tensão longitudinal numa seção a 1 m do
∑ ࡲ࢟ = 0 => RA + RB = 39 000 N
∑ ࡹ࡭ = 0 => 9 000 – 30 000 . 1,5 + 3 . R
RA = 27 000 N
Para 1,5 ≤ x ൏ 3,5:
V(x) = - 15 000 . x + C
V(1,5) = 18 000 = - 15 000 . 1,5
V(x) = - 15 000 . x + 40 500
Para V(x) = 0 => x = 2,7 m
Diagrama:
2) (a) Determine a tensão longitudinal em um ponto 100 mm abaixo da superfície neutra
xtremo direito da viga carregada da figura; (b) determine a
máxima tensão longitudinal numa seção a 1 m do extremo esquerdo.
= 39 000 N
30 000 . 1,5 + 3 . RB = 0 => RB = 12 000 N
15 000 . 1,5 + C => C = 40 500
Adriano Alberto
5
2) (a) Determine a tensão longitudinal em um ponto 100 mm abaixo da superfície neutra
xtremo direito da viga carregada da figura; (b) determine a

6. Adriano Alberto
6
Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)
AT = 150 . 50 + 150 . 50 = 15 000 mm²
A1 = 150 . 50 = 7 500 mm²
A2 = 150 . 50 = 7 500 mm²
࢟ഥ૚ = 175 mm
࢟ഥ૛ = 75 mm
yi =
࡭૚ . ࢟ഥ૚ ା ࡭૛ . ࢟ഥ૛
࡭ࢀ
=
଻ ହ଴଴ . ଵ଻ହ ା ଻ ହ଴଴ . ଻ହ
ଵହ ଴଴଴
= 125 mm
ys = 200 – 125 = 75 mm
Cálculo do momento de inércia
Iz = ࡵࢠ૚
+ ࡵࢠ૛
ࡵࢠ૚
=
࢈૚ . ሺࢎ૚ሻ૜
૚૛
+ A1 . ሺ࢟ഥ૚ − ࢟࢏ሻ૛
=
ଵହ଴ . ሺହ଴ሻయ
ଵଶ
+ 7 500 . ሺ175 − 125ሻଶ
= 20 312 500 . ૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૛
=
࢈૛ . ሺࢎ૛ሻ૜
૚૛
+ A2 . ሺ࢟ഥ૛ − ࢟࢏ሻ૛
=
ହ଴ . ሺଵହ଴ሻయ
ଵଶ
+ 7 500 . ሺ75 − 125ሻଶ
= 32 812 500 . ૚૙ି૚૛
m4
=> Iz = 53 125 000 . ૚૙ି૚૛
m4
a)
x = 4 – 1,3 = 2,7 m
M(2,7) = 10,8 kN.m
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟
ࡵࢠ
=> ߪ௫ = -
൫ଵ଴,଼ . ଵ଴య ൯ . ሺି ଵ଴଴ሻ . ଵ଴షయ
ହଷ ଵଶହ ଴଴଴ .ଵ଴షభమ = 20 329 411,76 Pa
b) M(1) = - 9 kN.m
Cálculo das tensões acima da L.N.:

7. Adriano Alberto
7
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢙࢟
ࡵࢠ
=> ߪ௫ = -
൫ି ଽ . ଵ଴య ൯ . ଻ହ . ଵ଴షయ
ହଷ ଵଶହ ଴଴଴ .ଵ଴షభమ = 12 705 882,35 Pa
Cálculo das tensões abaixo da L.N.:
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟࢏
ࡵࢠ
=> ߪ௫ = -
൫ି ଽ . ଵ଴య ൯ . ሺି ଵଶହሻ . ଵ଴షయ
ହଷ ଵଶହ ଴଴଴ .ଵ଴షభమ = - 21 176 470,59 Pa = ࣌࢞,࢓á࢞
3) Uma barra de aço de 200 mm de diâmetro é carregada e apoiada como mostrado na
figura. Determine a máxima tensão longitudinal numa seção a 1,5 m a partir da parede.
R = 12 kN
12 . 3 + M = 0 => M = - 36 kN.m
M(3) = - 18 kN.m
Iz =
గ௥ర
ସ
=
గሺ଴,ଵ଴଴ሻర
ସ
A = ߨ‫ݎ‬ଶ
= ߨሺ0,100ሻଶ
yi = ys = ࢟ഥ = 100 mm

8. Adriano Alberto
8
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢙࢟
ࡵࢠ
= -
൫ିଵ଼ . ଵ଴య൯ . ሺ± ଵ଴଴ሻ . ଵ଴షయ
ഏሺబ,భబబሻర
ర
= ± 22 918 311,81 Pa
4) Para a viga mostrada, as tensões longitudinais admissíveis na seção sob a carga são de
42 MPa T e 70 MPa C. Determine a máxima carga admissível P.
RA + RC = P (I)
∑ ‫ܯ‬஺ = 0 => - 1 . P + 3,5 . RC = 0=> RC =
ࡼ
૜,૞
(II)
Substituíndo em (I):
RA +
ࡼ
૜,૞
= P => RA =
૛,૞ . ࡼ
૜,૞
RA = 2,5 . RC
Para o trecho 0 ≤ x < 1:
V(0) = V(1) = RA
M(x) = RA . x + C
M(0) = 0 => C = 0 => M(x) = RA . x
M(1) = RA
Para o trecho 1 ≤ x < 3,5:
V(1) = V(3,5) = RA – P
M(x) = (RA - P). x + C
M(1) = RA = (RA - P). 1 + C => C = P => M(x) = (RA - P). x + P
M(3,5) = (RA - P). 3,5 + P = 3,5 . RA – 3,5 . P + P = 3,5 . RA – 2,5 . P = 3,5 .
ଶ,ହ . ௉
ଷ,ହ
– 2,5 . P = 0
Para x = 3,5:
V(3,5) = RA – P + RC = RA – P + P – RA = 0

9. Adriano Alberto
9
M(3,5) = 0
Mmáx = RA =
૛,૞ . ࡼ
૜,૞
Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)
AT = 200 . 25 + 100 . 25 = 7 500 mm²
A1 = 200 . 25 = 5 000 mm²
A2 = 100 . 25 = 2 500 mm²
࢟ഥ૚ = 125 mm
࢟ഥ૛ = 12,5 mm
yi =
࡭૚ . ࢟ഥ૚ ା ࡭૛ . ࢟ഥ૛
࡭ࢀ
=
ହ ଴଴଴ . ଵଶହ ା ଶ ହ଴଴ . ଵଶ,ହ
଻ ହ଴଴
= 87,5 mm
ys = 225 – 87,5 = 37,5 mm
Cálculo do momento de inércia
Iz = ࡵࢠ૚
+ ࡵࢠ૛
ࡵࢠ૚
=
࢈૚ . ሺࢎ૚ሻ૜
૚૛
+ A1 . ሺ࢟ഥ૚ − ࢟࢏ሻ૛
=
ଶହ . ሺଶ଴଴ሻయ
ଵଶ
+ 5 000 . ሺ125 − 87,5ሻଶ
= 23 697 916,67.૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૛
=
࢈૛ . ሺࢎ૛ሻ૜
૚૛
+ A2 . ሺ࢟ഥ૛ − ࢟࢏ሻ૛
=
ଵ଴଴ . ሺଶହሻయ
ଵଶ
+ 2 500 . ሺ12,5 − 87,5ሻଶ
= 14 192 708,33.૚૙ି૚૛
m4
=> Iz = 37 890 625 . ૚૙ି૚૛
m4
Para o trecho AB:
Mmáx =
૛,૞ . ࡼ
૜,૞
Cálculo das tensões acima da L.N.:
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢙࢟
ࡵࢠ
=> - 70 . 106
= -
ቀ
మ,ఱ . ು
య,ఱ
ቁ . ଷ଻,ହ . ଵ଴షయ
ଷ଻ ଼ଽ଴ ଺ଶହ .ଵ଴షభమ => P = 99 020,83334 N

10. Adriano Alberto
10
Cálculo das tensões abaixo da L.N.:
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟࢏
ࡵࢠ
=> 42 . 106
= -
ቀ
మ,ఱ . ು
య,ఱ
ቁ . ሺି଼଻,ହሻ . ଵ଴షయ
ଷ଻ ଼ଽ଴ ଺ଶହ .ଵ଴షభమ => P = 25 462,5 N = Padm
5) e 6) Se o momento mostrado atua no plano vertical, determinar a tensão no: (a) ponto
A; (b) ponto B.
5)
a)
Como o ponto A vai ser comprimido, ࣌࢞ será negativo.
Mz = 15 kN.m
yi = ys = 60 mm
Cálculo do momento de inércia
Como a seção é simétrica, e a área interna é concêntrica com a área externa, Iz = ࡵࢠࢋ
- ࡵࢠ࢏
:
ࡵࢠࢋ
- ࡵࢠ࢏
=
଼଴ . ሺଵଶ଴ሻయ
ଵଶ
-
ସ଴ . ሺ଼଴ሻయ
ଵଶ
= 9 813 333,333 . ૚૙ି૚૛
m4
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟
ࡵࢠ
= -
൫ଵହ . ଵ଴య൯ . ସ଴ . ଵ଴షయ
ଽ ଼ଵଷ ଷଷଷ,ଷଷଷ . ଵ଴షభమ = - 61 141 304,35 Pa
b)
Como o ponto B vai ser tracionado, ࣌࢞ será positivo.
Mz = 15 kN.m
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟࢏
ࡵࢠ
= -
൫ଵହ . ଵ଴య൯ . ሺି ଺଴ሻ . ଵ଴షయ
ଽ ଼ଵଷ ଷଷଷ,ଷଷଷ . ଵ଴షభమ = 91 711 956,52 Pa

11. Adriano Alberto
11
*** 6)
a)
Como o ponto A vai ser comprimido, ࣌࢞ será negativo.
Mz = 2,8 kN.m
yi = ys = 30 mm
Cálculo do momento de inércia
Iz = ࡵࢠࢋ
- 2 . ࡵࢠ࢏
=
ଵଶ଴ . ሺ଺଴ሻయ
ଵଶ
- 2 .
గ .ሺଶ଴ሻర
ସ
= 1 908 672,588 . ૚૙ି૚૛
m4
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟
ࡵࢠ
= -
൫ଶ,଼ . ଵ଴య൯ . ଷ଴ . ଵ଴షయ
ଵ ଽ଴଼ ଺଻ଶ,ହ଼଼ .ଵ଴షభమ = - 44 009 643,42 Pa
b)
Como o ponto B vai ser tracionado, ࣌࢞ será positivo.
Mz = 2,8 kN.m
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟
ࡵࢠ
= -
൫ଶ,଼ . ଵ଴య൯ . ሺି ଶ଴ሻ . ଵ଴షయ
ଵ ଽ଴଼ ଺଻ଶ,ହ଼଼ .ଵ଴షభమ = 29 339 762,28 Pa
Resposta da lista:
6) σa = 44,1 MPa C σb = 29,3 MPa T
7) A viga mostrada é feita de aço com tensão de escoamento igual a 250 MPa. Determinar
o maior momento que pode ser aplicado à viga quando ela encurva em torno do eixo z,
considerando um coeficiente de segurança de 2,5.

12. Adriano Alberto
12
Posição da Linha Neutra (L.N.)
yi = 130 mm
Cálculo do momento de inércia
A1 = 200 . 16 = 3 200 mm²
A2 = 228 . 10 = 2 280 mm²
A3 = 200 . 16 = 3 200 mm²
࢟ഥ૚ = 252 mm
࢟ഥ૛ = 130 mm
࢟ഥ૜ = 8 mm
Iz = ࡵࢠ૚
+ ࡵࢠ૛
+ ࡵࢠ૜
ࡵࢠ૚
= ࡵࢠ૜
ࡵࢠ૚
=
࢈૚ . ሺࢎ૚ሻ૜
૚૛
+ A1 . ሺ࢟ഥ૚ − ࢟࢏ሻ૛
=
ଶ଴଴ . ሺଵ଺ሻయ
ଵଶ
+ 3 200 . ሺ252 − 130ሻଶ
= 47 697 066,67 . ૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૛
=
࢈૛ . ሺࢎ૛ሻ૜
૚૛
+ A2 . ሺ࢟ഥ૛ − ࢟࢏ሻ૛
=
ଵ଴ . ሺଶଶ଼ሻయ
ଵଶ
+ 2 280 . ሺ130 − 130ሻଶ
= 9 876 960 . ૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૜
=
࢈૜ . ሺࢎ૜ሻ૜
૚૛
+ A3 . ሺ࢟ഥ૜ − ࢟࢏ሻ૛
=
ଶ଴଴ . ሺଵ଺ሻయ
ଵଶ
+ 3 200 . ሺ8 − 130ሻଶ
= 47 697 066,67 . ૚૙ି૚૛
m4
=> Iz = 105 271 093,3 . ૚૙ି૚૛
m4
࣌࢞ =
ࡹࢠ . ࢟࢏
ࡵࢠ
=>
ଶହ଴ . ଵ଴ల
ଶ,ହ
=
ெ೥ . ଵଷ଴ . ଵ଴షయ
ଵ଴ହ ଶ଻ଵ ଴ଽଷ,ଷ . ଵ଴షభమ => ࡹࢠ = 80 977,76408 N.m
8) Sabendo-se que uma viga de seção transversal, como mostrado, é encurvada em torno
de um eixo horizontal e está submetida a um momento fletor de 5,7 kN.m, determinar a
intensidade total da força atuando: (a) na aba superior; (b) na porção sombreada da alma.

13. Adriano Alberto
13
Posição da Linha Neutra (L.N.)
yi = 87,5 mm
Cálculo do momento de inércia
A1 = 150 . 37,5 = 5 625 mm²
A2 = 50 . 100 = 5 000 mm²
A3 = 150 . 37,5 = 5 625 mm²
࢟ഥ૚ = 156,25 mm
࢟ഥ૛ = 87,5 mm
࢟ഥ૜ = 18,75 mm
Iz = ࡵࢠ૚
+ ࡵࢠ૛
+ ࡵࢠ૜
ࡵࢠ૚
= ࡵࢠ૜
ࡵࢠ૚
=
࢈૚ . ሺࢎ૚ሻ૜
૚૛
+ A1 . ሺ࢟ഥ૚ − ࢟࢏ሻ૛
=
ଵହ଴ . ሺଷ଻,ହሻయ
ଵଶ
+ 5 625 . ሺ156,25 − 87,5ሻଶ
= 27 246 093,75.૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૛
=
࢈૛ . ሺࢎ૛ሻ૜
૚૛
+ A2 . ሺ࢟ഥ૛ − ࢟࢏ሻ૛
=
ହ଴ . ሺଵ଴଴ሻయ
ଵଶ
+ 5 000 . ሺ87,5 − 87,5ሻଶ
= 4 166 666,667 . ૚૙ି૚૛
m4
=> Iz = 58 658 854,17 . ૚૙ି૚૛
m4
a)

14. Adriano Alberto
14
Para y = 68,75 mm (distância da L.N. ao centróide da figura)
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟࢏
ࡵࢠ
= -
ହ,଻ . ଵ଴య . ଺଼,଻ହ . ଵ଴షయ
ହ଼ ଺ହ଼ ଼ହସ,ଵ଻ .ଵ଴షభమ => ࣌࢞ = - 6 680 577,136 Pa
F = ࣌࢞ . A1 => F = - 6 680 577,136 . 5 625 . 10-6
m² => F = - 37 578,24639 N
b)
Para y = - 25 mm (distância da L.N. ao centróide da figura)
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟
ࡵࢠ
= -
ହ,଻ . ଵ଴య . ሺି ଶହሻ . ଵ଴షయ
ହ଼ ଺ହ଼ ଼ହସ,ଵ଻ .ଵ଴షభమ => ࣌࢞ = 2 429 300,777 Pa
F = ࣌࢞ . A => F = 2 429 300,777 . 50 . 50 . 10-6
m² => F = 6 073,251943 N
*** 9) Duas forças verticais são aplicadas a uma viga de seção transversal mostrada.
Determinar as máximas tensões de tração e compressão numa seção transversal na porção
BC da viga.
RA + RD = 20 kN
RA = RD = 10 kN
Mz = 1,5 kN.m

15. Adriano Alberto
15
Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)
AT = 10 . 50 + 10 . 30 + 10 . 50 = 1 300 mm²
A1 = 10 . 50 = 500 mm²
A2 = 10 . 30 = 300 mm²
A3 = 10 . 50 = 500 mm²
࢟ഥ૚ = 35 mm
࢟ഥ૛ = 5 mm
࢟ഥ૜ = 35 mm
yi =
࡭૚ . ࢟ഥ૚ ା ࡭૛ . ࢟ഥ૛ ା ࡭૜ . ࢟ഥ૜
࡭ࢀ
=
ହ଴଴ . ଷହ ା ଷ଴଴ . ହ ା ହ଴଴ . ଷହ
ଵ ଷ଴଴
= 28,07692308 mm
ys = 60 - 28,07692308 = 31,92307692 mm
Cálculo do momento de inércia
Iz = ࡵࢠ૚
+ ࡵࢠ૛
+ ࡵࢠ૜
ࡵࢠ૚
=
࢈૚ . ሺࢎ૚ሻ૜
૚૛
+ A1 . ሺ࢟ഥ૚ − ࢟࢏ሻ૛ =
ଵ଴ . ሺହ଴ሻయ
ଵଶ
+ 500 . ሺ35 − 28,07692308ሻଶ = 128 131,1637 .૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૛
=
࢈૛ . ሺࢎ૛ሻ૜
૚૛
+ A2 . ሺ࢟ഥ૛ − ࢟࢏ሻ૛ =
ଷ଴ . ሺଵ଴ሻయ
ଵଶ
+ 300 . ሺ5 − 28,07692308ሻଶ = 162 263,3137. ૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૚
= ࡵࢠ૜
=> Iz = 418 525,6411 . ૚૙ି૚૛
m4
Cálculo acima da L.N.
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢙࢟
ࡵࢠ
= -
ଵ,ହ .ଵ଴య . ଷଵ,ଽଶଷ଴଻଺ଽଶ . ଵ଴షయ
ସଵ଼ ହଶହ,଺ସଵଵ .ଵ଴షభమ = - 114 412 620,6 Pa
Cálculo abaixo da L.N.

