1) O documento apresenta os cálculos para determinar as reações de apoio, o diagrama de esforço cortante (DEC) e o diagrama de momento fletor (DMF) de uma viga isostática com seis apoios. 2) No DEC, os valores de cortante são calculados para cada trecho da viga e traçado o gráfico. O cortante se anula nos trechos entre os apoios A-B, B-E e E-F. 3) No DMF, são calculados os momentos fletores no início e fim de cada trecho

1. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 1
Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012
1800 kgf/m
C D
1200 kgf/m
1800 kgf/m
A B C D E F
14400 x 4,0
10,0
5400 x (2,0 + 10,0)
10,0
V = 4680 kgfA V = 15120 kgfB
5760 kgf=
6480 kgf=
14400 x 6,0
10,0
8640 kgf=
10800 x 3,0
6,0
5400 kgf=
6,0 x 1800 =
10800 kgf
resultante
10800 x 3,0
6,0
5400 kgf=
3,0 m
12,0 x 1200 =
14400 kgf
resultante
Primeiro calcula-se esta viga CD,
pois ela está apoiada nas outras
duas vigas ABC e DEF.
12,0 x 1800 =
21600 kgf
resultante
5400 x 2,0
10,0
1080 kgf=
6,0 m 4,0 m 2,0 m 2,0 m 4,0 m 6,0 m
6,0 m 2,0 m 10,0 m
V = 19440 kgfE V = 7560 kgfF
21600 x 6,0
10,0
5400 x 2,0
10,0
12960 kgf=
1080 kgf=
21600 x 4,0
10,0
8640 kgf=
5400 x (2,0 + 10,0)
10,0
6480 kgf=
1200 kgf/m
1800 kgf/m1800 kgf/m
A B C D E F
3,0 m
Como um dos apoios
da viga CD é o ponto
C da viga ABC, aplica-se
esta reação como carga
concentrada nesse ponto
C da viga ABC
x1 x2 x3 x4
5400 kgf
5400 kgf
Como um dos apoios
da viga CD é o ponto
D da viga DEF, aplica-se
esta reação como carga
concentrada nesse ponto
D da viga DEF
10 m 2,0 m
1. Exercício 01 – Vigas Gerber
1.1 Reações de apoio

2. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 2
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1.2 Diagrama de Esforço cortante - DEC
Legenda:
ܳ௜,௝ → ‫݁ݐ݊ܽݐݎ݋ܥ‬ ݊‫݋‬ ݅݊íܿ݅‫݋‬ ݀‫݋‬ ‫ܿ݁ݎݐ‬ℎ‫݋‬ ݆
ܳ௙,௝ → ‫݁ݐ݊ܽݐݎ݋ܥ‬ ݊‫݋‬ ݂݅݉ ݀‫݋‬ ‫ܿ݁ݎݐ‬ℎ‫݋‬ ݆
Convenção:
‫݋ݎ݅ܩ‬ ݊‫݋‬ ‫݋݀݅ݐ݊݁ݏ‬ ℎ‫ݎ݋‬á‫,݋݅ݎ‬ ܿ‫݁ݐ݊ܽݐݎ݋‬ ‫.݋ݒ݅ݐ݅ݏ݋݌‬
‫݋ݎ݅ܩ‬ ݊‫݋‬ ‫݋݀݅ݐ݊݁ݏ‬ ܽ݊‫݅ݐ‬ − ℎ‫ݎ݋‬á‫,݋݅ݎ‬ ܿ‫݁ݐ݊ܽݐݎ݋‬ ݊݁݃ܽ‫.݋ݒ݅ݐ‬
1.2.1 Trecho 1
ܳ௜,ଵ = ܸ஺ = 4680 ݂݇݃ (Positivo, pois gira no sentido horário para “dentro da viga”)
ܳ௙,ଵ = ܳ௜,ଵ − ܴ݁‫ݐ݈ݑݏ‬୲୰ୣୡ୦୭ ଵ = 4680 − ሺ1200 ∙ 10ሻ = − 7320 ݂݇݃
1.2.2 Trecho 2
ܳ௜,ଶ = ܳ௙,ଵ + ܸ஻ = − 7320 + 15120 = 7800 ݂݇݃
ܳ௙,ଶ = ܳ௜,ଶ − ܴ݁‫ݐ݈ݑݏ‬୲୰ୣୡ୦୭ ଶ = 7800 − ሺ1200 ∙ 2ሻ = 5400 ݂݇݃

3. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 3
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1.2.3 Trecho 3
ܳ௜,ଷ = ܳ௙,ଶ = 5400 ݂݇݃
ܳ௙,ଷ = ܳ௜,ଷ − ܴ݁‫ݐ݈ݑݏ‬୲୰ୣୡ୦୭ ଷ = 5400 − ሺ1800 ∙ 8ሻ = − 9000 ݂݇݃
1.2.4 Trecho 4
ܳ௜,ସ = ܳ௙,ଷ + ܸா = − 9000 + 19440 = 10440 ݂݇݃
ܳ௙,ସ = ܳ௜,ସ − ܴ݁‫ݐ݈ݑݏ‬୲୰ୣୡ୦୭ ସ = 10440 − ሺ1800 ∙ 10ሻ = − 7560 ݂݇݃
1.2.5 Posição onde o cortante é nulo (࢞૙)
O gráfico de esforço cortante tem o valor nulo (zero) exatamente onde ele corta o eixo da viga, e isso ocorre nos trechos 1, 3 e 4
porque todos esses três trechos tem um cortante inicial positivo e um cortante final negativo, ou seja, isso indica que o gráfico corta o
eixo da viga passando pela posição onde ele é zero, pois para sair de um número positivo e chegar em um negativo, obrigatoriamente
temos que passar pelo zero. Em resumo, quando o cortante inicial de um trecho for positivo e o final negativo, quer dizer, que é nesse
trecho que o gráfico do cortante passa pela posição onde é zero. E é a equação desse trecho que devemos utilizar para encontrar o
valor de ‫ݔ‬଴. Geralmente o cortante se anula em trechos entre dois apoios, veja que no primeiro trecho onde ele se anula, está entre os
apoios A e B, no segundo trecho, está entre os apoios B e E, e no terceiro trecho está entre os apoios E e F.
Sabendo disso, basta utilizarmos a equação de cortante dos trechos 1, 3 e 4 e igualarmos a zero cada uma delas, com isso
encontraremos a posição onde ele é nulo a partir do início de cada um desses trechos.

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A equação do trecho 1 é:
ܳଵሺ‫ݔ‬ଵሻ = ܳ௜,ଵ − ܿܽ‫݃݁ݎݎ‬ௗ௜௦௧௥௜௕
ܳଵሺ‫ݔ‬ଵሻ = 4680 − 1200‫ݔ‬ଵ
0 = 4680 − 1200‫ݔ‬଴,ଵ
1200‫ݔ‬଴,ଵ = 4680
‫ݔ‬଴,ଵ =
4680
1200
࢞૙,૚ = ૜, ૢ૙ ࢓ (a partir do início do trecho 1, ou seja, a partir do apoio em A)
A equação do trecho 3 é:
ܳଷሺ‫ݔ‬ଷሻ = ܳ௜,ଷ − ܿܽ‫݃݁ݎݎ‬ௗ௜௦௧௥௜௕
ܳଷሺ‫ݔ‬ଷሻ = 5400 − 1800‫ݔ‬ଷ
0 = 5400 − 1800‫ݔ‬଴,ଷ
1800‫ݔ‬଴,ଷ = 5400
‫ݔ‬଴,ଷ =
5400
1800
࢞૙,૜ = ૜, ૙૙ ࢓ (a partir do início do trecho 3, ou seja, a partir da rótula em C. Lembrar que rótula não separa trecho, a
separação neste caso, foi devido a diferença de cargas distribuídas)

5. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 5
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A equação do trecho 4 é:
ܳସሺ‫ݔ‬ସሻ = ܳ௜,ସ − ܿܽ‫݃݁ݎݎ‬ௗ௜௦௧௥௜௕
ܳସሺ‫ݔ‬ସሻ = 10440 − 1800‫ݔ‬ସ
0 = 10440 − 1800‫ݔ‬଴,ସ
1800‫ݔ‬଴,ସ = 10440
‫ݔ‬଴,ସ =
10440
1800
࢞૙,૝ = ૞, ૡ૙ ࢓ (a partir do início do trecho 4, ou seja, a partir do apoio em E)

