Cisalhamento

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Cisalhamento

  1. 1. Curso de Engenharia Civil Universidade Estadual de Maringá Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Prof. Romel Dias Vanderlei Prof. Romel Dias Vanderlei CAPÍTULO 5: CISALHAMENTO 5.1 Tensões de Cisalhamento em Vigas sob Flexão Hipóteses Básicas: a) As tensões de cisalhamento τ são admitidas paralelas à força de cisalhamento V, portanto paralela a “y’’. b) As tensões τ não variam ao longo da largura da seção, e sim na altura.  b 1  <   h 4 c) As tensões normais σ não ficam afetadas pelas deformações provocadas pelas tensões de cisalhamento.
  2. 2. Prof. Romel Dias Vanderlei 5.1 Tensões de Cisalhamento em Vigas sob Flexão Prof. Romel Dias Vanderlei Analisando o elemento, vemos que existem tensões de cisalhamento horizontais agindo entre as camadas horizontais. Para y = ±h/2, então τ =0, pois não existem forças de cisalhamento na superfície da barra. 5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga É mais fácil determinar as tensões de cisalhamento horizontais agindo entre camadas da viga.
  3. 3. Prof. Romel Dias Vanderlei 5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga Modelo de cálculo: σ1 = − Prof. Romel Dias Vanderlei σ2 = − M⋅y Iz (M + dM )⋅ y Iz 5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga A face superior da barra está livre de tensões de cisalhamento. A face de baixo é submetida a tensões de cisalhamento τ.
  4. 4. Prof. Romel Dias Vanderlei 5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga Analisando o equilíbrio na direção x do elemento mp m1p1, vemos que como σ1 ≠ σ2 , é necessário a tensão τ para equilibrar. As tensões verticais nos planos mp e m1p1 não estão sendo consideradas, pois iremos analisar apenas o equilíbrio na direção x. Diagrama de corpo livre do elemento mp m1p1: M⋅ y ⋅ dA Iz (M + dM )⋅ y ⋅ dA F2 = ∫ σ 2 ⋅ dA = ∫ Iz F = ∫σ1 ⋅ dA= ∫ 1 Prof. Romel Dias Vanderlei onde y varia de y1 até h/2. 5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga Fazendo o equilíbrio do elemento na direção x: F1 + F3 − F2 = 0 ∴ F3 = F2 − F1 F3 = ∫ (M + dM ) ⋅ y ⋅ dA − Iz F3 = M⋅y dM ⋅ y ⋅ dA = ∫ ⋅ dA ∫ Iz Iz dM ⋅ ∫ y ⋅ dA Iz
  5. 5. Prof. Romel Dias Vanderlei 5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga F3 também pode ser vista em função da tensão τ: F3 = τ . b . dx , onde (b . dx) é a área da parte inferior do elemento. Logo: τ ⋅ b ⋅ dx = onde : 1 dM dM ⋅ ∫ y ⋅ dA ⇒ τ = ⋅ ⋅ y ⋅ dA Iz dx b ⋅ I z ∫ dM = V → força de cisalhamen to dx ∫ y ⋅ dA = M s → Momento Estático da área sombreada Prof. Romel Dias Vanderlei em relação a linha neutra. 5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga Com essa notação temos: τ= V ⋅Ms b⋅ Iz → Fórmula de Cisalhamento Observações: V, b e Iz são constantes em uma seção. Ms varia com a distância y1. Na fórmula de cisalhamento tratamos todos os elementos como valores positivos, pois sabemos que a tensão τ atua na mesma direção da força de cisalhamento V.