16. Adriano Alberto
16
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟࢏
ࡵࢠ
= -
ଵ,ହ .ଵ଴య . ሺି ଶ଼,଴଻଺ଽଶଷ଴଼ሻ . ଵ଴షయ
ସଵ଼ ହଶହ,଺ସଵଵ .ଵ଴షభమ = 100 627 967,5 Pa
A resposta da lista deu diferente, mas acredito que meus cálculos estão certos.
9) 73,2 MPa T 102,4 MPa C
10) Sabendo-se que uma viga de seção transversal mostrada é encurvada sobre um eixo
horizontal, e que está submetida a um momento fletor de 4 kN.m, determinar a
intensidade total da força que atua na porção sombreada da viga.
yi = ys = 44 mm
A1 = 12 . 88 = 1 056 mm²
A2 = 40 . 40 = 1 600 mm²
A3 = 12 . 88 = 1 056 mm²
࢟ഥ૚ = 44 mm
࢟ഥ૛ = 44 mm
࢟ഥ૜ = 44 mm
Cálculo do momento de inércia
ࡵࢠ૚
= ࡵࢠ૜
Iz = 2 . ࡵࢠ૚
+ ࡵࢠ૛
ࡵࢠ૚
=
࢈૚ . ሺࢎ૚ሻ૜
૚૛
+ A1 . ሺ࢟ഥ૚ − ࢟࢏ሻ૛ =
ଵଶ . ሺ଼଼ሻయ
ଵଶ
= 681 472 .૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૛
=
࢈૛ . ሺࢎ૛ሻ૜
૚૛
+ A2 . ሺ࢟ഥ૛ − ࢟࢏ሻ૛ =
ସ଴ . ሺସ଴ሻయ
ଵଶ
= 213 333,3333 . ૚૙ି૚૛
m4

17. Adriano Alberto
17
=> Iz = 1 576 277,333 . ૚૙ି૚૛
m4
Cálculo do centróide da figura
AT = 12 . 44 + 20 . 20 = 928 mm²
A1 = 12 . 44 = 528 mm²
A2 = 20 . 20 = 400 mm²
A3 = 10 . 50 = 500 mm²
࢟ഥ૚ = 22 mm
࢟ഥ૛ = 10 mm
࢟ഥ =
࡭૚ . ࢟ഥ૚ ା ࡭૛ . ࢟ഥ૛
࡭ࢀ
=
ହଶ଼ . ଶଶ ା ସ଴଴ . ଵ଴
ଽଶ଼
= 16,82758621 mm = y
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟
ࡵࢠ
= -
ସ .ଵ଴య . ଵ଺,଼ଶ଻ହ଼଺ଶଵ . ଵ଴షయ
ଵ ହ଻଺ ଶ଻଻,ଷଷଷ .ଵ଴షభమ = - 42 702 095,26 Pa
F = ࣌࢞ . A => F = - 42 702 095,26 . 928 . 10-6
= - 39 627,5444 N
11) Para a viga com seção transversal mostrada, determine a tensão longitudinal máxima
entre as seções A e C, e localize onde ela ocorre.
Aproveitando os cálculos da questão 6 da Lista 1:

18. Adriano Alberto
18
Para 0 ≤ x ൏ 2:
V(x) = ‫׬‬ ‫.ݍ‬ ݀‫ݔ‬ + C1 => V(x) = ‫׬‬ሺ3ሻ . ݀‫ݔ‬ + C1 => V(x) = 3x + C1
V(0) = 0 => 3 . 0 + C1 = 0 => C1 = 0
=> V(x) = 3x
V(0) = 0
V(2) = 3 . 2 = 6 kN
M(x) = ‫׬‬ ܸሺ‫ݔ‬ሻ. ݀‫ݔ‬ + C2 => M(x) = ‫׬‬ሺ3xሻ. ݀‫ݔ‬ + C2 => M(x) = 1,5 x² + C2
M(0) = - 12 => 1,5 (0)² + C2 = - 12 => C2 = - 12 => M(x) = 1,5 x² - 12
M(0) = - 12 kN.m
M(2) = 1,5 . (2)² - 12 => M(2) = - 6 kN.m
Para 2 ≤ x ൏ 5:
V(x) = - ‫׬‬ ‫.ݍ‬ ݀‫ݔ‬ + C3 => V(x) = - ‫׬‬ሺ5ሻ . ݀‫ݔ‬ + C3 => V(x) = - 5x + C3
V(2) = 6 + 5,5 = 11,5 kN => - 5 . 2 + C3 = 11,5 => C3 = 21,5
=> V(x) = - 5x + 21,5 (OK)
V(2) = 11,5 kN
V(5) = - 5 . 5 + 21,5 => V(5) = - 3,5 kN
Para V(x) = 0 => - 5x + 21,5 = 0 => x = 4,3 m
M(x) = ‫׬‬ ܸሺ‫ݔ‬ሻ. ݀‫ݔ‬ + C4 => M(x) = ‫׬‬ሺ−5x + 21,5ሻ. ݀‫ݔ‬ + C4
=> M(x) = - 2,5 x² + 21,5 . x + C4
M(2) = - 6 kN.m => - 2,5 (2)² + 21,5 . 2 + C4 = - 6 => C4 = - 39
=> M(x) = - 2,5 x² + 21,5 . x – 39

19. Adriano Alberto
19
M(2) = - 6 kN.m
M(5) = - 2,5 (5)² + 21,5 . 5 - 39 => M(5) = 6 kN.m
Mf,máx = M(4,3) = - 2,5 . (4,3)² + 21,5 . 4,3 - 39 => Mf,máx = 7,225 kN.m
Para 5 ≤ x ൏ 7:
3 . 2 + 5,5 – 5 . 3 - 3 - V(x) = 0 => V(x) = - 6,5 kN
M(x) = ‫׬‬ ܸሺ‫ݔ‬ሻ. ݀‫ݔ‬ + C5 => M(x) = ‫׬‬ሺ− 6,5ሻ. ݀‫ݔ‬ + C5
=> M(x) = - 6,5x + C5
M(5) = 6 kN.m => - 6,5 . 5 + C5 = 6 => C5 = 38,5
=> M(x) = - 6,5x + 38,5
M(5) = 6 kN.m
M(7) = - 6,5 . 7 + 38,5 => M(7) = - 7 kN.m
Diagrama:

20. Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)
AT = 100 . 25 + 40 . 100 =
A1 = 100 . 25 = 2 500 mm²
A2 = 100 . 40 = 4 000 mm²
࢟ഥ૚ = 112,5 mm
࢟ഥ૛ = 50 mm
yi =
࡭૚ . ࢟ഥ૚ ା ࡭૛ . ࢟ഥ૛
࡭ࢀ
=
ଶ ହ଴଴ . ଵଵଶ
଺
ys = 125 - 74,03846154 = 50,961538
Cálculo do momento de inércia
Iz = ࡵࢠ૚
+ ࡵࢠ૛
ࡵࢠ૚
=
࢈૚ . ሺࢎ૚ሻ૜
૚૛
+ A1 . ሺ࢟ഥ૚ − ࢟࢏
Linha Neutra (L.N.)
= 6 500 mm²
ଵଵଶ,ହ ା ସ ଴଴଴ . ହ଴
଺ ହ଴଴
= 74,03846154 mm
96153846 mm
Cálculo do momento de inércia
࢏ሻ૛
Adriano Alberto
20

21. Adriano Alberto
21
ࡵࢠ૛
=
࢈૛ . ሺࢎ૛ሻ૜
૚૛
+ A2 . ሺ࢟ഥ૛ − ࢟࢏ሻ૛
‫ܫ‬௭భ
=
ଵ଴଴ . ሺଶହሻయ
ଵଶ
+ 2 500 . ሺ112,5 − 74,03846154ሻଶ
= 3 828 433,185 . ૚૙ି૚૛
m4
‫ܫ‬௭మ
=
ସ଴ . ሺଵ଴଴ሻయ
ଵଶ
+ 4 000 . ሺ50 − 74,03846154ሻଶ
= 5 644 723,866 . ૚૙ି૚૛
m4
=> Iz = 9 473 157,051 . ૚૙ି૚૛
m4
Para o trecho AB:
Mmáx = - 12 . 10³ N.m
Cálculo das tensões acima da L.N.:
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢙࢟
ࡵࢠ
=> ߪ௫ = -
൫ିଵଶ . ଵ଴య ൯ . ହ଴,ଽ଺ଵହଷ଼ସ଺ . ଵ଴షయ
ଽ ସ଻ଷ ଵହ଻,଴ହଵ .ଵ଴షభమ = 64 554 874,18 Pa
Cálculo das tensões abaixo da L.N.:
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟࢏
ࡵࢠ
=> ߪ௫ = -
൫ିଵଶ . ଵ଴య ൯ . ሺି ଻ସ,଴ଷ଼ସ଺ଵହସሻ . ଵ଴షయ
ଽ ସ଻ଷ ଵହ଻,଴ହଵ .ଵ଴షభమ
= - 93 787 270,04 Pa
Para o trecho BC:
Mmáx = 7,225 . 10³ N.m
Cálculo das tensões acima da L.N.:
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢙࢟
ࡵࢠ
=> ߪ௫ = -
൫଻,ଶଶହ . ଵ଴య ൯ . ହ଴,ଽ଺ଵହଷ଼ସ଺ . ଵ଴షయ
ଽ ସ଻ଷ ଵହ଻,଴ହଵ .ଵ଴షభమ = - 38 867 413,83 Pa
Cálculo das tensões abaixo da L.N.:

22. Adriano Alberto
22
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟࢏
ࡵࢠ
=> ߪ௫ = -
൫଻,ଶଶହ . ଵ଴య ൯ . ሺି ଻ସ,଴ଷ଼ସ଺ଵହସሻ . ଵ଴షయ
ଽ ସ଻ଷ ଵହ଻,଴ହଵ .ଵ଴షభమ
= 56 467 752,17 Pa
12) e 13) Para a viga com seção transversal mostrada, determine: (a) a tensão trativa
máxima longitudinal na viga e onde ela ocorre; (b) a tensão compressiva máxima na viga e
onde ela ocorre.
12)
30 + RC = 37,5 kN => RC = 7,5 kN
∑ ‫ܯ‬஻ = 0 => 7,5 . 1 . 0,5 – 7,5 . 4 . 2 + 7,5 . 4 + M = 0 => M = 26,25 kN.m
Para o trecho 0 ≤ x < 1:
V(x) = - 7,5 . x + C
V(0) = 0 = - 7,5 . 0 + C => C = 0 => V(x) = - 7,5 . x
V(1) = - 7,5 kN
M(x) = -
଻,ହ . ௫మ
ଶ
+ C
M(0) = 0 = 0 + C => M(x) = -
଻,ହ . ௫మ
ଶ
M(1) = - 3,75 kN.m
Para o trecho 1 ≤ x < 5:
V(x) = - 7,5 . x + C
V(1) = - 7,5 + 30 = 22,5 kN = - 7,5 . 1 + C => C = 30 => V(x) = - 7,5 . x + 30
Para V(x) = 0 => x = 4 m
M(x) = -
଻,ହ . ௫మ
ଶ
+ 30x + C

23. Adriano Alberto
23
M(1) = - 3,75 kN.m = -
଻,ହ . ଵ
ଶ
+ 30 . 1 + C => C = - 30
M(x) = -
ૠ,૞ . ࢞૛
૛
+ 30x – 30
M(4) = -
଻,ହ . ଵ଺
ଶ
+ 30 . 4 – 30 = 30 kN.m
M(5) = -
଻,ହ . ଶହ
ଶ
+ 30 . 5 – 30 = 26,25 kN.m
Para x = 5:
M(5) = 26,25 – M = 0
Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)
AT = 100 . 50 + 100 . 50 = 10 000 mm²
A1 = 100 . 50 = 5 000 mm²
A2 = 100 . 50 = 5 000 mm²
࢟ഥ૚ = 125 mm
࢟ഥ૛ = 50 mm
yi =
࡭૚ . ࢟ഥ૚ ା ࡭૛ . ࢟ഥ૛
࡭ࢀ
=
ହ ଴଴଴ . ଵଶହ ା ହ ଴଴଴ . ହ଴
ଵ଴ ଴଴଴
= 87,5 mm
ys = 150 – 87,5 = 62,5 mm
Cálculo do momento de inércia
Iz = ࡵࢠ૚
+ ࡵࢠ૛
ࡵࢠ૚
=
࢈૚ . ሺࢎ૚ሻ૜
૚૛
+ A1 . ሺ࢟ഥ૚ − ࢟࢏ሻ૛
=
ଵ଴଴ . ሺହ଴ሻయ
ଵଶ
+ 5 000 . ሺ125 − 87,5ሻଶ
= 8 072 916,667 . ૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૛
=
࢈૛ . ሺࢎ૛ሻ૜
૚૛
+ A2 . ሺ࢟ഥ૛ − ࢟࢏ሻ૛
=
ହ଴ . ሺଵ଴଴ሻయ
ଵଶ
+ 5 000 . ሺ50 − 87,5ሻଶ
= 11 197 916,67 . ૚૙ି૚૛
m4
=> Iz = 19 270 833,33 . ૚૙ି૚૛
m4
Para o trecho AB:
Mmáx = - 3,75 kN.m

24. Adriano Alberto
24
Cálculo das tensões acima da L.N.:
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢙࢟
ࡵࢠ
=> ߪ௫ = -
൫ିଷ,଻ହ . ଵ଴య ൯ . ଺ଶ,ହ . ଵ଴షయ
ଵଽ ଶ଻଴ ଼ଷଷ,ଷଷ .ଵ଴షభమ
= 12 162 162,16 Pa
Cálculo das tensões abaixo da L.N.:
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟࢏
ࡵࢠ
=> ߪ௫ = -
൫ିଷ,଻ହ . ଵ଴య ൯ . ሺି ଼଻,ହሻ . ଵ଴షయ
ଵଽ ଶ଻଴ ଼ଷଷ,ଷଷ .ଵ଴షభమ = - 17 027 027,03 Pa
Para o trecho BC:
Mmáx = 30 . 10³ N.m
Cálculo das tensões acima da L.N.:
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢙࢟
ࡵࢠ
=> ߪ௫ = -
൫ଷ଴ . ଵ଴య ൯ . ଺ଶ,ହ . ଵ଴షయ
ଵଽ ଶ଻଴ ଼ଷଷ,ଷଷ .ଵ଴షభమ
= - 97 297 297,31 Pa
Cálculo das tensões abaixo da L.N.:
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟࢏
ࡵࢠ
=> ߪ௫ = -
൫ଷ଴ . ଵ଴య ൯ . ሺି ଼଻,ହሻ . ଵ଴షయ
ଵଽ ଶ଻଴ ଼ଷଷ,ଷଷ .ଵ଴షభమ = 136 216 216,2 Pa
Logo:
a) ൫࣌࢞,࢓á࢞൯ࢀ
= 136 216 216,2 Pa (no trecho BC, abaixo da L.N.)
b) ൫࣌࢞,࢓á࢞൯࡯
= - 97 297 297,31 Pa (no trecho BC, acima da L.N.)
13)

25. Adriano Alberto
25
Utilizando os cálculos da questão 13 da lista 1
RA – 7 . 2 – 7 – 14 . 2 + RD – 7 . 2 = 0 => RA + RD = 63 kN (I)
∑ ‫ܯ‬஺ = 0 => 25 – 7 . 2 . 1 – 7 . 2 – 14 . 2 . 3 – 11 + 7 . RD – 7 . 2 . 8 = 0
=> RD =
ଶଵ଴
଻
= 30 kN
Substituíndo em (I):
RA + 30 = 63 => RA = 33 kN
Para 2 ≤ x ൏ 4:
V(x) = 33 – 7 . 2 – 7 – 14(x – 2) => V(x) = - 14x + 40
Para V(x) = 0 => x = 2,857142857 m
Cálculo do momento fletor à partir da área do diagrama do esforço cortante:
(- 25) + (14 + 38) + (0,857142857 .
ଵଶ
ଶ
) – (1,142857143 .
ଵ଺
ଶ
) + (11) – (16 . 3) + (14) = 0 (OK)
Diagrama:

26. Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)
AT = 120 . 30 + 240 . 30 =
A1 = 120 . 30 = 3 600 mm²
A2 = 240 . 30 = 7 200 mm²
࢟ഥ૚ = 255 mm
࢟ഥ૛ = 120 mm
yi =
࡭૚ . ࢟ഥ૚ ା ࡭૛ . ࢟ഥ૛
࡭ࢀ
=
ଷ ଺଴଴ . ଶହହ
ଵ଴
ys = 270 - 165 = 105 mm
Cálculo do momento de inércia
Iz = ࡵࢠ૚
+ ࡵࢠ૛
ࡵࢠ૚
=
࢈૚ . ሺࢎ૚ሻ૜
૚૛
+ A1 . ሺ࢟ഥ૚ − ࢟࢏
ࡵࢠ૛
=
࢈૛ . ሺࢎ૛ሻ૜
૚૛
+ A2 . ሺ࢟ഥ૛ − ࢟࢏
=> Iz = 78 570 000 . ૚૙ି૚૛
m
Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)
= 10 800 mm²
ଶହହ ା ଻ ଶ଴଴ . ଵଶ଴
ଵ଴ ଼଴଴
= 165 mm
Cálculo do momento de inércia
࢏ሻ૛
=
ଵଶ଴ . ሺଷ଴ሻయ
ଵଶ
+ 3 600 . ሺ255 − 165ሻଶ
= 29 430 000
࢏ሻ૛
=
ଷ଴ . ሺଶସ଴ሻయ
ଵଶ
+ 7 200 . ሺ120 − 165ሻଶ
= 49 140 000
m4
Adriano Alberto
26
29 430 000 . ૚૙ି૚૛
m4
49 140 000 . ૚૙ି૚૛
m4

27. Adriano Alberto
27
Para o trecho AB:
Mmáx = - 25 . 10³ N.m
Cálculo das tensões acima da L.N.:
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢙࢟
ࡵࢠ
=> ߪ௫ = -
൫ିଶହ . ଵ଴య ൯ . ଵ଴ହ . ଵ଴షయ
଻଼ ହ଻଴ ଴଴଴ .ଵ଴షభమ
= 33 409 698,36 Pa
Cálculo das tensões abaixo da L.N.:
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟࢏
ࡵࢠ
=> ߪ௫ = -
൫ିଶହ . ଵ଴య ൯ . ሺି ଵ଺ହሻ . ଵ଴షయ
଻଼ ହ଻଴ ଴଴଴ .ଵ଴షభమ = - 52 500 954,56 Pa
Para o trecho CD:
Mmáx = 34 . 10³ N.m
Cálculo das tensões acima da L.N.:
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢙࢟
ࡵࢠ
=> ߪ௫ = -
൫ଷସ . ଵ଴య ൯ . ଵ଴ହ . ଵ଴షయ
଻଼ ହ଻଴ ଴଴଴ .ଵ଴షభమ
= - 45 437 189,77 Pa
Cálculo das tensões abaixo da L.N.:
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟࢏
ࡵࢠ
=> ߪ௫ = -
൫ଷସ . ଵ଴య ൯ . ሺି ଵ଺ହሻ . ଵ଴షయ
଻଼ ହ଻଴ ଴଴଴ .ଵ଴షభమ = 71 401 298,21 Pa
Logo:
a) ൫࣌࢞,࢓á࢞൯ࢀ
= 71 401 298,21 Pa (no trecho CD, abaixo da L.N.)
b) ൫࣌࢞,࢓á࢞൯࡯
= - 52 500 954,56 Pa (no trecho AB, abaixo da L.N.)

28. Adriano Alberto
28
PROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXÃO DE SEÇÃO HETEROGÊNEA
14) Duas barras de latão são unidas firmemente a duas barras de alumínio, formando a
seção composta mostrada. Determinar o maior momento fletor permissível, quando a viga
é encurvada em torno de um eixo horizontal.
Dados:
Ealum = 70 GPa ; Elat = 105 GPa ; ࣌ࢇࢊ࢓ሺࢇ࢒࢛࢓ሻ = 100 MPa ; ࣌ࢇࢊ࢓ሺ࢒ࢇ࢚ሻ = 160 MPa
Posição da L.N.:
yi =
ሺࡱ . ࡭ . ࢟ഥሻࢇ࢒࢛࢓ ା ሺࡱ . ࡭ . ࢟ഥሻ࢒ࢇ࢚
ሺࡱ . ࡭ሻࢇ࢒࢛࢓ ା ሺࡱ . ࡭ሻ࢒ࢇ࢚
=
=
଻଴ . ଵ଴వ . ଼଴଴ . ଵ଴షల . ଷ଴ . ଵ଴షయ ା ଵ଴ହ . ଵ଴వ . ସ଴଴ . ଵ଴షల . ହ . ଵ଴షయ ା ଵ଴ହ . ଵ଴వ . ସ଴଴ . ଵ଴షల . ହହ . ଵ଴షయ
଻଴ . ଵ଴వ . ଼଴଴ . ଵ଴షల ା ଵ଴ହ . ଵ଴వ . ଼଴଴ . ଵ଴షల
=> yi = 30 mm (OK)
Cálculo do momento de inércia
ࡵࢇ࢒࢛࢓ = 2 . ቂ
࢈૛ . ሺࢎ૛ሻ૜
૚૛
+ ‫ۯ‬૛ .ሺ࢟ഥ૛ − ࢟࢏ሻ૛ ቃ = 2 . ቂ
ଵ଴ . ሺସ଴ሻయ
ଵଶ
+ 400 . ሺ30 − 30ሻଶቃ =
૜૛૙ ૙૙૙
૜
. ૚૙ି૚૛ m4
ࡵ࢒ࢇ࢚ = 2 . ቂ
࢈૚ . ሺࢎ૚ሻ૜
૚૛
+ ‫ۯ‬૚ . ሺ࢟ഥ૚ − ࢟࢏ሻ૛ቃ = 2 . ቂ
ସ଴ . ሺଵ଴ሻయ
ଵଶ
+ 400 . ሺ55 − 30ሻଶቃ =
૚ ૞૛૙ ૙૙૙
૜
. ૚૙ି૚૛ m4
࣌࢞ሺࢇ࢒࢛࢓ሻ = -
ࡹࢠ . ሺࡱ . ࢟ሻࢇ࢒࢛࢓
ሺࡱ . ࡵሻࢇ࢒࢛࢓ ା ሺࡱ . ࡵሻ࢒ࢇ࢚
ߪ௔ௗ௠ሺ௔௟௨௠ሻ = ± 100 . 106
= -
ெ೥ . 70 . 109 . ሺ± 20ሻ . 10−3
70 . 109 .
యమబ బబబ
య
. 10−12 ା 105 . 109 .
భ ఱమబ బబబ
య
. 10−12
=> Mz =
૚૜ ૙૙૙
૜
N.m
࣌࢞ሺ࢒ࢇ࢚ሻ = -
ࡹࢠ . ሺࡱ . ࢟ሻ࢒ࢇ࢚
ሺࡱ . ࡵሻࢇ࢒࢛࢓ ା ሺࡱ . ࡵሻ࢒ࢇ࢚

29. Adriano Alberto
29
ߪ௔ௗ௠ሺ௟௔௧ሻ = ± 160 . 106
= -
ெ೥ . 105 . 109
. ሺ± 30ሻ . 10−3
70 . 109 .
యమబ బబబ
య
. 10−12
ା 105 . 109 .
భ ఱమబ బబబ
య
. 10−12
=>
=> Mz = 3 081,481481 N.m (resposta)
Obs: se as diferentes partes do latão e/ou do alumínio estivessem em posições diferentes
em relação à L.N, seria necessário calcular as tensões correspondentes em cada parte
(sendo que quanto mais distante o ponto estiver da L.N., maior será a tensão). No presente
problema, devido à simetria de ambos em relação à L.N, as tensões acima e abaixo da L.N.
são iguais em módulo (tração e compressão).
15) Uma barra de aço e uma de alumínio são unidas firmemente, para formar a viga
composta mostrada. O módulo de elasticidade para o alumínio é de 70 GPa e para o aço é
de 200 GPa. Sabendo-se que a viga é curvada em torno de um eixo horizontal por um
momento M = 1500 N.m, determinar a máxima tensão no: (a) alumínio; (b) aço.

30. Adriano Alberto
30
Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.

31. Adriano Alberto
31
Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.
15) a) 66,2 MPa T b) 112,4 MPa C
*** 16) Uma viga de concreto é reforçada por três barras de aço, colocadas como indicado.
Os módulos de elasticidade são de 20 GPa para o concreto e de 200 GPa para o aço.
Usando uma tensão admissível de 10 MPa para o concreto e de 150 MPa para o aço,
determinar o maior momento fletor que pode ser aplicado à viga.
Econc = 20 GPa ; Eaço = 200 GPa ; ࣌ࢇࢊ࢓ሺࢉ࢕࢔ࢉሻ = 10 MPa ; ࣌ࢇࢊ࢓ሺࢇç࢕ሻ = 150 MPa
Aaço = 3 . ࣊ . ሺ૙, ૙૚૛ሻ૛
m²
Aconc = 0,225 . 0,500 - 3 . ߨ . ሺ0,012ሻଶ
= 0,1125 - 3 . ࣊ . ሺ૙, ૙૚૛ሻ૛
m²

32. Adriano Alberto
32
Posição da L.N.:
yi =
ሺࡱ . ࡭ . ࢟ഥሻࢉ࢕࢔ࢉ ା ሺࡱ . ࡭ . ࢟ഥሻࢇç࢕
ሺࡱ . ࡭ሻࢉ࢕࢔ࢉ ା ሺࡱ . ࡭ሻࢇç࢕
=
=
ଶ଴ . ଵ଴వ . ቂ0,1125 − 3 . ߨ . ሺ0,012ሻ2
ቃ . ଶହ଴ . ଵ଴షయ ା ଶ଴଴ . ଵ଴వ . 3 . ߨ . ሺ0,012ሻ2
. ହ଴ . ଵ଴షయ
ଶ଴ . ଵ଴వ . ቂ0,1125 − 3 . ߨ . ሺ0,012ሻ2
ቃ ା ଶ଴଴ . ଵ଴వ . 3 . ߨ . ሺ0,012ሻ2
=> yi = 228,2356038 mm
ys = 500 - 228,2356038 = 271,7643962 mm
Cálculo do momento de inércia
Iaço = 3 . ቂ
࣊ . ࢘૝
૝
+ ‫ۯ‬‫܉‬ç‫ܗ‬ . ቀ࢟തࢇç࢕
− ࢟࢏
ቁ
૛
ቃ = 3.ቂ
గ . ሺଵଶሻర
ସ
+ ߨ . ሺ12ሻଶ
. ሺ50 − 228,2356038ሻଶ
ቃ =
= 43 163 277,54 . ૚૙ି૚૛
m4
۷૚ = ࢈૚ . ሺࢎ૚ሻ૜
૚૛
+ ‫ۯ‬૚ . ሺ࢟ഥ૚ − ࢟࢏ሻ૛
= ଶଶହ . ሺସ଴଴ሻయ
ଵଶ
+ 225 . 400 . ሺ300 − 228,2356038ሻଶ
= 1 663 511 571.૚૙ି૚૛
m4
I2 =
࢈૛ . ሺࢎ૛ሻ૜
૚૛
+ ‫ۯ‬૛ . ሺ࢟ഥ૛ − ࢟࢏ሻ૛
- Iaço =
ଶଶହ . ሺଵ଴଴ሻయ
ଵଶ
+ 100 . 225 . ሺ50 − 228,2356038ሻଶ
- 43 163 277,54
=> I2 = 690 365 157,9 . ૚૙ି૚૛
m4
Iconc = I1 + I2 = 2 353 876 729 . ૚૙ି૚૛
m4
࣌࢞ሺࢉ࢕࢔ࢉሻ = -
ࡹࢠ . ሺࡱ . ࢟ሻࢉ࢕࢔ࢉ
ሺࡱ . ࡵሻࢉ࢕࢔ࢉ ା ሺࡱ . ࡵሻࢇç࢕
ߪ௔ௗ௠ሺ௖௢௡௖ሻ = ± 10 . 106
= -
ெ೥ . ଶ଴ . ଵ଴వ . ଶ଻ଵ,଻଺ସଷଽ଺ଶ . ଵ଴షయ
ଶ଴ . ଵ଴వ . ଶ ଷହଷ ଼଻଺ ଻ଶଽ . ଵ଴షభమ ା ଶ଴଴ . ଵ଴వ . ସଷ ଵ଺ଷ ଶ଻଻,ହସ . ଵ଴షభమ
=>
=> Mz = ± 102 497,2198 N.m (resposta)
࣌࢞ሺࢇç࢕ሻ = -
ࡹࢠ . ሺࡱ . ࢟ሻࢇç࢕
ሺࡱ . ࡵሻࢉ࢕࢔ࢉ ା ሺࡱ . ࡵሻࢇç࢕

33. Adriano Alberto
33
ߪ௔ௗ௠ሺ௔ç௢ሻ = ± 150 . 106
= -
ெ೥ . ଶ଴଴ . ଵ଴వ . ሾି ሺଶଶ଼,ଶଷହ଺଴ଷ଼ିଷ଼ሻሿ. ଵ଴షయ
ଶ଴ . ଵ଴వ . ଶ ଷହଷ ଼଻଺ ଻ଶଽ . ଵ଴షభమ ା ଶ଴଴ . ଵ଴వ . ସଷ ଵ଺ଷ ଶ଻଻,ହସ . ଵ଴షభమ
=>
=> Mz = ± 219 636,2917 N.m (não serve)
Obs: a resposta da lista deu 79,1 kN.m, mas acredito que meus cálculos estão corretos.
Conferir com o método da homogeneização.
PROBLEMAS ENVOLVENDO CARGA EXCÊNTRICA
17) Duas forças de 10 kN são aplicadas a uma barra de seção retangular de 20 mm x 60
mm, como mostrado. Determinar a tensão no ponto A, quando: (a) b = 0; (b) b = 15 mm;
(c) b = 25 mm.
N = 10 + 10 = 20 kN
Posição da L.N.:
yi = ys = 0,03 m
࣌࢞ =
ࡺ
࡭
-
ࡹࢠ࢟
ࡵࢠ
ࡵࢠ =
ଶ଴ . ሺ଺଴ሻయ
ଵଶ
= 360 000 . ૚૙ି૚૛
m4
a)
b = 0
Mz = 10 000 . 0,025 = 250 N.m
ߪ௫ =
ଶ଴ ଴଴଴
଴,଴ଶ଴ . ଴,଴଺଴
-
ଶହ଴ . ଴,଴ଷ
ଷ଺଴ ଴଴଴ .ଵ଴షభమ = - 4 166 666,667 Pa
b)
b = 15 mm
Mz = 10 000 . 0,025 – 10 000 . 0,015 = 100 N.m

34. Adriano Alberto
34
ߪ௫ =
ଶ଴ ଴଴଴
଴,଴ଶ଴ . ଴,଴଺଴
-
ଵ଴଴ . ଴,଴ଷ
ଷ଺଴ ଴଴଴ .ଵ଴షభమ = 8 333 333,333 Pa
c)
b = 25 mm
Mz = 10 000 . 0,025 – 10 000 . 0,025 = 0
ߪ௫ =
ଶ଴ ଴଴଴
଴,଴ଶ଴ . ଴,଴଺଴
-
଴ . ଴,଴ଷ
ଷ଺଴ ଴଴଴ .ଵ଴షభమ = 16 666 666,67 Pa
18) Uma pequena coluna de 120 mm x 180 mm suporta três cargas axiais mostradas.
Sabendo-se que a seção ABD é suficientemente afastada das cargas, para que permaneça
plana, determinar a tensão no: (a) canto A; (b) canto B.
Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.
18) a) 926 kPa T b) 14,81 MPa C
19) Sabendo-se que a tensão admissível é 90 MPa, determinar a maior força P que pode
ser aplicada ao elemento de máquina mostrado.