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x1 x2 x3 x4
A B C
D
E F
DEC [kgf]
4680
= 2,34 cm
7800
= 3,90 cm
7320
= 3,66 cm
10440
= 5,22 cm
9000
= 4,50 cm
7560
= 3,78 cm
5400
= 2,70 cm
5400
= 2,70 cm
x = 3,90 m x = 3,00 m x = 5,80 m0,1 0,3 0,4
Escala horizontal (eixo da viga):
1 cm = 1,0 m
(Dica: Com esta escala escolhida, todo
comprimento de viga deverá ser divido
por 1,0 para ser transformado para cm
na "escala do papel milimetrado")
Escala vertical (esforço cortante):
1 cm = 2000 kgf
(Dica: Com esta escala escolhida, todo
esforço cortante deverá ser dividido por
2000 para ser transformado para cm na
"escala do papel milimetrado")
1.2.6 Traçado do diagrama de esforço cortante - DEC

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1.3 Diagrama de Momento fletor - DMF
Legenda:
‫ܯ‬௜,௝ → ‫݋ݐ݊݁݉݋ܯ‬ ݊‫݋‬ ݅݊íܿ݅‫݋‬ ݀‫݋‬ ‫ܿ݁ݎݐ‬ℎ‫݋‬ ݆
‫ܯ‬௙,௝ → ‫݋ݐ݊݁݉݋ܯ‬ ݊‫݋‬ ݂݅݉ ݀‫݋‬ ‫ܿ݁ݎݐ‬ℎ‫݋‬ ݆
→ Reação de apoio
→ Resultante de um carregamento distribuído
→ Força concentrada
→ Distância, lembrar que momento é o produto de uma força pela distância.
→ Momento
Convenção, percorrendo a viga da esquerda para a direita:
‫݋ݎ݅ܩ‬ ݊‫݋‬ ‫݋݀݅ݐ݊݁ݏ‬ ℎ‫ݎ݋‬á‫,݋݅ݎ‬ ݉‫݋ݐ݊݁݉݋‬ ‫.݋ݒ݅ݐ݅ݏ݋݌‬
‫݋ݎ݅ܩ‬ ݊‫݋‬ ‫݋݀݅ݐ݊݁ݏ‬ ܽ݊‫݅ݐ‬ − ℎ‫ݎ݋‬á‫,݋݅ݎ‬ ݉‫݋ݐ݊݁݉݋‬ ݊݁݃ܽ‫.݋ݒ݅ݐ‬
1.3.1 Trecho 1
1.3.1.1 Momento no início do trecho 1
‫ܯ‬௜,ଵ = 0 (pois não existe engaste e nem momento aplicado)

8. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 8
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1.3.1.2 Momento no fim do trecho 1
‫ܯ‬௙,ଵ = ܸ஺ ∙ 10 − 1200 ∙ 10 ∙
10
2
‫ܯ‬௙,ଵ = 4680 ∙ 10 − 12000 ∙ 5
‫ܯ‬௙,ଵ = −13200 ݉. ݂݇݃
1.3.2 Trecho 2
1.3.2.1 Momento no início do trecho 2
‫ܯ‬௜,ଶ = ‫ܯ‬௙,ଵ (pois não existe momento aplicado)
‫ܯ‬௜,ଶ = −13200 ݉. ݂݇݃
1.3.2.2 Momento no fim do trecho 2
‫ܯ‬௙,ଶ = ܸ஺ ∙ ሺ10 + 2ሻ − ሺ1200 ∙ 12ሻ ∙
12
2
+ ܸ஻ ∙ 2
‫ܯ‬௙,ଶ = 4680 ∙ 12 − 14400 ∙ 6 + 15120 ∙ 2
‫ܯ‬௙,ଶ = 56160 − 86400 + 30240
‫ܯ‬௙,ଶ = 0 (deveria ser zero mesmo, pois é uma rótula, e nela sempre o momento é zero)

9. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 9
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1.3.3 Trecho 3
1.3.3.1 Momento no início do trecho 3
‫ܯ‬௜,ଷ = ‫ܯ‬௙,ଶ (pois não existe momento aplicado)
‫ܯ‬௜,ଷ = 0
1.3.3.2 Momento no fim do trecho 3
‫ܯ‬௙,ଷ = ܸ஺ ∙ ሺ10 + 2 + 6 + 2ሻ − 1200 ∙ ሺ10 + 2ሻ ∙ ቈ
ሺ10 + 2ሻ
2
+ 6 + 2቉ + ܸ஻ ∙ ሺ2 + 6 + 2ሻ − 1800 ∙ ሺ6 + 2ሻ ∙
ሺ6 + 2ሻ
2
‫ܯ‬௙,ଷ = 4680 ∙ 20 − 14400 ∙ 14 + 15120 ∙ 10 − 14400 ∙ 4
‫ܯ‬௙,ଷ = −14400 ݉. ݂݇݃
1.3.4 Trecho 4
1.3.4.1 Momento no início do trecho 4
‫ܯ‬௜,ସ = ‫ܯ‬௙,ଷ (pois não existe momento aplicado)
‫ܯ‬௜,ସ = −14400 ݉. ݂݇݃

10. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 10
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1.3.4.2 Momento no fim do trecho 4
‫ܯ‬௙,ସ = ܸ஺ ∙ ሺ10 + 2 + 6 + 2 + 10ሻ − 1200 ∙ ሺ10 + 2ሻ ∙ ቈ
ሺ10 + 2ሻ
2
+ 6 + 2 + 10቉ + ܸ஻ ∙ ሺ2 + 6 + 2 + 10ሻ − 1800 ∙ ሺ6 + 2 + 10ሻ ∙
ሺ6 + 2 + 10ሻ
2
+ ܸா ∙ 10
‫ܯ‬௙,ସ = 4680 ∙ 30 − 14400 ∙ 24 + 15120 ∙ 20 − 32400 ∙ 9 + 19440 ∙ 10
‫ܯ‬௙,ସ = 0 (deveria ser zero mesmo, pois no fim do trecho 4 não existe momento aplicado e é um apoio do 1º gênero)
1.3.5 Cálculo dos momentos máximos
1.3.5.1 Trecho 1
Da esquerda pra direita, + ↻ :
‫ܯ‬௠á௫,ଵ = ܸ஺ ∙ 3,9 − 1200 ∙ 3,9 ∙
3,9
2
‫ܯ‬௠á௫,ଵ = 4680 ∙ 3,9 − 4680 ∙ 1,95
ࡹ࢓á࢞,૚ = ૢ૚૛૟ ࢓. ࢑ࢍࢌ

11. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 11
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Da direita pra esquerda, + ↺ :
Sabemos que ‫ݔ‬଴,ଵ = 3,90 a partir de A, como a análise será da direita para a esquerda, precisamos saber qual a distância do
cortante nulo para o apoio B, essa distância é 10,0 − 3,90 = 6,10 ݉. Dessa maneira, tem-se:
‫ܯ‬௠á௫,ଵ = ܸி ∙ ሺ10 + 2 + 6 + 2 + 6,1ሻ − 1800 ∙ ሺ10 + 2 + 6ሻ ∙ ቈ
ሺ10 + 2 + 6ሻ
2
+ 2 + 6,1቉ + ܸா ∙ ሺ2 + 6 + 2 + 6,1ሻ − 1200 ∙ ሺ2 + 6,1ሻ ∙
ሺ2 + 6,1ሻ
2
+ ܸ஻ ∙ 6,1
‫ܯ‬௠á௫,ଵ = 7560 ∙ 26,1 − 32400 ∙ 17,1 + 19440 ∙ 16,1 − 9720 ∙ 4,05 + 15120 ∙ 6,1
‫ܯ‬௠á௫,ଵ = 197316 − 554040 + 312984 − 39366 + 92232
ࡹ࢓á࢞,૚ = ૢ૚૛૟ ࢓. ࢑ࢍࢌ
1.3.5.2 Trecho 3
Da esquerda pra direita, + ↻ :
‫ܯ‬௠á௫,ଷ = ܸ஺ ∙ ሺ10 + 2 + 3ሻ − 1200 ∙ ሺ10 + 2ሻ ∙ ቈ
ሺ10 + 2ሻ
2
+ 3቉ + ܸ஻ ∙ ሺ2 + 3ሻ − 1800 ∙ 3 ∙
3
2
‫ܯ‬௠á௫,ଷ = 4680 ∙ 15 − 14400 ∙ 9 + 15120 ∙ 5 − 5400 ∙ 1,5
ࡹ࢓á࢞,૜ = ૡ૚૙૙ ࢓. ࢑ࢍࢌ

12. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 12
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Da direita pra esquerda, + ↺ :
Sabemos que ‫ݔ‬଴,ଷ = 3,0 a partir de C, como a análise será da direita para a esquerda, precisamos saber qual a distância do
cortante nulo para a rótula D, essa distância é 6,0 − 3,0 = 3,0 ݉. Dessa maneira, tem-se:
‫ܯ‬௠á௫,ଷ = ܸி ∙ ሺ10 + 2 + 3ሻ − 1800 ∙ ሺ10 + 2 + 3ሻ ∙ ቈ
ሺ10 + 2 + 3ሻ
2
቉ + ܸா ∙ ሺ2 + 3ሻ
‫ܯ‬௠á௫,ଷ = 7560 ∙ 15 − 27000 ∙ 7,5 + 19440 ∙ 5
‫ܯ‬௠á௫,ଷ = 113400 − 202500 + 97200
ࡹ࢓á࢞,૜ = ૡ૚૙૙ ࢓. ࢑ࢍࢌ
1.3.5.3 Trecho 4
Da esquerda pra direita, + ↻ :
‫ܯ‬௠á௫,ସ = ܸ஺ ∙ ሺ10 + 2 + 6 + 2 + 5,8ሻ − 1200 ∙ ሺ10 + 2ሻ ∙ ቈ
ሺ10 + 2ሻ
2
+ 6 + 2 + 5,8቉ + ܸ஻ ∙ ሺ2 + 6 + 2 + 5,8ሻ − 1800 ∙ ሺ6 + 2 + 5,8ሻ ∙
ሺ6 + 2 + 5,8ሻ
2
+ ܸா ∙ 5,8
‫ܯ‬௠á௫,ସ = 4680 ∙ 25,8 − 14400 ∙ 19,8 + 15120 ∙ 15,8 − 24840 ∙ 6,9 + 19440 ∙ 5,8
‫ܯ‬௠á௫,ସ = 120744 − 285120 + 238896 − 171396 + 112752
ࡹ࢓á࢞,૝ = ૚૞ૡૠ૟ ࢓. ࢑ࢍࢌ

13. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 13
Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012
Da direita pra esquerda, + ↺ :
Sabemos que ‫ݔ‬଴,ସ = 5,8 a partir de E, como a análise será da direita para a esquerda, precisamos saber qual a distância do
cortante nulo para o apoio F, essa distância é 10,0 − 5,8 = 4,2 ݉. Dessa maneira, tem-se:
‫ܯ‬௠á௫,ସ = ܸி ∙ 4,2 − 1800 ∙ 4,2 ∙
4,2
2
‫ܯ‬௠á௫,ସ = 7560 ∙ 4,2 − 7560 ∙ 2,1
‫ܯ‬௠á௫,ସ = 31752 − 15876
ࡹ࢓á࢞,૝ = ૚૞ૡૠ૟ ࢓. ࢑ࢍࢌ

14. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 14
Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012
Escala horizontal (eixo da viga):
1 cm = 1,0 m
(Dica: Com esta escala escolhida, todo
comprimento de viga deverá ser divido
por 1,0 para ser transformado para cm
na "escala do papel milimetrado")
Escala vertical (momento fletor):
1 cm = 3000 m.kgf
(Dica: Com esta escala escolhida, todo
momento fletor deverá ser dividido por
3000 para ser transformado para cm na
"escala do papel milimetrado")
DMF [m.kgf]
x1 x2 x3 x4
A B C D E F
13200
= 4,40 cm
9126
= 3,04 cm 15876
= 5,29 cm
14400
= 4,80 cm
x = 3,90 m x = 3,00 m
x = 5,80 m
0,1 0,3
0,4
8100
= 2,70 cm
q.L
2
8
=
1200 x 10,0
2
8
= 15000 m.kgf
= 5,0 cm
q.L
2
8
=
1800 x 8,0
2
8
= 14400 m.kgf
= 4,80 cm
Mmáx
Mmáx
Mmáx
q.L
2
8
=
1800 x 10,0
2
8
= 22500 m.kgf
= 7,50 cm
Mmáx Mmáx
Mmáx
Parábola trecho 1
Parábola trecho 3
q.L
2
8
=
1200 x 2,0
2
8
= 600 m.kgf
= 0,20 cm
Parábola trecho 2
Parábola trecho 4
Parábola
do 2º Grau
Parábola
do 2º Grau
Parábola
do 2º Grau
Parábola
do 2º Grau
1.3.6 Traçado do diagrama de momento fletor - DMF