  6. 6. Prof. Romel Dias Vanderlei 5.2.1 Distribuição das Tensões de Cisalhamento na Seção Retangular h Ms = ∫ h y1 2 y ⋅ dA = ∫ h 2 y1  y2  2 y ⋅ (b ⋅ dy ) = b ⋅    2  y1  h 2 y12  b  h 2   = ⋅  − y12  M s = b ⋅ −   8 2  2  4     V ⋅Ms V b  h2 2 τ= = ⋅ ⋅  − y1   b ⋅ Iz b ⋅ Iz 2  4   Prof. Romel Dias Vanderlei V  h2 2 τ= ⋅  − y1   2⋅ I z  4   5.2.1 Distribuição das Tensões de Cisalhamento na Seção Retangular Variação quadrática com a distância y1. V  h2 2 τ= ⋅  − y1   2⋅ I z  4   para y1 = h 2 → τ =0 para y1 = 0 → τ máx V ⋅ h 2 3 ⋅V = = 8⋅ Iz 2⋅ A
  7. 7. Prof. Romel Dias Vanderlei Prof. Romel Dias Vanderlei 5.2.2 Tensões de Cisalhamento na Seção Circular Não podemos assumir que as tensões de cisalhamento agem paralelamente ao eixo y. Em um ponto m na superfície, a tensão deve agir de forma tangente. As tensões de cisalhamento na Linha Neutra, onde as tensões são máximas, podem ser assumidas como: paralelas a y e intensidade constante ao longo da largura. 5.2.2 Tensões de Cisalhamento na Seção Circular Logo, na Linha Neutra podemos usar a fórmula de cisalhamento: τ máx = Onde: Iz = π ⋅ r4 4 b = 2⋅r V ⋅ Ms b⋅ Iz π ⋅ r2   4⋅ r  2⋅ r3 Ms = A⋅ y =  2 ⋅ 3⋅π  = 3     V 4 2⋅ r3 4 ⋅V τ máx = ⋅ ⋅ = 2⋅ r π ⋅ r4 3 3⋅π ⋅ r 2 τ máx = 4 ⋅V 3⋅ A
  8. 8. Prof. Romel Dias Vanderlei 5.2.2 Tensões de Cisalhamento na Seção Circular Para seção circular vazada: Iz = π ( ⋅ r24 − r14 4 2 Ms = ⋅ (r23 − r13 ) 3 ) b = 2⋅ (r2 − r1 ) Prof. Romel Dias Vanderlei V ⋅ M s 4 ⋅V  r22 + r2 ⋅ r1 + r12   ⋅ τ máx = =  r2 + r2  b⋅ Iz 3⋅ A  2 1  5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga Exemplo 1: De acordo com a viga de madeira mostrada, determine o máximo valor para P se a tensão admissível na flexão é σadm = 11MPa (para tração e compressão) e a tensão admissível para cisalhamento horizontal é τadm = 1,2MPa. Desconsidere o peso próprio. P P 150mm 0,5m 0,5m 100mm
  9. 9. Prof. Romel Dias Vanderlei Exemplo 1 a) Diagrama de Esforços Internos: P A C D D.E.C. B A P C D 0,5P D.M.F. Prof. Romel Dias Vanderlei Cisalhamento trecho AC e DB Flexão Máxima trecho CD Exemplo 1 b) Características geométricas: I 3 b ⋅ h 2 10 × 15 2 W= = = = 375cm 2 h 6 6 2 A = b × h = 10 × 15 = 150 cm 2 c) Carga Máxima: M máx ≤ σ adm ⇒ M máx = σ adm ⋅W W 3 ⋅V 2 ⋅ A ⋅τ adm τ máx = máx ≤ τ adm ⇒ Vmáx = 2⋅ A 3 σ máx = B
  10. 10. Prof. Romel Dias Vanderlei Exemplo 1 Pflexão = σ adm ⋅W 0,5 11⋅106 × 375⋅10−6 = 0,5 Pflexão = 8,25KN 2 ⋅ A⋅τ adm 2×150⋅10−4 ×1,2 ⋅106 P .= = cisalh 3 3 Prof. Romel Dias Vanderlei Pcisalh = 12 KN 5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga Exemplo 2: Dimensionar uma seção circular para a estrutura mostrada abaixo, de modo que não sejam ultrapassadas as seguintes tensões: 30kN B A 2m σ Rupt .( T ) = 70 MPa ; C .S . = 7 40kN/m 4m σ Rupt .( C ) = 56 MPa ; C .S . = 8 τ adm = 1, 2 MPa