35. Adriano Alberto
35
N = P = ?
࣌࢞ =
ࡼ
࡭
-
ࡹࢠ࢟
ࡵࢠ
Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)
yi =
࡭૚ . ࢟ഥ૚ ା ࡭૛ . ࢟ഥ૛
࡭ࢀ
=
ସସ . ଶ଴ . ଻଴ ା ଺଴ . ଵ଼ . ଷ଴
ସସ . ଶ଴ ା ଺଴ . ଵ଼
= 47,95918367 mm
ys = 80 - 47,95918367 = 32,04081633 mm
Cálculo do momento de inércia
Iz = ࡵࢠ૚
+ ࡵࢠ૛
ࡵࢠ૚
=
࢈૚ . ሺࢎ૚ሻ૜
૚૛
+ A1 . ሺ࢟ഥ૚ − ࢟࢏ሻ૛
=
ସସ . ሺଶ଴ሻయ
ଵଶ
+ 44 . 20 . ሺ70 − 47,95918367 ሻଶ
= 456 835,2077 . ૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૛
=
࢈૛ . ሺࢎ૛ሻ૜
૚૛
+ A2 . ሺ࢟ഥ૛ − ࢟࢏ሻ૛
=
ଵ଼ . ሺ଺଴ሻయ
ଵଶ
+ 18 . 60 . ሺ30 − 47,95918367 ሻଶ
= 672 334,8603 . ૚૙ି૚૛
m4
=> Iz = 1 129 170,068 . ૚૙ି૚૛
m4
Mz = ?
Considerando o eixo x passando pela L.N.:
Mz = P . (47,95918367 – 40)
90 . 106
=
௉
଴,଴ସସ . ଴,଴ଶ଴ ା ଴,଴଺଴ . ଴,଴ଵ଼
-
୔ . ൫ସ଻,ଽହଽଵ଼ଷ଺଻ – ସ଴൯ . ଵ଴షయ . ሺ ି ସ଻,ଽହଽଵ଼ଷ଺଻ሻ . ଵ଴షయ
ଵ ଵଶଽ ଵ଻଴,଴଺଼ .ଵ଴షభమ =>

36. Adriano Alberto
36
=> 90 . 106
=
௉
଴,଴଴ଵଽ଺
+ 338,0500089 . P => 176 400 = P + 0,662578017 . P =>
=> P = 106 100,2841 N
20) A força axial excêntrica P atua no ponto D, que está localizado a 30 mm abaixo da
borda superior da barra de aço mostrada. Para P = 90 kN, determinar: (a) a largura d da
barra para que a tensão no ponto A seja máxima; (b) o correspondente valor da tensão no
ponto A.
N = P = 90 kN
Posição da L.N.:
yi = ys =
ࢊ
૛
࣌࢞ =
ࡺ
࡭
-
ࡹࢠ࢟
ࡵࢠ
ࡵࢠ =
଴,଴ହ଴ . ሺௗሻయ
ଵଶ
a)
Mz = - 90 000 . ቀ
ௗ
ଶ
− 0,030ቁ
ߪ௫ =
ଽ଴ ଴଴଴
଴,଴ହ଴ . ௗ
-
ି ଽ଴ ଴଴଴ . ቀ
೏
మ
– ଴,଴ଷ଴ቁ .
೏
మ
బ,బఱబ . ሺ೏ሻయ
భమ
ଽ଴ ଴଴଴
଴,଴ହ଴ . ௗ
=
ଽ଴ ଴଴଴ . ቀ
೏
మ
– ଴,଴ଷ଴ቁ .
೏
మ
బ,బఱబ . ሺ೏ሻయ
భమ
=> 1 =
ቀ
೏
మ
– ଴,଴ଷ଴ቁ .
೏
మ
ሺ೏ሻమ
భమ
= ቀ
ௗ
ଶ
– 0,030ቁ .
଺
ௗ
=>
=> 1 = 3 –
଴,ଵ଼
ௗ
=>
଴,ଵ଼
ௗ
= 2 => d = 0,09 m = 90 mm
b)
ߪ௫ =
ଽ଴ ଴଴଴
଴,଴ହ଴ . ଴,଴ଽ
-
ି ଽ଴ ଴଴଴ . ቀ
బ,బవ
మ
– ଴,଴ଷ଴ቁ .
బ,బవ
మ
బ,బఱబ . ሺబ,బవሻయ
భమ
= 40 MPa

37. PROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXÃO ASSIMÉTRICA
21) e 22) A viga com uma seção transversal mostrada está submetida a um momento fletor
M aplicado no plano a – a. Determine: (a) a inte
orientação do eixo neutro, mostre o
21) M = 1.200 N.m
tgߠ =
ଷ
ସ
=> ࣂ = arctg(0,75)
My = - 1 200 . sen[arctg(0,75)]
Mz = 1 200 . cos[arctg(0,75)]
Iz = 2 . ቂ
ଵଶ଴ . ሺଷ଴ሻయ
ଵଶ
+ 120 . 30
Iy = 2 . ቂ
ଷ଴ . ሺଵଶ଴ሻయ
ଵଶ
ቃ +
ଵଶ଴ . ሺଷ଴
ଵଶ
tgࢼ =
ࡹ࢟ . ࡵࢠ
ࡹࢠ . ࡵ࢟
=
ି ଵ ଶ଴଴ . ୱୣ୬ሾୟ୰ୡ୲୥
ଵ ଶ଴଴ . ୡ୭ୱሾୟ୰ୡ୲୥
tgࢼ =
ࡵࢠ
ࡵ࢟
. tgࣂ
A e B são os pontos mais distantes da L.N.
PROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXÃO ASSIMÉTRICA
21) e 22) A viga com uma seção transversal mostrada está submetida a um momento fletor
. Determine: (a) a intensidade da máxima tensão de flexão; (b) a
orientação do eixo neutro, mostre o resultado num esboço.
arctg(0,75)]
[arctg(0,75)]
30 . ሺ165 − 90 ሻଶ
ቃ +
ଷ଴ . ሺଵଶ଴ሻయ
ଵଶ
= 45 360 000 . ૚૙
ଷ଴ሻయ
= 8 910 000 . ૚૙ି૚૛
m4
ୟ୰ୡ୲୥ሺ଴,଻ହሻሿ . ସହ ଷ଺଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ
ୟ୰ୡ୲୥ሺ଴,଻ହሻሿ . ଼ ଽଵ଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ
=> ࢼ = - 75,32360686
A e B são os pontos mais distantes da L.N.
Adriano Alberto
37
PROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXÃO ASSIMÉTRICA
21) e 22) A viga com uma seção transversal mostrada está submetida a um momento fletor
nsidade da máxima tensão de flexão; (b) a
૚૙ି૚૛
m4
°

38. Adriano Alberto
38
Para o ponto A:
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟
ࡵࢠ
+
ࡹ࢟ . ࢠ
ࡵ࢟
= -
ଵ ଶ଴଴ . ୡ୭ୱሾୟ୰ୡ୲୥ሺ଴,଻ହሻሿ . ଴,଴ଽ଴
ସହ ଷ଺଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ +
ି ଵ ଶ଴଴ . ୱୣ୬ሾୟ୰ୡ୲୥ሺ଴,଻ହሻሿ . ଴,଴଺଴
଼ ଽଵ଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ =
= - 6 753 246,753 Pa
Para o ponto B:
ߪ௫ = -
ଵ ଶ଴଴ . ୡ୭ୱሾୟ୰ୡ୲୥ሺ଴,଻ହሻሿ . ሺି ଴,଴ଽ଴ሻ
ସହ ଷ଺଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ +
ି ଵ ଶ଴଴ . ୱୣ୬ሾୟ୰ୡ୲୥ሺ଴,଻ହሻሿ . ሺି ଴,଴଺଴ሻ
଼ ଽଵ଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ =
= 6 753 246,753 Pa
22) M = 20 kN.m
My = 20 000 . sen(10°)
Mz = 20 000 . cos(10°)
Iz =
ଽ଴ . ሺ଺଴ሻయ
ଵଶ
+ 90 . 60 . ሺ210 − 150 ሻଶ +
ଷ଴ . ሺଵ଼଴ሻయ
ଵଶ
+ 180 . 30 . ሺ90 − 150 ሻଶ = 55 080 000 . ૚૙ି૚૛
m4
Iy =
଺଴ . ሺଽ଴ሻయ
ଵଶ
+
ଵ଼଴ . ሺଷ଴ሻయ
ଵଶ
= 4 050 000 . ૚૙ି૚૛
m4
tgࢼ =
ࡹ࢟ . ࡵࢠ
ࡹࢠ . ࡵ࢟
=
ଶ଴ ଴଴଴ . ୱୣ୬ሺଵ଴°ሻ . 55 080 000 .10−12
ଶ଴ ଴଴଴ . ୡ୭ୱሺଵ଴°ሻ . ସ ଴ହ଴ ଴଴଴ .ଵ଴షభమ
=> ࢼ = 67,36356998 °
tgࢼ =
ࡵࢠ
ࡵ࢟
. tgࢻ

39. Adriano Alberto
39
A e B são os pontos mais distantes da L.N.
Para o ponto A:
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟
ࡵࢠ
+
ࡹ࢟ . ࢠ
ࡵ࢟
= -
ଶ଴ ଴଴଴ . ୡ୭ୱሺଵ଴°ሻ . ଴,଴ଽ଴
55 080 000 .10−12 +
ଶ଴ ଴଴଴ . ୱୣ୬ሺଵ଴°ሻ . ሺି଴,଴ସହሻ
ସ ଴ହ଴ ଴଴଴ .ଵ଴షభమ =
= - 70 771 743,83 Pa (resposta)
Para o ponto B:
ߪ௫ = -
ଶ଴ ଴଴଴ . ୡ୭ୱሺଵ଴°ሻ . ሺି ଴,ଵହ଴ሻ
55 080 000 .10−12 +
ଶ଴ ଴଴଴ . ୱୣ୬ሺଵ଴°ሻ . ଴,଴ଵହ
ସ ଴ହ଴ ଴଴଴ .ଵ଴షభమ = 66 501 594,48 Pa
*** 23) Uma cantoneira de 200 x 200 x 24 mm é usada numa viga que suporta um
momento fletor de + 10.000 N.m aplicado no plano yx. Os momentos de inércia obtidos em
um manual de aço estrutural são Iz = Iy = 33,3 x 106
mm4
, e Iyz = + 19,5 x 106
mm4
.
Determine: (a) a tensão de flexão no ponto A; (b) a máxima tensão de flexão e sua
localização na seção transversal; (c) a orientação do eixo neutro, mostre a localização num
esboço.

40. Adriano Alberto
40࣌࢞ = ࡹࢠ . ቈ
ି ࡵ࢟ . ࢟ ା ࡵ࢟ࢠ . ࢠ
ࡵ࢟ . ࡵࢠ ି ൫ ࡵ࢟ࢠ ൯
૛
቉ + ࡹ࢟ . ቈ
ࡵࢠ . ࢠ ି ࡵ࢟ࢠ . ࢟
ࡵ࢟ . ࡵࢠ ି ൫ ࡵ࢟ࢠ ൯
૛
቉
Ou
࣌࢞ = - ቈ
ࡹࢠ . ࡵ࢟ ା ࡹ࢟ . ࡵ࢟ࢠ
ࡵ࢟ . ࡵࢠ ି ൫ ࡵ࢟ࢠ ൯
૛
቉ . y + ቈ
ࡹ࢟ . ࡵࢠ ା ࡹࢠ . ࡵ࢟ࢠ
ࡵ࢟ . ࡵࢠ ି ൫ ࡵ࢟ࢠ ൯
૛
቉ . z
ࡵ࢟ࢠ = ࡭ . y . z
tgࢼ =
ࡹ࢟ . ࡵࢠ ା ࡹࢠ . ࡵ࢟ࢠ
ࡹࢠ . ࡵ࢟ ା ࡹ࢟ . ࡵ࢟ࢠ
a)
My = 0 ; Mz = 10 000 N.m
࣌࢞ = - ቈ
ࡹࢠ . ࡵ࢟
ࡵ࢟ . ࡵࢠ ି ൫ ࡵ࢟ࢠ ൯
૛
቉ . y + ቈ
ࡹࢠ . ࡵ࢟ࢠ
ࡵ࢟ . ࡵࢠ ି ൫ ࡵ࢟ࢠ ൯
૛
቉ . z
ou
࣌࢞ = ࡹࢠ . ቈ
ି ࡵ࢟ . ࢟ ା ࡵ࢟ࢠ . ࢠ
ࡵ࢟ . ࡵࢠ ି ൫ ࡵ࢟ࢠ ൯
૛
቉ = 10 000 . ቂ
– ଷଷ,ଷ . ଵ଴ల . ଵ଴షభమ. ହ଼,ସ . ଵ଴షయ ା ଵଽ,ହ . ଵ଴ల . ଵ଴షభమ. ሺି ହ଼,ସ . ଵ଴షయሻ
ଷଷ,ଷ . ଵ଴ల . ଵ଴షభమ . ଷଷ,ଷ . ଵ଴ల . ଵ଴షభమ ି ሺଵଽ,ହ . ଵ଴ల . ଵ଴షభమሻమ
ቃ =
= - 42 318 840,58 Pa
c)
tgࢼ =
ࡵ࢟ࢠ
ࡵ࢟
=
19,5 . 106 . 10−12
33,3 . 106 . 10−12 => ࢼ = 30,35262473°

41. Adriano Alberto
41
b) A maior distância à L.N. é em relação ao ponto B, onde ocorre a maior tensão.
࣌࢞ = 10 000 . ቂ
– ଷଷ,ଷ . ଵ଴ల . ଵ଴షభమ . ሺି ଵସଵ,଺ሻ . ଵ଴షయ ା ଵଽ,ହ . ଵ଴ల . ଵ଴షభమ. ሺିହ଼,ସሻ . ଵ଴షయሻ
ଷଷ,ଷ . ଵ଴ల . ଵ଴షభమ . ଷଷ,ଷ . ଵ଴ల . ଵ଴షభమ ି ሺଵଽ,ହ . ଵ଴ల . ଵ଴షభమሻమ
ቃ = 49 084 321,48 Pa
Acredito que a resposta da lista esteja errada:
23) a) 42,3 MPa T b) 55,8 MPa C
c) 75,4 a partir do eixo z
24) Uma viga com uma seção cantoneira está carregada com um momento fletor de + 20
kN.m aplicado num plano yx. Determine: (a) a tensão de flexão no ponto A; (b) a
orientação do eixo neutro, mostre a localização num esboço.
Iz =
଺଴ . ሺଵ଼଴ሻయ
ଵଶ
+ 180 . 60 . ሺ90 − 75 ሻଶ
+
଺଴ . ሺ଺଴ሻయ
ଵଶ
+ 60 . 60 . ሺ30 − 75 ሻଶ
= 39 960 000 . ૚૙ି૚૛
m4
Iy = ଵ଼଴ . ሺ଺଴ሻయ
ଵଶ
+ 180 . 60 . ሺ30 − 45 ሻଶ +
଺଴ . ሺ଺଴ሻయ
ଵଶ
+ 60 . 60 . ሺ90 − 45 ሻଶ = 14 040 000 . ૚૙ି૚૛
m4
ࡵ࢟ࢠ = ࡭ . y . z
‫ܫ‬௬௭ = 60 . 180 . 15 . 15 + 60 . 60 . 45 . 45 = 9 720 000 . ૚૙ି૚૛
m4
My = 0 ; Mz = 20 000 N.m

42. Adriano Alberto
42
a)
࣌࢞ = ࡹࢠ . ቈ
ି ࡵ࢟ . ࢟ ା ࡵ࢟ࢠ . ࢠ
ࡵ࢟ . ࡵࢠ ି ൫ ࡵ࢟ࢠ ൯
૛
቉ = 20 000 . ቂ
– ଵସ,଴ସ . ଵ଴ల . ଵ଴షభమ. ሺିଵ଴ହሻ . ଵ଴షయ ା ଽ,଻ଶ . ଵ଴ల . ଵ଴షభమ. ଵହ . ଵ଴షయ
ଵସ,଴ସ . ଵ଴ల . ଵ଴షభమ . ଷଽ,ଽ଺ . ଵ଴ల . ଵ଴షభమ – ሺଽ,଻ଶ . ଵ଴ల . ଵ଴షభమሻమ
ቃ =
= 69 444 444,44 Pa
b)
tgࢼ =
ࡵ࢟ࢠ
ࡵ࢟
=
9,72 . 106
. 10−12
14,04 . 106 . 10−12 => ࢼ = 34,69515353°
25), 26) e 27) O momento M é aplicado a uma viga de seção transversal mostrada, em um
plano formando um ângulo β com a vertical. Determinar: (a) a tensão no ponto A; (b) o
ângulo que a linha neutra forma com o plano horizontal.
25)
My = 2 800 . sen(20°)
Mz = 2 800 . cos(20°)
Iz =
ଵ଴଴ . ሺଶ଴଴ሻయ
ଵଶ
=
૛૙૙ ૙૙૙ ૙૙૙
૜
. ૚૙ି૚૛
m4
Iy =
ଶ଴଴ . ሺଵ଴଴ሻయ
ଵଶ
=
૞૙ ૙૙૙ ૙૙૙
૜
. ૚૙ି૚૛
m4
a)
Para o ponto A:

43. Adriano Alberto
43
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟
ࡵࢠ
+
ࡹ࢟ . ࢠ
ࡵ࢟
= -
ଶ ଼଴଴ . ୡ୭ୱሺଶ଴°ሻ . ଴,ଵ଴଴
మబబ బబబ బబబ
య
. ଵ଴షభమ
+
ଶ ଼଴଴ . ୱୣ୬ሺଶ଴°ሻ . ଴,଴ହ଴
ఱబ బబబ బబబ
య
. ଵ଴షభమ
= - 1 073 739,803 Pa
Para o ponto B:
ߪ௫ = -
ଶ ଼଴଴ . ୡ୭ୱሺଶ଴°ሻ . ሺି ଴,ଵ଴଴ሻ
మబబ బబబ బబబ
య
. ଵ଴షభమ
+
ଶ ଼଴଴ . ୱୣ୬ሺଶ଴°ሻ . ଴,଴ହ଴
ఱబ బబబ బబబ
య
. ଵ଴షభమ
= 6 819 678,211 Pa
b)
tgࢽ =
ࡵࢠ
ࡵ࢟
. tgࢻ =
మబబ బబబ బబబ
య
. ଵ଴షభమ
ఱబ బబబ బబబ
య
. ଵ଴షభమ
. tgሺ20°ሻ => ࢽ = 75,96375653°
26)
My = 10 000 . sen(55°)
Mz = - 10 000 . cos(55°)
Iz = 2 . ቂ
160 . ሺ10ሻ3
12
+ 160 . 10 . ሺ175 − 90 ሻ2
ቃ +
10 . ሺ160ሻ3
12
= 26 560 000 . ૚૙ି૚૛
m4

