1. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULA 18 – Capítulo 7 – Cisalhamento Transversal
1

2. Esforços Internos em Vigas
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3. Esforços Internos - Convenção de Sinais
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4. Relação Entre M, V e w
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5. Relação Entre M, V e w
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6. CISALHAMENTO TRANSVERSAL
O esforço cortante V é o resultado de uma distribuição de
tensões cisalhantes atuando na seção transversal da viga –
Figura 7.1
Princípio da Reciprocidade
das Tensões Cisalhantes
6

7. Flexão Pura
Fibras longitudinais típicas
7
Linha Elástica
Superfície Neutra
Plano Longitudinal de
Simetria

8. Flexão - Viga Deformada
A linha elástica forma um
arco circular
Seções planas
Centro de Curvatura
8
permanecem planas
(Bernoulli)
Linha
Elástica

9. Equação Deformação- Deslocamento
y
( x
)
( x )
=
raio de curvatura
= -
r
r
e x
Compressão
9
curvatura
1
= =
r
k
Tração

10. Deformação e Curvatura
r decresce, curvatura e deformação crescem
10

11. Distribuição de deformação
Compressão
Compressão
(ex negativa)
Tração
(ex positiva)
11
Tração
Hipóteses relativas a tensão atuante
1. Comportamento do Material: linearmente elástico
2. Material é isotrópico
3. Material segue a lei de Hooke
4. As tensões transversais podem ser desprezadas em relação as
tensões de flexão (longitudinais).

12. Distribuição de tensão
Superfície
Compressão
Tração
M Positivo
M negativo Tração
Compressão
Fórmulas para distribuição de Tensão
= = -
x x x
r 12
s
r
s e e
y
y
E
E
x
= -
Neutra
plano (xz)

13. Relação Momento Curvatura
Compressão
acima do EN
Centróide da
seção transversal
Eixo Neutro da
13
Tração abaixo
do EN
seção transversal
(eixo z’)
Superfície
Neutra
(plano xz)
( )
∫
∫
=
=
A
E
2
z
A
2
I y dA
y dA
ρ
M x
= z =
M z
EI κ
EI
ρ
My
z
σ = -
x I

14. Relação Entre Esforço Cortante e Tensão
Cisalhante
•O procedimento adotado nos capítulos anteriores para
estabelecer relações entre os esforços internos e as
respectivas tensões, parte de uma hipótese sobre a
deformação.
•No caso do cisalhamento é difícil estabelecer uma hipótese
14
para a deformação cisalhante.
•Assim sendo a relação entre a tensão cisalhante e o
esforço cortante será obtida através de considerações de
equilíbrio partindo das tensões normais oriundas da flexão.
•Lembrando sempre que houver variação do momento
fletor irá existir esforço cortante.

15. Cisalhamento Longitudinal

16. Distorção da Seção Transversal
Hipótese de Bernoulli é violada – Como a distorção da
seção é em geral muito pequena, ela pode ser desprezada
e a hipótese das seções planas permanece válida

17. Fórmula do Cisalhamento

18. Fórmula do Cisalhamento
Fe Fazendo-se o equilíbrio das forças na direção x,
F 0 F F F 0 x d e ¬Σ = - - = +
t
sd se
Fd
temos:
Onde Fd e Fe são as forças resultantes das tensões
de flexão atuando na área A´, e Ft a força resultante
das tensões de cisalhamento na seção de corte:
Fd Fe
se sd
∫ ∫
= = = × ×
t s s t
F dA ; F dA ; F t dx
e e
F F F 0
y dA
d d
M
∫
= ×
M
I
F
y dA
I
F
d e
∫
A´
e
e
A´
d
d
A´
A´
⇒ - - =

 

 

= ×
t

19. Fórmula do Cisalhamento
Fe Substituindo-se as expressões acima na equação de
- - =
F F F 0
d e
- ∫ - × × =
A´
M M
d e
y dA t dx 0
I
t
t
sd se
Fd
equilíbrio das forças na direção x, temos:
( )
× × = + -
M dM M
∫
∫
=
A´
A´
y dA
1
dM
It
dx
y dA
I
t dx
t
t
Fd Fe
se sd
t = ×
V Q´
I ×
t

20. Fórmula do Cisalhamento
Fe Fórmula do Cisalhamento
sd se
Fd
t = ×
V Q´
I ×
t
Onde:
Fd Fe
se sd

21. Tensão de Cisalhamento em Vigas
t = ×
V Q´
×
Seção
Retangular I t
h
 = × = -
h
 + 

 

h
b
 = -

h
b
= -
 


h
1
 - + × 






 
 





2
2
y
4
2
Q´
y
2
y
2
2
Q´
y
2
2
y y
2
Q´ A´ y´ b

22. Tensão de Cisalhamento em Vigas
t = ×
V Q´
×
Seção
Retangular I t

 

b h

h
b
= -
 

= ×
2
2
3
y
4
2
Q´
12
I
y
2
b

h
V
2
 

 

× -
b
4
2
3
× ×
b h
12



t =

 

h

× -
6V
= 2
 

×
2
3 y
4
b h
t
3 V
máx 3 × ×
2 b h
6V h
2
4
b h
× = ×
×
t =

23. Tensão de Cisalhamento em Vigas
Seção

Retangular  

h

× -
6V
= 2
 

×
2
3 y
4
b h
t
Distribuição de tensões variando
com o quadrado da distância y
(distribuição parabólica com a
3 V
máx 3 × ×
2 b h
6V h
2
4
b h
× = ×
×
t =
V
2
A
3
máx t =
altura)

24. Tensão de Cisalhamento em Vigas
V
2
A
3
t máx =
Integrando-se a distribuição das tensões cisalhantes com a altura obtém-se

25. Tensão de Cisalhamento em Vigas
Seção I – Abas
Largas

26. Limitações da Fórmula do Cisalhamento
Hipóteses:
• A tensão de cisalhamento se distribui uniformemente
ao longo da espessura
A Teoria da Elasticidade mostra qquuee ppaarraa sseeççõõeess
t
= ⇒ máx = ⇒
1,03 3%
´
0,5
b
h
t
fórmula
t
= ⇒ máx = ⇒
1,40 40%
´
2
b
h
t
fórmula

27. Limitações da Fórmula do Cisalhamento
A tensão de cisalhamento não é bem representada na
união aba-alma.
• transição brusca da aba para a alma
• superfície livre com tensão diferente de zero

28. Limitações da Fórmula do Cisalhamento

29. Exemplo 1

30. Exemplo 1
Momento de Inércia
Momento Estático do ponto P
Tensão cisalhante no ponto P

31. Exemplo 1
Máxima tensão cisalhante irá ocorrer onde a razão
entre o momento estático Q´ e a espessura for
máxima. Nesse caso como a espessura é constante, a
máxima razão ocorre para o máximo momento
estático(no eixo neutro)
t = ×
V Q´
I ×
t
Tensão cisalhante máxima
Equivalente a:

32. Exemplo 2

33. Exemplo 2
Momento de Inércia
Momento Estático do ponto B´
Tensão cisalhante no ponto B´

34. Exemplo 2
Momento Estático do ponto B (QB=QB´)
Tensão cisalhante no ponto B
Momento Estático do ponto C
Tensão cisalhante no ponto C

35. Exemplo 2
Força cortante atuante na alma:
Tensão cisalhante atuante na alma:

36. Exemplo 2
Integrando-se a distribuição de tensões
cisalhantes na alma temos:
Observa-se que a alma rreessiissttee aa 9911%% ddoo
esforço cortante total. O restante (9%) é
resistido pelas duas abas.