  11. 11. Prof. Romel Dias Vanderlei Exemplo 2 a) Tensões admissíveis: σ adm(T ) = σ adm ( C ) = σ Rupt.(T ) C.S. = σ Rupt .( C ) C .S . b) Seções críticas: 70 = 10MPa 7 = 56 = 7 MPa 8 95 RVA = 125 kN Prof. Romel Dias Vanderlei RVB = 65 kN A 30 C D.E.C. B 65 Exemplo 2 Trecho AC : V = −65 + 40 ⋅ (6 − x ) V = 175 − 40 ⋅ x = 0 ⇒ x = 4 ,375 m Seções críticas: A e C M A = −30 × 2 = −60 KN .m (6 − 4,375)2 = 52,81KN.m M C = 65 × (6 − 4,375) − 40 × 2
  12. 12. Prof. Romel Dias Vanderlei Exemplo 2 c) Tensões Normais Máximas: Seção A: σ1 = σ 2 = MA ⋅r Iz C = C2 = r 1 Como σ1 = σ2 , verificar para menor σadm: Prof. Romel Dias Vanderlei MA ⋅r ≤ σ adm(C ) Iz 60 ⋅103 × r ≤ 7 ⋅106 ⇒ r ≥ 0,222 m 4 π ⋅r 4 Exemplo 2 d) Tensão de Cisalhamento Máxima: τ máx = 4 ⋅ Vmáx ≤ τ adm 3⋅ A 4 × 95 ⋅103 ≤ 1,2 ⋅10 6 2 3×π ⋅ r r ≥ 0,183m Logo, r ≥ 0,22m ⇒ r = 23cm
  13. 13. Prof. Romel Dias Vanderlei 5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de Vigas com Flange Mesa ou Flange Alma Mesa ou Flange Prof. Romel Dias Vanderlei As tensões de cisalhamento nos flanges da viga atuam em ambas as direções, verticais e horizontais. 5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de Vigas com Flange As tensões de cisalhamento na alma de viga de flange largo são verticais e são maiores que as tensões nos flanges. Devido a complexidade da distribuição das tensões de cisalhamento no flange, iremos considerar apenas as tensões agindo na alma da viga.
  14. 14. Prof. Romel Dias Vanderlei 5.3.1 Tensão de Cisalhamento na Alma Vamos determinar a tensão de cisalhamento na linha ef. Prof. Romel Dias Vanderlei τ = V ⋅M s b ⋅Iz onde b = t e Ms é da área sombreada 5.3.1 Tensão de Cisalhamento na Alma Momento Estático da área sombreada. h h  A1 = b ⋅  − 1  2 2  h − h1 h1 2 y1 = + 2 2 2 M s = A1 ⋅ y1 + A2 ⋅ y 2 = h  A2 = t ⋅  1 − y1  2  h1 −y 2 1 y2 = y1 + 2 ( ) ( b t ⋅ h 2 − h12 + ⋅ h12 − 4 ⋅ y12 8 8 )
  15. 15. Prof. Romel Dias Vanderlei 5.3.1 Tensão de Cisalhamento na Alma Logo: τ= [ ( V ⋅ Ms V = ⋅ b ⋅ h2 − h12 + t ⋅ h12 − 4 ⋅ y12 t ⋅ Iz 8⋅t ⋅ Iz ) ( )] b ⋅ h3 (b − t ) ⋅ h13 1 3 3 onde: I z = − = ⋅ b ⋅ h3 − b ⋅ h1 + t ⋅ h1 12 12 12 Prof. Romel Dias Vanderlei ( 5.3.2 Tensões de Cisalhamento Máximas e Mínimas τmáx ocorre na Linha Neutra, y1 = 0. τmín ocorre no encontro alma-flange, y1 = ±h1/2. Logo: [ τ máx = V ⋅ b ⋅ h2 − b ⋅ h12 + t ⋅ h12 8⋅t ⋅ I z τ mín = V ⋅ h2 − h12 8⋅ t ⋅ I z [ ] ] )
  16. 16. Prof. Romel Dias Vanderlei 5.3.3 Força de Cisalhamento na Alma A alma resiste a maior parte da força de cisalhamento e os flanges são superponíveis por uma pequena parcela. Prof. Romel Dias Vanderlei Valma = t ⋅ h1 ⋅ (2 ⋅τ máx + τ mín ) 3 5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de Vigas com Flange Exemplo 3: Considere a viga em balanço com seção transversal em T. Pede-se para determinar a tensão de cisalhamento máxima, e a tensão de cisalhamento a 3 cm da borda superior da viga, na seção de engastamento. 5cm 45cm 50kN 5cm 2m 25cm
  17. 17. Prof. Romel Dias Vanderlei Exemplo 3 a) Centróide e Momento de Inércia: y 5cm y = 45cm z Prof. Romel Dias Vanderlei 1 1 = 18 , 57 cm 1 5cm y 25cm ∑ y ⋅A ∑A x ( ) I z = ∑ I z ' + Ai ⋅ d i2 = 88452 , 4 cm 4 Exemplo 3 b) Diagrama de Esforço Cortante: 50kN + D.E.C. Vmáx = 50 kN