44. Adriano Alberto
44
Iy = 2 . ቂ
10 . ሺ160ሻ3
12
ቃ +
160 . ሺ10ሻ3
12
= 6 840 000 . ૚૙ି૚૛
m4
a)
Para o ponto A:
ߪ௫ = -
ି ଵ଴ ଴଴଴ . ୡ୭ୱሺହହ°ሻ . ଴,଴ଽ଴
ଶ଺ ହ଺଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ +
ଵ଴ ଴଴଴ . ୱୣ୬ሺହହ°ሻ . ଴,଴଼଴
଺ ଼ସ଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ = 115 243 205,2 Pa
Para o ponto B:
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟
ࡵࢠ
+
ࡹ࢟ . ࢠ
ࡵ࢟
= -
ି ଵ଴ ଴଴଴ . ୡ୭ୱሺହହ°ሻ . ଴,଴ଽ଴
ଶ଺ ହ଺଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ +
ଵ଴ ଴଴଴ . ୱୣ୬ሺହହ°ሻ . ሺି ଴,଴଼଴ሻ
଺ ଼ସ଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ = - 76 371 308,12 Pa
b)
tgࢽ =
ࡵࢠ
ࡵ࢟
. tgࢻ =
ଶ଺ ହ଺଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ
଺ ଼ସ଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ
. tgሺ55°ሻ => ࢽ = 79,77801655°
27)
My = 25 000 . sen(15°)
Mz = 25 000 . cos(15°)
Iz = ଽ଴ . ሺ଼଴ሻయ
ଵଶ
+ 90 . 80 . ሺ120 − 100 ሻଶ
+
ଷ଴ . ሺ଼଴ሻయ
ଵଶ
+ 30 . 80 . ሺ40 − 100 ሻଶ
= 16 640 000 . ૚૙ି૚૛
m4

45. Adriano Alberto
45
Iy = ଼଴ . ሺଽ଴ሻయ
ଵଶ
+
଼଴ . ሺଷ଴ሻయ
ଵଶ
= 5 040 000 . ૚૙ି૚૛
m4
a)
Para o ponto A:
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟
ࡵࢠ
+
ࡹ࢟ . ࢠ
ࡵ࢟
= -
ଶହ ଴଴଴ . ୡ୭ୱሺଵହ°ሻ . ଴,଴଺଴
ଵ଺ ଺ସ଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ +
ଶହ ଴଴଴ . ୱୣ୬ሺଵହ°ሻ . ଴,଴ସହ
ହ ଴ସ଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ = - 29 300 532,31 Pa
Para o ponto B:
ߪ௫ = -
ଶହ ଴଴଴ . ୡ୭ୱሺଵହ°ሻ . ଴,଴଺଴
ଵ଺ ଺ସ଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ +
ଶହ ଴଴଴ . ୱୣ୬ሺଵହ°ሻ . ሺି ଴,଴ସହሻ
ହ ଴ସ଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ = - 144 844 748,9 Pa
b)
tgࢽ =
ࡵࢠ
ࡵ࢟
. tgࢻ =
ଵ଺ ଺ସ଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ
ହ ଴ସ଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ
. tgሺ15°ሻ => ࢽ = 41,49782689°
*** 28) Uma carga axial P é aplicada como mostrado a curto perfil estrutural em forma de
T. Determinar: (a) a maior distância a para que a tensão máxima de compressão não
exceda a 120 MPa; (b) o ponto correspondente onde a linha neutra intercepta a linha AB.
Dados: A = 4450 mm2
, Iy = 9,16 x 106
mm4
, Iz = 6,00 x 106
mm4
ࡹ࢟ = 135 000 . a
‫ܯ‬௭= 135 000 . 0,024 = 3 240 N.m

46. Adriano Alberto
46
a)
࣌࢞ =
ࡺ
࡭
-
ࡹࢠ . ࢟
ࡵࢠ
+
ࡹ࢟ . ࢠ
ࡵ࢟
- 120 . 106
=
ି ଵଷହ ଴଴଴
ସ ସହ଴ . ଵ଴షల -
ଷ ଶସ଴ . ଴,଴ଶ଻
଺ . ଵ଴ల . ଵ଴షభమ
+
ଵଷହ ଴଴଴ . ௔ . ሺି ଴,ଵ଴ଶሻ
ଽ,ଵ଺ . ଵ଴ల . ଵ଴షభమ =>
=> - 75 082 921,35 = - 1 503 275 109 . a => a = 49,946228 mm
b)
‫ܯ‬௬ = 135 000 . 0,049946228 = 6 742,740781 N.m
tgࢼ =
ࡹ࢟ . ࡵࢠ
ࡹࢠ . ࡵ࢟
=
଺ ଻ସଶ,଻ସ଴଻଼ଵ . ଺ . ଵ଴ల . ଵ଴షభమ
ଷ ଶସ଴ . ଽ,ଵ଺ . ଵ଴ల . ଵ଴షభమ
=> ࢼ = 53,73664016°
tg(53,73664016°) =
ଶ଻ ௠௠
௭
=> z = 19,80690113 mm
PROBLEMAS ENVOLVENDO CISALHAMENTO NA FLEXÃO
Nas questões abaixo, de acordo com as respostas da lista, não são calculadas as
tensões máximas. Para isso, seria necessário calcular também as tensões
longitudinais e, a partir do estado de tensão resultante, calcular as tensões
máximas, que podem ou não coincidir com os resultados das questões abaixo.
29) O cortante vertical em certa seção de uma viga cuja forma é mostrada na figura é 18
kN. Determinar: (a) a tensão tangencial horizontal máxima, e indique onde ela ocorre
dentro da seção transversal; (b) a tensão tangencial vertical 80 mm abaixo do topo.

47. Adriano Alberto
47
Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.

48. Adriano Alberto
48
Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.
a) 822 kPa no eixo neutro b) 707 kPa
30) Uma viga com 6 m de comprimento está simplesmente apoiada em suas extremidades e
tem uma seção transversal como mostrado. A viga suporta uma carga uniformemente
distribuída de 5 kN/m em todo o seu comprimento. Determine: (a) a tensão transversal
vertical em um ponto 0,5 m a partir do extremo direito e 100 mm abaixo da superfície do
topo da viga; (b) as tensões tangenciais máximas horizontal e vertical, e mostre onde cada
uma ocorre.
RA + RB = 30 kN
RA = RB = 15 kN
V(x) = - 5x + 15

49. Adriano Alberto
49
Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)
AT = 60 . 200 + 60 . 160 + 60 . 200 = 33 600 mm²
A1 = 60 . 200 = 12 000 mm²
A2 = 60 . 160 = 9 600 mm²
A3 = 60 . 200 = 12 000 mm²
࢟ഥ૚ = 100 mm
࢟ഥ૛ = 30 mm
࢟ഥ૜ = 100 mm
yi =
࡭૚ . ࢟ഥ૚ ା ࡭૛ . ࢟ഥ૛ ା ࡭૜ . ࢟ഥ૜
࡭ࢀ
=
ଵଶ ଴଴଴ . ଵ଴଴ ା ଽ ଺଴଴ . ଷ଴ ା ଵଶ ଴଴଴ . ଵ଴଴
ଷଷ ଺଴଴
= 80 mm
ys = 200 - 80 = 120 mm
Cálculo do momento de inércia
Iz = ࡵࢠ૚
+ ࡵࢠ૛
+ ࡵࢠ૜
ࡵࢠ૚
=
࢈૚ . ሺࢎ૚ሻ૜
૚૛
+ A1 . ሺ࢟ഥ૚ − ࢟࢏ሻ૛
=
଺଴ . ሺଶ଴଴ሻయ
ଵଶ
+ 12 000 . ሺ100 − 80ሻଶ
= 44 800 000 . ૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૛
=
࢈૛ . ሺࢎ૛ሻ૜
૚૛
+ A2 . ሺ࢟ഥ૛ − ࢟࢏ሻ૛
=
ଵ଺଴ . ሺ଺଴ሻయ
ଵଶ
+ 9 600 . ሺ30 − 80ሻଶ
= 26 880 000 . ૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૜
=
࢈૜ . ሺࢎ૜ሻ૜
૚૛
+ A3 . ሺ࢟ഥ૜ − ࢟࢏ሻ૛
=
଺଴ . ሺଶ଴଴ሻయ
ଵଶ
+ 12 000 . ሺ100 − 80ሻଶ
= 44 800 000 . ૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૚
= ࡵࢠ૜
=> Iz = 116 480 000 . ૚૙ି૚૛
m4
a)
x = 6 – 0,5 = 5,5 m
V(5,5) = - 5 . 5,5 + 15 = - 12,5 kN

50. Adriano Alberto
50
࣎࢞࢟ = -
ࢂ . ࡽ
ࡵ . ࢈
Q = Q1 + Q2
Q1 = Q2 => Q = 2 . Q2
Q1 = A1 . |࢟ഥ૚ − ࢟࢏|
Q2 = A2 . |࢟ഥ૛ − ࢟࢏| = 60 . 100 . |150 − 80| = 420 000 . ૚૙ିૢ
m³
Q = 840 000 . ૚૙ିૢ
m³
b = 2 . 60 = 120 mm = 0,120 m
߬௫௬ = -
൫ିଵଶ,ହ . ଵ଴య൯ . ଼ସ଴ ଴଴଴ . ଵ଴షవ
ଵଵ଺ ସ଼଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ . ଴,ଵଶ଴
= 751 201,9231 Pa
b)
࣎࢞࢟ = -
ࢂ . ࡽ
ࡵ . ࢈
V = ± 15 kN

51. Adriano Alberto
51
Acima da L.N.:
Q = Q1 + Q2
Q1 = Q2 => Q = 2 . Q2
Q1 = A1 . |࢟ഥ૚ − ࢟࢏|
Q2 = A2 . |࢟ഥ૛ − ࢟࢏| = 60 . 120 . |140 − 80| = 432 000 . ૚૙ିૢ
m³
Q = 864 000 . ૚૙ିૢ
m³
b = 2 . 60 = 120 mm = 0,120 m
߬௫௬ = -
൫± ଵହ . ଵ଴య൯ . ଼଺ସ ଴଴଴ . ଵ଴షవ
ଵଵ଺ ସ଼଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ . ଴,ଵଶ଴
= ± 927 197,8022 Pa
Abaixo da L.N.:
Q = Q1 + Q2 + Q3
Q1 = A1 . |࢟ഥ૚ − ࢟࢏| = 80 . 60 . |40 − 80| = 192 000 . ૚૙ିૢ
m³
Q2 = A2 . |࢟ഥ૛ − ࢟࢏| = 160 . 60 . |30 − 80| = 480 000 . ૚૙ିૢ
m³
Q3 = A3 . |࢟ഥ૜ − ࢟࢏| = 80 . 60 . |40 − 80| = 192 000 . ૚૙ିૢ
m³
Q1 = Q3
Q = 864 000 . ૚૙ିૢ
m³
b = 2 . 60 = 120 mm = 0,120 m
߬௫௬ = -
൫± ଵହ . ଵ଴య൯ . ଼଺ସ ଴଴଴ . ଵ଴షవ
ଵଵ଺ ସ଼଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ . ଴,ଵଶ଴
= ± 927 197,8022 Pa
30) a) 751 kPa
b) 927 kPa na superfície neutra dos apoios
*** 31) Uma viga com 4 m de comprimento tem a seção transversal mostrada na figura.
Ela é simplesmente apoiada nos extremos e suporta uma carga uniformemente distribuída
de 4 kN/m sobre todo seu comprimento. Em um ponto a 500 mm da extremidade esquerda
e 40 mm abaixo da superfície neutra, determine: (a) a tensão longitudinal (b) a tensão
tangencial horizontal; (c) a tensão tangencial vertical.

52. Adriano Alberto
52
RA + RB = 16 kN
RA = RB = 8 kN
V(x) = - 4x + 8
x = 0,5 m
V(0,5) = - 4 . 0,5 + 8 = 6 kN
M(x) = - 2x² + 8x + C
M(0) = 0 = - 2 . 0 + 8 . 0 + C => C = 0 => M(x) = - 2x² + 8x
M(0,5) = - 2(0,5)² + 8 . 0,5 = 3,5 kN.m
Posição da Linha Neutra (L.N.)
yi = 100 mm
Cálculo do momento de inércia
A1 = 40 . 180 = 7 200 mm²
A2 = 40 . 120 = 4 800 mm²
A3 = 40 . 180 = 7 200 mm²
࢟ഥ૚ = 180 mm
࢟ഥ૛ = 100 mm
࢟ഥ૜ = 20 mm

53. Adriano Alberto
53
Iz = ࡵࢠ૚
+ ࡵࢠ૛
+ ࡵࢠ૜
ࡵࢠ૚
=
࢈૚ . ሺࢎ૚ሻ૜
૚૛
+ A1 . ሺ࢟ഥ૚ − ࢟࢏ሻ૛
=
ଵ଼଴ . ሺସ଴ሻయ
ଵଶ
+ 7 200 . ሺ180 − 100ሻଶ
= 47 040 000 . ૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૛
=
࢈૛ . ሺࢎ૛ሻ૜
૚૛
+ A2 . ሺ࢟ഥ૛ − ࢟࢏ሻ૛
=
ସ଴ . ሺଵଶ଴ሻయ
ଵଶ
+ 4 800 . ሺ100 − 100ሻଶ
= 5 760 000 . ૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૜
=
࢈૜ . ሺࢎ૜ሻ૜
૚૛
+ A3 . ሺ࢟ഥ૜ − ࢟࢏ሻ૛
=
ଵ଼଴ . ሺସ଴ሻయ
ଵଶ
+ 7 200 . ሺ20 − 100ሻଶ
= 47 040 000 . ૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૚
= ࡵࢠ૜
=> Iz = 99 840 000 . ૚૙ି૚૛
m4
a)
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟࢏
ࡵࢠ
=> ߪ௫ = -
൫ଷ,ହ . ଵ଴య ൯ . ሺି ସ଴ሻ . ଵ଴షయ
ଽଽ ଼ସ଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ = 1 402 243,59 Pa
b)
Cálculo abaixo da L.N. para a área abaixo de y = 40 mm
࣎࢞࢟ = -
ࢂ . ࡽ
ࡵ . ࢈
Q = Q1 + Q2
Q1 = A1 . |࢟ഥ૚ − ࢟࢏| = 20 . 40 . |50 − 100| = 40 000 . ૚૙ିૢ
m³
Q2 = A2 . |࢟ഥ૛ − ࢟࢏| = 180 . 40 . |20 − 100| = 576 000 . ૚૙ିૢ
m³
Q = 616 000 . ૚૙ିૢ
m³

54. b = 40 mm = 0,040 m
߬௫௬ = -
൫଺ . ଵ଴య൯ . ଺ଵ଺ ଴଴଴ . ଵ଴షవ
ଽଽ ଼ସ଴ ଴଴଴ . ଵ଴షభమ . ଴,଴ସ଴
c) ࣎࢞࢟ = 925 480,7692 Pa ???????
Qual a diferença entre tensão tangencial horizontal e tensão tangencial vertical?
31) a) 1,402 MPa T b) 0,925 MPa c) 0,925 MPa
32) Para a viga mostrada, a reação esque
tensão longitudinal máxima da viga; (b) a tensão tangencial horizontal máxima.
RA = 5,36 kN
5,36 + RC = 12 kN => RC = 6,64 kN
∑ ‫ܯ‬஺ = 0 => - 6 – 6 . 1,5 + 3 .
Diagrama:
వ
଴ସ଴
= - 925 480,7692 Pa
???????
Qual a diferença entre tensão tangencial horizontal e tensão tangencial vertical?
31) a) 1,402 MPa T b) 0,925 MPa c) 0,925 MPa
32) Para a viga mostrada, a reação esquerda é de 5,36 kN para cima. Determine: (a) a
máxima da viga; (b) a tensão tangencial horizontal máxima.
= 6,64 kN
3 . 6,64 + M = 0 => M = - 4,92 kN.m
Adriano Alberto
54
Qual a diferença entre tensão tangencial horizontal e tensão tangencial vertical?
kN para cima. Determine: (a) a
máxima da viga; (b) a tensão tangencial horizontal máxima.

55. Adriano Alberto
55
Posição da Linha Neutra (L.N.)
yi = 100 mm
Cálculo do momento de inércia
A1 = 50 . 100 = 5 000 mm²
A2 = 50 . 100 = 5 000 mm²
A3 = 50 . 100 = 5 000 mm²
࢟ഥ૚ = 175 mm
࢟ഥ૛ = 100 mm
࢟ഥ૜ = 25 mm
Iz = ࡵࢠ૚
+ ࡵࢠ૛
+ ࡵࢠ૜
ࡵࢠ૚
=
࢈૚ . ሺࢎ૚ሻ૜
૚૛
+ A1 . ሺ࢟ഥ૚ − ࢟࢏ሻ૛
=
ଵ଴଴ . ሺହ଴ሻయ
ଵଶ
+ 5 000 . ሺ175 − 100ሻଶ
= 29 166 666,67 . ૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૛
=
࢈૛ . ሺࢎ૛ሻ૜
૚૛
+ A2 . ሺ࢟ഥ૛ − ࢟࢏ሻ૛
=
ହ଴ . ሺଵ଴଴ሻయ
ଵଶ
+ 5 000 . ሺ100 − 100ሻଶ
= 4 166 666,667 . ૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૜
=
࢈૜ . ሺࢎ૜ሻ૜
૚૛
+ A3 . ሺ࢟ഥ૜ − ࢟࢏ሻ૛
=
ଵ଴଴ . ሺହ଴ሻయ
ଵଶ
+ 5 000 . ሺ25 − 100ሻଶ
= 29 166 666,67 . ૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૚
= ࡵࢠ૜
=> Iz = 62 500 000,01 . ૚૙ି૚૛
m4
a)
yi = ys
Para o trecho 0≤ x <1:
Mmáx = 4,36 kN.m
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟࢏
ࡵࢠ
=> ߪ௫ = -
൫ସ,ଷ଺ . ଵ଴య ൯ . ሺ± ଵ଴଴ሻ . ଵ଴షయ
଺ଶ ହ଴଴ ଴଴଴,଴ଵ .ଵ଴షభమ = ± 6 975 999,999 Pa

56. Adriano Alberto
56
Para o trecho 1≤ x <3:
Mmáx = - 4,92 kN.m
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟࢏
ࡵࢠ
=> ߪ௫ = -
൫ି ସ,ଽଶ . ଵ଴య ൯ . ሺ± ଵ଴଴ሻ . ଵ଴షయ
଺ଶ ହ଴଴ ଴଴଴,଴ଵ .ଵ଴షభమ = ± 7 871 999,999 Pa (resposta)
b)
Vmáx = - 6,64 kN
࣎࢞࢟ = -
ࢂ . ࡽ
ࡵ . ࢈
Q = Q1 + Q2
Q1 = A1 . |࢟ഥ૚ − ࢟࢏| = 100 . 50 . |175 − 100| = 375 000 . ૚૙ିૢ
m³
Q2 = A2 . |࢟ഥ૛ − ࢟࢏| = 50 . 50 . |125 − 100| = 62 500 . ૚૙ିૢ
m³
Q = 437 500 . ૚૙ିૢ
m³
b = 50 mm = 0,050 m
߬௫௬ = -
൫ି ଺,଺ସ . ଵ଴య൯ . ସଷ଻ ହ଴଴ . ଵ଴షవ
଺ଶ ହ଴଴ ଴଴଴,଴ଵ .ଵ଴షభమ . ଴,଴ହ଴
= 929 599,9999 Pa
33) Uma viga T com 5 m de comprimento é simplesmente apoiada em suas extremidades e
tem a seção transversal mostrada na figura. É especificado que a tensão longitudinal de
tração não pode exceder 12 MPa e que a tensão tangencial horizontal não ultrapasse 0,7
MPa. Determine a carga concentrada para baixo máxima que pode ser aplicada a 3 m da
extremidade direita.

57. RA + RB = P
- 2P + 5 . RB = 0 => RB = 0,4 . P
RA = 0,6 . P
Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)
AT = 200 . 75 + 200 . 50 =
A1 = 200 . 75 = 15 000 mm²
A2 = 200 . 50 = 10 000 mm²
࢟ഥ૚ = 150 mm
࢟ഥ૛ = 25 mm
yi =
࡭૚ . ࢟ഥ૚ ା ࡭૛ . ࢟ഥ૛
࡭ࢀ
=
ଵହ ଴଴଴ . ଵହ଴
ଶହ
ys = 250 – 100 = 150 mm
Cálculo do momento de inércia
Iz = ࡵࢠ૚
+ ࡵࢠ૛
ࡵࢠ૚
=
࢈૚ . ሺࢎ૚ሻ૜
૚૛
+ A1 . ሺ࢟ഥ૚ − ࢟࢏
ࡵࢠ૛
=
࢈૛ . ሺࢎ૛ሻ૜
૚૛
+ A2 . ሺ࢟ഥ૛ − ࢟࢏ሻ
= 0,4 . P
Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)
= 25 000 mm²
²
m²
ଵହ଴ ା ଵ଴ ଴଴଴ . ଶହ
ଶହ ଴଴଴
= 100 mm
Cálculo do momento de inércia
࢏ሻ૛
=
଻ହ . ሺଶ଴଴ሻయ
ଵଶ
+ 15 000 . ሺ150 − 100ሻଶ
= 87 500 000
ሻ૛
=
ଶ଴଴ . ሺହ଴ሻయ
ଵଶ
+ 10 000 . ሺ25 − 100ሻଶ
= 58 333 333,33
Adriano Alberto
57
87 500 000.૚૙ି૚૛
m4
58 333 333,33.૚૙ି૚૛
m4

58. Adriano Alberto
58
=> Iz = 145 833 333,3 . ૚૙ି૚૛
m4
Cálculo das tensões abaixo da L.N.:
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟࢏
ࡵࢠ
=> 12 . 106
= -
ሺଵ,ଶ . ௉ሻ . ሺିଵ଴଴ሻ . ଵ଴షయ
ଵସହ ଼ଷଷ ଷଷଷ,ଷ .ଵ଴షభమ => P = 14 583,33333 N
Vmáx = 0,6 . P
࣎࢞࢟ = -
ࢂ . ࡽ
ࡵ . ࢈
Cálculo acima da L.N.
Q = A . |࢟ഥ − ࢟࢏| = 150 . 75 . |175 − 100| = 843 750 . ૚૙ିૢ
m³
b = 75 mm = 0,075 m
0,7 . 106
= -
ሺ଴,଺ . ௉ሻ . ଼ସଷ ଻ହ଴ . ଵ଴షవ
ଵସହ ଼ଷଷ ଷଷଷ,ଷ .ଵ଴షభమ . ଴,଴଻ହ
=> P = 15 123,45679 N
Cálculo abaixo da L.N.
Q = Q1 + Q2
Q1 = A1 . |࢟ഥ૚ − ࢟࢏| = 50 . 75 . |75 − 100| = 93 750 . ૚૙ିૢ
m³
Q2 = A2 . |࢟ഥ૛ − ࢟࢏| = 200 . 50 . |25 − 100| = 750 000 . ૚૙ିૢ
m³
Q = 843 750 . ૚૙ିૢ
m³
b = 50 mm = 0,075 m
0,7 . 106
= -
ሺ଴,଺ . ௉ሻ . ଼ସଷ ଻ହ଴ . ଵ଴షవ
ଵସହ ଼ଷଷ ଷଷଷ,ଷ .ଵ଴షభమ . ଴,଴଻ହ
=> P = 15 123,45679 N
Logo,
Pmáx = 14 583,33333 N

59. Adriano Alberto
59
34) e 35) Para a viga com carregamento indicado, considerar a seção n–n e determinar: (a)
a maior tensão normal, e indicar onde ela ocorre; (b) a tensão de cisalhamento no ponto A;
(c) a maior tensão de cisalhamento e indicar onde ela ocorre
34)
RA = 36 kN
- 36 . 0,760 + M = 0 => M = 27,36 kN.m
Mz = - 0,600 . 36 = - 21,6 kN.m
yi = ys = 75 mm
A1 = 100 . 8 = 800 mm²
A2 = 134 . 8 = 1 072 mm²
A3 = 134 . 8 = 1 072 mm²
A4 = 100 . 8 = 800 mm²
࢟ഥ૚ = 146 mm
࢟ഥ૛ = 75 mm
࢟ഥ૜ = 75 mm
࢟ഥ૝ = 4 mm
Cálculo do momento de inércia
Iz = ࡵࢠ૚
+ ࡵࢠ૛
+ ࡵࢠ૜
+ ࡵࢠ૝
ࡵࢠ૚
= ࡵࢠ૝
ࡵࢠ૛
= ࡵࢠ૜
ࡵࢠ૚
=
࢈૚ . ሺࢎ૚ሻ૜
૚૛
+ A1 . ሺ࢟ഥ૚ − ࢟࢏ሻ૛
=
ଵ଴଴ . ሺ଼ሻయ
ଵଶ
+ 800 . ሺ146 − 75ሻଶ
= 4 037 066,667.૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૛
=
࢈૛ . ሺࢎ૛ሻ૜
૚૛
+ A2 . ሺ࢟ഥ૛ − ࢟࢏ሻ૛
=
଼ . ሺଵଷସሻయ
ଵଶ
+ 1 072 . ሺ75 − 75ሻଶ
= 1 604 069,333.૚૙ି૚૛
m4

60. Adriano Alberto
60
=> Iz = 11 282 272 . ૚૙ି૚૛
m4
Como a seção é simétrica, e a área interna é concêntrica com a área externa, este cálculo
apresentaria o mesmo resultado subtraíndo-se ࡵࢠࢋ
- ࡵࢠ࢏
:
ଵ଴଴ . ሺଵହ଴ሻయ
ଵଶ
-
଼ସ . ሺଵଷସሻయ
ଵଶ
= 11 282 272 . ૚૙ି૚૛
m4
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟࢏
ࡵࢠ
= -
൫ି ଶଵ,଺ . ଵ଴య൯ . ሺ± ଻ହሻ . ଵ଴షయ
ଵଵ ଶ଼ଶ ଶ଻ଶ .ଵ଴షభమ = ± 143 588 100 Pa (no topo ou na base da seção)
b)
V(0,160) = 36 kN
࣎࢞࢟ = -
ࢂ . ࡽ
ࡵ . ࢈
Q = A . |࢟ഥ − ࢟࢏| = 100 . 8 . |146 − 75| = 56 800 . ૚૙ିૢ
m³
b = 2 . 8 mm = 0,016 m
߬௫௬ = -
ଷ଺ . ଵ଴య . ହ଺ ଼଴଴ . ଵ଴షవ
ଵଵ ଶ଼ଶ ଶ଻ଶ .ଵ଴షభమ . ଴,଴ଵ଺
= 11 327 505,67 Pa
c)
Cálculo acima da L.N.
Q = Q1 + Q2 + Q3
Q1 = A1 . |࢟ഥ૚ − ࢟࢏| = 8 . 100 . |146 − 75| = 56 800 . ૚૙ିૢ
m³
Q2 = A2 . |࢟ഥ૛ − ࢟࢏| = 8 . 67 . |108,5 − 75| = 17 956 . ૚૙ିૢ
m³
Q3 = Q2 = 17 956 . ૚૙ିૢ
m³
Q = 92 712 . ૚૙ିૢ
m³

61. Adriano Alberto
61
Como a seção é simétrica, e a área interna é concêntrica com a área externa, este cálculo
apresentaria o mesmo resultado subtraíndo-se ࡽࢋ - ࡽ࢏:
75 . 100 . |112,5 − 75| - 84 . 67 . |108,5 − 75| = 92 712 . ૚૙ିૢ
m³
b = 2 . 8 mm = 0,016 m
߬௫௬ = -
ଷ଺ . ଵ଴య . ଽଶ ଻ଵଶ .ଵ଴షవ
ଵଵ ଶ଼ଶ ଶ଻ଶ .ଵ଴షభమ . ଴,଴ଵ଺
= 18 489 361,01 Pa (ocorre na L.N.)
35)
RA = RB = 80 kN
Para 0 ≤ x < 0,9:
V(x) = 80 kN
M(x) = 80x
Mz = M(0,6) = 80 . 0,6 = 48 kN.m
yi = ys = 130 mm
A1 = A2 = A7 = A8 = 80 . 12 = 960 mm²
A3 = A6 = 180 . 16 = 2 880 mm²
A4 = A5 = 68 . 16 = 1 088 mm²
࢟ഥ૚ = ࢟ഥ૛ = 220 mm
࢟ഥ૜ = 172 mm

62. Adriano Alberto
62
࢟ഥ૝ = ࢟ഥ૞ = 130 mm
࢟ഥ૟ = 88 mm
࢟ഥૠ = ࢟ഥૡ = 40 mm
Cálculo do momento de inércia
Iz = ࡵࢠ૚
+ ࡵࢠ૛
+ ࡵࢠ૜
+ ࡵࢠ૝
+ ࡵࢠ૞
+ ࡵࢠ૟
+ ࡵࢠૠ
+ ࡵࢠૡ
‫ܫ‬௭భ
= ‫ܫ‬௭మ
= ‫ܫ‬௭ళ
= ‫ܫ‬௭ఴ
‫ܫ‬௭య
= ‫ܫ‬௭ల
‫ܫ‬௭ర
= ‫ܫ‬௭ఱ
Iz = 4 . ࡵࢠ૚
+ 2 . ࡵࢠ૜
+ 2 . ࡵࢠ૝
ࡵࢠ૚
=
࢈૚ . ሺࢎ૚ሻ૜
૚૛
+ A1 . ሺ࢟ഥ૚ − ࢟࢏ሻ૛
=
ଵଶ . ሺ଼଴ሻయ
ଵଶ
+ 960 . ሺ220 − 130ሻଶ
= 8 288 000 .૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૜
=
࢈૜ . ሺࢎ૜ሻ૜
૚૛
+ A3 . ሺ࢟ഥ૜ − ࢟࢏ሻ૛
=
ଵ଼଴ . ሺଵ଺ሻయ
ଵଶ
+ 2 880 . ሺ172 − 130ሻଶ
= 5 141 760 .૚૙ି૚૛
m4
ࡵࢠ૝
=
࢈૝ . ሺࢎ૝ሻ૜
૚૛
+ A4 . ሺ࢟ഥ૝ − ࢟࢏ሻ૛
=
ଵ଺ . ሺ଺଼ሻయ
ଵଶ
+ 1 088 . ሺ130 − 130ሻଶ
= 419 242,6667.૚૙ି૚૛
m4
=> Iz = 44 274 005,33 . ૚૙ି૚૛
m4
࣌࢞ = -
ࡹࢠ . ࢟࢏
ࡵࢠ
= -
൫ସ଼ . ଵ଴య൯ . ሺ± ଵଷ଴ሻ . ଵ଴షయ
ସସ ଶ଻ସ ଴଴ହ,ଷଷ .ଵ଴షభమ
= ± 140 940 489,9 Pa (no topo ou na base da seção)
b)
V(0,6) = 80 kN
࣎࢞࢟ = -
ࢂ . ࡽ
ࡵ . ࢈
Cálculo acima da L.N.
Q = 2 . Q1

63. Adriano Alberto
63
Q = 2 . A. |࢟ഥ − ࢟࢏| = 2 . 80 . 12 . |220 − 130| = 172 800 . ૚૙ିૢ
m³
b = 2 . 12 mm = 0,024 m
߬௫௬ = -
଼଴ . ଵ଴య . ଵ଻ଶ ଼଴଴ .ଵ଴షవ
ସସ ଶ଻ସ ଴଴ହ,ଷଷ .ଵ଴షభమ . ଴,଴ଶସ
= 13 009 891,37 Pa
c)
Cálculo acima da L.N.
Q = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q5
Q1 = Q2
Q4 = Q5
Q = 2 . Q1 + Q3 + 2 . Q4
Q1 = A1 . |࢟ഥ૚ − ࢟࢏| = 12 . 80 . |220 − 130| = 86 400 . ૚૙ିૢ
m³
Q3 = A3 . |࢟ഥ૜ − ࢟࢏| = 16 . 180 . |172 − 130| = 120 960 . ૚૙ିૢ
m³
Q4 = A4 . |࢟ഥ૝ − ࢟࢏| = 34 . 16 . |147 − 130| = 9 248 . ૚૙ିૢ
m³
Q = 312 256 . ૚૙ିૢ
m³
b = 2 . 16 mm = 0,032 m
߬௫௬ = -
଼଴ . ଵ଴య . ଷଵଶ ଶହ଺ . ଵ଴షవ
ସସ ଶ଻ସ ଴଴ହ,ଷଷ .ଵ଴షభమ . ଴,଴ଷଶ
= 17 632 016,67 Pa (ocorre na L.N.)
PROBLEMAS ENVOLVENDO COMBINAÇÃO DE CARREGAMENTO
*** 36) a alavanca AB tem uma seção transversal retangular de 10 x 30 mm. Sabendo-se
que θ = 40º, determinar as tensões normal e de cisalhamento nos três pontos indicados (a,
b e c).