  18. 18. Prof. Romel Dias Vanderlei Exemplo 3 c) Tensão de Cisalhamento Máxima: τ = V ⋅M s b ⋅Iz M s = y1 ⋅ A = 31,43 × (5× 31,43) 2 M s = 2469,61cm Prof. Romel Dias Vanderlei τ máx = 5cm 45cm y1 z 5cm 25cm 3 50 .10 3 × 2469 ,61 .10 −6 = 2 , 79 MPa 5 .10 − 2 × 88452 , 4 .10 − 8 Exemplo 3 d) Tensão a 3 cm de borda superior: 5cm 3cm M s = y1 ⋅ A = (31,43−1,5)× (5× 3) M s = 448,9cm3 y1 45cm z 5cm 25cm τ máx 50 .10 3 × 448 ,9 .10 − 6 = = 0 ,51 MPa 5 . 10 − 2 × 88452 , 4 . 10 − 8
  19. 19. Exemplo 4: Determinar a maior carga “q” (kN/m) que a viga representada abaixo suporta, sabendo-se que σadm = 10MPa, τadm = 1,5MPa e a = 2m. 5 Prof. Romel Dias Vanderlei 5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de Vigas com Flange aq q A B D C a a E a 5 a aq 20cm aq Prof. Romel Dias Vanderlei 5 10cm 5 Exemplo 4 a) Centróide e Momento de Inércia: x = 10 cm y = 15 cm I z = I z (ext.) − I z (int .) 20 × 30 3 10 × 20 3 = − 12 12 I z = 38 .333 ,33 cm 4
  20. 20. Prof. Romel Dias Vanderlei Exemplo 4 b) Esforços internos máximos: RVB = 4,5q e RVD = 3,5q 2,5q 2q + A + 0,5q B C - - D E 1,5q 2q Seções críticas: B, C e D. M B = −4 ⋅ q Prof. Romel Dias Vanderlei Logo: M C = −8 ⋅ q + 7 q = − q M máx = − 4 ⋅ q M D = −4 ⋅ q V máx = 2,5 ⋅ q Exemplo 4 c) Verificação da σadm: σ1 = σ 2 = M ⋅e ≤ σ adm = 10 MPa Iz 4 ⋅ q ⋅15 × 10 −2 ≤ 10 ⋅10 6 ⇒ −8 38333 ,33 ⋅10 q ≤ 6,39kN / m
  21. 21. Prof. Romel Dias Vanderlei Exemplo 4 d) Verificação da τadm:  15   10  M s = M se − M si =  × 20 ×15  −  ×10 ×10  = 1750cm3 2  2  τ máx V máx ⋅ M s 2 ,5 ⋅ q × 1750 ⋅ 10 − 6 = = ≤ τ adm = 1,5 ⋅ 10 6 −2 −8 b ⋅ Iz 10 ⋅ 10 × 38333 ,33 ⋅ 10 q ≤ 13,14kN / m Prof. Romel Dias Vanderlei Logo: q = 6,3kN / m 5.4 Fluxo de Cisalhamento F3 = dM ⋅ y ⋅ dA I ∫
  22. 22. Prof. Romel Dias Vanderlei 5.4 Fluxo de Cisalhamento Fluxo de Cisalhamento (f) é a força de cisalhamento horizontal por unidade de distância ao longo do eixo longitudinal da viga. f = onde: F3 dM 1 = ⋅ ⋅ y ⋅ dA dx dx I ∫ dM =V dx Prof. Romel Dias Vanderlei f = ∫ y ⋅ dA = M s V ⋅Ms I 5.4 Fluxo de Cisalhamento Áreas utilizadas para o cálculo do momento estático:
  23. 23. Prof. Romel Dias Vanderlei Prof. Romel Dias Vanderlei 5.4 Fluxo de Cisalhamento Exemplo 5: Uma viga em caixa de madeira é construída com duas tábuas de 40x180mm, que servem como flanges para duas almas de compensados de 15mm de espessura. A altura total da viga é de 280mm. O compensado é preso aos flanges por parafusos cuja força de cisalhamento admissível de F=800N cada. Se a força de cisalhamento V é de 10,5kN, determine o máximo espaçamento permissível S dos parafusos. Exemplo 5 a) Centróide e Momento de Inércia: x = 105 mm y = 140 mm I z = I z (ext.) − I z (int .) 210 × 280 3 180 × 200 3 − 12 12 I z = 264 , 2 × 10 6 mm 4 Iz =
  24. 24. Prof. Romel Dias Vanderlei Exemplo 5 b) Fluxo de Cisalhamento: f = V ⋅Ms F = I s M s = A flange ⋅ d f = (40 × 180 )× 120 = 864 ⋅ 10 3 mm 3 Prof. Romel Dias Vanderlei 10 ,5 ⋅ 10 3 × 864 ⋅ 10 3 f = = 34 ,3 N / mm 264 , 2 × 10 6 Exemplo 5 c) Espaçamento dos parafusos: Força admissível F=800N 2 parafusos por comprimento S 2F Logo: 2F 2 F 2 × 800 = f ⇒S = = S f 34,3 S = 46,6mm
  25. 25. Prof. Romel Dias Vanderlei 5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento. V = P e M = P⋅x Carga no plano de simetria Prof. Romel Dias Vanderlei σx = − M⋅y Iz e τ= V ⋅Ms Iz ⋅b 5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento. Carga fora do plano de simetria V = P e M = P⋅x σx = − M⋅y Iz
  26. 26. Prof. Romel Dias Vanderlei 5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento. As tensões de cisalhamento não podem ser V ⋅ Ms determinadas pela equação τ = , pois a seção Iz ⋅b não tem plano de simetria vertical. Prof. Romel Dias Vanderlei Esta barra irá sofrer flexão e torção sob ação da carga P. 5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento. Se a barra flexionar sem torção, poderíamos usar a fórmula de cisalhamento já conhecida. Para isso, a carga P tem que ser aplicada em um ponto específico da seção transversal, conhecido como Centro de Cisalhamento (S). O centro de cisalhamento está em um eixo de simetria. Então, em seções duplamente simétricas o Centro de Cisalhamento (S) e o Centróide (C) coincidem.
  27. 27. Prof. Romel Dias Vanderlei Prof. Romel Dias Vanderlei 5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos de Paredes Finas Considere uma viga de seção transversal arbitrária, cuja linha de centro seja a curva mm, e a carga P age paralela ao eixo “y” através do Centro de Cisalhamento (S). onde “y” e “z” são eixos centroidais. 5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos de Paredes Finas As tensões normais podem ser obtidas pela fórmula de flexão: σx = − M⋅y Iz
  28. 28. Prof. Romel Dias Vanderlei 5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos de Paredes Finas As tensões de cisalhamento no elemento abcd são obtidas pelo equilíbrio das forças: F − F2 − F3 = 0 1 onde: F3 =τ ⋅ t ⋅ dx s F2 = ∫ σ x ⋅ dA= − Prof. Romel Dias Vanderlei 0 s F = ∫ σ x ⋅ dA= − 1 0 Mz1 s ⋅ y ⋅ dA I z ∫0 Mz 2 s ⋅ y ⋅ dA I z ∫0 5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos de Paredes Finas Assim, obtemos: s  M z 2 − M z1  1 ⋅ ∫ y ⋅ dA ⋅ dx   Iz ⋅t 0 τ = onde: Logo: M z 2 − M z1 dM = = Vy , que é paralela a y e positiva dx dx em sentido de P. τ= Vy ⋅ M s ( z ) Iz ⋅t Fórmula de Cisalhamento
  29. 29. Prof. Romel Dias Vanderlei 5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos de Paredes Finas As tensões de cisalhamento estão direcionadas ao longo da linha de centro da seção, paralelas às bordas. τ é constante através as espessura t da parede. O fluxo de cisalhamento (f) é igual ao produto da tensão τ pela espessura t. Prof. Romel Dias Vanderlei f =τ ⋅ t = Vy ⋅ Ms( z) Iz 5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas Seção C ou Canal: O Centro de Cisalhamento está localizado no eixo de simetria (eixo z).