64. 1 780 . sen(40°) . 0,125 = M =>
|Mୟ|= |Mୠ| = |Mୡ| = |M୸| = 1 7
N = 1 780 . cos(40°) N
yi = 15 mm (posição da L.N.)
࣌࢞ =
ࡺ
࡭
-
ࡹࢠ . ࢟
ࡵࢠ
; ࣎࢞࢟ =
ࢂ . ࡽ
ࡵ . ࢈
V = 1 780 . sen(40°) ; b = 0,0
Iz =
ଵ଴ . ଷ଴య
ଵଶ
= 22 500 . ૚૙ି૚૛
m
ߪ௔ =
ଵ ଻଼଴ . ୡ୭ୱሺସ଴°ሻ
଴,଴଴଴ଷ
+
ଵ଻଼ . ୱୣ୬
ଶଶ ହ଴଴
࣎ࢇ = -
ࢂ . ࡽ
ࡵ . ࢈
A = 0 => ࣎ࢇ = 0
ߪெ =
଼଴ ଼ଶଶ ଺଺଴,଴ହ ା ଴
ଶ
= 40 411 330,03 Pa
R = ߬௔೘áೣ
= ඥሺ૝૙ ૝૚૚ ૜૜૙, ૙૜
ߪ௔೘áೣ
= ߪெ + R = 80 822 660,05 Pa
ߪ௔೘í೙
= ߪெ - R = 0
. 0,125 = M => M = 222,5 . sen(40°) N.m
1 780 . sen(40°) . 0,100 = 178 . sen(40°) N.m
(posição da L.N.)
ࡽ
࢈
; Q = A . |࢟ഥ − ࢟࢏|
; b = 0,010 m
m4
ୱୣ୬ሺସ଴°ሻ . ଴,଴ଵହ
ହ଴଴ .ଵ଴షభమ = 80 822 660,05 Pa
411 330,03 Pa
૙૜ሻଶ + ሺ0ሻଶ = 40 411 330,03 Pa
80 822 660,05 Pa
Adriano Alberto
64

65. ߪ௕ =
ଵ ଻଼଴ . ୡ୭ୱሺସ଴°ሻ
଴,଴଴଴ଷ
+
ଵ଻଼ . ୱୣ୬
ଶଶ ହ଴଴ .
࣎࢈ = -
ࢂ . ࡽ
ࡵ . ࢈
Q = 0,010 . 0,015 . 0,0075 = 1,125 .
߬௕ = -
ଵ ଻଼଴ . ୱୣ୬ሺସ଴°ሻ . ଵ,ଵଶହ . ଵ଴
ଶଶ ହ଴଴ .ଵ଴షభమ . ଴,଴ଵ଴
ߪெ =
ସ ହସହ ଵଽ଻,଴ଶଽ ା ଴
ଶ
= 2 272 598,515 Pa
R = ߬௕೘áೣ
= ඥሺ2 272 598,515
ୱୣ୬ሺସ଴°ሻ . ଴
.ଵ଴షభమ = 4 545 197,029 Pa
1,125 . ૚૙ି૟
m³
ଵ଴షల
= - 5 720 809,726 Pa
2 272 598,515 Pa
515ሻଶ + ሺ5 720 809,726 ሻଶ = 6 155 677,699 Pa
Adriano Alberto
65

66. ߪ௕೘áೣ
= ߪெ + R = 8 428 276,214
ߪ௕೘í೙
= ߪெ - R = - 3 883 079,184
senሺ૛ࣂࡼሻ =
ହ ଻ଶ଴ ଼଴ଽ,଻ଶ଺
଺ ଵହହ ଺଻଻,଺ଽଽ
=> ࣂ
ߪ௖ =
ଵ ଻଼଴ . ୡ୭ୱሺସ଴°ሻ
଴,଴଴଴ଷ
+
ଵ଻଼ . ୱୣ୬
ଶଶ ହ଴଴
࣎ࢉ = -
ࢂ . ࡽ
ࡵ . ࢈
A = 0 => ࣎ࢉ = 0
ߪெ =
ି ଻ଵ ଻ଷଶ ଶ଺ହ,ଽଽ ା ଴
ଶ
= - 35 866 133 Pa
R = ߬௖೘áೣ
= 35 866 133 Pa
8 428 276,214 Pa
3 883 079,184 Pa
ࣂࡼ = 34,16724521° (anti-horário)
ୱୣ୬ሺସ଴°ሻ . ሺି ଴,଴ଵହሻ
ହ଴଴ .ଵ଴షభమ = - 71 732 265,99 Pa
35 866 133 Pa
Adriano Alberto
66

67. Adriano Alberto
67
ߪ௖೘áೣ
= ߪெ + R = 0
ߪ௖೘í೙
= ߪெ - R = - 71 732 265,99 Pa
Acredito que a resposta da lista considera apenas as tensões normais e cisalhantes
separadamente, sem calcular as tensões máximas. Além disso, os valores parciais
encontrados diferem um pouco das respostas. Possivelmente foram feitas muitas
aproximações.
36) σa = 80,85 MPa T τa = 0 σb = 4,55 MPa T
τb = 5,70 MPa σc = 71,8 MPa C τc = 0
*** 37) O eixo mecânico de um automóvel é feito para suportar as forças e o torque
mostrado. Sabendo-se que o diâmetro do eixo é de 30 mm, determinar as tensões normal e
de cisalhamento no: (a) ponto H; (b) ponto K.

68. Adriano Alberto
68
N = 0
Vy = ; Vz = 0
T = - 2 800 N.m
My = 0
Mz = - 2 700 . 0,350 + 2 700 . 0,200 = - 405 N.m
Iz = Iy =
గ௥ర
ସ
=
గሺ଴,଴ଵହሻర
ସ
AT = ߨ‫ݎ‬ଶ
= ߨሺ0,015ሻଶ
࣌࢞ =
ࡺ
࡭
+
ࡹࢠ࢟
ࡵࢠ
+
ࡹ࢟ࢠ
ࡵ࢟
a)
Para o ponto H:
ߪு = 0 -
ସ଴ହ . ଴,଴ଵହ
ഏሺబ,బభఱሻర
ర
+
଴ . ଴
ഏሺబ,బభఱሻర
ర
= - 152 788 745,4 Pa
்߬ =
்
଴,ହ . గ . ௥య =
ି ଶ ଼଴଴
଴,ହ . గሺ଴,଴ଵହሻయ =
ି ହ ଺଴଴
గሺ଴,଴ଵହሻయ => ࣎ࢀ = - 528 158 626 Pa
߬ு = ்߬ + ߬௏೥
= ்߬ + 0 = - 528 158 626 Pa

69. Adriano Alberto
69
R = ࣎ࡴ࢓á࢞
= 533,6549769 MPa
࣌ࡴ࢓á࢞
= - 610,049349,6 Pa
Para o ponto K:
ߪ௄ = 0 +
ସ଴ହ . ଴
ഏሺబ,బభఱሻర
ర
+
଴ . ሺି ଴,଴ଵହሻ
ഏሺబ,బభఱሻర
ర
= 0
்߬ =
்
଴,ହ . గ . ௥య =
ଶ ଼଴଴
଴,ହ . గሺ଴,଴ଵହሻయ =
ହ ଺଴଴
గሺ଴,଴ଵହሻయ => ࣎ࢀ = 528 158 626 Pa
߬௄ = ்߬ + ߬௏೤
= ்߬ + 0 = 528 158 626 Pa
De acordo com o desenho, que não está muito claro, como as forças em y estão
equilibradas, não existe força cortante em y no ponto k. Logo, Vy = 0
࣎ࢂ࢟
=
ࢂ࢟ . ࡽ
ࡵ . ࢈
= 0

70. Adriano Alberto
70
Através do circulo de Mohr, ࣌ࡷ࢓á࢞
= ࣎ࡷ࢓á࢞
= 528 158 626 Pa
Acredito que a resposta da lista está errada.
37) H: σx = 151 MPa C σz = 0 τxz = 527 MPa
K: σx = σy = 0 τxy = 527 MPa
*** 38) Uma mola é feita de um arame circular de raio c, formando uma hélice de raio R.
Determinar a máxima tensão de cisalhamento produzida pelas forças P e P’, iguais e
opostas. (Sugestão: determinar inicialmente a força cortante V e o torçor T numa seção
transversal.)
V = P
T = P . 2R
࣎ࢂ = -
ࢂ . ࡽ
ࡵ . ࢈
I =
࣊ . ࢉ૝
૝
࣎ࢀ =
ࢀ
૙,૞ . ࣊ . ࢉ૜
࣌ = -
ࡹ . ࢟
ࡵ
M = T = 2PR
Para o ponto A:
࣎࡭ = ࣎ࢂ࡭
+ ࣎ࢀ
Q = 0 => ߬௏ಲ
= 0

71. Adriano Alberto
71
߬஺ = ்߬ =
ଶ௉ோ
଴,ହ . గ . ௖య =
૝ࡼࡾ
࣊ࢉ૜
࣌࡭ = -
ଶ୔ୖୡ
ഏ೎ర
ర
= -
ૡ‫ ܀۾‬
࣊ࢉ૜
ߪெ =
ି
ఴౌ౎
ഏ೎య ା ଴
ଶ
= -
૝‫ ܀۾‬
࣊ࢉ૜
R = ඥሺ4ሻଶ + ሺ4ሻଶ .
௉ோ
గ௖య =
૝√૛ . ࡼࡾ
࣊ࢉ૜ = ࣎࡭ሺ࢓á࢞ሻ
ߪ஺೘áೣ
= ߪெ + R = -
ସ୔ୖ
గ௖య +
ସ√ଶ . ௉ோ
గ௖య =
൫૝√૛ ି ૝൯ . ࡼࡾ
࣊ࢉ૜
ߪ஺೘í೙
= ߪெ - R = -
ସ୔ୖ
గ௖య -
ସ√ଶ . ௉ோ
గ௖య =
ି ൫૝√૛ ା ૝൯ . ࡼࡾ
࣊ࢉ૜
senሺ૛ࣂࡼሻ =
ସ
√ଷଶ
=> ࣂࡼ = 22,5° (anti-horário)

72. Para o ponto B:
࣎࡮ = ࣎ࢂ࡮
+ ࣎ࢀ
Q =
గ . ௖మ
ଶ
.
ସ . ௖
ଷగ
=
ଶ ௖య
ଷ
߬஻ =
௉ .
మ ೎య
య
ഏ . ೎ర
ర
. ଶ . ௖
+
୔ . ଶୖ
଴,ହ . గ . ௖య =
௉
గ
࣌࡮ = 0
࣎࡮ሺ࢓á࢞ሻ = ࣌࡮ሺ࢓á࢞ሻ =
૝ࡼቀ
ࢉ
૜
ା ‫܀‬ቁ
࣊ࢉ૜
A lista não apresentou a resposta para est
௉ .
ర
య
గ . ௖మ
+
୔ . ଶୖ
଴,ହ . గ . ௖య =
଴,ହ . ௖ . ௉ .
ర
య
ା ୔ . ଶୖ
଴,ହ . గ . ௖య =
૝ࡼቀ
ࢉ
૜
ା ‫܀‬ቁ
࣊ࢉ૜
ቁ
a resposta para esta questão.
Adriano Alberto
72
ቁ

73. Adriano Alberto
73
*** 39) Várias forças são aplicadas ao tubo mostrado. Sabendo-se que o tubo tem
diâmetro, interno e externo, de 40 mm e 48 mm, respectivamente, determinar as tensões
normal e de cisalhamento no: (a) ponto H; (b) ponto K.
N = 660 N ; Vy = 0 ; Vz = 0
T = 880 . 0,250 = 220 N.m
My = 660 . 0,100 + 220 . 0,250 – 880 . 0,250 = - 99 N.m
Mz = - 660 . 0,250 = - 165 N.m
Iz = Iy =
గሾሺ଴,଴ଶସሻర ି ሺ଴,଴ଶ଴ሻరሿ
ସ
= 1,349125549 . ૚૙ିૠ
m4
࣌࢞ =
ࡺ
࡭
-
ࡹࢠ࢟
ࡵࢠ
+
ࡹ࢟ࢠ
ࡵ࢟
Para o ponto H:
ߪு =
଺଺଴
గሾሺ଴,଴ଶସሻమ ି ሺ଴,଴ଶ଴ሻమሿ
-
ି ଵ଺ହ . ଴,଴ଶସ
ଵ,ଷସଽଵଶହହସଽ .ଵ଴షళ +
ି ଽଽ . ଴
ଵ,ଷସଽଵଶହହସଽ .ଵ଴షళ => ࣌ࡴ = 30 546 008,14 Pa
்߬ =
ଶଶ଴ . ଴,଴ଶସ
଴,ହ . గ . ሾሺ଴,଴ଶସሻర ି ሺ଴,଴ଶ଴ሻరሿ
= 19 568 230,71 Pa
߬ு = ்߬ + ߬௏೥
= ்߬ + 0 = ்߬ => ࣎ࡴ = 19 568 230,71 Pa
ߪெ =
ଷ଴ ହସ଺ ଴଴଼,ଵସ ା ଴
ଶ
= 15 273 004,07 Pa

74. Adriano Alberto
74
R = ߬ு೘áೣ
= ඥሺ15 273 004,07ሻଶ + ሺ19 568 230,71 ሻଶ = 24 822 979,4 Pa
ߪு೘áೣ
= ߪெ + R = 40 095 983,47 Pa
ߪு೘í೙
= ߪெ - R = - 9 549 975,33 Pa
senሺ૛ࣂࡼሻ =
ଵଽ ହ଺଼ ଶଷ଴,଻ଵ
ଶସ ଼ଶଶ ଽ଻ଽ,ସ
=> ࣂࡼ = 26,01398101° (horário)
Para o ponto K:
ߪ௄ =
଺଺଴
గሾሺ଴,଴ଶସሻమ ି ሺ଴,଴ଶ଴ሻమሿ
-
ି ଵ଺ହ . ଴
ଵ,ଷସଽଵଶହହସଽ .ଵ଴షళ +
ି ଽଽ . ଴,଴ଶସ
ଵ,ଷସଽଵଶହହସଽ .ଵ଴షళ => ࣌ࡴ = - 16 417 745,57 Pa
்߬ =
ଶଶ଴ . ଴,଴ଶସ
଴,ହ . గ . ሾሺ଴,଴ଶସሻర ି ሺ଴,଴ଶ଴ሻరሿ
= 19 568 230,71 Pa
߬௞ = ்߬ + ߬௏೤
= ்߬ + 0 = ்߬ => ࣎࢑ = 19 568 230,71 Pa

75. ߪெ =
ି ଵ଺ ସଵ଻ ଻ସହ,ହ଻ ା ଴
ଶ
= - 8 208 872,783
R = ߬௞೘áೣ
= ඥሺ8 208 872,783
ߪ௞೘áೣ
= ߪெ + R = 13 011 429,89
ߪ௞೘í೙
= ߪெ - R = - 29 429 175,45
senሺ૛ࣂࡼሻ =
ଵଽ ହ଺଼ ଶଷ଴,଻ଵ
ଶଵ ଶଶ଴ ଷ଴ଶ,଺଻
=> ࣂ
Obs: As respostas da lista não
H: σx = 30,5 MPa T σz = 0 τxz = 19,56 MPa
K: σx = 16,4 MPa C σy = 0 τxy = 19,56 MPa
8 208 872,783 Pa
783 ሻଶ + ሺ19 568 230,71 ሻଶ = 21 220 302,67 Pa
13 011 429,89 Pa
29 429 175,45 Pa
ࣂࡼ = 33,6209754° (anti-horário)
ão são as tensões máximas:
= 19,56 MPa
= 19,56 MPa
Adriano Alberto
75

76. Adriano Alberto
76
Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.

77. Figura:Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.
Adriano Alberto
77

78. Adriano Alberto
78
40) e 41) Os eixos maciços são carregados como mostrado nas figuras. Determine, e mostre
num esboço, as tensões principais e a tensão tangencial máxima no ponto A da superfície
do eixo.
40)
Como Vz, ao flexionar a barra em torno de y, causa uma tração no ponto A, a convenção
de sinais deve ser de forma que
ࡹ࢟ࢠ
ࡵ࢟
seja positivo. Ou seja, sentido anti-horário como
positivo.
N = - 80 000 N ; Vy = 0 ; Vz = 10 000 N
T = - 0,600 . 10 . 10³ = - 6 000 N.m
My = 0,900 . 10 . 10³ = 9 000 N.m
Mz = 0
O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de My e Mz.
Iz = Iy =
గ௥ర
ସ
=
గሺ଴,଴ହሻర
ସ
࣌࢞ =
ࡺ
࡭
+
ࡹࢠ࢟
ࡵࢠ
+
ࡹ࢟ࢠ
ࡵ࢟
Para o ponto A:
ߪ஺ =
ି ଼଴ ଴଴଴
గሺ଴,଴ହሻమ +
଴ . ଴
ഏሺబ,బఱሻర
ర
+
ଽ ଴଴଴ . ଴,଴ହ
ഏሺబ,బఱሻర
ర
=> ࣌࡭ = 81 487 330,86 Pa
்߬ =
்
଴,ହ . గ . ௥య =
ି ଺ ଴଴଴
଴,ହ . గ . ሺ଴,଴ହሻయ = - 30 557 749,07 Pa
߬஺ = ்߬ + ߬௏೤
= ்߬ + 0 = ்߬ => ࣎࡭ = - 30 557 749,07 Pa
A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, deve seguir a mesma
convenção.