  30. 30. Prof. Romel Dias Vanderlei Prof. Romel Dias Vanderlei 5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas Baseado na fórmula de cisalhamento, as tensões de cisalhamento variam linearmente nos flanges e parabolicamente na alma. 5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas A tensão de cisalhamento que atua em um elemento de seção transversal de área dA = t.ds produz a força dF = τ . dA ou dF = f . ds , e ds dA f =τ ⋅ t = V ⋅ Ms . Iz
  31. 31. Prof. Romel Dias Vanderlei 5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas A resultante das forças que age nos flanges AB e DE é a força horizontal F1; As tensões que atuam na alma BD vão ter como resultante uma força igual à força cortante V na seção: ds B A F1 = ∫ B A f ⋅ ds h F2 = V = Prof. Romel Dias Vanderlei D ∫ D B f ⋅ ds E 5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas As forças F1 provocam um momento em relação ao centróide de M = F1 . h, onde h é a distância entre as linhas de centro das mesas. Este momento que é responsável pela resistência da seção à torção. Para eliminar o efeito desse momento, a força cortante V deve ser deslocada para a esquerda de uma distância “e”, de modo que: V ⋅ e = F(mesa) ⋅ h → e= F(mesa) ⋅ h V
  32. 32. Prof. Romel Dias Vanderlei 5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas Onde conclui-se que não vai ocorrer torção na barra se a força P for aplicada em um ponto distante “e” da linha central da alma BD. Prof. Romel Dias Vanderlei A interação da linha de ação com o eixo de simetria “z”, representa o Centro de Cisalhamento da seção (S). 5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas No caso da força P ser inclinada, acha-se as componentes Pz e Py atuando no ponto “S”. Py P Pz
  33. 33. Prof. Romel Dias Vanderlei 5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas Seções que não possuem nenhum plano de simetria: Seção Cantoneira: Prof. Romel Dias Vanderlei A carga P atua perpendicularmente ao eixo principal z. 5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas Força elementar: dF = f ⋅ ds dF , ds sendo f = V ⋅ Ms Iz
  34. 34. Prof. Romel Dias Vanderlei 5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas Forças Resultantes: A F1 = F1 F2 = ∫ S ∫ B A S f ⋅ ds f ⋅ ds F2 Prof. Romel Dias Vanderlei B 5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas Como as resultantes F1 e F2 passam pelo ponto “S”, deduzimos que a força cortante V da seção deve passar por “S” também. , O Centro de Cisalhamento é então o vértice da seção, pois a força V não provocará torção, independente da sua direção.
  35. 35. Prof. Romel Dias Vanderlei 5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento. Exemplo 6: Determinar o Centro de Cisalhamento S do perfil canal, de espessura uniforme e dimensões: b=100mm, h=150mm e t=3mm. , t Fluxo de Cisalhamento: A B t f= V ⋅ Ms ( z ) Iz t Prof. Romel Dias Vanderlei D f= E = ( V ⋅ s⋅t ⋅ h ) 2 Iz V ⋅ s ⋅t ⋅ h 2⋅ I z Exemplo 6 Força Resultante no flange AB: F1 = ∫ B A f ⋅ ds = ∫ b 0 V ⋅t ⋅h F = 2⋅ Iz V ⋅ s ⋅t ⋅h V ⋅t ⋅h b = ⋅ s ⋅ds 2⋅ Iz 2 ⋅ I z ∫0 , b  s2  V ⋅t ⋅ h ⋅b2 ⋅  = 4⋅ Iz  2 0
  36. 36. Prof. Romel Dias Vanderlei Exemplo 6 Centro de Cisalhamento: F ⋅ h V ⋅t ⋅ h ⋅b2 h t ⋅ h ⋅b2 e= = ⋅ = V 4⋅ Iz V 4⋅ Iz , I z = I alma + 2 ⋅ I flanges t ⋅b3  h2   t ⋅ h3  ⋅ (b ⋅ t ) Iz = + 2⋅ +  2  12    12  Prof. Romel Dias Vanderlei t ⋅ h3 b ⋅t3 h2 ⋅b ⋅t t ⋅ h2 Iz = + + = ⋅ (6 ⋅ b + h ) 12 6 2 12 Exemplo 6 Centro de Cisalhamento: h2 ⋅b2 ⋅t e= t ⋅ h2 4⋅ ⋅ (6 ⋅ b + h ) 12 , 3⋅b2 e= 6 ⋅b + h
  37. 37. Prof. Romel Dias Vanderlei 5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento. Exemplo 7: Determinar, para o perfil canal, a distribuição de tensões de cisalhamento causada por uma força cortante vertical V de 800kN de intensidade, aplicada no Centro de Cisalhamento S. , b=100mm, h=150mm, t=3mm, e = 40mm. t A B t t Prof. Romel Dias Vanderlei D E Exemplo 7 Tensão no flange AB: τ= V ⋅ Ms V ⋅ s ⋅t ⋅ h V ⋅ s ⋅ h = = Iz ⋅ t 2⋅ Iz ⋅t 2⋅ Iz , Ms = s×t × h 2 Distribuição Linear
  38. 38. Prof. Romel Dias Vanderlei Exemplo 7 Tensão em B: t ⋅ h2 ⋅ (6 ⋅ b + h ) 12 V ⋅b ⋅ h 6 ⋅V ⋅ b τB = = t ⋅ h2 t ⋅ h ⋅ (6 ⋅ b + h ) 2⋅ ⋅ (6 ⋅ b + h ) 12 Iz = , Prof. Romel Dias Vanderlei τB = 6 × 800 × 0,1 = 1,422 MPa 0,003 × 0,15 ⋅ (6 × 0,1 + 0,15 ) Exemplo 7 Tensões de Cisalhamento na Alma BD: (Parabólica) τ= V ⋅ Ms Iz ⋅ t , h h h h⋅ t Ms = b⋅t ⋅ + ⋅t ⋅ = ⋅ (4⋅b + h) 2 2 4 8
  39. 39. Prof. Romel Dias Vanderlei Exemplo 7 Tensões de Cisalhamento na Alma BD: (Parabólica) h⋅ t ⋅ (4⋅b + h) 3⋅V ⋅ (4⋅b + h) 8 τmáx = 2 = t ⋅h 2⋅t ⋅ h⋅ (6⋅b + h) ⋅ (6⋅b + h) ⋅t 12 V⋅ Prof. Romel Dias Vanderlei τ máx = , 3× 800× (4 × 0,1 + 0,15) = 1,956MPa 2 × 0,003× 0,15× (6 × 0,1 + 0,15) Aplicações Exercício 1: Uma viga caixão quadrada é feita de duas pranchas de 20 x 80mm e duas pranchas de 20 x 120mm pregadas entre si, como mostra a figura. Sabendo que o espaçamento entre os pregos é s = 30mm e que a força cortante vertical na viga é V = 1200N, determine (a) a força cortante em cada prego, (b) a tensão de cisalhamento máxima na viga. ,
  40. 40. Prof. Romel Dias Vanderlei Aplicações Exercício 2: Para a viga e carregamento mostrado, determine a largura b mínima necessária, sabendo que, para o tipo de madeira usada, σadm = 12MPa e τadm = 825kPa. Prof. Romel Dias Vanderlei , Aplicações Exercício 3: A viga mostrada na figura foi feita colandose várias tábuas. Sabendo que a viga está sujeita a uma força cortante de 5,5kN, determine a tensão de cisalhamento nas juntas coladas (a) em A, (b) em B. ,
  41. 41. Prof. Romel Dias Vanderlei Aplicações Exercício 4: Várias tábuas são coladas para formas a viga caixão mostrada na figura. Sabendo que a viga está sujeita a uma força cortante vertical de 3kN, determine a tensão de cisalhamento nas junta colada (a) em A, (b) em B. ,

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