79. ߪெ =
଼ଵ ସ଼଻ ଷଷ଴,଼଺ ା ଴
ଶ
= 40 743 665,43 Pa
R = ߬஺೘áೣ
= ඥሺ40 743 665,43
ߪ஺೘áೣ
= ߪெ + R = 91 673 247,22 Pa
ߪ஺೘í೙
= ߪெ - R = - 10 185 916,36 Pa
senሺ૛ࣂࡼሻ =
ଷ଴ ହହ଻ ଻ସଽ,଴଻
ହ଴ ଽଶଽ ହ଼ଵ,଻ଽ
=> ࣂ
40 743 665,43 Pa
43 ሻଶ + ሺ30 557 749,07 ሻଶ = 50 929 581,79 Pa
91 673 247,22 Pa
10 185 916,36 Pa
ࣂࡼ = 18,43494882° (anti-horário)
Adriano Alberto
79

80. 41)
Como Vz, ao flexionar a barra em torno de y, causa uma tração no ponto A, a convenção
de sinais deve ser de forma que
positivo.
N = - 60 000 N ; Vy = 0 ;
T = - 0,100 . 5 000 – 0,100 . 3 000
My = 5 000 . 2 – 3 000 . 2 = 4
Mz = 0
O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de M
Iz = Iy =
గ௥ర
ସ
=
గሺ଴,଴ଶହሻర
ସ
࣌࢞ =
ࡺ
࡭
+
ࡹࢠ࢟
ࡵࢠ
+
ࡹ࢟ࢠ
ࡵ࢟
Para o ponto A:
ߪ஺ =
ି ଺଴ ଴଴଴
గሺ଴,଴ଶହሻమ +
଴ . ଴
ഏሺబ,బఱሻర
ర
+
ସ ଴଴଴
ഏሺ
்߬ =
்
଴,ହ . గ . ௥య =
ି ଼଴଴
଴,ହ . గ . ሺ଴,଴ଶହ
߬஺ = ்߬ + ߬௏೤
= ்߬ + 0 = ்߬ =>
A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, deve seguir a mesma
convenção.
, ao flexionar a barra em torno de y, causa uma tração no ponto A, a convenção
de sinais deve ser de forma que
ࡹ࢟ࢠ
ࡵ࢟
seja positivo. Ou seja, sentido anti
= 0 ; Vz = - 5 000 N e 3 000 N
0,100 . 3 000 = - 800 N.m
000 N.m
O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de M
଴଴଴ . ଴,଴ଶହ
ሺబ,బమఱሻర
ర
=> ࣌࡭ = 295 391 574,4 Pa
଴ଶହሻయ = - 32 594 932,35 Pa
=> ࣎࡭ = - 32 594 932,35 Pa
A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, deve seguir a mesma
Adriano Alberto
80
, ao flexionar a barra em torno de y, causa uma tração no ponto A, a convenção
seja positivo. Ou seja, sentido anti-horário como
O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de My e Mz.
A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, deve seguir a mesma

81. ߪெ =
ଶଽହ ଷଽଵ ହ଻ସ,ସ ା ଴
ଶ
= 147 695 787,2
R = ߬஺೘áೣ
= ඥሺ147 695 787,2
ߪ஺೘áೣ
= ߪெ + R = 298 945 498,5
ߪ஺೘í೙
= ߪெ - R = - 3 553 924,1
senሺ૛ࣂࡼሻ =
ଷଶ ହଽସ ଽଷଶ,ଷହ
ଵହଵ ଶସଽ ଻ଵଵ,ଷ
=> ࣂ
*** 42) Uma barra de aço de 50 mm de diâmetro está
Determine, e mostre num esboço, a tensão principal máxima no
adjacente ao apoio.
147 695 787,2 Pa
2ሻଶ + ሺ32 594 932,35 ሻଶ = 151 249 711,3 Pa
298 945 498,5 Pa
3 553 924,1 Pa
ࣂࡼ = 6,222551599° (anti-horário)
Uma barra de aço de 50 mm de diâmetro está carregada como mostrado na figura.
mostre num esboço, a tensão principal máxima no topo da superfície
Adriano Alberto
81
carregada como mostrado na figura.
topo da superfície

82. Como Vy, ao flexionar a barra em torno de z, causa uma tração no ponto superior, a
convenção de sinais deve ser de forma que
positivo.
N = 15 000 N ; Vy = - 500
T = 1 200 N.m
My = 0
Mz = 500 . 0,900 = 450 N.m
O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de M
Iz = Iy =
గ௥ర
ସ
=
గሺ଴,଴ଶହሻర
ସ
࣌࢞ =
ࡺ
࡭
+
ࡹࢠ࢟
ࡵࢠ
+
ࡹ࢟ࢠ
ࡵ࢟
Para o ponto:
ߪ௫ =
ଵହ ଴଴଴
గሺ଴,଴ଶହሻమ +
ସହ଴ . ଴,଴ଶହ
ഏሺబ,బమఱሻర
ర
=>
்߬ =
்
଴,ହ . గ . ௥య =
ଵ ଶ଴଴
଴,ହ . గ . ሺ଴,଴ଶହ
߬௫ = ்߬ + ߬௏೥
= ்߬ + 0 = ்߬ =>
A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, deve seguir a mesma
convenção.
ߪெ =
ସସ ଷ଴଼ ଻ଷ଺,ଵ଺ ା ଴
ଶ
= 22 154 368,08
, ao flexionar a barra em torno de z, causa uma tração no ponto superior, a
convenção de sinais deve ser de forma que
ࡹࢠ࢟
ࢠ
seja positivo. Ou seja, sentido horário como
0 N ; Vz = 0
O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de M
=> ࣌࢞ = 44 308 736,16 Pa
଴ଶହሻయ = 48 892 398,52 Pa
=> ࣎࢞ = 48 892 398,52 Pa
A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, deve seguir a mesma
22 154 368,08 Pa
Adriano Alberto
82
, ao flexionar a barra em torno de z, causa uma tração no ponto superior, a
seja positivo. Ou seja, sentido horário como
O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de My e Mz.
A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, deve seguir a mesma

83. R = ߬௠á௫ = ඥሺ22 154 368,08
ߪ௫೘áೣ
= ߪெ + R = 75 831 948,67
ߪ௫೘í೙
= ߪெ - R = - 31 523 212,51
senሺ૛ࣂࡼሻ =
ସ଼ ଼ଽଶ ଷଽ଼,ହଶ
ହଷ ଺଻଻ ହ଼଴,ହଽ
=> ࣂ
Na resposta da lista tem anti
torque tem que ser positivo de acordo com a convenção adotada.
*** 43) O eixo circular maciço de aço está submetido aos
Determine, e mostre num esboço, as tensões principa
pontos: (a) A; (b) B.
08ሻଶ + ሺ48 892 398,52ሻଶ = 53 677 580,59 Pa
75 831 948,67 Pa
31 523 212,51 Pa
ࣂࡼ = 32,81176569° (horário)
Na resposta da lista tem anti-horário. Isso seria válido para um torque negativo. Mas, o
torque tem que ser positivo de acordo com a convenção adotada.
43) O eixo circular maciço de aço está submetido aos torques e cargas indicados.
esboço, as tensões principais e a tensão tangencial
Adriano Alberto
83
o seria válido para um torque negativo. Mas, o
torques e cargas indicados.
is e a tensão tangencial máxima nos

84. a)
Como Vz, ao flexionar a barra em torno de y, causa uma compressão no ponto A
convenção de sinais deve ser de forma que
como negativo.
N = 8 000 . ࣊ N ; Vy = 0; V
T = - 5 000 . ߨ + 3 000 . ߨ =
My = - 1,5 . 500 . ߨ = - 750 . ࣊
Mz = 0
O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de M
Iz = Iy =
గ௥ర
ସ
=
గሺ଴,଴ହሻర
ସ
࣌࢞ =
ࡺ
࡭
+
ࡹࢠ࢟
ࡵࢠ
+
ࡹ࢟ࢠ
ࡵ࢟
ߪ௫ =
଼ ଴଴଴ . గ
గሺ଴,଴ହሻమ -
଻ହ଴ . గ . ଴,଴ହ
ഏሺబ,బఱሻర
ర
=>
்߬ =
்
଴,ହ . గ . ௥య =
ି ଶ ଴଴଴ . గ
଴,ହ . గ . ሺ଴,଴ହሻ
߬௫ = ்߬ + ߬௏೤
= ்߬ + 0 = ்߬ =>
A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, deve seguir a mesma
convenção.
ߪெ =
ି ଶ଴ ଼଴଴ ଴଴଴ ା ଴
ଶ
= - 10 400 000
flexionar a barra em torno de y, causa uma compressão no ponto A
convenção de sinais deve ser de forma que
ࡹ࢟ࢠ
࢟
seja negativo. Ou seja, sentido horário
; Vz = 500 . ࣊ N
= - 2 000 . ࣊ N.m
࣊ N.m
O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de M
=> ࣌࢞ = - 20 800 000 Pa
ሻయ = - 32 000 000 Pa
=> ࣎࢞ = - 32 000 000 Pa
A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, deve seguir a mesma
10 400 000 Pa
Adriano Alberto
84
flexionar a barra em torno de y, causa uma compressão no ponto A, a
seja, sentido horário
O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de My e Mz.
A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, deve seguir a mesma

85. R = ߬஺೘áೣ
= ඥሺ10 400 000ሻଶ
ߪ௫೘áೣ
= ߪெ + R = 23 247 585,35
ߪ௫೘í೙
= ߪெ - R = - 44 047 585,35
senሺ૛ࣂࡼሻ =
ଷଶ ଴଴଴ ଴଴଴
ଷଷ ଺ସ଻ ହ଼ହ,ଷହ
=> ࣂ
b)
ߪ௫ =
଼ ଴଴଴ . గ
గሺ଴,଴ହሻమ + 0 + 0 => ࣌࢞ =
ሻଶ + ሺ32 000 000ሻଶ = 33 647 585,35 Pa
23 247 585,35 Pa
44 047 585,35 Pa
ࣂࡼ = 35,9979192° (horário)
= 3 200 000 Pa
Adriano Alberto
85

86. ்߬ =
்
଴,ହ . గ . ௥య =
ି ଶ ଴଴଴ . గ
଴,ହ . గ . ሺ଴,଴ହሻ
߬௏೥
=
௏೥ . ொ
ூ . ௕
Q = A . ࢟ഥ =
గ௥మ
ଶ
.
ସ . ௥
ଷగ
=
૛࢘૜
૜
߬௏೥
=
500 . ߨ .
మሺబ,బఱሻయ
య
ഏሺబ,బఱሻర
ర
. ଴,ଵ଴଴
= 266 666,6667 Pa
߬௫ = ்߬ + ߬௏೥
= - 32 000 000
A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, deve seguir a mesma
convenção.
ߪெ =
ଷ ଶ଴଴ ଴଴଴ ା ଴
ଶ
= 1 600 000 Pa
R = ߬஻೘áೣ
= ඥሺ3 200 000 ሻଶ
ߪ௫೘áೣ
= ߪெ + R = 33 373 643,86
ߪ௫೘í೙
= ߪெ - R = - 30 173 643,86
senሺ૛ࣂࡼሻ =
ଷଵ ଻ଷଷ ଷଷଷ,ଷଷ
ଷଵ ଻଻ଷ ଺ସଷ,଼଺
=> ࣂ
O resultado da lista deu diferente. Mas, pelos cál
diferença está no ࣎࢞ = - 31 733 333,33 Pa. Como o torque não variou em relaç
(cuja resposta foi igual à da lista), o erro está no cálculo do
acredito que meus cálculos estejam corretos.
ሻయ = - 32 000 000 Pa
266 666,6667 Pa
+ 266 666,6667 => ࣎࢞ = - 31 733 333,33 Pa
A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, deve seguir a mesma
00 000 Pa
ሻ + ሺ31 733 333,33ሻଶ = 31 773 643,86 Pa
33 373 643,86 Pa
30 173 643,86 Pa
ࣂࡼ = 43,55679075° (anti-horário)
O resultado da lista deu diferente. Mas, pelos cálculos, ࣌ࡹ = 1 600 000 Pa coincide. Então, a
31 733 333,33 Pa. Como o torque não variou em relaç
(cuja resposta foi igual à da lista), o erro está no cálculo do ࣎ࢂࢠ
= 266 666,6667 Pa
que meus cálculos estejam corretos.
Adriano Alberto
86
A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, deve seguir a mesma
coincide. Então, a
31 733 333,33 Pa. Como o torque não variou em relação à letra “a”
266 666,6667 Pa. Porém,

87. 43)
b) σ1 = 33,1 MPa T σ2 = 29,9 MPa C
τmáx = 31,5 MPa θp = 43,5º
*** 44) Sabendo-se que nos pontos
tangencial são limitadas a
máximo permissível de P.
= 29,9 MPa C σ3 = 0
se que nos pontos A e B, sobre o eixo da figura, as tensões normal e
90 MPa T e 60 MPa, respectivamente. Determine o
Adriano Alberto
87
figura, as tensões normal e
, respectivamente. Determine o valor

88. Adriano Alberto
88
൫࣌࢞,࢓á࢞൯࡭
= ൫࣌࢞,࢓á࢞൯࡮
= 90 . 106
Pa
൫࣎࢞ࢠ,࢓á࢞൯࡭
= ൫࣎࢞࢟,࢓á࢞൯
࡮
= 60 . 106
Pa
P = ?
Convenção de sinais: sentido horário positivo para o ponto A e negativo para o ponto B
N = 8P ; Vy = P ; Vz = 0
T = 0,200 . P
My = 0,200 . 8P = 1,6 . P
Mz = 0,400 . P
O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de My e Mz.
Iz = Iy =
గ௥ర
ସ
=
గሺ଴,଴ହሻర
ସ
࣌࢞ =
ࡺ
࡭
+
ࡹࢠ࢟
ࡵࢠ
+
ࡹ࢟ࢠ
ࡵ࢟
Para o ponto A:
ߪ஺ =
଼௉
గሺ଴,଴ହሻమ +
ି ଴,ସ଴଴ . ୔ . ሺି ଴,଴ହሻ
ഏሺబ,బఱሻర
ర
+
ଵ,଺ . ௉ . ଴
ூ೤
=> ߪ஺ =
଼௉
గሺ଴,଴ହሻమ +
଴,ସ଴଴ . ௉ . ସ
గሺ଴,଴ହሻయ =>
ߪ஺ =
଼௉ . ଴,଴ହ ା ଵ,଺ . ௉
గሺ଴,଴ହሻయ => ࣌࡭ = 5 092,958179 . P
்߬ =
்
଴,ହ . గ . ௥య =
଴,ଶ଴଴ . ௉
଴,ହ . గ . ሺ଴,଴ହሻయ = 1 018,591636 . P
߬஺ = ்߬ + ߬௏೥
= ்߬ + 0 = ்߬ => ࣎࡭ = 1 018,591636 . P
Para o ponto B:

89. Adriano Alberto
89
ߪ஻ =
଼௉
గሺ଴,଴ହሻమ +
଴,ସ଴଴ . ୔ . ଴
ூ೥
+
ଵ,଺ . ௉ . ଴,଴ହ
ഏሺబ,బఱሻర
ర
=> ߪ஻ =
଼௉
గሺ଴,଴ହሻమ +
ଵ,଺ . ௉ . ସ
గሺ଴,଴ହሻయ =>
ߪ஻ =
଼௉ . ଴,଴ହା ଺,ସ . ௉
గሺ଴,଴ହሻయ => ࣌࡮ = 17 316,05781 . P
࣎࡮ = ࣎ࢀ + ࣎ࢂ࢟
࣎ࢂ࢟
= -
ࢂ࢟ . ࡽ
ࡵ . ࢈
Q = A . ࢟ഥ =
గ௥మ
ଶ
.
ସ . ௥
ଷగ
=
૛࢘૜
૜
߬௏೤
= -
௉ .
మሺబ,బఱሻయ
య
ഏሺబ,బఱሻర
ర
. ଴,ଵ଴଴
= - 169,7652726 . P
߬஻ = - 1 018,591636 . P - 169,7652726 . P => ࣎࡮ = - 1 188,356909 . P
No ponto B, a força P em Vy e o torque T apresentam o mesmo sentido. Logo, devem ter o
mesmo sinal que, no caso, deve ser o de T, que já foi convencionado negativo no início dos
cálculos.
Como as tensões foram maiores no ponto B, utiliza-se esses valores pra o círculo de Mohr.
ߪெ =
ଵ଻,ଷଵ଺଴ହ଻଼ଵ . ଵ଴య . ୔ ା ଴
ଶ
= 8,658028905 . ૚૙૜
. P
R = ߬஻೘áೣ
= ඥሺ8,658028905 . 10ଷ . Pሻଶ + ሺ1 188,356909 . Pሻଶ = 8,73920229 . 103
. P

90. Adriano Alberto
90
ߪ஻೘áೣ
= ߪெ + R = 17,3972312 . 103
. P
60 . 106
= 8,73920229 . 103
. P => P = 6 865,615191 N (não serve)
90 . 106
= 17,3972312 . 103
. P => P = 5 173,236992 N = Padm
Resp da lista: 5199 N
45) Sabendo-se que o tubo estrutural mostrado tem uma espessura da parede uniforme de
6 mm, determinar a tensão de cisalhamento em cada um dos três pontos indicados (a, b e
c).
Vy = - 40 000 N
Posição da L.N.: yi = ys = 30 mm
Iz =
ଵ଴଴ . ሺ଺଴ሻయ
ଵଶ
-
଼଼ . ሺସ଼ሻయ
ଵଶ
= 988 992 . ૚૙ି૚૛
m4
T = 40 000 . 0,047 = 1 880 N.m
࣎ࢀ =
ࢀ
૛࢚ . ࡭࢓
=
ଵ ଼଼଴
ଶ . ଴,଴଴଺ . ଴,଴ଽସ . ଴,଴ହସ
= 30 864 197,53 Pa
Para o ponto a:
࣎ࢇ = ࣎‫ܡ܄‬ + ࣎ࢀ
࣎‫ܡ܄‬ = -
ࢂࡽ
ࡵ . ࢈
b = 0,006 . 2 = 0,012 m
Q = A’ . ‫′ݕ‬ഥ
‫′ݕ‬ഥ =
ଶ . ଴,଴଴଺ . ଴,଴ଷ଴ . ଴,଴ଵହ ା ଴,଴଼଼ . ଴,଴଴଺ . ଴,଴ଶ଻
ଶ . ଴,଴଴଺ . ଴,଴ଷ଴ ା ଴,଴଼଼ . ଴,଴଴଺
= 0,022135135 m
Q = (2 . 0,006 . 0,030 + 0,088 . 0,006) . 0,022135135 = 19,65599988 . ૚૙ି૟
m³
߬௔ = -
ି ସ଴ ଴଴଴ . ଵଽ,଺ହହଽଽଽ଼଼ . ଵ଴షల
ଽ଼଼ ଽଽଶ .ଵ଴షభమ . ଴,଴ଵଶ
+ 30 864 197,53 = 97 113 469,11 Pa

91. Adriano Alberto
91
Para o ponto b:
࣎࢈ = ࣎‫ܡ܄‬ + ࣎ࢀ
࣎‫ܡ܄‬ = -
ࢂࡽ
ࡵ . ࢈
b = 0,006 . 2 = 0,012 m
Q = A’ . ‫′ݕ‬ഥ
‫′ݕ‬ഥ = 0,027 m
Q = (0,100 . 0,006) . 0,027 = 16,2 . ૚૙ି૟
m³
߬௕ = -
ି ସ଴ ଴଴଴ . ଵ଺,ଶ . ଵ଴షల
ଽ଼଼ ଽଽଶ .ଵ଴షభమ . ଴,଴ଵଶ
+ 30 864 197,53 = 85 465 245,87 Pa
Para o ponto c:
࣎ࢉ = ࣎‫ܢ܄‬ + ࣎ࢀ => ߬௖ = 0 + ்߬ => ࣎ࢉ = 30 864 197,53 Pa
45) τa = 97,1 MPa τb = 85,5 MPa τc = 30,9 MPa